1 Feldtheorie und Vielteilchensysteme

1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1
8
Feldtheorie und Vielteilchensysteme
1.1
Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen
Mechanik
Ein klassisches System mit n Freiheitsgraden wird charakterisert durch einen Punkt (p, q)
im Phasenraum. Dabei nennt man:
• die Einträge von q = (q1 , . . . qn ) verallgemeinerte Koordinaten und
• die Einträge von p = (p1 , . . . pn ) verallgemeinerte Impulse.
Hamilton’sche Beschreibung. Die Hamiltonfunktion des Systems ist gegeben durch:
H(p, q) =
n
X
pi 2
+ V (p, q) .
2mi
i=1
(1.1)
Im Folgenden werden wir uns auf mi = m ∀i und ein rein von q abhängiges V , d.h.
V (p, q) = V (q), beschränken. Die Hamiltonfunktion sei also von folgender Gestalt:
H(p, q) =
n
X
pi 2
+ V (q) .
2m
i=1
(1.2)
Die Dynamik wird beschreiben durch die Hamilton-Gleichungen
ṗi = −
∂H(q, p, t)
∂qi
und q̇i =
∂H(q, p, t)
.
∂pi
Beschreibung durch Lagrangefunktion.
der Lagrangefunktion
(1.3)
Eine äquivalente Beschreibung erfolgt mit
L(q, q̇, t) = p q̇ − H(p, q, t)
(1.4)
und der Bewegungsgleichung
d ∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
=
.
dt
∂ q̇
∂q
(1.5)
Diese Gleichung ergibt sich, indem man die Wirkung
S[q] =
Ztf
dt L(q, q̇, t)
ti
minimiert. Hierbei bezeichnen ti bzw. tf einen Anfangs- bzw. Endzeitpunkt.
(1.6)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.2
9
Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen
Quantenmechanik
Wir betrachten ein quantenmechanisches System mit n Freiheitsgraden. Der Zustand des
Systems kann dargestellt werden durch einen Vektor im Hilbertraum,
|q1 , . . . qn i .
Dieser ist Eigenzustand zu einem Satz von Operatoren {q i }i=1,...n mit
q i |q1 , . . . qn i = qi |q1 , . . . qn i .
(1.7)
Desweiteren gibt es Operatoren {pi }i=1,...n , welche den klassischen konjugierten Impulsen
pi entsprechen.
Quantisierung. Der Übergang zur Quantenmechanik erfolgt durch die sog. Quantisierung, d.h. man ersetzt die verallgemeinerten Koordinaten qi und Impulse pi durch Operatoren q i und pi , für die man die folgenden Kommutatorrelationen fordert:
[q i , pj ] =
[q i , q j ] = [pi , pj ] =
i ~ δij .
0.
(1.8a)
(1.8b)
Schrödingerbild. Im Schrödingerbild ist die zeitliche Evolution des Systems bestimmt
durch die Entwicklung der Wellenfunktion Ψ(q, t), die der Schrödingergleichung
#
"
~2 X ∂ 2
∂Ψ
+ V (q) Ψ(q, t)
(1.9)
(q, t) = −
i~
∂t
2m i ∂qi2
genügt.
Heisenbergbild. Im Heisenbergbild ist die zeitliche Evolution des Systems gegeben
durch die Zeitabhängigkeit der Operatoren,
q̇ i
i
= − [q i , H]
~
ṗi
i
= − [pi , H]
~
(1.10)
Dabei ist H der Hamiltonoperator des Systems.
