Inhaltsverzeichnis

Theoretische Physik I
WS 2013/2014
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Formeln
2
2 Newtonsche Axiome
2.1
Absoluter Raum und absolute Zeit . . . . .
2.2
Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . .
2.3
Träge und schwere Masse
2.4
Beispiele für Kräfte
2.5
2.6
2.7
2.8
. . .
. . . . . .
Galileitransformation . . . . . .
Intertiale Bezugssysteme . . . .
Nichtinertiale Bezugssysteme .
Gezeitenkraft . . . . . . . . . .
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3 Ausgewählte Bewegungsgleichungen
3.1 Zentralkraftfelder . . . . . . . . . . . . .
3.2 Keplergesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Harmonische Schwingungen . . . . . . . .
4 Systeme freier Massenpunkte
4.1 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . .
4.2 Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Zweikörperproblem/Keplerproblem . .
4.4 Dreikörperproblem . . . . . . . . . . .
Carlo Michaelis
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4.5
Mehrkörperproblem . . . . . . . . . . . .
4.6
Elastische Stöße . . . . . . . . . . . . . .
3
3 5 Eingeschränkte Bewegungen
5.1 Bindungen, Freiheitsgrade und verallgemei3
nerte Koordinaten . . . . . . . . . . . . .
4
5.2 Das d’Alembertsche Prinzip . . . . . . . .
4
5.3 Lagrange 1. Art . . . . . . . . . . . . . .
5
5.4 Lagrange 2. Art . . . . . . . . . . . . . .
5
5.5 Hamiltonprinzip . . . . . . . . . . . . . .
5
5.6 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . .
6
5.7 Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . .
6
5.8 Hamiltonformalismus . . . . . . . . . . . .
7
7 6 Starre Körper
6.1 Kinetische Energie, Drehimpuls und
8
Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . .
11
6.2 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . .
11
6.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . .
13
6.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . .
13
13 7 Kanonische Transformation
14
14
14
14
15
16
16
17
19
19
20
21
21
21
22
22
23
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Theoretische Physik I
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Die Definitionen und Herleitungen entsprechen evtl. nicht in jedem Fall der nötigen mathematischen Strenge. Das Dokument ist lediglich als Überblick über die wichtigsten Inhalte des Moduls angedacht.
1
Allgemeine Formeln
Allgemein
1
2π
, ω = 2πf , T =
T
ω
k
g
ω2 =
(Feder) , ω 2 = (Pendel)
m
l
1 ˙2
1
Ttrans = m~r , Trot = Iii ω 2
2
2
2
2
I = m1 l1 + m2 l2 (Trägheitsmoment im Ursprung, Stäbe)
p~ = mṙ , F~ = p~˙ = mr̈
f=
~ = ~r × p~ , M
~ =L
~˙ = ~r × F~
L
4
V = πr3 , AO = 4πr2 , A = 2πr2
3
Eulersche Darstellung
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Schwerpunkt
P
mα~rα
~
R= α
M
Taylorentwicklung
Tn (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=1
k!
(x − x0 )k = f (x0 ) +
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ...
1!
2!
Vektoren
Kreuzprodukt und Rotation:
ê1 a1 b1 a × b = ê2 a2 b2 ,
ê3 a3 b3 êx
rot v = êy
êz
∂/∂x
∂/∂x
∂/∂x
vx vy vz BAC-CAB-Regel (Graßmann-Identität):
~a × (~b × ~c) = ~b · (~a · ~c) − ~c · (~a · ~b)
~a × (~b × ~c) = −(~b × ~c) × ~a
Koordinaten
Gradient Polarkoordinaten:
1 ∂f
∂f
êr +
êϕ
grad f =
∂r
r ∂ϕ
Ableitungen der polaren Einheitsvektoren:
ê˙ ϕ = −ϕ̇êr
Carlo Michaelis
und ê˙ r = ϕ̇êϕ
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Levi-Civita und Kronecker-Delta
Levi-Civita für Permutation von 123:


+1 zyklisch


ijk = −1 antizklisch



0 sonstiges
Kronecker-Delta für i, j ∈ N:
(
1 i=j
δij =
0 i 6= j
Rechenregeln
δij = δji
δij = δik δik
ijk = kij = jki = −kji = −jik = −ikj
ijk imn = δjm δkn − δjn δkm
Oft verwendete Integrale
Z
f˙(x)
dx = ln|f (x)| + C
f (x)
Z
sin(ax) cos(ax) dx =
Z
1
dx = arctan(x) + C
1 + x2
Z
sin2 (ax) dx =
1
1
x−
sin(2ax) + C
2
4a
cos2 (ax) dx =
1
1
x+
sin(2ax) + C
2
4a
Z
2
2.1
1
sin2 (ax) + C
2a
Newtonsche Axiome
Absoluter Raum und absolute Zeit
Nach Newton existiert ein absoluter Raum mit ~r ∈ R3 , er ist unabhängig vom (1) Beobachter und von den (2)
darin enthaltenen Objekten.
Außerdem existiert eine absolute Zeit mit t ∈ R, sie ist (1) gleichförmig und (2) ohne Beziehung auf äußere
Gegenstände. Gleichzeitige Ereignisse sind möglich.
2.2
Newtonsche Axiome
1. Trägheitsgesetz
Es gibt Bezugssysteme, sogenannte Inertialsysteme (IS), in denen sich ein kräftefreier MP mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Carlo Michaelis
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2. Kraftgesetz
Die zeitliche Änderung des Impulses ist proportional zur Kraft.
d
p~ = p~˙ = F~
dt
p~ = m~v
~v = ~r˙
3. Actio & Reactio
Die Summe aller Kräfte in einem abgeschlossenen System ist Null.
Für 2 MP gilt:
F~12 = −F~21
4. Kräfteaddition
Kräfte (verschiedener Ursachen) addieren sich wie Vektoren.
