Quantenmechanik I - Ralph Wagner Homepage

Zusammenfassung Quantentheorie I
Stand: 17.02.98
Inhalt des Strip-to-the-bone-Zettels(STTB):
• Formeln & Lösungen von harmon. Oszillator & H-Atom & Fouriertrafo
Eigenzustände des Wasserstoff: Nolting 5.2 Seite 423 : sowie ungestörte Eigenenergien
• Anschlußbedingungen beim Delta-Potential (siehe Blatt mit allgemeinem Lösungsverfahren)
• einige wichtige Integrale z.B. exp(-x^2) von minus bis plus unendlich
2
• pq-Formel: x 1, 2
p
p
= − ±   −q
2
 2
b
• Produktintegration:
b
b
∫ u ' v dx = [uv ]a − ∫ u v' dx
a
Substitution:
a
b
g (b )
a
g a
∫ f (g(z )) ⋅ g' (z )dz = ∫( f) (x )dx
• Taylor-Reihe: f (x ) =
∞
∑
n =0
mit x=g(z), g'(z)=dx/dz
(x − a )n f (n ) (a )
n!
• Wichtige Integrale
+∞
∫e
−∞
∞
−ax 2
=
n − ax
∫x e =
0
π
a
mit a ≥ 0
Γ(n + 1) n∈IN n!
= n +1
a n +1
a
; Γ( 12 ) =
π
e ax
(a sin (bx ) − b cos(bx ))
a 2 + b2
 k!
für
 n +1
für n = 2k + 1 (gerade)
a >0 Γ
 n∈IN  2a k+1
∞
n > −1
2

 2 
n −ax
∫0 x e dx =  n + 1  = 1 ⋅ 3 ⋅ ...(2k − 1) π

für n = 2k (ungerade)
2a 

k +1

k +1
 2 
2
2 a

ax
∫ e sin (bx ) dx =
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Kugelkoordinaten-Trafos
Legendre-Polynome
Kugelflächenfunktionen
Laguerre-Polynome
Hermite-Polynome
Fouriertrafo (auch die der δ-Funktion)
trigonometrische Fkt.en (in Formelsammlung)
Gaußscher Satz
Virialsatz
Klausur:
• In welchem Zustand befindet sich das System nach der Zeit t, wenn die Störung gegeben ist (Vorl. S.137)
Noch zu klären/einzutragen:
• Frage Vorlesung Seite 135 1. Zeile Sin( ? ) t=E?
• Nolting Aufgabe & Lsg. Von 3.2.9
• Translationsoperator Ta siehe Jansen Übung 4.3
Nolting S 211/217
Rollnik S. 250f.
1
• Lorenz-Kurve-Formel: ...
• Greensche Funktion (Vorl. Seite 140 nachgehen) vgl auch Übung 1.2
• Symmetrisieren: Norltin 5.2 Seite 58 Aufgabe 1
sowie Formel 2.113 im Kapitel 2.3.3
• Drehmatrix: Drehung um Winkel ϕ um die z-Achse:
 cos ϕ − sin ϕ 0 


D z (ϕ) =  sin ϕ cos ϕ 0 
 0
0
1 

• Infinitesimaler Erzeuger:
Formel 5.39-5.40
5.43 vgl. Vorlesung vom 3.2.98
Zeitentwicklungsoperator Bolting 5.2 Seite 235/179
• Pauli-Matrizen 2- und 3-dimensional Seite 19f.
=============================================================
Begriffs-Definitionen:
Ein Operator A (bzw. U) bzw. eine Zahl heißt:
adjungiert:
( )
A + = A∗
T
(auch hermitesch konjugiert genannt)(Nolting S.140)
( )
Matrixelemente: A
Es gelten: A
++
+
nm
= A;
(A + B) + = A + + B+ ;
(α β)
antihermitesch:
= β α ;
(AB) + = B+ A + (Reihenfolge!);
(αA) + = c*A + mit α ∈ C
γ A α = α A+ γ ;
*
r
r
1+ = 1
A + = −A
es folgt dann: iA ist hermitesch
Sind A & B hermitesch, so ist der Komutator antihermitesch:
[rA, B]
Bahndrehimpuls:
+
= A ∗mn
= −[A , B]
r r+
r r
L = r×p
ist hermitesch: L = L
r h r
h r
L = (r × ∇ ) = r (e r × ∇ )
i
i
h r 1 ∂ r
1
∂ 
= r e r
− eϑ

i  r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ 
+
 − sin ϕ 
 cot ϑ cos ϕ  
 ∂ 
 ∂ 
h 
=  cos ϕ 
−  cot ϑ sin ϕ  
i 
 ∂ϑ 
 ∂ϕ 
−1

 
 0 
r
h2 
∂ 
∂  ∂2 
L2 = − 2 sin ϑ  sin ϑ  + 2 
sin ϑ 
∂ϑ 
∂ϑ  ∂ϕ 
beschränkt:
Bornsche Näherung:
Dirac-Bild:
Es gibt ein festes c > 0, so daß: A α ≤ c α
∀ α ∈ DA
Beschränkte lineare Operatoren sind stetig.
Siehe unter Wirkungsquerschnitt
(≡Wechselwirkungsbild)
H=H0+H1(t)
H0 ist der zeitunabhängige einfache (bekannter,gelöster) Hamilton-Operator
eines einfacheren Systems.
Das Störglied H1 (Störoperator) trägt dagegen eventuell eine explizite
Zeitabhängigkeit.
2
Häufig versteht man unter H0 das freie, nicht wechselwirkende System,
weährend H1 die Wechselwirkung erfaßt.
Die Idee des Diracbildes besteht nun darin, die dynamische
Zeitabhängigkeit, die aus der freien Bewegung (H0) resultiert, den
Observablen zu übertragen, während der Einfluß der Wechselwirkung H1
von den Zuständen übernommen wird. Das gelingt mit folgendem Ansatz:
ψ D (t ) = e
i
Ht
h
ψ S (t )
ψ D (t 0 ) = ψ H = ψ S (t 0 )

 i t

ψ D (t ) = T exp − ∫ dt ' H1 (t ')  ψ D (0 )
 h0


T : zeitgeordnetes Produkt (Vorlesung Seite 132)
t0 ist der vorgegebene Zeitpunkt, zu dem Heisnberg- und SchrödingerZustände zusammenfallen.
H zeitunabhängig => Heisenbergbild=Schrödingerbild
H1=0 => Diracbild=Heisenbergbild
Dirac-Schreibweise:
Siehe auch Nolting 5.1 Seite 196f., Seite 199! Vorlesung Seite 133
Der Eigenvektor wird durch seinen Eigenwert charakterisiert:
A ϕa = a ϕa
Das Integral
∫
→ A a = a a ist die Dirac-Schreibweise
+∞
−∞
ψ 1∗ψ 2 dV kann als Skalarprodukt der beiden quadrat-
integrablen Funktionen aufgefaßt werden. Es ist üblich geworden, dafür die
abkürzende Schreibweise
+∞
ψ 1 ψ 2 = ∫ ψ 1∗ψ 2 dV
−∞
zu verwenden. Die Elemente ψ 2 , ψ 1 heißen Zustandsvektoren. Aus
dem englischen “bracket” kommen die Namen bra für ψ 1 und ket für
ψ 2 .Diese Schreibweise wurde von Dirac eingeführt.
Die Zustandvektoren sind Vektoren eines komplexen Vektorraumes mit
orthonormierter Basis. Die Darstellung in Integralform findet in der
Diracschen Schreibweise ihre Entsprechug, so lautet das
Orthonormierungsintegral:
∫ψ
∗
m
ψ n dV = ψ m ψ n = δ mn
∗
Es gilt: ψ
= ψ
Den Erwartungswert eines Operators schreiben wir:
ψ L ψ = ∫ ψ ∗ Lψ dV
Die Hermitezität von L lautet in dieser Schreibweise: ψ L ψ = Lψ ψ
Drehimpuls:
Eigenwerte:
r
L2 ψ lm = h 2 l(l + 1) ψ lm
r
L2 Ylm (ϑ, ϕ) = h 2 l(l + 1) Ylm (ϑ, ϕ)
L z ψ lm = mh ψ lm
⇔
⇔
L z Ylm (ϑ, ϕ) = mh Ylm (ϑ, ϕ)
Rekursionsformeln für die Drehimpulseigenzustände j, m :
j, m =
( j + m )!  1 J  j−m


