Ergänzung B

Ergänzungsübungen zur Physik für
Nicht-Physikerinnen und Nicht-Physiker(SoSe 14)
Prof. W. Meyer
Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28)
Ergänzung B
Bewegung in mehreren Dimensionen
Bei Bewegungen in mehreren Dimensionen kann man das Problem immer auf Bewegungen in X,Y und
Z-Richtung zurückführen. Dabei lassen sich die Bewegungen in die jeweiligen Basisrichtungen unabhängig voneinander behandeln.
Fliegt z.B. ein Flugzeug mit 200 m/ s in Richtung ONO (Ost-Nord-Osten) so kann man seine Geschwindigkeit in eine „Nord“-Komponente (Y) und in eine „Ost“-Komponente (X) zerlegen.
|V| = 200 m/s
a
 

vx
vx = |~v | · cos α
~v =  vy  =  vy = |~v | · sin α 
vz
vz

22,5°
|V|
y
x
a
vy
vx
In diesem Fall heißt dies, dass das Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von
vx = |~v | · cos α = 200 m/ s · cos 22,5° = 184,8 m/ s
Richtung Osten und mit
vy = |~v | · sin α = 200 m/ s · sin 22,5° = 76,5 m/ s
Richtung Norden fliegt.
Wenn man nun wissen möchte wie lange es dauert bis das Flugzeug 10 km in Richtung Norden geflogen
ist, so kann man dazu die entsprechende Komponente benutzen.
sN = vy · t
→
t=
10 000 m
sN
=
≈ 130 s =
b 2 min 10 s
vy
76,5 m/ s
Die Komponente vx hat in diesem Fall keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Solch eine Zerlegung des Vektors, bezüglich des kartesischen Koordinatensystems, kann man generell
immer anwenden. Wichtig ist dies besonders dann, wenn z.B. Kräfte nur in eine Dimension wirken,
beispielsweise die Schwerkraft.