2.3
Träge und schwere Masse
• Träge Masse: Widerstand gegen Änderungen der Geschwindigkeit
• Passive schwere Masse: Auf den Körper einwirkende Kraft durch Gravitationsfeld, proportional zu
seiner Masse
• Aktive schwere Masse: Durch den Körper erzeugtes Gravitationsfeld, proportional zu seiner Masse
Nach Äquivalenzprinzip sind schwere Masse und träge Masse äquivalent.
2.4
Beispiele für Kräfte
Homogenes Schwerefeld
F~ = m · ~g
Gravitationsgesetz
m1 m2
êr
F~ = γ
r2
Hookesches Gesetz
Das Hookesche Gesetz beschreibt elastisches Verhalten von Festkörpern. Für kleine Auslenkungen ~r0 gilt:
F~ = −k(~r − ~r0 ) ,
r>0
Reibungskräfte
Stokes: F~ = −β~r˙
→ Turbulente Strömung
Newton: F = −γ · |~r˙ | · ~r˙
Carlo Michaelis
→ Laminare Strömung
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Lorenzkraft
~ + ~r˙ × B)
~
F~ = q · (E
2.5
Galileitransformation
Das Trägheitsgesetz m~r¨ = 0 bleibt erhalten bei Galileitransformation.
~ =R
~ 0 + ~v0 t
1. Gleichförmig geradliniges bewegtes Bezugssystem: R
2. Konstante Verschiebung der Zeit in Bezugssystem: t = t0 + t0
3. Anders, aber konstant orientiertes Bezugssystem: ~r = D ~r0 (wobei D Drehmatrix)
Die Newtonsche Mechanik ist zeitumkehrinvariant.
2.6
Intertiale Bezugssysteme
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem in dem sich ein kräftefreier MP mit v = const. bewegt.
Im Inertialsystem gilt bzgl. des MP die Bewegungsgleichung:
p~˙ = F~
2.7
Nichtinertiale Bezugssysteme
Ein Nicht-Inertialsystem ist ein relativ zu einem Inertialsystem beschleunigtes Bezugssystem.
Es gibt MP mit Masse m. Vom Inertialsystem aus liegt MP bei r~0 , vom Nicht-Inertialsystem aus bei ~r. Beide
~ auseinander. r~0 lässt sich somit beschreiben als r~0 = R
~ + ~r. Eine Komponente von ~r wird nach
Systeme liegen R
der Einsteinschen Summenkonvention als xi êi bezeichnet.
x0i (t)eˆ0 i = Ri (t)eˆ0 i + xi (t)êi (t)
ẋ0 i eˆ0 i = Ṙi eˆ0 i + ẋi êi + xi ê˙ i
ẍ0 i eˆ0 i = R̈i eˆ0 i + ẍi êi + 2ẋi ê˙ i + xi ê¨i
(∗)
Die zeitlichen Ableitungen der Einheitsvektoren ergeben sich wie folgt:
~ × êi
ê˙ i = Ω
~˙ × êi + Ω
~ × ê˙ i = Ω
~˙ × êi + Ω
~ × (Ω
~ × êi )
ê¨i = Ω
¨
Eingesetzt in (∗) ergibt sich mit Fe (eingeprägte Kraft) und mit r~0 = ẍ0 eˆ0 i :
h
i
¨
~¨ + ~r¨ + 2Ω
~ × ~r˙ + Ω
~˙ × ~r + Ω
~ × (Ω
~ × ~r) = F~e
mr~0 = m R
~¨ + 2m~r˙ × Ω
~ + m~r × Ω
~˙ + m(Ω
~ × ~r) × Ω
~ = F~ef f
m~r¨ = F~e − mR
Dabei werden alle Kräfte, die von der eingeprägten Kraft F~e subtrahiert werden als Scheinkräfte bzw. Trägheitskräfte
bezeichnet. Bekannte Kräfte sind:
Corioliskraft
~
F~C = 2m~r˙ × Ω
FC = 2mvω
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Zentrifugalkraft
~ × ~r) × Ω
~
F~Z = m(Ω
FZ = mω 2 r
2.8
Gezeitenkraft
Gezeitenkräfte treten an ausgedehnten Himmelskörpern auf. Die Gezeitenkraft ergibt sich aus der Differenz
der an beiden Seiten wirkenden Gravitationskraft und der gleichbleibenden Zentrifugalkraft. Auf der Innenseite
des Körpers (zugewandt zum Körper, der das Gravitationsfeld erzeugt) ist die Gravitationskraft größer als die
Zentrifugalkraft, was zu einer Ausdehnung führt. Auf der Außenseite ist die Gravitatioskraft geringer als die
Zentrifugalkraft, was ebenfalls zu einer Ausdehnung führt.
Allgemein ergeben sich Gezeitenkräfte also durch das Zusammenspiel eines (1) inhomogenen Gravitationsfeldes
und (2) Scheinkräften.
Im MMP der Erde gilt:
Fr = −γ
mM
+ mω 2 r = 0
r2
An den Außenpunkten gilt eine Differenz von:
1
1
ρ
ar = γM −
+
≈ 2γM 3
2
2
(R ± ρ)
R
R
Dabei ist ar die radiale Beschleunigung in den gegenüberliegenden Punkten auf der Oberfläche des Himmelskörpers (z.B. Erde). ρ ist der Radius des Himmelskörpers (z.B. Erde) und R der Abstand zwischen den
Himmelskörpern (z.B. Erde-Mond).
Roche-Grenze
Werden die Gezeitenkräfte größer als die Gravitationskräfte, die den Körper zusammenhalten, so zerreißt der
Körper. Diese Grenze zwischen den Kräften wird als Roche-Grenze bezeichnet.
mµ
r2
(Gravitationskraft)
2γM µr
d3
(Gezeitenkraft)
FG = γ
FT =
Dabei ist M eine Masse, der sich eine kleinere Masse m (mir Radius r) nähert. d ist der Abstand zwischen den
beiden Körpern. Auf der Masse m wird außerdem eine sehr kleine Teilmasse µ betrachtet.
