1 Begriffe 2 Vorbereitung

Seminarvortrag ”Brauergruppe” von Cora Welsch WS 2010/11
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Begriffe
Zuerst wollen wir uns an ein paar Begriffe erinnern. Sei A eine einfach unitäre K- Algebra.
zentral einfache K- Algebra A:
Zentral bedeutet, dass K1A das Zentrum von A ist, also Z(A)∼
=K.
Einfach bedeutet, dass es kein (zweiseitiges) Ideal von A gibt außer (0) und (1)=A.
Schiefkörper:
Ein Schiefkörper ist ein Ring, in dem alle Elemente außer 0 invertierbar sind. Es handelt sich
also um einen nicht notwendigerweise kommutativen Körper.
Divisionsalgebra D über dem Körper K:
Eine Divisionsalgebra D ist eine K-Algebra, in der jedes Element außer 0 invertierbar ist. Jede
Divisionsalgebra ist ein Schiefkörper.
Opponierter Ring Aopp :
Die additive Stuktur ist dieselbe wie in dem Ring A. Für die Multiplikation in Aopp gilt
(a, b)7→ba.
Vereinbarung:
Ab jetzt ist immer das Tensorprodukt über K gemeint. Wir schreiben nur noch ⊗ und meinen
damit ⊗K .
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Vorbereitung
Wir erinnern an das Strukturtheorem von Wedderburn:
Jede Q
halbeinfache K- Algebra S ist isomorph zu einen endlichen direkten Produkt der Form
∼
S=
Mni (Di ) mit Di K- Divisionsalgebren.
Es gibt also eine Divisionsalgebra D mit S ∼
= Mn (D), wobei S eine einfache K- Algebra ist.
Es gibt dann, bis auf Isomorphie, nur einen einfachen S- Modul M und es gilt:
EndS (M ) ∼
= Dopp
2.1
Lemma
Sei K ein Körper und S eine unitäre K- Algebra. Dann gelten folgende K- Algebren Isomorphien.
(i) Mn (S) ∼
= S⊗Mn (K)
1
(ii) Mm (K)⊗Mn (K) ∼
= Mmn (K)
2.1.1
Beweis
zu (i):
Wir betrachten die Abbildungen S → Mn (S) mit s 7→ sEn (En ist die Einheismartix) und die
natürliche Inklusion Mn (K) → Mn (S).
Damit gilt für A∈Mn (S): (sEn )A= sA = As= A(sEn ),
d.h. die Bilder der Abbildungen kommutieren.
Aus dem letzten Vortrag wissen wir, dass dadurch eine K- Algebra Homomorphismus
S⊗ Mn (K)→ Mn (S), 1⊗eij 7→ eij existiert.
Wobei eij die Matrix ist die nur aus Nullen besteht bis auf einer 1 an der Position i,j.
Da die Abbildung die S-Basis auf eine S-Basis abbildet ist sie ein Isomorphismus.
zu (ii):
Wir setzen in die Formel aus (i) S = Mm (K) ein. Damit ergibt sich aus S⊗Mn (K)∼
=Mn (S)
∼
Mm (K)⊗Mn (K) ∼
M
(M
(K))
M
(K)
= n m
= nm
Gegeben seien zwei zentral- einfache K- Algebren S und T . Wir wissen schon, dass wir
diese als Matrizenringe über K- Divisionsalgebren D und E schreiben können. Wir wählen
eine Darstellung S ∼
= Mn (D) und T ∼
= Mm (E). Ferner wissen wir, dass beide Algebren einen
einfachen Modul besitzen, der bis auf Isomorphie eindeutig ist. Sei M ein einfacher S-Modul
und N ein einfacher T -Modul.
2.2
Definition
Dann sagen wir, S und T seien ähnlich, in Zeichen S ∼ T , wenn eine der folgenden äquivalenten
Aussagen zutrifft:
1. Die Divisionsalgebren D, E sind isomorph.
2. Es existieren natürliche Zahlen l, k, so dass die Algebren S ⊗ Ml (K) und T ⊗ Mk (K)
isomorph sind.
3. Es existieren natürliche Zahlen l, k, so dass die Algebren Ml (S) und Mk (T ) isomorph
sind.
4. Es gilt die Isomorphie von Algebren EndS (M ) ∼
= EndR (N ).
2.2.1
Beweis
Es bleibt, die Äquivalenz der Aussagen zu zeigen.
