Technische Mechanik II

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Überblick
Ankündigungen
Technische Mechanik II
Literatur
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke
Reibung
Hessische BA
Elastostatik
3. Januar 2012(Rev.: ee506a746fb7)
Dynamik
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Ankündigungen
3. Januar 2012
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Inhalte
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Ankündigungen
Inhalte
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Klausur
Klausur
Script: http://www.dr-torsten-finke.de/lehre/tm2
I
I
Einstieg/Übersicht
Inhalte:
I
I
I
I
I
Reibung
Elastostatik
Starre Körper
Schwingungen
I
Inhalte der Veranstaltung komplett relevant
I
keine Hilfsmittel
I
Auswahlklausur
I
Formvorschriften
Methode:
I
I
I
Vorlesung
Übung
Hausaufgaben!
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Ankündigungen
Lob und Tadel
Literatur
Lob und Tadel
Literatur
I
Kritik, Anmerkungen, Fragen: am besten sofort, konkret, direkt!
I
Evaluation – Sinn und Nutzen
Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik – Teil 1: Statik
Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik – Teil 2: Elastostatik
Hauger, Schnell, Gross: Technische Mechanik – Teil 3: Kinetik
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Reibung
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Grundlagen
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Reibung
Reibungskraft
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Grundlagen
Reibungsbeiwerte
I
trockene Reibung
I
Einflussgrößen
I
Normalkraft ↔ Reibungskraft
I
Kraftrichtung
I
Haft-/Gleitreibung
I
Reibungsbeiwert µ
I
Coulomb’sche Reibung R = µ N
I
Reibungskegel tan ϕ = µ
I
Wirkung und Verwendung
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Materialpaarung
Stahl/Stahl
Stahl/Teflon
Stahl/Holz
Stahl/Glas
Stahl/Stein
Holz/Holz
Gummi/Asphalt
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Haftreibung
0,15–0,5
0,04
0,5
0,6
0,45
0,55
0,7–0,9
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Gleitreibung
0,1–0,4
0,04
0,4
0,5
0,4
0,35
0,6–0,8
Reibung
Seilreibung
Reibung
Seilreibung
I
I
Seilreibungskraft
I
Grenzreibung
Kräftebilanz am kleinen Umschlingungswinkel dϕ
I
I
I
dϕ
2
dϕ
sin
2
cos
I
dϕ
= dR
dS cos
2
dϕ
2 S sin
= dN
2
dR = µ0 dN
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Reibung
I
I
I
I
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dϕ
2
Trennung der Variablen
dS
S
Seilreibungskraft
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Rollreibung
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Reibung
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Reibung – Übungen
Reibung – Übungen
Anmerkung: Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 .
1. Ein Zylinder aus Stahl (Dichte % = 7850 kg/m3 , Durchmeser
D = 100 mm, Höhe H = 450 mm) steht auf einer waagerechten
hölzernen Tischplatte.
a) Welche seitliche Kraft F ist erforderlich, um den Zylinder zu
verschieben?
b) Auf welcher Höhe h über der Tischplatte darf diese seitliche Kraft
höchstens angreifen, wenn der Zylinder nicht umkippen soll?
Hysterese
Schlupf im Latsch
Rollreibungskoeffizienten µr
RollBauteilpaarung
reibung
Kugel/Lager
0,0005–0,001
Stahlrad/Schiene
0,001–0,002
Reifen/Asphalt
0,01–0,02
Reifen/Sand
0,2–0,4
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≈
S2
= eµ ϕ
S1
Verformung Wälzkörper/Auflage
Wirkmechanismen:
I
≈ 1
µ dϕ =
Rollreibung
I
Kleinwinkelnäherung
Seilkraft S
Reibkraft R
Normalkraft N
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Seilreibung
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2. Eine Stahlkiste (Masse m = 100 kg) wird in h = 2 m Höhe auf einer
Holzplanke abgelegt, die um den Winkel α = 25◦ gegen die
Waagerechte geneigt ist.
a) Wie groß ist, falls erforderlich, eine Anschubkraft, um die Kiste ins
Rutschen zu bringen?
b) Welche Geschwindigkeit erreicht die Kiste bis zum Ende der Planke?
Wie lange dauert das Rutschen?
c) Nach Verlassen der Planke rutscht die Kiste über einen waagerechten
Boden aus Stein. Nach welcher Zeit kommt sie zum Stehen? Welchen
Weg legt sie in dieser Zeit zurück?
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Reibung
Reibung – Übungen
Reibung
Reibung – Übungen
Reibung – Übungen
4. Eine Stahlbramme (Masse m = 50 t) wird auf einem waagerechten
Walzenbett abgelegt. Die parallel liegenden Walzen (Durchmesser
D = 100 mm) rotieren mit der Drehzahl n = 180 1/min. Der
Gleitreibungskoeffizient betrage µ = 0,1
3. Ein Klemmgreifer aus Stahl soll ein stählernes Werkstück mit der
Gewichtskraft G = 1000 N heben. Der Haftreibungskoeffizient
betrage µ0 = 0,3.
a) Welche Endgeschwindigkeit erreicht die Bramme?
b) Wann erreicht die Bramme ihre Endgeschwindigkeit?
c) Welche Antriebsleistung benötigen die fördernden Walzen?
a) Unter welchem Winkel α darf die
gelenkige Klinke höchstens angebracht
sein, damit das Werkstück klemmt?
b) Welche Kraft F tritt im Rahmen des
Klemmgreifers auf?
α
G
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Reibung
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Reibung – Übungen
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Reibung
Reibung – Übungen
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Reibung – Übungen
Reibung – Übungen
6. Ein Güterzug von 60 Waggons (Masse je m = 40 t) wird von einer
Lokomotive (Masse M = 100 t) gezogen. Zum Zusammenstellen des
Güterzuges werden die Waggons auf einen Hügel (Höhe h = 1 m)
geschoben, von dem sie über einen Hang (Länge l = 20 m über
Grund) herabrollen. Die Anfangsgeschwindigkeit am Hang beträgt
v0 = 0,5 m/s. Der Rollreibungskoeffizient betrage µr = 0,002.
a) Welche Geschwindigkeit erreicht ein Waggon am Fuße des Hangs?
b) Wie weit rollt ein Waggon nach dem Herabrollen vom Hang auf einem
ebenen Gleis?
c) Welche Steigung darf eine Gleistrasse höchstens haben, damit die
Lokomotive den Zug ziehen kann?
d) Wie lang ist der Anhalteweg des Zuges bei einer Notbremsung aus
einer Geschwindigkeit v = 120 km/h auf einem ebenen Gleis, wenn
dabei alle Räder blockieren?