Durch Gleichsetzen der beiden Kräfte kann der Roche-Radius d0 bestimmt werden.
d0 = r
3
2M
m
1/3
Ausgewählte Bewegungsgleichungen
Separatirix
Separatrizen geben allgemein die Grenzen von Systemen an. Im Falle des Phasenraumes trennt die Separatrix
Gebiete mit finiter Bewegung (Oszillation) und Gebiete mit infiniter Bewegung.
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Konservative Kräfte
Kräfte, welche vom Weg unabhängig sind, werden als konservativ bezeichnet. Die geleistete Arbeit ist nur vom
Start- und Endpunkt abhängig. Eine Kraft ist konservativ, wenn gilt:
rot F~ = 0
Potential
Ein Potential ist die Fähigkeit eines konservativen Feldes eine Arbeit zu verrichten. Dabei gilt folgender Zusammenhang:
F~ = −grad U
3.1
Zentralkraftfelder
Zentralkräfte zeigen radial zum Kraftzentrum mit Inertialsystem im Zentrum. Für Zentralkraftfelder gilt:
~r × F~ = 0
Drehimpulserhaltung
Für Zentralkraftfelder gilt Drehimpulserhaltung.
~ = ~r × p~ = const.
L
Energie
Die Energie im Zentralkraftfeld ergibt sich durch:
E=
L2
1 2
mṙ +
+ U (r) = const.
2
2mr2
2
L
U (r) entspricht dem Potential, in welches 2mr
2 effektiv mit einwirkt, sofern eine Drehbewegung mit Drehimpuls
L vorliegt. Uef f ergibt sich entsprechend aus den beiden hinteren Termen:
Uef f =
3.2
L2
+ U (r)
2mr2
Keplergesetze
1. Keplergesetz
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht.
0<e<1 :
Uef f < E < 0
2. Keplergesetz
Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Das
2. Keplergesetz folgt aus dem Drehimpulssatz L = mr2 ϕ̇.
~ = 1 ~r × d~r
dA
2
dA
1
|L|
~ 1
˙~
|A| = = const.
= |~r × ~r˙ | = r2 |ϕ̇| =
dt 2
2
2m
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3. Keplergesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Bahnhalbachsen.
T2
= const.
a3
Aus dem Flächensatz kann die Umlaufzeit bestimmt werden:
T2
4π 2
=
a3
γM
Bewegungsgleichung
Brennpunktgleichung eines Kegelschnittes:
r(ϕ) =
p
1 + cos ϕ
mit =
e
a
und p =
b2
a
In verschiedenen Fällen von ergeben sich unterschiedliche Schnitte:
e=0 :
ef f
E = Umin
(Kreis)
0<e<1 :
ef f
Umin
(Ellipse)
e=1 :
E=0
(Parabel)
e>1 :
0<E
(Hyperbel)
<E<0
Für E > 0 ergibt sich eine infinite Bewegung.
Laplace-Lenz-Runge Vektor
Der Laplace-Lenz-Runge-Vektor ermöglicht die Herleitung der Bahnkurve r(ϕ).
~ = ~v × L
~ − k ~r = ~v × L
~ − kêr
R
r
~ der Achsenvektor, welcher vom Brennpunkt zum nächstgelegenen Bahnpunkt zeigt. Er liegt damit
Dabei ist R
parallel zur großen Halbachse.
3.3
Harmonische Schwingungen
Harmonische Schwingungen
ẍ + ω 2 x = 0
(Harmonischer ungedämpfter Oszillator)
2
ẍ + 2β ẋ + ω x = 0
2
(Harmonischer gedämpfter Oszillator)
ẍ + ω x = f sin (Ωt)
(Harmonisch angeregter ungedämpfter Oszillator)
ẍ + 2β ẋ + ω 2 x = f sin (Ωt)
(Harmonisch angeregter gedämpfter Oszillator)
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Lösen DGL 2. Ordnung
Am Beispiel: ẍ + ω 2 x = f sin(Ωt)
1. Homogene Lösung
Betrachten nur: ẍ + ω 2 x = 0
Ansatz: x = eλt ,
ẍ = λ2 · eλt
Ansatz in DGL einsetzen und λ bestimmen:
λ2 · eλt + ω 2 eλt = 0
λ2 + ω 2 = 0
λ = ±iω
Lösungsgleichung aufstellen:
xh = Aeiωt + Be−iωt
= A cos(ωt) + B sin(ωt)
2. Inhomogene Lösung
Funktionstyp des inhomogenen Teils allgemein nachbilden:
x = |D| sin(Ωt) = |D| ei(Ωt)
ẍ = −Ω2 |D| sin(Ωt)
Ansatz in DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich:
−Ω2 |D| sin(Ωt) + ω 2 |D| sin(Ωt) = f sin(Ωt)
f = −Ω2 |D| + ω 2 |D| = D(ω 2 − Ω2 )
⇒D=
ω2
f
− Ω2
D in Ansatz einsetzen:
xs =
ω2
f
sin(Ωt)
− Ω2
3. Gesamtlösung
Homogene und inhomogene Lösung addieren:
x = xh + xs
= A cos(ωt) + B sin(ωt) + D sin(Ωt)
= A cos(ωt) + B sin(ωt) +
f
sin(Ωt)
ω 2 − Ω2
4. Anfangsbedingungen
Sind Anfangsbedingungen (AB) gegeben, so können auch die Koeffizienten A und B bestimmt werden.
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Gekoppelte Federschwinger
Bei einem gekoppelten Federschwinger wird für jede Masse eine Differentialgleichung aufgestellt. Entsprechend
ergibt sich ein System aus Differentialgleichungen.
Beispiel mit drei Federn und zwei Massen (k1 m1 k2 m2 k3 ).
Dabei befinde sich m1 am Punkt x1 und m2 am Punkt x2 .
(1) Für jedes m wird jeweils die Feder rechts und links von der Masse betrachtet. Die linke Feder wird negativ
eingetragen, die rechte Feder positiv.
(2) Zu jeder Feder wird neben der entsprechenden Federkonstante ki auch die Position xi − xj angegeben. Dabei
ist xi der rechte x-Wert, xj entspricht dem linken x-Wert. Ein Fixpunkt wird mit xi = 0 angegeben.