Bemerkung: Ist H speziell von der Gestalt
~2 X ∂ 2
+ V (q) ,
H = −
2m i ∂qi2
so liefert Einsetzen in (1.10)
q̇ i =
pi
m
und ṗi = −
dV
(q) .
dqi
(1.11)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.3
10
Der Kontinuumslimes am Beispiel einer schwingenden Saite
◦
Schwingende Saite. Will man eine schwingende Sai◦
◦
◦
te im Rahmen der Punktmechanik beschreiben, so kann
◦
◦
q2
◦ ◦◦◦
man das näherungsweise tun, indem man n Massen◦ •◦|
punkte betrachtet, welche in einer Kette angeordnet •◦ •◦ •◦ ◦ ◦ • •
• • • •xL
•
•
•
sind, wobei zwei benachbarte Punkte durch Federn“
•
”
•
•
verbunden sind. Die Massenpunkte haben dann ver•
allgemeinerte Koordinaten qi (t) bzw. verallgemeinerte
Impulse pi (t).
q
Im Kontinuumslimes betrachtet man anstatt der n
Koordinaten qi (t) die Auslenkung q(x, t) mit x ∈ [0, xL ].
Anstatt der Masse m der einzelnen Punkte wird im
|
Kontinuumslimes die Dichte ρ betrachtet, die Federx
L
konstanten werden durch die Zähigkeit τ beschrieben.
x ist nicht verallgemeinerte Koordinate im Sinne der
klassischen Physik, sondern x fungiert als kontinuier”
licher Index“. Man bezeichnet q(x, t) als Feldvariable.
Die Auslenkung q(x, t) kann als einfaches Beispiel für
ein klassisches Feld gesehen werden. Für solche Felder wissen wir (noch) nicht, wie Quantisierung funktioniert; in der Beschreibung durch n Massenpunkte hingegen schon. Wir
können (und werden) daher die Quantisierung der Feldtheorie über den Umweg einer diskretisierten Beschreibung durchführen.
Lagrangefunktion und Lagrangedichte. Wie wir am Anfang (siehe Gleichung (1.4))
gesehen hatten, kann das System im Lagrange-Formalismus durch die Lagrangefunktion
beschrieben werden.
Anstatt von (q1 , . . . qn , p1 , . . . pn ) hängt die Lagrangefunktion L nur“ noch von q(x, t)
”
und q̇(x, t) ab,
ZxL
L =
dx L q(x, t), q̇(x, t) ,
(1.12)
0
wobei L als Lagrangedichte bezeichnet wird. Sieht man von der Abhängigkeit vom Zeitparameter t ab, so ist die Lagrangefunktion damit ein Funktional der dynamischen (Feld)Variablen q(x, t) und q̇(x, t). Wie wir sehen werden, spielt die Lagrangedichte eine zentrale
Rolle in der Quantenfeldtheorie.
Die Lagrangedichte der schwingenden Saite lautet explizit
"
2 #
∂q
1
2
ρ q̇ − τ
− V (q) ,
(1.13)
L =
2
∂x
wobei V eine zusätzliche Potentialdichte ist, z.B. die des Schwerefeldes.
Motivation von (1.13). Die kinetische Energie eines Systems von n Massenpunkten
ist
2
2
n
n
X
X
mi dqi
ρ ∆x dqi
T =
=
.
(1.14)
2
dt
2
dt
i=1
i=1
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
11
Hierbei bezeichnet ∆x den Abstand zweier Massenelemente. Im Konitinuumslimes wird
dieser Ausdruck zu
2
ZxL
ρ ∂q
n groß
T −−−−→
dx
(x, t)
.
(1.15)
2 ∂t
0
Nun soll der Effekt der Federn beschrieben werden. Der Abstand zwischen dem i-ten und
(i + 1)-ten Massenpunkt ist
p
(qi+1 − qi )2
(∆x)2 + (qi+1 − qi )2 ≃ ∆x 1 +
∆s =
.
(1.16)
2 (∆x)2
Wenn man die Feder von der Ruhelage auslenkt, erhält man einen zusätzlichen Beitrag
zur potentiellen Energie,
∆V ≃
n−1
X
i=1
(qi+1 − qi )2 n groß
τ
−−−−→
2 (∆x)2
2
ZxL
τ ∂q
.
