Einführung in die angewandte Mathematik: Aufgabenblatt 1

Einführung in die angewandte Mathematik: Aufgabenblatt 1
Abgabe einzeln oder in Zweiergruppen bis Fr, 15.04.2005.
Maple-Aufgaben (1 P./Aufg.)
1. Teilen Sie 3175 durch 50!. Wie lautet der Zähler des gekürzten Bruches (numer)? Wie oft ist
der Faktor 3 darin erhalten (ifactor)?
p √
2. Vereinfachen Sie den Ausdruck 2 19549 + 286 (Quadratwurzel: sqrt). Geben Sie hierfür
eine 50-stellige Näherung an (Hilfe: ?evalf).
3. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
a)
1
sin(x)2
+
1
cos(x)2
(simplify),
b) sin(x + y) + sin(x − y) (expand),
c) cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) (combine).
4. Für a > 0 sei die Funktion fa definiert durch
fa : R → R,
x 7→ x3 − ax.
a) Importieren Sie das Paket plots“ (with(plots):) und visualisieren Sie die Kurvenschar
”
{fa }a>0 (Hilfe: ?animate)1 .
b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Maple Extrem- und Wendepunkte von fa .
5. Gegeben sei die Matrix


−5 0 7
A =  6 2 −6 .
−4 0 6
Bestimmen Sie mit Hilfe von Maple die Eigenwerte von A und geben Sie den Eigenraum von
A zum Eigenwert 2 an.
6. Schreiben Sie ein Maple-Programm (proc) zur Berechnung der Binomialkoeffizienten
b(n, k) :=
n!
.
k!(n − k)!
Aufgaben zu Markow-Ketten (3 P./Aufg.)
1. Die Bände eines dreibändigen Wörterbuchs, die als A, B und C bezeichnet sind, sind auf
einem Tisch aufgestapelt. Das Wörterbuch wird in der folgenden Weise benutzt: man wählt
mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen der Bände, benutzt ihn, und legt ihn oben auf den
Stapel wieder drauf. Die Benutzungen sind unabhängig. Es gibt sechs mögliche Ordnungen
der Bände:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
(der Buchstabe am linken Rand bezeichnet den oberen Band usw.).
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Sie starten die Animation indem Sie das kontextsensitive Menü aufrufen (Rechtsklick auf den Graphen). Wählen
Sie dann: Animation ⇒ Start.
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a) Erklären Sie, warum die Folge Ordnung der Bände“ eine Markow-Kette ist.
”
b) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix.
c) Sei die anfängliche Ordnung BCA. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach fünf
Benutzungen die Ordnung ABC ist?
2.
a) Ein Massenpunkt wird zufällig auf einen der neun Punkte des nachstehenden Diagramms
gestellt. Darauf bewegt sich der Massenpunkt bei jedem Schritt in der folgenden Weise: entweder er bleibt am gleichen Punkt, oder er bewegt sich horizontal oder vertikal
zu einem benachbarten Punkt, alles mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Schätzen Sie den
stationary vector“ der entsprechenden Markow-Kette bis auf vier Nachkommastellen
”
ab.
1 t
2 t
3 t
4 t
5 t
6 t
7 t
8 t
9 t
b) Erfinden Sie eine einfache Regel, die die Bewegung des Massenpunkts so beeinflusst,
dass der stationary vector“ gleichmässig ist (alle Komponenten sind gleich). Um Ihre
”
Regel zu prüfen, bestimmen Sie die Übergangsmatrix und schätzen Sie den stationary
”
Vektor“ ab.
c) Zeigen Sie: Ist die Übergangsmatrix doppelt stochastisch (die Summe der Einträge in
jeder Spalte und in jeder Zeile beträgt 1), so ist der stationary vector“ gleichmässig.
”
3. Eine Spinne, die eine Fliege jagt, bewegt sich zwischen den Stellen 1 und 2 vor und zurück
gemäss der Übergangsmatrix
0.7 0.3
Ps :=
,
0.3 0.7
während sich die Fliege gemäss der Übergangsmatrix
0.4 0.6
Pf :=
0.6 0.4
bewegt. Anfangs befinden sich die Spinne und die Fliege an den Stellen 1 bzw. 2. Sie bewegen
sich unabhängig. Die Jagd ist zu Ende, sobald sich Spinne und Fliege an der gleichen Stelle
begegnen (insbesondere bewegt sich danach keine von beiden weiter).
a) Die Jagd wird durch eine Markow-Kette {Xn } mit vier Zuständen dargestellt. Bestimmen
Sie die Übergangsmatrix.
b) Tatsächlich ist es möglich, die Jagd durch eine Markow-Kette {Yn } mit nur drei Zuständen
darzustellen. Bestimmen Sie die Zustände und die Übergangsmatrix P .
c) Diagonalisieren Sie P . Finden Sie einen Ausdruck (als Funktion von n) für die Wahrscheinlichkeit, dass die Jagd zur Zeit n endet.
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