Seminar: Mathematische Logik

M athematisches Institut der U niversität Tübingen
Prof. Dr. Ulrich Felgner
Seminar: Mathematische Logik
Winter-Semester 2006/2007
Vorträge:
(1) Die Erzwingungs-Methode (forcing).
Es soll die von Abraham Robinsohn entwickelte Erzwingungsmethode zur
Konstruktion von Modellen vorgetragen werden.
Literatur: Klaus Potthoff: Einführung in die Modelltheorie und ihre Anwendungen. Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1981,pp. 35-47.
Vortragende: Sabine Marhoffer
(2) Der Craigsche Interpolations-Satz.
Es soll der folgende Satz von William Craig vorgetragen werden: Seien Φ und
Ψ L-Aussagen mit |= Φ → Ψ. Dann gibt es eine L-Aussage Θ mit:
(i) in Θ kommen nur die nicht-logischen Zeichen vor, die sowohl in Φ als
auch in Ψ vorkommen, und
(ii) |= Φ → Θ & |= Θ → Ψ.
Literatur: Klaus Potthoff: Einführung in die Modelltheorie und ihre Anwendungen. Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1981, pp. 62-66. Die hier
benötigte Methode zur Modell-Konstruktion (Erzwingungsmethode, forcing)
sollte im Vortrag (1) vorgestellt werden. Ferner: Chang-Keisler: Model Theory
(Amsterdam 1973), Satz von Craig-Lyndon, p. 84.
Vortragende: Nadine Rasch
(3) Realisieren und Auslassen von Typen
Ziel des Vortrages ist einerseits ein Beweis des Satzes von Engeler-Ehrenfeucht
demzufolge man Typen, die keine Haupttypen sind, in geeigneten T-Modellen
auslassen kann (Ommitting types theorem). Der Beweis verwendet die HenkinMethode.
Literatur: Chang-Keisler: Model Theory (Amsterdam 1973), pp.76-82. Zur
Orientierung sei empfohlen: J.R.Shoenfield: „Math. Logic“ (1967), p.90-91.
Vortragender: Benjamin Jogsch
(4) ℵ 0-kategorische Theorien
Im Mittelpunkt dieses Vortrages steht der Satz von Engeler, Ryll-Nardzewski,
Svenonius, der eine syntaktische Charakterisierung derjenigen Theorien (erster
Stufe) gibt, die bis auf Isomorphie nur genau ein abzählbares Modell haben. Ohne
Beweis werden die Resultate des Vortrages (4) über das „Auslassen“ von Typen
(Satz von Engeler-Ehrenfeucht) verwendet. Es sollten Anwendungen dieses
Satzes gegeben werden (z.B. Charakterisierung aller ℵ 0-kategorischen abelschen
Gruppen, aller ℵ0-kategorischen Booleschen Algebren, etc.).
Literatur: J.R.Shoenfield: Math. Logic (1967), pp.88-92 (oder Chang-Keisler
„Model Theory“, p.101 ff) und (trotz seiner kitschig-primitiven Zeichnungen)
Peter Cameron „Oligomorphic Permutation Groups“ (Cambridghe 1990),
Zur weiteren Orientierung wird auf U.Felgner „Kategorizität“, Jahresbericht der
DMV 82 (1980), pp.12-32, verwiesen.
Vortragende: Melanie Rinas
(5) Saturierte Modelle.
Es soll die Existenz saturierter Modelle und ihre Charakterisierungen als
homogene universelle Modelle gezeigt werden. Eventuell sollten Anwendungen
auf linear-geordnete Mengen und reell-abgeschlossene Körper besprochen
werden.
Literatur: M. Morley - R.L. Vaught: Homogeneous universal models. Math.
Scand. 11 (1962), pp. 37-57. Siehe auch: Chang-Keisler „Model-Theory“, pp.
220-221. Siehe auch: U. Felgner: Die Hausdorffsche Theorie der ηα-Mengen und
ihre Wirkungsgeschichte. In F. Hausdorff Werke, Band 2, pp. 645-674.
Vortragende: Maria Prionidou
(6) Ein Zwei-Kardinalzahl-Theorem
Es soll der folgende Satz vorgetragen werden: Sei T eine Theorie in einer
abzählbaren Sprache der 1. Stufe. Wenn T ein (κ , λ) - Modell besitzt, wobei
ℵ 0 ≤ λ < κ, dann besitzt T auch ein (ω1, ω) - Modell. Es sollten Anwendungen auf
ℵ 1 -kategorische Theorien gegeben werden.