(x, t)
dx
2 ∂x
(1.17)
0
Dieser Beitrag beinhaltet (noch) nicht die potentielle Energie im Schwerefeld. Wenn wir
uns an die allgemeine Relation
L = T −V ,
d.h. die Lagrangefunktion ist Differenz zwischen kinetischer Energie T und potentieller
Energie V erinnern, folgt aus den Gleichungen (1.15) und (1.17) die Lagrangedichte der
schwingenden Saite (1.13).
Konjugiertes Impuls-Feld π. Das konjugierte Impuls“-Feld ist (völlig analog zu der
”
Feldvariablen q)
π(x, t) =
∂L
hier
(x, t) = ρ q̇(x, t) .
∂ q̇
(1.18)
Durch Legendre-Transformation ergibt sich damit die Hamilton- oder Energie-Dichte
2
2
τ ∂q
hier π
+ V (q) = H (π, q) .
(1.19)
+
H = π q̇ − L =
2ρ 2 ∂x
Wirkung. Die Wirkung ist das Raum-Zeit-Integral über die Lagrangedichte,
S =
Ztf
ti
dt L[q] =
Ztf
ti
ZxL
dt dx L q(x, t), q̇(x, t), ∂x q(x, t) .
(1.20)
0
Hierbei ist L ein Funktional, d.h. für eine feste Zeit t bildet L die Funktion q(x, t) auf
L[q] ∈ ab.
R
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.4
12
Bewegungsgleichungen und Prinzip der stationären Wirkung
Wir gehen aus von der Lagrangedichte
L (φ, φ̇, ∂x φ) ,
die von der Feldvariablen φ(x, t) sowie ihrer Zeit- und Ortsableitung abhängt.
Mit der zeitabhängigen Lagrangefunktion
Zx2
Lt [φ] =
dx L φ(x, t), φ̇(x, t), ∂x φ(x, t)
(1.21)
x1
lautet die Wirkung (oder besser: das Wirkungsfunktional)
Zt2
S[φ] =
dt Lt [φ] .
(1.22)
t1
Das Prinzip der stationären Wirkung oder auch Hamilton-Prinzip besagt, dass die Bewegungsgleichungen aus der Stationarität der Wirkung, d.h. aus
δS[φ] = 0
(1.23)
folgen. M.a.W. die zeitabhängige Konfiguration φ(x, t) beschreibt die Dynamik des Systems
höchstens dann, falls (1.23) gilt.
Bemerkung zur Terminologie: Die Lagrangedichte ist eine Funktion der Feldvariable
φ und deren Ableitungen, wohingegen die Lagrangefunktion bis auf die t-Abhängigkeit ein
Funktional von φ ist. Insofern sind die Bezeichnungen möglicherweise etwas unglücklich
gewählt.
Bemerkung zur Schreibweise: Im Folgenden schreiben wir
∂L
:= ∂1 L φ(x, t), φ̇(x, t), ∂x φ(x, t)
∂φ(x, t)
usw. ,
∂L
bezeichnet die Ableitung nach dem ersten Argument der Funktion L , die eine
d.h. ∂φ(x,t)
Funktion meherer Variablen ist.
Nun betrachten wir Variationen von φ. Es gilt (vgl. Anhang A, Beispiel (1))
Zt2 Zx2
S[φ + δφ] − S[φ] =
dt dx L φ + δφ, φ̇ + ∂t (δφ), ∂x φ + ∂x (δφ)
t1
x1
Zt2 Zx2
− dt dx L φ, φ̇, ∂x φ
t1
=
Zt2
dt
t1
Zx2
dx
x1
x1
∂L
· δφ(x, t)
∂φ(x, t)
∂L
∂L
+
· ∂x (δφ(x, t))
· ∂t (δφ(x, t)) +
∂(∂x φ)
∂ φ̇(x, t)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
13
+O kδφk2 + O k∂t (δφ)k2 + O k∂x (δφ)k2
Zt2 Zx2 ∂L
∂L
∂L
=
− ∂x
dt dx
· δφ(x, t)
− ∂t
∂φ(x, t)
∂(∂x φ(x, t))
∂ φ̇(x, t)
t1
x1
∞
t2 Zt2 ∂L
∂L
· δφ(x, t)
· δφ(x, t)
+ dt
+ dx
∂(∂x φ)
∂ φ̇(x, t)
−∞
t
1
t1
x1
+O kδφk2 + O k∂t (δφ)k2 + O k∂x (δφ)k2
Zx2
Für die Norm k · k kann man beispielsweise
Zt2 Zx2
kϕk =
dt dx |ϕ(x, t)|
t1
x1
wählen; die genaue Definition spielt jedoch keine Rolle für das Weitere. Nun betrachten
wir nur solche Variationen δφ welche für t = t1 , t = t2 , x = x1 und x = x2 verschwinden.
