Grundlagen der Elektrotechnik

Vorläuge, unkorrigierte Fassung
Grundlagen der Elektrotechnik
©
2009 Sönke Carstens-Behrens
SS 2009
RheinAhrCampus
1
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegrie
1.1 Elektrische Ladung . . . . . . . .
1.2 Elektrischer Strom . . . . . . . .
1.2.1 Stromstärke . . . . . . . .
1.2.2 Stromdichte . . . . . . . .
1.2.3 Strommessung . . . . . .
1.3 Elektrische Spannung . . . . . . .
1.3.1 Ladungstrennung . . . . .
1.3.2 Spannungsmessung . . . .
1.4 Elektrischer Widerstand . . . . .
1.4.1 Spezischer Widerstand .
1.4.2 Ohmsches Gesetz . . . . .
1.4.3 Temperaturabhängigkeit .
1.4.4 Farbcodierung . . . . . .
1.5 Leistung und Energie . . . . . . .
1.5.1 Erzeuger und Verbraucher
1.5.2 Verbraucherpfeilsystem . .
1.6 Strom- und Spannungsquellen . .
1.6.1 Leerlauf und Kurzschluss
1.6.2 Ideale Quellen . . . . . . .
1.6.3 Lineare Quellen . . . . . .
2 Netze an Gleichspannung
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2.1 Lastwiderstand an einer linearen Quelle
2.1.1 Bestimmung des Arbeitspunktes
2.1.2 Leistungsanpassung . . . . . . .
2.2 Kirchhosche Gesetze . . . . . . . . . .
2.2.1 Knotensatz . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Maschensatz . . . . . . . . . . .
2.3 Kombinationen von Widerständen . . .
2.3.1 Reihenschaltung . . . . . . . . .
2.3.2 Parallelschaltung . . . . . . . . .
2.4 Ersatzschaltungen . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Ersatzwiderstand . . . . . . . . .
2.4.2 Ersatzquelle . . . . . . . . . . . .
2.5 Schaltungsberechnung . . . . . . . . . .
2.5.1 Spannungsteiler . . . . . . . . . .
2.5.2 Potentiometer . . . . . . . . . . .
2.5.3 Stromteiler . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Überlagerungssatz . . . . . . . .
2.5.5 Knotenpotenzialverfahren . . . .
3 Kondensator
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3.1 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Kondensatorschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Schaltvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
6
7
7
7
8
8
9
10
10
11
12
12
13
13
13
14
15
16
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
19
20
20
20
21
21
22
22
24
24
24
25
4 Spule
26
5 Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
28
4.1 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Schaltvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
Periodendauer und Frequenz . . . . . .
Wirkleistung und Eektivwert . . . . .
Kreisfrequenz und Phasenwinkel . . .
Exkurs: Komplexe Zahlen . . . . . . .
5.4.1 xy-Ebene . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Komplexe Ebene . . . . . . . .
5.4.3 Rechnen mit komplexen Zahlen
5.5 Zeigerdarstellung, komplexe Symbole .
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6.1 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert . . . . . . .
6.1.1 Schein-, Wirk- und Blindwiderstand . . . . . . . . .
6.1.2 Schein-, Wirk- und Blindleitwert . . . . . . . . . . .
6.2 Eintore an einer Sinusspannung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Einfache Verbindungen von Eintoren . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator .
6.3.2 Reihenschaltung von Widerstand und Spule . . . . .
6.3.3 Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator .
6.3.4 Parallelschaltung von Widerstand und Spule . . . . .
6.4 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Lineare Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Kombination von komplexen Widerständen . . . . .
6.5.2 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Schwingkreise und Resonanz . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Lineare Netze mit Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Belastung idealer Sinusquellen . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Ersatzquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Netze an Sinusspannung
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26
26
28
28
29
29
29
30
30
31
33
33
34
34
35
35
35
36
36
36
37
37
38
38
39
39
40
40
41
42
43
43
43
3
Literatur
Literatur
Literatur
Nerreter, Wolfgang:
Grundlagen der Elektrotechnik.
München :
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2006
Frohne, Heinrich:
Grundlagen der Elektrotechnik.
Stuttgart : Teubner,
1996
Zastrow, Dieter:
Elektrotechnik.
Büttner, Wolf-Ewald:
Wiesbaden : Vieweg, 2004
Grundlagen der Elektrotechnik/1.
München :
Oldenbourg, 2006
©2009 Sönke Carstens-Behrens
4
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1 Grundbegrie
1.1 Elektrische Ladung
Grundbegrie
Elektrische Ladung
Elektrische Ladung
: Elektron: Träger der negativen
Elementarladung
·
qe = −e = −1,6 10−19 C.
: Proton: Träger der positiven
·
Elementarladung
qp = e = 1,6 10−19 C.
: Neutron: elektrisch neutral.
Coulomb: Einheit für die elektrische
q=1C
6,24 1018
·
Ladung. Die Ladung
Modell des Aluminiumatoms
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(RAC)
besteht aus
Elmentarladungen.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.2 Elektrischer Strom
Grundbegrie
Elektrischer Strom
Elektrischer Strom
Ladungsträger (meist Elektronen) bewegen sich ohne äuÿere Einüsse
unregelmäÿig und ungeordnet.
Strom
Einfacher Stromkreis:
I:
Geordnete Bewegung von
Ladungsträger in einem Stromkreis.
I
Technische Stromrichtung: Richtung
positiver Ladungsträger (auÿerhalb
+
Elektronen-
von Quellen), von Plus nach
−
bewegung
Minus.
physikalische Stromrichtung:
Batterie
Lampe
Richtung der Ladungsträger. Für
Elektronen: von Minus nach Plus.
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
5
1.2.1 Stromstärke
Grundbegrie
Elektrischer Strom
Stromstärke
Elektrische Stromstärke:
I
Elektron
Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit
die Querschnittsäche
A
durchströmt.
Ampere: Einheit der Stromstärke.
Wenn die Ladung
1C
die Querschnittsäche
pro Sekunde
A
durchströmt, beträgt die
Leiter
Querschnittsäche
Stromstärke
A
1 A: 1 A =
1C
1s.
Gleichstrom: Stromstärke ist
konstant.
Achtung: Die Bezeichnung
A
für die Querschnittsäche ist nicht zu
verwechseln mit dem Einheitenzeichen für die Stromstärke
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(RAC)
A.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.2.2 Stromdichte
Grundbegrie
Elektrischer Strom
Stromdichte
I
Elektron
Stromdichte
J:
I
Stromstärke
Quotient aus
und
Querschnittsäche
J=
Leiter
Querschnittsäche
A
Einheit:
A
des Leiters:
I
A
[J] = A/m2 .
Genau genommen ist die Stromdichte ein Vektor, Richtung =
Richtung der Geschwindigkeit der (positiven) Ladungsträger.
Wichtigste Beanspruchungsgröÿe für das Leitermaterial, darf nicht zu
groÿ sein, sonst kann das Material schmelzen.
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6
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.2.3 Strommessung
Grundbegrie
Elektrischer Strom
Strommessung
Schaltzeichen für Gleichstrom:
+
einem Strommesser, auch
−
A
Strommessung erfolgt mit
Amperemeter genannt.
Der Strommesser muss vom zu
messenden Strom durchossen
werden.
Beispiel:
+
−
A
Bei Verpolung: angezeigter
I
Wert ist negativ.
Bei Messgeräten wird der
+
Plus-Anschluss oft als mA
−
und der Minus-Anschluss als
COM bezeichnet.
