Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von
Formeln und Sequenzen
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Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf
Syntax:
⊢K
„ist beweisbar”
O
Menge von Formeln
= Axiome Ax
Semantik:
Vollständigkeit
Korrektkeit
beschreiben
Software-Systeme:
Menge von Algebren
{A, B, . . .}
|=
„ist gültig in”
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Formel ϕ
beschreibt
Eigenschaft ϕA
Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf (1)
Semantik (i. e. der Inhalt, dessen was wir tun):
• 1. Schritt: Wir wollen Softwaresysteme und funktionale Anforderungen
an solche beschreiben
⋆ SW-Systeme sind Datenstrukturen, Programme etc.
Bei eingebetteten Systemen evtl. inclusive Umgebung
• 2. Schritt: Gegeben eine beliebige Implementierung, die die
Anforderungen erfüllt, wollen wir Eigenschaften wie z. B. Korrektheit
und Sicherheit nachweisen
Mathematik: Das allgemeinste Modell für ein SW-System ist eine Algebra A.
Wir wollen also Algebren beschreiben, und Eigenschaften von Algebren
nachweisen.
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Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf (2)
Mathematik: Sprachen zum Beschreiben von Algebren und ihren
Eigenschaften heissen Logiken
Bem.: Auch Prog.sprachen sind spezielle Beschreibungen von Algebren!
Syntax
• Algebren kann man durch Formelmengen Ax beschreiben
• Eigenschaften werden durch Formeln ϕ beschreiben
• Statt informell zu überlegen ob eine Eigenschaft gilt, verwenden wir
einen Kalkül K , und zeigen formal: Ax ⊢K ϕ
Gewinn: Garantie, dass SW-System Eingenschaft hat
Keine absolute Garantie: Nur so gut, wie genau man das SW-System
beschrieben wurde (insbes. die Umgebung bei eingebetteten Systemen!)
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Semantik: Σ-Algebren
Eine Σ-Algebra A = ((As )s∈S , (op A )op∈OP )
zu einer Signatur Σ = (S, OP ) ist ein Paar mit:
• Nichtleeren Mengen As für jede Sorte s ∈ S (Trägermengen)
• Die Trägermenge Abool ist immer gleich {tt,ff}
• Funktionen op A : As1 × . . . × Asn → As′ für alle op : s1 , . . . , sn → s′
• Die vordefinierten booleschen Symbole haben in jedem A
die “normale” Bedeutung (Wahrheitstafeln):
trueA = tt, ∧A (tt,ff) = ff, ∨A (tt,ff) = tt etc.
Die Menge aller Σ-Algebren über Σ wird mit Alg(Σ) bezeichnet.
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Semantik: Belegungen von Variablen
Eine Belegung (engl. v aluation; auch: ein Zustand)
v:
S
s∈S
vs : Xs → As
ist eine Abbildung, die jedem Variablensymbol in Xs einen Wert in As
zuordnet
Die Abänderung vxa der Belegung v für x ∈ Xs und a ∈ As ist definiert durch:
vxa (y)
:=
(
v(y)
a
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falls x 6= y
falls x = y
Semantik von Ausdrücken
Gegeben eine Algebra A und eine Belegung v . Dann ist die Semantik [[e]]A,v
eines Ausdrucks e der Sorte s das folgende Element aus As :
• [[x]]A,v := v(x) für x ∈ Xs
• [[op(e1 , . . . , en )]]A,v := op A ([[e1 ]]A,v , . . . , [[en ]]A,v ) für op ∈ OP und
ei ∈ EXPR(Σ, X)
• [[e1 = e2 ]]A,v := tt, falls [[e1 ]]A,v = [[e2 ]]A,v (sonst := ff)
• [[∀ x.ϕ]]A,v := tt, falls für alle a ∈ As′ gilt: [[ϕ]]A,vxa = tt (sonst := ff)
(x ∈ Xs′ )
• [[∃ x.ϕ]]A,v := tt, falls es ein a ∈ As′ gibt mit [[ϕ]]A,vxa = tt (sonst := ff)
(x ∈ Xs′ )
Hinweis: Falls ϕ eine Formel ist, so ist [[ϕ]]A,v immer tt oder ff.