Dann verschwinden die Randterme. Da δφ abgesehen von diesen Randbedingungen beliebig
!
gewählt werden kann, ist die Forderung δS = 0 gleichbedeutend mit den Euler-LagrangeGleichungen
∂L
∂L
∂L
− ∂t
= 0.
− ∂x
∂φ(x, t)
∂(∂x φ(x, t))
∂ φ̇(x, t)
Beispiel: Bewegungsgleichungen der schwingenden Saite.
Die Lagrangedichte lautet
( 2 )
2
∂q
∂q
1
ρ
− V (q) .
−τ
L (q, q̇, ∂x q) =
2
∂t
∂x
Die Euler-Lagrange-Gleichungen (1.24) liefern
ρ
∂ 2q
∂2q
∂V
q(x, t) = 0 ,
(x, t) − τ 2 (x, t) +
2
∂t
∂x
∂q
oder kurz mit v 2 = τ /ρ
q̈ − v 2 q ′′ = −
1 ∂V
.
ρ ∂q
Ist speziell das Potential quadratisch in q, V = 21 ρ Ω2 q 2 , so ergibt sich
2
2
∂
2 ∂
2
q(x, t) = 0 .
−
v
+
Ω
∂t2
∂x2
(1.24)
(1.25)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.5
14
Kanonische Quantisierung
Ausgangspunkt.
Gegeben sei ein System mit der Lagrangedichte
L (φ, φ̇, ∂x φ) .
Wir definieren die kanonische Impulsfeldvariable
π =
∂L
.
∂ φ̇
(1.26)
Die Frage ist nun, wie man das System quantisiert“, d.h. wie man von einer klassischen
”
Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie übergeht. Eine Möglichkeit, dies zu bewerkstelligen, ist die sog. kanonische Quantisierungsregeln zu befolgen, die nun spezifiziert werden;
die Pfadintegralquantisierung wird später in Abschnitt 5 behandelt.
Postulat: Die Feldvariable φ und die Impulsfeldvariable π genügen den folgenden Vertauschungsrelationen:
[φ(x, t), φ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)]
[φ(x, t), π(y, t)]
= 0,
(1.27a)
= i ~ δ(x − y) .
(1.27b)
Es ist klar, dass diese Relationen nicht mit klassischen Feldern erfüllt werden können.
Wie durch die Notation in (1.27) bereits angedeutet, beinhaltet die kanonische Quantisierung den Übergang zu Operatoren,
φ, π → φ, π .
(1.28)
Mit diesen konstruiert man den Hamiltonoperator
Zx+ n
o
H(t) =
dx π(x, t) φ̇(x, t) − L .
(1.29)
x−
Damit wiederum kann man die zeitliche Evolution von φ bzw. π im Heisenbergbild angeben,
φ̇ = −
i
[φ, H] bzw.
~
π̇ = −
i
[π, H] .
~
Im Folgenden soll die Interpretation der Operatoren anhand eines Beispiels erarbeitet
werden.
1.6
Beispiel: Quantisierung der schwingenden Saite
Bei der schwingenden Saite ist die (klassische) Lagrangedichte gegeben durch
2
2
1
1
∂q
∂q
L (q, q̇, ∂x q) = ρ
− τ
− V (q) .
2
∂t
2
∂x
Damit lautet das konjugierte Impulsfeld
π(x, t) = ρ q̇ .