Daraus lassen sich für den obigen Fall die DGLen aufstellen:
m1 ẍ1 = −k1 (x1 − 0) + k2 (x2 − x1 )
m2 ẍ2 = −k2 (x2 − x1 ) + k3 (0 − x2 )
Dämpfung
• Unterdämpfter Fall (Schwingfall) mit ω 2 − β 2 > 0
• Überdämpfter Fall (Kriechfall) mit β 2 − ω 2 > 0
• Kritisch gedämpfter Fall (Aperiodischer Grenzfall) mit ω = β
Amplitudenresonanz
Im gedämpften Fall liegt die Amplitude einer angeregten Schwingung bei:
D= p
f
(ω 2
−
Ω2 )2
+ 4β 2 Ω2
Die Amplitude wird maximal, wenn der Radikand minimal wird:
R = (ω 2 − Ω2 )2 + 4β 2 Ω2 = min!
∂R
= −2(ω 2 − Ω2 )2Ω + 8β 2 Ω = 0
∂Ω
⇒ Ω2res = ω 2 − 2β 2 > 0
⇒ Nur im stark unterdämpften Fall kommt es zu Resonanz.
Dissipierte Leistung
Im eingeschwungenen Zustand schwingt das System (Harmonisch angeregte Schwingung mit Dämpfung) nur
noch mit der speziellen Lösung |D| sin(Ωt + δ).
Es kann folgende Energiebilanz aufgestellt werden:
d 1
1 2
2
mẋ + kx + ρẋ2 = F sin(Ωt) · ẋ
dt 2
2
Dabei entspricht der vordere Term der mechanischen Energie, welche sich (kinetisch und potentiell) im Verlauf
gegenseitig austauscht und im zeitlichen Mittel konstant bleibt.
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ρẋ2 entspricht der dissipierten Leistung (Reibung). Dabei ist:
ρ = 2βm
F sin(Ωt) · ẋ entspricht der eingespeisten Leistung. Dabei ist:
F = fm
Die über eine Periode (T = 2π/Ω) gemittelte dissipierte Leistung ergibt sich mit:
x = |D| sin(Ωt + δ)
ẋ = |D| Ω cos(Ωt + δ)
P =
1
T
=ρ
T
Z
ρẋ2 dt
0
1
T
Z
T
|D|2 Ω2 cos2 (Ωt + δ) dt
0
1
T
1
= |D|2 Ω2 ρ
2
= |D|2 Ω2 βm
2
= |D| Ω2 ρ
=
Z
T
cos2 (Ωt + δ) dt
0
mit
1
T
Z
T
cos2 (Ωt + δ) dt =
0
1
2
mit ρ = 2βm
f 2 Ω2
βm
(ω 2 − Ω2 )2 + 4β 2 Ω2
Parametrische Resonanz
Während bei schwingenden Systeme bisher ausschließlich die Anregung durch zeitabhängige Kräfte betrachtet
wurde, können Systeme auch durch zeitabhängige Änderungen der Parameter des Systems angeregt werden
(z.B. Schaukel). Die Eigenfrequenz wird zeitabhängig.
q̈ + ω 2 (t) q = 0
mit ω(t) = ω(t + T )
Beispiel : Schaukel
Bei der Schaukel verändert sich die Pendellänge zeitabhängig. Damit wird die stabile Gleichgewichtslage (ϕ = 0)
instabil. Es gilt:
l(t) = l0 (1 + cos(Ωt))
ϕ̈ +
4
g
ϕ=0
l(t)
Systeme freier Massenpunkte
4.1
Erhaltungssätze
Ein Erhaltungssatz formuliert die Tatsache, dass sich eine Größe (Erhaltungsgröße) in bestimmten physikalischen
Prozessen nicht ändert. Es gibt 10 Erhaltungssätze:
• (3) Impuls: P~ = const.
~ = const.
• (3) Drehimpuls: L
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• (1) Energie: E = const.
~ = ~v0 t + R
~0
• (3) Bewegung: R
→ Die Bahn des Schwerpunktes ist eine Gerade, die sich zeitlich nicht ändert.
Impuls
Für abgeschlossene Systeme (F~ = 0) bleibt der Gesamtimpuls erhalten (z.B. Rakete).
X
X
˙
P~ =
p~˙α =
F~α = F~
α
α
p~˙ = F~ = 0 ,
p~ = const.
Drehimpuls
Für abgeschlossene Systeme (Fαa = 0) bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten (z.B. ∼Sonnensystem).
X˙
X
~˙ =
~α =
L
L
(~vα × p~α )
α
α
XX
X
=
~rα × F~αa +
~rα × F~αβ
α
α β6=α
X
=
~rα × F~αa ,
da F~αβ = 0
α
=0,
sofern F~αa = 0
(Abgeschlossenes System)
~ = const.
⇒L
Beispiel: ~r1 × F~12 + ~r2 × F~21 = (~r1 − ~r2 ) × F~12 = 0
Energie
E = T + U = const.
• Kinetische Energie
T =
X
Tα =
α
X1
α
2
mα~r˙ 2
• Potentielle Energie
X
U=
F~α~r˙α
α
=
X
F~αa~r˙α +
α
=
X
XX
F~αβ ~r˙α
α β6=α
F~αa~r˙α +
α
X
F~αβ ~r˙αβ
α<β
Beispiel: F~12~r˙1 + F~21~r˙2 = F~12~r˙12
• Äußere Kräfte
Carlo Michaelis
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Falls ein Potential existiert gilt:
Z ~rα
a
Uα = −
F~αa (~r) d~r
~
r0
• Innere Kräfte
Falls ein Potential existiert gilt:
Z ρ
Uαβ (ρ) = −
fαβ (ρ0 ) dρ~0 = Uβα (ρ)
ρ0
4.2
Virialsatz
Der Virialsatz gibt einen Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Mittel der kinetischen Energie und dem
zeitlichen Mittel der potentiellen Energie an. Eine Hilfsgröße G gibt die Summe der Positionen und Impulse
aller n Teilchen an.
