Pfadintegrale in der Quantenmechanik
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Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Pfadintegrale in der Quantenmechanik Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Florian Theuss Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Seminar Quantenmechanik Prof. Dr. Wolschin 27. Januar 2017 1 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Historisches Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen i I 1933: Dirac: QM Propagator ∝ e ~ S[xkl ] I 1948: Feynman: Summe über alle Pfade I 1979: Kleinert: Lösen des Wasserstoffatoms Quellen 2 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Inhaltsverzeichnis Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren p2 für H = 2m + V (q) Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen 3 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren Betrachte Ĥ = Ĥ(P̂(t), Q̂(t)) im Heisenberg-Bild mit I [Q̂(t), P̂(t)] = i~ I [Q̂(t), Q̂(t)] = [P̂(t), P̂(t)] = 0 und einem vollständigen System von Eigenvektoren I Q̂(t) |q, ti = q |q, ti I P̂(t) |p, ti = p |p, ti Quellen 4 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren Betrachte Ĥ = Ĥ(P̂(t), Q̂(t)) im Heisenberg-Bild mit I [Q̂(t), P̂(t)] = i~ I [Q̂(t), Q̂(t)] = [P̂(t), P̂(t)] = 0 und einem vollständigen System von Eigenvektoren I Q̂(t) |q, ti = q |q, ti I P̂(t) |p, ti = p |p, ti Quellen Zusammenhang zw. Heisenberg- und Schrödingerbild: I |q, tiH = U(t, t0 )† |qiS I i~∂t U(t, t0 ) = ĤU(t, t0 ) ⇒ U(t, t − δt) = 1 − ~i Ĥδt + O(δt 2 ) 4 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren hqF , tF |qI , tI i = hqF | U(tF , tI ) |qI i = hqF | U(tF , tI + Nδt) ... U(tI + δt, tI ) |qI i "N Z # Y = dqi hqF | U(tF , tI + Nδt) |qN i i=1 · hqN | U(tI + Nδt, tI + (N − 1)δt) |qN−1 i · ... hq1 | U(tI + δt, tI ) |qI i Quellen 5 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren hqF , tF |qI , tI i = hqF | U(tF , tI ) |qI i = hqF | U(tF , tI + Nδt) ... U(tI + δt, tI ) |qI i "N Z # Y = dqi hqF | U(tF , tI + Nδt) |qN i i=1 · hqN | U(tI + Nδt, tI + (N − 1)δt) |qN−1 i Weitere Anwendungen · ... hq1 | U(tI + δt, tI ) |qI i Quellen Benutze: I hqi |pi i = i √ 1 e ~ pi qi 2π~ 5 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren hqF , tF |qI , tI i = hqF | U(tF , tI ) |qI i = hqF | U(tF , tI + Nδt) ... U(tI + δt, tI ) |qI i "N Z # Y = dqi hqF | U(tF , tI + Nδt) |qN i Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator i=1 · hqN | U(tI + Nδt, tI + (N − 1)δt) |qN−1 i Weitere Anwendungen · ... hq1 | U(tI + δt, tI ) |qI i Quellen Benutze: I hqi |pi i = I i √ 1 e ~ pi qi 2π~ falls Ĥ(P̂, Q̂) = Ĥ1 (P̂) + Ĥ2 (Q̂): hpi | Ĥ(P̂, Q̂) |qi i = H(pi , qi ) hpi |qi i i 1 =√ H(pi , qi )e − ~ pi qi 2π~ 5 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Z hqF , tF |qI , tI i = Dq(t)Dp(t) e Dq(t) = lim δt→0 N Y i ~ RtF dt[p(t)q̇(t)−H(p(t),q(t))] tI dqi i=1 N Y dpi Dp(t) = lim δt→0 2π~ i=0 6 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allgemeine Hamiltonoperatoren Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen im d-dimensionalen Fall: Z hqF | U(tF , tI ) |qI i = Dq(t)Dp(t)e Dq(t) = lim δt→0 Quellen Dp(t) = lim δt→0 d Y N Y k=1 i=1 d Y N Y k=1 i=0 i ~ RtF tI " dt d P # pk q̇k −H(p,q) k=1 dqk,i dpk,i 2π~ 7 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für H = p2 2m + V (q) Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen betrachte: Ĥ(P̂, Q̂) = P̂ 2 2m + V (Q̂) Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen 8 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für H = p2 2m + V (q) Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen betrachte: Ĥ(P̂, Q̂) = P̂ 2 2m + V (Q̂) Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen I hqF , tF |qI , tI i = N R dp0 Q dqi dpi 2π~ i=1 2π~ e i ~ N P δt −V (qi )δt] [pi (qi+1 −qi )−pi2 2m i=0 8 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für H = p2 2m + V (q) Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen betrachte: Ĥ(P̂, Q̂) = P̂ 2 2m + V (Q̂) Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator I Weitere Anwendungen hqF , tF |qI , tI i = N R dp0 Q dqi dpi 2π~ Quellen I R∞ −∞ i=1 dx e −ax 2π~ 2 +bx e = i ~ N P δt −V (qi )δt] [pi (qi+1 −qi )−pi2 2m i=0 pπ b2 4a ae Re(a) ≥ 0, a 6= 0 8 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Herleitung der