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(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.3 Elektrische Spannung
1.3.1 Ladungstrennung
Grundbegrie
Elektrische Spannung
Ladungstrennung
Positiv geladener Körper: es
Qp = Q
herrscht Elektronenmangel.
Negativ geladener Körper: es
herrscht Elektronenüberschuss.
U
Wenn weiter Elektronen vom
positiv geladenen Körper zum
negativ geladenen Körper
Qn = −Q
gebracht werden soll, wird dazu
Energie benötigt.
Spannung
U:
Quotient aus aufzuwendener Energie und Ladung:
U=
W
.
Q
Volt: Einheit für die elektrisch Spannung.
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Grundlagen Elektrotechnik
1V=
1J
1 C.
SS 2009
7
1.3.2 Spannungsmessung
Grundbegrie
Elektrische Spannung
Spannungsmessung
Schaltzeichen für Gleichspannung:
+
V
Spannungsmessung erfolgt mit
−
einem Spannungsmesser, auch
Voltmeter genannt.
Der Spannungsmesser muss
parallel angeschlossen werden.
Bei Verpolung: angezeigter
Wert ist negativ.
Bei Messgeräten wird der
+
U
Plus-Anschluss oft als V und
der Minus-Anschluss als COM
V
bezeichnet.
−
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Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.4 Elektrischer Widerstand
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Elektrischer Widerstand
Elektrischer Widerstand: Quotient
aus der Spannung, die an einem
Leiter abfällt, und dem Strom, der
den Leiter durchieÿt.
Schaltzeichen:
R
Formelzeichen:
R.
Ohm: Einheit für den elektrischen
Widerstand.
1Ω=
Leitwert: Kehrwert des Widerstandes:
G=
1V
.
1A
1
R.
Siemens: Einheit für den elektrischen Leitwert.
1S=
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8
(RAC)
1
1A
=
.
1Ω
1V
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.4.1 Spezischer Widerstand
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Spezischer Widerstand
Spezischer Widerstand
Länge
ρ:
Materialkonstante, die angibt,
l
welchen Widerstand ein Leiter mit
Querschnittsäche
Länge
l=1m
Leitfähigkeit
κ:
A = 1 mm2
und
besitzt.
Kehrwert des
spezischen Widerstands.
Zusammenhang
Leiter
Querschnittsäche
mit
Widerstand:
A
R=
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
elektrischen
ρl
A
Grundlagen Elektrotechnik
Grundbegrie
SS 2009
Elektrischer Widerstand
Spezischer Widerstand: Auswahl verschiedener Materialien
10−3 Ω mm2
m
Material
ρ
Silber
16
17,5
22,7
28,6
100
500
1015 . . . 1021
4 1023
2 107
Kupfer
Gold
Aluminium
Eisen
Konstantan
Glas
Quarz
Leitungswasser
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
in
·
·
Grundlagen Elektrotechnik
κ
in
Sm
mm2
62,5
57
44
35
10
2
10−15 . . . 10−21
2,5 10−24
5 10−8
·
·
SS 2009
9
1.4.2 Ohmsches Gesetz
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Ohmsches Gesetz
Ohmsches Gesetz: Für einen
Metalldraht, dessen Temperatur
I
m=
∆I
∆U
=
1
R
konstant gehalten wird, ist der
=G
elektrische Widerstand konstant,
also:
R=
∆I
∆U
U
= const.
I
Ohmscher Widerstand: Widerstand,
U
dessen Wert nicht von der
anliegenden Spannung oder dem
Strom abhängt.
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.4.3 Temperaturabhängigkeit
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Temperaturabhängigkeit
ρ
in
10−3 Ω mm2
m
Temperaturkoezienten
beschreiben die Abhängigkeit des
300
spezischen Widerstands von der
200
ρ(ϑ) = ρ20 [1 + α20 (ϑ − 20 ◦ C)
+ β20 (ϑ − 20 ◦ C)2 .
Temperatur:
100
0
Bezugstemperatur: Die
0
100
200
300 θ
in
◦C
Spezischer Widerstand von Eisen.
Widerstand:
Temperaturkoezienten gelten nur
für die Bezugstemperatur, hier
20 ◦ C.
R(ϑ) = R20 1 + α20 (ϑ − 20 ◦ C) + β20 (ϑ − 20 ◦ C)2 .
©2009 Sönke Carstens-Behrens
10
α, β :
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Temperaturkoezienten verschiedener Metalle
Material
ρ20
10−3 Ω mm2
m
in
16,0
17,5
22,7
28,6
100
500
Silber
Kupfer
Gold
Aluminium
Eisen
Konstantan
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
α20
in
10−3
K
β20
3,8
3,92
4,0
3,77
4,55
−0,003
in
10−6
K2
0,7
0,6
0,5
1,3
6
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.4.4 Farbcodierung
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Farbcode für Metallschichtwiderstände, 4 Ringe
Farbe
schwarz
braun
rot
orange
gelb
grün
blau
violett
grau
weiÿ
gold
silber
keine
1. Ring
1. Zier
1
2
3
4
5
6
7
8
9
©2009 Sönke Carstens-Behrens
2. Ring
2. Zier
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(RAC)
3. Ring
Faktor
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
10−1
10−2
4. Ring
Toleranz
±1%
±2%
±0,5%
0,25%
±5%
±10%
±20%
Grundlagen Elektrotechnik
Der erste Ring liegt
näher an dem einen
Ende
als
der
letzte
Ring an dem anderen.
Beispiel:
braun:
2
rot: 10
schwarz: 0
±1%
rot: 2
⇒ 2,0 kΩ ±1%
SS 2009
11
Grundbegrie
Elektrischer Widerstand
Farbcode für Metallschichtwiderstände, 5 oder 6 Ringe
Farbe
1. Ring
1. Zier
1
2
3
4
5
6
7
8
9
schwarz
braun
rot
orange
gelb
grün
blau
violett
grau
weiÿ
gold
silber
©2009 Sönke Carstens-Behrens
2. Ring
2. Zier
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(RAC)
3. Ring
3. Zier
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. Ring
Faktor
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
10−1
10−2
5. Ring
Toleranz
±1%
±2%
±0,5%
±0,25%
0,05%
±5%
±10%
6. Ring
Temp.koe.
200 · 10−6 /K
100 · 10−6 /K
50 · 10−6 /K
15 · 10−6 /K
25 · 10−6 /K
10 · 10−6 /K
5 · 10−6 /K
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.5 Leistung und Energie
1.5.1 Erzeuger und Verbraucher
Grundbegrie
Leistung und Energie
Erzeuger und Verbraucher
Wasserkreislauf
Erzeuger: wandelt nichtelektrische in
elektrische Energie um, z. B.
Wasser-
Wasser-
turbine
pumpe
D
Batterie, Generator
Verbraucher: wandelt elektrische in
nichtelektrische Energie um, z. B.
Durchussmesser
Motor, Lampe
Elektrische Leistung
Stromkreis
rator
M Motor
G
P
A
Strommesser
©2009 Sönke Carstens-Behrens
12
(RAC)
Allgemein:
Leistung = Arbeit pro Zeit:
I
Gene-
P:
Grundlagen Elektrotechnik
W
WQ
=
t
Qt
U2
= UI =
= RI 2 .
R
=
SS 2009
1.5.2 Verbraucherpfeilsystem
Grundbegrie
Leistung und Energie
Verbraucherpfeilsystem
Verbraucherpfeilsystem
I
Verbraucherpfeilsystem:
R
Bezugspfeile für Strom und
Spannung sind gleichsinnig.