X
G=
p~α~rα
α
Ġ =
X
p~˙α~rα +
α
X
p~α~r˙α = F~α~rα + 2T
α
Im zeitlichen Mittel geht Ġ gegen 0 (für finite Bewegungen). Durch umstellen ergibt sich:
0 = F~α~rα + 2T̄
1X~
1
Fα~rα
T̄ = − F~α~rα = −
2
2 α
Für den Zusammenhang gilt:
T̄ =
n+1
Ū
2
Beispiele:
4.3
n=1
Harmonischer Oszillator
T̄ = Ū
n = −2
Keplerproblem
1
T̄ = − Ū
2
Zweikörperproblem/Keplerproblem
Beim Zweikörperproblem (auch Keplerproblem) wird das Bezugssystem in den MMP gelegt (Schwerpunkt, siehe
Abschnitt 1):
~0
~0
~ = m1 r 1 + m2 r 2 = 0
R
M
4.4
Dreikörperproblem
Das Dreikörperproblem ist nur für Spezialfälle lösbar:
• Kollineare Bewegung (Euler)
→ Drei Massen bewegen sich auf einer Geraden, erfüllt wenn: ~r3 − ~r2 = λ(~r2 − ~r1 )
• Gleichseitiges Dreieck (Lagrange)
→ Drei Massen bewegen sich auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks
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• Eingeschränktes Dreikörperproblem
→ Falls m3 m, M , so kann m3 auf sog. Lagrangepunkten L1 bis L5 liegen
• Choreografische Trajektorien
→ 3 Massen bewegen sich auf achtförmiger Bahn in der Ebene mit MMP im Kreuzungspunkt der 8
4.5
Mehrkörperproblem
Für mehr als drei Körper wird es auf Grund der Freiheitsgrade sehr schwer Bewegungsgleichungen anzugeben.
Die Erhaltungssätze liefern 10 unabhängige Bewegungsintegrale. Pro Bewegungsintegral kann eine Variable
eliminiert werden. Für N -Körper in d = 3 Dimensionen bedeutet das 2d · N − 10 Freiheitsgrade im Phasenraum.
Beispiele
2-Körper: f = 6 · 2 − 10 = 12 − 10 = 2
3-Körper: f = 6 · 3 − 10 = 18 − 10 = 8
4-Körper: f = 6 · 4 − 10 = 24 − 10 = 14
etc.
4.6
Elastische Stöße
Betrachtet wird eine bewegte Masse m1 mit Geschwindigkeit (Laborsystem) mit ~u1 , die eine ruhende Masse m2
mit ~u2 stößt. Im Schwerpunktsystem bewegen sich die Massen mit u~0 1 und u~0 2 . Nach dem Stoß bewegen sich
die Massen mit ~vi bzw. v~0 i .
E
=
p
=
u~0 i
P
1
~0 2
i mi u i
2
P
mi u~0 i
i
=
=
v~0 i
P
1
~0 2
i mi v i
2
P
mi v~0 i
i
=0
Folgende Zusammenhänge gelten:
m2 ~0
m2 ~0
u 2 , v~0 1 = −
v2
u~0 1 = −
m1
m1
2
u~0 i = ~vi2
Für den Zentralstoß gilt:
u~0 1 = −v~0 1
m1 − m2
~u1
~v1 = ~v + v~0 1 =
m1 + m2
2 m1
~v2 = ~v + v~0 2 =
~u1
m1 + m2
5
5.1
Eingeschränkte Bewegungen
Bindungen, Freiheitsgrade und verallgemeinerte Koordinaten
Bindung
Eine Bindung ist ein Verbund von zwei oder mehreren Körpern. Die Freiheitsgrade der Körper werden durch
die Bindung eingeschränkt. Es ergeben sich abhängige Koordinaten, weshalb newtonsche Bewegungsgleichungen
nicht zur Beschreibung ausreichen.
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Theoretische Physik I
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Bindungen werden durch Zwangskräfte erzeugt. Diese sind jedoch nicht von vorne herein bekannt.
• Rheonome Bindung (Fließend) → Explizit zeitabhängige Bindung
• Skleronome Bindung (Starr) → Explizit zeitunabhängige Bindung
• Holonome Bindung → System lässt sich durch n generalisierte Koordinaten beschreiben
• Anholonome Bindung → Zwangsbedingungen, die keine Freiheitsgrade einschränken (z.B. in Kugel eingeschlossener MP)
Freiheitsgrade und verallgemeinerte Koordinaten
Freiheitsgrade geben die minimale Anzahl von Variablen an, die ein System vollständig beschreiben. Das entspricht der Anzahl der kartesischen Koordinaten abzüglich der holonomen Bindungen.
Die Freiheitsgrade f lassen sich berechnen aus der Dimension d, der Anzahl der Körper N und der Anzahl der
holonomen Bindungen b.
f =d·N −b
Diese minimale Anzahl an Variablen wird als verallgemeinerte Koordinaten bezeichnet.
5.2
Das d’Alembertsche Prinzip
Prinzip der virtuellen Arbeit
Die virtuelle Arbeit δW bezeichnet die Arbeit, die eine Kraft an einem System bei virtueller Verrückung δ~r
verrichtet. Die virtuelle Verrückung ist eine mit den (1) Zwangsbedingungen verträgliche (2) fiktive (3) infinitesimale Verschiebung.
Im Gleichgewicht ist die Summe aller von den Zwangskräften verrichtete Arbeit Null.
X
Fαz δxα = 0
α
d’Alembertsche Prinzip
Die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet.
Nach Newton ist mα r̈α = Fα und somit mα r̈α − Fα = 0. Dabei entspricht Fα der effektiven Kraft, welche sich
aus eingeprägter Kraft Fαe und Zwangskraft Fαz zusammensetzt. Mit dem d’Alembertschen Prinzip gilt nun:
X
X
X
mα~r¨α − F~αef f δ~rα =
mα~r¨α − F~αe − F~αz δ~rα =
mα~r¨α − F~αe − 0 δ~rα = 0
α
α
α
Das d’Alembertsche Prinzip ermöglicht nun die Aufstellung einer Bewegungsgleichung eines Systems mit Zwangskräften.