Pfadintegralmethode für H = p2 2m + V (q) Feynman-Kac Formel hqF , tF |qI , tI i = q(tFR)=qF i Dq(t) e ~ S[q(t),q̇(t)] q(tI )=qI Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Abbildung: Summe über alle Wege 9 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Herleitung der Pfadintegralmethode Korrelationsfunktionen hqF , tF | Q̂(t1 ) |qI , tI i hqF , tF | T Q̂(t1 )Q̂(t2 ) |qI , tI i Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen 10 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Herleitung der Pfadintegralmethode Korrelationsfunktionen hqF , tF | Q̂(t1 ) |qI , tI i hqF , tF | T Q̂(t1 )Q̂(t2 ) |qI , tI i Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Abbildung: Komposition von Pfadintegralen [1] 10 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Herleitung der Pfadintegralmethode Korrelationsfunktionen hqF , tF | Q̂(t1 ) |qI , tI i = q(tFR)=qF i Dq(t) q(t1 ) e ~ S[q(t),q̇(t)] q(tI )=qI hqF , tF | T Q̂(t1 )Q̂(t2 ) |qI , tI i Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Abbildung: Komposition von Pfadintegralen [1] 11 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Herleitung der Pfadintegralmethode Korrelationsfunktionen hqF , tF | Q̂(t1 ) |qI , tI i = q(tFR)=qF i Dq(t) q(t1 ) e ~ S[q(t),q̇(t)] q(tI )=qI hqF , tF | T Q̂(t1 )Q̂(t2 ) |qI , tI i = q(tFR)=qF i Dq(t) q(t1 )q(t2 ) e ~ S[q(t),q̇(t)] q(tI )=qI Weitere Anwendungen Quellen Abbildung: Komposition von Pfadintegralen [1] 12 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode Korrelationsfunktionen Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen hqF , tF | T Q̂(tK )...Q̂(t1 ) |qI , tI i = q(tFR)=qF i Dq(t) q(t1 )...q(tK ) e ~ S[q(t),q̇(t)] q(tI )=qI 13 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Freies Teilchen: I L= m 2 2 ẋ Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen 14 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Freies Teilchen: m 2 2 ẋ I L= I hxF , tF |xI , tI i = lim δt→0 −im 2π~δt N N+1 R Q 2 dxi e i ~ N P i=0 2 m (xi+1 −xi ) 2 δt i=1 Quellen 14 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen: L= I hxF , tF |xI , tI i = Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator lim δt→0 Weitere Anwendungen Quellen m 2 2 ẋ I I −im 2π~δt N N+1 R Q 2 dxi e i ~ N P i=0 2 m (xi+1 −xi ) 2 δt i=1 hxF , tF |xI , tI i = −im 2π~·(tF −tI ) 1 2 im e 2~·(tF −tI ) (xF −xI )2 ≡ F (T )(0) e S[xkl ] I mit T = tF − tI 14 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Einfachspalt: Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Abbildung: Komposition von Pfadintegralen [1] 15 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Zb 0 Ψ(x ) = dy X + x 0 , T + t 0 X + y , T hX + y , T |0, 0i −b Beispiele Zb Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator dy = Weitere Anwendungen −im 2π~t 0 1 2 e im (x 0 −y )2 2~t 0 −im 2π~T 1 2 im e 2~T (X +y ) 2 −b Quellen m √ = 2πi~ t 0 T Z∞ dy G (y ) e im 2~ (x 0 −y )2 (X +y )2 + T t0 −∞ mit G (y ) := 1 0 für − b ≤ y ≤ b sonst 16 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt y2 Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele I G (y ) = e − 2b2 (∆x)2 = b 2 1 + t0 T 2 2 02 ~ t 2 +m 2 b 2 = b1 + n o (x 0 −Vt 0 )2 m b ⇒ |Ψ(x 0 )|2 = 2π~ exp − 2 T ∆x (∆x) I ~t 0 mb 2 Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen Abbildung: gaußförmiger Spalt [1] 17 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele harmonischer Oszillator Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen I L= m 2 2 ẋ(t) − mω 2 2 2 x(t) Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator I hxF , tF |xI , tI i = x(tFR)=xF Dx(t) e i m ~ 2 RtF dt (ẋ(t)2 −ω 2 x(t)2 ) tI x(tI )=tI Weitere Anwendungen Quellen 18 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele harmonischer Oszillator Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen I L= m 2 2 ẋ(t) − mω 2 2 2 x(t) Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator I hxF , tF |xI , tI i = x(tFR)=xF Dx(t) e i m ~ 2 RtF dt (ẋ(t)2 −ω 2 x(t)2 ) tI x(tI )=tI Weitere Anwendungen Quellen betrachte Wirkung und substituiere x(t) = xkl (t) + y (t): h 2 i RtF d 2 y (t) S[y (t)] = S[xkl (t)] + m2 dt y (t) − dt 2 − ω tI 18 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Beispiele harmonischer Oszillator I y (tI ) = 0 = y (tF ) T := tF − tI ∞ P ⇒ y (t) = an yn (t) I n=1 