(2 j)!( j − m )  h − 
3
j, j
( j − m )!  1 J  j+m


(2 j)!( j + m )!  h + 
j, m =
L + = L x + iL y
j,− j
(Nolting 5.2 Seite 31)
L − = L x − iL y
[L + , L − ] = 2hL z
Jx = Jy = 0
Unschärferelation:
h
∆L α ∆Lβ ≥ ε αβγ L γ
2
r2
r2 r2
p , r und L bleiben generell von Drehungen unbeeinflußt.
Für ein Zentralpotential ist der Hamilton-Operator invariant gegen
Drehungen.
Dualer Raum:
Die Vektoren . sind Elemente des Dualen Raums U* zu U.
A ϕ exestiert nicht, aber A* ϕ : A * ϕ . = ϕ A .
Dyadisches Produkt:
Die Spektraldarstellung zeigt, daß man Operatoren aus Zuständen aufbauen
kann. Der einfachste Falls dieser Art ist das dyadische Produkt aus zwei
Zuständen α , β ∈Η :
Dαβ = α β
Dies darf natürlich nicht mit dem Skalarprodukt α β verwechselt
werden, das eine Zahl, keinen Operator darstellt. Die Anwendung von Dαβ
auf irgendeinen Zustandsvektor ψ ∈Η ergibt einen zu α parallelen
Zustand mit einer um α β
modifizierten Länge. Die Reihenfolge der
Zustände in Dαβ ist nicht vertauschbar. Vielmehr gilt:
(α
Ehrenfest'scher Satz:
Eigendarstellung/Eigenbasis:
β
)
+
= β α
Die Erwartungswerte von Ort und Impuls erfüllen die kanonischen
Differentialgleichungen der klassischen Mechanik.
Eigendarstellung (Spektraldarstellung) des Operators in seiner Eigenbasis:
Eigenvektoren von A=A+ bilden eine Basis:
A = ∑ a a A a' a' = ∑ a a a = ∑ a Λa
1
424
3
a ,a '
a
a
aδ aa '
()
f  : = ∑ f (a ) a a
a
= ∑ f (a )Λ a
a
Gilt [A,B]=0, so folgt aus: AB ϕ n ,α = BA ϕ n ,α = a n B ϕ n ,α ,
daß B ϕ n ,α
Eigenvektor zu A zum gleichen Eigenwert an ist.
Spezialfall: keine Entartung: ϕ n
Eigenwert/-zustand:
ist Eigenvektor zu B, sowie B=f(A)
Fazit: Vertauschbare Operatoren besitzen eine gemeinsame Eigenbasis (d.h.
gemeinsame Eigenvektoren)
Weiters zur Spektraldarstellung Skript S 69/73
Die Gesamtheit aller Eigenwerte bezeichnet man als Spektrum des
Operators A. Als Entartungsgrad bezeichnet man die Maximalzahl linear
unabhängiger Eigenzustände zu dem selben Eigenwert. Jede
Linearkombination ist selbst wieder Eigenzustand zu demselben Eigenwert.
Von herausragender Bedeutung sind die Eigenwertgleichungen
hermitescher Operatoren, da diese per Postulat mit den Observablen des
Systems identifiziert werden, wobei ihre Eigenwerte die möglichen
4
Meßwerte darstellen. Die zentrale mathematische Aufgabe besteht deshalb
darin die Eigenwertgleichung A a = a a für bestimmte, durch
physikalische Fragestellungen vorgegebene, lineare hermitesche Operatoren
A zu lösen, d.h. deren Eigenwerte und Eigenzustände zu bestimmen. Die
Resultate sind für den jeweiligen Operator spezifisch. Es gibt jedoch eine
Reihe von sehr wichtigen Eigenschaften, die für alle hermiteschen
Operatoren gültig sind:
1) Erwartungswerte sind reell
2) Eigenwerte sind reell
3) Eigenzustände sind orthogonal
4) Eigenzustände bilden eine VON-Basis
Eigenwertgleichung als "Zahlengleichung" durch Darstellung in einer
beliebigen Basis
{ v }:
vn A a = a vn a
n
Die Wahrscheinlichkeit bei einer Observablen A den Eigenwert an zu
messen/finden: wobei A ϕnν = a n ϕ nν ; rn-fache Entartung
diskret:
rn
Wψ t (a n ) = ∑ ϕ nν ψ t
2
ν =1
= ψt Λn ψt
; Λn : Projektor
kontinuierlich:
Wψ t (a ) da = ψ t Λ(a ) ψ t
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Zustand ψ t
Entwicklungsatz:
einen Meßwert im
Intervall [a,a+da] zu finden.
Jeder Vektor ϕ ∈Η läßt sich nach dem stets existierenden VON-System
entwickeln: d.h. Jeder beliebige Zustand kann nach den Eigenzuständen
eines hermiteschen Operators entwickelt werden.
ϕ = ∑ cj α j ;
cj = α j ϕ
j
Erhaltungsgröße:
Es gibt spezielle Operatoren, die auch in der Heisenberg-Darstellung
zeitunabhängig sind:
Konstante der Bewegung (Erhaltungsgrößen)
⇔ Observable C(H) mit: a)
[
]
∂C ( H )
= 0 und b) H ( H ) , C ( H ) = 0
∂t
So ist z.B. in einem abgeschlossenen System der Hamilton-Operator H selbst
eine Konstante der Bewegung.
Erwartungswert:
r
r r
r r r
r
r t = ∫ d 3rρ( r , t )r = ∫ d 3rψ ∗ ( r , t ) r ψ ( r , t ) = ψ r ψ
Diese Definition setzt voraus, daß ψ normiert ist. Mittelwerte werden in der
Quantenmechanik Erwartungswert im Zustand ψ genannt. Analog ist der
r
Erwartungswert einer allgemeineren Teilcheneigenschaft A ( r ) definiert:
ψAψ
r
r
r r
A ( r ) t = ∫ d 3rψ ∗ ( r , t )A( r )ψ ( r , t ) =
der sich mit der Zeit
ψψ
r
ändern kann, selbst dann, wenn A = A ( r ) nicht explizit zeitabhängig ist!
Fermis Goldene Regel:
Übergangsrate : Änderung der Wahrscheinlichkeit:
für plötzlich eingeschaltete Störung (sieh auch unter Störungsrechnung):
 (E − E 0 )t 
sin  n

2 
h
 n V (S ) 0
& 0→n (t ) =
w
h
En − E 0
5
2
2
2π
δ(E n − E 0 ) n V (S ) 0
t →∞
h
totale Übergangsrate: Γ = ∑ Γ0→ n in ein Band der Breite ∆E von "final"-
& 0→n (t ) =
Γ0→n := lim w
n∈f
Zuständen.
Fermis Goldene Regel: Γ =
mit ρ(E n ) :=
Fourier-Transformation:
∑ δ(E
n∈f
f
2
2π
n V (S ) 0 ρ(E n )
h
− E 0 ) Zustandsdichte: Anzahl der Zustände in
einem Energieintervall, d.h. Zustandsdichte der final states im Band der
Breite ∆E zentriert um En. (Vorl. Seite 135)
(dimensionsunabhängig!) Bsp für 3D: Seite 141
symmetrische Definition:
+∞
1
~
f (x ) =
f (k ) e ikx dk
∫
2π −∞
+∞
~
1
f (k ) =
f (x )e − ikx dx
∫
2π − ∞
+∞
∫e
ikx
dk = 2πδ(x )
−∞
+∞
+∞
dk dω
δ(x )δ(t ) = ∫
⋅ 1 ⋅ ei (kx −ωt )
∫
2π −∞ 2π
−∞
Beachte: Die δ-Fkt. ist nicht generell die Fouriertransformierte von 1,
sondern nur im Fall einer entsprechenden Definition der
Fouriertransformation(Zitat Löwen).
ψ (x , t ) =
1
2π
∞
∫ φ(k )e
1
dk
−∞
Wellenpaket 3-dim.:
ψ (x , t ) =
i (kx −ω ( k )t )
∫ ()
r rr
φ k e i (k⋅r −ω(k )t ) d 3 k
mit
(2π)
rr
r i (kr⋅rr −ω(k )t )
r
φk e
= φ k , t e i k⋅ r
r 2 3
r 2 3
Es gilt: ∫ ψ ( r , t ) d r = ∫ φ k , t d k , d.h. ist ψ normiert, so auch φ.
r
ψ (r , t ) : Ortsdarstellung der Wellenfunktion
r
r
r
φ k , t : Impulsdarstellung der Wellenfunktion p = hk
3
2 V
()
( )
( )
( )
Gemisch:
Zustand ψ j ∈ Γ sei mit der Wahrscheinlichkeit wj (statistisches Gewicht)
präpariert (d.h. nicht die QM-Wkt., sondern die subjektive Wkt.)
{
Γ = ψj
}
ψ j = 1; j = 1..N ; i.a.: ψ i ψ j ≠ δ ij
0 ≤ w j ≤ 1;
N
∑w
j=1
j
=1
Man könnte die wj z.B. alle gleich wählen. In der Quantenstatistik gibt es
dann eine Möglichkeit die wj zu berechnen.
statistischer Mittelwert:
(
)
N
N
 N
 
