06 Arbeit-Energie-Impuls22

Arbeit, Energie, Impuls und Erhaltungssätze
Beispiel:
• Arbeit wird verrichtet, wenn eine Masse angehoben wird.
„Steine auf den Berg schleppen ist anstrengend.“
• Arbeit im physikalischen Sinne wird aber nicht verrichtet beim Erzeugen einer
Kompensationskraft zur Gewichtskraft, d.h. beim Halten der Masse.
• Entgegen Alltagserfahrung: „Steine im Arm halten ist auch anstrengend.“
Man kann die Steine auf einen Tisch legen, der die Kompensationskraft
erzeugt. Der Tisch verrichtet dabei keine Arbeit, sondern es wirken nur Kräfte.
• Arbeit wird verrichtet, wenn man eine Masse gegen eine Kraft verschiebt.
Keine Arbeit wird verrichtet bei waagerechtem Verschieben auf einer
Luftkissenschiene, weil keine Kraft in diese Richtung wirkt.
• Beim Verschieben der „Steine auf dem Tisch“ wird Arbeit verrichtet, da die
Verschiebung gegen die Reibungskraft verläuft.
97
Zur Erinnerung: Zum Anheben der Masse hat man viele Möglichkeiten,
z.B. Flaschenzug:
r
F
r
s
r r
F s
r
F
Versuch: Flaschenzug
r
s
Will man die Kraft verkleinern, muß man
einen größeren Weg in Kauf nehmen.
Beispiel 2: schräge Luftkissenschiene:
r
F
r
F
98
1
Definition der Arbeit (ortsunabhängige Kräfte):
r r
W = F ⋅s
Arbeit = Kraft • Weg
Die Arbeit ist eine skalare Größe. Sie wird aus dem Produkt zweier
Vektoren berechnet:?
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt berücksichtigt nur die Komponente des einen Vektors,
die in die Richtung des anderen Vektors zeigt und die man mit dem
r
sF
Betrag des anderen Vektors multipliziert.
r
F⊥
r r r r
F ⋅ s = F|| s
r
F
trägt nicht zur Arbeit bei.
α
r r r r
F ⋅ s = F s cos α
r
s⊥
r
F⊥
r
s
r
F||
In kartesischen Koordinaten:
r r
F ⋅ s = ( Fx , Fy , Fz ) ⋅ (s x , s y , s z ) = Fx s x + Fy s y + Fz s z
99
Ortsabhängige Kräfte, krummlinige Verschiebung in einem Kraftfeld
Die Verschiebung muß in kleine Streckenelemente zerlegt werden.
Die Arbeit wird für jedes Teilstück berechnet und aufsummiert.
W =
∑
r r
F ⋅ ∆s
r
r2
r
∆s
r
F
r
r1
Grenzübergang zu ∆s → 0 liefert Integral
W =
∫
r r
r
F (r ) ⋅ ds
Weg s
r
r
Integration von einem Startpunkt r1 entlang einer Kurve s (r ) zu einem
r
Endpunkt r 2
100
2
Konservatives Kraftfeld
Beispiel: schiefe Ebene ohne Reibung (konstante Kraft)
r
r2
r
F
r
∆s
r
r1
Wenn die verrichtete Arbeit unabhängig vom Verlauf des Weges zwischen
r
r
zwei beliebigen Punkten r1 und r 2 ist, nennt man das Kraftfeld konservativ.
Hier zählt nur die Aufwärtskomponente des Weges, d.h. die Komponente
der Verschiebung in Richtung der Kraft.
101
Äquivalente Definition:
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn die verrichtete Arbeit entlang jeder
geschlossenen Kurve gleich Null ist.
∫
r r
F ⋅ ds = 0
(Linienintegral )
Anschaulich ist auch folgende äquivalente Formulierung:
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn in jedem Punkt die Wirbelstärke
gleich Null ist.
(Wirbelstärke wird mit dem mathematischen Operator
In einem Wirbelfeld
r
rot F
r
rot F berechnet.)
r
rot F ≠ 0 wird auf einer
geschlossenen Bahn Arbeit verrichtet.
Das Gravitationsfeld ist ein konservatives Kraftfeld.
