Technische Mechanik II
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Überblick Ankündigungen Technische Mechanik II Literatur Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke Reibung Hessische BA Elastostatik 3. Januar 2012(Rev.: ee506a746fb7) Dynamik Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Ankündigungen 3. Januar 2012 1 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Inhalte Technische Mechanik II Ankündigungen Inhalte 3. Januar 2012 2 / 88 3. Januar 2012 4 / 88 Klausur Klausur Script: http://www.dr-torsten-finke.de/lehre/tm2 I I Einstieg/Übersicht Inhalte: I I I I I Reibung Elastostatik Starre Körper Schwingungen I Inhalte der Veranstaltung komplett relevant I keine Hilfsmittel I Auswahlklausur I Formvorschriften Methode: I I I Vorlesung Übung Hausaufgaben! Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 3 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Ankündigungen Lob und Tadel Literatur Lob und Tadel Literatur I Kritik, Anmerkungen, Fragen: am besten sofort, konkret, direkt! I Evaluation – Sinn und Nutzen Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik – Teil 1: Statik Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik – Teil 2: Elastostatik Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik – Teil 3: Kinetik Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Reibung 3. Januar 2012 5 / 88 Grundlagen Technische Mechanik II Reibung Reibungskraft 3. Januar 2012 6 / 88 3. Januar 2012 8 / 88 Grundlagen Reibungsbeiwerte I trockene Reibung I Einflussgrößen I Normalkraft ↔ Reibungskraft I Kraftrichtung I Haft-/Gleitreibung I Reibungsbeiwert µ I Coulomb’sche Reibung R = µ N I Reibungskegel tan ϕ = µ I Wirkung und Verwendung Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Materialpaarung Stahl/Stahl Stahl/Teflon Stahl/Holz Stahl/Glas Stahl/Stein Holz/Holz Gummi/Asphalt 3. Januar 2012 7 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Haftreibung 0,15–0,5 0,04 0,5 0,6 0,45 0,55 0,7–0,9 Technische Mechanik II Gleitreibung 0,1–0,4 0,04 0,4 0,5 0,4 0,35 0,6–0,8 Reibung Seilreibung Reibung Seilreibung I I Seilreibungskraft I Grenzreibung Kräftebilanz am kleinen Umschlingungswinkel dϕ I I I dϕ 2 dϕ sin 2 cos I dϕ = dR dS cos 2 dϕ 2 S sin = dN 2 dR = µ0 dN Technische Mechanik II Reibung I I I I 3. Januar 2012 9 / 88 dϕ 2 Trennung der Variablen dS S Seilreibungskraft Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Rollreibung Technische Mechanik II Reibung 3. Januar 2012 10 / 88 Reibung – Übungen Reibung – Übungen Anmerkung: Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 . 1. Ein Zylinder aus Stahl (Dichte % = 7850 kg/m3 , Durchmeser D = 100 mm, Höhe H = 450 mm) steht auf einer waagerechten hölzernen Tischplatte. a) Welche seitliche Kraft F ist erforderlich, um den Zylinder zu verschieben? b) Auf welcher Höhe h über der Tischplatte darf diese seitliche Kraft höchstens angreifen, wenn der Zylinder nicht umkippen soll? Hysterese Schlupf im Latsch Rollreibungskoeffizienten µr RollBauteilpaarung reibung Kugel/Lager 0,0005–0,001 Stahlrad/Schiene 0,001–0,002 Reifen/Asphalt 0,01–0,02 Reifen/Sand 0,2–0,4 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) ≈ S2 = eµ ϕ S1 Verformung Wälzkörper/Auflage Wirkmechanismen: I ≈ 1 µ dϕ = Rollreibung I Kleinwinkelnäherung Seilkraft S Reibkraft R Normalkraft N Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Seilreibung Technische Mechanik II 2. Eine Stahlkiste (Masse m = 100 kg) wird in h = 2 m Höhe auf einer Holzplanke abgelegt, die um den Winkel α = 25◦ gegen die Waagerechte geneigt ist. a) Wie groß ist, falls erforderlich, eine Anschubkraft, um die Kiste ins Rutschen zu bringen? b) Welche Geschwindigkeit erreicht die Kiste bis zum Ende der Planke? Wie lange dauert das Rutschen? c) Nach Verlassen der Planke rutscht die Kiste über einen waagerechten Boden aus Stein. Nach welcher Zeit kommt sie zum Stehen? Welchen Weg legt sie in dieser Zeit zurück? 3. Januar 2012 11 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 12 / 88 Reibung Reibung – Übungen Reibung Reibung – Übungen Reibung – Übungen 4. Eine Stahlbramme (Masse m = 50 t) wird auf einem waagerechten Walzenbett abgelegt. Die parallel liegenden Walzen (Durchmesser D = 100 mm) rotieren mit der Drehzahl n = 180 1/min. Der Gleitreibungskoeffizient betrage µ = 0,1 3. Ein Klemmgreifer aus Stahl soll ein stählernes Werkstück mit der Gewichtskraft G = 1000 N heben. Der Haftreibungskoeffizient betrage µ0 = 0,3. a) Welche Endgeschwindigkeit erreicht die Bramme? b) Wann erreicht die Bramme ihre Endgeschwindigkeit? c) Welche Antriebsleistung benötigen die fördernden Walzen? a) Unter welchem Winkel α darf die gelenkige Klinke höchstens angebracht sein, damit das Werkstück klemmt? b) Welche Kraft F tritt im Rahmen des Klemmgreifers auf? α G Technische Mechanik II Reibung 3. Januar 2012 13 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Reibung – Übungen Technische Mechanik II Reibung Reibung – Übungen 3. Januar 2012 14 / 88 Reibung – Übungen Reibung – Übungen 6. Ein Güterzug von 60 Waggons (Masse je m = 40 t) wird von einer Lokomotive (Masse M = 100 t) gezogen. Zum Zusammenstellen des Güterzuges werden die Waggons auf einen Hügel (Höhe h = 1 m) geschoben, von dem sie über einen Hang (Länge l = 20 m über Grund) herabrollen. Die Anfangsgeschwindigkeit am Hang beträgt v0 = 0,5 m/s. Der Rollreibungskoeffizient betrage µr = 0,002. a) Welche Geschwindigkeit erreicht ein Waggon am Fuße des Hangs? b) Wie weit rollt ein Waggon nach dem Herabrollen vom Hang auf einem ebenen Gleis? c) Welche Steigung darf eine Gleistrasse höchstens haben, damit die Lokomotive den Zug ziehen kann? d) Wie lang ist der Anhalteweg des Zuges bei einer Notbremsung aus einer Geschwindigkeit v = 120 km/h auf einem ebenen Gleis, wenn dabei alle Räder blockieren? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) 5. Ein Auto befährt einen Hang mit einer Neigung von 8% hinauf beziehungsweise hinab. Der Haft-, beziehungsweise Gleitreibungskoeffizient betrage µ0 = 0,8, µ = 0,7. a) Welche maximale Beschleunigung erreicht das Fahrzeug gegenüber der Fahrbahn (vorausgesetzt, dass genügend Antriebsleistung vorhanden ist)? b) Wie lang ist der Bremsweg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von v = 130 km/h, wenn die Reifen blockieren? c) Wie groß sind Beschleunigung und Bremsweg bei Fahrt in der Ebene? c) Welche Auswirkung hat die Halbierung des Klinkenwinkels α? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Reibung – Übungen Technische Mechanik II 3. Januar 2012 15 / 88 7. Eine Leiter aus Stahl (Länge l = 5 m, Gewicht m = 15 kg ) steht auf einem Untergrund aus Stein unter dem Winkel α = 60◦ gegen die Waagerechte an einer hölzernen Wand. Eine Person (Masse M = 75 kg) besteigt die Leiter. Wie hoch kann die Person maximal steigen, ohne die Leiter ins Rutschen zu bringen, wenn a) das Gewicht der Leiter und die Reibung an der Wand vernachlässigt wird? b) nur das Gewicht der Leiter vernachlässigt wird? c) nur die Reibung an der Wand vernachlässigt wird? d) weder Leitergewicht noch Wandreibung vernachlässigt werden? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 16 / 88 Reibung Reibung – Übungen Reibung Reibung – Übungen Reibung – Übungen Reibung – Übungen 8. Eine Felgenbremse wird mit der Kraft F = 50 N betätigt. Die Geometrie der Bremse ist gegeben (a = 30 mm, b = 20 mm, d = 70 mm, h = 130 mm, Felgendurchmesser D = 700 mm). Der Haft-, beziehungsweise Gleitreibungskoeffizient zwischen Backen und Felge betrage µ0 = 0,5, µ = 0,4. a) Wie groß ist die Kraft FB , mit der die Bremsbacken an die Felge gepresst werden? 9. Eine Bandbremse, bei der ein Stahlband auf einer rotierenden Stahltrommel (Durchmesser D = 800 mm) reibt, wird über einen Hebel (a = 200 mm, b = 1,5 a) mit der Kraft F = 5 kN betätigt. a) Welches Bremsmoment wird bei rotierender Trommel erreicht? F F a b b) Welches Bremsmoment M wird maximal erreicht? Welche Bremskraft FF erfährt das Fahrrad dabei? b) Welches Bremsmoment wird bei stehender Trommel erreicht? c) Welchen Weg legt das Rad (belastet mit der Masse m = 50 kg) in welcher Zeit beim Bremsen aus der Geschwindigkeit v0 = 20 km/h zurück? c) Welche Betätigungskraft Fs würde eine Scheibenbremse an den Bremsklötzen benötigen, die bei gleichem Durchmesser und Reibungsbeiwert arbeitet? d) Wenn die Betätigungskraft ansteigt, kommt es zum Blockieren des Rades. Bei welcher Betätigungskraft geschieht dies? Wie wirkt sich das Blockieren auf die Bremskraft aus? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Reibung h b a d 3. Januar 2012 17 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Reibung – Übungen Technische Mechanik II Reibung Reibung – Übungen 3. Januar 2012 18 / 88 Reibung – Übungen Reibung – Übungen 10. Eine Parkettschleifmaschine (Masse m = 50 kg) arbeitet nach dem Prinzip des Bandschleifers: das endlose Schleifband wird von einer Rolle angetrieben (Reibungskoeffizient zwischen Rolle und Schleifband ist µr = 0,4) und läuft über eine Umlenkrolle zurück. Mit dieser Umlenkrolle wird das Schleifband außerdem vorgespannt. Die Rollen besitzen den gleichen Durchmesser. Der Reibungskoeffizient zwischen Schleifband und Parkett betrage µp = 0,9. a) Mit welcher Kraft Fh muss die Maschine im Betrieb gehalten werden? b) Mit welcher Kraft Fs muss die Umlenkrolle mindestens vorgespannt sein, damit das Schleifband im laufenden Betrieb unter dem Eigengewicht der Maschine nicht durchrutscht? 11. Ein Eisbrecher bringt eine Pfahlzugkraft von Fz = 2 MN auf. Wie viele Umschlingungen muss eine Festmacherleine an einem Poller aufweisen, wenn die Leinenkraft hinter dem Poller durch eine Person aufgebracht werden soll und lediglich Fp = 200 N beträgt? Der Reibungskoeffizient betrage µ = 0,4. Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) D Technische Mechanik II 3. Januar 2012 19 / 88 12. Eine hölzerne Garnrolle (d = 15 mm, D = 30 mm) liegt auf einer waagerechten Holzplatte. Am Faden wird unter dem Winkel α = 0◦ , 15◦ , 30◦ , 45◦ , 90◦ , 180◦ gezogen. a) In welche Richtung rollt beziehungsweise rutscht die Garnrolle bei den genannten Winkeln? b) Bei welchem Winkel α0 geht Rutschen in Rollen über? In welche Richtung bewegt sich die Rolle hier? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II F d D α 3. Januar 2012 20 / 88 Elastostatik Federn Elastostatik Federn I Federn Gefederte Lagerung Federsteifigkeit D= Beispiel Balken dF ds F I I I I konstant F = D s progressiv/degressiv statisch bestimmte Lagerung D D Vorspannung F = (s + s0 )D I Arbeit statisch unbestimmte Lagerung Z W = I F I D D F ds D Reihen-/Parallelschaltung Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 21 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Federn – Übungen Technische Mechanik II Elastostatik Federn – Übungen 3. Januar 2012 22 / 88 Federn – Übungen Federn – Übungen 3. Eine Feder (d = 200 N/mm) sei ungespannt/vorgespannt (s0 = 10 mm). Nun wirken die Kräfte F1 = 1800 N beziehungsweise F2 = 2400 N auf die Feder. 1. n Federn der Federsteifigkeit Di sind parallel/seriell angeordnet a) wie groß ist die Gesamtsteifigkeit der Anordnung allgemein? b) welche Steifigkeit ergibt sich für zwei gleiche Federn mit D = 100 N/mm? c) wie müssen Federn der Steifigkeit D = 100 N/mm angeordent werden, damit die Gesamtsteifigkeit Dg = 250 N/mm beträgt? 2. Ein Körper der Masse m = 20 kg fällt aus der Höhe h = 2,5 m im Erdschwerefeld auf eine ungespannte/vorgespannte (s0 = 20 mm) Feder der Steifigkeit D = 160 N/mm. (Federmasse und Hubarbeit der Stauchung seien vernachlässigbar.) a) Um welchen Weg wird die Feder jeweils gestaucht? b) Wie groß ist jeweils die maximale Federkraft? a) wie groß sind die jeweiligen Stauchungen? b) Welche Federkräfte treten in dem jeweiligen Fall auf? 4. Ein Balken (Länge L = 2 m) ruht auf einer gefederten Konstruktion (d = 2 kN/mm, D = 5 kN/mm). Es greift die Kraft F = 10 kN an. (Querversatz durch Neigung kann vernachlässigt werden.) a) Wie weit wird der Balken am Kraftangriffspunkt bewegt? b) Welche Neigung hat der Balken nach Aufbringen der Kraft? F d c) Welche Kräfte liegen in den einzelnen Federn an? D D d d d) Um welche Wege werden die Federn gestaucht? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 23 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 24 / 88 Elastostatik Federn – Übungen Elastostatik Federn – Übungen Spannung 5. Ein Klemmrahmen ist mit ungespannten/vorgespannten (s0 = 10 mm) Federn (C = 200 N/mm, D = 300 N/mm) versehen. Auf einen eingespannten Gegenstand soll eine Klemmkraft von F = 1200 N wirken. a) welche Kräfte herrschen in den jeweiligen Federn? F Spannung: Belastung auf Schnittfläche bezogen: σ= I D I D I C 3. Januar 2012 25 / 88 Normalspannung σ Schubspannung τ zulässige Spannung: Werkstoff Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Spannung/Dehnung Technische Mechanik II Elastostatik Dehnung F A Schnittfläche gegen Belastungsrichtung geneigt: I Technische Mechanik II Elastostatik I C b) wie weit klaffen die Angriffspunkte der Federn jeweils auseinander? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Spannung/Dehnung 3. Januar 2012 26 / 88 3. Januar 2012 28 / 88 Spannung/Dehnung Stoffgesetz I Hooke’sches Gesetz, Elastizitätsmodul E : σ=Eε I Verschiebung u in Richtung x eines Stabes: ε(x) = I I du dx ε = α ∆T I konstante Dehnung: relative Längenänderung unter Last: ε= Wärmedehnung, Wärmedehnungsbeiwert α: Dehnung ∆l l Material Stahl Aluminium Beton Holz Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 σ + α ∆T E E-Modul α 2 −6 in N/mm in 10 /K 210000 12 70000 23 30000 11 100000 25 ε= 27 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik Spannung/Dehnung – Übungen Elastostatik Spannung/Dehnung – Übungen Spannung/Dehnung – Übungen 1. Ein runder Stab wird mit der Kraft F = 25 kN belastet. a) Wie groß muss sein Durchmesser D sein, wenn die zulässige Spannung σzul = 300 N/mm2 beträgt? b) Welche Spannung erfährt der Stab, wenn sein Durchmesser D = 8 mm beträgt? 2. Ein konischer Stab (Durchmesser d = 5 mm, D = 8 mm besitzt die Länge l = 300 mm. Er wird mit der Kraft F = 1500 N belastet. a) Wie hoch ist die größte beziehungsweise kleinste Spannung im Stab? Wo tritt sie jeweils auf? b) Geben Sie formelmäßig an, wie die Spannung sich entlang des Stabes verändert! Formulieren Sie in Abhängigkeit des Abstands vom dünneren Ende! 3. In einem Stahlrohr (L = 400 mm, Da = 30 mm, Di = 20 mm) steckt volumenfüllend ein Aluminiumzylinder. Das Bauteil wir stirnseitig mit F = 50 kN belastet. a) Welche Spannungen herrschen in den Einzelteilen? b) Welche Dehnung beziehungsweise welche Verformung stellt sich ein? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik Spannung/Dehnung – Übungen 3. Januar 2012 29 / 88 4. Ein runder Draht (% = 7850 kg/m3 ) hängt im Erdschwerefeld. An der Einspannung beträgt sein Durchmesser D = 12 mm. a) Welche Spannung herrscht an der Einspannung, wenn der Draht einen konstanten Durchmeser und eine Länge L = 1250 m besitzt? b) Wie lang kann der Draht bei konstantem Durchmesser werden, wenn seine zulässige Spannung σzul = 550 N/mm2 beträgt? c) Wie müsste sich der Durchmesser entlang des Drahtes verändern, damit die Spannung konstant bleibt? Wie lang ist der Draht dann beim Durchmesser d = 8 mm? Welche Last kann dort getragen werden? 