Literatur: M.Morley: Partitions and Models, Proceedings Summer School in
Math. Logic. Leeds 1967. Springer Lecture Notes in Math. 70, pp.119-121 (Satz
3.3).
Vortragender: Thomas Edgar
(7) Inexistenz von Theorien mit genau zwei abzählbaren Modellen.
Es soll der Satz von R.L. Vaught vorgetragen werden, daß es keine vollständige
Theorie in einer abzählbaren Sprache der 1. Stufe gibt, die bis auf Isomorphie
nur genau zwei abzählbar-unendliche Modelle besitzt.
Literatur: R.L.Vaught: Denumerable models of complete theories. In: Infinitistic
Methods, Proceedings Symposium Warschau 1959. Pergamon Press 1961, pp.
303-321.
Vortragender: Marcus Braatz
(8) Eine Klassifikation aller Booleschen Algebren bis auf elementare Äquivalenz.
Literatur: Chang-Keisler: Model Theory (Amsterdam, 1973), pp. 293-302. Siehe
auch S. Koppelberg: in „Handbook of Boolean Algebras“, Band 1 (Monk Bonnet, Herausgeber), Amsterdam 1989. und W. Hodges: Model Theory (1993).
Der Beweis verwendet saturierte Boolesche Algebren.
Vortragender: Matthias Hirzel
(9) Skolemisierung und der Satz von Ehrenfeucht-Mostowski.
Es soll der Satz von Ehrenfeucht-Mostowski vorgetragen werden, daß jede
unendliche L-Struktur eine elementare Erweiterung mit beliebig großer
Automorphismengruppe besitzt. Der dabei benutzte Satz von Ramsey (aus der
Infinitären Kombinatorik) kann ohne Beweis verwendet werden.
Literatur: A. Ehrenfeucht-A.Mostowski: Models of axiomatic theories admitting
automorphisms, Fund.Math.43 (1956), pp.50-68. Siehe auch: Chang-Keisler:
Model Theory (Amsterdam 1973), pp.141-152.
Vortragender: Michael Hrenka
(10) Elementare Äquivalenz zwischen symmetrischen Gruppen.
Es soll der Satz von R. McKenzie-S. Shelah vorgetragen werden: Zwei
symmetrische Gruppen Sym(ℵα ) und Sym(ℵ β) sind genau dann elementaräquivalent, wenn die linear geordneten Mengen ⟨α, ≤ ⟩ und ⟨β, ≤ ⟩ elementaräquivalent sind.
Literatur: R. McKenzie: On elementary types of symmetric groups. Algebra
universalis 1 (1971), pp. 13-20; und S. Shelah: First-order theory of permutation
groups. Israel J. 14 (1973), pp. 149-162 (+ Korrekturen: Band 15, pp. 437-441).
Vortragende: Susanne Mennecke
(11) Gödels eigener Beweis des Vollständigkeits-Satzes
Literatur: K.Gödel: Die Vollständigkeit der Axiome des log. Funktionenkalküls.
Monatshefte für Math. u. Physik Band 37 (1930), pp.349-360. Nachdruck in
Gödels „Gesammelten Werken“, Band 1 pp.102-122.
Zur weiteren Orientierung sei auch auf die ausführlichen „Introductory Notes“
von B. Dreben in Gödels Gesammelten Werken, Band 1, pp.44-59, sowie Gödels
Dissertation in der Originalfassung (Band 1, pp.60-100) verwiesen. Auch der
3.Band von Gödels Werken, pp.13-28, seien empfohlen.
Vortragender: Waldemar Korell
(12) Ein Beweis des Gödelschen Vollständigkeits-Satzes nach Rasiowa-Sikorski
Literatur: Helena Rasiowa-Roman Sikorski: A proof of the completeness theorem
of Gödel. Fundamenta Mathematicae Band 37(1950), pp.193-200.
Über die zugrunde liegende Theorie der Booleschen Algebren könnte Band 1 des
„Handbuches der Booleschen Algebren“ (Monk-Bonnet-Koppelberg, Amsterdam
1989) nützlich sein. Zur weiteren Orientierung sei auf Bell-Slomson „Models and
Ultraproducts“, A.Levy „Basic Set Theory“ (dort p.277-278) und M.M.Richter
„Logikkalküle“ (Teubner Verlag Stuttgart 1978, pp.27-28 & pp. 73ff) verwiesen.
Vortragende: Agnieszka Polewka