105
3
Der physikalische Arbeitsbegriff (
=
) steht oft im Gegensatz zur
täglichen Erfahrung
102
Wegabhängigkeit der Arbeit
Beispiel: schiefe Ebene mit Reibung
r
r2
r
F
r
∆s
r
r1
Die verrichtete Arbeit ist wegabhängig.
Ein Teil der Arbeit wird in Reibungswärme umgewandelt und liegt nicht
mehr als mechanische Energie vor.
104
4
Potentielle Energie
Voraussetzung: konservatives Kraftfeld. Verrichtete Arbeit hängt nur von
Startpunkt
r
r
r1 und Endpunkt r 2 ab, nicht vom Wegverlauf dazwischen.
Die Arbeit, die verrichtet werden muß, um den Körper vom Startpunkt
zum Endpunkt im Kraftfeld
r
r2
W = −
∫
r r
r
F (r ) ⋅ d s
r
r1
Hier ist eine Haltekraft
r r
F (r ) (z.B. Schwerefeld) zu verschieben, ist:
Vorzeichenkonvention: Das Vorzeichen ist so zu wählen, daß die
dem Körper zugeführte Energie positiv zu zählen ist. Anheben
des Körpers erhöht seine potentielle Energie, beim Fallen des
Körpers verliert er potentielle Energie, die gegebenenfalls als
äußere Arbeit abgegeben werden kann.
r r
r r
− F (r ) auf den Körper wirksam, die F (r ) kompen-
siert, damit eine Verschiebung und keine Beschleunigung stattfindet.
Wählt man den Startpunkt als Referenzpunkt
r
rRe f, kann man jedem Ort eine
potentielle Energie zuordnen.
r
r
∫
r r
r
Epot ( r ) = − F ⋅ ds
r
rRef
106
Beispiel: Potentielle Energie einer Probemasse m 2 im Gravitationsfeld einer
Punktmasse m 1 .
(Ort der Masse am Nullpunkt des Koordinat ensystems)
r
r r
m1 m 2 r
FG ( r ) = −G
r2 r
Kompensationskraft:
r
r r
m1 m2 r
FK ( r ) = G
r2 r
Potentielle Energie bzgl. Referenzpunkt im Unendlichen
r
E pot ( r ) =
r
r
∫
r
r∞
r
 m1 m2 r ′  r
G
 ⋅ ds ,
r ′2 r ′ 

(Variable : r ´).
Wahl eines bestimmten Weges: direkter Weg entlang des Radiusvektors
r
r
r
r'
r
 m1 m 2 r ′  r′
G
 ⋅ dr
r ′2 r ′ 
r 
r∞
r
r
Der Verschiebungsvektor dr ′ zeigt in Richtung von r ′ , obwohl von außen
r
Epot ( r ) =
∫
nach innen integriert wird (das ist bei den Integrationsgrenzen berücksichtigt) .
r
r
r ′ ⋅ dr ′ = r ′ dr ′
107
5
Umschreiben des Integrals in ein Integral über skalare Größen:
r
Epot ( r ) =
∫
∞
Man erhält:
 m1 m 2  ′
G
 dr
r ′2 

r
Epot (r ) = G m1 m 2
∫
∞
1
dr ′
r ′2
Berechnung des Integrals:
r
 1
Epot (r ) = G m1 m 2 − 
 r ' ∞
1 1 
Epot (r ) = −G m1 m 2  − 
r ∞
Ergebnis: Potentielle Energie im Gravitationsfeld,
E pot ( r ) = −G
(Referenzpunkt im ∞):
m1 m 2
r
108
Potential:
Man kann aus der Gleichung die Probemasse
r
analog vorgehen:
r
r
ϕ (r ) = −
∫
r r
g ⋅ ds
m2
herausnehmen und
r
r
analog zu :
∫
r r
r
Epot ( r ) = − F ⋅ ds,
r
rRef
r
rRef
r
m
ϕ (r ) = −G 1
r
analog zu :
r
m m
E G ( r ) = −G 1 2 .
r
ϕ ist das Gravitationspotential.
Potentielle Energie und Potential haben den Vorteil, daß sie skalare Größen
sind.
Skalare Felder:
Epot ( x, y , z)
bzw.
ϕ ( x, y, z )
Trotzdem kann man die Kraft bzw. die Feldstärke wieder aus ihnen berechnen.