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
15
Ausgehend von (1.25) wird zunächst eine Skalentransformation durchgeführt,
√
φ(x, t) := ρ q(x, t) .
Die Lagrangedichte lautet damit
2
1
1
τ ∂φ
L = φ̇2 −
− m2 φ2 ,
2
2ρ ∂x
2
und das konjugierte Impulsfeld ergibt sich nun zu
π = φ̇ .
Die Bewegungsgleichung folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung,
2
∂2φ
2 ∂ φ
−
v
+ m2 φ = 0 .
∂t2
∂x2
(1.30)
Quantisierung. Nun ersetzen wir die Felder durch Feldoperatoren,
φ(x, t), π(x, t) → φ(x, t), π(x, t) ,
für die wir die kanonischen Vertauschungsrelation (1.27) fordern,
[φ(x, t), π(y, t)] =
[φ(x, t), φ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)] =
i ~ δ(x − y) ,
0.
Modenentwicklung. Die geforderten Vertauschungsrelationen werden plausibel, wenn
man sich die Modenentwicklung der Feldoperatoren ansieht, wie die folgende Diskussion
zeigt. Die Eigenfunktionen der Bewegungsgleichung (1.30) lauten
ei k x−i ωk t
und e−i k x+i ωk t .
Darin nimmt k wegen der periodischen Randbedingung
φ(x = 0, t) = φ(xL , t)
nur diskrete Werte an,
k =
2π · n
,
xL
n∈
Z.
Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung (1.30) bestimmt man ωk ,
p
−ωk2 + v 2 k 2 + m2 = 0 y ωk =
v 2 k 2 + m2 .
Da es nur zwei linear unabhängige Eigenfunktionen haben, brauchen negative ωk nicht
betrachtet betrachtet werden. D.h., da ωk nur vom Betrag von k abhängt und die Eigenfunktion mit negativem ωk der jeweils anderen Eigenfunktion mit positivem ωk , aber
einem durch −k ersetzten k entspricht, können wir im Folgenden ωk > 0 annehmen.
Das allgemeine Feld läßt sich nach den Eigenfunktionen, den sog. Eigenmoden, entwickeln,
r
o
n
X
~
(1.31)
ak ei k x−i ωk t + a†k e−i k x+i ωk t .
φ(x, t) =
2ωk xL
k
1
16
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
In der klassischen Beschreibung wären die Koeffizienten (oder Amplituden), ak und a∗k ,
Zahlen; hier jedoch müssen ak bzw. a†k Operatoren sein, damit die Vertauschungsrelationen
(1.27) erfüllt sein können. Der Vorfaktor ist eine zunächst willkürliche Normierung, die sich
später als nützlich erweisen wird. Durch Zeitableitung erhält man das Impulsfeld,
r
o
X ~ ωk n
π(x, t) = − i
(1.32)
ak ei k x−i ωk t − a†k e−i kx+i ωk t .
2xL
k
Nun wollen wir ak bzw. a†k durch φ(x, t) und π(x, t) ausdrücken. Dazu betrachten wir
mit einem ℓ = (2π m)/xL (m ∈ )
Z
ZxL
dx e−i ℓx+i ωℓ t φ(x, t)
0
ZxL X r
dx
=
k
0
=
r
~
2ωk xL
o
n
ak ei (k−ℓ) x−i (ωk −ωℓ ) t + a†k e−i (k+ℓ) x+i (ωk +ωℓ ) t
o
~ xL n
aℓ + a†−ℓ e2i ωℓ t .
2ωℓ
Im letzten Schritt wurde benutzt, dass mit den diskreten k- und ℓ-Werten gilt
ZxL
dx ei (k−ℓ) x = xL δkℓ ,
0
und dass ωk = ω−k ist. Analog erhalten wir die Relationen (vgl. Übungen)
ZxL
dx e−i ℓ x+i ωℓ t π(x, t)
= ωℓ
ZxL
dx ei ℓ x−i ωℓ t φ(x, t)
r
0
=
0
ZxL
dx ei ℓ x−i ωℓ t π(x, t)
= ωℓ
0
r
o
~ xL n
−i aℓ + i a†−ℓ e2i ωℓ t ,
2ωℓ
o
~ xL n
a−ℓ e−2i ωℓ t + a†ℓ ,
2ωℓ
r
o
~ xL n
−i a−ℓ e2i ωℓ t + i a†ℓ .