A := ∑ w j ψ j A ψ j = ∑ w jSp Λ ψ j A = Sp  ∑ w jΛ ψ j  A 
 j=1

j=1
j=1
 

Definiere statistischer Operator eines Gemisches von Wellenfunktionen:
6
N
ρˆ := ∑ w j Λ ψ j
j=1
ρ ist statistischer Operator
+
⇔ ρ = ρ ; ρ ≥ 0 (d.h. auch Eigenwerte ≥0); Sp(ρ)=1
& (t ) −
vonNeumann-Gleichung: ρ
i
[H, ρ(t )]
h
Besonderheit: ρ ist im Schrödigerbild zeitabhängig.
im Heisenbergbild zeitunabhängig
Glauber (bzw. Baker-Haussdorf)-Formel:
λ Â λ B̂
e e
Greensche Funktion:
=e
(
)
λ Â + B̂ +
[ ]
λ2
 , B̂
2
der freien Schrödinger-Gleichung:
Die SG ist nichts anderes als eine Diffusionsgleichung mit einer imaginären
Diffusionskonstante.
∂
ih ∂ 2 
 G (x , t ) = δ(x ) δ(t )
 −
2 
t
2
m
x
∂
∂


 x 2m 
m

exp i
⇒ G (x , t ) = θ(t )
2πht
 2ht 
 π
exp − i 
142443
=(1−i ) 1/ 2 Phasenfakt or
Hamiltonsche Bew.-Gl.:
G(x,t) beschreibt die Ausbreitung eines Teilchens der Masse m, das zur Zeit
t=0 im Punkt x=0 gemessen wurde. Das Teilchen befindet sich für jede noch
so kleine Zeit t mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem beliebigen Punkt
im Raum.
Bemerkung: Eine Greensche Funktion gehöhrt immer zu einer bestimmten
mitanzugebenden Differentialgleichung.
formales Äquivalent zu den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
Harmonischer Oszillator:
H(p, q ) =
ω2 =
b φ n = n φ n −1
[b,b+]=1
d r
∂H
PH (t ) = − r
dt
∂Q H
d r
∂H
Q H (t ) = r
dt
∂PH
p2 1
+ mω2 q 2
2m 2
1 
p 
b+ =
 mω q − i

2h 
mω 
b + φ n = n + 1 φ n +1
(
h
b + b+
2mω
Ortsoperator: q =
k
m
1 
p 
b=
 mω q + i

2h 
mω 
)
hmω
b − b+
2
+
1
H = hω b b + 2 = hω(n̂ + 12 )
Eigenwerte: E n = hω(n + 12 ) mit n ∈ IN
n
1
b + φ0
Die normierten Eigenfunktionen: φ n =
n!
Impulsoperator: p = −i
(
(
)
)
( )
1
 mω  4 − 2 x 2
in Ortsdarstellung φ0 = 
 e
 hπ 
7
1
mω
(in der Vorlesung als Abkürzung)
h
und α =
1
 mω  4
φ n (x ) = 

 hπ 
Heisenbergsche Bew.-Gl.:
1
e
2 n n!
1
− x2
2
H n (x ) mit Hn(x) : Hermite-Polynome
nur für ∂ t H = 0 !
i
d (H )
∂A (H )
A (t ) = H (H ) , A (H ) (t ) +
dt
∂t
h
Wenn ∂ t H ≠ 0 verwende das Schrödingerbild, denn nur für ∂ t H = 0
[
]
gilt:
ψt = e
Hermite-Polynome:
i
− Ht
h
ψ t =0 =: U (t ) ψ t =0
U : Evolutionsoperator
(n-ten Grades) sind für reelle x reellwertig
n
2 d 
2
n
H n (x ) = (− 1) e x   e − x
 dx 
x2
2
x2
n
d  −

= e x −  e 2
dx 

=
+∞
2
1 n
n
2 ∫ dy (x + iy ) e −y
π −∞
H n (− x ) = (− 1) H n (x )
n
H 0 (x ) = 1
H 3 (x ) = (2 x ) − 6(2 x )
H1 (x ) = 2x
H 2 (x ) = (2 x ) − 2
2
H 4 (x ) = (2 x ) − 12(2x ) + 12
3
4
2
Sie sind Bestandteil der ortsabhängigen Wellenfunktionen des
harmonischen Oszillators:
1
 mω  4
n
ϕ n (x ) = 
 n!2
 hπ 
hermitesch:
(
)
bzw.
∫ψ
−
1
2
e
(=selbstadjungiert)
A = A+
∗
1
−
x2
2
H n (x )
mit n=0, 1, 2, ...
(
)
∗
L$ ψ 2 dV = ∫ L$ ψ 1 ψ 2 dV
Hermitesche Operatoren sind gleichzeitig linear.
Hermitesche Operatoren sind die quantenmechanischen Observablen.
Ist A hermitesch, sind die Eigenzustände/-vektoren von A orthonormal.
Die Diagonalelemente einer hermiteschen Matrix sind reell, daher auch die
Eigenwerte.
Die normierten Eigenvektoren eines beschränkten hermiteschen Operators
bilden ein abzählbares, vollständiges Orthonormalsystem (VONS).
Die Eigenwerte sind in diesem Fall diskret (diskretes Spektrum).
Es gibt stets eine unitäre Trafo, die A auf Diagonalgestalt bringt.
Diese ist dann aus den Eigenvektoren von A aufgebaut.
Ein hermitescher Operator bleibt nach einer unitären Transformation
8
A = UAU + hermitesch.
Das Produkt zweier hermitescher Operatoren A & B ist wieder hermitesch,
mit [ A ,B]= 0
+
+
+
= AB
wenn A , B = 0 . Denn: (AB) = B A = BA
Hylleras-Undherm-Theorem:
[
]
~
~
Es gilt: A, B hermitesch ⇒ A + B hermitesch
Für die in der Quantenmechanik verwendeten Operatoren verlangen wir,
daß sie selbstadjungiert(hermitesch) und linear sein sollen, damit das
Superpositionsprinzip gültig ist (Grainer).
Diagonalisiert man (d.h. bestimmt man die Eigenwerte) H in einer
endlichen passend gewählten Basis und ordnet die Eigenwerte der Reihe
~
nach: E 0 ≤ E1 ≤ E 2 ≤ ... , so gilt:
~
Eα ≤ Eα
1) ϕα : Orthonormierte Zustände
~
2) ϕα H ϕβ
à Matrix H
3) davon die Eigenwerte sind obere Schranken von H
A2 = A
idempotent:
infinitesimaler Erzeuger:
(noch einzufügen)
zu b inverses Element:
AB = BA = 1
komplex konjugiert:
a ∗ = (a1 + i a 2 ) = (a1 − i a 2 )
∗
( )
Beispiele: e
Kugelflächenfunktionen:
−1
;B= A
Ist a hermitesch, so ist auch b hermitesch.
(andere Formulierung ?) (Nolting S. 149 & 162 Aufg. 3.2.13 3)
ix *
= e − ix
r2
sind die Eigenfunktionen der Bahndrehimpulse L und Lz.
2l + 1 (l − m)! m
Pl (cos ϑ) e imϕ
4π (l + m )!
Ylm (ϑ, ϕ) =
*
Yl−m (ϑ, ϕ ) = (− 1) Ylm
(ϑ, ϕ)
m
Ylm (π − ϑ, ϕ + π ) = (− 1) Ylm (ϑ, ϕ) ist eine Inversion am Nullpunkt
r
r
(Raumspiegelung): r = (r , ϑ, ϕ) → − r = (r , π − ϑ, ϕ + π )
1
Y00 (Ω ) =
4π
l
Y10 (Ω ) =
3
cos ϑ
4π
Y1±1 (Ω ) = m
Y20 (Ω ) =
3
sin ϑ e ±iϕ
8π
(
Y2±1 (Ω ) = m
Y2± 2 (Ω ) =
R
Kugelkoordinaten:
∫ dV = ∫
0
)
5
3 cos 2 ϑ − 1
16π
15
sin ϑ cos ϑ e ±iϕ
8π
15
sin 2 ϑ e ±i 2 ϕ
32π
π
2π
∫
∫r
0
2
0
ϑ:Polarwinke l ϕ:Azimut
Kugelkoordinaten-Trafos
9
sin ϑ dϕ dϑ dr
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ cos ϕ
z = r cos ϑ
⇒ dV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ
r-Linie : Vom Koordinatenursprung ausgehender Strahl
ϕ-Linie: Zur x-y-Ebene paralleler Kreis (0..2π) mit Mittelpunkt auf der zAchse
ϑ-Linie: Halbkreis (0..π) mit Zentrum im Koordinatenursprung, berandet
durch die z-Achse
r
r
r
r
d r = dr e r + r dϑ eϑ + r sin ϑ e ϕ
∂ 1 ∂
1
∂ 
∇ =  ,
,

 ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ 
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:
r
r
1 ∂  2 ∂  L2
2 ∂
L2
∂
=
+
−
∇ = 2 r
−
r ∂r  ∂r  r 2h 2
∂r 2 r ∂r h 2 r 2
2
Laguerre-Polynome:
gewöhnliche Laguerre-Poynome mit p=0, 1, 2, ...
L p (z ) = e z
(
)
d p p −z
z e
dz p
Polynom p-ten Grades
zugeodnete Laguerre-Polynome folgen aus den gewöhnlichen durch k-fache
Differentiation:
(
p
dk
p!
z d
L (z ) = k L p (z ) =
e
z p −k e −z
p
dz
(p − k )! dz
k
p
)
sind Polynome (p-k)-ten Grades
und lösen folgende Differentialgleichung:
linear:
 d2
 k
d
 z dz 2 + (k + 1 − z ) dz + (p − k ) L p (z ) = 0


A( aϕ + bψ ) = a Aϕ + b Aψ mit a, b aus den komplexen Zahlen
Legendre-Polynome:
Pl (z )
(
)
l
1 dl 2
z −1
l
l
2 l! dz
sind die Lösungen der gewöhnlichen Legendre-Gleichung:
(
)
d

2 d
 dz 1 − z dz + l(l + 1) Pl (z ) = 0
P0 (z ) = 1
P3 (z ) =
P1 (z ) = z
(
1 3
5z − 3z
2
)
P2 (z ) =
(
Die zugeordneten Legendre-Polynome
(
Plm (z ) = (− 1) 1 − z 2
m
Pl− m (z ) = (− 1)
m
10
(
)
m
2
)
1 2
3z − 1
2
1
P4 (z ) = 35z 4 − 30z 2 + 3
8
dm
Pl (z )
dz m
(l − m )! P
(l + m )!
)
sind Lösung der verallgemeinerten Legendre-Gleichung:

d 
m2 
2 dP (z ) 
(
)
−
+
+
−
1
z
l
l
1
P(z ) = 0
dz 
dz  
1 − z 2 
(
)
und bilden ein vollständiges Orthogonalsystem im Intervall [-1,+1] und sind
nicht auf 1 normiert; vielmehr gilt: Pl (± 1) = (± 1)
(= Auf- und Absteiger oder Erzeuger- und Vernichter)
siehe unter Harmonischer Oszillator!
l
Leiter-Operatoren:
b + ψ n = n + 1 ψ n+1
b ψ n = n ψ n −1 ;
b+ und b sind nicht hermitesch, daher entsprechen diesen keine Observablen.
Die Erwartungswerte davon währen davon abgesehen immer Null.
Matrixschreibweise von Operatoren:
Die Matrixelemente sind durch die vorgegebene Basis eindeutig festgelegt:
A nm = ϕ n A ϕ m
Moment:
Ist der Hilbert-Raum n-dimensional, so handelt es sich bei A um eine
quadratische (n x n)-Matrix. Ist die Basis abzählbar unendlich, so ist die
Matrix formal (∞ x ∞).
n-tes Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x):
+∞
x n = ∫ dx x n P(x )
−∞
Beispiel: Für die Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P(x ) =
 (x − x )2 
1

exp −
2

2
σ
σ 2π


ergibt sich:
x1 = x , d.h. der Erwartungswert
x 2 = x 2 + σ2
von Neumansches Postulat:
Eine Verteilung läßt sich aus der Kombination aller Momente
zusammensetzen.
Unmittelbar nach der Messung (1. Art) zur Zeit t liegt der Zustand
ψ a ,∆ (t ') =
Λ a ,∆ ψ t
Λ a ,∆ ψ t
vor (Zustandsreduktion beim Meßprozeß).
∆ : Auflösegenauigkeit des Meßgerätes bei der Messung
Λ a ,∆ =
∑Λ
n
{n|a n ∈[a ,a + ∆ ]}
Durch die "Reduktion" und die anschließende Umnormierung unterscheidet
sich das quantale Superpositionsprinziep grundsätzlich vom klassischen.
normal:
Norm:
AA + = A + A (??)
2
φ φ = (φ, φ) = φ
φ =
(φ, φ)
1 = ∫ c ⋅ ψ dV = c 2 ∫ ψ dV ⇒ c =
1
∞
Normierbarkeit:
∫ ψ(q )
2
⇒
dq = ψ ψ < ∞
∞
Normierung:
von ψ:
!
2
2
⇒ cψ ist dann normiert.
11
∫ψ
2
dV
Ortsdarstellung:
r̂
r
r
r
ϕ(r ) = r ϕ mit { r } Eigenfunktionen zu Q
r
r
r
r̂
ϕ k = k ϕ mit k Eigenfunktionen zu P
r r
r r
r
r
r ψ (r ) = ∫ d 3 r ' δ(r − r ') ψ (r ) =ψ (r )
1
424
3
r
{ }
()
r im Ortsraum
Parität:
Die Wirkung des Paritätsoperators Π auf Wellenfunktionen ϕ(q) oder
Ortseigenzustände q :
Πϕ (q ) = ϕ (− q )
+
−1
Π ist hermitesch und unitär: Π = Π = Π
Als Eigenwerte Πψ = πψ kommen nur π = ±1 in Frage.
(
)
Die geraden Wellenfunktionen sind Eigenfunktionen zum Eigenwert π = +1
: gerade Parität
Πψ (q) = ψ (q )
Die ungeraden Wellenfunktionen zum Eigenwert π = –1 : ungerade Parität
Πψ (q ) = −ψ (q )
Jede beliebige Wellenfunktion kann in einen Anteil mit gerader und einen
mit ungerader Parität zerlegt werden.
Der Orts- und der Impulsoperator q & p sind beide ungerade.
Der Hamilton-Operator ist genau dann gerade, wenn V(q) = V(–q).
(siehe auch Nolting Seite 236f.)
Produkträume:
U (12 ) = U (1) ⊗ U (2 ) (unitäre Vektorräume)
ϕ(1) , ϕ(2 ) ψ (1) , ψ (2 ) := ϕ(1) ψ (1) ϕ(2 ) ψ (2 )
aϕ + bψ, x = a ϕ, x + b ψ, x
ϕ, aψ + bx = a ϕ, ψ + ϕ, x
Projektor:
P = P+ = P 2
d.h Projektoren sind hermitesch, linear & idempotent (für
eigentliche(normierbare) Zustandsvektoren)
Außerdem sind sie unabhängig von der Basis in der A definiert ist. (etwas
vage; siehe dazu Nolting S. 162 Nr.:3.2.131)
Den Projektionsoperator, der einen beliebigen Zustand ψ auf den
normierten Zustand a mit a a = 1 projeziert bezeichnet man mit Pa:
Pa ψ = a ψ a = a a ψ
⇒ Pa = a a
( )=
Der Projektionsoperator Pa α
α α besitzt KEIN Inverses, da alle
ψ ∈ H mit denselben α ψ durch Pa ( α
( )ψ
abgebildet werden: Pa α
) auf den selben Vektor
= α α ψ
Rechenregeln: Nolting Aufg. 3.2.13 4) Seite 162) sowie Aufg 3.2.20 4)
Seite 342, Vorlesung S62: P = ϕ ψ )
α α = P( α
) projeziert einen beliebigen Zustandsvektor
Richtung α
Die Wahrscheinlichkeit einen Wert ai zu messen ist gleich dem
Erwartungswert des Projektionsoperators Pa i = a i a i :
w (a i ψ ) = a i ψ
2
12
= ψ Pa i ψ
ψ auf die
Die Eigenwerte sind 0 und 1. Die Erwartungswerte liegen zwischen o und
1.
positiv:
Quantisierungsregeln:
A = BB+
Symmetrisieren: (noch nachtragen!!!!);
Wenn zwei Variablen im klassischen kanonisch sind, d.h. gleiche
physikalische Bedeutung haben, so kann man bei Übertragung in die QM
eine der beiden direkt quantisieren, d.h. ein Operatordach darüber
schreiben.
Auch in der QM muß dann ein Kommutator von zwei Paaren kanonischer
Variablen gleich sein:
[A, B] = [A′, B′]
reiner Zustand:
Ritsches Verfahren:
Der gesamte Satz verträglicher Observablen des Systems wurde präpariert,
so daß der Zustand vollständig präpariert ist (Skript Seite 85/86)
(Variationsverfahren)
exakt sei: H ψ α = E α ψ α
Der Grundzustand sei nicht bekannt: E0 ≤ E1 ≤ E2 ≤ ...
Bekannt sei ein Zustand ϕ , der den Grundzustand vermutlich
approximativ beschreibt, dann gilt:
ϕ H ϕ ≥ E0
für ϕ ϕ = 1
d.h. Der Erwartungswert von H in einem beliebigen normierten Zustand ist
eine obere Schranke für E0.
Ergänzung: Wenn weiterhin ψ 0 ϕ = 0 , dann ist ϕ H ϕ ≥ E1 sogar
eine obere Schranke für die Energie des ersten angeregten Zustandes.
Ritzsches Verfahren:
1) parametrisiere ein normiertes ϕ mit n Variationsparametern
r
r
α = (α1 ,...α n ) : ϕ = ϕ(α )
r
r
r
2) berechne den Erwartungswert ϕ(α ) H ϕ(α ) als Funktion von α
3) minimiere (d.h. keine Sattelpunkte oder Maxima) den Erwartungswert
bezgl. der Variationsparameter durch Lösung von:
r
r
∂
ϕ(α ) H ϕ(α ) = 0
∂α i
Das Ritzsche Verfahren ist für die Näherung von Grundzustandsenergien oft
erstaunlich genau, weniger jedoch für die Grundzustände.
Schrödinger-Gleichung:
Es handelt sich um eine Eigenwertgleichung des Hamilton Operators
H=
r
r
r
p2
h2 2
+ V( r ) = −
∇ r + V( r )
2m
2m
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
∂
r
r
Hψ ( r , t ) = ih ψ ( r , t )
∂t
spielt in der QM die gleiche Rolle, wie die Newtonsche Gleichung
r
m&r& = −∇V in der klassischen Mechanik. Eigentlich ist die Schr.-Gl.
streng deterministisch. Sie gilt deshalb nur, wenn ich das System in Ruhe
lasse und nicht zu den Zeitpunkten, zu denen ich messe.
r
Bei V(r ) unabhängig von t (d.h. stationären Zuständen) kann die normale
zeitanhängige tSG in die zeitunabhängige SG überführt werden.
zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
r
r
Hφ( r , t ) = Eφ( r , t )
13
r
r − hi Et
durch Ansatz: ψ (r , t ) = φ( r ) ⋅ e
rr
r
i k⋅ r
freies Teilchen: φ(r ) = C ⋅ e
mit k : Wellenvektor
(alle möglichen Formen (insbes. die eindimensimale) (Nolting Seite 78ff)
Potentialunabh. Lsg. der Schr.-Gl. (Nolting Seite 226ff mit Weg)
Die Schrödinger-Gleichung läßt sich nicht aus ersten Prinzipien ableiten!
Sie hat eher die Bedeutung eines Axioms, zu dem man durch experimentelle
Bestätigung zutrauen gewonnen hat.
Standardansätze:
r
1) Ebene Welle: ψ(r , t ) = αe
(
rr
i k ⋅ r − ωt
)
nach rechts laufende Schwingung: e
(nach links: e
ω(t ) =
(
rr
− i k ⋅ r − ωt
(
rr
i k ⋅ r − ωt
)
) ) erfüllt die Schrödingergleichung nur, wenn gilt:
hk 2
h2k 2
⇔ E = hω =
2m
2m
r
Schwierigkeiten macht die Normierbarkeit, da ψ(r , t ) = αe
quadratintegrabel ist.
(
rr
i k ⋅ r − ωt
) nicht
r ( ())
(
∫ r )
~ (k ) um Quadratintegrabilität zu erreichen.
Wahl der Amplitudenfunktion ψ
r
~k e
2) Wellenpaket ψ(r , t ) = d k ψ
3
rr
i k ⋅r − ω t t
Spezielles Wellenpaket in Form der Gauß-Glocke:
( )
ψ(z,0 ) = πb 2
−
1
4
 z2 
exp − 2  exp (ik 0 z ) (Nolting S. 96)
 2b 
2*b = Halbwertsbreite
Nach der Zeit t =
3
m 2
b hat sich die Anfangsbreite des Pakets (2b)
h
gerade verdoppelt.
---------------
k2 =
2m
(E − V ) = − κ 2
h
Radiale Schrödinger Gleichung(für ein Zentralpotential):
hat die gleiche Struktur, wie bislang, nur daß r=0..∞ sein kann.
r
Durch Ansatz ψ(r ) = R (r ) ⋅ Ylm (ϑ, ϕ) erhält man:
 h 2 d 2 h 2 l(l + 1)