Das Gesamtpotential von mehreren Einzelmassen ist die Summe der
Einzelpotentiale → Superpositionsprinzip. (Linearität der Dglen)
109
6
Potential (bzw. potentielle Energie) für eine Masse
y
ϕ
x
110
Potential (bzw. potentielle Energie) für zwei gleichgroße Massen
y
ϕ
x
111
7
Potential (bzw. potentielle Energie) für zwei Massen m1/m2 = 5/1
y
ϕ
x
112
Sattelpunkt:
ϕ
y
x
Lagrange-Punkt:
∂ϕ
∂2ϕ
=0,
> 0.
∂x
∂x2
∂ϕ
∂2ϕ
= 0,
< 0.
∂y
∂y2
8
Potential (bzw. potentielle Energie) für drei Massen
y
ϕ
x
114
Berechnung der Kraft aus dem Feld der potentiellen Energie:
r
r
F = −grad Epot ( r )
analog Berechnung der Feldstärke aus dem Potential:
r
r
g = −grad ϕ( r )
Gradient in kartesischen Koordinaten:
 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
grad ϕ( x, y , z ) =  ,
,

 ∂x ∂y ∂z 
(Differentialoperator)
Der Gradient (Vektor!) gibt Richtung und Betrag der Steigung eines skalaren
Feldes an. Vorstellung:
Potentielle Energie = Berglandschaft → Gradient zeigt bergauf
Kraft wirkt bergab = − grad
r
Epot ( r )
115
9
r
r
Potentielle Energie an der Erdoberfläche (im Alltag).
r
r
r
FK
∫
r
r
r
Epot (r ) = − FG ⋅ ds
r
rRef
r
rRef = Fußboden (Referenzhöhe)
r
rRef
r
∆s
r
FG
h
Die Kraft ist in guter Näherung konstant = mg und wirkt immer senkrecht
Epot ( h ) = m g h
h vom Fußboden aus gemessen (h << rErde).
Einheit der Energie und der Arbeit:
1 Joule = 1 Newton • 1 Meter
1 J = 1 N m = 1 kg m2 / s2
Die Einheit wird auf die bekannten Einheiten zurückgeführt.
Vergleich:
r
r
M
116
z
Feld einer Punktmasse
Gravitationsfeld im Labor
r
r r
r r
Mmr
F ( r ) = (0, 0, − mg )
Kraft:
F ( r ) = −G 2
r r
r
r r
r r
M r
g ( r ) = ( 0, 0, − g )
Feldstärke:
g ( r ) = −G 2
r r
r
r
r r
M
ϕ (r ) = g z
Potential:
ϕ (r ) = − g ⋅ dr = − G
r
r r r
r
r
Mm
Pot. Energie: E pot (r ) = − F (r ) ⋅ ds = −G
Epot (r ) = m g z
rr
∫
∫
rr
r
Mm r
Kraft: F (r ) = −grad E pot (r ) = − G
⋅ .
r2 r r
r r
r
M r
Feldstärke: g (r ) = − grad ϕ (r )= − G
⋅
r2 r
Bezugspunkt im Unendlichen
r r
r
F (r )= − m g.
r r
g ( r ) = ( 0, 0, − g )
Bezugspunkt bei z=0
117
10
Potentielle Energie einer Masse m kann in kinetische Energie
umgewandelt werden.
Ekin =
1 r2
mv
2
r r
Eine Masse in einem konservativen Kraftfeld F (r ) bewege sich
mit der Geschwindigkeit
r r r
m a = F (r )
r r
v (r ) . Sie wird durch die Kraft beschleunigt:
In dem kleinen Zeitintervall
∆t
legt sie den Weg
r r
∆s = v ∆t zurück.
Das Kraftfeld verrichtet die Arbeit:
r
r r
r r r r
r r
m d (v 2 )
 dv r 
∆W = F( r ) ⋅ ∆s = F (r ) ⋅ v ∆t = m a ⋅ v ∆t = m
⋅ v  ∆t =
∆t .
2 dt
 dt 
an der Masse. Also:
(Abnahme der pot. Energie)
∆W
dW d  m 2 
1 2
→
=  v , ⇒ Wkin = mv ( + const.)
