Lsg_Pr_8

Lösung Blatt 8 - Präsenzaufgaben
December 7, 2011
Aufgabe 1 Mott-Insolator / Superfluid Übergang für bosonische Atome
im Gitter
Wir betrachten ein optisches Gitter mit M Plätzen gefüllt mit N = M bosonischen Atomen, welches
durch den Bose-Hubbard Hamiltonian in 1D
Ĥ
= −J
M
X
X
â†j âi +
i=1 j=NN(i)
M
UX
n̂i (n̂i − 1)
2 i=1
(1)
beschrieben wird. Wir nehmen periodische Randbedingungen an.
1. Grundzustand
Superfluider Grundzustand J > 0, U = 0
Ohne Wechselwirkung (U = 0) sind die bosonischen Atome über das gesamte Gitter delokalisiert. In
PM
der Tat ist der Hamiltonian diagonal in den Operatoren b̂k = √1M j=1 e−ikj âj :
Ĥ(U = 0)
=
X
k
1
ωk b̂†k b̂k +
2
(2)
mit ωk = −2J cos k. Im Grundzustand sammeln sich alle Bosonen im Zustand mit der niedrigsten
Energie, d.h., im k = 0-Zustand. Demnach kann man diesen schreiben als
|GZ, U = 0i =
=
(b̂†0 )M
√
|0i
M!
X †
1
√ (
âj )M |0i
M M/2 M ! j
wobei |0i den Vakkuum Zustand, d.h., den Zustand mit Null Bosonen bezeichnet.
1
(3)
(4)
Mott-Insolator Grundzustand J = 0, U > 0
Für verschwindendes Hüpfmatrixelement J = 0 sind die Bosonen natürlich auf ihren jeweiligen Gitterplatz festgelegt. Demnach diagonalisieren die Besetzungszahloperatoren n̂i den Hamiltonian
Ĥ(J = 0)
=
UX
n̂i (n̂i − 1).
2 i
(5)
Um die Wechselwirkungsenergie zu minimieren (repulsive Wechselwirkung mit U > 0) müssen wir die
Bosonen so homogen als möglich verteilen. In unserem Fall M = N platzieren wir also auf jedem
Gitterplatz ein Boson. Der Grundzustand lässt sich nun einfach schreiben als
|GZ, J = 0i =
M
Y
â†j |0i.
(6)
j=1
Impulsverteilung
Zunächst stellen wir fest, dass hn̂k i =
dichtematrix hâ†m ân i berechnen.
1
M
P
mn
eik(n−m) hâ†m ân i. Demnach müssen wir die Einteilchen-
Mott-Isolator Grundzustand
Im Mott-Isolator Grundzustand ist
=
hâ†m ân i
Y
Y †
h0|
âi (â†m ân )
âj |0i
=
δmn
i
j
(7)
P
1
ik(n−m)
und somit hn̂k i = M
δmn = 1. Da die Position der Teilchen im Gitter festgelegt ist, ist
mn e
deren Impuls vollständig unbestimmt.
Superfluider Grundzustand
Die Impulsverteilung im Superfluiden Grundzustand ist einfach hn̂k i = M δk0 (siehe oben). Dies folgt
aus der Einteilchendichtematrix
hâ†m ân i
1 X −ikm+ik0 n †
=
e
hb̂k b̂k0 i
M
0
k,k
=
1.
(8)
2
Aufgabe 2 Coulombwechselwirkung
´
2
Ziel ist es das Volumenintegral Vq~ = d3~r e−i~q~r V (~r) mit V (r) = er e−r/ξ zu berechnen. Das Potential
ist sphärisch symmetrisch. Demnach ist Vq~ = Vq und wir setzen der Einfachheit halber ~q = qêz und
wechseln in Kugelkoordinaten dθ/d cos θ = − sin1 θ
Vq~
e2
ˆ
=
ˆ
∞
2π
0
ˆ
=
0
ˆ
=
4π
q
=
e−iqr cos θ −r/ξ
e
r
1
d cos θ re−iqr cos θ e−r/ξ
dr
−1
−iqr
0
2π
dθ r2 sin θ
ˆ
∞
2π
=
π
dr
∞
dr
ˆ0 ∞
e
− eiqr −r/ξ
e
−iq
dr sin(qr)e−r/ξ
0
4π
.
q 2 + ξ −2
(9)
3