1 Feldtheorie und Vielteilchensysteme

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8
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1
Feldtheorie und Vielteilchensysteme
Wir starten unsere Diskussion mit einer kurzen Wiederholung der klassischen, nicht–
relativistischen Theorie von Punktteilchen in 1.1 und ‘quantisieren’ diese Theorie in 1.2.
Danach bilden wir in 1.3 den sog. Kontinuumslimes und gehen zu einer feldtheoretischen
Beschreibung über. Nach einer kurzen Wiederholung des Prinzips der stationären Wirkung
in 1.4 führen wir die sog. kanonische Quantisierung in 1.5 durch. Abschliessend diskutieren
wir in 1.6 ein konkretes Beispiel — die Quantisierung einer schwingenden Saite.
1.1
Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen
Mechanik
Ein klassisches System mit n Freiheitsgraden wird
charakterisiert durch einen Punkt (p, q) im Phasenraum.
Dabei nennt man:
p
• die Einträge von q = (q1 , . . . qn )
verallgemeinerte Koordinaten
und
• die Einträge von p = (p1 , . . . pn )
verallgemeinerte Impulse.
Hamilton’sche Beschreibung.
H(p, q) =
n
�
i=1
q
Die Hamilton–Funktion des Systems ist gegeben durch
pi 2
+ V (p, q) .
2mi
(1.1)
Im Folgenden werden wir uns auf mi = m ∀i und ein rein von q abhängiges V , d.h.
V (p, q) = V (q), beschränken. Die Hamilton–Funktion sei also
n
�
pi 2
H(p, q) =
+ V (q) .
2m
i=1
(1.2)
Die Dynamik wird beschrieben durch die Hamilton–Gleichungen
ṗi = −
∂H(q, p, t)
∂qi
und
q̇i =
∂H(q, p, t)
.
∂pi
(1.3)
M.a.W. man kann die zeitliche Entwicklung des Systems vorhersagen, indem man die
Hamilton–Gleichungen (1.3) mit den entsprechenden Anfangsbedingungen löst.
Beschreibung durch Lagrangefunktion.
der Lagrangefunktion
L(q, q̇, t) = p q̇ − H(p, q, t)
und der Bewegungsgleichungen
Eine äquivalente Beschreibung erfolgt mit
(1.4)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
d ∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
=
.
dt
∂ q̇i
∂qi
9
(1.5)
Diese Gleichung ergibt sich, wenn man fordert, dass die Wirkung
S[q] =
�tf
dt L(q, q̇, t)
(1.6)
ti
minimal ist. Hierbei bezeichnen ti bzw. tf einen Anfangs- bzw. Endzeitpunkt.
1.2
Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen
Quantenmechanik
Wir betrachten ein quantenmechanisches System mit n Freiheitsgraden. Der Zustand des
Systems kann dargestellt werden durch einen Vektor im Hilbertraum,
|q1 , . . . qn � .
Dieser ist Eigenzustand zu einem Satz von Operatoren {q i }i=1,...n mit
q i |q1 , . . . qn � = qi |q1 , . . . qn � .
(1.7)
Des Weiteren gibt es Operatoren {pi }i=1,...n , welche den klassischen konjugierten Impulsen
pi entsprechen.
Quantisierung. Der Übergang zur quantenmechanischen Beschreibung erfolgt durch die
sog. Quantisierung. Hierbei ersetzt man die verallgemeinerten Koordinaten qi und Impulse
pi durch Operatoren q i und pi , für die man die folgenden Kommutatorrelationen fordert:
[q i , pj ] =
[q i , q j ] = [pi , pj ] =
i � δij .
0.
(1.8a)
(1.8b)
Die Mittel- oder Erwartungswerte dieser Operatoren verhalten sich wie die zugeordneten
klassischen Größen.
Schrödingerbild. Im Schrödingerbild ist die zeitliche Evolution des Systems bestimmt
durch die Entwicklung der Wellenfunktion Ψ(q, t), die der Schrödingergleichung
�
�
�2 � ∂ 2
∂Ψ
+ V (q) Ψ(q, t)
(1.9)
(q, t) = −
i�
∂t
2m i ∂qi2
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
10
genügt. Dabei ist
H = −
�2 � ∂ 2
+ V (q)
2m i ∂qi2
(1.10)
der Hamilton–Operator des Systems.
Heisenbergbild. Im Heisenbergbild ist die zeitliche Evolution des Systems gegeben
durch die Zeitabhängigkeit der Operatoren,
q̇ i
=
ṗi
=
i
− [q i , H] ,
�
i
− [pi , H] .