∆t
dt dt  2 
2
(= Ekin. ).
118
Um den gleichen Wert hat die potentielle Energie abgenommen:
r
r
v
Epot (r + ∆s ) = Epot ( r ) − ∆W .
Beide Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
In konservativen Kraftfeldern gilt somit die Erhaltung der Summe:
E = Epot + Ekin
Energieerhaltungssatz der Mechanik.
Potentielle Energie kann auch in einer elastischen Verformung stecken.
(Feder): Elastizitätskräfte werden später behandelt.
Versuch: Fadenpendel
Epot = m g h
Epot = m g h
h
Ekin =
1
mv2
2
119
11
Der Energiesatz ist geeignet, um z.B. den Betrag der Geschwindigkeit
zu berechnen ohne die genaue Bahnkurve bestimmen zu müssen.
freier Fall
Pendel
Epot = m g h
Epot = m g h
Ekin
h
r
v
1
= mv2
2
Epot = m g h
Ekin =
r
v
1
mv2
2
In beiden Fällen erhält man aus dem Energiesatz den gleichen Wert
r
v.
Beim Fadenpendel wirken zusätzliche Kräfte (Fadenspannung), die
die Richtung von
r
v
ändern, aber keine Arbeit verrichten.
Die Fadenspannung steht immer senkrecht zu
r r
damit auch zum Weg ∆s = v ∆t.
r
v
und
120
Beispiel: Planetenbewegung
E = E pot + E kin = −G
r2
m1 m 2
1
+ m2 v
r
2
Bei Kreisbewegungen bleibt r konstant → Epot ist konstant
→ Ekin ist konstant →
r
v ist konstant.
Bei elliptischen Bahnen wird Epot und Ekin ineinander umgewandelt
In kartesischen Koordinaten:
E = −G
m1 m 2
x +y +z
2
2
2
+
1
2
2
2
m2 (v x + v y + v z )
2
Bei Planeten-(Kometen-) Bahnen mit starker Exzentrizität spielt die
Umwandlung zwischen kin. und pot. Energie eine große Rolle.
121
12
Erhaltung der Energie ist von grundlegender Bedeutung in der Physik.
Wenn das Kraftfeld nicht konservativ ist, geht mechanische Energie bei Bewegung verloren. Reibungskräfte z.B. verwandeln kinetische Energie in Wärmeenergie, d.h. in Bewegungsenergie einzelner Gasmoleküle oder in Schwingungsenergie von atomaren Bausteinen in Festkörpern.
Energie kann z.B. auch als Strahlung transportiert werden.
→ Energie im elektro-magnetischen Strahlungsfeld.
Elektrische, magnetische Energie, Kernenergie, etc.
Die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten.
Die Gesamtenergie ändert sich, wenn von außen Energie zu(ab)geführt wird.
Energiebilanz stimmt nur, wenn alle Energieformen betrachtet werden.
Der Begriff „Energieverbrauch“ im Alltag bedeutet, daß „höherwertige“ Energie in geringwertige Wärmeenergie umgewandelt wird und aus thermodynamischen Gründen keine Rückumwandlung möglich ist.
Bewertung von Energie: s. Abschnitt Wärmelehre (Entropie).
122
Massenerhaltung
In einem abgeschlossenen System bleibt die Masse erhalten.
Anmerkungen zur Relativitätstheorie:
Die Relativitätstheorie verknüpft beide Erhaltungssätze durch den
E = mc2
Zusammenhang:
Energie und Masse können ineinander umgewandelt werden.
Massendefizit bei Energieerzeugung durch Kernprozesse direkt nachweisbar.
Speicherung der kinetischen Energie im bewegten Körper erfolgt als Masse.
E Ges =
m0 c 2
1− v
2
c
2
= m 0 c 2 + Ekin = m c 2 .
Massenzunahme eines Sprinters:
m0: Ruhemasse.
5 ·10 -14 kg
Kinetische Energie der Erde entspricht: 3 ·10 +16 kg (vgl. MErde ˜ 6·1024 kg)
Die vergrößerte Masse unterliegt nun der Trägheit.
123
13
Das Gravitationsfeld ist keine Hilfsgröße zur Berechnung der Kraft,
sondern ist wirklich im Raum präsent.
Es hat eine Energiedichte:
r2
g
E
=−
.