5. Ein Stahlbolzen (L = 160 mm, D = 25 mm) ist auf halber Länge auf d = 18 mm abgesetzt. Er soll bei Umgebungstemperatur von 20◦ C längs zwischen zwei starre Flächen montiert werden. a) welche Spannungen stellen sich im Bolzen ein, wenn das Übermaß s = 0,3 mm beträgt? b) Auf welche Länge zieht sich der Bolzen zusammen, wenn er in flüssigem Stickstoff auf eine Temperatur von TS = −196◦ C abgekühlt wird? Kann er nun problemlos montiert werden? c) Welche Spannung stellt sich im montierten Bolzen ein, wenn er auf 160◦ C erhitzt wird? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Spannungszustand Technische Mechanik II Elastostatik Spannungszustand– eben 3. Januar 2012 30 / 88 Spannungszustand Spannungszustand – eben: Gleichgewicht in Richtung σ: σ d A = (σx b dy ) cos ϕ + (τxy b dy ) sin ϕ b +(σy b dx) sin ϕ + (τyx b dx) cos ϕ σ ϕ τxy I kleiner dreieckiger Ausschnitt I Dicke b, dA = b ds I eben belastet I σ = σx cos2 ϕ + σy sin2 ϕ + 2 τyx cos ϕ sin ϕ τ dy ds σx dx τ yx Schnittlasten bei Winkel ϕ in Richtung τ : σy τ d A = (τxy b dx) cos ϕ + (σy b dx) cos ϕ −(σx b dy ) sin ϕ − (τyx b dx) sin ϕ τ Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 31 / 88 = (σy − σx ) cos ϕ sin ϕ + τxy (cos2 ϕ − sin2 ϕ) Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 32 / 88 Elastostatik Spannungszustand Elastostatik Trigonometrie – Additionstheoreme z Spannungszustand – eben: Doppelwinkel = x + i y = r eiϕ eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ e2 iϕ = (eiϕ )2 = cos2 ϕ − sin2 ϕ + 2 i cos ϕ sin ϕ σ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 τ cos 2 ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ sin 2 ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ 1 + cos 2 ϕ cos2 ϕ = 2 1 − cos 2 ϕ 2 sin ϕ = 2 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) 3. Januar 2012 33 / 88 σ− σx + σy 2 + τ2 = σx − σy 2 τ 2 τmax σ1,2 σx + σy 2 σx − σy 2 = 2 = σM ± τmax Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 34 / 88 Spannungszustand – Übungen 1. Ein dünnwandiges (Wandstärke b = 3 mm) Rohr (Innendurchmesser d = 50 mm) steht unter Innendruck p = 50 bar. 2 + τxy τ max σ1 3. Januar 2012 Spannungszustand – Übungen a) Welche Spannung herrscht in einer Schnittfläche senkrecht zur Rohrachse? b) Welche Spannung herrscht in einer Schnittfläche, in der die Rohrachse liegt? c) Vergleichen Sie die vorher bestimmten Spannungen! Welches Rissbild wird das Rohr zeigen, wenn die auftretenden Spannungen unzulässig hoch werden? τ τ xy σy = Technische Mechanik II Elastostatik 2ϕ σM Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Spannungszustand Spannungszustand – eben: Mohr’scher Spannungskreis 2 = σx + σy σx − σy + cos 2 ϕ + τxy sin 2 ϕ 2 2 σy − σx sin 2 ϕ + τxy cos 2 ϕ 2 Quadrieren und Addieren . . . Technische Mechanik II Elastostatik Spannungszustand σ σx σ2 3. Januar 2012 σ 2. Eine dünnwandige (Wandstärke b = 5 mm) Hohlkugel (Innendurchmesser d = 250 mm) steht unter Innendruck p = 60 bar. Welche Belastbarkeit muss das Wandmaterial aufweisen, damit Bersten mit einer Sicherheit von S = 5 ausgeschlossen werden kann? 35 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 36 / 88 Elastostatik Spannungszustand Elastostatik Querkontraktion I Festigkeitshypothesen Festigkeitshypothesen Zug mit σx an einer Scheibe führt zu Querkontraktion εx εy σv < σzul σx E = −ν εx Normalspannungshypothese = σv = σ1 Schubspannungshypothese I ν: Poisson’sche Zahl (für Metalle meist ν ≈ 0,3) I reiner Schub τxy an einer Scheibe führt zu Gleitung γxy σv τxy = G γxy I Hypothese der Gestaltänderungsenergie q σv = σ12 + σ22 − σ1 σ2 q 2 = σx2 + σy2 − σx σy + 3τxy Schubmodul G (ohne Herleitung) G= Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) E 2(1 + ν) Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 37 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Festigkeitshypothesen – Übungen Technische Mechanik II Elastostatik Festigkeitshypothesen – Übungen σx = 360 N/mm2 σy = 310 N/mm2 I τxy 2 I Biegebelastung A Querschnitt A, Schwerpunkt S I Achsen: längs x, quer y , hoch z I Ursprung in neutraler Faser y S x dA z I a) Bestimmen Sie die Vergleichsspannungen nach den unterschiedlichen Festigkeitshypothesen! b) Welche Belastbarkeit muss der Werkstoff aufweisen, wenn die Belastung mit doppelter Sicherheit ertragen werden soll? Belastung durch Moment M um y Spannung steigt zum Rand: σ = c z Moment über Querschnitt: Z Z M = z σ dA = c z 2 dA Z I = z 2 dA ⇒σ = Technische Mechanik II 38 / 88 Balken I 1. Aus Messungen oder Berechnungen sind für ein Bauteil an einer kritischen Stelle die folgenden Spannungen bekannt: Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) 3. Januar 2012 Biegebelastung I = 160 N/mm = 2 τmax = σ1 − σ2 q 2 = (σx − σy )2 + 4τxy 3. Januar 2012 39 