E mgh m E 5600kg 9,81 250m s E 13,7MJ

Aufgaben: Mechanische Arbeit, Energie, Leistung
Lösungen
725.
geg.:
ges.:
m = 5 600kg
Epot ,Ekin
h = 250m
km
m
v = 180
= 50
h
s
Lösung:
Die einzelnen Energien müssen berechnet werden:
Epot = m ⋅ g ⋅ h
Epot = 5600kg ⋅ 9,81
m
⋅ 250m
s2
Epot = 13,7MJ
Ekin =
m 2
⋅v
2
5600kg  m 
⋅  50 
2
s

Ekin = 7MJ
2
Ekin =
Antwort:
Die potenzielle Energie ist etwa doppelt so groß wie die kinetische Energie.
221.
geg.:
m = 950 kg
ges.:
a) s
t =4s
b) W
km
m
c) v
v 1 = 50
= 13,9
h
s
km
m
v 2 = 90
= 25
h
s
Lösung: a)
a
∆v
s = ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t mit a =
2
∆t
s = 78 m
b) Die notwendige Beschleunigungsarbeit ist die Differenz der
kinetischen Energien nach und vor dem Beschleunigungsvorgang.
W = E kin2 − E kin1
1
1
W = ⋅ m ⋅ v 22 − ⋅ m ⋅ v 12
2
2
1
W = ⋅ m ⋅ v 22 − v 12
2
W = 205 kJ
c) Zur Berechnung der Geschwindigkeit, die mit dieser Energie aus dem
Stand erreicht wird, setzt man die kinetische Energie Ekin1 = 0.
W = E kin2 − 0
(
)
1
W = ⋅ m ⋅ v 22
2
2⋅ W
m
m
v 2 = 20,8
s
Mit der Beschleunigungsarbeit, die das Auto von 50km/h auf 90 km/h
beschleunigt, kann es aus dem Stand eine Geschwindigkeit von 74,8
km/h erreichen. Der Grund dafür ist die quadratische Abhängigkeit der
kinetischen Energie von der Geschwindigkeit. Dieser Zusammenhang ist
autofahrerunfreundlich!
Antwort: Das Auto legt in dieser Zeit einen Weg von 78 m zurück. Es wird eine
Beschleunigungsarbeit von 205 kJ verrichtet. Mit dieser Arbeit kommt das
Auto aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit von 74,8 km/h.
v2 =
770.
geg.:
ges.:
m = 50kg
v,Ekin
s = 40m
α = 40°
µ = 0,1
Lösung:
a) Es wird bei der Abfahrt die potenzielle Energie, die die Skiläuferin hat, vollständig in
kinetische Energie umgewandelt. Die kinetische Energie ist von der Masse und der
Geschwindigkeit abhängig. Bei bekannter Masse und Energie lässt sich die
Geschwindigkeit berechnen.
Zuerst muss die potenzielle Energie zu Beginn des Ablaufes berechnet werden:
Epot = m ⋅ g ⋅ h
h ist die Höhe über dem Fußpunkt, die aber noch nicht gegeben ist. ^Sie kann mit Hilfe
einer Winkelbeziehung bestimmt werden:
h
s
h = sin α ⋅ s
h = sin 40°⋅ 40m
sin α =
h = 25,7m
Damit lässt sich die potenzielle Energie berechnen:
Epot = m ⋅ g ⋅ h
Epot = 50kg ⋅ 9,81
m
⋅ 25,7m
s2
Epot = 12,6kJ
Das ist auch die kinetische Energie, die bei einer reibungsfreien Bewegung am
Fußpunkt in der Skifahrerin steckt.
Die Geschwindigkeit ist dann:
Ekin =
m 2
⋅v
2
2 ⋅ Ekin
m
m
v = 22,5
s
v=
b) Bei einer Bewegung unter Berücksichtigung der Reibung wird das ganze etwas
komplizierter. Die potenzielle Energie zu Beginn wird währende der gesamten Abfahrt in
Wärmeenergie durch Reibungsarbeit und kinetische Energie umgewandelt. Es gilt jetzt
also:
Epot = Wreib + Ekin
Die Reibungsarbeit berechnet sich nach
Wreib = µ⋅ FN ⋅ s
Die Normalkraft FN ist die Kraft, mit der der Körper senkrecht auf die Oberfläche drückt
und damit vom Winkel abhängig. Es gilt:
FN = FG ⋅ cos α
Damit lässt sich die komplette Gleichung schreiben:
m ⋅ g ⋅ h = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α ⋅ s +
m 2
⋅v
2
In dieser Gleichung ist alles außer der Geschwindigkeit bekannt, aber um die geht es ja.
g ⋅ h = µ⋅ g ⋅ cos α⋅ s +
1 2
⋅v
2
1 2
⋅ v = g ⋅ h − µ⋅ g ⋅ cos α⋅ s
2
v 2 = 2 ⋅ ( g ⋅ h − µ⋅ g ⋅ cos α⋅ s )
v 2 = 2 ⋅ g ⋅ ( h − µ⋅ cos α ⋅ s )
v = 2 ⋅ g ⋅ ( h − µ⋅ cos α⋅ s )
v = 2 ⋅ 9,81
v = 21,1
m
⋅ (25,7m − 0,1⋅ cos 40°⋅ 40m)
s2
m
s
Damit ist die kinetische Energie am Fußpunkt:
m 2
⋅v
2
Ekin = 11,1kJ
Ekin =
Antwort:
Der Unterschied der Energien beträgt 1,5 kJ, die in Wärmeenergie umgewandelt wurde.
Bei einer reibungsfreien Bewegung beträgt die Geschwindigkeit am Fußpunkt 22,5 m/s
und bei Berücksichtigung der Reibung 21,1 m/s. Die Energiedifferenz ist 1,5 kJ groß.
Diese Energie wurde durch Reibung in Wärme umgewandelt.
798.
geg.:
ges.:
V = 700 ℓ
P
t = 1h
h = 33m
Lösung:
Die Leistung ist die verrichtete Arbeit je Zeit, also
P=
W
t
Die Arbeit ist die Hubarbeit:
W = m ⋅ g⋅h
Die 700 Liter Wasser haben eine Masse von 700 kg. Die Zeit muss in Sekunden
eingesetzt werden.
Damit lässt sich die Leistung berechnen:
P=
m ⋅ g⋅h
t
m
⋅ 33m
s2
3 600 s
700kg ⋅ 9,81
P=
P = 63 W
Antwort:
Die Pumpe sollte mindestens 63 W haben. Bei einem Wirkungsgrad von 50% sollte es
aber wenigstens eine 150 W-Pumpe sein.