V
8π G
An der Erdoberfläche beträgt die Energiedichte:
E
V
= 5 ,74 ⋅ 10 10
geo
J
.
m3
Die potentielle Energie einer Masse ist in der Feldenergie gespeichert.
Die Feldenergie ist einer Masse proportional
E = m c 2 , die wiederum
Gravitation verursacht. Daraus Massendichte:
⇒
m
1 E
kg
= 2⋅
= 0.64 ⋅10−6 3
v geo c V geo
m
Dieser Effekt erklärt die Periheldrehung des Merkur (Rosettenbahn).
Periheldrehung pro Jahrhundert in Bogensekunden:
5600,7 ± 0.4
Messung:
Berechnete Drehung (andere Planeten u. relat. Effekte): 5557,6 ± 0.2
Differenz:
43,1 ± 0.6
Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie:
43,0
124
Impuls: Suche nach einer gerichteten (vektoriellen) Erhaltungsgröße in
einem abgeschlossenen System (ohne äußere Kräfte).
Versuch Luftkissenschiene:
r
v1
m1
m2
r
v2
Es wirken innere Kräfte (Feder) aber keine äußeren Kräfte, also der Schwerpunkt von
r
r
r
r
m1 und m2 bleibt in Ruhe: m1ds1 = m1v1 ⋅ dt = −m2v2 ⋅dt = −m2ds2
Die Gesamtgeschwindigkeit wird nicht erhalten.
Aber für die Produkte aus Massen und Geschwindigkeiten finden wir:
r
r
m1 v 1 + m 2 v 2 = 0;
r
r
Das Produkt p = m v
r
r
p1 = − p2 .
∑
nennt man Impuls. Der Impuls ist ein Vektor.
r
pi = 0.
ERHALTUNGSGRÖSSE!
Der Gesamtimpuls ändert sich nach Lösen der Feder nicht.
125
14
Impuls („Anstoß“, engl.: momentum) ist uns aus der Alltagserfahrung wenig
vertraut.
Die Impulserhaltung ist wie die Energieerhaltung grundlegend in der Physik.
Die vektorielle Summe aller Impulse in einem abgeschlossenen System
(System ohne äußere Kräfte) bleibt erhalten.
r
p=
∑
r
m i v i = const.
i
vorher
nachher
nur
interne
Kräfte
wirken
in ? t.
r
p
r
m1v 1
r
p
126
Versuch „Billiard“:
1
r
r r
pvorher = (p1 + p 2 )nachher
r
p vorher
1
2
Energie- und Impulserhaltungssatz sind ideal, um Aussagen über
den Bewegungszustand nach einer Wechselwirkung zu machen,
ohne die Bahnen der Massen während der Wechselwirkung zu kennen,
d.h. ohne die Details der Wechselwirkung zu kennen.
127
15
Die Impulserhaltung ist direkte Folge des Newton‘schen Reaktionsprinzipes
und des Aktionsprinzipes:
r
Wenn die Kraft F , die auf die Masse m1 wirkt, ihren Ursprung
in der Masse m2 hat, so wirkt auf diese die entgegengesetzt
r
gleiche Kraft − F , (Reaktionsprinzip).
r
r
r
Anfangsimpuls: m1v 1 + m 2v 2 = Pges .
r
r
Die Kraft F beschleunigt m1 und die Kraft − F beschleunigt m2 .
r
r
−F
a2 =
m2
r
r
F
a1 =
m1
(Aktionsprinzip)
Nach dem kurzen Zeitintervall ∆t haben die Massen die Geschwindigkeiten:
r
r v
r
F
v 1 + a1 ∆t = v 1 +
∆t
m1
r
r
v
r
−F
v 2 + a 2 ∆t = v 2 +
∆t
m2
also gilt Impulserhaltung:
r
r
m1v 1 + F ∆t
+
r
r
m 2v 2 − F ∆t
=
r
Pges = const.