U
+
Erzeugerpfeilsystem: Bezugspfeile
I
für Strom und Spannung sind
gegensinnig.
U
−
Beim Verbraucherpfeilsystem ist die Leistung
P = UI
für einen
Verbraucher positiv, für einen Erzeuger negativ.
Wird das Verbraucherpfeilsystem konsequent auf die ganze Schaltung
angewendet, so ist die Summe aller Leistungen null:
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
P
P = 0.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.6 Strom- und Spannungsquellen
1.6.1 Leerlauf und Kurzschluss
Grundbegrie
Strom- und Spannungsquellen
Leerlauf und Kurzschluss
Leerlauf: Der Quelle wird kein
Leerlauf
+
−
Strom entnommen,
I=0
Leerlaufspannung
I = 0.
U0 :
Spannung, die
an einer Quelle gemessen wird,
U
wenn
I = 0.
Kurzschluss: Die Quelle wird mit
dem Widerstand
Kurzschluss
überbrückt.
Die Klemmenspannung ist also
I = −Ik
Ik
+
U =0V
−
U = 0.
Kurzschlussstrom
Ik :
Strom, der bei
einem Kurzschluss (durch den
Widerstand
©2009 Sönke Carstens-Behrens
R=0
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
R = 0)
ieÿt.
SS 2009
13
1.6.2 Ideale Quellen
Grundbegrie
Strom- und Spannungsquellen
Ideale Spannungsquelle
Schaltzeichen:
I
Ideale Spannungsquelle: Quelle, die
unabhängig von der Belastung an
Uq
U
ihren Klemmen eine konstante
Spannung (Quellenspannung
Uq )
aufweist.
Kennlinie:
Die Spannung ist nur bis zum
−I
Strom
Imax
Imax
konstant (sonst
Leistungsüberschreitung).
Kein Kurzschlussbetrieb
möglich, da die Bedingung
Uq
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
U
U =0
in keinem Punkt der
Kennlinie erfüllt ist.
Grundlagen Elektrotechnik
Grundbegrie
SS 2009
Strom- und Spannungsquellen
Ideale Stromquelle
Schaltzeichen:
I
Iq
Ideale Stromquelle: Quelle, die
unabhängig von der Belastung an
U
ihren Klemmen einen konstanten
Strom (Quellenstrom
Iq )
treibt.
Der Strom nur bis zur
Kennlinie:
−I
Spannung
Umax
konstant (sonst
Leistungsüberschreitung).
Iq
Kein Leerlaufbetrieb möglich,
da die Bedingung
I=0
in
keinem Punkt der Kennlinie
Umax U
©2009 Sönke Carstens-Behrens
14
(RAC)
erfüllt ist.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
1.6.3 Lineare Quellen
Grundbegrie
Strom- und Spannungsquellen
Lineare Quellen: Ersatzschaltung
lineare Spannungsquelle:
Ri
Lineare Spannungsquelle: besteht
I
aus der Reihenschaltung einer
idealen Spannungsquelle mit einem
Uq
Ri (Innenwiderstand).
Leerlauf: U = U0 = Uq .
Uq
Kurzschluss: −I = Ik =
Ri .
Widerstand
U
Lineare Stromquelle: besteht aus der
lineare Stromquelle:
Parallelschaltung einer idealen
I
Stromquelle und eines Leitwerts
Gi
(Innenleitwert).
Iq
Gi U
Leerlauf:
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
−I = Ik = Iq .
I
U = U0 = Gqi .
Kurzschluss:
Grundlagen Elektrotechnik
Grundbegrie
SS 2009
Strom- und Spannungsquellen
Lineare Quellen: Zusammenhänge
I −I
I -U -Kennlinie:
Lineare Quellen lassen sich
ineinander umrechnen:
Gegeben: Lineare
Spannungsquelle mit Uq und
Ri ⇒ lineare Stromquelle:
U
Gi = R1i , Iq = Rqi .
Gegeben: Lineare
Stromquelle mit Iq und Gi
⇒ lineare Spannungsquelle:
I
Ri = G1i , Uq = Gqi .
Ik
U0
U
Viele Quellen haben eine lineare
−Ik
I -U -Kennlinie,
z. B.
elektrochemische Elemente.
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
15
2 Netze an Gleichspannung
2.1 Lastwiderstand an einer linearen Quelle
2.1.1 Bestimmung des Arbeitspunktes
Netze an Gleichspannung
Lastwiderstand an einer linearen Quelle
Lastwiderstand an linearer Quelle: Arbeitspunkt
Ri I
1
I2
UA = U1 = U2
IA = −I1 = I2 gilt.
für den
Uq
U1
(UA ; IA ),
Arbeitspunkt: Der Punkt
RV
U2
und
Graphische Bestimmung:
1
I2 = GV U2 .
I2 −I1
2
I 2 = GV U2
Ik
Einzeichnen der
Quellenkennlinie: Verbindung
von
A
IA
Einzeichnen der Geraden
3
Quelle
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
und
(U0 ; 0).
Schnittpunkt der Geraden ist
der Arbeitspunkt, Ablesen von
IA
U0 U1 ,U2
UA
(0; Ik )
und
UA
an den Achsen.
Grundlagen Elektrotechnik
Netze an Gleichspannung
SS 2009
Lastwiderstand an einer linearen Quelle
Lastwiderstand an linearer Quelle: Arbeitspunkt (2)
Ri I
1
I2
Rechnerische Bestimmung:
Uq
U1
RV
U2
I 2 = GV U2
Ik
2
Gleichung für Lastwiderstand:
Einsetzen der einen Gleichung
in die andere:
IA =
Einsetzen von
IA
Uq
Ri +RV .
in die
Quellengleichung:
Quelle
©2009 Sönke Carstens-Behrens
3
4
A
UA
16
Quellengleichung:
UA = U2 = RV I2 = RV IA .
I2 −I1
IA
UA = U1 =
Uq + Ri I1 = Uq − Ri IA .
1
UA =
RV
Ri +RV
Uq .
U0 U1 ,U2
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.1.2 Leistungsanpassung
Netze an Gleichspannung
Lastwiderstand an einer linearen Quelle
Leistungsanpassung
Leistungsanpassung: Der
Arbeitspunkt, bei dem einer
linearen Quelle maximal viel
PV
Leistung entnommen wird. Es ist
RV = Ri
PV,max
zu wählen!
Herleitung:
Leistung an
Strom:
I2 =
RV : PV = U2 I2 .
Uq −U2
Ri .
Zusammen:
Uq U2 −U22
.
Ri
U −2U
dPV (U2 )
Ableitung:
= q Ri 2 .
dU2
Uq
Extremum: U2,max =
2 .
Uq
⇒ I2 = 2Ri ⇒ RV = Ri .
PV (U2 ) =
0
Uq
Uq
2
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
U2
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.2 Kirchhosche Gesetze
2.2.1 Knotensatz
Netze an Gleichspannung
Kirchhosche Gesetze
Knotensatz (1. Kirchhosches Gesetz)
I3
I4
I5
I2
I1
Knotensatz: Die Summe der Ströme,
die zu einem Verzweigungspunkt
(Knoten) ieÿen, ist gleich der
Summe der Ströme, die vom
I2
Uq
I1
Verzweigungspunkt wegieÿen:
R2
X
I3
Izu =
X
Iab .
Dies gilt auch, wenn eine beliebige
R1
I5
R3
I4
Hülläche betrachtet wird, solange
alle Zweige erfasst werden, die die
Hülläche durchstoÿen.
