Variablen und freie Variablen eines Ausdrucks

Variablen und freie Variablen eines Ausdrucks
Die Variablen eines Ausdrucks (V ar(e))
V ar(x)
V ar(op(e1 , . . . , en ))
V ar(e = e′ )
V ar(Qx.ϕ)
=
=
=
=
{x}
x∈X
Sn
ar(ei )
V ar(e) ∪ V ar(e′ )
{x} ∪ V ar(ϕ)
Q ∈ {∀, ∃}
i=1 V
Die freien Variablen einer Formel (f ree(ϕ)) sind genauso definiert ausser:
f ree(Qx.ϕ) = f ree(ϕ) \ {x} Q ∈ {∀, ∃}
34
Substitution
Die Substitution einer Variablen x durch einen Ausdruck t in e (etx )
xtx
= t
yxt
= y
falls x 6= y
op(e1 , . . . , en )tx = op((e1 )tx , . . . , (en )tx )
(e1 = e2 )tx
(Qy.ϕ)tx
= ((e1 )tx = (e2 )tx )
=


Qy.ϕ




 Qy.ϕt






x
Qz.(ϕzy )tx
falls y = x ∨ x 6∈ f ree(ϕ)
falls y 6= x, y 6∈ f ree(t), x ∈ f ree(ϕ)
falls y 6= x, y ∈ f ree(t), x ∈ f ree(ϕ)
(z neu, d. h. z 6∈ V ar(ϕ) ∪ V ar(t))
(Q ∈ {∀, ∃})
35
Regeln für Gleichungen
Γ ⊢ τ = τ, ∆
(reflexivity right)
x = τ, Γτx ⊢ ∆τx
(insert equation)
x = τ, Γ ⊢ ∆
• Statt x = τ ist auch τ = x erlaubt(Symmetrie)
• KIV erlaubt auch:
⋆ Einsetzen von Gleichungen τ = τ ′ (beides keine Variable).
Ersetzt τ nur dort, wo alle Variablen frei sind.
⋆ Einsetzen der Gleichung nur an spezifischen
Positionen in Γ ⊢ ∆ (selten gebraucht)
36
Beispiel
Ein Beweis mit Quantoren.
37
Regeln für Quantoren
ϕτx , ∀ x.ϕ, Γ ⊢ ∆
(all left)
•
∀ x.ϕ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕτx , ∃ x.ϕ, ∆
(exists right)
Γ ⊢ ∃ x.ϕ, ∆
ϕyx , Γ ⊢ ∆
•
(exists left)
∃ x.ϕ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕyx , ∆
(all right)
Γ ⊢ ∀ x.ϕ, ∆
ϕτx die Substitution von x durch einen beliebigen Term τ in ϕ.
y ist eine neue Variable, i. e. eine die nicht frei in Q x.ϕ, Γ, ∆ (Q ∈ {∀, ∃})
vorkommt.
Genauer: y 6∈ (f ree(ϕ)\{x}) ∪ f ree(Γ) ∪ f ree(∆)
38
Intuition für Quantorenregeln (1)
all left:
• Allquantor im Antezedent: ∀ x.ϕ wird als wahr angenommen
• Aus der Annahme folgt, dass auch die Annahme ϕtx
für einen beliebigen Term t wahr ist
• Jede Formel ϕtx darf hinzugenommen werden
• Einziges Problem: Welches t ist nützlich (kreativ!)?
all right:
• Allquantor im Sukzedent: ∀ x.ϕ soll bewiesen werden
• Dazu muss ϕ für „jedes beliebige, feste“ Element bewiesen werden
• Eine Variable y bezeichnet so ein beliebiges Element,
aber nur, wenn sie neu ist
• Wenn die Variable nicht neu wäre, wäre ihr Wert nicht beliebig,
sondern durch die Formeln eingeschränkt.