(“die Formel ist wahr oder falsch in A mit v ”)
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Gültigkeit und Erfüllbarkeit
Für ϕ ∈ For (Σ, X) und Ax ⊆ For (Σ, X) definiert man:
• A, v |= ϕ :⇔ [[ϕ]]A,v = tt
• A |= ϕ :⇔ für jedes v gilt: A, v |= ϕ
Gesprochen: „ϕ gilt in A“, „A Modell von ϕ “
• A |= Ax :⇔ A |= ϕ für alle ϕ ∈ Ax
• Ax |= ϕ :⇔ für alle A ∈ Alg(Σ) gilt: A |= Ax ⇒ A |= ϕ
Gesprochen: „ϕ folgt aus Ax “
• ϕ Tautologie, |= ϕ :⇔ für alle A ∈ Alg(Σ) gilt A |= ϕ
• ϕ erfüllbar :⇔ es gibt A ∈ Alg(Σ) mit A |= ϕ
• Ax erfüllbar :⇔ es gibt A ∈ Alg(Σ) mit A |= Ax
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Eigenschaften der Prädikatenlogik (1)
1. A, v |= ϕ ⇔ Nicht A, v |= ¬ ϕ (kurz: A, v 6|= ¬ ϕ)
2. A, v |= ϕ oder A, v |= ¬ ϕ
3. v(x) = v ′ (x) für alle x ∈ free (ϕ) ⇒ (A, v |= ϕ ⇔ A, v ′ |= ϕ)
4. Nur, wenn free (ϕ) = ∅: A |= ϕ oder A |= ¬ ϕ
5. Nur, wenn free (ϕ) = ∅: A |= ϕ ⇔ A 6|= ¬ ϕ
6. A |= ϕ ⇔ A |= Cl∀ (ϕ)
Bedeutung: Cl ∀ (ϕ) - Allquantifizierung aller freien Variablen in ϕ
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Eigenschaften der Prädikatenlogik (2)
Substitutionstheorem
[[t]]A,v
A, vx
|= ϕ ⇔ A, v |= ϕtx
Korollar (Instanzierung und Umbenennung)
Es gilt:
|= (∀ x . ϕ) → ϕtx
Wenn z 6∈ free (ϕ) \ {y }, so gilt außerdem:
• A, v |= ∀ y . ϕ ⇔ A, v |= ∀ z . ϕzy
• |= (∀ y . ϕ) ↔ (∀ z . ϕzy )
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Semantik von Sequenzen
Definition (Semantik von
Sequenzen)
V
W
A, v |= Γ ⊢ ∆ ⇔ A, v |=
Γ→ ∆
Folgerungen
Für ϕ ∈ For (Σ, X) und Ax ⊆ For (Σ, X) gilt
A |= ϕ
A |= ¬ ϕ
Ax |= ϕ
Ax |= ¬ ϕ
⇔
⇔
⇔
⇔
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A |= ⊢ ϕ
A |= ϕ ⊢
Ax |= ⊢ ϕ
Ax |= ϕ ⊢
Korrektheit der basic rules
Satz (Regelkorrektheit der basic rules)
Für alle basic rules gilt:
A |= {Γ1 ⊢ ∆1 , . . . , Γn ⊢ ∆n } ⇒ A |= (Γ ⊢ ∆)
Alles andere wäre nicht sehr sinnvoll!
Satz (Invertierbarkeit der basic rules)
Für alle basic rules außer Abschwächung gilt:
A |= (Γ ⊢ ∆) ⇒ A |= {Γ1 ⊢ ∆1 , . . . , Γn ⊢ ∆n }
Wichtige Konsequenz:
Durch Regelanwendung wird aus einer beweisbaren Sequenz nie eine
unbeweisbare!
(Man kann nichts falsch machen, nur unnötiges und umständliches)
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Korrektheit und Vollständigkeit von PL
Erhält man aus der Formelmenge Ax durch Anwendung der basic rules die
Sequenz ⊢ ϕ, dann schreibt man
Ax ⊢PL ϕ.
Das ist genau dann der Fall, wenn es einen KIV-Beweisbaum für ⊢ ϕ aus Ax
gibt.
Satz (Korrektheit)
Für eine Formel ϕ und eine Formelmenge Ax gilt
Ax ⊢PL ϕ
⇒
Ax |= ϕ
Satz (Vollständigkeit)
Für eine Formel ϕ und eine Formelmenge Ax gilt
Ax |= ϕ
⇒
Ax ⊢PL ϕ
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Unentscheidbarkeit von PL
Satz (Unentscheidbarkeit von PL)
Es gibt kein Entscheidungsverfahren für die Allgemeingültigkeit von
prädikatenlogischen Formeln. Zählt man alle Beweise des
Sequenzenkalküls auf, so wird darin jede allgemeingültige Formel
irgendwann vorkommen, aber das Verfahren kann nicht so verschärft
werden, daß es auch für alle nicht allgemeingültigen Formeln immer
abbricht.
Beachte: Für reine Aussagenlogik ist der Sequenzenkalkül ein
Entscheidungsverfahren: man kann blind einfach Regeln anwenden,
das terminiert immer. Genau wenn der Beweis geschlossen wird ist die
Formel allgemeingültig!
Das Problem bei PL liegt wo ?
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Unentscheidbarkeit von PL
Satz (Unentscheidbarkeit von PL)
Es gibt kein Entscheidungsverfahren für die Allgemeingültigkeit von
prädikatenlogischen Formeln. Zählt man alle Beweise des
Sequenzenkalküls auf, so wird darin jede allgemeingültige Formel
irgendwann vorkommen, aber das Verfahren kann nicht so verschärft
werden, daß es auch für alle nicht allgemeingültigen Formeln immer
abbricht.
Beachte: Für reine Aussagenlogik ist der Sequenzenkalkül ein
Entscheidungsverfahren: man kann blind einfach Regeln anwenden,
das terminiert immer. Genau wenn der Beweis geschlossen wird ist die
Formel allgemeingültig!
Das Problem bei PL liegt bei der Frage welche Terme τ man bei
den Regeln all left/exists right wählen soll.
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