Hülläche
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
17
2.2.2 Maschensatz
Netze an Gleichspannung
Kirchhosche Gesetze
Maschensatz (2. Kirchhosches Gesetz)
Ri
M3
Masche: Beliebiger, in sich
I
geschlossener Pfad, der sowohl über
M1 Ri I
Uq
Leiter als auch über
Spannungspfeile geführt sein kann.
U
Maschensatz: Die Summe aller
M2
Spannungen einer Masche ist null:
RV I
N
X
n=1
RV
Masche 1:
Masche 2:
Masche 3:
Spannungen werden positiv gezählt,
0 = Uq − U − Ri I
0 = −RV I + U
0 = Uq − RV I − Ri I
©2009 Sönke Carstens-Behrens
Un = 0.
(RAC)
wenn sie in Umlaufrichtung der
Masche liegen, sonst negativ.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.3 Kombinationen von Widerständen
2.3.1 Reihenschaltung
Netze an Gleichspannung
Kombinationen von Widerständen
Reihenschaltung
I
R1
U1
U
U3
I
Reihenschaltung: Bei einer
U2
R2
Re
U
jedes Eintor vom gleichen Strom
I
durchossen.
R3
Gesamtwiderstand einer
Reihenschaltung von
Maschengleichung:
U
Reihenschaltung von Eintoren wird
N
Widerständen:
= U1 + U2 + U3
= R1 I + R2 I + R3 I
= (R1 + R2 + R3 )I
Re =
N
X
Rn .
n=1
= Re I
©2009 Sönke Carstens-Behrens
18
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.3.2 Parallelschaltung
Netze an Gleichspannung
Kombinationen von Widerständen
Parallelschaltung
I
I
I1
U R1
Parallelschaltung: Bei einer
I2
Parallelschaltung von Zweigen
R2
Re
U
liegen diese Zweige an derselben
Zweigspannung.
Gesamtwiderstand:
Knotengleichung:
U
U
+
I = I1 + I2 =
R1 R2
1
1
=
+
U
R1 R2
U
=
Re
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Re =
N
X
1
Rn
!−1
n=1
Gesamtleitwert:
Ge =
N
X
Gn
n=1
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.4 Ersatzschaltungen
2.4.1 Ersatzwiderstand
Netze an Gleichspannung
Ersatzschaltungen
Ersatzwiderstand
Beispiel:
R1
R2
R3
Ersatzwiderstand: Benden sich
R4
zwischen zwei Klemmen einer
R5
Schaltung nur Widerstände, so
Re,23 = R2 + R3
können sie durch ihren
R1
Ersatzwiderstand ersetzt werden.
Vorgehen: Sukzessiv werden die
Re,45 = R4 + R5
R1
Re,2345 =
Re,23 Re,45
Re,23 +Re,45
Widerstände von Parallel- und
Reihenschaltung
zusammengefasst.
Re = R1 + Re,2345
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
19
2.4.2 Ersatzquelle
Netze an Gleichspannung
Ersatzschaltungen
Ersatzquelle
Ersatzquelle: Ersatzschaltung, wenn
Beispiel:
sich zwischen zwei Klemmen einer
U
Schaltung neben Widerständen
auch eine oder mehrere Quellen
I
Ri1
Uq1
Uq2
Ri2
I
Rie
I
Rie
Uqe
I
Uqe
benden.
U
Iqe
Gie
U
Uqe : entspricht Leerlaufspannung
Iqe : entspricht Kurzschlussstrom
Rie ,Gie : Bestimmung: Schaltung
U
Uqe = Uq1 + Uq2
quellenfrei: Rie = Ri1 + Ri2
Leerlauf:
©2009 Sönke Carstens-Behrens (RAC)
quellenfrei
denken,
nungsquelle
=
ideale
Kurzschluss,
Spanideale
Stromquelle = Unterbrechung
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.5 Schaltungsberechnung
2.5.1 Spannungsteiler
Netze an Gleichspannung
Schaltungsberechnung
Spannungsteiler
Beispiele:
R1
Spannungsteiler: An den
N
Widerständen einer
U
U1
U2
U2 =
U
(Rges
R2
R1 +R2 U
R2
U1
U2
=
U
im Verhältnis
PN
n=1 Rn ):
Ui =
U3
Uj
U
Uk
Ul
R3
R1
R1 +R2 +R3 U
©2009 Sönke Carstens-Behrens
20
Gesamtspannung
der Widerstandswerte auf
R1
U1 =
Reihenschaltung teilt sich die
R2 U2
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
=
=
·
Ri
U
Rges
Rj
Rges
Rk
Rl
SS 2009
2.5.2 Potentiometer
Netze an Gleichspannung
Schaltungsberechnung
Potentiometer
R = RA + RB
RA
U
R
Potentiometer: Einstellbarer
RB
U2 =
Widerstand, bei dem der
RB
R U
Widerstandswert über einen
Schleifkontakt verändert werden
kann.
RA
R
U
RB
Belastetes Potentiometer: Der
Abgri wird mit einem
U2
RV
Widerstand, z. B.
RV
belastet.
Achtung: bei der Berechnung
RBV
Rges U
RV
RBV = RRBB+R
,
V
ist zu berücksichtigen, dass
U2 =
und
RB
RV
parallel geschaltet sind!
Rges = RA + RBV
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.5.3 Stromteiler
Netze an Gleichspannung
Schaltungsberechnung
Stromteiler
Beispiel:
Stromteiler: Die Ströme einer
I
I1
R1
I1 =
I2 =
I3 =
Parallelschaltung von
I2
R2
I3
R3
zueinander wie die Leitwerte
(Gges
=
PN
n=1 Gn ):
Ia
Ib
Ic
I
G1
G1 +G2 +G3 I
G2
G1 +G2 +G3 I
G3
G1 +G2 +G3 I
©2009 Sönke Carstens-Behrens
=
=
Id =
(RAC)
N
Widerständen verhalten sich
Grundlagen Elektrotechnik
Ga
Gb
Gc
Gges
Gd
I
Gges
SS 2009
21
2.5.4 Überlagerungssatz
Netze an Gleichspannung
Schaltungsberechnung
Überlagerungssatz
Überlagerungssatz: Berechnung von
Iq
R4
R1
Spannungen und Strömen in einer
linearen Schaltung durch
Überlagerung von Teillösungen:
Uq
R2
1
R3
Alle Quellen bis auf eine zu
Null setzen, Spg.quellen:
Kurzschluss, Stromquellen:
Unterbrechung.
nur Spg.quelle
nur Stromquelle
2
Berechnung der gesuchten
Ströme und Spannungen.
3
R4
R1
Uq
R1
R2
R3
Iq
R4
R2
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Wiederholung von 1. und 2.
für jede Quelle.
R3
4
Addition aller Teilergebnisse,
Vorzeichen beachten!
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
2.5.5 Knotenpotenzialverfahren
Netze an Gleichspannung
Schaltungsberechnung
Knotenpotenzialverfahren: Denitionen
1 ϕ1
U1,2
R1
2
ϕ2
Iq
U2,0
R2
Masse: Spezieller (frei wählbarer)
U1,3
U2,3
R5
R3
ϕ3
3
Bezugspunkt in einer Schaltung. Er
besitzt das Bezugspotenzial
ϕ = 0 V.
Schaltzeichen:
Knotenpotenzial
ϕA :
U3,0
R4
Schaltung und Masse:
Potenzialdierenz
0
ϕ0 = 0 V
Spannung
Knoten
U1,2 = ϕ1 − ϕ2
©2009 Sönke Carstens-Behrens
22
(RAC)
A
A einer
ϕA = UA,0 .