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5. Ein Auto befährt einen Hang mit einer Neigung von 8% hinauf
beziehungsweise hinab. Der Haft-, beziehungsweise
Gleitreibungskoeffizient betrage µ0 = 0,8, µ = 0,7.
a) Welche maximale Beschleunigung erreicht das Fahrzeug gegenüber der
Fahrbahn (vorausgesetzt, dass genügend Antriebsleistung vorhanden
ist)?
b) Wie lang ist der Bremsweg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von
v = 130 km/h, wenn die Reifen blockieren?
c) Wie groß sind Beschleunigung und Bremsweg bei Fahrt in der Ebene?
c) Welche Auswirkung hat die Halbierung
des Klinkenwinkels α?
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Reibung – Übungen
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7. Eine Leiter aus Stahl (Länge l = 5 m, Gewicht m = 15 kg ) steht auf
einem Untergrund aus Stein unter dem Winkel α = 60◦ gegen die
Waagerechte an einer hölzernen Wand. Eine Person (Masse
M = 75 kg) besteigt die Leiter. Wie hoch kann die Person maximal
steigen, ohne die Leiter ins Rutschen zu bringen, wenn
a) das Gewicht der Leiter und die Reibung an der Wand vernachlässigt
wird?
b) nur das Gewicht der Leiter vernachlässigt wird?
c) nur die Reibung an der Wand vernachlässigt wird?
d) weder Leitergewicht noch Wandreibung vernachlässigt werden?
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Reibung
Reibung – Übungen
Reibung
Reibung – Übungen
Reibung – Übungen
Reibung – Übungen
8. Eine Felgenbremse wird mit der Kraft F = 50 N betätigt. Die
Geometrie der Bremse ist gegeben (a = 30 mm, b = 20 mm,
d = 70 mm, h = 130 mm, Felgendurchmesser D = 700 mm). Der
Haft-, beziehungsweise Gleitreibungskoeffizient zwischen Backen und
Felge betrage µ0 = 0,5, µ = 0,4.
a) Wie groß ist die Kraft FB , mit der die
Bremsbacken an die Felge gepresst werden?
9. Eine Bandbremse, bei der ein Stahlband auf einer rotierenden
Stahltrommel (Durchmesser D = 800 mm) reibt, wird über einen
Hebel (a = 200 mm, b = 1,5 a) mit der Kraft F = 5 kN betätigt.
a) Welches Bremsmoment wird bei
rotierender Trommel erreicht?
F
F
a
b
b) Welches Bremsmoment M wird maximal erreicht?
Welche Bremskraft FF erfährt das Fahrrad dabei?
b) Welches Bremsmoment wird bei
stehender Trommel erreicht?
c) Welchen Weg legt das Rad (belastet mit der
Masse m = 50 kg) in welcher Zeit beim Bremsen
aus der Geschwindigkeit v0 = 20 km/h zurück?
c) Welche Betätigungskraft Fs würde eine
Scheibenbremse an den Bremsklötzen
benötigen, die bei gleichem Durchmesser
und Reibungsbeiwert arbeitet?
d) Wenn die Betätigungskraft ansteigt, kommt es
zum Blockieren des Rades. Bei welcher
Betätigungskraft geschieht dies? Wie wirkt sich
das Blockieren auf die Bremskraft aus?
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Reibung
h
b
a
d
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Reibung – Übungen
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Reibung
Reibung – Übungen
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Reibung – Übungen
Reibung – Übungen
10. Eine Parkettschleifmaschine (Masse m = 50 kg) arbeitet nach dem
Prinzip des Bandschleifers: das endlose Schleifband wird von einer
Rolle angetrieben (Reibungskoeffizient zwischen Rolle und Schleifband
ist µr = 0,4) und läuft über eine Umlenkrolle zurück. Mit dieser
Umlenkrolle wird das Schleifband außerdem vorgespannt. Die Rollen
besitzen den gleichen Durchmesser. Der Reibungskoeffizient zwischen
Schleifband und Parkett betrage µp = 0,9.
a) Mit welcher Kraft Fh muss die Maschine im Betrieb gehalten werden?
b) Mit welcher Kraft Fs muss die Umlenkrolle mindestens vorgespannt
sein, damit das Schleifband im laufenden Betrieb unter dem
Eigengewicht der Maschine nicht durchrutscht?
11. Ein Eisbrecher bringt eine Pfahlzugkraft von Fz = 2 MN auf. Wie
viele Umschlingungen muss eine Festmacherleine an einem Poller
aufweisen, wenn die Leinenkraft hinter dem Poller durch eine Person
aufgebracht werden soll und lediglich Fp = 200 N beträgt? Der
Reibungskoeffizient betrage µ = 0,4.
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D
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12. Eine hölzerne Garnrolle (d = 15 mm, D = 30 mm) liegt auf einer
waagerechten Holzplatte. Am Faden wird unter dem Winkel
α = 0◦ , 15◦ , 30◦ , 45◦ , 90◦ , 180◦ gezogen.
a) In welche Richtung rollt beziehungsweise
rutscht die Garnrolle bei den genannten
Winkeln?
b) Bei welchem Winkel α0 geht Rutschen
in Rollen über? In welche Richtung
bewegt sich die Rolle hier?
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F
d
D
α
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Elastostatik
Federn
Elastostatik
Federn
I
Federn
Gefederte Lagerung
Federsteifigkeit
D=
Beispiel Balken
dF
ds
F
I
I
I
I
konstant F = D s
progressiv/degressiv
statisch bestimmte Lagerung
D
D
Vorspannung
F = (s + s0 )D
I
Arbeit
statisch unbestimmte Lagerung
Z
W =
I
F
I
D
D
F ds
D
Reihen-/Parallelschaltung
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Elastostatik
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Federn – Übungen
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Elastostatik
Federn – Übungen
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Federn – Übungen
Federn – Übungen
3. Eine Feder (d = 200 N/mm) sei ungespannt/vorgespannt
(s0 = 10 mm). Nun wirken die Kräfte F1 = 1800 N beziehungsweise
F2 = 2400 N auf die Feder.
1. n Federn der Federsteifigkeit Di sind parallel/seriell angeordnet
a) wie groß ist die Gesamtsteifigkeit der Anordnung allgemein?
b) welche Steifigkeit ergibt sich für zwei gleiche Federn mit
D = 100 N/mm?
c) wie müssen Federn der Steifigkeit D = 100 N/mm angeordent werden,
damit die Gesamtsteifigkeit Dg = 250 N/mm beträgt?
