Zahlen
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H.-D. Ebbinghaus H. Hermes F. Hirzebruch M. Koecher K. Mainzer J. Neukirch A. Prestel R. Remitiert Redaktion: K. Lamotke Zahlen Dritte verbesserte Auflage Mit 31 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo HongKong Barcelona Budapest Inhaltsverzeichnis Einleitung, K. Lamotke Teil A. V o n den natürlichen zu den k o m p l e x e n und /7-adischen Z a h l e n Kapitell. 1 . . . Natürliche, ganze und rationale Zahlen, K. Mainzer 7 9 § 1. Historisches . 9 1. Ägypten und Babylonien, 2. Griechenland, 3. Indisch-arabische Rechenpraxis, 4. Neuzeit §2. Natürliche Zahlen 13 1. Definition der natürlichen Zahlen, 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von N, 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natürlichen Zahlen, 4. PEANOS Axiome §3. §4. Ganze Zahlen 1. Die additive Gruppe TL, 2. Der Integritätsring TL, 3. Die Anordnung in Z Rationale Zahlen 1. Historisches, 2. Der Körper Q, 3. Die Anordnung in Q 18 20 Literatur 21 Kapitel 2. Reelle Zahlen, K. Mainzer 23 §1. 23 Historisches 1. HIPPASUS und das Pentagon, 2. EUDOXOS und die Proportionenlehre, 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik, 4. Präzisierungen des 19. Jahrhunderts §2. DEDEKiNDsche Schnitte . 1. Die Menge TR. der Schnitte, 2. Die Anordnung in R, 3. Die Addition in 1R, 4. Die Multiplikation in R. y §3. Funclamentalfolgen . . •: 1. Historisches, 2. Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium, 3. Der Ring der Fundamentalfolgen, 4. Der Restklassenkörper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen, 5. Der vollständig geordnete Restklassenkörper FjN §4. Intervallschachtelungen 1. Historisches, 2. Intervallschachtelungen und Vollständigkeit §5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen 1. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkörper, 2. Vollständigkeitssätze, 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen Literatur 30 33 36 39 43 X Inhaltsverzeichnis Kapitel 3. Komplexe Zahlen, R. Remmert 45 § 1. Genesis der komplexen Zahlen 1. CARDANO (1501-1576), 2. BOMBELLI (1526-1572), 3. DESCARTES (1596-1650), NEWTON (1643-1727) und LEIBNIZ (1646-1716), 4. EULER (1707-1783), 5. WALLIS (1616-1703), WESSEL (1745-1818) und ARGAND (1768-1822), 6. GAUSS (1777-1855), 7. CAUCHY (1789-1857), 8. HAMILTON (1805-1865), 9. Ausblick §2. Der Körper C 1. Definition durch reelle Zahlenpaare, 2. Die imaginäre Einheit i, 3. Geometrische Darstellung, 4. Nichtanordbarkeit des Körpers C, 5. Darstellung durch reelle 2 x 2 Matrizen §3. Algebraische Eigenschaften des Körpers C 1. Die Konjugierung C-»<C, zt->z, 2. Körperautomorphismen von <C, 3. Das natürliche Skalarprodukt Re(wz) und die euklidische Länge \z\, 4. Produktregel und „Zwei-Quadrate-Satz", 5. Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen, 6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln §4. Geometrische Eigenschaften des Körpers C 1. Die Identität <w,z>2 + (iw,zyz = \w\2 \z\2, 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung, 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhältnis, 4. Sehnenvierecke und Doppelverhältnis, 5. Satz von PTOLEMÄUS, 6. WALLACEsche Gerade §5. Die Gruppen O(C) und SO(2) 1. Abstandstreue Abbildungen von <E, 2. Die Gruppe O (C), 3. Die Gruppe SO (2) und der Isomorphismus S1->5'O(2), 