UA,B :
Die
UA,B zwischen den
und B einer Schaltung
ist die Dierenz der
U2,0 = ϕ2 − ϕ0 = ϕ2
.
.
.
Spannung
zwischen dem Knoten
ϕA
UA,B = ϕA − ϕB .
Knotenpotenziale
Grundlagen Elektrotechnik
und
ϕB :
SS 2009
Netze an Gleichspannung
Schaltungsberechnung
Knotenpotenzialverfahren
Knotenpotenzialverfahren:
1 ϕ1
U1,2
U2,0
0
U1,3
R1
2
ϕ2
Iq
Vereinfachung hier: nur linearen
U2,3
R2
R5
U3,0
R3
Stromquellen und Leitwerte:
1
ϕ3
3
Bezugsknoten ist 0.
2
K1:
K3:
Bezugsknoten mit Hilfe der
Knotenpotentiale.
ϕ0 = 0 V
3
Iq
G1 (ϕ1 − ϕ2 )
G3 (ϕ1 − ϕ3 ) + G5 (ϕ2 − ϕ3 )
©2009 Sönke Carstens-Behrens (RAC)
Aufstellen der Knotengleichungen für alle Knoten auÿer
R4
Gleichungssystem:
K2:
Nummerieren der Knoten,
=
=
=
Lösen des Gleichungssystems
G1 (ϕ1 − ϕ2 ) + G3 (ϕ1 − ϕ3 )
G2 ϕ2 + G5 (ϕ2 − ϕ3 )
G4 ϕ3
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
23
3 Kondensator
3.1 Kapazität
Kondensator
Kapazität
Kondensator und Kapazität
C
Schaltzeichen:
Kondensator: Zwei Metallächen,
die durch einen Isolator elektrisch
voneinander getrennt sind.
U
Kapazität
C
C:
Wird die Spannung
U
an einen Kondensator gelegt,
sammelt sich die Ladung
Q
auf den
Platten an. Kapazität: Quotient
aus Ladung und Spannung:
C=
Q
U.
Farad: Einheit für die Kapazität:
1F=
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
1C
1 V.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
3.2 Kondensatorschaltungen
Kondensator
Kondensatorschaltungen
Kondensatorschaltungen
Parallelschaltung:
Q1
Q2
U
C1
C2
U
Qe
Ce
Spannung U ist gleich.
Ladung des
Ersatzkondensators:
Qe = Q1 + Q2 .
⇒ Ersatzkapazität: Ce = QUe =
Q1 +Q2
= C1 + C2 .
U
Reihenschaltung:
Q1
C1
Q2
C2
U1
U
U2
©2009 Sönke Carstens-Behrens (RAC)
24
Qe
Ce
Ladung Q1 = Q2 = Qe = Q
ist gleich.
Spannung: U = U1 + U2
mit Kapazitätsgleichung:
Q
Q
Q
Ce = C1 + C2
⇒ Ersatzkapazität:
1
1
1
Ce = C1 + C2
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
3.3 Schaltvorgang
Kondensator
Schaltvorgang
Schaltvorgang: Auaden eines Kondensators
Ri
i t=0
uC
Uq
t < 0:
t ≥ 0:
C
es sei
uC = 0
Maschengleichung:
Uq = Ri i + uC
Strom durch Kondensator:
C
i = iC = dqdtC = C du
dt
⇒ Dierentialgleichung
1. Ordnung:
C
Uq = Ri C du
dt + u
C
t
Lösung: uC = Uq 1 − e− τ
mit τ = Ri C
Uq − t
C
τ
Strom: i = C du
dt = Ri e
uC i
Uq
Uq
Ri
t
0
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
Kondensator
SS 2009
Schaltvorgang
Schaltvorgang: Entladen eines Kondensators
i t=0
iC
C
uC
RL
uC i
U0
U0
RV
es sei
uC = U0
Maschengleichung:
uC = RV i
Strom durch Kondensator:
C
iC = C du
dt = −i
⇒ Dierentialgleichung
1. Ordnung:
C
uC = −RV C du
dt
t
Lösung: uC = Uq e− τ mit
τ = RV C
Strom:
Uq − t
C
τ
i = −C du
dt = RV e
t
0
©2009 Sönke Carstens-Behrens
t < 0:
t ≥ 0:
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
25
4 Spule
4.1 Induktivität
Spule
Induktivität
Spule und Induktivität
L
Schaltzeichen:
Spule: Draht, der zu einer oder
mehreren Windungen geformt ist.
Induktivität
L:
Proportionalitätsfaktor zwischen
der Änderung des Stromes durch
die Spule
di
dt und der dadurch an
der Spule induzierten Spannung
di
u = L dt
.
i
u:
Henry: Einheit für die Induktivität:
1 H = 1 Vs
A.
u
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
4.2 Schaltvorgang
Spule
Schaltvorgang
Schaltvorgang: Auaden einer Spule
Ri
iL t = 0
t < 0: iL = 0
t ≥ 0:
uL
Uq
L
R
uL iL
Uq
Ri +R
Uq
t
0
©2009 Sönke Carstens-Behrens
26
Maschengleichung:
Uq = (Ri + R)iL + uL
Spannung an Spule:
di
uL = L dt
⇒ Dierentialgleichung
1. Ordnung:
di
Uq = (Ri + R)iL + L dt
Lösung:
t
Uq
iL = Ri +R
1 − e− τ mit
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
τ = RiL+R
Spannung:
t
uL = L didtL = Uq e− τ
SS 2009
Spule
Schaltvorgang
Schaltvorgang: Entladen einer Spule
R
t=0
I0
t < 0:
t ≥ 0:
iL
uL
L
iL = I0
Maschengleichung:
uL = (R + RV )iL
Spannung an Spule:
uL = −L didtL (Minus wegen
Verbraucherpfeilsystem!)
⇒ Dierentialgleichung
1. Ordnung:
−L didtL = (R + RV )iL
t
Lösung: iL = I0 e− τ mit
L
τ = R+R
V
Spannung:
t
uL = (R + RV )I0 e− τ
RV
uL iL
(R + RV )I0
I0
t
0
©2009 Sönke Carstens-Behrens
es sei
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
27
5 Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
5.1 Periodendauer und Frequenz
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Periodendauer und Frequenz
Periodendauer und Frequenz
Harmonische Funktionen:
u
Funktionen, die durch die
Winkelfunktionen Sinus und
Kosinus gegeben sind, z. B.
u(t) = û cos(2πf t + ϕ).
Periodendauer
T:
Dauer, nach der
sich der Verlauf einer periodischen
t
Funktion wiederholt,
u(t) = u(t + T ).
Frequenz
f:
Kehrwert der
Periodendauer = Anzahl der
f=
Schwingungen pro Sekunde:
T
©2009 Sönke Carstens-Behrens
1
T.
Hertz: Einheit für die Frequenz:
1 Hz = 1 s−1 .
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
5.2 Wirkleistung und Eektivwert
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Wirkleistung und Eektivwert
Wirkleistung und Eektivwert
zeitabhängige Leistung
P (t): Flieÿt
i durch
ein zeitabhängiger Strom
einen Widerstand, ist die Leistung
P (t)
ebenfalls zeitabhängig:
Wirkleistung
P
P:
P (t) = Ri2 .
Arithmetischer
Mittelwert der Leistung
P =
t
i
1
T
Z
0
T
P (t)dt =
P (t):
R
T
Z
T
i2 dt
0
i = î cos(2πt + ϕ): P = 12 Rî2
Eektivwert: Gleichstrom oder
-spannung mit der gleichen
Wirkleistung wie die Wechselgröÿe.