2. Ein Körper der Masse m = 20 kg fällt aus der Höhe h = 2,5 m im
Erdschwerefeld auf eine ungespannte/vorgespannte (s0 = 20 mm)
Feder der Steifigkeit D = 160 N/mm. (Federmasse und Hubarbeit der
Stauchung seien vernachlässigbar.)
a) Um welchen Weg wird die Feder jeweils gestaucht?
b) Wie groß ist jeweils die maximale Federkraft?
a) wie groß sind die jeweiligen Stauchungen?
b) Welche Federkräfte treten in dem jeweiligen Fall auf?
4. Ein Balken (Länge L = 2 m) ruht auf einer gefederten Konstruktion
(d = 2 kN/mm, D = 5 kN/mm). Es greift die Kraft F = 10 kN an.
(Querversatz durch Neigung kann vernachlässigt werden.)
a) Wie weit wird der Balken am
Kraftangriffspunkt bewegt?
b) Welche Neigung hat der Balken
nach Aufbringen der Kraft?
F
d
c) Welche Kräfte liegen in den
einzelnen Federn an?
D
D
d
d
d) Um welche Wege werden die
Federn gestaucht?
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Elastostatik
Federn – Übungen
Elastostatik
Federn – Übungen
Spannung
5. Ein Klemmrahmen ist mit ungespannten/vorgespannten
(s0 = 10 mm) Federn (C = 200 N/mm, D = 300 N/mm) versehen.
Auf einen eingespannten Gegenstand soll eine Klemmkraft von
F = 1200 N wirken.
a) welche Kräfte herrschen in den
jeweiligen Federn?
F
Spannung: Belastung auf Schnittfläche bezogen:
σ=
I
D
I
D
I
C
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Normalspannung σ
Schubspannung τ
zulässige Spannung: Werkstoff
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Spannung/Dehnung
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Elastostatik
Dehnung
F
A
Schnittfläche gegen Belastungsrichtung geneigt:
I
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Elastostatik
I
C
b) wie weit klaffen die
Angriffspunkte der Federn jeweils
auseinander?
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Spannung/Dehnung
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Spannung/Dehnung
Stoffgesetz
I
Hooke’sches Gesetz, Elastizitätsmodul E :
σ=Eε
I
Verschiebung u in Richtung x eines Stabes:
ε(x) =
I
I
du
dx
ε = α ∆T
I
konstante Dehnung: relative Längenänderung unter Last:
ε=
Wärmedehnung, Wärmedehnungsbeiwert α:
Dehnung
∆l
l
Material
Stahl
Aluminium
Beton
Holz
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σ
+ α ∆T
E
E-Modul
α
2
−6
in N/mm
in 10 /K
210000
12
70000
23
30000
11
100000
25
ε=
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Elastostatik
Spannung/Dehnung – Übungen
Elastostatik
Spannung/Dehnung – Übungen
Spannung/Dehnung – Übungen
1. Ein runder Stab wird mit der Kraft F = 25 kN belastet.
a) Wie groß muss sein Durchmesser D sein, wenn die zulässige Spannung
σzul = 300 N/mm2 beträgt?
b) Welche Spannung erfährt der Stab, wenn sein Durchmesser D = 8 mm
beträgt?
2. Ein konischer Stab (Durchmesser d = 5 mm, D = 8 mm besitzt die
Länge l = 300 mm. Er wird mit der Kraft F = 1500 N belastet.
a) Wie hoch ist die größte beziehungsweise kleinste Spannung im Stab?
Wo tritt sie jeweils auf?
b) Geben Sie formelmäßig an, wie die Spannung sich entlang des Stabes
verändert! Formulieren Sie in Abhängigkeit des Abstands vom dünneren
Ende!
3. In einem Stahlrohr (L = 400 mm, Da = 30 mm, Di = 20 mm) steckt
volumenfüllend ein Aluminiumzylinder. Das Bauteil wir stirnseitig mit
F = 50 kN belastet.
a) Welche Spannungen herrschen in den Einzelteilen?
b) Welche Dehnung beziehungsweise welche Verformung stellt sich ein?
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Elastostatik
Spannung/Dehnung – Übungen
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4. Ein runder Draht (% = 7850 kg/m3 ) hängt im Erdschwerefeld. An der
Einspannung beträgt sein Durchmesser D = 12 mm.
a) Welche Spannung herrscht an der Einspannung, wenn der Draht einen
konstanten Durchmeser und eine Länge L = 1250 m besitzt?
b) Wie lang kann der Draht bei konstantem Durchmesser werden, wenn
seine zulässige Spannung σzul = 550 N/mm2 beträgt?
c) Wie müsste sich der Durchmesser entlang des Drahtes verändern,
damit die Spannung konstant bleibt? Wie lang ist der Draht dann beim
Durchmesser d = 8 mm? Welche Last kann dort getragen werden?
5. Ein Stahlbolzen (L = 160 mm, D = 25 mm) ist auf halber Länge auf
d = 18 mm abgesetzt. Er soll bei Umgebungstemperatur von 20◦ C
längs zwischen zwei starre Flächen montiert werden.
a) welche Spannungen stellen sich im Bolzen ein, wenn das Übermaß
s = 0,3 mm beträgt?
b) Auf welche Länge zieht sich der Bolzen zusammen, wenn er in
flüssigem Stickstoff auf eine Temperatur von TS = −196◦ C abgekühlt
wird? Kann er nun problemlos montiert werden?
c) Welche Spannung stellt sich im montierten Bolzen ein, wenn er auf
160◦ C erhitzt wird?
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Spannungszustand
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Elastostatik
Spannungszustand– eben
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Spannungszustand
Spannungszustand – eben: Gleichgewicht
in Richtung σ:
σ d A = (σx b dy ) cos ϕ + (τxy b dy ) sin ϕ
b
+(σy b dx) sin ϕ + (τyx b dx) cos ϕ
σ
ϕ
τxy
I
kleiner dreieckiger Ausschnitt
I
Dicke b, dA = b ds
I
eben belastet
I
σ = σx cos2 ϕ + σy sin2 ϕ + 2 τyx cos ϕ sin ϕ
τ
dy
ds
σx
dx
τ yx
Schnittlasten bei Winkel ϕ
in Richtung τ :
σy
τ d A = (τxy b dx) cos ϕ + (σy b dx) cos ϕ
−(σx b dy ) sin ϕ − (τyx b dx) sin ϕ
τ
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31 / 88
= (σy − σx ) cos ϕ sin ϕ + τxy (cos2 ϕ − sin2 ϕ)
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32 / 88
Elastostatik
Spannungszustand
Elastostatik
Trigonometrie – Additionstheoreme
z
Spannungszustand – eben: Doppelwinkel
= x + i y = r eiϕ
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
e2 iϕ = (eiϕ )2 = cos2 ϕ − sin2 ϕ + 2 i cos ϕ sin ϕ
σ =
cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1
τ
cos 2 ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ
sin 2 ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ
1 + cos 2 ϕ
cos2 ϕ =
2
1 − cos 2 ϕ
2
sin ϕ =
2
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33 / 88
σ−
σx + σy
2
+ τ2 =
σx − σy
2
τ
2
τmax
σ1,2
σx + σy
2
σx − σy 2
=
2
= σM ± τmax
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Spannungszustand – Übungen
1. Ein dünnwandiges (Wandstärke b = 3 mm) Rohr (Innendurchmesser
d = 50 mm) steht unter Innendruck p = 50 bar.