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2 x 2 Matrizen § 6. Polarkoordinaten und ra-te Wurzeln 1. Polarkoordinaten, 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten, 3. MoiVREsche Formel, 4. Einheitswurzeln 46 53 58 64 69 73 Kapitel 4. Fundamentalsatz der Algebra, R. Remmert 79 § 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes 1. GIRARD (1595-1632) und DESCARTES (1596-1650), 2. LEIBNIZ (1646-1716), 3. EULER (1707-1783), 4. D'ALEMBERT (1717-1783), 5. LAGRANGE (1736-1813) und LAPLACE (1749-1827), 6. Die Kritik durch GAUSS, 7. Die vier Beweise von GAUSS, 8. ARGAND (1768-1822) und CAUCÖY (1789-1857), 9. Fundamentalsatz der Algebra: einst und jetzt, 10. Kurzbiographie von Carl Friedrich GAUSS § 2. Beweis des Fundamentalsatzes nach ARGAND -< . . 1. Der CAUCHYsche Minimumsatz, 2. Beweis des Fundamentalsatzes, 3."Beweis der ARGANDschen Ungleichung, 4. Variante des Beweises, 5. Konstruktive Beweise des Fundamentalsatzes §3. Anwendungen des Fundamentalsatzes 1. Lemma über die Abspaltung von Nullstellen, 2. Faktorisierung komplexer Polynome, 3. Faktorisierung reeller Polynome, 4. Existenz von Eigenwerten, 5. Primpolynome in C [Z] und R [X], 6. Einzigkeit von C, 7. Ausblick auf „höhere komplexe Zahlen" Anhang: Beweis des Fundamentalsatzes nach LAPLACE 1. Hilfsmittel, 2. Beweis, 3. Historisches 80 90 93 97 Inhaltsverzeichnis KapitelS. Was ist n?, R. Remmert XI 100 §1. Zur Geschichte der Zahl n . 101 1. Definition mittels Kreismessung, 2. Näherungswerte aus der Praxis, 3. Methodische Approximation, 4. Analytische Formeln, 5. Die Definition von BALTZER, 6. LANDAU und die zeitgenössische Kritik §2. Der Exponentialhomomorphismus exp: C - » C x 106 1. Additionstheorem, 2. Elementare Folgerungen, 3. Epimorphiesatz, 4. Der Kern des Exponentialhomomorphismus. Definition von n, Anhang: Elementarer Beweis von Hilfssatz 3 §3. Klassische Charakterisierungen von n 111 1. Definition von cosz und sinz, 2. Additionstheoreme, 3. Die Zahl n und die Nullstellen von cos z und sin z, 4. Die Zahl n und die Perioden von exp z, cos z und sin z, 5. Die Ungleichung sin y > 0 für 0 < y < n und die Gleichung e' ! = i, 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: R - > S ' , 7. Die Zahl n und Umfang und Inhalt eines Kreises §4. Klassische Formeln für n 116 1. Die LEiBNizsche Reihe für n, 2. Das ViETAsche Produkt für n, 3. Das EULERsche Sinusprodukt und das WALLissche Produkt für n, 4. Die EuLERSchen Reihen für n2, n*,..., 5. Die WEiERSTRASSsche Definition von n, 6. Irrationalität von n und Kettenbruchentwicklung, 7. Transzendenz von n Kapitel 6. Die p-adischen Zahlen, J. Neukirch §1. Zahlen als Funktionen §2. Die arithmetische Bedeutung der/7-adischen Zahlen §3. Die analytische Natur der p-adischen Zahlen §4. Die p-adischen Zahlen Literatur 126 126 132 . . 135 141 145 TeilB. Reelle Divisionsalgebren Einleitung, M. Koecher, R. Remmert Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren, M. Koecher, R. Remmert 147 149 151 f. Reelle Algebren, 2. Beispiele reeller Algebren, 3. Unteralgebren und AlgebraHomomorphismen, 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren, 5. Divisionsalgebren, 6. Konstruktion^von Algebren mittels Basen Kapitel 7. HAMiLTON,?cAe Quaternionen, M. Koecher, R. Remmert . . . .155 Einleitung 155 §1. Die Quaternionenalgebra H 158 1. Die Algebra H der Quaternionen, 2. Die