2
1. ⇔ 2. ”⇐”:
Wir nehmen an, es gelte 2. Dann haben wir einerseits die Isomorphie von Algebren
S ⊗ Ml (K) ∼
= Mn (D) ⊗ Ml (K) ∼
= D ⊗ Mn (K) ⊗ Ml (K) ∼
= D ⊗ Mnl (K) ∼
= Mnl (D) (1)
Hierbei haben wir erst die Isomorphie S ∼
= Mn (D) ausgenutzt und dann nacheinander
die Isomorphismen (i), (ii) und (i). Genau analog findet man
T ⊗ Mk (K) ∼
(2)
= Mmk (E)
Aus zwei folgt also die Isomorphie
Mml (D) ∼
= Mnk (E)
Da man aber die Divisionsalgebra aus dem Matrixring ablesen kann, folgt D ∼
= E, also 1.
”⇒”:
Nehmen wir an, umgekehrt gelte für die Divisionsalgebra, die den zentral einfachen Algebren zu Grund liegen, dass E ∼
= D. Es folgt dann mit den Isomorphien (1) und (2),
dass
T ⊗ Mk (K) ∼
= Mmk (E) ∼
= Mnl (D) ∼
= S ⊗ Ml (K)
also 1.
2. ⇔ 3. Die äquivalenz folgt sofort aus den Isomorphismen
S ⊗ Ml (K) ∼
= Ml (S) und T ⊗ Mk (K) ∼
= Mk (T )
4. ⇔ 1. ”⇐”:
Da D ∼
= E nach 1. gilt, folgt für den eindeutigen S- Modul M und den T - Modul N
EndS (M ) ∼
= Dopp ∼
= E opp ∼
= EndT (N ).
”⇒”:
Es gilt EndS (M ) ∼
= EndT (N ) und der Struktursatz liefert uns, für Divisionsalgebren D
und E, S ∼
= Mn (D) und T ∼
= Mm (E), also die Vorrausetzung von 1.
opp ∼
Nun gilt D = EndS (M ) ∼
= EndT (N ) ∼
= E opp . Und damit auch D ∼
= E.
2.3
Bemerkung
Wir sehen also durch 1. aus 2.2 , dass jede Ähnlichkeitsklasse eine Isomorphieklasse zentraler,
endlich dimensionaler K- Divisionsalgebren enthält.
Wir betrachten also nur noch die Divisionsalgebren und nicht mehr die unterschiedlichen
Matrixgrößen. Somit ist [Mn (D)]=[Mm (D0 )], wenn D ∼
= D0 .
3
3.1
Brauergruppe
Lemma
A⊗B und B⊗A sind als Algebren isomorph zueinander.
Dies wissen wir aus dem vorhergehenden Vortrag. Der Isomorphismus sieht wie folgt aus,
τ : A⊗B → B⊗A mit a⊗b 7→ b⊗a
3
3.2
Definition
Die Brauer Gruppe von einem Körper K, geschrieben Br(K), ist die Menge der Äquivalenzklassen
[A] = {B | B ∼ A } (bezüglich der Ähnlichkeit) von endlich dimensionalen zentral einfachen
K- Algebren.
3.2.1
Bemerkung
Die Brauergruppe beschreibt die Isomorphieklassen zentral endlicher K- Divisionsalgebren.
Wieso werden dann die Äquivalenzklassen von K- Algebren betrachtet. Dies wird gemacht, da
das Tensorprodukt von Divisionsalgebren nicht unbedingt wieder eine Divisionsalgebra ist. Bei
zentral einfachen Algebren ist dies jedoch anders.
3.2.2
Wohldefiniertheit:
Wenn S∼S 0 und T ∼T 0 , dann haben S und S 0 die selbe Divisionsalgebra D und T und T 0 die
selbe Divisionsalgebra E.
Also können wir schreiben S ∼
= Mm0 (E) für
= Mn0 (D) und T ∼
= Mm (E), T 0 ∼
= Mn (D), S 0 ∼
0
0
natürliche Zahlen n, n , m, m .
Damit ist
S⊗T ∼
= Mn (D)⊗Mm (E)
∼
= D⊗Mn (K)⊗E⊗Mm (K) nach (i)
∼
= D⊗E⊗ Mnm (K) nach (ii)
∼
= Mnm (D⊗E) nach (i)
Das Selbe gilt bei S 0 ⊗T 0 ∼
= Mnm (D⊗E) und da sie die gleiche Divisionsalgebra besitzen gilt:
0
0
S⊗T ∼ S ⊗T
3.2.3
Abgeschlossenheit:
Seien A und B zweit endlich dimensionale zentral einfache K- Algebren.