128
Verallgemeinerte Form des Newtonschen Aktionsprinzipes
Eine Kraft auf eine Masse verursacht eine Impulsänderung:
Nach der Zeit ∆t ist der Impuls
r
r
r
r
r
r
r r
p + ∆p = m v + m ∆v = m v + m a ∆t = m v + F ∆t
also
r
r
∆p = F ∆t
→
F
r ∆pr
F=
∆t
t
Das verallgemeinerte Aktionsprinzip lautet: (Wichtig!)
r d pr
F=
dt
r
p(T ) =
∫
r
r
F (t ) ⋅ dt + (p 0 )
T
(Kraftstoß,engl.:
impulse).Details
der Kraftübertragung spielen
keine Rolle!
0
Mit der Produktregel erhält man:
r
r d(mvr )
dm r
dv
F=
=
v +m
dt
dt
dt
Der zweite Term ist der bekannte
Term
r
ma , der erste Term wird in
den nächsten 3 Folien behandelt.
129
16
Gedankenexperiment: Radfahrer (v(t 0) = v0.) im Mückenschwarm:
Die Mücken bleiben am Radfahrer kleben.
Die Masse des Radfahrers erhöht sich um dm pro Zeitintervall dt.
Die Kraft zur Beschleunigung des Radfahrers beträgt:
r
r
r
r
r2 r
r
dm r
dv dm d x r
F (t ) =
v +m
=
⋅
⋅ v + ma = m´⋅ v ⋅ ev + ma.
dt
dt dx dt
1.Term ist der Impulsübertrag auf die Mücken (Beschleunigung der Mücken
von 0 auf v), die Mücken haben im Mittel keinen Anfangsimpuls. Dieser
Term tritt auch bei v = const. auf!
130
Versuch Rakete:
Rakete ändert ihre Masse durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff.
Berechnung im Bezugssystem Erde.
Im Zeitintervall dt stößt die Rakete die Masse dm mit
r r
r
u = v T − v R aus.
r
r
Der Impulsübertrag auf den Treibstoff ist dp = dmT u.
Relativgeschwindigkeit
Die Kraft auf die Rakete (Gegenkraft) ist also:
r
r
dm r
dp
F= −
= − T u.
dt
dt
r
u
Sie wirkt gegen die Gewichtskraft und beschleunigt die Rakete
r
r
r
dvR
F = mR
− mR g.
dt
mR
r
vR
dmT
r
vT
Erde
Gleichsetzen liefert:
r
dv R
1 dmT r r
=−
u+g.
dt
m R dt
Beachte: dmT
= −dm R
131
17
Lösen der Differentialgleichung durch Integration:
r
dv R
1 dm R r r
=
u+g
dt
m R dt
t
t
r
dv R
1 dm R r r
dt ′ = (
u + g ) dt ′
dt ′
mR (t ′) dt ′
∫
∫
0
0
r
r
r
v R ( t ) − v R (0 ) = u
m( t )
∫
m( 0 )
(Integrationsvariable: t´)
t
1
dm ′R +
m ′R
∫
r
g dt ′
(Umkehrung der Kettenregel)
0
r
r
r
r
v R ( t ) − v 0 = u ( ln mR (t ) − ln m0 ) + g t
r
r
r m (t ) r
m (t )
v R ( t ) = v 0 + u ln R + g t ; ln R
< 0.
m0
m0
Endgeschwindigkeit hängt nur von der Ausstoßgeschwindigkeit u
und vom Verhältnis Nutzlast / Startmasse ab.
132
Stoßgesetze (Anwendung des Impuls- und Energieerhaltungssatzes)
Elastischer Stoß:
keine Kräfte
Konservative (Energie-erhaltende) Kräfte
keine Kräfte
r
v1
r
u1
r
v2
r
u2
Inelastischer Stoß:
keine Kräfte
nicht konservative Kräfte
keine Kräfte
r
v1
r
u1
r
v2
r
u2
133
18
Die Impulserhaltung gilt f ür elastische und inelastische Stöße :
r
r
r
r
m1v 1 + m 2v 2 = m1u1 + m2 u 2 .
Für elastische Stöße gilt zusätzlich die Erhaltung der kinetischen Energien:
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 v 1 + m 2 v 2 = m1 u1 + m 2 u 2 ,
2
2
2
2
bei inelastischen Stößen wird mechanische Energie in andere Energieformen (z.B. Wärme) umgewandelt.
Es gilt nur noch die Ungleichung:
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 v 1 + m 2 v 2 > m1 u1 + m 2 u 2 .