0
F~G = m ~g = m  0 
−g
Bei einem schrägen Wurf wird demnach ausschließlich die Z-Komponente der Bewegung von der Erdbeschleunigung beeinflusst. Die X- und Y-Komponente hingegen bleiben davon unberührt.
Energieerhaltung
Die Energieerhaltung ist ein ganz wichtiges Prinzip in der Physik. Die Hauptaussage ist Folgende:
In einem abgeschlossenen System1 bleibt die Gesamtenergie zeitlich konstant und
ist somit eine Erhaltungsgröße.
Evorher = Enachher
Die Energie in einem abgeschlossenen System kann weder erzeugt noch vernichtet werden, jedoch lässt
sie sich in verschiedene Energieformen umwandeln. Bsp. Händereiben im Winter
Bewegungsenergie
Reibung
−→
Wärmeenergie
Immer wiederkehrende Begriffe sind hierbei potentielle Energie und kinetische Energie.
Die potentielle Energie – in der Mechanik oft auch Lageenergie genannt – gibt eine Energiemenge an,
mit der gegebenenfalls Arbeit geleistet werden kann.
Beispiele potentieller Energien:
Pumpspeicherkraftwerke: Wasser wird in einen höher gelegenen
See gepumpt. Gegenüber dem Auslassventil besteht eine potentielle
Energie entsprechend der Höhendifferenz ∆h. Durch das Öffnen des
Ventils fließt Wasser durch die Leitung und treibt eine Turbine an.
potentielle Energie → elektrische Energie
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
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aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Dh
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
gespannte Feder: Bei dem Zusammendrücken einer Metallfeder muss Arbeit gegen die Federkraft geleistet werden. Diese aufgewendete Arbeit ist anschließend in Form von potentieller
Energie in der Feder gespeichert.
Dem Begriff der potentiellen Energie steht oft die kinetische Energie, oder auch Bewegungsenergie,
gegenüber. Um einen Körper in Bewegung zu versetzen muss eine Beschleunigungsarbeit aufgewendet
werden. Diese Arbeit wird dann in Form von kinetischer Energie gespeichert.
Zu bemerken ist, dass die kinetische Energie eines Körper Null sein kann und zwar im Falle einer
Geschwindigkeit von 0 m/ s, also Stillstand.
Bei der potentiellen Energie hingegen ist der Nullpunkt abhängig vom Bezugssystem und somit
nicht absolut festgelegt.
Bsp: Ein Gegenstand liegt auf dem Tisch. Gegenüber dem
Tisch hat der Gegenstand keine potentielle Energie.
Epot,Tisch = mgh0 = 0 J
, da h0 = 0 m ist
Gegenüber dem Boden jedoch hat der Gegenstand eine
potentielle Energie die ungleich Null ist.
Epot,Boden = mghT 6= 0 J
1
ein abgeschlossenes System tauscht mit seiner Umgebung keinerlei Energie aus
h0
m
hT
Nun betrachten wir den freien Fall aus der Sicht der Energie. Zunächst vernachlässigen wir Reibungseffekte, wie z.b. den Luftwiderstand und es gilt der Energieerhaltungssatz. Somit muss die Gesamtenergie
im System vor dem Fall, während des Fallens und unmittelbar vor dem Aufschlag auf den Boden erhalten bleiben. Dabei gilt zu jedem Zeitpunkt
Epot + Ekin = EGesamt = const.
nachher
vorher
h=hmax
v=0 m/s
vmax ,unmittelbar
vor dem Aufschlag
h=0 m
= (Epot +Ekin )
(Epot + Ekin )
|{z} vorher
|{z}
nachher
0
0
Epot,vorher = Ekin,nachher
1
mv 2
2 max
p
2ghmax
=
mghmax =
⇒ vmax
Auch hier hängt die Geschwindigkeit nicht von der Masse des Körpers ab. Das gleiche Ergebnis erhält
man auch, wenn man diese Geschwindigkeit mit den Bewegungsgleichungen berechnet.
D.h. während des Fallens nimmt die potentielle Energie ab, wohingegen die kinetische Energie im
gleichen Maße zunimmt. Dies kann man gut erkennen, wenn man die Energien gegenüber der Höhe
sowie der Zeit in einen Graphen aufträgt.
Energie gegen Höhe
E
Energie gegen Zeit
E
EGesamt
EGesamt
Epot
Ekin
Epot
Ekin
hmax
hmax
2
h=0 m
Aufschlag
0
Aufschlag
t
(Vernachlässigen Sie bei den Aufgaben die Reibungseffekte)
Aufgabe 1) Flussüberquerung
Sie befinden sich mit einem Ruderboot am Ufer (Punkt A) eines 200 m breiten Flusses, mit einer
Fließgeschwindigkeit von vF = 1 m/ s. Die maximale Geschwindigkeit, mit der Sie das Ruderboot
bewegen können, betrage v1 = 2 m/ s. Sie wollen so schnell wie möglich das gegenüberliegende Ufer
erreichen. Wie sollten Sie rudern; quer zum Fluss, gegen ihn oder mit ihm?
a) Berechnen Sie die Zeit, die für die Überquerung nötig ist, wenn
Sie exakt senkrecht zum Flussufer rudern. Hängt Ihr Ergebnis
von ~vF ab?
b) Wie weit werden Sie nach dieser Methode stromabwärts getrieben? (BC).
200 m
c) Unter welchem Winkel relativ zum Ufer müssten Sie rudern,
wenn Sie genau am gegenüberliegenden Punkt C des Ufers
ankommen wollten?
Und wie lange benötigen Sie dann für die Überfahrt?
Aufgabe 2) Auf Talfahrt
Sie fahren mit einem Auto auf ein 30%–Gefälle zu. Nachdem Sie eine Geschwindigkeit von 20 km/ h
haben und noch bevor Sie das Gefälle erreichen, legen Sie den Leerlauf ein und nehmen den Fuss vom
Gas. Das Gefälle deckt eine Höhendifferenz von h = 80 m ab.
v0=20 km/h
b) Wie schnell fährt das Auto nachdem das Gefälle
überwunden worden ist?
a
30%
h =80 m
a) Bestimmen Sie den Winkel α um den die Fahrbahn
während des Gefälles geneigt ist.
a
c) Nun bremsen Sie kontinuierlich und der g-Sensor Ihres Mobiltelefons zeigt eine Beschleunigung
von 7 m/ s2 an. Wie lang ist Ihr Bremsweg bis Sie zum absoluten Stillstand gekommen sind?