2
+ τxy
τ max
σ1
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Spannungszustand – Übungen
a) Welche Spannung herrscht in einer Schnittfläche senkrecht zur
Rohrachse?
b) Welche Spannung herrscht in einer Schnittfläche, in der die Rohrachse
liegt?
c) Vergleichen Sie die vorher bestimmten Spannungen! Welches Rissbild
wird das Rohr zeigen, wenn die auftretenden Spannungen unzulässig
hoch werden?
τ
τ xy
σy
=
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Elastostatik
2ϕ
σM
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Spannungszustand
Spannungszustand – eben: Mohr’scher Spannungskreis
2
=
σx + σy
σx − σy
+
cos 2 ϕ + τxy sin 2 ϕ
2
2
σy − σx
sin 2 ϕ + τxy cos 2 ϕ
2
Quadrieren und Addieren . . .
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Elastostatik
Spannungszustand
σ
σx
σ2
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σ
2. Eine dünnwandige (Wandstärke b = 5 mm) Hohlkugel
(Innendurchmesser d = 250 mm) steht unter Innendruck p = 60 bar.
Welche Belastbarkeit muss das Wandmaterial aufweisen, damit
Bersten mit einer Sicherheit von S = 5 ausgeschlossen werden kann?
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36 / 88
Elastostatik
Spannungszustand
Elastostatik
Querkontraktion
I
Festigkeitshypothesen
Festigkeitshypothesen
Zug mit σx an einer Scheibe führt zu Querkontraktion
εx
εy
σv < σzul
σx
E
= −ν εx
Normalspannungshypothese
=
σv = σ1
Schubspannungshypothese
I
ν: Poisson’sche Zahl (für Metalle meist ν ≈ 0,3)
I
reiner Schub τxy an einer Scheibe führt zu Gleitung γxy
σv
τxy = G γxy
I
Hypothese der Gestaltänderungsenergie
q
σv =
σ12 + σ22 − σ1 σ2
q
2
=
σx2 + σy2 − σx σy + 3τxy
Schubmodul G (ohne Herleitung)
G=
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E
2(1 + ν)
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Elastostatik
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Festigkeitshypothesen – Übungen
Technische Mechanik II
Elastostatik
Festigkeitshypothesen – Übungen
σx
= 360 N/mm2
σy
= 310 N/mm2
I
τxy
2
I
Biegebelastung
A
Querschnitt A, Schwerpunkt S
I
Achsen: längs x, quer y , hoch z
I
Ursprung in neutraler Faser
y
S
x
dA
z
I
a) Bestimmen Sie die Vergleichsspannungen nach den unterschiedlichen
Festigkeitshypothesen!
b) Welche Belastbarkeit muss der Werkstoff aufweisen, wenn die
Belastung mit doppelter Sicherheit ertragen werden soll?
Belastung durch Moment M um y
Spannung steigt zum Rand: σ = c z
Moment über Querschnitt:
Z
Z
M =
z σ dA = c z 2 dA
Z
I =
z 2 dA
⇒σ =
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Balken
I
1. Aus Messungen oder Berechnungen sind für ein Bauteil an einer
kritischen Stelle die folgenden Spannungen bekannt:
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Biegebelastung
I
= 160 N/mm
= 2 τmax = σ1 − σ2
q
2
=
(σx − σy )2 + 4τxy
3. Januar 2012
39 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
M
z,
I
c=
Technische Mechanik II
M
I
3. Januar 2012
40 / 88
Elastostatik
Flächenmomente
Elastostatik
Flächenmomente 1. Ordnung – statisches Moment
Flächenmomente
Statisches Moment – Beispiel Viertelkreis
z
I
Flächenschwerpunkt
Z
Sy
Sz
ys =
A
Sy
zs =
A
I
Technische Mechanik II
Elastostatik
=
Flächenträgheitsmomente Iy , Iz
Polares Flächenträgheitsmomente Ip
I
Deviationsmoment Iyz
w2 = r2 − z2
3. Januar 2012
Iy
=
Iz
=
Ip
=
41 / 88
r3
3
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Einheit: Länge4
I
Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Ip immer positiv
Deviationsmomente
I
I
verschwinden für symmetrische Flächen
können positiv oder negativ sein
Additiv über Teilflächen Ai
Z
Z
Z
Iy =
z 2 dA =
z 2 dA +
A
I
A1
A2
r
43 / 88
z 2 dA + . . . =
X
Iyi
i
Trägheitsradius:
iy =
3. Januar 2012
42 / 88
Flächenmomente
I
I
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
Flächenträgheitsmomente – Eigenschaften
z 2 dA
y 2 dA
Z
= − y z dA
Z
Z
2
=
r dA = (z 2 + y 2 ) dA
Sy
A
π
A = r2
4
4r
=
3π
=
Technische Mechanik II
Elastostatik
= Iy + Iz
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
zs
r
Z
Iyz = Izy
y
2 w dw = −2 z dz
Z0
= − w 2 (z) dw
I
Z
r
0
Flächenmomente 2. Ordnung – Flächenträgheitsmomente
I
dz
z w (z) dz
Flächenmomente
I
w(z)
z dA
Zr
statisches Moment (verschwindet, wenn Koordinatenursprung im
Schwerpunkt)
Z
Sy =
z dA
Z
Sz =
y dA
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
=
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Iy
A
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
44 / 88
Elastostatik
Flächenmomente
Elastostatik
Flächenträgheitsmomente – Rechteck
I
Flächenträgheitsmomente Kreisring
I
statische Momente:
Sy =
z dA = b
Sy = Sz = 0
z dz = 0,
Sz = 0
Flächenträgheitsmomente:
Z
Iy
=
I
b
−h/2
I
statische Momente (Symmetrie):
Zh/2
Z
dz
Zh/2
2
z dA = b
Flächenträgheitsmomente:
Iy = Iz
Iyz = Izy
Ip
=
h
b3 h
dA = 2π r dr
d
y
r
dr
z
d/2
(wegen Symmetrie)
b 2 + h2
= Iy + Iz = b h
12
⇒ Iy = Iz
Iyz = I zy
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
45 / 88
D4 − d4
64
= 0
(Symmetrie)
= π
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Flächenmomente
Technische Mechanik II
Elastostatik
Parallelverschiebung – Satz von Steiner
3. Januar 2012
46 / 88
Flächenmomente
Satz von Steiner – Beispiel
verschobenes Koordinatensystem
u
u = y + us ,
I
r 2 dA,
D
D/2
Z
D4 − d4
= 2π
r 3 dr = π
32
z
Elastostatik
I
Ip
Z2
Ip =
12
= 0
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
=
y
b h3
z dz =
12
2
−h/2
Iz
Flächenmomente
v = z + vs
y
Trägheitsmomente im u, v -System
Z
Z
2
Iu =
u dA = (y + us )2 dA
Z
Z
Z
2
2
=
y dA + 2 us
y dA + us
dA
Z
y dA = Sz ≡ 0
Iz
vs
us
S
A
z
Iy
v
Ip
⇒ Iu = Iy + us2 A
Iv
= Iz + vs2 A
Ixy
Iuv = Ivu = Iyz − us vs A
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Technische Mechanik II
3. Januar 2012
47 / 88
d b3 h t 3
+
12
12
3
2 d b + h t3
=
12
!