Beispiel Strom:
©2009 Sönke Carstens-Behrens
28
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
Ief f = I =
Ô
2
SS 2009
5.3 Kreisfrequenz und Phasenwinkel
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Kreisfrequenz und Phasenwinkel
Kreisfrequenz und Phasenwinkel
u i
ω : 2π -fache
f : ω = 2πf .
Kreisfrequenz
Frequenz
der
Phasenwinkel: Argument der
Kosinusfunktion, z. B. bei
0
2π ωt
π
u = û cos(ωt + ϕu ) ist der
Phasenwinkel ωt + ϕu .
Nullphasenwinkel
zur Zeit
ϕi ϕu
t = 0.
ϕ0 :
Phasenwinkel
Phasenverschiebungswinkel
ϕ:
zwischen Strom und Spannung mit
ϕ
den Nullphasenwinkeln
ϕ = ϕu − ϕi .
In diesem Beispiel gilt:
ϕi > 0, ϕu < 0, ϕ < 0.
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
ϕi
und
Grundlagen Elektrotechnik
ϕu :
SS 2009
5.4 Exkurs: Komplexe Zahlen
5.4.1 xy-Ebene
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Exkurs: Komplexe Zahlen
xy-Ebene
2-dimensionale Ebene
x-Komponente zeigt nach rechts
y
y-Komponente zeigt nach oben
Darstellung eines Punktes
y1
p~1
p~2
~ex
x1
p~2
auf
p~ = x · ~ex + y · ~ey mit ~ex = 10 und ~ey = 01 .
p~
~ey
p~
der Ebene:
p~ = xy
x
Addition zweier Vektoren:
p~ = p~1 + p~2 =
x1 + x2
y1 + y2
= (x1 + x2 )~ex
+(y1 + y2 )~ey
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
29
5.4.2 Komplexe Ebene
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Exkurs: Komplexe Zahlen
Komplexe Ebene
2-dimensionale Ebene
=
y1
z1
z2
heiÿt Realteil
y -Komponente
heiÿt
Imaginärteil
z
j
x-Komponente
x1
<
z2
~ex
wird weggelassen
~ey
heiÿt
j
·
Algebraische Form:
Realteil + j
Imaginärteil
Komplexe Variablen werden
unterstrichen, z. B.
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
z = x + jy .
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
5.4.3 Rechnen mit komplexen Zahlen
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Exkurs: Komplexe Zahlen
Rechnen in der algebraischen Form
√
j = −1.
∗
zu z = x + jy konjugiert komplexe Zahl: z = x − jy .
Addition: z = z 1 + z 2 = x1 + x2 + j(y1 + y2 ).
Subtraktion: z = z 1 − z 2 = x1 − x2 + j(y1 − y2 ).
Multiplikation: z = z 1 z 2 :
Die imaginäre Einheit
j
besitzt den Wert
z = (x1 + jy1 )(x2 + jy2 ) = x1 x2 + j 2 y1 y2 + j(x1 y2 + x2 y1 )
= x1 x2 − y1 y2 + j(x1 y2 + x2 y1 )
Division, Trick: Nenner mit konjugiert komplexer Zahl erweitern:
z =
=
©2009 Sönke Carstens-Behrens
30
(RAC)
z1
x1 + jy1
(x1 + jy1 )(x2 − jy2 )
=
=
z2
x2 + jy2
(x2 + jy2 )(x2 − jy2 )
(x1 x2 + y1 y2 ) + j(x2 y1 − x1 y2 )
x22 + y22
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Exkurs: Komplexe Zahlen
Rechnen in der Polarform
Polarform:
mit
z = r ejϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ) = r ϕ
p
x2 + y 2
r=
und
ϕ
als Winkel von
z
in der komplexen Ebene.
Multiplikation:
z = z 1 z 2 = r1 r2 ej(ϕ1 +ϕ2 ) = r1 r2 ϕ1 + ϕ2
Division:
z=
z1
r1 j(ϕ1 −ϕ2 ) r1
ϕ1 − ϕ2
=
e
=
z2
r2
r2
Umrechnen der beiden Formen:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
p
x2 + y 2
y
ϕ = arctan
x
r =
für
x>0
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
5.5 Zeigerdarstellung, komplexe Symbole
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Zeigerdarstellung, komplexe Symbole
Zeigerdarstellung
t = t1
ω
û
t=0
ϕu
Zeiger: Sinusschwingungen lassen
sich als Projektion eines Zeigers,
der mit der Winkelgeschwindigkeit
0
u
ω
rotiert, auf die
x-Achse
erklären.
u = u(t) = û cos(ωt + ϕu )
t1
t
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
31
Darstellung harmonischer Wechselgröÿen
Zeigerdarstellung, komplexe Symbole
Komplexe Symbole
Gegeben: reellwertige
sinusförmige Spannung
u(t) = û cos(ωt + ϕu )
=
Ergänzung des Imaginärteils:
U
= {U }
u(t) =
û cos(ωt+ϕu )+j û sin(ωt+ϕu )
Polarform:
u(t) = û ej(ωt+ϕu ) = û ejωt ejϕu
ϕu
< {U }
<
Verwendung des Eektivwerts
statt der Amplitude:
U (t) = U ejωt ejϕu
t = 0:
U = U ejϕu = U ϕu
Darstellung nur für
©2009 Sönke Carstens-Behrens
32
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6 Netze an Sinusspannung
6.1 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert
Netze an Sinusspannung
Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert
Komplexer Widerstand
Schaltzeichen:
I
Z
Für Sinusspannung (und Sinusstrom):
Komplexer Widerstand
Z:
Quotient
aus komplexer Spannung und
U
komplexem Strom:
Z=
U
U ejωt ejϕu
U
ϕu − ϕi
=
=
jωt
jϕ
i
Ie e
I
I
Es gilt:
Z
Z
Z
Z = U /I
I = U /Z
U
= ZI
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
hängt nicht von der Zeit ab.
ist kein Zeiger (wie z. B.
U ).
ist ein komplexer
Koezient oder Operator
Grundlagen Elektrotechnik
Netze an Sinusspannung
SS 2009
Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert
Komplexer Leitwert
Schaltzeichen:
I
Y
Komplexer Leitwert
U
Y:
Quotient aus
komplexem Strom und komplexer
Spannung:
Y =
I ejωt ejϕi
I
I
ϕi − ϕu
=
=
jωt
jϕ
u
Ue e
U
U
Es gilt:
Y
= I/U
U
= I/Y
Y
hängt nicht von der Zeit ab,
sondern ist ebenfalls ein
komplexer Koezient.
I = YU
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
33
6.1.1 Schein-, Wirk- und Blindwiderstand
Netze an Sinusspannung
Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert
Schein-, Wirk- und Blindwiderstand
Scheinwiderstand (Impedanz)
=
Betrag des komplexen
Widerstandes:
Z = |Z| =
Z:
U
I.
Einheit: Ohm.
Z
X
Wirkwiderstand
R:
Realteil des
komplexen Widerstandes:
ϕ
R
<
R = <{Z}.
Blindwiderstand (Reaktanz)
X:
Imaginärteil des komplexen
Widerstandes:
Es gilt:
Phasenverschiebungswinkel
Z = R + jX
(RAC)
ϕ:
Dierenz der Nullphasenwinkel
= |Z| ϕ
©2009 Sönke Carstens-Behrens
X = = {Z}.
und
ϕi : ϕ = ϕu − ϕi .