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) M z, I c= Technische Mechanik II M I 3. Januar 2012 40 / 88 Elastostatik Flächenmomente Elastostatik Flächenmomente 1. Ordnung – statisches Moment Flächenmomente Statisches Moment – Beispiel Viertelkreis z I Flächenschwerpunkt Z Sy Sz ys = A Sy zs = A I Technische Mechanik II Elastostatik = Flächenträgheitsmomente Iy , Iz Polares Flächenträgheitsmomente Ip I Deviationsmoment Iyz w2 = r2 − z2 3. Januar 2012 Iy = Iz = Ip = 41 / 88 r3 3 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Einheit: Länge4 I Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Ip immer positiv Deviationsmomente I I verschwinden für symmetrische Flächen können positiv oder negativ sein Additiv über Teilflächen Ai Z Z Z Iy = z 2 dA = z 2 dA + A I A1 A2 r 43 / 88 z 2 dA + . . . = X Iyi i Trägheitsradius: iy = 3. Januar 2012 42 / 88 Flächenmomente I I Technische Mechanik II 3. Januar 2012 Flächenträgheitsmomente – Eigenschaften z 2 dA y 2 dA Z = − y z dA Z Z 2 = r dA = (z 2 + y 2 ) dA Sy A π A = r2 4 4r = 3π = Technische Mechanik II Elastostatik = Iy + Iz Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) zs r Z Iyz = Izy y 2 w dw = −2 z dz Z0 = − w 2 (z) dw I Z r 0 Flächenmomente 2. Ordnung – Flächenträgheitsmomente I dz z w (z) dz Flächenmomente I w(z) z dA Zr statisches Moment (verschwindet, wenn Koordinatenursprung im Schwerpunkt) Z Sy = z dA Z Sz = y dA Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) = Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Iy A Technische Mechanik II 3. Januar 2012 44 / 88 Elastostatik Flächenmomente Elastostatik Flächenträgheitsmomente – Rechteck I Flächenträgheitsmomente Kreisring I statische Momente: Sy = z dA = b Sy = Sz = 0 z dz = 0, Sz = 0 Flächenträgheitsmomente: Z Iy = I b −h/2 I statische Momente (Symmetrie): Zh/2 Z dz Zh/2 2 z dA = b Flächenträgheitsmomente: Iy = Iz Iyz = Izy Ip = h b3 h dA = 2π r dr d y r dr z d/2 (wegen Symmetrie) b 2 + h2 = Iy + Iz = b h 12 ⇒ Iy = Iz Iyz = I zy Technische Mechanik II 3. Januar 2012 45 / 88 D4 − d4 64 = 0 (Symmetrie) = π Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Flächenmomente Technische Mechanik II Elastostatik Parallelverschiebung – Satz von Steiner 3. Januar 2012 46 / 88 Flächenmomente Satz von Steiner – Beispiel verschobenes Koordinatensystem u u = y + us , I r 2 dA, D D/2 Z D4 − d4 = 2π r 3 dr = π 32 z Elastostatik I Ip Z2 Ip = 12 = 0 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) = y b h3 z dz = 12 2 −h/2 Iz Flächenmomente v = z + vs y Trägheitsmomente im u, v -System Z Z 2 Iu = u dA = (y + us )2 dA Z Z Z 2 2 = y dA + 2 us y dA + us dA Z y dA = Sz ≡ 0 Iz vs us S A z Iy v Ip ⇒ Iu = Iy + us2 A Iv = Iz + vs2 A Ixy Iuv = Ivu = Iyz − us vs A Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 47 / 88 d b3 h t 3 + 12 12 3 2 d b + h t3 = 12 ! b d3 h+d 2 t h3 +bd + = 2 12 2 12 2 b d d 2 + 3 (h + d)2 + t h3 = 12 = Iy + Iz 2 b d d 2 + b 2 + 3 (h + d)2 + t h3 + t 3 h = 12 = 0 = 2 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II b d t y h z 3. Januar 2012 48 / 88 Elastostatik Flächenmomente Elastostatik Drehung – Hauptachsentransformation I I Hauptachsentransformation – Eigenschaften Drehung des Koordinatensystems u = y cos ϕ+z sin ϕ, v = z cos ϕ−y sin ϕ Flächenträgheitsmomente y Z u Iu = v 2 dA Z Z = cos2 ϕ z 2 dA + sin2 ϕ y 2 dA Z −2 cos ϕ sin ϕ y z dA Iv Iuv I Iu + Iv = Iy + Iz = Ip y cos ϕ z sin ϕ I z cos ϕ ϕ z v dA Extremale Flächenträgheitsmomente – Hauptträgheitsmomente y sin ϕ u dIu dIv = dϕ dϕ y A v z ⇒− Iy − Iz sin 2ϕ + Iyz cos 2ϕ = 0 2 ⇒ I1,2 = 3. Januar 2012 49 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Flächenmomente d b d b I Iy = 2 +d 12 +bd b+d 2 2 ! 2 d 2 + 3 b d + 2 b2 3 3 (2 b) d + 2 d 3 b + 2 b d(b − d/2)2 12 4 b2 + d 2 − 3 b d 2bd 3 b+d −2 b d (b − d/2) 2 d 2 − b d − 2 b2 bd 2 y y b ϕ y b ϕ = = Iyz = = 2 2 + Iyz 3. Januar 2012 50 / 88 3. Januar 2012 52 / 88 Flächenmomente z z = 29 d 4 Iz = 56 d 4 = −30 d 4 Hauptachsenrichtungen z 2 Iyz Iy − Iz d 2 − b d − 2 b2 20 = 3 = 2 3bd − 2b 9 = 32,9◦ , ϕ2 = 122,9◦ tan 2ϕ = Rechenbeispiel: b = 30 mm d Iy Iyz b ϕ I = bd Iz Iy − Iz 2 Flächenträgheitsmomente d b Iy + Iz ± 2 s Hauptträgheitsmomente – Beispiel Flächenträgheitsmomente b3 2Iyz Iy − Iz Technische Mechanik II Elastostatik Hauptträgheitsmomente – Beispiel b d3 ≡ 0 ⇒ tan 2 ϕ = Technische Mechanik II Elastostatik I Invariante Iy − Iz Iy + Iz + cos 2ϕ + Iyz sin 2ϕ = 2 2 Iy + Iz Iy − Iz = − cos 2ϕ − Iyz sin 2ϕ 2 2 Iy − Iz = − sin 2ϕ + Iyz cos 2ϕ = Ivu 2 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Flächenmomente = 10 mm ⇒ b = 3d ⇒ ϕ1 I Hauptträgheitsmomente I1 = 75,4 d 4 I2 = 9,6 d 4 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 51 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik Flächenmomente Elastostatik Biegespannungen I I I I Flächenmomente – Übungen Normalspannungen im Balkenquerschnitt σ = I Widerstandsmoment W = |zmax | M I z M < σzul maximale Spannung σmax = W Beispiel: auf Balken (Länge L, Breite b, Höhe h) lastet mittig Kraft F . Biegespannung σ? L 4 b h3 12 h 2 b h2 6 M 3F L = W 2 b h2 M = F I = zmax = ⇒W = σ = Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 53 / 88 1. Bestimmen Sie für die folgenden Profile: a) die statischen Momente bezüglich der gegebenen Koordinatensysteme, b) die Schwerpunktslage im gegebenen Koordinatensystem, c) die Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Ip bezüglich der gegebenen Koordinatensysteme, d) das Deviationsmoment bezüglich der gegebenen Koordinatensysteme, e) die Flächenträgheits- und Deviationsmomente bezüglich der in die Schwerpunkte verschobenen Koordinatensysteme, f) die Hauptträgheitsmomente bezüglich der Schwerpunkte! Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Flächenmomente – Übungen Technische Mechanik II Elastostatik Flächenmomente – Übungen – Profile 3. Januar 2012 54 / 88 Flächenmomente – Übungen Flächenmomente – Übungen – Biegespannungen a t y h y Flächenmomente – Übungen y b z h 2. Ein Kragbalken wird als Rohr von Kreisringquerschnitt (l = 2 m, D = 40 mm, d = 30 mm) ausgeführt. Am Ende wirkt eine Last F = 2 kN. r z t z b D a) Wie hoch ist die Biegespannung? b) Wie hoh darf die Last werden, wenn die zulässige Biegespnnung σzul = 300 N/mm2 beträgt? d b 3. Ein Balken mit Quadratrohrquerschnitt (Wandstärke t = 5 mm, Länge l = 2 m) ist beidseitig gelenkig gelagert. Mittig greift eine Kraft F = 50 kN an. Welche Kantenlänge b muss das Quadratprofil besitzen, wenn die zulässige Biegespnnung σzul = 300 N/mm2 beträgt (t b)? R t t y h y t y h z Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) z Technische Mechanik II z 3. Januar 2012 55 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 56 / 88 Elastostatik Biegelinie Elastostatik Biegelinie – Voraussetzungen Biegelinie Biegelinie – Krümmung dS neutrale Faser ds ds = r dϕ Voraussetzungen (nach Bernoulli): dS I gerader Balken I schubstarr I keine Längskräfte I kleine Verformungen I Hooke’sches Material Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 = r M 2 z 2 1 + w 0 + (w − w0 ) · w 00 = 0 1 + w 02 w 00 1 + w 02 · w0 w 00 3 1 + w 02 r ⇒w 00 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) 00 2 w 1 = − 00 , w M = − EI ≈ 1 , w 00 2 dϕ Technische Mechanik II 3. Januar 2012 58 / 88 3. Januar 2012 60 / 88 Biegelinie aus Statik F 0 = −q M0 = F I Annahme: EI = const I Moment M gegeben: I 2 (w 0 1) (M < 0) Technische Mechanik II I r ⇒ w − w0 = − ⇒ r2 = r Biegelinie x y x − x0 + (w − w0 ) · w 0 = 0 x − x0 = Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Elastostatik w (x − x0 ) + (w − w0 ) 57 / 88 Biegelinie Biegelinie – Krümmungskreis 2 = (r + a) dϕ dS − ds = a dϕ dS − ds a dϕ a ε = = = ds ds r σ = Eε M σ = a I EI ⇒r = M Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) 2 a I w 00 = − M EI w 000 = − F EI Kraft F gegeben: Streckenlast q gegeben: w 0000 = 3. Januar 2012 59 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) q EI Technische Mechanik II Elastostatik Biegelinie Elastostatik Biegelinie – Lösung Biegelinie Biegelinie – Beispiel q0 I I w (x = 0) = 0 ⇒ C4 = 0 Annahme: Streckenlast q = q0 = const EI w 000 = −Q = q0 x + C1 x2 EI w 00 = −M = q0 + C1 x + C2 2 x2 x3 EI w 0 = q0 + C1 + C2 x + C3 6 2 x3 x2 x4 + C1 + C2 + C3 x + C4 EI w = q0 24 6 2 Integrationskonstante C1 . . . C4 aus Randbedingungen Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 61 / 88 Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 62 / 88 Biegelinie Biegelinie – Mehrfelder-Beispiel – Lösung Moment M nicht stetig: EI wa 00 = −M(x) = −F b x/L, 0 ≤ x ≤ a x3 EI wa = −F b + C1 x + C2 6L 00 EI wb = −F a (1 − x/L), a ≤ x ≤ L (L − x)3 EI wb = −F a − C3 (L − x) + C4 6L I Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Biegelinie Biegelinie – Mehrfelder-Beispiel I x w(x) l w (x = 0) = 0 ⇒ C3 = 0 z L2 M(x = L) = 0 ⇒ q0 + C1 L + C2 = 0 2 L4 L3 L2 w (x = L) = 0 ⇒ q0 + C1 + C2 =0 24 6 2 5 1 ⇒ C1 = − q0 L, C2 = q0 L2 8 8 q0 L4 3 x 5 ⇒ w (x) = t4 − t3 + t2 , t = 24 EI 2 2 L √ √ 3 15 − 33 5 33 + 117 wmax = w (t = )= q0 L4 16 196608 EI 5 3 q0 L2 A = Q(0) = q0 L, B = q0 L, MA = M(0) = − 8 8 8 Integration über 0 ≤ x ≤ L EI w 0000 = q = q0 I B A 0 I a Randbedingungen: wb (L) = 0 ⇒ C4 = 0 z 2 ! 2 x F b L b x 2 − 0≤x ≤a 6 EI L 1 − L L ! w (x) = a 2 L − x 2 2 L−x F a L 1− − a≤x ≤L 6 EI L L L b x A wa (0) = 0 ⇒ C2 = 0 F Biegelinie B I Kraftangriffspunkt w(x) w (x = a) = wa (a) = wb (a) F a2 b 2 3 EI l wa0 (a) = wb0 (a) ⇒ C1 = F a b Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) a + 2b , 6L C3 = F a b Technische Mechanik II b + 2a 6L 3. Januar 2012 63 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 64 / 88 Elastostatik Biegelinie Elastostatik Biegelinie – Superposition Balkenbiegung – Verallgemeinerung a b F q0 A Differentialgleichung der Biegelinie linear I Biegelinie B x w(x) z I ⇒ Lösungen können überlagert werden I Beispiel: Streckenlast q0 und Einzellast F = l q0 A w (x) = wq (x) + wF (x) B x w 0 (x) = wq0 (x) + wF0 (x) w(x) = w z a M(x) = Mq (x) + MF (x) I asymmetrische Profile → schiefe Biegung I Längskraft