b d3
h+d 2
t h3
+bd
+
= 2
12
2
12
2 b d d 2 + 3 (h + d)2 + t h3
=
12
= Iy + Iz
2 b d d 2 + b 2 + 3 (h + d)2 + t h3 + t 3 h
=
12
= 0
= 2
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
b
d
t
y
h
z
3. Januar 2012
48 / 88
Elastostatik
Flächenmomente
Elastostatik
Drehung – Hauptachsentransformation
I
I
Hauptachsentransformation – Eigenschaften
Drehung des Koordinatensystems
u = y cos ϕ+z sin ϕ, v = z cos ϕ−y sin ϕ
Flächenträgheitsmomente
y
Z
u
Iu =
v 2 dA
Z
Z
= cos2 ϕ z 2 dA + sin2 ϕ y 2 dA
Z
−2 cos ϕ sin ϕ
y z dA
Iv
Iuv
I
Iu + Iv = Iy + Iz = Ip
y cos ϕ
z sin ϕ
I
z cos ϕ
ϕ
z
v
dA
Extremale Flächenträgheitsmomente – Hauptträgheitsmomente
y sin ϕ
u
dIu
dIv
=
dϕ
dϕ
y
A
v
z
⇒−
Iy − Iz
sin 2ϕ + Iyz cos 2ϕ = 0
2
⇒ I1,2 =
3. Januar 2012
49 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Flächenmomente
d
b
d
b
I
Iy
= 2
+d
12
+bd
b+d
2
2 !
2 d 2 + 3 b d + 2 b2
3
3
(2 b) d + 2 d 3 b
+ 2 b d(b − d/2)2
12
4 b2 + d 2 − 3 b d
2bd
3
b+d
−2 b d
(b − d/2)
2
d 2 − b d − 2 b2
bd
2
y
y
b
ϕ
y
b
ϕ
=
=
Iyz
=
=
2
2
+ Iyz
3. Januar 2012
50 / 88
3. Januar 2012
52 / 88
Flächenmomente
z
z
= 29 d 4
Iz
= 56 d 4
= −30 d 4
Hauptachsenrichtungen
z
2 Iyz
Iy − Iz
d 2 − b d − 2 b2
20
= 3
=
2
3bd − 2b
9
= 32,9◦ , ϕ2 = 122,9◦
tan 2ϕ =
Rechenbeispiel:
b = 30 mm
d
Iy
Iyz
b
ϕ
I
= bd
Iz
Iy − Iz
2
Flächenträgheitsmomente
d
b
Iy + Iz
±
2
s
Hauptträgheitsmomente – Beispiel
Flächenträgheitsmomente
b3
2Iyz
Iy − Iz
Technische Mechanik II
Elastostatik
Hauptträgheitsmomente – Beispiel
b d3
≡ 0
⇒ tan 2 ϕ =
Technische Mechanik II
Elastostatik
I
Invariante
Iy − Iz
Iy + Iz
+
cos 2ϕ + Iyz sin 2ϕ
=
2
2
Iy + Iz
Iy − Iz
=
−
cos 2ϕ − Iyz sin 2ϕ
2
2
Iy − Iz
= −
sin 2ϕ + Iyz cos 2ϕ = Ivu
2
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Flächenmomente
= 10 mm
⇒ b = 3d
⇒ ϕ1
I
Hauptträgheitsmomente
I1 = 75,4 d 4
I2 = 9,6 d 4
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
51 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
Elastostatik
Flächenmomente
Elastostatik
Biegespannungen
I
I
I
I
Flächenmomente – Übungen
Normalspannungen im Balkenquerschnitt σ =
I
Widerstandsmoment W = |zmax
|
M
I
z
M
< σzul
maximale Spannung σmax = W
Beispiel: auf Balken (Länge L, Breite b, Höhe h) lastet mittig Kraft
F . Biegespannung σ?
L
4
b h3
12
h
2
b h2
6
M
3F L
=
W
2 b h2
M = F
I
=
zmax
=
⇒W
=
σ =
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
Elastostatik
3. Januar 2012
53 / 88
1. Bestimmen Sie für die folgenden Profile:
a) die statischen Momente bezüglich der gegebenen Koordinatensysteme,
b) die Schwerpunktslage im gegebenen Koordinatensystem,
c) die Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Ip bezüglich der gegebenen
Koordinatensysteme,
d) das Deviationsmoment bezüglich der gegebenen Koordinatensysteme,
e) die Flächenträgheits- und Deviationsmomente bezüglich der in die
Schwerpunkte verschobenen Koordinatensysteme,
f) die Hauptträgheitsmomente bezüglich der Schwerpunkte!