 − 2m dr 2 + 2mr 2 + V(r ) (r R (r )) = E(r R (r ))


Def: u(r):=r R(r)
h2
u ' ' (r ) Veff (r ) = E ´u (r )
2m
h 2 l(l + 1)
+ V(r ) (erster Term ist Zentrifugalpotential)
mit Veff (r ) =
2mr 2
−
Ansatz:
u (r ) = r x ⋅ e − γr ⋅ g (r )
2
↑
↑
r →0
r →∞
↑
Übergang
Ansatz für g(r) als Potenzreihe: g(r ) =
n
∑β r
ν =0
abbrechen, da u(r) normierbar sein muß!
analoger Ansatz:
14
ν
ν
muß für ein bestimmtes n
u (r → 0) = a r l+1
A sin (kr ) + B cos(kr ) für E > 0
u (r → ∞ ) =  −κr
für E < 0
B e
Seperabilitätsaxiom:
E>0 : Teilchen kann ins unendliche entkommen (kontinuierliches
Spektrum)
E<0 : räumlich lokalisierte (gebundene) Zustände.
Ist a ein eigentlicher Hilbert-Vektor, so ist das Spektrum sicher diskret
mit höchstens abzählbar unendlich vielen Eigenzuständen und Eigenwerten.
Skalarprodukt:
Definition: φ ψ = (φ, ψ ) = d r φ (r ) ψ(r )
∫
3
*
Die Schreibweise φ ψ für das Skalarprodukt ermöglicht im Gegensatz zu
(φ, ψ ) zwischen Zeilen- & Spaltenvektoren zu unterscheiden.
M
 
a b = (La L) b 
M
 
siehe auch unter Dirac-Schreibweise
Spektraldarstellung:
∑a
eines Operators: A =
j
aj aj
j
wobei eine spezielle Darstellung des Einheitsvektors: 1 =
∑a
j
aj
j
Spur einer Matrix (Operator):
Störungsrechung:
Summe ihrer Diagonalelemente
Wichtiger Satz: Die Spur einer Matrix ist unabhängig von der Darstellung,
d.h. unabhängig von der verwendeten VON-Basis.
Sp(AB)=Sp(BA)
Sp(ABC)=Sp(CAB)=Sp(BCA)
Sp(A) ist unabhängig von der Basiswahl bzw. ob diese orthonormiert ist.
(Regeln zur Spur: Nolting Aufg. 3.2.25)
zeitunabhängige:
mit H 0 ψ n
H = H0 + λ H1
(0 )
nicht entartet:
es gibt eine Potenzreihenentwicklung:
En(λ) = En(0) + λ En(1) + λ2 En(2) + ...
ψ n (λ ) = ψ n
(0 )
+ λ ψn
(1)
+ λ2 ψ n
= En
(2 )
(0 )
ψn
(0 )
+ ...
Energiekorrektur & Zustandskorrektur:
1.Ordung:
En
(1)
ψn
(1)
= ψn
(0 )
H1 ψ n
= − ∑ ψm
En
(0 )
=−∑
m(≠ n )
ψm
(0 )
Em
15
ψm
(0 )
Em
m (≠n )
2. Ordnung:
(2 )
(0 )
(0 )
H1 ψ n
− En
(0 )
H1 ψ n
− En
(0 )
(0 )
(0 )
(0 )
( < 0 für den Grundzustand)
ψn
(2 )
=
∑ ∑ψ
m (≠ n ) q (≠n )
− En
(1)
∑
m (≠ n )
ψm
(0 )
(E
m
ψm
(0 )
(E
(0 )
(0 )
(0 )
m
ψm
(0 )
H1 ψ q
− En
(0 )
H1 ψ n
H1 ψ n
(0 )
− En
(0 )
)(E ( ) − E ( ) )
0
q
n
(0 )
m
ψq
q
(0 )
(0 )
)
2
Die Näherung kann man als zufriedenstellend annehmen, wenn:
ψn
(0 )
H1 ψ n
(0 )
2
<< E m
(0 )
− En
(0 )
entartet:
im ungestörten System: En(0) sei rn-fach entartet
Die Entartung kann unter Einwirkung der Störung aufgehoben werden.
{ψ } spannt einen r -dimensionalen Eigenraum auf. Ein allgemeiner
(0 )
n
nα
Eigenzustand zum Eigenwert En(0) kann geschrieben werden als:
ψn
(0 )
rn
= ∑ c α ψ nα
(0 )
α =1
Folgendes
∑ c (H
α
α
βα
1n
)
(1)
− E n δβα = 0
ist lineares, homogenes Gleichungssystem für die richtigen
βα
Entwicklungskoeffizienten cα mit Störmatrix: H1n
(ψ
nβ
(0 )
H1 ψ nα
(0 )
)
Es hat nur dann nichttriviale Lösungen, wenn die Sekulardeterminate
(
(1)
βα
)
verschwindet: det H1n − E n δβα = 0
Davon die Eigenwerte sind die gesuchten Enγ(1) mit γ=1..rn: d.h. löse:
Eigenwertgleichung (Polynom rn-ten Grades)
Im nächsten schritt löst man für jedes γ das homogene Gl.-Syst. und erhält:
cα → cαγ
Sind die Enγ(1) paarweise verschieden, so ist mit Fallunterscheidung:
1) Alle Enγ(1) paarweise verschieden, Entartung vollständig aufgehoben.
Dann legen die cαγ eindeutig die richtigen Zustände nullter Ordnung fest:
ψ nγ
(0 )
rn
= ∑ c αγ ψ nα
α =1
(1)
E nγ δ γε = ψ nγ
ψ nχ
Störungsrechung:
(0 )
(0 )
ψ nγ
(1)
(0 )
H 1 ψ nε
(0 )
rn
ψ nχ
1
=
(1)
(1) ∑ ∑
E nγ − E nχ m ( ≠ n ) ε=1
(0 )
H1 ψ mε
En
(0 )
(0 )
ψ mε
− Em
Lösung des vollen Problems in 1. Ordnung: Enγ ≈ En(0) + Enγ(1)
2) Die Enγ(1) noch ganz oder teilweise entartet.
wird nicht weiter untersucht. (Siehe Nolting 5.2 Seite 162)
zeitabhängige:
H(t ) = H 0 + H1 (t )
Übergangswkt. zur Zeit t in den neuen Zustand gekommen zu sein:
w 0→n (t ) = n ψ (S ) (t )
2
= n ψ (D ) ( t )
2
Übergänge 1. Ordnung:
1
w 0→n (t ) = 2
h
t
∫ dt' n H (t ') 0
2
(D )
1
0
(S )
plötzlich eingeschaltete Störung: H1
16
(t ) = V (S) θ(t )
(0 )
(0 )
H 1 ψ nγ
(0 )
 t