Grundlagen Elektrotechnik
ϕu
SS 2009
6.1.2 Schein-, Wirk- und Blindleitwert
Netze an Sinusspannung
Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert
Schein-, Wirk- und Blindleitwert
=
Scheinleitwert (Admittanz)
Y:
Betrag des komplexen Leitwertes:
Y = |Y | =
Wirkleitwert
B
Realteil des
<
G = <{Y }.
Blindleitwert (Suszeptanz)
B:
Imaginärteil des komplexen
Leitwertes:
B = = {Y }.
Der Winkel des komplexen Leitwertes
Es gilt:
Y
= G + jB
ist
der
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
negative
bungswinkel
= |Y | −ϕ
34
G:
komplexen Leitwertes:
G
−ϕ
Y
I
U . Einheit: Siemens
Grundlagen Elektrotechnik
Phasenverschie-
−ϕ.
SS 2009
6.2 Eintore an einer Sinusspannung
6.2.1 Widerstand
Netze an Sinusspannung
Eintore an einer Sinusspannung
Ohmscher Widerstand an Sinusspannung
U
I
R
Im Zeitbereich:
u i
t
=
u = û cos(ωt + ϕu )
i = R1 û cos(ωt + ϕu ) =
î cos(ωt + ϕi )
⇒ î = û/R, ϕi = ϕu (Strom
und Spannung sind in Phase).
Komplexer Widerstand:
I
Z=R
(ist reellwertig).
U
ϕu = ϕi
Eektivwerte:
U = RI .
<
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.2.2 Kondensator
Netze an Sinusspannung
Eintore an einer Sinusspannung
Kondensator an Sinusspannung
U
I
C
Im Zeitbereich:
i u
t
=
I
ϕi
Komplexer Strom:
ϕ = −90◦
U
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
I = jωCU .
Komplexer Leitwert:
<
ϕu
u = û cos(ωt + ϕu )
i = C du
dt
= −ωC û sin(ωt + ϕu )
= ωC û cos(ωt + ϕu + 90◦ )
= î cos(ωt + ϕi )
⇒ î = ωC û, ϕi = ϕu + 90◦
(Strom eilt Spg. 90◦ voraus).
Phasenverschiebungswinkel:
ϕ = -90◦ .
Y = jωC .
Komplexer Widerstand:
Z=
Grundlagen Elektrotechnik
1
jωC
1
= −j ωC
.
SS 2009
35
6.2.3 Spule
Netze an Sinusspannung
Eintore an einer Sinusspannung
Spule an Sinusspannung
I
U
Im Zeitbereich:
L
u i
t
=
U
Komplexe Spng.:
ϕ = 90◦
ϕu
U = jωLI .
Kompl. Widerstand:
<
ϕi
Z = jωL.
Kompl. Leitwert:
Y =
I
©2009 Sönke Carstens-Behrens
i = î cos(ωt + ϕi )
di
u = L dt
= −ωLî sin(ωt + ϕi )
= ωLî cos(ωt + ϕi + 90◦ )
= û cos(ωt + ϕu )
⇒ û = ωLî, ϕu = ϕi + 90◦
(Spg. eilt Strom 90◦ voraus).
Phasenverschiebungswinkel:
ϕ = +90◦ .
(RAC)
1
jωL
1
= −j ωL
.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.3 Einfache Verbindungen von Eintoren
6.3.1 Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator
Netze an Sinusspannung
Einfache Verbindungen von Eintoren
Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator
U
I R
UR
Ersatzschaltung:
C
I Z
U
UC
=
I
U
ϕ
UR
UC
Komplexer Widerstand:
Z =R+
1
= R − j ωC
.
Komplexer Leitwert:
Y =
<
1
jωC
1
Z
=
Impedanz:
R+j
1
1
R−j ωC
1
= R2 + ωC
.
1
(ωC)2
q
1
|Z| = R2 + (ωC)
2.
Phasenverschiebungswinkel:
=
R
Z
ϕ
©2009 Sönke Carstens-Behrens
36
1
ωC
(RAC)
<
1
ϕ = − arctan ωRC
−90◦ < ϕ < 0◦ .
Grundlagen Elektrotechnik
,
SS 2009
6.3.2 Reihenschaltung von Widerstand und Spule
Netze an Sinusspannung
Einfache Verbindungen von Eintoren
Reihenschaltung von Widerstand und Spule
U
Ersatzschaltung:
I R
L
I Z
UR
UL
U
Komplexer Widerstand:
Z = R + jωL.
Komplexer Leitwert:
=
Y =
U
UR
I
|Z| =
<
R−jωL
.
R2 +(ωL)2
p
R2 + (ωL)2 .
ϕ = arctan ωL
R
0◦ < ϕ < 90◦ .
ωL
ϕ
=
Phasenverschiebungswinkel:
=
Z
1
R+jωL
=
Impedanz:
UL
ϕ
1
Z
R
,
<
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.3.3 Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator
Netze an Sinusspannung
Einfache Verbindungen von Eintoren
Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator
U
I
Ersatzschaltung:
I Z
IR R
IC
=
U
C
I
=
Y = G + jωC .
Komplexer Widerstand:
Z=
1
Y
1
G+jωC
=
Impedanz:
ϕ
G
G2 +(ωC)2
Z
Komplexer Leitwert:
ϕ
IC U
IR
|Z| =
<
<
ωC
G2 +(ωC)2
©2009 Sönke Carstens-Behrens (RAC)
1
|Y |
=
q
=
G−jωC
.
G2 +(ωC)2
1
.
G2 +(ωC)2
Phasenverschiebungswinkel:
ϕ = − arctan ωC
=
G
− arctan (ωRC),
−90◦ < ϕ < 0◦ .
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
37
6.3.4 Parallelschaltung von Widerstand und Spule
Netze an Sinusspannung
Einfache Verbindungen von Eintoren
Parallelschaltung von Widerstand und Spule
U
I
Ersatzschaltung:
I Z
IR R
U
IL L
=
ϕ
I
IR
I LU
<
Komplexer Leitwert:
Z=
1
Y
ωL
1+(ωGL)2
ϕ
<
G(ωL)2
1+(ωGL)2
©2009 Sönke Carstens-Behrens (RAC)
1
1
G−j ωL
=
1
G+j ωL
G2 + 1 2
(ωL)
1
|Y |
=
G(ωL)2 +jωL
.
1+(ωGL)2
=
Impedanz:
=
1
= G − j ωL
.
Komplexer Widerstand:
|Z| =
Z
1
jωL
Y =G+
r
=
G2 +
1
1
(ωL)2
.
Phasenverschiebungswinkel:
R
ϕ = arctan ωL
0◦ < ϕ < 90◦ .
,
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.4 Leistung
Netze an Sinusspannung
Leistung
Leistung
U
I
Komplexe Leistung
Z
Spannung
Z
P:
Wirkleistung
ϕ
Produkt aus
I ∗: S = U I ∗.
Realteil der
komplexen Leistung:
X
R
S:
und konjugiert
komplexem Strom
=
P = < {S}.
Einheit: Watt.
<
Blindleistung
Q:
Imaginärteil der
Q = = {S}.