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Flächenmomente – Übungen
Technische Mechanik II
Elastostatik
Flächenmomente – Übungen – Profile
3. Januar 2012
54 / 88
Flächenmomente – Übungen
Flächenmomente – Übungen – Biegespannungen
a
t
y
h
y
Flächenmomente – Übungen
y
b
z
h
2. Ein Kragbalken wird als Rohr von Kreisringquerschnitt (l = 2 m,
D = 40 mm, d = 30 mm) ausgeführt. Am Ende wirkt eine Last
F = 2 kN.
r
z
t
z
b
D
a) Wie hoch ist die Biegespannung?
b) Wie hoh darf die Last werden, wenn die zulässige Biegespnnung
σzul = 300 N/mm2 beträgt?
d
b
3. Ein Balken mit Quadratrohrquerschnitt (Wandstärke t = 5 mm,
Länge l = 2 m) ist beidseitig gelenkig gelagert. Mittig greift eine
Kraft F = 50 kN an. Welche Kantenlänge b muss das Quadratprofil
besitzen, wenn die zulässige Biegespnnung σzul = 300 N/mm2
beträgt (t b)?
R
t
t
y
h
y
t
y
h
z
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
z
Technische Mechanik II
z
3. Januar 2012
55 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
56 / 88
Elastostatik
Biegelinie
Elastostatik
Biegelinie – Voraussetzungen
Biegelinie
Biegelinie – Krümmung
dS
neutrale
Faser
ds
ds = r dϕ
Voraussetzungen (nach Bernoulli):
dS
I
gerader Balken
I
schubstarr
I
keine Längskräfte
I
kleine Verformungen
I
Hooke’sches Material
Technische Mechanik II
Elastostatik
3. Januar 2012
= r
M
2
z
2
1 + w 0 + (w − w0 ) · w 00 = 0
1 + w 02
w 00
1 + w 02
· w0
w 00
3
1 + w 02
r
⇒w
00
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
00 2
w
1
= − 00 ,
w
M
= −
EI
≈
1
,
w 00 2
dϕ
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
58 / 88
3. Januar 2012
60 / 88
Biegelinie
aus Statik
F 0 = −q
M0 = F
I
Annahme: EI = const
I
Moment M gegeben:
I
2
(w 0 1)
(M < 0)
Technische Mechanik II
I
r
⇒ w − w0 = −
⇒ r2 =
r
Biegelinie
x
y
x − x0 + (w − w0 ) · w 0 = 0
x − x0 =
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Elastostatik
w
(x − x0 ) + (w − w0 )
57 / 88
Biegelinie
Biegelinie – Krümmungskreis
2
= (r + a) dϕ
dS − ds = a dϕ
dS − ds
a dϕ
a
ε =
=
=
ds
ds
r
σ = Eε
M
σ =
a
I
EI
⇒r =
M
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
2
a
I
w 00 = −
M
EI
w 000 = −
F
EI
Kraft F gegeben:
Streckenlast q gegeben:
w 0000 =
3. Januar 2012
59 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
q
EI
Technische Mechanik II
Elastostatik
Biegelinie
Elastostatik
Biegelinie – Lösung
Biegelinie
Biegelinie – Beispiel
q0
I
I
w (x = 0) = 0 ⇒ C4 = 0
Annahme: Streckenlast q = q0 = const
EI w 000 = −Q = q0 x + C1
x2
EI w 00 = −M = q0
+ C1 x + C2
2
x2
x3
EI w 0 = q0
+ C1
+ C2 x + C3
6
2
x3
x2
x4
+ C1
+ C2
+ C3 x + C4
EI w = q0
24
6
2
Integrationskonstante C1 . . . C4 aus Randbedingungen
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
Elastostatik
3. Januar 2012
61 / 88
Technische Mechanik II
Elastostatik
3. Januar 2012
62 / 88
Biegelinie
Biegelinie – Mehrfelder-Beispiel – Lösung
Moment M nicht stetig:
EI wa 00 = −M(x) = −F b x/L, 0 ≤ x ≤ a
x3
EI wa = −F b
+ C1 x + C2
6L
00
EI wb = −F a (1 − x/L), a ≤ x ≤ L
(L − x)3
EI wb = −F a
− C3 (L − x) + C4
6L
I
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Biegelinie
Biegelinie – Mehrfelder-Beispiel
I
x
w(x)
l
w (x = 0) = 0 ⇒ C3 = 0
z
L2
M(x = L) = 0 ⇒ q0
+ C1 L + C2 = 0
2
L4
L3
L2
w (x = L) = 0 ⇒ q0
+ C1
+ C2
=0
24
6
2
5
1
⇒
C1 = − q0 L, C2 = q0 L2
8
8
q0 L4
3
x
5
⇒ w (x) =
t4 − t3 + t2 , t =
24 EI
2
2
L
√
√
3
15 − 33
5 33 + 117
wmax = w (t =
)=
q0 L4
16
196608 EI
5
3
q0 L2
A = Q(0) = q0 L, B = q0 L, MA = M(0) = −
8
8
8
Integration über 0 ≤ x ≤ L
EI w 0000 = q = q0
I
B
A
0
I
a
Randbedingungen:
wb (L) = 0 ⇒ C4 = 0
z

2 !
2 x

F
b
L
b
x 2


−
0≤x ≤a

 6 EI L 1 − L
L
!
w (x) =
a 2 L − x 2
2 L−x

F
a
L


1−
−
a≤x ≤L

 6 EI
L
L
L
b
x
A
wa (0) = 0 ⇒ C2 = 0
F
Biegelinie
B
I
Kraftangriffspunkt
w(x)
w (x = a) =
wa (a) = wb (a)
F a2 b 2
3 EI l
wa0 (a) = wb0 (a)
⇒
C1 = F a b
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a + 2b
,
6L
C3 = F a b
Technische Mechanik II
b + 2a
6L
3. Januar 2012
63 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
64 / 88
Elastostatik
Biegelinie
Elastostatik
Biegelinie – Superposition
Balkenbiegung – Verallgemeinerung
a
b
F
q0
A
Differentialgleichung der Biegelinie linear
I
Biegelinie
B
x
w(x)
z
I
⇒ Lösungen können überlagert werden
I
Beispiel: Streckenlast q0 und Einzellast F
=
l
q0
A
w (x) = wq (x) + wF (x)
B
x
w 0 (x) = wq0 (x) + wF0 (x)
w(x) = w
z
a
M(x) = Mq (x) + MF (x)
I
asymmetrische Profile → schiefe Biegung
I
Längskraft
veränderliche Profile
I
I
I
+
b
A
B
x
Schub → kurze/stumpfe Biegung
q
F
Q(x) = Qq (x) + QF (x)
I
w(x) = w
F
stetig
unstetig
I
Werkstoffkombinationen
I
große Verformungen
z
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
Elastostatik
3. Januar 2012
65 / 88
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Biegelinie – Übungen
Technische Mechanik II
Elastostatik
Biegelinie – Übungen
3. Januar 2012
Torsion
Torsion – Kreis(ring)welle
1. Bestimmen Sie formelmäßig für die skizzierten Lastfälle:
a)
b)
c)
d)
dϕ
r dϕ = γ dx
dϕ
⇒γ = r
dx
τ = Gγ
dϕ
⇒τ = Gr
Z dx
2. Bestimmen Sie durch Superposition die Größen der vorherigen
Aufgabe für beliebige Kombinationen der skizzierten Lastfälle!