2
2
2
2
134
Elastische Stöße im „Laborsystem“:
Zentraler Stoß (eindimensionale Bewegung)
Es gelten beide Erhaltungssätze:
m1v 1 + m 2v 2 = m1u1 + m 2u 2 ,
oder : p1 + p2 = p1´ + p2 ´.
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 v 1 + m 2 v 2 = m1 u1 + m 2 u 2 , oder :
2
2
2
2
2
2
p1
p
p ´2
p ´2
+ 2 = 1 + 2 .
2 m 1 2 m 2 2 m 1 2m 2
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten p´1 und p´2 . :
135
19
m1v 1 + m2 v 2 = m1u1 + m 2u 2 ,
(I ) :
2
oder : p1 + p2 = p1´ + p2 ´.
2
p1
p
p ´2
p ´2
+ 2 = 1 + 2 .
2m 1 2m 2
2m 1 2m 2
( II ) :
Auflösung:
(
)
(
)
(II ) :
1
1
p12 − p1´ 2 =
p2´ 2 −p22 .
2m1
2m2
(II ) :
1
(p1 − p1´)(p1 + p1´) = 1 (p2 ´−p2 )(p2´+p2 ).
2m1
2m2
Mit (I):
u1 =
p1 − p1´ = p 2´− p2 .
v 1 (m1 − m 2 ) + 2m2 v 2
,
m1 + m2
u2 =
v 2 ( m 2 − m1 ) + 2m1v 1
.
m1 + m2
136
Spezialfälle zum zentralen elastischen Stoß:
1. Massen der Kugeln sind gleich:
u1 = v 2
u 2 = v 1.
,
Geschwindigkeiten werden vertauscht.
2. Gleiche Massen und zweite Kugel ruht vor dem Stoß:
u1 = 0
u 2 = v 1.
,
Erste Kugel ruht nach dem Stoß und maximaler Energieübertrag erfolgt.
3. m2 unendlich groß und ruht:
u1 = −v 1
,
u2 = 0
Masse 1 wird reflektiert, kein Energieübertrag, maximaler Impulsübertrag
∆ p = m1v 1 − m1u1 = 2m1v 1.
137
20
Versuch: Stöße mit Wagen auf Luftkissenschiene
v1 = v
m1 = m
v2 = 0
m2 = m
v1 = v
m1 = m
u1 = 0
⇒
u2 = v
⇒
u1 = −v
138
v1 = v
m1 = m
v2 = 0
m 2 = 2m
v1 = v
m1 = 2m
v2 = 0
m2 = m
u1 =
v 1 (m1 − m 2 ) + 2m 2v 2
1
= − v
m1 + m 2
3
u2 =
v 2 ( m 2 − m1 ) + 2m1v 1
2
= + v
m1 + m2
3
u1 =
v 1 (m1 − m 2 ) + 2m 2v 2
1
= + v
m1 + m 2
3
u2 =
v 2 ( m 2 − m1 ) + 2m1v 1
4
= + v
m1 + m2
3
⇒
⇒
139
21
Versuch: Kugelreihe mit und ohne Klebewachs
r
r
p1 = pn
Der von der rechtenrKugel aus gehende Kraftstoß p1 wandert
durch
r die Kugelreihe und wird
als pn an die linke Kugel abgegeben und umgekehrt.
r
pn
r
p1
Inelastischer Stoß:
Klebewachs zwischen den Kugeln führt zu Verlust von mechanischer
Energie (inelastischer Stoß).
140
Dezentraler Stoß (dreidimensionale Bewegung)
π
z
Es gelten beide Erhaltungssätze mit vektoriellen Geschwindigkeiten.
r
r
r
r
m1v 1 + m 2v 2 = m1u1 + m 2 u2
r 2 1
r 2 1
r
1 r 2 1
m1 v1 + m2 v 2 = m1 u1 + m2 u2
2
2
2
2
In Komponentenschreibweise:
Jede Komponente des Impulses wird
m1v 1x + m 2v 2 x = m1u1x + m2 u 2 x
m1v 1y + m2 v 2 y = m1u1y + m 2 u2 y
m1v 1z + m 2v 2 z = m1u1z + m 2 u 2z
2
für sich erhalten
4 Gleichungen mit 6 Unbekannten u1x , u1y , u1z , u2x , u2y , u2z .
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m1(v1x + v 1y + v1z ) + m2 (v 2x + v 2y + v 2z ) = m1(u1x + u1y + u1z ) + m2 (u2x + u2y + u2z )
2
2
2
2
Ergebnis hängt von der Geometrie des Stoßes ab. → Berechnung der Bahnen
aus der Kenntnis der Stoßparameter
πx , πy .