�
(1.11a)
(1.11b)
Ist H speziell von der Gestalt
�2 � ∂ 2
+ V (q) ,
H = −
2m i ∂qi2
Bemerkung:
(1.12)
so liefert Einsetzen in (1.11)
q̇ i =
1.3
pi
m
und
ṗi = −
dV
(q) .
dqi
Der Kontinuumslimes am Beispiel einer schwingenden Saite
◦
Schwingende Saite. Will man eine schwingende Sai- q
◦
◦
◦
◦
te im Rahmen der Punktmechanik beschreiben, so kann
◦
◦ ◦◦◦
man das näherungsweise fogendermaßen tun: man be- ◦•
◦ ◦•|
◦
trachtet n Massenpunkte, welche in einer Kette ange- ◦• ◦• ◦
•
• • • •xL
• • •••
ordnet sind, wobei zwei benachbarte Punkte durch Fe•
•
”
•
dern“ verbunden sind. Die Massenpunkte haben dann
verallgemeinerte Koordinaten qi (t) bzw. verallgemeinerte Impulse pi (t).
q
Im Kontinuumslimes betrachtet man anstatt der n
Koordinaten qi (t) die Auslenkung q(x, t) mit x ∈ [0, xL ].
Anstatt der Masse m der einzelnen Punkte wird im
|
Kontinuumslimes die Dichte ρ betrachtet, die FederxL
konstanten werden durch die Zähigkeit τ beschrieben.
x ist nicht verallgemeinerte Koordinate im Sinne der
klassischen Physik, sondern x fungiert als kontinuier”
licher Index“. Man bezeichnet q(x, t) als Feldvariable.
Die Auslenkung q(x, t) kann als einfaches Beispiel für ein klassisches Feld gesehen werden. Für solche Felder wissen wir (noch) nicht, wie Quantisierung funktioniert; in der
Beschreibung durch n Massenpunkte hingegen schon. Wir können (und werden) daher
die Quantisierung der Feldtheorie über den Umweg einer diskretisierten Beschreibung
durchführen.
1
11
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
Lagrangefunktion und Lagrangedichte. Wie wir am Anfang (siehe Gleichung (1.4))
gesehen hatten, kann das System im Lagrange–Formalismus durch die Lagrangefunktion
beschrieben werden.
Anstatt von (q1 , . . . qn , q̇1 , . . . q̇n ) hängt die Lagrangefunktion L nur“ noch von q(x, t)
”
und q̇(x, t) ab. Im diskreten Fall war
L(q, q̇, t)
=
=
p q̇ − H(p, q, t) = p q̇ −
n
�
p2i
− V (q)
2m
i=1
(1.13)
n
�
q̇i2
− V (q) =: T − V ,
2m
i=1
(1.14)
also die Differenz zwischen kinetischer Energie T und potentieller Energie V . Wie wir
sehen werden, wird ie Summe über i in (1.13) im Kontinuumslimes zum Integral über x.
Die Lagrangefunktion schreibt sich entsprechend als x–Integral
�xL
�
�
L =
dx L q(x, t), q̇(x, t) ,
(1.15)
0
wobei der Integrand L als Lagrangedichte bezeichnet wird. Sieht man von der Abhängigkeit vom Zeitparameter t ab, so ist die Lagrangefunktion damit ein Funktional der dynamischen (Feld-)Variablen q(x, t) und q̇(x, t). Wie wir sehen werden, spielt die Lagrangedichte
eine zentrale Rolle in der Quantenfeldtheorie.
Wir wollen nun den Übergang zum Integral am Beispiel der schwingenden Saite motivieren. Die Lagrangedichte lautet explizit
�
� �2 �
∂q
1
2
− V (q) ,
(1.16)
ρ q̇ − τ
L =
2
∂x
wobei V eine zusätzliche Potentialdichte ist, z.B. die des Schwerefeldes. Die einzelnen
Terme lassen sich wie folgt motivieren
Die kinetische Energie eines Systems von n Massenpunkten mit universeller Masse mi =
m0 ist
�
�2
�
�2
n
n
�
�
mi dqi
ρ Δx dqi
T =
=
.
(1.17)
2
dt
2
dt
i=1
i=1
Hierbei bezeichnet Δx den Abstand zweier Massenelemente und, wie bereits erwähnt, ρ
die Massendichte. Im Kontinuumslimes wird dieser Ausdruck zu
�
�2
�xL
ρ ∂q
n groß
T −−−−→
dx
(x, t)
.