2ωℓ
Durch geeignete Linearkombinationen dieser Gleichungen erhalten wir die Ausdrücke
ak
a†k
=
=
1
√
2~ ωk xL
ZxL
dx e−i k x+i ωk t · {ωk φ(x, t) + i π(x, t)} ,
1
√
2~ ωk xL
ZxL
dx ei k x−i ωk t · {ωk φ(x, t) − iπ(x, t)} .
0
0
Damit lassen sich die Vertauschungsrelationen der ak bzw. a†k ermitteln,
[ak , a†ℓ ]
=
1
√
2~ xL ωk ωℓ
ZxL ZxL
dx dy e−i k x+i ℓ y+i (ωk −ωℓ ) t ·
0
0
(1.33)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
17
· [ωk φ(x, t) + i π(x, t), ωℓ φ(y, t) − i π(y, t)]
ZxL ZxL
1
dx dy e−i k x+i ℓ y+i (ωk −ωℓ ) t ·
√
2~ xL ωk ωℓ
=
0
0
· {ωk ~ δ(x − y) + ωℓ ~ δ(x − y)}
ZxL
ωk + ωℓ
dx e−i (k−ℓ) x+i (ωk −ωℓ ) t
√
2 xL ωk ωℓ
=
0
=
δkℓ .
Völlig analog erhält man (vgl. Übungen)
[ak , aℓ ] = [a†k , a†ℓ ] = 0 .
Insgesamt ergibt sich, dass die ak bzw. a†k den Vertauschungsregeln für Bose-Operatoren
genügen,
[ak , aℓ ] =
[ak , a†ℓ ] =
δkℓ ,
(1.34a)
[a†k , a†ℓ ]
0.
(1.34b)
=
Hamiltonoperator. Die klassische Hamiltondichte läßt sich durch die klassischen Felder
φ, π und ∂x φ ausdrücken,
2
1 2
τ ∂φ
1
H (x, t) = π (x, t) +
(x, t) + m2 φ2 (x, t) .
2
2ρ ∂x
2
Die Hamiltonfunktion ergibt sich durch Integration über x, den Hamiltonoperator erhält
man, indem man die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt,
H
=
ZxL
dx H (x, t)φ,π→φ,π
0
..
.
=
=
vgl. Übungen
1X
~ ωk (a†k ak + ak a†k )
2
k
X
1
~ ωk a†k ak +
.
2
k
Interpretation. Die Operatoren a†k bzw. ak lassen sich als Erzeuger bzw. Vernichter
einer Mode der Wellenzahl k interpretieren, da sie dieselben Charakteristika wie die entsprechenden Operatoren im Besetzungszahlformalismus aufweisen.
Mit dem Besetzungszahloperator
nk = a†k ak
(1.35)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
18
schreibt sich der Hamilton:
X
1
H =
~ ωk nk +
.
2
k
Angeregte Zustände lassen sich durch einen Satz an Quantenzahlen {nk } charakterisieren.
Spezifisch lassen sie sich durch sukzessives Anwenden von Erzeugern auf das Vakuum |−i
konstruieren,
|{nk }i =
Y (a† )nk
√k
|−i .
nk !
k
(1.36)
Die Energie, d.h. der Eigenwert des Hamiltonoperators für den Zustand |{nk }i, divergiert,
X
1
.
(1.37)
E =
~ ω k nk +
2
k
Dies läßt sich auf die Divergenz des Grundzustands |−i zurückführen. In der Feldtheorie
ist es üblich, anstatt der (divergenten) Energie die Anregungsenergie zu betrachten,
X
E ∗ = E − E0 =
~ ω k nk .
(1.38)
k