4 sin 2  (E n − E 0 )
 2h
 n V (S ) 0
w 0→n (t ) =
2
(E n − E 0 )
(S )
Periodische Störungen: H1
w 0→n (t ) =
1
n V (S ) 0
4
2
(t ) = V (S) cos ωt θ(t );
ω>0
2
i

i

exp t (E n − E 0 + hω) − 1 exp t (E n − E 0 − hω) − 1
h

h

*
+
E n − E 0 + hω
E n − E 0 − hω
2 Fälle:
1) En>E0:
2. Summand dominiert
System absorbiert Energie hω
und geht in einen angeregten Zustand über
2) En<E0:
1. Summand domminiert: "stimmulierte Emission"
Die Störung zwingt das System sich abzuregen
Streuung:
Maß für die Breite der Verteilung: ∆A =
statistischer Operator
Siehe auch unter Wirkungsquerschnitt;
siehe unter Gemisch
stetig:
Für jede Folge
Tunnelwahrscheinlichkeit:
Für eine Stufen-Potentialbarriere gilt die Transmissionswahrscheinlichkeit:
T=
T=
{α }→
n
α gilt: {A α n
1
2
1
1
1 +  α −  sin 2 (ql )
α
4
1
2
A2 − A
2
}→ A α
für ε>U0
1
1
1 +  α +  sinh 2 (ql )
α
4
für ε<U0
mit l : Barrierenlänge
q = ε − U0 ; q = q / ε
q = iq
Dies läßt sich nähern für ε nicht zu nahe an U0 durch: T ≈ exp (− 2ql )
Für eine allgemeine Potentialbarriere V(x) gilt näherungsweise, wenn die
Transmission nicht zu groß ist:
17
2
 2 x2

2
T = t ≈ exp − ⋅ ∫ 2m(V(x ) − E ) dx 
 h x

1


x2


= exp − 2 ⋅ ∫ (U(x ) − ε ) dx 


x1


2m
2m
mit ε = 2 E und U (x ) = 2 V (x )
h
h
Übergangsrate:
uneigentliche Vektoren:
siehe unter Fermis Goldene Regel
uneigentlicher Eigenvektor:
verallgemeinerte Basis (kontinuierlich, statt diskret)
In der Orthonormierungsbedingung für eigentliche Vektoren
α i α j = δ ij wird bei uneigentlichen Vektoren durch die δ-Funktion
ersetzt α p′ α p = δ(p′ − p ) .
Formal bedeutet dies, daß Dirac-Vektoren eine unendlich große Norm
(Länge) besitzen, andererseits aber auch beliebig dicht benachbarte
Vektoren bereits orthogonal zueinander sind.
Die zugrundeliegende mathematische Idee besteht darin, die uneigentlichen
Zustände über Grenzwertprozesse aus den eigentlichen entstehen zu lassen.
Verallgemeinerte Notation:
∑


:
∫ da 
a
∫
sowie
a
δ a ,a ′

 : δ(a , a ′)
δ(a − a ′ )
Als "erweiterten" Hilbertraum bezeichnet man dann als die Menge der
eigentlichen und uneigentlichen Zustandsvektoren.
Weiteres zu eigenlichen (Hilbert-)Vektoren & uneigentlichen
(Dirac-)Vektoren siehe Nolting Seite 136ff
unitär:
UU + = U + U = 1 ⇔ U + = U −1
( )
Matrixelemente: U
−1
nm
= U∗mn
U = e iϕ mit ϕ ∈ IR
Die Eigenwerte eines unitären Operators sind komplexe Zahlen mit Betrag
1.
unitäre Transforation:
Mit der unitären Trafo A = UAU
+
[
]
folgt: A , B = 0 ⇒
[A, B] = 0
(Zum Aufbau einer unitären Trafo Nolting S. 345 Aufg. 3.2.23 sowie
S.152,158)
entspricht im reellen der Orthogonalität (???)
Norm und Winkel bleiben erhalten, d.h. eine unitäre Trafo ändert die Physik
nicht.
Unschärferelation:
allgemeine: ∆A ∆B ≥
1
[A, B]
2
Orts-Impuls-Unschärfe-Relation: ∆Q α ∆Pβ ≥
h
δ αβ
2
∆Q α sagt nichts über die Genauigkeit einer Ortsmessung aus.
Für eine Form der Zeit-Energie-Unschärfe wähle in der allg. Relation:
∂tA = 0 ,
⇒
[A, H] t
B = Ĥ ,
d
= ih
A t
dt
18
∂ t Ĥ = 0 ,
∆A =
∆ t =0 Ĥ = ∆E
A2
t
− A
2
t
φ t = U (t ) φ
A t = φt A φt
⇒ ∆ t A ∆E ≥
Variationsrechung
Vertauschbar:
h d
A
2 dt
t
siehe Ritzsches Verfahren
Die linearen, hermiteschen Operatoren A und B sind genau dann
vertauschbar [A,B]=0 , wenn sie ein gemeinsames VON-System ϕ n als
Eigenzustände besitzen.
τ
r
= r ∇V
1
zeitlicher Mittelwert: T = lim ∫ T (t )dt
τ→ ∞ τ
0
Virialsatz:
2
vollständig:
Ein Orthonormalsystem
{ϕ
n
mit ϕ n ϕ m = δ nm } heißt vollständig
(VONS) oder Basis, wenn gilt:
∑ϕ
ϕn = 1
n
n
d.h. man kann jeden Vektor durch Projektionen auf die Basisvektoren
darstellen.
ϕ = ∑ α n ϕn
n
= ∑ ϕn ϕ n ϕ
123
n
(Entwicklungssatz)
αn
Die komplexen Zahlen αn werden ϕn-Darstellung von ϕ gennant. Sie
repräsentieren sozusagen den Vektor ϕ . Sie sind die Komponenten von
ϕ in der Basis { ϕn }. Notwendige Bedingung für die Konvergenz dieses
sogenennten Entwicklungssatzes ist die Konvergenz von:
∑α
2
n
= ϕϕ = ϕ
2
n
In seperablen Hilberträumen gibt es immer ein VONS d.h. eine Basis.
Für ein vollständiges Orthonormalsystem gilt:
n m = δ nm
∑
&
n n =1
n
Wahrscheinlichkeitsinterpretation:
Die eigentliche Meßgröße ist die reelle Wahrscheinlichkeitsdichte
r
r 2
r
ρ( r , t ) = ψ( r , t ) . Die Wellenfunktion ψ ( r , t ) ist selbst der Messung
r
nicht direkt zugänglich, legt aber ρ( r , t ) eindeutig fest und ist zudem mit
der Schrödingergleichung berechenbar.
Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation schränkt die in Frage kommenden
mathematischen Funktionen stark ein:
r
∫ d r ψ( r , t)
3
2
=1
Weil eine Lösung der linearen Differentialgleichung (Schrödinger-Gl.) auch
dann Lösung bleibt, wenn man sie mit einer Konstanten multipliziert haben
wir etwas schwächer:
r
∫ d r ψ( r , t)
3
2
<∞
r
Insbesondere muß ψ ( r , t ) im Unendlichen “hinreichend rasch”
verschwinden. Als Wellenfunktionen kommen demnach nur
quadratintegrable Funktionen in Frage.
Es wurde bereits erwähnt, daß die im allgemeinen komplexwertige
r
r
r
Wellenfunktion ψ ( r , t ) = ψ ( r , t ) exp(iϕ( r , t ) ) nicht direkt meßbar ist.
Von physikalischer Bedeutung scheint nur das Betragsquadrat zu sein. Das
19
r
könnt dazu verleiten, die Phase ϕ( r , t ) für unwichtig zu halten. In vielerlei
Hinsicht ist dies auch gerechtfertigt, aber! Die Schrödinger-Gleichung ist
r
r
linear, d.h. mit ψ1 ( r , t ) und ψ 2 ( r , t ) ist auch jede Linearkombination
r
Wasserstoff-Atom:
r
r
Lösung: ψ ( r , t ) = α1 ψ1 ( r , t ) + α 2 ψ 2 ( r , t ) .
Natürlich kommt es in einem solchen Fall entscheidend auf die relative
Phase der beiden Partiallösungen an; man denke nur an das Ergebnis des
Doppelspaltexperimentes.
H-Atom (Coulomb-Potential):
V(r ) = −
Ze 2
4πε0 r
aB =
4πε0h 2
Bohrscher Radius
m ee 2
ER =
h2
m ee 4
=
= 13,605eV
2m e a 2B 2h 2 (4πε0 )2
Ungestörte Wasserstoffeigenzustände:
−
1
100 =
πa 3B
e
r
aB
r