(1.18)
2 ∂t
0
Nun soll der Effekt der Federn beschrieben werden. Der
Abstand zwischen dem i–ten und (i + 1)–ten Massenpunkt ist
�
(Δx)2 + (qi+1 − qi )2
Δs =
�
�
(qi+1 − qi )2
.
� Δx 1 +
2 (Δx)2
Δs
qi+1
qi
Δx
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
12
Wenn man die Feder von der Ruhelage auslenkt, erhält man einen zusätzlichen Beitrag
zur potentiellen Energie,
n−1
�
ΔV �
i=1
(qi+1 − qi )2 n groß
−−−−→
Δx τ
2 (Δx)2
�
�2
�xL
τ ∂q
(x, t)
.
dx
2 ∂x
(1.19)
0
Dies reproduziert den zweiten Term in (1.16), beinhaltet (noch) nicht die potentielle Energie im Schwerefeld. Wenn wir uns an die allgemeine Relation L = T − V (vgl. (1.14)),
d.h. die Lagrangefunktion ist Differenz zwischen kinetischer Energie T und potentieller
Energie V , erinnern, folgt aus den Gleichungen (1.18) und (1.19) die Lagrangedichte der
schwingenden Saite (1.16).
Konjugiertes Impuls–Feld π.
Feldvariablen q)
Das konjugierte Impuls“–Feld ist (völlig analog zu der
”
∂L
hier
(x, t) = ρ q̇(x, t) .
∂ q̇
π(x, t) =
(1.20)
Durch Legendre–Transformation ergibt sich damit die Hamilton- oder Energie–Dichte
� �2
2
τ ∂q
hier π
+ V (q) = H (π, q) .
(1.21)
+
H = π q̇ − L =
2ρ
2 ∂x
Wirkung.
S =
Die Wirkung ist das Raum–Zeit–Integral über die Lagrangedichte,
�tf
dt L[q] =
ti
�tf
ti
�xL
�
�
dt dx L q(x, t), q̇(x, t), ∂x q(x, t) .
(1.22)
0
Hierbei ist L ein Funktional, d.h. für eine feste Zeit t bildet L die Funktion q(x, t) auf
L[q] ∈ ab.
0
1.4
Bewegungsgleichungen und Prinzip der stationären Wirkung
Wir gehen aus von der Lagrangedichte
L (φ, φ̇, ∂x φ) ,
die von der Feldvariablen φ(x, t) sowie ihrer Zeit- und Ortsableitung abhängt.
Mit der zeitabhängigen Lagrangefunktion
�x2
�
�
dx L φ(x, t), φ̇(x, t), ∂x φ(x, t)
Lt [φ] =
(1.23)
x1
lautet die Wirkung (oder besser: das Wirkungsfunktional)
�t2
dt Lt [φ] .
S[φ] =
t1
(1.24)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
13
Prinzip der stationären Wirkung. Das Prinzip der stationären Wirkung oder auch
Hamilton–Prinzip besagt, dass die Bewegungsgleichungen aus der Stationarität der Wirkung, d.h. aus
δS[φ] = 0
(1.25)
folgen. M.a.W. die zeitabhängige Konfiguration φ(x, t) beschreibt die Dynamik des Systems
höchstens dann, falls (1.25) gilt.
Bemerkung zur Terminologie: Die Lagrangedichte ist eine Funktion der Feldvariable
φ und deren Ableitungen, wohingegen die Lagrangefunktion bis auf die t–Abhängigkeit ein
Funktional von φ ist. Insofern sind die Bezeichnungen möglicherweise etwas unglücklich
gewählt.
Bemerkung zur Schreibweise:
Im Folgenden schreiben wir
�
�
∂L
:= ∂1 L φ(x, t), φ̇(x, t), ∂x φ(x, t)
∂φ(x, t)
usw. ,
∂L
d.h. ∂φ(x,t)
bezeichnet die Ableitung nach dem ersten Argument der Funktion L , die eine
Funktion mehrerer Variablen ist.