Sei [A],[B]∈ Br(K). A⊗B ist endlich dimensional und wie wir aus dem vorherigen Vortrag
wissen, ist A⊗B wieder eine zentral einfache Algebra. Damit ist [A⊗B] ∈ Br(K).
3.3
Satz
Br(K) ist mit dem Tensorprodukt als Gruppenoperation [A]·[B]=[A⊗B] eine abelsche Gruppe.
3.3.1
Beweis:
Assoziativität:
Wir wollen also zeigen [A]·([B]·[C])=([A]·[B])·[C].
[A]·([B]·[C])=[A]·[B⊗C] Def
=[A⊗(B⊗C)] Def
4
=[(A⊗B)⊗ C] Assoziativität des Tensorproduktes
=[A⊗B]·[C] Def.
=([A]·[B])·[C]
Neutrale Element:
Das Neutrale Element ist e=[K]=[M1 (K)]=[Mn (K)]
[A]·[K]=[A⊗K]=[A] dies gilt nach den Regeln des Tensorproduktes.
Inverse:
[A]−1 = [Aopp ] denn A⊗Aopp ∼
= Mn (K) .
opp ∼
Das A⊗A = Mn (K) gilt, wissen wir aus einem vorgehenden Vortrag. Und das Mn (K)∼K
ist haben wir schon beim neurtalen Element verwendet.
Damit ist dann also [Aopp ⊗A]=[Mn (K)]=[K]=e
Kommutativität:
[A]·[B]=[A⊗B]=[B⊗A]=[B]·[A]
Das mittelere Gleichheitszeichen gilt, da das Tensoprodukt kommutativ ist.
4
Beispiele
Nun betrachten wir für bestimmte K die dazugehörige Br(K).
Haben wir zwei K- Divisionsalgebren D und E so sind die dazugehörigen zentral einfachen KAlgebren genau dann in einer Äquvivalenzklasse, wenn D∼
=E. D.h. bis auf Isomorphie steht
jede K- Divisionsalgebra für eine Klasse. Also müssen wir, um die Anzahl der Äquivalenzklassen
zu erhalten, die K- Divisionsalgebren bestimmen.
4.1
K=R
Behauptung: Br(R)={[R],[H]}
Beweis:
Frobenius zufolge gibt es nur 3 Divisionsalgebren (bis auf Isomorphie) über R und das sind R,
C und H. Aber nur R und H haben R als Zentrum, denn Z(C)=C.
[K]=[R] ist wie eben bewiesen das Neutralelement.
H∼
= Hopp , was wir aus der Algebra 2 wissen.
Außerdem wissen wir, dass A⊗Aopp ∼
= Mn (K) ist, wenn Z(A) = K und dimK (A) = n. Mit
A =H ist Z(H) =R wie wir wissen und dimR (H) = 4.
Damit gilt H⊗H ∼
= M4 (R) und somit [M4 (R)] = [R] = [K] = e, also ist [H] invers zu sich
selbst. [H] hat als Gruppenelement die Ordnung 2 und erzeugt damit die Gruppe Br(R).
Da es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung 2 gibt, ist Br(R) isomorph zu Z/2Z.
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4.2
K=C
Behauptung:
Br(C)={[C]}={e}
Beweis:
Wir haben also K=C, d.h. wir suchen sowohl eine zentral einfache C- Algebra und die
dazugehörigen Divisionsalgebren über C.
Hierfür verwenden wir die Aussage, dass die einzige endlich dimensionale Divisionsalgebra D
über einen algebraisch abgeschlossenen Körper K der Körper selber ist. Also ist D = K.
Da C algebraisch abgeschlossen ist gilt die Behauptung Br(C)={[C]}.
Die Aussage von eben wurde schon in einem früheren Vortrag bewiesen,
ich erinnere nur noch einmal Kurz an den Beweis.
Beweis:
Sei x ∈ D. Dann erzeugt x einen Körper K(x)⊂D.Nach Algebra I ist die Körpererweiterung
K(x) algebraisch abgeschlossen über K, da D endlich dimensional ist. Da K algebraisch
abgeschlossen ist, folgt K(x) = K für jedes x ∈ D. Also gilt D = K.
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