~
m~r¨ = F~ + Z
~ δ~r = (m~r¨ − F~ ) δ~r = 0
Z
Allgemein:
δW =
X
α
Carlo Michaelis
~ α δ~rα =
Z
X
mα~r¨α − F~α δ~rα = 0
α
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Berechnung
1. Zwangsbedingung aufstellen
→ Übliche Ansätze: tan ϕ = xy , z = rϕ oder x2 + y 2 = l2
2. Virtuelle Verrückung formulieren
δx
= r cos ϕ ⇒ δx = r cos ϕ δϕ
→ Ansatz z.B.: x = r sin ϕ → δϕ
3. Eingeprägte Kraft bestimmen
→ Ansatz für radiale Systeme: ~r = r êr
→ Ansatz für Systeme im Schwerefeld: −g êz
4. Integrieren oder DGL lösen
5. Anfangsbedingung einsetzen
5.3
Lagrange 1. Art
Langrange 1. Art eignet sich zur expliziten Berechnung der Zwangskräfte. Für die Nebenbedingung gα muss die
virtuelle Verrückung gelten:
grad gα · δr = 0
Werden die Nebenbedingungen jeweils mit einem Lagrange Multiplikator λα versehen und addiert, so ergibt sich
direkt die Zwangskraft.
Zi =
b
X
λα grad gα
α=1
Somit ergibt sich die Lagrange-Gleichung 1. Art.
mi ẍi = Fi + Zi = Fi +
b
X
λα
α=1
∂gα
∂xi
Wobei b der Anzahl der holonomen Bindungen entspricht.
Berechnung
1. Koordinatensystem einführen
2. Zwangsbedingung formulieren
3. Lagrange 1. Art in Komponenten aufschreiben
→ mẍ = ..., mÿ = ..., etc.
4. Nebenbedingungen gα 2 mal nach der Zeit differenzieren
→ g̈α (ẍ), g̈α (ÿ), etc.
5. Komponenten aus (3) in differenzierte Nebenbedingungen aus (4) einsetzen
6. Lagrange-Multiplikatoren bestimmen
7. Bewegungsgleichung aufstellen
5.4
Lagrange 2. Art
Bei Lagrange 2. Art werden nur so viele Bewegungsgleichungen aufgestellt, wie das System Freiheitsgrade besitzt.
Damit werden Zwangskräfte und Nebenbedingungen eliminiert. Kurz: Die Eliminierung der b unabhängigen
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Koordinaten führt vom d’Almbertschen Prinzip auf Lagrange 2. Art.
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂ q̇i
∂qi
Mit der Lagrange-Funktion:
L=T −U =
1 2 1 2
mq̇ − xq
2
2
Berechnung
1. Verallgemeinerte Koordinaten aufstellen
2. T , U und somit L bestimmen
3. Lagrange-Gleichung 2. Art je Koordinate aufstellen
4. Bewegungsgleichungen bestimmen
5.5
Hamiltonprinzip
Variationsrechnung
In der Variationsrechnung wird eine Funktion y(x) so bestimmt, dass J extrem wird:
Z x2
J=
f [y(x), y 0 (x), x] dx = extr.
x1
Für alle anderen Bahn-Varianten wird J entsprechend kleiner oder größer, d.h. y(x) hat dann die Form:
y(x, α) = y(x, 0) + αη(x)
wobei y(x, 0) der Lösung entspricht, α ein Parameter ist und η(x) eine beliebige differenzierbare Funktion ist.
Eingesetzt in das Integral ergibt sich:
Z x2
J=
f [y(x, α), y 0 (x, α), x] = extr. für α = 0
x1
Daher gilt:
∂J
=
∂α
Z
x2
x1
Z x2
∂J
∂α
=0
α=0
∂f ∂y
∂f ∂y 0
+ 0
∂y ∂α ∂y ∂α
dx
∂f
∂f ∂ 2 y
=
η+ 0
dx
∂y
∂y ∂x ∂y
x
Z x1 2 Z x2 ∂f ∂η
∂f
η dx +
dx
=
∂y
∂y 0 ∂x
x1
x1
Z x2
Z x2
x2
∂f
∂f
d
∂f
=
η dx +
η
−
η dx
∂y
∂y 0 x1
∂y 0
x1
x1 dx
Z x2 Z x2
∂f
d
∂f
=
η dx + 0 −
η dx
∂y
∂y 0
x1
x1 dx
Z x2 ∂f
d
∂f
=
−
η dx
∂y
dx ∂y 0
x1
Damit muss der innere Teil Null werden. Der folgende Ausdruck entspricht der Eulerschen Gleichung:
∂f
d
∂f
−
=0
∂y
dx ∂y 0
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Hamiltonprinzip
Das System verfolgt zwischen zwei Punkten im Konfigurationsraum den Weg, der für ein festes Zeitintervall die
Wirkung S stationär macht.
Die Langrange-Gleichung 2. Art entspricht der Eulerschen Gleichung für die Variationsaufgabe. Dabei hat
[S] = [L] × [t] die Einheit “Wirkung”, also “Zeit” mal “Energie”:
Z
t2
L ({qi , q̇i }, t) dt = stationär
S=
t1
Legendre-Transformation
Die Legendre-Tranformsation überführt eine Funktionen f (x) in einem linearen Raum auf eine Funktionen g(u)
in einem dualen Raum ab. Die Variable u ist dabei eine Ableitung von f (x).
Für u =
∂f
∂x
gilt
h
i
g(u) = ± u x(u) − f (x(u)) = ±(u x − f )
Hamiltonfunktion
Die Hamiltonfunktion entspricht im Falle skleronomer Zwangsbedingungen der Energie eines Systems als Funktion des Phasenraumes. Sie leitet sich von einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion ab.