r  − 2a B
1 −
e
200 =
2 2πa 3B  2a B 
1
210 =
1
cos ϑ r e
4 2πa 5B
21 ± 1 =
m1
8 πa
sin ϑ r e
5
B
−
r
2a B
−
r
2a B
e ±iϕ
ungestörte Wasserstoff-Eigenenergien: E n = −
( 0)
Z2E R
n2
ohne Spin n2-fach entartet (mit Spin 2n2-fach).
Es gilt: ψ n 'l 'm ' ψ nlm = δ nn ' δ ll' δ mm ' (d.h. alle orthonormal)
Die Eigenfunktionen lassen sich darstellen durch die Seperation in
Radialanteil (fnl) und Kugelflächenfunktionen(Ylm) bei Kernladung Z:
r
ψ nlm (r ) = f nl (r ) Ylm (ϑ, ϕ)
3
Zr
 Z 2 −
f10 (r ) = 2   e a B
 aB 
3
Zr
 Z 2 
Zr  − 2a B
 e
 1 −
f 20 (r ) = 2 
 2 a B   2a B 
3
Zr
1  Z  2 Zr − 2a B


f 21 (r ) =
e
3  2a B  a B
3
 Z  2  2 Zr 2(Zr )2  − 3a B
e
 1 −
f 30 (r ) = 2 
+
2 
3
a
3
a
27
a
B
B 
 B 
20
Zr
3
Zr
Zr  − 3a B
4 2  Z  2 Zr 
e

1 −

f 31 (r ) =
3  3a B  a B  6a B 
3
2
Zr
2 2  Z  2  Zr  − 3a B
   e

f 32 (r ) =
27 5  3a B   a B 
Wechselwirkungsbild:
siehe unter Diracbild
wesentlich selbstadjungiert:
A + = A ++
Wirkungsquerschnitt:
differentieller Wqs.:
( )
( )
r r
dσ jaus (auf Einheitsku gel )
=
= f k, Ω
dΩ
jein (pro Fläche )
2
r r
f k, Ω : Streuamplitude
r
Für Kugelsymmetrische Potentiale gilt: ψ kr ( r ) = e
rr
ik⋅r
( )
r r e ikr
+ f k, Ω
r
In Bornscher Näherung (für schwache Streuprozesse):
( )
(
)
r r
2m ~ r r
f k, Ω = −
V k '− k
4πh 2
r r r zentralsym .
r r
r
4π ∞
~ r r
V k '− k = ∫ d 3r V (r ') e −i (k '− k )⋅r = r r ∫ dr ' r ' V(r ')sin k '− k r '
k '−k 0
(
)
((
))
dσ
m2 ~ 2
= 2 4 V (q )
dΩ 4 π h
∞
4π
~
V(q ) =
r ⋅ sin (qr ) ⋅ V (r ) dr
q ∫0
mit
totaler Wqs.:
σ tot . = ∫
WKB-Methode:
dσ
dΩ =
dΩ
2π π
dσ
∫ ∫ dΩ dϑdϕ
0 0
quasiklassische Näherung; Entwicklung bis 1. Ordnung
 x

 x

d+
d−


u (x ) =
exp i ∫ dx ' k (x ') +
exp − i ∫ dx ' k (x ')




k (x )
k (x )




mit k (x ) =
2m
(E − V(x ))
h2
Die Konstanten d± und die unteren Integrationsgrenzen (klassische
Umkehrpunkte) müssen noch festgelegt werden. Die Gleichung bleibt auch
in klassisch verbotenen Bereichen anwendbar im Gegensatz zur HamiltonJacobi-Differentialgleichung. In der Nähe klassischer Umkehrpunkte
divergiert die Lösung, ist also unbrauchbar. Die WKB-Theorie ist nur weit
weg von Irgendwelchen Umkehrpunkten als physikalische sinnvolle
Näherung akzeptabel.
==============================================================================
==
Die verschiedenen Bilder der Quantenmechanik:
r
i r
− P⋅a
r
h
räumliche Translation: U (a ) = e
zeitliche Translation: U (t ) = e
i
− Ht
h
21
Schrödinger-Bild:
ψ S (t ) = U (t ) ψ S (0 ) = U(t ) ψ H
Operatoren zeitunabhängig: AS(t)=AS(0)
Bewegungsgleichungen:
∂
ψ S (t ) = H ψ S (t )
∂t
i
ρ& (t ) = [ρ, H ](t )
h
d
∂
A= A
dt
∂t
ih
Reiner Zustand:
Dichtematrix:
Observable:
(Schrödingergleichung)
Heisenberg-Bild:
A H (t ) = U + (t ) A H (0 ) U(t ) = U + (t ) A S U (t )
Zustände zeitunabhängig: ψ H (t ) = ψ H (0 )
Bewegungsgleichungen:
Reiner Zustand:
&H =0
ψ
ρ& H = 0
d
i
∂
A H (t ) = [H, A H (t )] + A H (Heisenbergsche-Bew.Gl.)
dt
h
∂t
Dichtematrix:
Observable:
Dirac-Bild:
H = H 0 + H1t
(siehe auch oben unter Dirac-Bild)
H0 ist der zeitunabhängige Hamilton-Operator eines einfacher zu behandelnden Systems. Das
Störglied H1t trägt dagegen eventuell eine explizite Zeitabhängigkeit.
Bewegungsgleichungen:
∂
ψ D (t ) = H1t D (t ) ψ D (t ) (Schrödinger-Gleichung)
∂t
i
ρ& D (t ) = ρ D , H1t D (t )
h
d
i
∂
A D (t ) = [H 0 , A D (t )] + A D
dt
h
∂t
ih
Reiner Zustand:
[
Dichtematrix:
Observable:
]
Wellenmechanik:
r
r
Quantenmechanik in Ortsdarstellung: ψ(r , t ) = r ψ S (t )
Heisenberg- und Schrödingerbild: H
H
= U + HSU
U=e
i
− HSt
h
H H = HS
===========================================================================
Funktionen von Operatoren: (Nolting Seite 153f)
f (A ) := ∑ f (a ) a a
für Operatoren, deren Eigenbasis vollständig ist (Script S: 69...)
a
Beispiele:
e iAt ist unitär, wenn A hermitesch ist
U (t ) = e
speziell:
r
U (a ) = e
−
e
H
k BT
i
− Ht
h
irr
− P⋅a
h
: zeitliche Translation (Propagator)
: räumliche Translation
thermodynamischer Dichteoperator
22
A n ψ = A n−1 (A ψ
Potenzen: A = 1
0
Potenzreihen: e =
Â
∞
1
∑ n! Â
)
n
n =0
Polynome: Pn (A ) = c 0 1 + c1A + ... + c n A
mit ci ∈ C
n
allg. Operatorfunktionen:
f (A ) a = f (a ) a : Eigenwertgleichung
[f (A ), A] = 0
Ableitungen & Regeln:
1) Ableitung nach einem reellen Parameter:
dA
A (η + ε ) − A(η)
= lim
ε
→
0
dη
ε
d
(AB) = dA B + A dB
dη
dη
dη
dA −1
d −1
A
A = − A −1
dη
dη
n
dA n −µ
d n
A ; n = 1,2,...
A = ∑ A µ−1
dη
dη
µ =1
2) Ableitung nach einem Operator
d
f (A + ε1) − f (A )
f (A ) = lim
ε→ 0
dA
ε
Es gelten die üblichen Differenziationsregeln,
wobei auf die Reihenfolge der Operatoren zu achten ist.
d
(f (A ) + g(A )) = d f (A ) + d g (A )
dA
dA
dA
d
(f (a )g(A )) = df g(A ) + f (A ) dg
dA
dA
dA
d n
d cA
A = nA n−1
e = c e cA
dA
dA
==============================================================================
==
Basisabhängige Darstellung
Ortsdarstellung:
Impulsdarstellung:
r
p$ → p
h
∇r
i
q$ → q
p$ →
ψ ( t ) → ψ (q , t )
h
q$ → − ∇ p
i
ψ ( t ) → ψ ( p, t )
 h ∂
A (q$ , p$ ) → A q,