mit yn (t) = q 2 T sin nπt T Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen 19 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Beispiele harmonischer Oszillator I y (tI ) = 0 = y (tF ) T := tF − tI q ∞ P ⇒ y (t) = an yn (t) mit yn (t) = T2 sin nπt T n=1 h 2 i 2 d I − 2 − ω 2 yn (t) = λn yn (t) − ω2 mit λn = nπ T dt I Weitere Anwendungen Quellen 19 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Beispiele harmonischer Oszillator I y (tI ) = 0 = y (tF ) T := tF − tI q ∞ P ⇒ y (t) = an yn (t) mit yn (t) = T2 sin nπt T n=1 h 2 i 2 d I − 2 − ω 2 yn (t) = λn yn (t) − ω2 mit λn = nπ T dt I Damit folgt für die Wirkung: Quellen ∞ ∞ mXX S[y (t)] = S[xkl (t)] + an am 2 n=1 m=1 = S[xkl (t)] + m 2 ∞ X ZT dt yn λm ym 0 an2 λn n=1 19 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele harmonischer Oszillator Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Mit Dy (t) = J ∞ Q dan folgt für die Übergangsamplitude n=1 Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator hxF , tF |xI , tI i = e J Z Y ∞ dan e i m ~ 2 ∞ P n=1 an2 λn n=1 Weitere Anwendungen Quellen i S[xkl ] ~ =e i S[xkl ] ~ ≡e i S[xkl ] ~ J ∞ Y r n=1 2π~ imλn F (T ) 20 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Beispiele harmonischer Oszillator Eliminiere J: I I F (T ) = J λn = ∞ q Q 2π~ n=1 nπ 2 − T imλn ω2 Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen 21 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele harmonischer Oszillator Eliminiere J: I ∞ q Q 2π~ n=1 nπ 2 − T imλn ω2 I λn = I für ω = 0: freies Teilchen: F (T )(0) = Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator F (T ) = J p m 2πi~T Weitere Anwendungen Quellen 21 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele harmonischer Oszillator Eliminiere J: I Weitere Anwendungen Quellen ∞ q Q 2π~ n=1 nπ 2 − T imλn ω2 I λn = I für ω = 0: freies Teilchen: F (T )(0) = Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator F (T ) = J p m 2πi~T F (T ) F (T )(0) F (T )(0) r − 12 ∞ Y ω2T 2 m = 1− 2 2 2πi~T n π n=1 r 1 m sin(ωT ) − 2 = 2πi~T ωT ⇒ F (T ) = 21 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Beispiele harmonischer Oszillator Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Mehlerformel Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen hxF , tF |xI , tI i r i mω = e ~ S[xkl ] 2πi~ sin (ωT ) r imω mω (x 2 +x 2 ) cos (ωT )−2xF xI ] = e 2~ sin (ωT ) [ F I 2πi~ sin (ωT ) 22 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Beispiele harmonischer Oszillator Energiespektrum: X i i e − ~ En T Tr (U(T , 0)) = Tr e − ~ ĤT = n Z dx hx, T |x, 0i = r = mω 2πi~ sin (ωT ) Z∞ imω dx e 2~ sin (ωT ) [ 2x 2 (cos (ωT )−1)] −∞ Quellen r = mω 2πi~ sin (ωT ) s π~ sin(ωT ) imω(1 − cos(ωT )) ωT ∞ X 1 1 e −i 2 = = = e −iω(n+ 2 )T ωT −iωT 1−e 2i sin 2 n=0 23 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Weitere Anwendungen Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen I statistische Mechanik: R −βH ) = dq hq| e −i(−i)βH |qi = RZ = Tr (e dq hq, −iβ|q, 0i I Störungsrechnung: P Z = e −βEj ⇒ E0 = − lim Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen Quellen j I 1 ln(Z ) β→∞ β anharmonischer Oszillator: V (x) = ω 2 x 2 + λx 4 mit ω 2 < 0 24 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Quellen Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator R. P. Feynman, A. R. Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals, Emended Edition, Dover, New York, 2010 M. E. Peskin, D. V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, 1995 S. Weinberg: Lectures on Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2015 Weitere Anwendungen G. Münster: Quantentheorie, De Gruyter, Berlin 2010 Quellen T. Weigand: Quantum Field Theory I+II Script (http://www.thphys.uni-heidelberg.de/ ~weigand/QFT2-14/SkriptQFT2.pdf) J. M. Pawlowski: QFT II Script, 2010 (http://www.thphys.uni-heidelberg.de/ ~pawlowski/qftII/script/QFTII_I.pdf) 25 / 26 Pfadintegrale in der Quantenmechanik Quellen Florian Theuss Herleitung der Pfadintegralmethode für allg. Hamiltonoperatoren 2 für H = p + V (q ) 2m Korrelationsfunktionen Beispiele Freies Teilchen und Einfachspalt Harmonischer Oszillator Weitere Anwendungen R. MacKenzie: Path Integral Methods and Applications, Script, 2000 (https: //arxiv.org/pdf/quant-ph/0004090v1.pdf) Quellen 26 / 26