Nun betrachten wir Variationen von φ. Es gilt (vgl. Anhang A, Beispiel (1))
�t2 �x2
�
�
dt dx L φ + δφ, φ̇ + ∂t (δφ), ∂x φ + ∂x (δφ)
S[φ + δφ] − S[φ] =
x1
t1
�t2 �x2
�
�
− dt dx L φ, φ̇, ∂x φ
t1
=
�t2
dt
t1
=
�x2
dx
x1
�
x1
∂L
· δφ(x, t)
∂φ(x, t)
�
∂L
∂L
+
· ∂x (δφ(x, t))
· ∂t (δφ(x, t)) +
∂(∂x φ)
∂ φ̇(x, t)
�
�
�
�
�
�
+O �δφ�2 + O �∂t (δφ)�2 + O �∂x (δφ)�2
�
�t2 �x2 �
∂L
∂L
∂L
· δφ(x, t)
− ∂t
− ∂x
dt dx
∂φ(x, t)
∂(∂x φ(x, t))
∂ φ̇(x, t)
x1
t1
�x2
� x2
�t2 �t2 �
∂L
∂L
+ dx
· δφ(x, t)
· δφ(x, t) + dt
∂(∂x φ)
∂ φ̇(x, t)
x1
t1
x1
t1
�
�
�
�
�
�
2
2
2
+O �δφ� + O �∂t (δφ)� + O �∂x (δφ)�
�
Für die Norm � · � kann man beispielsweise
�t2 �x2
dt dx |ϕ(x, t)|
�ϕ� =
t1
x1
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
14
wählen; die genaue Definition spielt jedoch keine Rolle für das Weitere. Nun betrachten
wir nur solche Variationen δφ welche für t = t1 , t = t2 , x = x1 und x = x2 verschwinden.
Dann verschwinden die Randterme. Da δφ abgesehen von diesen Randbedingungen beliebig
!
gewählt werden kann, ist die Forderung δS = 0 gleichbedeutend mit den Euler–Lagrange–
Gleichungen
∂L
∂L
∂L
− ∂t
= 0.
− ∂x
∂φ(x, t)
∂(∂x φ(x, t))
∂ φ̇(x, t)
Beispiel: Bewegungsgleichungen der schwingenden Saite.
Die Lagrangedichte lautet
� � �
� �2 �
2
∂q
1
∂q
ρ
− V (q) .
L (q, q̇, ∂x q) =
−τ
2
∂t
∂x
(1.26)
(1.27)
Die Euler–Lagrange–Gleichungen (1.26) liefern
ρ
�
∂2q
∂2q
∂V �
(x, t) − τ 2 (x, t) +
q(x, t) = 0 ,
2
∂t
∂x
∂q
oder kurz mit v 2 = τ /ρ
q̈ − v 2 q �� = −
1 ∂V
.
ρ ∂q
Ist speziell das Potential quadratisch in q, V = 21 ρ Ω2 q 2 , so ergibt sich
� 2
�
2
∂
2 ∂
2
q(x, t) = 0 .
−
v
+
Ω
∂t2
∂x2
1.5
Kanonische Quantisierung
Ausgangspunkt.
Gegeben sei ein System mit der Lagrangedichte
L (φ, φ̇, ∂x φ) .
Wir definieren die kanonische Impulsfeldvariable
π =
∂L
.
∂ φ̇
(1.28)
Die Frage ist nun, wie man das System quantisiert“, d.h. wie man von einer klassischen
”
Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie übergeht. Eine Möglichkeit, dies zu bewerkstelligen, ist die sog. kanonische Quantisierungsregeln zu befolgen, die nun spezifiziert werden;
die Pfadintegralquantisierung wird später in Abschnitt 4 behandelt.
Postulat:
relationen
Die Feldvariable φ und die Impulsfeldvariable π genügen den Vertauschungs-
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
[φ(x, t), φ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)]
[φ(x, t), π(y, t)]
= 0,
= i � δ(x − y) .
15
(1.29a)
(1.29b)
Es ist klar, dass diese Relationen nicht mit klassischen Feldern erfüllt werden können. Wie
durch die Notation in (1.29) bereits angedeutet, beinhaltet die kanonische Quantisierung
den Übergang zu Operatoren,
φ
π
→ φ,
→ π.
(1.30a)
(1.30b)
Man beachte, dass die Zeitargumente der Feldoperatoren in (1.29) übereinstimmen, d.h.
es handelt sich um gleichzeitige Kommutatoren.
Mit den Operatoren φ und π konstruiert man den Hamilton–Operator
�x+ �
�
H(t) =
dx π(x, t) φ̇(x, t) − L .
(1.31)
x−
Damit wiederum kann man die zeitliche Evolution von φ bzw. π im Heisenbergbild angeben,
φ̇
=
π̇
=
i
[φ, H] ,
�
i
− [π, H] .