 i ∂q 
 h ∂ 
B( q$ , p$ ) → B −
, p
 i ∂p 
Orts- und Impulsoperator haben ein kontinuierliches Spektrum
h=
h
2π
==============================================================================
=
Der Hilbert-Raum:
23
gestattet es die Grundlagen der Quantentheorie allgemein und unabhängig von speziellen Darstellungen zu
formulieren. Dazu wird folgende Abbildung postuliert:
Quantensystem ⇔
Hilbert-Raum H
Reiner Zustand ⇔
Hilbert-Vektor ψ
Hilbert-Raum H der Quadratintegrablen Funktionen:
1) H ist ein komplexer, linearer Raum
2) H ist ein unitärer Raum (man kann auch sagen H ist ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt)
Jedem Paar von Vektoren α , β ∈Η ist eine komplexe Zahl α β zugeordnet mit den folgenden
Eigenschaften:
∗
α β = βα
(konjugiert komplex)
b) α β1 + β2 = α β1 + α β2
a)
c)
α cβ = c α β = c ∗α β
d)
α α ≥0
mit c ∈C
Zusatzbemerkungen:
i) α , β heißen orthogonal, falls: α β = 0
ii) Als Norm oder Länge bezeichnet man: a =
iii) Schwarzsche Ungleichung: α β ≤ α
iv) Dreiecksungleichung:
v) Die Folge
αα
β
α − β ≤ α+β ≤ α + β
{ α } konvergiert stark gegen
n
α , falls: lim α n − α < ε
n →∞
3) H ist seperabel: Es gibt (mindestens) eine überalldichte Folge von Vektoren α n
4) H ist vollständig: Jede Cauchy-Folge konvergiert gegen ein Element aus H
=============================================================================
Kommutator:
i .a .
Kommutator:
Antikommutator:
AB − BA =: [ A, B] − = [ A, B]
AB + BA =: [ A, B]+
[A,B]=0 heißt: A und B sind "verträgliche Observablen", d.h. sie haben eine gemeinsame Eigenbasis
Es gelten folgende Regeln:
[ A, B ] = − [ B , A]
[ A, A] = 0
[A, αB] = α[A, B] = [αA, B]
[
r
A,α 1 = 0
]
[ A + B , C ] = [ A, C ] + [ B , C ]
[ AB, C] = [ A, C] B + A[ B, C]
[C, AB] = [C, A] B + A[C, B]
1
1
AB = [ A, B] + + [ A, B]−
2
2
Jacobi-Identität: [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A]] + [C ,[ A, B ]] = 0
Der Kommutator ist NICHT transitiv: Aus [A , B] = 0 & [ B, C] = 0 folgt nicht [A , C] = 0 .
Denn für B = 1 gilt [A,1] = 0 & [1, C] = 0 sicher, aber nicht zwangsläufig [A , C] = 0 ,
24
wie man z.B. für A = x & C = p x sieht.
[
]+ = −[A, B]
sind A & B hermitesch ⇒ A, B
ia [A, B] mit a∈IR & A,B beliebig, ist immer hermitesch:
(ia[A, B])+ = (ia )* [A, B]+ = (− ia )(− [A, B]) = ia [A, B]
AB + BA ist immer hermitesch für beliebige A,B
Einige wichtige Vertauschungsrelationen:
q α , p β = ihδαβ unabh. ob Orts- oder Impulsraum!
[
]
{
}
Analogon: q α , pβ = 1 * δ αβ
[p, f (q )] = −ihf ′(q ) mit f(q) in Potenzreihe entwickelbar
[f (p ), q] = −ihf ′(p)
[f (A ), A] = 0 für beliebige analytische Funktionen f und beliebige Operatoren A
h
mit Pr : Radialimpuls
i
L α , q β = ihε αβγ q γ
[ Pr , R] =
[
[L
]
, p ] = ihε
β
αβγ p γ
r2
L α , L = 0 mit α = 1,2,3; L : Drehimpuls
r r
r r
L, q 2 = L, p 2 = 0
[
[
[L
α
]
] [
α
]
]
, Lβ = ihε αβγ L γ
[L + , L − ] = 2hL z
(r )
r
Für Zentralpotential V(r ) = V r :
[L α , H] = 0
[Lr , H] = 0
2
{
}
⇒ es gibt eine simultane Eigenbasis H, L , L z ⇒ Eigenzustandbezeichnung: n , l, m
2
[Lα , V( rr )] = 0 , da Lα nur auf die Winkelanteile wirkt
r
r
In Vorlesung: L = hJ
L2 = L2x + L2y + L2z
[S
α
]
, Sβ = ihε αβγ Sγ
Spinoperator Sα =
wobei σ α die Pauli-Matrizen
h
σα
i
1 0 
 0 1
 0 − i

σx = 
 , σy = 
 , σ z = 
0
−
1
 1 0
i 0 


die 2-dim. Darstellung des Drehimpulsoperators sind.
Es gilt:
σx σyσz = i *1
Sp(σ α ) = 0
σα = 2 *
1
2
, m' J α 12 , m mit m = − 12 , + 12
m : Zeile; m' : Spalte
1
h
J α = σα
Lα = σα
2
2
Matrixelemente allgemein (vgl. Nolting 5.2, Seite 19):
rr
J α = j' , m ' LJ z j, m = m ⋅ δ jj ' ⋅ δ mm ' (??)
r
j, m' L2 j, m = h 2 j( j + 1)δ mm '
25
j, m' L + j, m = h
j, m' L − j, m = h
r
3 1 0

L2 = h 2 
4  0 1 
h 1 0 

L z = 
2  0 − 1
( )
] = iε
( j − m )( j + m + 1) ⋅ δ m',m+1
( j + m )( j − m + 1) ⋅ δ m ',m−1
0
L + = h
0
h 0
L x = 
2 1
In 3-dim.: M γ
αβ
= −iε αβγ
, Mβ
αβγ
Mγ
[M
α
1

0 
1

0 
 0 0

L − = h
 1 0
h  0 − i

L y = 
2  i 0 
Erzeuger-(Aufsteige-)Operator: b+
Vernichter-(Absteige-)Operator: b
n = b+ b
Besetzungszahloperator
+
b, b = 1
b m , b + = mb m−1
[
[
]
]
[b, (b ) ] = m(b )
+ m −1
+ m
[n̂, b ] = −mb
[n̂, (b ) ] = m(b )
m
m
+ m
Für H =
+ m
1 2
p + V (q ) :
2m
1
[ q, H ]
ih
h
[ H, q] = im p
q& =
&&
q =.... (siehe Nolting Seite 368 3.5.3)
[q i , H] = ih q& i
(siehe auch: 3.230-232)
==============================================================================
==
Rechenregeln:
( )
A + = A*
α = α
( )
T
Matrixelemente: A
+
nm
= A mn
*
+
α A + = Aα
A α = Aα
αβ = βα
α A = A +α
*
(A + B)+ = A + + B+
(αA )+ = c*A + c ∈ C
(AB)+ = B+ A+
(α β )
+
=β α
α A β = β A+ α
*
α cβ = c α β = c*α β
A nm = ϕn A ϕm
cα β = c* α β
ϕn ϕm = δnm
26
1+ = 1
−1
β = A α ⇔ A −1 β = α
ψ (x ) = x ψ
Vollständigkeitsrelation:
∑ϕ
i
i
A-1 : inverser Operator: A A = AA
ϕi = ∑ Λ i = 1
−1
=1
Λi : Projektor
i
=========================================================================
27