q0
B
w(x)
F
x
z
w(x)
x
z
A
A
l
w(x)
l
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
z
l
z
x
A
w(x)
l
Technische Mechanik II
M
r
dA τ
x
A
z
F
w(x)
l
3. Januar 2012
67 / 88
r τ dA
Z
dϕ
M = G
r 2 dA
dx
dϕ
= G
Ip
dx
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
D
dx
M =
q0
x
M
γ
die Durchbiegung w = w (x),
maximale Durchbiegung wmax sowie deren Position,
die Lagerreaktionen A, B und MA ,
die Neigung w 0 (x) sowie deren Werte an der Stelle größter
Durchbiegung sowie an den Lagern!
A
66 / 88
Technische Mechanik II
ZL
ϕL =
dϕ
dx
dx
0
=
Ct
=
ML
G Ip
ML
= G Ip
ϕ
3. Januar 2012
68 / 88
Elastostatik
Torsion
Elastostatik
Kreiswelle – Torsionsbelastung
τ
=
τmax
=
=
Wt
=
Ip =
⇒ Wt
=
Torsion – Wendelfeder
M
r
Ip
τ (r = rmax = D/2)
M
Wt
Ip
rmax
π 4
D
32
π 3
D
16
I
Drahtdurchmesser d
I
Wendelradius R d
I
Windungsanzahl n
I
Drahtlänge L
I
Steigungswinkel klein
⇒ L = 2πnR
Torsion
F
dx
dϕ
x
R
M
ds
R
d
M
dx
G Ip
ds = R dϕ
M
F R2
= R
dx =
dx
G Ip
G Ip
ZL
F R2
F R3
s =
dx = 2 π n
G Ip
G Ip
dϕ =
c =
=
=
F
s
G Ip
2 π n R3
G d4
64 n R 3
0
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
Elastostatik
3. Januar 2012
69 / 88
Torsion – Übungen
Technische Mechanik II
Elastostatik
Torsion – Übungen
3. Januar 2012
70 / 88
Torsion – Übungen
Torsion – Übungen
1. Eine Welle aus Stahl (Länge L = 1600 mm, Durchmesser
D = 36 mm) ist einseitig fest eingespannt. Sie wird am anderen Ende
mit einem Torsionsmoment M = 1200 Nm belastet.
a)
b)
c)
d)
e)
Welche Schubspannung τ muss die Welle ertragen können?
Wie groß ist die Verdrehung ϕ der Welle?
Wie groß ist die Torsionssteifigkeit Ct der Welle?
Welche Arbeit E wird durch die Verdrehung an der Welle verrichtet?
Wie groß sind Schubspannung, Verdrehung, Torsionssteifigkeit und
Verdrehungsarbeit, wenn die Welle mit d = 24 mm hohlgebohrt ist?
Wie ändert sich die Masse m der Welle durch diese Maßnahme?
f) Welche maximale Biegespannung σb tritt in der Welle auf, wenn sie
zusätzlich am freien Ende mit einer Querkraft F = 800 N belastet
wird? Bestimmen Sie für die Vollwelle beziehungsweise die Hohlwelle
unter Verwendung der verschiedenen Festigkeitshypothesen die
erforderliche Festigkeit!
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
71 / 88
2. Eine Feder aus Stahl (Drahtdurchmesser d = 3 mm, Windungsradius
R = 12 mm) besitzt n = 12 Windungen.
a) Welche Federsteifigkeit c besitzt die Feder?
b) Welche Längenänderung s erfährt die Feder bei Belastung mit einer
Kraft F = 100 N?
c) Welche Schubspannung τ wirkt bei der genannten Last in der Feder?
d) Welche Arbeit W ist in der belasteten Feder gespeichert?
e) Wie ändern sich Federsteifigkeit, Längenänderung, Schubspannung und
Arbeit, wenn jeweils der Drahtdurchmesser, der Windungsradius
beziehungsweise die Windungsanzahl verdoppelt wird?
f) Erstellen Sie ein Diagramm, aus dem die Federsteifigkeit einer
Stahlfeder bei einer Windung für unterschiedliche Drahtstärken und
Windungsradien ersichtlich ist!
Prof. Dr.-Ing. Torsten Finke (Hessische BA)
Technische Mechanik II
3. Januar 2012
72 / 88
Elastostatik
Knickung
Elastostatik
Knickung – Stabilität
Knickung – Euler-Ansatz
I
äußere Arbeit Wa : potentielle Energie
I
innere Arbeit Wi : Formänderungsarbeit
I
Gleichgewicht
F
Wa
Knickung
W
Eulersches Knicken
I
elastischer Bereich
I
kleine Auslenkungen
L
x
F
E I w 00 (x) = −Mb (x)
W = Wa + W i
W
I
= −F w (x)
W
w
00
w (x) = −α2 w (x)
r
F
α=
EI
⇒ w (x) = A sin α x + B cos α x
s
L
x
Wi
Fk
II: w (x = 0) = w (x = L) = 0
stabil
w
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indifferent
s
instabil
s
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N dϕ = dQ
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Elastostatik
M
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Knickung
w (x) = A sin αx + B cos αx + C αx + D
dϕ
N
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Knickung – Eulerfall 3
dM = Q dx
Q
ϕ = −w 0
dN ≈ 0
n = 1, 2, 3, . . .