�
−
(1.32a)
(1.32b)
Im Folgenden soll die Interpretation der Operatoren anhand eines Beispiels erarbeitet
werden.
1.6
Beispiel: Quantisierung der schwingenden Saite
Bei der schwingenden Saite ist die (klassische) Lagrangedichte gegeben durch
� �2
� �2
1
1
∂q
∂q
− τ
− V (q) .
L (q, q̇, ∂x q) = ρ
2
∂t
2
∂x
Damit lautet das konjugierte Impulsfeld
π(x, t) =
∂L
= ρ q̇ .
∂ q̇
Um Schreibarbeit zu sparen, führen wir in (1.27) die (Skalen-)Transformation
√
φ(x, t) := ρ q(x, t)
durch. Die Lagrangedichte lautet damit
� �2
1
τ ∂φ
1
− m2 φ 2 ,
L = φ̇2 −
2
2ρ ∂x
2
(1.33)
(1.34)
(1.35)
1
16
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
wobei wir angenommen haben, dass V quadratisch in q bzw. φ ist. Das konjugierte Impulsfeld ergibt sich nun zu
π = φ̇ .
(1.36)
Die Bewegungsgleichung folgt aus der Euler–Lagrange–Gleichung,
2
∂2φ
2 ∂ φ
−
v
+ m2 φ = 0 .
∂t2
∂x2
(1.37)
Man beachte, dass dies die Gleichungen für das klassische Feld φ sind.
Quantisierung.
Nun ersetzen wir gemäß (1.30) die Felder durch Feldoperatoren,
φ(x, t), π(x, t) → φ(x, t), π(x, t) ,
für die wir die kanonischen Vertauschungsrelation (1.29) fordern,
[φ(x, t), π(y, t)]
=
[φ(x, t), φ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)]
=
i � δ(x − y) ,
0.
(1.38a)
(1.38b)
Modenentwicklung. Die geforderten Vertauschungsrelationen werden plausibel, wenn
man sich die Modenentwicklung der Feldoperatoren ansieht, wie die folgende Diskussion
zeigt. Die Eigenfunktionen der Bewegungsgleichung (1.37) lauten
ei k x−i ωk t
und
e−i k x+i ωk t .
Darin nimmt k wegen der periodischen Randbedingung
φ(x = 0, t) = φ(xL , t)
nur diskrete Werte an,
k =
2π · n
xL
mit n ∈
�.
Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung (1.37) bestimmt man ωk ,
�
−ωk2 + v 2 k 2 + m2 = 0 � ωk =
v 2 k 2 + m2 .
Da es nur zwei linear unabhängige Eigenfunktionen gibt, brauchen negative ωk nicht betrachtet betrachtet werden. D.h., da ωk nur vom Betrag von k abhängt und die Eigenfunktion mit negativem ωk der jeweils anderen Eigenfunktion mit positivem ωk , aber einem
durch −k ersetzten k entspricht, können wir im Folgenden ωk > 0 annehmen.
Das allgemeine Feld läßt sich nach den Eigenfunktionen, den sog. Eigenmoden, entwickeln,
�
�
�
�
�
φ(x, t) =
ak ei k x−i ωk t + a†k e−i k x+i ωk t .
(1.39)
2ωk xL
k
In der klassischen Beschreibung wären die Koeffizienten (oder Amplituden), ak und a∗k ,
Zahlen; hier jedoch müssen ak bzw. a†k Operatoren sein, damit die Vertauschungsrelationen
1
17
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
(1.29) erfüllt sein können. Der Vorfaktor ist eine zunächst willkürliche Normierung, die sich
später als nützlich erweisen wird. Durch Zeitableitung erhält man das Impulsfeld,
�
�
� � ωk �
(1.40)
ak ei k x−i ωk t − a†k e−i kx+i ωk t .
π(x, t) = − i
2xL
k
Nun wollen wir ak bzw. a†k durch φ(x, t) und π(x, t) ausdrücken. Dazu betrachten wir
mit einem � = (2π m)/xL (m ∈ )
�
�xL
dx e−i �x+i ω� t φ(x, t)
(1.41a)
0
=
�xL � �
dx
k
0
=
�
�
2ωk xL
�
ak ei (k−�) x−i (ωk −ω� ) t + a†k e−i (k+�) x+i (ωk +ω� ) t
�
� xL �
a� + a†−� e2i ω� t .