Das totale Differential der Lagrange-Funktion führt auf:
dL =
∂L
∂L
∂L
dqi +
dq̇i +
dt
∂qi
∂ q˙i
∂t
∂L dqi
∂L dq̇i
∂L dt
dL
=
+
+
dt
∂qi dt
∂ q˙i dt
∂t dt
dL
∂L
= ṗi · q̇i + pi · q̈i +
dt
∂t
t soll L invariant lassen (explizit zeitunabhängig), daher wird:
∂L
=0
∂t
und somit:
d
dL
= ṗi · q̇i + pi · q̈i + 0 =
(q̇i · pi )
dt
dt
d
dL
(q̇i · pi ) −
=0
dt
dt
d
(q̇i · pi − L) = 0
dt
Das Innere der Ableitung wird als Hamiltonfunktion H bezeichnet.
H = q̇i pi − L = const.
Carlo Michaelis
Seite 18 von 23
Theoretische Physik I
5.6
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Erhaltungssätze
Homogenität der Zeit (Energieerhaltung)
Die Energieerhaltung folgt aus dem Eulertheorem:
q̇i pi = q̇i
∂( 1 mq̇ 2 )
∂ [T (q̇i ) − U (qi )]
∂T
∂L
= q̇i
= q̇i
= q̇i 2 i = q̇i · mq̇i = mq̇i2 = 2T
∂ q̇i
∂ q̇i
∂ q̇i
∂ q̇i
Eingesetzt in die Hamiltonfunktion ergibt sich:
H = q̇i pi − L = 2T − (T − U ) = T + U = E = const.
Homogenität des Raumes (Impulserhaltung)
Eine infinitesimale Änderung des Raumes δ~r = const. soll L invariant lassen.
!
!
X ∂L
X
δL = L(~rα + δ~r) − L(~rα ) =
δ~rα =
p~˙α δ~rα = 0
∂~rα
α
α
Da δ~r 6= 0 muss gelten:
X
˙
p~˙α = P~ = 0 und
P~ = const.
α
Isotropie des Raumes (Drehimpulserhaltung)
~ × ~r soll L invariant lassen. Die Änderung ergibt
Eine infinitesimale Drehung des Koordinatensystems δ~r = δ ϑ
abgeleitet:
~˙ × ~r + δ ϑ
~ × ~r˙ = 0 + δ ϑ
~ × ~r˙ = δ ϑ
~ × ~r˙
δ~
~r = δ ϑ
Es ergibt sich:
X
X ∂L
X
∂L ˙
~ × ~r) + p~α (δ ϑ
~ × ~r˙ ) = δ ϑ
~·
δL =
δ~rα +
δ~rα =
p~˙α (δ ϑ
~r × p~˙α + ~r˙ × p~α = 0
∂~rα
∂~r˙α
α
α
α
~=
Da δ ϑ
6 0 muss gelten:
X d
X
X˙
~α = L
~˙ = 0
(~rα × p~α ) =
~r × p~˙α + ~r˙ × p~α =
L
dt
α
α
α
5.7
und
~ = const.
L
Noether-Theorem
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.
Bleiben die Eigenschaften eines Systems nach einer Transformation (z.B. Drehung oder Verschiebung) erhalten,
so ist das System symmetrisch und es gibt bezüglich dieser Transformation eine Erhaltungsgröße. Das NoetherTheorem gilt für alle Systeme, für die eine Bewegungsgleichung aus dem Variationsprinzip abgeleitet werden
kann. Die Variation des Wirkungsintegrals (Lagrangefunktion) muss verschwinden.
Ist L invariant unter der Transformation qi (t) −→ qi (t, α) für α ∈ R, d.h.
L({qi (t, α), q̇i (t, α)}, t) = L({qi (t), q̇i (t)}, t)
f
X
∂L ∂ q˙i = const. bzgl. t
dann ist:
∂ q̇i ∂α α=0
i=1
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5.8
WS 2013/2014
Hamiltonformalismus
Hamiltonsche kanonische Gleichung
Die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen eines Systems, welches durch die
Hamilton-Funktion beschrieben wird.
q̇i =
∂H
∂pi
und ṗi = −
∂H
∂qi
sowie
∂H
∂L
=−
∂t
∂t
Sie ergeben sich mit der Hamiltonfunktion in der Form H(q, p, t) = q̇i (q, p, t) pi − L(q, q̇(q, p, t), t) über:
f
f
k=1
k=1
X ∂ q̇k
X ∂L ∂ q̇k
∂H
=
pk + q̇i −
= q̇i
∂pi
∂pi
∂ q̇k ∂pi
f
f
k=1
k=1
X ∂ q̇k
∂H
∂L X ∂L ∂ q̇k
∂L
d
=
pk −
−
=−
=−
∂qi
∂qi
∂qi
∂ q̇k ∂qi
∂qi
dt
f
f
k=1
k=1
∂L
∂ q̇i
= −ṗi
X ∂ q̇k
X ∂L ∂ q̇k
∂L
∂L
∂H
=
pk −
−
=−
∂t
∂t
∂ q̇k ∂t
∂t
∂t
Die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen sind äquivalent zu Langrange 2. Art:
d ∂L
d
∂H
∂L
= pi = ṗi = −
=
dt ∂ q̇i
dt
∂qi
∂qi
⇒
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇i
∂qi
Liouville-Theorem
Das von benachbarten Trajektorien eingeschlossene Volumen im Phasenraum ist konstant.
Die Hamiltonschen Gleichungen beschreiben den Fluss im Phasenraum, welcher das Volumen im Phasenraum
konstant lässt. Für eine Hamiltonsche Bewegungsgleichung ~x = (~q, p~) ergibt sich die Ableitung:
∂H
∂H
~x˙ = (~q˙, p~˙) =
,−
∂~
p
∂~q
Auf das Geschwindigkeitsfeld wird die Divergenz angewendet:
2
∂2H
∂
∂
∂ H
˙
−
=0
mit div :=
+
div ~x = div
∂~q ∂~
p ∂~
p ∂~q
∂~q ∂~
p
Ist die Divergenz Null, so ist das Geschwindigkeitsfeld ẋ quellenfrei. Das Phasenraumvolumen muss dann konstant sein.