• Statt ∀ x.ϕ zeige man also ϕyx mit neuem y .
• Keine Kreativität erforderlich
39
Intuition für Quantorenregeln (2)
ex right:
• ∃ x.ϕ im Sukzedent soll bewiesen werden
• Wenn ϕtx für einen Term t beweisen werden kann,
so ist ∃ x.ϕ wahr für den Wert den t bezeichnet.
• Also darf man sich ein t (hoffentlich das „richtige“)
aussuchen, um einen Beweis für ϕtx zu führen.
ex left:
•
•
•
•
∃ x.ϕ im Antezedent darf angenommen werden.
Es gibt also eine Belegung von x mit einem Element, für die ϕ wahr ist
Über das Element weiss man nur, dass ϕ wahr wird.
Eine neue Variable y können wir mit dem Element belegen, da die
Gültigkeit der Sequenz von der Belegung bisher nicht abhängt.
• Die neue Variable gibt einen „Namen“ für das existierende Element.
• Statt ∃ x.ϕ, genügt es also, ϕyx mit neuem y zu zeigen.
40
Wozu braucht man cut und weakening?
Wozu braucht man:
Γ′ ⊢ ∆′
(weakening, Γ′ ⊆ Γ, ∆′ ⊆ ∆)
Γ⊢∆
41
ϕ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕ, ∆
(cut formula)
Γ⊢∆
Wozu braucht man cut und weakening?
Wozu braucht man:
Γ′ ⊢ ∆′
(weakening, Γ′ ⊆ Γ, ∆′ ⊆ ∆)
Γ⊢∆
ϕ, Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ϕ, ∆
(cut formula)
Γ⊢∆
Erinnerung: Wenn Axiome (in KIV auch: Lemmas) gegeben sind, dürfen
diese als Prämissen in Beweisbäumen übrigbleiben
Bemerkung: KIV-Axiome (z.B. m + n = n + m) sind immer implizit
allquantifiziert
41
Zusätzliche Regel: Insert Axiom
⊢ϕ
all right
⊢ Cl∀ (ϕ)
weakening
Γ, Cl∀ (ϕ) ⊢ ∆ Γ ⊢ Cl∀ (ϕ), ∆
cut
Γ⊢∆
Cl∀ (ϕ) := ∀ x1 , . . . , xn .ϕ, wobei {x1 , . . . , xn } = f ree(ϕ)
Neue Regel im Basiskalkül, um obige Schritte abzukürzen:
⊢ Ax
Cl∀ (Ax), Γ ⊢ ∆
(insert axiom)
Γ⊢∆
• KIV bietet die erste Prämisse nicht mehr an
• Später: Der KIV-Kalkül hat noch komfortablere Regeln:
insert lemma & insert rewrite-lemma
42
Vorgriff: Induktion für natürliche Zahlen
• Theoretisches zu Induktion später
• In KIV gibt es pro Datentyp meist eine strukturelle Induktionsregel
• Nat. Zahlen: Wenn für eine Formel ϕ(n)
⋆ ϕ(0) gilt
⋆ für jedes n: aus Ind.hyp. ϕ(n) folgt: ϕ(n +1)
dann gilt für ∀ n. ϕ(n)
• Im Sequenzenkalkül: ϕ ist jetzt die Sequenz Γ ⊢ ∆
für Induktionsformel in Formel umwandeln!
⊢ ϕ(0)
ϕ = ∀ y.
ϕ(n) ⊢ ϕ(n +1)
Γ⊢∆
V
Γ→
W
∆,
y = f ree(Γ → ∆) \ {n}
43
Semantik von
Formeln und Sequenzen
44
Grundidee der Verwendung von
Logik im Software Entwurf
Syntax:
⊢K
„ist beweisbar”
O
Menge von Formeln
= Axiome Ax
Semantik:
Vollständigkeit
Korrektkeit
beschreiben
Software-Systeme:
Menge von Algebren
{A, B, . . .}
Formel ϕ
|=
„ist gültig in”
beschreibt
Eigenschaft ϕA
Ziel: Nachweis, dass ein reales Softwaresystem eine Eigenschaft hat.