2ω�
�
(1.41b)
Im letzten Schritt wurde benutzt, dass mit den diskreten k- und �–Werten gilt
�xL
dx ei (k−�) x = xL δk� ,
0
und dass ωk = ω−k ist. Analog erhalten wir die Relationen (vgl. Übungen)
�xL
dx e−i � x+i ω� t π(x, t)
=
ω�
�
=
�
�
� xL �
a−� e−2i ω� t + a†� ,
2ω�
(1.41d)
ω�
�
(1.41e)
0
�xL
dx ei � x−i ω� t φ(x, t)
0
�xL
dx ei � x−i ω� t π(x, t)
=
0
�
� xL �
−i a� + i a†−� e2i ω� t ,
2ω�
�
� xL �
−i a−� e2i ω� t + i a†� .
2ω�
(1.41c)
Durch geeignete Linearkombinationen dieser Gleichungen erhalten wir die Ausdrücke
ak
a†k
=
=
1
√
2� ωk xL
�xL
dx e−i k x+i ωk t · {ωk φ(x, t) + i π(x, t)} ,
1
√
2� ωk xL
�xL
dx ei k x−i ωk t · {ωk φ(x, t) − i π(x, t)} .
0
0
Damit lassen sich die Vertauschungsrelationen der ak bzw. a†k ermitteln,
[ak , a†� ]
=
2� xL
1
√
ωk ω�
�xL �xL
dx dy e−i k x+i � y+i (ωk −ω� ) t ·
0
0
· [ωk φ(x, t) + i π(x, t), ω� φ(y, t) − i π(y, t)]
(1.42a)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
=
=
2� xL
1
√
ωk ω�
18
�xL �xL
dx dy e−i k x+i � y+i (ωk −ω� ) t ·
0
0
· {ωk � δ(x − y) + ω� � δ(x − y)}
�xL
ωk + ω�
dx e−i (k−�) x+i (ωk −ω� ) t
√
2 x L ωk ω�
0
=
δk� .
Völlig analog erhält man (vgl. Übungen)
[ak , a� ] = [a†k , a†� ] = 0 .
Insgesamt ergibt sich, dass die ak bzw. a†k den Vertauschungsregeln für Bose–Operatoren
genügen,
[ak , a� ] =
[ak , a†� ]
=
δk� ,
(1.43a)
[a†k , a†� ]
=
0.
(1.43b)
Dies sind nichts anderes als die Kommutator–Relationen für Bose–Operatoren.
Interpretation. Die Operatoren a†k bzw. ak lassen sich als Erzeuger bzw. Vernichter
einer bosonischen Mode der Wellenzahl k interpretieren, da sie dieselben Charakteristika
wie die entsprechenden Operatoren im Besetzungszahlformalismus aufweisen. Insbesondere
haben wir es nun mit unendlich vielen bosonischen Oszillatoren, d.h. einem Vielteilchensystem, zu tun.
Hamilton–Operator. Die klassische Hamilton–Dichte läßt sich gemäß (1.21) durch die
klassischen Felder φ, π und ∂x φ ausdrücken,
�
�2
τ ∂φ
1
1 2
(x, t) + m2 φ(x, t)2 (x, t) .
(1.44)
H (x, t) = π (x, t) +
2
2ρ ∂x
2
Die Hamilton–Funktion ergibt sich durch Integration über x. Den Hamilton–Operator
erhält man, indem man die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt,
H
=
�xL
0
..
.
=
=
�
dx H (x, t)�φ,π→φ,π
vgl. Übungen
1�
� ωk (a†k ak + ak a†k )
2
k
�
�
�
1
.
� ωk a†k ak +
2
k
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
19
Mit dem Besetzungszahloperator
nk = a†k ak
(1.45)
schreibt sich der Hamilton–Operator als
�
�
�
1
H =
.
� ωk nk +
2
k
Angeregte Zustände lassen sich durch einen Satz an Quantenzahlen {nk } charakterisieren.
Spezifisch lassen sie sich durch sukzessives Anwenden von Erzeugern auf das Vakuum |−�
konstruieren,
|{nk }� =
� (a† )nk
√k
|−� .
nk !
k
(1.46)
Die Energie, d.h. der Eigenwert des Hamilton–Operators für den Zustand |{nk }�, divergiert,
�
�
�
1
.
(1.47)
E =
� ωk nk +
2
k
Dies läßt sich auf die Divergenz der Energie des Grundzustands |−� zurückführen. In
der Feldtheorie ist es üblich, anstatt der (divergenten) Energie die Anregungsenergie zu
betrachten,
�
E ∗ = E − E0 =
� ωk nk .
(1.48)
k
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