Knickung
Knickung – allgemeiner Euler-Ansatz
M = EI w 00
sin α L = 0
π
⇒α = n ,
L
s
Technische Mechanik II
Elastostatik
B = 0,
EI
L2
E
I
= π2 2
Lk
Fn = n 2 π 2
w (x = 0) = 0
w (x = L) = 0
w 0 (x = 0) = 0
w 00 (x = L) = 0
B +D = 0
(w L)
M+dM
N+dN
A+C
L
x
F
= 0
w
⇒ N ≈ −F
dϕ d2 M
−
N
= 0
dx
dx 2
EIw 0000 + F w 00 = 0
Q+dQ
A sin αL + B cos αL = 0
dx
A sin αL + B cos αL + C αL + D = 0
⇒ A (αL − sin αL) + B (1 − cos αL) = 0
∆ = (1 − cos αL) sin αL − (αL − sin αL) cos αL ≡ 0
Ansatz:
w (x) = A sin αx + B cos αx + C αx + D
⇒ sin αL − αL cos αL = 0
αL = tan αL ⇒ αL ≈ 4,49
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Elastostatik
Knickung
Elastostatik
Knickung – Knickkräfte allgemein
Knickung – Energiemethode
W
F
L
EI
Fk = π 2 2
Lk
x
v
w
I
L k =2L
II
L k =L
III
IV
L k =0,7L
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⇒ Fk
L k =L/2
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Elastostatik
Knickung
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= F v = Wa
Z
Mb2
1
dx = Wi
=
2
EI
Z
1
=
E I w 00 (x) dx
2
Z
=
(ds − dx)
Z p
=
1 + w 0 2 − 1 dx
Z
1
2
≈
w 0 dx
2
Z
E I w 00 (x) dx
2W
Z
=
=
2v
2
w 0 dx
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Knickung – Übungen
F
v
dx
ds
L
x
w
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Dynamik
Knickung – Übungen
Kinematik – Beispiel Kurbeltrieb
r
a
ϕ
m
α
x
= r (1 − cos ϕ) + a(1 − cos α)
UT
1. Ein runder Stab aus Stahl (Durchmesser d = 12 mm, Länge
L = 850 mm) werde mit einer Kraft F auf Knickung belastet.
=
a) Bestimmen Sie für die vier Eulerfälle die kritischen Knicklasten Fk !
b) Wie ändern sich die Knicklasten in den vier Eulerfällen, wenn der
Durchmesser beziehungsweise die Länge des Stabes verdoppelt werden?
c) Wie groß sind für die berechneten Lasten jeweils die Druckspannungen
im Stab?
d) Wie ändern sich die Knicklasten in den vier Eulerfällen, wenn der Stab
als Rohr (Außendurchmesser D = 18 mm) mit gleicher
Querschnittsfläche ausgeführt wird?
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=
=
≈
x
OT
r sin ϕ = a sin α
q
1
r
2
2
r 1 − cos ϕ + (1 − 1 − λ sin ϕ) , λ =
λ
a
λ 2 λ3 4 λ5 6
r 1 − cos ϕ + u + u + u + . . .
Taylorreihe(u = sin ϕ)
2
8
16
λ
λ3
r 1 − cos ϕ + (1 − cos 2ϕ) + (cos 4ϕ + 4 cos 2ϕ + 3) + . . .
4
64
λ
r 1 − cos ϕ + (1 − cos 2ϕ)
4
λ
r ω sin ϕ + sin 2ϕ , ω = ϕ̇
2
ẋ
≈
ẍ
≈ r ω 2 (cos ϕ + λ cos 2ϕ)
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Dynamik
Dynamik
Kinematik – räumliche Bewegung starrer Körper
Kinematik – Drehung
Räumliche Bewegung:
I Überlagerung von
I
I
I
Kreisbewegung des Punktes:
Translation,
Rotation.
v = r ϕ̇ = r ω.
Momentane Rotation um Momentanpol
Beschreibung der Bewegung:
I
I
Beschleunigung:
Ort eines Körperpunktes: Vektor (x, y , z)
Translation: Verschiebungsvektor (u, v , w )
(x2 , y2 , zz ) = (x1 , y1 , z1 ) + (u, v , w ).
I
ar
= −r ω 2
at
= r ω̇
Rotation: Multiplikation mit Drehmatrix R
(x2 , y2 , zz ) = (x1 , y1 , z1 ) · R.
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Dynamik
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Kinematik – Drehung um Achse
Drehung Punkt p um Achse g = ~a + t ~d
Parameter:
2. Drehung um x → x.z-Ebene– (b, c) → (0, d):
rx2h rx2n
Rx,2 =
−rx2n rx2h
z
P
~d
|~d|
b = ~n · e~y
y
Rx,2 =
c = ~n · e~z
p
d =
b2 + c 2
Technische Mechanik II
b/d
c/d
1
0
Rx =  0 c/d
0 −b/d
x
p~0 = ~p − ~a
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p~00 = p~0 · Rx

b
a
c/d
−b/d
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z
P
(b, c) · Rx,2 = (0, d)
c
a = ~n · e~x
1. Aufpunkt → Ursprung
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Dynamik
Kinematik – Drehung um Achse
~n =
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d

0
b/d 
c/d
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c
y
b
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Dynamik
Dynamik
Kinematik – Drehung um Achse
3. Drehung um y → z-Achse – (a, d) → (0, 1):
ry 2h ry 2n
Ry,2 =
−ry 2n ry 2h
Kinematik – Drehung um Achse
4. Drehung mit Winkel ϕ um z-Achse:
z
(a, d) · Ry,2 = (0, 1)
Rx,2 =
d a
−a d
P
Rz,2
(1, 0) · Rz,2
1
y
d
⇒ Rx,2
S = sin ϕ
C −S
=
S C
ϕ
x
1

d 0 a
Ry =  0 1 0 
−a 0 d
Technische Mechanik II
q~000 = p~000 · Rz

a

cos ϕ − sin ϕ 0
Rz =  sin ϕ cos ϕ 0 
0
0
1
x
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Dynamik
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Kinematik – Übungen
Kinematik – Übungen
5. Umkehrung Schritt 3:q~00 = q~000 · Ry T
6. Umkehrung Schritt 2: q~0 = q~00 · Rx T
7. Umkehrung Schritt 1: ~q = q~0 + ~a
Komplette Drehung:
1. Gegeben ist ein Kurbeltrieb. Der Kurbelradius sei r = 40 mm. Das
Pleuel habe die Länge a = 180 mm. Am Pleuel führt die Masse
m = 600 g eine oszillierende Bewegung aus, während die Kurbel mit
n = 4500 1/min rotiert. Kurbel und Pleuel können als masselos
angenommen werden.
a) Wie groß sind die Massenkäfte erster und zweiter Ordnung?
b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Masse?
c) Bei welchem Kurbelwinkel tritt die betragsmäßig größte
Beschleunigung der Masse auf? Wie groß ist sie?
R = Rx · Ry · Rz · Ry T · Rx T
~q = (~p − ~a) · R + ~a
Rotation und Translation t
2. Für einen Kurbeltrieb wird das Kurbelverhältnis λ gesucht, für das die
Massenkräfte zweiter Ordnung nicht mehr als 20% der Massenkräfte
erster Ordnung betragen.
~q = ~p · R + ~t
~t = ~a − ~a · R
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Technische Mechanik II
Dynamik
Kinematik – Drehung um Achse
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C = cos ϕ
p~000 = p~00 · Ry

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rz2h rz2n
=
−rz2n rz2h
= (C , S)
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