Technik: Formaler Beweis („Rechnen mit Formeln“) in KIV.
Korrektheit + Vollständigkeit garantieren, dass man das richtige tut
45
Grundidee der Verwendung von
Logik im Softwareentwurf (1)
Semantik (i. e. der Inhalt, dessen was wir tun):
• 1. Schritt: Wir wollen Softwaresysteme und funktionale Anforderungen
an solche beschreiben
⋆ SW-Systeme sind Datenstrukturen, Programme etc.
Bei eingebetteten Systemen evtl. inclusive Umgebung
• 2. Schritt: Gegeben eine beliebige Implementierung, die die
Anforderungen erfüllt, wollen wir Eigenschaften wie z. B. Korrektheit
und Sicherheit nachweisen
Mathematik: Das allgemeinste Modell für ein SW-System ist eine Algebra A.
Wir wollen also Algebren beschreiben, und Eigenschaften von Algebren
nachweisen.
46
Grundidee der Verwendung von
Logik im Softwareentwurf (2)
Mathematik: Sprachen zum Beschreiben von Algebren und ihren
Eigenschaften heissen Logiken
Bem.: Auch Prog.sprachen sind spezielle Beschreibungen von Algebren!
Syntax
• Algebren kann man durch Formelmengen Ax beschreiben
• Eigenschaften werden durch Formeln ϕ beschreiben
• Statt informell zu überlegen ob eine Eigenschaft gilt, verwenden wir
einen Kalkül K , und zeigen formal: Ax ⊢K ϕ
Gewinn: Garantie, dass SW-System Eingenschaft hat
Keine absolute Garantie: Nur so gut, wie genau man das SW-System
beschrieben wurde (insbes. die Umgebung bei eingebetteten Systemen!)
47
Semantik: Σ-Algebren
Eine Σ-Algebra A = ((As )s∈S , (opA )op∈OP )
zu einer Signatur Σ = (S, OP ) ist ein Paar mit:
• Nichtleeren Mengen As für jede Sorte s ∈ S (Trägermengen)
• Die Trägermenge Abool ist immer gleich {tt,ff}
• Funktionen opA : As1 × . . . × Asn → As′ für alle op : s1 , . . . , sn → s′
• Die vordefinierten booleschen Symbole haben in jedem A
die “normale” Bedeutung (Wahrheitstafeln):
trueA = tt, ∧A (tt,ff) = ff, ∨A (tt,ff) = tt etc.
Die Menge aller Σ-Algebren über Σ wird mit Alg(Σ) bezeichnet.
Merke: Sorten bedeuten Datenmengen,
Operationssymbole bezeichen Funktionen
Algebra = Datenstruktur, Σ entspricht Interface
Bsp: Datenmenge = Menge aller Listen, Operation: Aneinanderhängen
48
Semantik: Belegungen von Variablen
Eine Belegung (engl. v aluation; auch: ein Zustand)
v:
S
s∈S
vs : Xs → As
ist eine Abbildung, die jedem Variablensymbol in Xs einen Wert in As
zuordnet
Die Abänderung vxa der Belegung v für x ∈ Xs und a ∈ As ist definiert durch:
vxa (y)
:=
(
v(y)
a
falls x 6= y
falls x = y
49
Semantik von Ausdrücken
Gegeben eine Algebra A und eine Belegung v . Dann ist die Semantik [[e]]A,v
eines Ausdrucks e der Sorte s das folgende Element aus As :
• [[x]]A,v := v(x) für x ∈ Xs
• [[op(e1 , . . . , en )]]A,v := opA ([[e1 ]]A,v , . . . , [[en ]]A,v ) für op ∈ OP und
ei ∈ EXP R(Σ, X)
• [[e1 = e2 ]]A,v := tt, falls [[e1 ]]A,v = [[e2 ]]A,v (sonst := ff)
• [[∀ x.ϕ]]A,v := tt, falls für alle a ∈ As′ gilt: [[ϕ]]A,vxa = tt (sonst := ff)
(x ∈ X s ′ )
• [[∃ x.ϕ]]A,v := tt, falls es ein a ∈ As′ gibt mit [[ϕ]]A,vxa = tt (sonst := ff)
(x ∈ X s ′ )
Hinweis: Falls ϕ eine Formel ist, so ist [[ϕ]]A,v immer tt oder ff.