veränderliche Profile I I I + b A B x Schub → kurze/stumpfe Biegung q F Q(x) = Qq (x) + QF (x) I w(x) = w F stetig unstetig I Werkstoffkombinationen I große Verformungen z Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 65 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Biegelinie – Übungen Technische Mechanik II Elastostatik Biegelinie – Übungen 3. Januar 2012 Torsion Torsion – Kreis(ring)welle 1. Bestimmen Sie formelmäßig für die skizzierten Lastfälle: a) b) c) d) dϕ r dϕ = γ dx dϕ ⇒γ = r dx τ = Gγ dϕ ⇒τ = Gr Z dx 2. Bestimmen Sie durch Superposition die Größen der vorherigen Aufgabe für beliebige Kombinationen der skizzierten Lastfälle! q0 B w(x) F x z w(x) x z A A l w(x) l Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) z l z x A w(x) l Technische Mechanik II M r dA τ x A z F w(x) l 3. Januar 2012 67 / 88 r τ dA Z dϕ M = G r 2 dA dx dϕ = G Ip dx Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) D dx M = q0 x M γ die Durchbiegung w = w (x), maximale Durchbiegung wmax sowie deren Position, die Lagerreaktionen A, B und MA , die Neigung w 0 (x) sowie deren Werte an der Stelle größter Durchbiegung sowie an den Lagern! A 66 / 88 Technische Mechanik II ZL ϕL = dϕ dx dx 0 = Ct = ML G Ip ML = G Ip ϕ 3. Januar 2012 68 / 88 Elastostatik Torsion Elastostatik Kreiswelle – Torsionsbelastung τ = τmax = = Wt = Ip = ⇒ Wt = Torsion – Wendelfeder M r Ip τ (r = rmax = D/2) M Wt Ip rmax π 4 D 32 π 3 D 16 I Drahtdurchmesser d I Wendelradius R d I Windungsanzahl n I Drahtlänge L I Steigungswinkel klein ⇒ L = 2πnR Torsion F dx dϕ x R M ds R d M dx G Ip ds = R dϕ M F R2 = R dx = dx G Ip G Ip ZL F R2 F R3 s = dx = 2 π n G Ip G Ip dϕ = c = = = F s G Ip 2 π n R3 G d4 64 n R 3 0 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik 3. Januar 2012 69 / 88 Torsion – Übungen Technische Mechanik II Elastostatik Torsion – Übungen 3. Januar 2012 70 / 88 Torsion – Übungen Torsion – Übungen 1. Eine Welle aus Stahl (Länge L = 1600 mm, Durchmesser D = 36 mm) ist einseitig fest eingespannt. Sie wird am anderen Ende mit einem Torsionsmoment M = 1200 Nm belastet. a) b) c) d) e) Welche Schubspannung τ muss die Welle ertragen können? Wie groß ist die Verdrehung ϕ der Welle? Wie groß ist die Torsionssteifigkeit Ct der Welle? Welche Arbeit E wird durch die Verdrehung an der Welle verrichtet? Wie groß sind Schubspannung, Verdrehung, Torsionssteifigkeit und Verdrehungsarbeit, wenn die Welle mit d = 24 mm hohlgebohrt ist? Wie ändert sich die Masse m der Welle durch diese Maßnahme? f) Welche maximale Biegespannung σb tritt in der Welle auf, wenn sie zusätzlich am freien Ende mit einer Querkraft F = 800 N belastet wird? Bestimmen Sie für die Vollwelle beziehungsweise die Hohlwelle unter Verwendung der verschiedenen Festigkeitshypothesen die erforderliche Festigkeit! Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 71 / 88 2. Eine Feder aus Stahl (Drahtdurchmesser d = 3 mm, Windungsradius R = 12 mm) besitzt n = 12 Windungen. a) Welche Federsteifigkeit c besitzt die Feder? b) Welche Längenänderung s erfährt die Feder bei Belastung mit einer Kraft F = 100 N? c) Welche Schubspannung τ wirkt bei der genannten Last in der Feder? d) Welche Arbeit W ist in der belasteten Feder gespeichert? e) Wie ändern sich Federsteifigkeit, Längenänderung, Schubspannung und Arbeit, wenn jeweils der Drahtdurchmesser, der Windungsradius beziehungsweise die Windungsanzahl verdoppelt wird? f) Erstellen Sie ein Diagramm, aus dem die Federsteifigkeit einer Stahlfeder bei einer Windung für unterschiedliche Drahtstärken und Windungsradien ersichtlich ist! Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 72 / 88 Elastostatik Knickung Elastostatik Knickung – Stabilität Knickung – Euler-Ansatz I äußere Arbeit Wa : potentielle Energie I innere Arbeit Wi : Formänderungsarbeit I Gleichgewicht F Wa Knickung W Eulersches Knicken I elastischer Bereich I kleine Auslenkungen L x F E I w 00 (x) = −Mb (x) W = Wa + W i W I = −F w (x) W w 00 w (x) = −α2 w (x) r F α= EI ⇒ w (x) = A sin α x + B cos α x s L x Wi Fk II: w (x = 0) = w (x = L) = 0 stabil w Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) indifferent s instabil s 3. Januar 2012 73 / 88 N dϕ = dQ Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II Elastostatik M 74 / 88 Knickung w (x) = A sin αx + B cos αx + C αx + D dϕ N 3. Januar 2012 Knickung – Eulerfall 3 dM = Q dx Q ϕ = −w 0 dN ≈ 0 n = 1, 2, 3, . . . Knickung Knickung – allgemeiner Euler-Ansatz M = EI w 00 sin α L = 0 π ⇒α = n , L s Technische Mechanik II Elastostatik B = 0, EI L2 E I = π2 2 Lk Fn = n 2 π 2 w (x = 0) = 0 w (x = L) = 0 w 0 (x = 0) = 0 w 00 (x = L) = 0 B +D = 0 (w L) M+dM N+dN A+C L x F = 0 w ⇒ N ≈ −F dϕ d2 M − N = 0 dx dx 2 EIw 0000 + F w 00 = 0 Q+dQ A sin αL + B cos αL = 0 dx A sin αL + B cos αL + C αL + D = 0 ⇒ A (αL − sin αL) + B (1 − cos αL) = 0 ∆ = (1 − cos αL) sin αL − (αL − sin αL) cos αL ≡ 0 Ansatz: w (x) = A sin αx + B cos αx + C αx + D ⇒ sin αL − αL cos αL = 0 αL = tan αL ⇒ αL ≈ 4,49 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 