Matrixalgebra tf und der Isomorphismus F: JH -> JC, 3. Der Imaginärraum von H, 4. Quaternionenprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt, 5. Zur Nichtkommutativität von 1H. Zentrum, 6. Die Endomorphismen des R-Vektorraumes H, 7. Quaternionenmultiplikation und Vektoranalysis, 8. Fundamentalsatz der Algebra für Quaternionen XII Inhaltsverzeichnis §2. Die Algebra JH als euklidischer Vektorraum 169 1. Konjugierung und Linearform Re, 2. Eigenschaften des Skalarproduktes, 3. Der „Vier-Quadrate-Satz", 4. Konjugierungs- und Längentreue von Automorphismen, 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Länge 1, 6. Die spezielle unitäre Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 -> SU(2) §3. Die orthogonalen Gruppen O(3), 0(4) und die Quaternionen . . . .175 1. Orthogonale Gruppen, 2. Die Gruppe O(M). Satz von CAYLEY, 3. Die Gruppe O(ImH). Satz von HAMILTON, 4. Die Epimorphismen S 3 ->5O(3) und S3 x S3->SO(4), 5. Drehachse und Drehwinkel, 6. EuLERsche Parameterdarstellung der SO (3) Kapitel 8. Isomorphiesätze von M. Koecher, R. Remmert FROBENIUS, H O P F und GELFAND-MAZUR 182 Einleitung 182 §1. HAMiLTONsche Tripel in alternativen Algebren .184 1. Die rein-imaginären Elemente einer Algebra, 2. HAMiLTONsche Tripel, 3. Existenz HAMiLTONScher Tripel in alternativen Algebren, 4. Alternative Algebren §2. Satz von FROBENIUS 187 1. Lemma von FROBENIUS, 2. Beispiele quadratischer Algebren, 3. QuaternionenLemma, 4. Satz von FROBENIUS (1877) §3. Satz von H O P F 190 1. Topologisierung reeller Algebren, 2. Die Quadratabbildung st -* st, xt-*x2. HoPFsches Lemma, 3. Satz von HOPF, 4. Der ursprüngliche HoPFsche Beweis, 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement §4. Satz von GELFAND-MAZUR < . . 197 1. BANACH-Algebren, 2. Die binomische Reihe, 3. Lokaler Umkehrsatz, 4. Die multiplikative Gruppe st *, 5. Satz von GELFAND-MAZUR, 6. Struktur normierter assoziativer Divisionsalgebren, 7. Das Spektrum, 8. Historisches zum Satz von GELFAND-MAZUR, 9. Ausblick Kapitel 9. CAYLEY-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren M. Koecher, R. Remmert - 205 § 1. Alternative quadratische Algebren : 205 1. Quadratische Algebren, 2. Satz über die-Bilinearform, 3. Satz über die'Konjugierungsabbildung, 4. Die Dreier-Identität, 5. Der euklidische Vektorfaum st und die orthogonale Gruppe O (s/) §2. Existenz und Eigenschaften der CAYLEY-Algebra © 211 1. Konstruktion der quadratischen Algebra © der Oktaven, 2. Imaginärraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von ©, 3. <D als alternative Divisionsalgebra, 4. „Acht-Quadrate-Satz", 5. Die Gleichung © = M(BMp, 6. Multiplikationstafel für © §3. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra 215 1. Verdopplungssatz, 2. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra (ZORN 1933), 3. Beschreibung von © durch ZoRNsche Vektormatrizen Inhaltsverzeichnis Kapitel 10. Kompositionsalgebren. Satz von HURWITZ. VektorproduktAlgebren M. Koecher, R. Remmert XIII 219 § 1. Kompositionsalgebren 220 1. Historisches zur Kompositionstheorie, 2. Beispiele, 3. Kompositionsalgebren mit Einselement, 4. Struktursatz für Kompositionsalgebren mit Einselement §2. Mutation von Kompositionsalgebren 224 1. Mutationen von Algebren, 2. Mutationssatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren, 3. Satz von HURWITZ (1898) §3. Vektorprodukt-Algebren 227 1. Der Begriff der Vektorprodukt-Algebra, 2. Konstruktion von VektorproduktAlgebren, 3. Beschreibung aller Vektorprodukt-Algebren, 4* MALCEV-Algebren, 5. Historische Bemerkung Kapitel 11. Divisionsalgebren und Topologie, F. Hirzebruch 233 § 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2 233 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von HOPF, 2. Homologie und Kohomologie mit Koeffizienten in F2, 3. Beweis des Satzes von HOPF, 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie, 5. Charakteristische Homologieklassen nach STIEFEL § 2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8 . . . . 241 1. Die mod 2-Invariante <x(/), 2. Parallelisierbarkeit der Sphären und Divisionsalgebren, 3. Vektorraumbündel, 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach WHITNEY, 5. Der Ring der Vektorraumbündel, 6. Die Borrsche Periodizität, 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten, 8. Schluß des Beweises, 9. Historische Anmerkungen §3. Ergänzungen 249 1. Definition der HoPFschen Invarianten, 2. Die HoPFsche Konstruktion, 3. Der Satz von ADAMS über die HoPFsche Invariante, 4. Zusammenfassung, 5. Der Satz von ADAMS über Vektorfelder auf Sphären Literatur 252 Teü C . Ausblicke Kapitel -12. Non-Standard Ancdysis, A. Prestel §1. Einführung §2. Der Non-Standard Zahlbereich *R 1. Konstruktion von *R, 2. Eigenschaften von *R §3. Gemeinsamkeiten von R und *R §4. Differential-und Integralrechnung 1. Differentiation, 2. Integration Epilog Literatur 253 255 255 259 264 269 274 275 XIV Inhaltsverzeichnis Kapitel 13. Zahlen und Spiele, H. Hermes 276 §1. Einleitung 1. Der traditionelle Aufbau der reellen Zahlen, 2. Die CoNWAYsche Methode, 3. Übersicht §2. CoNWAYspiele 1. Diskussion der DEDEKiNDschen Postulate, 2. CONWAYS Modifikation der DEDEKiNDschen Postulate, 3. CoNWAYspiele §3. Spiele 1. Der Spielbegriff, 2. Beispiele für Spiele, 3. Ein Induktionsprinzip für Spiele §4. Zur Theorie der Spiele 1. Gewinnstrategien, 2. Positive und negative Spiele, 3. Eine Einteilung der Spiele. Gleichwertigkeit von Spielen §5. Eine halbgeordnete Gruppe äquivalenter Spiele 1. Das Negative eines Spiels, 2. Die Summe zweier Spiele, 3. Isomorphe Spiele, 4. Eine Halbordnung der Spiele, 5. Gleichheit von Spielen § 6. Spiele und CoNWAYspiele 1. Die grundlegenden Abbildungen, 2. Übertragung der für Spiele definierten Relationen und Operationen auf CoNWAYspiele, 3. Beispiele §7. CoNWAYzahlen 1. Die CoNWAYschen Postulate (Cl) und (C2), 2. Elementare Eigenschaften der Ordnung, 3. Beispiele §8. Der Körper der CoNWAYzahlen 1. Die Rechenoperationen für Zahlen, 2. Beispiele, 3. Eigenschaften des Körpers der Zahlen Literatur 276 278 280 282 285 288 291 294 297 Kapitel 14. Mengenlehre und Mathematik, H.-D. Ebbinghaus 298 Einleitung § 1. Mengen und die Objekte der Mathematik 1. Urelemente und höhere Objekte, 2. Mengentheoretische Definition höherer Objekte, 3. Urelemente als Mengen §2. Axiomensysteme der Mengenlehre 1. Die RussELLsche Antinomie, 2. ZERMELOsche und ZERMELO-FRAENKELsche Mengenlehre, 3. Einige Folgerungen, 4. Mengenlehre mit Klassen §3. Einige metamathematische Aspekte 1. Die VON NEUMANNsche Hierarchie, 2. Das Auswahlaxiom, 3. Unabhängigkeitsbeweise Epilog Literatur 298 300 318 318 Namenverzeichnis 321 Sachverzeichnis 325 Porträts berühmter Mathematiker 304 313 . 335
