Analysis I für Ingenieure - Juli-Klausur - Lösungen

Analysis I für Ingenieure - Juli-Klausur - Lösungen - Rechenteil - SS09
1. Aufgabe
7 Punkte
2
Ermitteln Sie sämtliche reelle Lösungen x der Ungleichung: |x − 2| ≥ x. Geben Sie die
Lösungsmenge in Intervall-Notation an.
√
√
1. Fall: (x2 ≥ 2; d.h. x ≤ − 2 oder x ≥ 2)
x2 − 2 ≥ x
√|
− 2
2
x −x−2≥0
(x + 1)(x − 2) ≥ 0
√
] − ∞, − 2] ∪ [2, ∞[
|
−1
X
X
√|
2
X
|
2
X
X
√
√
2. Fall: (x2 ≤ 2; d.h. − 2 < x < 2)
−x2 + 2 ≥ x
|
−2
2
−x − x + 2 ≥ 0
−(x − 1)(x + 2) ≥ 0
√
[− 2, 1]
X
√|
− 2
X
|
1
X
√|
2
X
X
L = ] − ∞, 1] ∪ [2, ∞[ = R\ ]1, 2[
2. Aufgabe
8 Punkte
3. Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte für n ∈ N, x ∈ R:
1
6n4 − 7n + 1
ln(2n)
x
a) lim
b)
lim
c)
lim
(1
−
x)
n→∞
n→∞ ln(3n)
x→0
5 − 2n4
µ
¶
6n4 − 7n + 1
n4 6 − n73 + n14
6
a) lim
= lim
·
= lim
= −3
5
4
4
n→∞
n→∞
n→∞
5 − 2n
n
−2
−2
n4
ln(2n)
ln(2) + ln(n)
ln(n)
b) lim
= lim
= lim
=1
n→∞ ln(3n)
n→∞ ln(3) + ln(n)
n→∞ ln(n)
7 Punkte
√
a) Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung z 3 = 2 3 + 2i.
b) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi dar:
µ
¶163
1 + 3i
−i π4
z1 := 2e
z2 :=
3−i
µ
¶
µ
¶
√
2
1
a) r = 12 + 4 = 4, arctan √
= arctan √
= π6
2 3
3
√
√ 13π
√
√ 25π
√ π
13π
2π
13π
4π
⇒ z0 = 3 4ei 18 , z1 = 3 4ei( 18 + 3 ) = 3 4ei 18 , z2 = 3 4ei( 18 + 3 ) = 3 4ei 18
³√
√ ´
√
√
2
π
−i π4
iφ
b) z1 = 2e
= re mit r = 2, φ = − 4 ⇒ z1 = 2 2 − 22 i = 2 − 2i
µ
¶163 µ
¶163
1 + 3i
1 + 3i 3 + i
z2 =
=
·
3−i
3−i 3+i
µ
¶163 µ
¶163
3 + 9i + i + 3i2
10i
=
=
= i163 = i4(40)+3 = i3 = −i
10
10
“
”
1
ln (1−x) x
1
x
c) lim (1 − x) = lim e
x→0
x→0
Stetigkeit von ex
1
= lim e x ln(1−x)
=
x→0 !
L’Hospital
=
e
−1
limx→0 1−x
limx→0 1
1
e(limx→0 x ln(1−x))
= e−1
4. Aufgabe
8 Punkte
¶
x 1
+
.
Sei f : ] − 1, ∞[ → R ; x 7→ ln
2 2
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T3 (x) dritten Grades von f mit Entwicklungspunkt
x0 = 1.
µ ¶
3
b) Berechnen Sie mit Hilfe von T3 (x) näherungsweise den Wert ln
und schätzen Sie den
2
Fehler ab.
µ
f (k) (1)
f (k) (1)
k!
0
f (k) (x)
¡
¢
ln x2 + 21
0
0
1
(x + 1)− 1
1
2
1
2
2
−(x + 1)−2
− 14
− 81
3
2(x + 1)−3
1
4
1
24
k
a)
=⇒
T3 (x) = 21 (x − 1) − 18 (x − 1)2 +
1
(x
24
− 1)3
µ ¶
3
b) Weil f (x) = ln
für x = 2 gilt, setzen wir x = 2 in T3 ein:
2
T3 (2) =
1
12 − 3 + 1
5
1 1
− +
=
=
2 8 24
24
12
Das Restglied R3 (2) =
−6
(2
4!(ξ+1)4
− 1)4 wird (für x = 2 und) ξ ∈ [1, 2] abgeschätzt:
|R3 (2)| ist maximal für ξ = 1: |R3 (2)| <
6
14
24(2)4
=
1
64
5. Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
Z
Z √π
√
3
4
2
a)
dx
b)
x
x
+
3
dx
c)
7x sin(x2 )ecos(x ) dx
2
x −9
0
¶
¶
Z
Z µ
Z µ
4
A
B
−2/3
2/3
a)
dx =
+
dx =
+
dx
x2 − 9
x+3 x−3
x+3 x−3
10 Punkte
Z
d)
1
8
dx
√
x+ 3x
= − 23 ln |x + 3| + 23 ln |x − 3| + C
1
b) Partielle Integration mit v = x, u0 = (x + 3) 2 anwenden:
Z
Z
√
3
3
2
2
3
5
4
x x + 3 dx = x(x + 3) 2 −
(x + 3) 2 dx = 23 x(x + 3) 2 − 15
(x + 3) 2 + C
3
3
2
c) Substitution mit u = cos(x ), du = −2x sin(x2 )dx anwenden:
Z √π
Z 1
³ 1
´
1
3
2 7
2 cos(x2 )
7x sin(x )e
dx =
eu du = 72 eu |02 = 72 e 2 − 1
0
0 2
√
d) Substitution mit u = 3 x (⇒ u3 = x ⇒ 3u2 du = dx)
Z 8
Z 2
Z 2
dx
3u2
3u
3
3
√
=
du =
du = ln |u2 + 1||21 = (ln(5) − ln(2))
3
3
2
2
2
x
1 x+
1 u +u
1 u +1