(“die Formel ist wahr oder falsch in A mit v ”)
50
Gültigkeit
Für ϕ ∈ F or(Σ, X) und Ax ⊆ F or(Σ, X) definiert man:
• A, v |= ϕ :⇔ [[ϕ]]A,v = tt
Gesprochen: „ϕ gilt in A unter Belegung v “
• A |= ϕ :⇔ für jedes v gilt: A, v |= ϕ
Gesprochen: „ϕ gilt in A“, „A Modell von ϕ “
• A |= Ax :⇔ A |= ϕ für alle ϕ ∈ Ax
• Ax |= ϕ :⇔ für alle A ∈ Alg(Σ) gilt: A |= Ax ⇒ A |= ϕ
Gesprochen: „ϕ folgt aus Ax“
• ϕ Tautologie, |= ϕ :⇔ für alle A ∈ Alg(Σ) gilt A |= ϕ
Beachte: A |= p(x) genau dann, wenn pA konstant für alle Elemente wahr
ist,
also auch genau dann, wenn A |= ∀ x.p(x)
51
Erfüllbarkeit
Für ϕ ∈ F or(Σ, X) und Ax ⊆ F or(Σ, X) definiert man:
• ϕ erfüllbar in der Algebra A
:⇔ es gibt Belegung v mit A, v |= ϕ
• Ax erfüllbar in der Algebra A
:⇔ es gibt Belegung v mit A, v |= ϕ für alle ϕ ∈ Ax
• ϕ erfüllbar, falls ϕ erfüllbar in einer Algebra
• Ax erfüllbar, falls Ax erfüllbar in einer Algebra
Beachte: p(x) ist erfüllbar in A, wenn pA für ein Element wahr liefert,
also auch genau dann, wenn A |= ∃ x.p(x)
52
Eigenschaften der Prädikatenlogik (1)
1. A, v |= ϕ ⇔ Nicht A, v |= ¬ ϕ (kurz: A, v 6|= ¬ ϕ)
2. A, v |= ϕ oder A, v |= ¬ ϕ
3. v(x) = v ′ (x) für alle x ∈ f ree(ϕ) ⇒ (A, v |= ϕ ⇔ A, v ′ |= ϕ)
4. Nur, wenn f ree(ϕ) = ∅: A |= ϕ oder A |= ¬ ϕ
5. Nur, wenn f ree(ϕ) = ∅: A |= ϕ ⇔ A 6|= ¬ ϕ
6. A |= ϕ ⇔ A |= Cl∀ (ϕ)
7. {Ax1 , . . . , Axn } |= ϕ ⇔ {Cl∀ (Ax1 ), . . . , Cl∀ (Axn )} |= ϕ
Bedeutung: Cl∀ (ϕ) - Allquantifizierung aller freien Variablen in ϕ
Beachte Nummer 7: Axiome sind immer allquantifiziert
(Unterschied zur Vorlesung Logik f. Informatiker!)
53
Eigenschaften der Prädikatenlogik (2)
Substitutionstheorem
[[t]]A,v
A, vx
|= ϕ ⇔ A, v |= ϕtx
Korollar (Instanzierung und Umbenennung)
Es gilt:
|= (∀ x. ϕ) → ϕtx
Wenn z 6∈ f ree(ϕ) \ {y }, so gilt außerdem:
• A, v |= ∀ y . ϕ ⇔ A, v |= ∀ z . ϕzy
• |= (∀ y . ϕ) ↔ (∀ z . ϕzy )
54
Semantik von Sequenzen
Definition (Semantik von
Sequenzen)
V
W
A, v |= Γ ⊢ ∆ ⇔ A, v |=
Γ→ ∆
Folgerungen
Für ϕ ∈ F or(Σ, X) und Ax ⊆ F or(Σ, X) gilt
A |= ϕ
A |= ¬ ϕ
Ax |= ϕ
Ax |= ¬ ϕ
⇔
⇔
⇔
⇔
55
A |= ⊢ ϕ
A |= ϕ ⊢
Ax |= ⊢ ϕ
Ax |= ϕ ⊢
Korrektheit der Basicregeln
Satz (Regelkorrektheit der Basisregeln)
Für alle Basisregeln gilt:
A |= {Γ1 ⊢ ∆1 , . . . , Γn ⊢ ∆n } ⇒ A |= (Γ ⊢ ∆)
Alles andere wäre nicht sehr sinnvoll!
Satz (Invertierbarkeit der Basisregeln)
Für alle Basisregeln außer Abschwächung gilt:
A |= (Γ ⊢ ∆) ⇒ A |= {Γ1 ⊢ ∆1 , . . . , Γn ⊢ ∆n }
Wichtige Konsequenz:
Durch Regelanwendung wird aus einer beweisbaren Sequenz nie eine
unbeweisbare!
(Man kann nichts falsch machen, nur unnötiges und umständliches)
56
Korrektheit und Vollständigkeit von PL
Kann man mit den Basisregeln einen Beweisbaum mit Konklusion ⊢ ϕ und
Prämissen in Ax konstruieren, dann schreibt man
Ax ⊢P L ϕ.
Satz (Korrektheit)
Für jede Formel ϕ und jede Formelmenge Ax gilt
Ax ⊢P L ϕ
⇒
Ax |= ϕ
Satz (Vollständigkeit)
Für jede Formel ϕ und jede Formelmenge Ax gilt
Ax |= ϕ
⇒
Ax ⊢P L ϕ
57
Unentscheidbarkeit von PL
Satz (Unentscheidbarkeit von PL)
Es gibt kein Entscheidungsverfahren für die Allgemeingültigkeit von
prädikatenlogischen Formeln. Zählt man alle Beweise des
Sequenzenkalküls auf, so wird darin jede allgemeingültige Formel
irgendwann vorkommen, aber das Verfahren kann nicht so verschärft
werden, daß es auch für alle nicht allgemeingültigen Formeln immer
abbricht.
Beachte: Für reine Aussagenlogik ist der Sequenzenkalkül ein
Entscheidungsverfahren: man kann blind einfach Regeln anwenden,
das terminiert immer. Genau wenn der Beweis geschlossen wird ist die
Formel allgemeingültig!
Das Problem bei PL liegt wo ?
58
Unentscheidbarkeit von PL
Satz (Unentscheidbarkeit von PL)
Es gibt kein Entscheidungsverfahren für die Allgemeingültigkeit von
prädikatenlogischen Formeln. Zählt man alle Beweise des
Sequenzenkalküls auf, so wird darin jede allgemeingültige Formel
irgendwann vorkommen, aber das Verfahren kann nicht so verschärft
werden, daß es auch für alle nicht allgemeingültigen Formeln immer
abbricht.
Beachte: Für reine Aussagenlogik ist der Sequenzenkalkül ein
Entscheidungsverfahren: man kann blind einfach Regeln anwenden,
das terminiert immer. Genau wenn der Beweis geschlossen wird ist die
Formel allgemeingültig!
Das Problem bei PL liegt bei der Frage welche Terme τ man bei
den Regeln all left/exists right wählen soll.
58