141
22
Dezentraler Stoß im Schwerpunktsystem
Wahl des Koordinatensystems führt zur Vereinfachung.
Jedes Inertialsystem ist zur Beschreibung physikalischer Vorgänge geeignet
(siehe nächster Abschnitt).
Geradlinig-gleichförmig bewegte Koordinatensysteme sind Inertialsysteme.
Schwerpunkt (Massenmittelpunkt).
Definition: Der Punkt
r
1
rS =
M
∑
r
mi r i
M : Gesamtmass e =
i
heißt Schwerpunkt.
∑
mi
i
(Siehe Abschnitt: „Rotation“)
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems wird erhalten,
r
pgesamt =
∑
r
r
r
r
m i r&i = M r&S = M v S = pS
i
also bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig-gleichförmig.
Er ist Ursprung eines Inertialsystems.
142
Der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem ist Null, da der Schwerpunkt
nun im Ursprung ruht. Für zwei Teilchen gilt:
r r
r
r
p1 + p2 = m1v 1 + m2v 2 = 0
r
m1u1
r
r
p1 = m1v 1
r
r
p2 = m2v 2
r
m2 u2
Die kinetische Energie wird beim elastischen Stoß erhalten:
r 2 1
r 2 1
r 2 1
r 2
1
m1 v 1 + m2 v 2 = m1 u1 + m 2 u 2
2
2
2
2
r
r
r
r
mit m1 v 1 = m2 v 2 und m1 u1 = m 2 u 2
folgt,
daß sich nur die Richtung der Geschwindigkeiten ändert (Impulsübertrag),
aber beide Massen ihre kinetischen Energien beibehalten.
Bei drei Teilchen kann auch Energie ausgetauscht werden.
143
23
Da der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem immer Null ist, gilt:
r
r
r
r
p1,S = − p2 S und p´1,S = −p´ 2S
2
p1
2
2
p1
2
 1
1  p´1

+
 =
2
 m1 m2 
2
und:
 1
1 

+

 m1 m2 
oder:
 m1 + m 2  p´1 2  m1 + m 2 

 =


2  m1 ⋅ m2 
 m1 ⋅ m2 
mit der „reduzierten Masse“
2
µ:
µ =
m1 ⋅m2
:
m1 + m 2
2
p1 p´ 1
=
.
2µ 2µ
Kinetische Energie im Schwerpunktsystem bleibt
beim elastischen Stoß erhalten
144
Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem:
Der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem ist Null
∑
r
pi = 0
i
Durch Energieumwandlung wird die kinetische Energie kleiner.
Nach dem Stoß muß immer noch gelten:
∑
r
p ′i = 0
i
Aber die einzelnen Impulse können kleiner geworden sein.
Im Extremfall können alle Einzelimpulse Null werden.
Umwandlung der gesamten kinetischen Energie der Relativbewegungen.
Vom anderen Koordinatensystem aus gesehen:
Der „Schwerpunktimpuls“ und die „Schwerpunktenergie“ bleiben übrig:
r
r
pS = M v S
ES =
1 r
M vS
2
2
145
24
Stöße an Wänden:
Das System ist nicht abgeschlossen. Äußere Kräfte der Wand.
1. elastisch:
Die Wand bleibt in Ruhe, also kein Energieübertrag auf die Wand.
1
2
mv 2 = 12 mu 2
⇒
r r
v =u
Keine Kräfte parallel zur Wand
mv || = mu||
also: Einfallswinkel =
mv⊥ = −mu⊥
Ausfallswinkel (Reflexions-
mv 2 > 12 mu 2
⇒
r r
v >u
Keine Kräfte parallel zur Wand
mv || = mu||
Folglich:
r
v
gesetz
2. inelastisch:
1
2
r
u
mv ⊥ > − mu⊥
r
u
r
v
146
25