75 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 76 / 88 Elastostatik Knickung Elastostatik Knickung – Knickkräfte allgemein Knickung – Energiemethode W F L EI Fk = π 2 2 Lk x v w I L k =2L II L k =L III IV L k =0,7L Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) ⇒ Fk L k =L/2 Technische Mechanik II Elastostatik Knickung 3. Januar 2012 77 / 88 = F v = Wa Z Mb2 1 dx = Wi = 2 EI Z 1 = E I w 00 (x) dx 2 Z = (ds − dx) Z p = 1 + w 0 2 − 1 dx Z 1 2 ≈ w 0 dx 2 Z E I w 00 (x) dx 2W Z = = 2v 2 w 0 dx Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Knickung – Übungen F v dx ds L x w Technische Mechanik II 3. Januar 2012 Dynamik Knickung – Übungen Kinematik – Beispiel Kurbeltrieb r a ϕ m α x = r (1 − cos ϕ) + a(1 − cos α) UT 1. Ein runder Stab aus Stahl (Durchmesser d = 12 mm, Länge L = 850 mm) werde mit einer Kraft F auf Knickung belastet. = a) Bestimmen Sie für die vier Eulerfälle die kritischen Knicklasten Fk ! b) Wie ändern sich die Knicklasten in den vier Eulerfällen, wenn der Durchmesser beziehungsweise die Länge des Stabes verdoppelt werden? c) Wie groß sind für die berechneten Lasten jeweils die Druckspannungen im Stab? d) Wie ändern sich die Knicklasten in den vier Eulerfällen, wenn der Stab als Rohr (Außendurchmesser D = 18 mm) mit gleicher Querschnittsfläche ausgeführt wird? Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) 78 / 88 Technische Mechanik II 3. Januar 2012 79 / 88 = = ≈ x OT r sin ϕ = a sin α q 1 r 2 2 r 1 − cos ϕ + (1 − 1 − λ sin ϕ) , λ = λ a λ 2 λ3 4 λ5 6 r 1 − cos ϕ + u + u + u + . . . Taylorreihe(u = sin ϕ) 2 8 16 λ λ3 r 1 − cos ϕ + (1 − cos 2ϕ) + (cos 4ϕ + 4 cos 2ϕ + 3) + . . . 4 64 λ r 1 − cos ϕ + (1 − cos 2ϕ) 4 λ r ω sin ϕ + sin 2ϕ , ω = ϕ̇ 2 ẋ ≈ ẍ ≈ r ω 2 (cos ϕ + λ cos 2ϕ) Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 80 / 88 Dynamik Dynamik Kinematik – räumliche Bewegung starrer Körper Kinematik – Drehung Räumliche Bewegung: I Überlagerung von I I I Kreisbewegung des Punktes: Translation, Rotation. v = r ϕ̇ = r ω. Momentane Rotation um Momentanpol Beschreibung der Bewegung: I I Beschleunigung: Ort eines Körperpunktes: Vektor (x, y , z) Translation: Verschiebungsvektor (u, v , w ) (x2 , y2 , zz ) = (x1 , y1 , z1 ) + (u, v , w ). I ar = −r ω 2 at = r ω̇ Rotation: Multiplikation mit Drehmatrix R (x2 , y2 , zz ) = (x1 , y1 , z1 ) · R. Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 81 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Dynamik Technische Mechanik II Kinematik – Drehung um Achse Drehung Punkt p um Achse g = ~a + t ~d Parameter: 2. Drehung um x → x.z-Ebene– (b, c) → (0, d): rx2h rx2n Rx,2 = −rx2n rx2h z P ~d |~d| b = ~n · e~y y Rx,2 = c = ~n · e~z p d = b2 + c 2 Technische Mechanik II b/d c/d 1 0 Rx = 0 c/d 0 −b/d x p~0 = ~p − ~a Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) p~00 = p~0 · Rx b a c/d −b/d 3. Januar 2012 83 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) z P (b, c) · Rx,2 = (0, d) c a = ~n · e~x 1. Aufpunkt → Ursprung 82 / 88 Dynamik Kinematik – Drehung um Achse ~n = 3. Januar 2012 d 0 b/d c/d Technische Mechanik II c y b 3. Januar 2012 84 / 88 Dynamik Dynamik Kinematik – Drehung um Achse 3. Drehung um y → z-Achse – (a, d) → (0, 1): ry 2h ry 2n Ry,2 = −ry 2n ry 2h Kinematik – Drehung um Achse 4. Drehung mit Winkel ϕ um z-Achse: z (a, d) · Ry,2 = (0, 1) Rx,2 = d a −a d P Rz,2 (1, 0) · Rz,2 1 y d ⇒ Rx,2 S = sin ϕ C −S = S C ϕ x 1 d 0 a Ry = 0 1 0 −a 0 d Technische Mechanik II q~000 = p~000 · Rz a cos ϕ − sin ϕ 0 Rz = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 x 3. Januar 2012 85 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Dynamik 3. Januar 2012 86 / 88 Kinematik – Übungen Kinematik – Übungen 5. Umkehrung Schritt 3:q~00 = q~000 · Ry T 6. Umkehrung Schritt 2: q~0 = q~00 · Rx T 7. Umkehrung Schritt 1: ~q = q~0 + ~a Komplette Drehung: 1. Gegeben ist ein Kurbeltrieb. Der Kurbelradius sei r = 40 mm. Das Pleuel habe die Länge a = 180 mm. Am Pleuel führt die Masse m = 600 g eine oszillierende Bewegung aus, während die Kurbel mit n = 4500 1/min rotiert. Kurbel und Pleuel können als masselos angenommen werden. a) Wie groß sind die Massenkäfte erster und zweiter Ordnung? b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Masse? c) Bei welchem Kurbelwinkel tritt die betragsmäßig größte Beschleunigung der Masse auf? Wie groß ist sie? R = Rx · Ry · Rz · Ry T · Rx T ~q = (~p − ~a) · R + ~a Rotation und Translation t 2. Für einen Kurbeltrieb wird das Kurbelverhältnis λ gesucht, für das die Massenkräfte zweiter Ordnung nicht mehr als 20% der Massenkräfte erster Ordnung betragen. ~q = ~p · R + ~t ~t = ~a − ~a · R Technische Mechanik II Technische Mechanik II Dynamik Kinematik – Drehung um Achse Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) C = cos ϕ p~000 = p~00 · Ry Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) rz2h rz2n = −rz2n rz2h = (C , S) 3. Januar 2012 87 / 88 Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA) Technische Mechanik II 3. Januar 2012 88 / 88