Poisson-Klammern
Seien u, v beliebige differenzierbare Funktionen der 2f kanonischen Koordinaten {qi } und Impulse {pi }, dann
ist die Poisson-Klammer wie folgt definiert:
{u, v} =
∂u ∂v
∂v ∂u
−
∂pi ∂qi
∂pi ∂qi
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Theoretische Physik I
WS 2013/2014
Es gelten folgende Rechengesetze:
{u, v} = −{v, u}
{u, const.} = 0
{u1 + u2 , v} = {u1 , v} + {u2 , v}
{u1 u2 , v} = u1 {u2 , v} + u2 {u1 , v}
{u, {v, w}} + {w, {u, v}} + {v, {w, u}} = 0
6
Starre Körper
Ein starrer Körper ist ein System von Massepunkten (MP), deren gegenseitige auch unter Einwirkung äußerer
Kräfte gleich bleibt. Ein starrer Körper besitzt 6 Freiheitsgrade, 3 Translationsfreiheitsgrade und 3 Rotationsfreiheitsgrade. Die Anzahl der Freiheitsgrade können sich bei Bindungen reduzieren.
f =6−b
Dabei ist b die Anzahl der Bindungen.
6.1
Kinetische Energie, Drehimpuls und Trägheitstensor
~ trennen sich in Anteile, die Translation und Rotation beschreiDie kinetische Energie T und der Drehimpuls L
ben.
T = Ttrans + Trot =
1 2 1
mṙ + Iii ω 2
2
2
~ =L
~ trans + L
~ rot = ~r × p~ + I~
L
ω
Dabei ist Iii der Trägheitsmoment bzgl. einer Achse (z.B. ist Izz der Trägheitsmoment bzgl. der z-Achse) und
I der Trägheitstensor. Mit diesem kann das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt
berechnet werden.
Berechnung der Trägheitsmomente
Beispiel für Drehung um x-Achse (analog um andere Achsen):
ZZZ
ZZZ
Ixx =
ρ · r2 dV =
ρ (y 2 + z 2 ) dV
K
K
Hauptträgheitsmoment
Je nach gewählter Achse variiert das Trägheitsmoment bei einem beliebig geformten Körper bei der der Drehung.
Zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen sind jedoch immer maximal bzw. minimal bzgl. des Trägheitsmomentes,
diese werden als Hauptträgheitsachsen bezeichnet. Der Trägheitstensor ist in diesem System diagonal. Die Eigenwerte dieses Trägheitstensors werden als Hauptträgheitsmomente bezeichnet.
In symmetrischen Körpern sind die Hauptträgheitsmomente sehr leicht zu bestimmen.
6.2
Steinerscher Satz
Mit dem Steinerschen Satz lassen sich Trägheitsmomentes eines starren Körpers für parallel verschobene Drehachsen bestimmen. Dabei gilt:
0
Iij
= Iij + md2
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I ist Trägheitsmoment im Schwerpunkt, m die Masse und d die Länge der Verschiebung. Die verallgemeinerte
Variante lautet:
0
Iij
= Iij + M (δij~a2 − ai aj )
Dabei ist ~a der Verschiebungsvektor vom Trägheitsmoment am Schwerpunkt Iij , zum Trägheitsmoment am
0
gewählten Punkt Iij
.
6.3
Bewegungsgleichungen
Eulergleichungen
Die Eulerschen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers.
Mi = L̇i + ijk ωj Lk
~ =L
~˙ + (~
~
M
ω × L)
Dabei ist M die Summe aller von außen auf den Körper wirkenden Drehmomente, L der Drehimpuls und ω die
Winkelgeschwindigkeit des Körpers.
Eulerwinkel
Die Eulerwinkel sind drei unabhängige Parameter mit denen die Orientierung eines starren Körpers beschrieben werden kann. Mit den Eulerwinkeln können Koordinaten (Ortsvektor zu einem Punkt auf dem Körper)
bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems in die Koordinaten eines anderen kartesischen Koordinatensystems
umgerechnet werden.
Dabei wird eine Drehmatrix verwendet. Die Drehung verläuft in drei Schritten mit den Eulerwinkeln.
ω1 = ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
ω2 = ϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
ω3 = ϕ̇ cos θ + ψ̇
Dabei gilt für die Energie:
1
Trot = (I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32 )
2
mit ω1,2,3 (qi , q̇i ) = ω1,2,3 (ϕ, θ, ψ, ϕ̇, θ̇, ψ̇)
6.4
Anwendungen
Kreiseltheorie
Ein Kreisel ist ein starrer Körper, welcher an einem Punkt festgehalten wird. Es können verschiedene Typen
unterschieden werden:
I1 = I2 = I3 :
Kugelkreisel (z.B. Würfel, Kugle)
I1 = I2 ≶ I3 :
Symmetrischer Kreisel (z.B. Zigarre, Diskus)
I1 6= I2 6= I3 :
Unsymmetrischer Kreisel
~ = 0, damit L
~ = const. Der freie Kreisel ist im MMP unterstützt
Freier Kreisel : Der Drehmoment ist Null M
(im homogenen Schwerefeld).
~ 6= 0, damit L
~ 6= const. Der schwere Kreisel ist im MMP
Schwerer Kreisel : Der Drehmoment ist ungleich Null M
nicht unterstützt (im homogenen Schwerefeld).
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7
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Kanonische Transformation
Wenn bei einer Koordinatentransformation im Phasenraum die hamiltonschen Gleichungen invariant bleiben,
so wird diese Koordinatentransformation als kanonische Transformation (der “Regel” folgend) bezeichnet.
Bei einer kanonischen Transformation soll die Hamilton-Funktion möglichst vereinfacht werden. Zur Konstruktion können erzeugende Funktionen Fi (q, Q, t) verwendet werden.
H0 = H +
∂F1
∂t
In den transformierten Koordinaten muss H 0 die kanonischen Gleichungen (siehe Abschnitt 5.8) erfüllen.
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