1 var = 1 VA = 1 W.
komplexen Leistung:
=
S
Einheit: Var,
ϕ
Q
P
©2009 Sönke Carstens-Behrens
Scheinleistung
<
S = S ϕ = P + jQ
38
U
(RAC)
S:
Produkt der
Eektivwerte von Strom und
Spannung:
S = U I = |S|. Einheit:
1 VA = 1 V 1 A.
Voltampere,
Grundlagen Elektrotechnik
·
SS 2009
6.5 Lineare Netze
6.5.1 Kombination von komplexen Widerständen
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze
Reihenschaltung komplexer Widerstände
Z1
I
I
U1
U2
U3
U
Gesamtwiderstand einer Reihenschal-
Z2 U
Ze
tung von
N
komplexen Widerständen
ist die Summe der komplexen Widerstände:
Z3
Ze =
Maschengleichung:
U
N
X
n=1
Zn =
N
X
Rn +
n=1
N
X
Xn
n=1
= U1 + U2 + U3
Es addieren sich die Wirkwiderstände
= Z 1I + Z 2I + Z 3I
und die Blindwiderstände.
= (Z 1 + Z 2 + Z 3 )I
= Z eI
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
Netze an Sinusspannung
SS 2009
Lineare Netze
Parallelschaltung komplexer Widerstände
I
I
I1
U Z1
I2
Z2
Gesamtleitwert
U
Ze
tung von
N
einer
Parallelschal-
komplexen Widerstän-
den ist die Summe der komplexen
Leitwerte:
Ye =
Knotengleichung:
U
U
I = I1 + I2 =
+
Z1 Z2
1
1
=
+
U
Z1 Z2
U
=
Ze
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
N
X
n=1
Yn =
N
X
Gn +
n=1
N
X
Bn
n=1
Gesamtwiderstand (Kehrwert):
Grundlagen Elektrotechnik
N
X 1
1
=
Ze
Zn
n=1
SS 2009
39
6.5.2 Spannungsteiler
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze
Spannungsteiler
Beispiele:
Z1
Berechnungen
U1 U
2
U
U2 =
U
Z2 U 2
Ui =
Z2
Z 1 +Z 2 U
Z1
Z2
U1
U2 U
3
Uj
U
Uk
Ul
Z3
mit
U1 =
am
Spannungsteiler
analog zum Gleichspannungsfall:
Z1
Z 1 +Z 2 +Z 3 U
©2009 Sönke Carstens-Behrens (RAC)
Z ges =
=
=
Zi
U
Z ges
Zj
Z ges
Zk
Zl
PN
n=1 Zn .
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.5.3 Stromteiler
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze
Stromteiler
Beispiel:
I
Berechnungen am Stromteiler analog
I1
Z1
I1 =
I2 =
I3 =
I2
Z2
zum Gleichspannungsfall:
Z3
Y1
I
Y1+Y2+Y3
Y2
I
Y1+Y2+Y3
Y3
I
Y1+Y2+Y3
©2009 Sönke Carstens-Behrens
40
I3
(RAC)
Ia
Ib
Ic
I
=
=
Id =
mit
Y ges =
Grundlagen Elektrotechnik
Ya
Yb
Yc
Y ges
Yd
I
Y ges
PN
n=1 Y n :
SS 2009
6.5.4 Schwingkreise und Resonanz
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze
Schwingkreise
Reihenschwingkreis:
R
I
UR
U
=
Parallelschwingkreis:
L
I
UL
UC
C
UL
U
IL
R
L
U
Y =
1
Z = R + jωL − j ωC
IR
1
R
IC
C
1
− j ωL
+ jωC
=
IC
UC
I
IL
ϕ
ϕ
I UR
©2009 Sönke Carstens-Behrens
U IR
<
(RAC)
<
Grundlagen Elektrotechnik
Netze an Sinusspannung
SS 2009
Lineare Netze
Resonanz im Reihenschwingkreis
I
U
=
R
UR
L
Reihenresonanz: Spezialfall, bei dem
UL
UC
U und I in Phase sind und U L
U C sich gegenseitig aufheben.
U
Strom ist maximal: I =
R.
C
1
Z = R + jωL − j ωC
Resonanz-Kreisfrequenz
UL
ωr :
Kreisfrequenz, bei der Resonanz
vorliegt:
U L = −U C ⇒ ωr =
Reihenresonanzfrequenz
fr =
ωr
2π
=
1
√
.
2π LC
fr :
√1 .
LC
Spannungsüberhöhung: Die
UC
Eektivwerte
ϕ = 0◦
I
und
UL
und
UC können
U:
in
Resonanz höher sein als
UR = U <
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
UL
U
=
UC
U
Grundlagen Elektrotechnik
> 1.
SS 2009
41
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze
Resonanz im Parallelschwingkreis
I
U
IR
IL
R
L
IC
Parallelresonanz: Spezialfall, bei
C
dem
und
Y =
=
1
R
−
1
j ωL
+ jωC
U und I in Phase sind und I L
I C sich gegenseitig aufheben.
Analog zum Reihenschwingkreis gilt:
IC
Resonanz-Kreisfrequenz
I L = −I C ⇒ ωr =
ωr :
√1
LC
(Parallel-) Resonanzfrequenz
fr =
ωr
2π
=
1
√
.
2π LC
fr :
Stromüberhöhung: Die Eektivwerte
IL
IL
und
IC
können in Resonanz
höher sein als
ϕ = 0◦
IL
I
IR = I <
U
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
=
IC
I
> 1.
I:
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.5.5 Kompensation
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze
Kompensation
IV
I
Leistungsfaktor
IC
U
λ:
Verhältnis von
Wirkleistung zu Scheinleistung:
λ=
R
P
S
= cos ϕ.
Bei konstanter Spannung und
C
Wirkleistung: Je kleiner
λ,
desto gröÿer der Strom
L
⇒
hohe Verluste auf den
Leitungen = hohe Kosten
ϕV
IV b
U
ϕ
Optimierung des Leistungsfaktors
I IC
IV
42
durch Parallelschalten eines
Kondensators (Blindanteil meist
durch Motoren = Spulen):
λ = cos ϕ ≥ 0,894.
IV r
©2009 Sönke Carstens-Behrens
Blindleistungskompensation:
(RAC)
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.6 Lineare Netze mit Quellen
6.6.1 Belastung idealer Sinusquellen
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze mit Quellen
Belastung idealer Sinusquellen
I
Ideale Sinusquelle: liefert an ihren
IV
Klemmen belastungsunabhängig
den konstanten Eektivwert der
Uq
U UV
ZV
Spannung
Uq
(Spannungsquelle)
oder den konstanten Eektivwert
des Stromes
Iq
(Stromquelle).
Leistung des Verbrauchers:
S V = U V I ∗V = U I ϕ
I
Leistung der Quelle:
UV = U
S q = U I ∗ = U I ϕ − 180◦
ϕ
(RAC)
.
Verbraucherpfeilsystem:
PN
P
P = 0, N
n=1 Qn = 0,
n=1
PN n
⇒ n=1 S n = 0.
IV
©2009 Sönke Carstens-Behrens
.
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
6.6.2 Ersatzquellen
Netze an Sinusspannung
Lineare Netze mit Quellen
Ersatzquelle
Beispiel:
Analog zum Gleichspannungsfall:
U
I
U q1
Z i1
U q2
I
I
Z i2
U qe
Z ie
U
I qe
Y ie
U
I
U qe
Z ie
U qe : entspricht Leerlaufspannung
I qe : entspricht Kurzschlussstrom
Z ie ,Y ie : Bestimmung: Schaltung
U
quellenfrei denken,
U qe = U q1 + U q2
quellenfrei: Z ie = Z i1 + Z i2
Leerlauf:
©2009 Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
ideale Spg.quelle = Kurzschluss,
ideale Stromquelle = Unterbrechung
Grundlagen Elektrotechnik
SS 2009
43