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Grundlagen der Elektrotechnik! Kurze Zusammenfassung der Theoriefragen! ! ! Elektrodynamisches Messwerk! ! ! ! Beschreibung:! Dient zur Messung der Effektivwerte von Strom und Spannung sowie zur Leistungsmessung.! Innerhalb einer großen ortsfesten Spule 1 kann sich eine kleinere Spule 2 drehend bewegen. Durch Spule 1 fließt ein Storm I₁ und erzeugt ein diesem Strom proportionales ⃗ ₁.! Magnetfeld B Die Kraftwirkung aufgrund des Stromes I₂ in ⃗ ₁ bestimmt den diesem Magnetfeld B Drehwinkel des Zeigers und damit Ausschlag auf einer Skala.! Formeln:! ⍺ ~ I₁ * I₂! Das motorische Prinzip kommt zum Tragen: ! ⃗ = I * (𝑙 ⃗ x B ⃗ )! F ! ! Dreheisenmesswerk! ! ! ! Beschreibung:! Wechselgrößen können gemessen werden, da das Magnetfeld und der Messstrom in gleichbleibender Weise ihre Richtung ändern.! -> abstoßende Wirkung immer gleich gerichtet! Die Zylinderspule wird vom Messstrom durchflossen. Durch das entstehende Magnetfeld im Inneren der Spule werden die Eisenteile gleichsinnig magnetisiert.! -> es kommt zu einer Abstoßung der Eisenteile! Das Eisenblech ist drehbar gelagert und mit dem Zeiger verbunden.! ⃗ und vom Der Drehwinkel ist vom Magnetfeld B ⃗ jedoch auch dem Strom Strom abhängig. Da B I proportional ist, ist der Drehwinkel zu diesem quadratisch proportional.! Formeln: ⍺ ~ I²! ! ! Page 1 of 8 ! ! Drehspulmesswerk! ! ! Beschreibung:! Ist nur geeignet zur Messung von Gleichgrößen.! Die drehbar gelagerte Spule wird vom Messstrom durchflossen. Der Permanentmagnet treibt einen Fluss Φ durch den Eisenring. Dieser Fluss durchsetzt auch die stromdurchflossene Spule.! Formeln:! ⃗ = I * (𝑙 ⃗ x B ⃗ )! Kraftwirkung: F Durch diese Kraftwirkung kommt es zur einer Abstoßung der Magnete und somit zu einem Zeigerausschlag.! ⍺ ~ I! ! ! ! Motorisches Prinzip! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Beschreibung:! Durch magnetisch sehr gut leitende Stoffe (Eisen) lässt sich an bestimmten Stellen im Magnetkreis (Luftspalt) ein sehr hohes Magnetfeld erreichen.! Die Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld = motorisches Prinzip.! Legt man einen stromdurchflossenen Leiter in ein Magnetfeld, das normal auf ihn steht, so ⃗ aus dem wird der Leiter mit der Kraft F Magnetfeld bewegt.! Anwendung im Elektromotor.! Formeln:! ⃗ = I * (𝑙 ⃗ x B ⃗ )! F ⃗ = Q * (𝓋⃗ x B ⃗ )! F Page 2 of 8 Magnetische Erregung! ! ! Beschreibung:! ⃗ wurde eingeführt, um die Die magnetische Erregung H Materialeigenschaften des Raumes, welche ungleich von ⃗, Vakuum bzw. Luft sind, zu berücksichtigen (Analogie zu E daher häufig magnetische Feldstärke).! Formeln:! ⃗ = µ₀ * H ⃗ [Vs/m²] = Tesla! B µ₀ = 4π * 10^(-7) Vs/Am im Vakuum! µ = µ * µ₀ im Material! ! ! ! ! ! Man benötigt die magnetische Erregung für den Fadenstrom:! ⃗ | = I/2πr [A/m]! |H ⃗ = I/2πr * 𝑒⃗ᵩ! H ⃗ = k * I/r * 𝑒⃗ᵩ = µ₀! B Wie beim elektrischen Feld kann auch hier die Spannung (magnetische Spannung) U_mag aus ⃗ entlang des Weges 𝑙 berechnet werden.! dem Integral der magnetischen Erregung H ⃗ ds ⃗ [A]! U_mag = ∫₁² H ! ! ! Induktionsgesetz, Spannungsinduzierung, Anwendungen! ! a) Bewegungsinduktion (Anwendung: Motor, Generator)! ! Beschreibung:! Wird eine Leiterschleife in ein Magnetfeld bewegt (normal zum Magnetfeld), so erfolgt eine Ladungstrennung. Dadurch entsteht eine Spannung U_ind in den Klemmen der Leiterschleife.! Schließt man den Stromkreis, fließt ein Strom I, welcher einen Fluss Φ erzeugt.! Lenz’sche Regel: Wirkung und Ursache sind entgegengesetzt gerichtet.! Formeln:! ⃗ * 𝑙 ⃗ * 𝓋⃗ ! U_ind = B ⃗ und 𝓋⃗ in einem Winkel ⍺ zueinander, muss die rechte Seite der Gleichung Stehen die Vektoren B mit sin(⍺) multipliziert werden.! ! ! Page 3 of 8 b) Ruheinduktion (Anwendung: Trafo oder Übertrager)! ! Zwei Spulen sind über einen gut leitenden Eisenweg gekoppelt. Legt man an Spule 1 eine zeitlich veränderliche Spannung an, wird ein Strom i(t) fließen. Dieser wird einen magnetischen Wechselfluss Φ(t) durch den Eisenweg treiben. Dieser Wechselfluss durchsetzt auch die zweite Spule -> dadurch kommt es zur Induktion. Somit kann an den Klemmen der Spule 2 eine Spannung U_ind entsprechend ihrer Windungszahl N abgegriffen werden.! Formeln:! u₂(t) = N * 𝜔 * Φ̂sin(𝜔t) = Û₂sin(𝜔t)! U₂ = Û₂/√2 = (N * 𝜔/Φ) / √2 = √2 * π * f * N * 1/Φ! ! ! ! Lorentz-Gleichung! ! ! Formeln:! ⃗=Q*E ⃗ + Q * (𝓋⃗ x B ⃗ )! F ⃗ … Coulomb-Kraft! Q*E ⃗ ) … Lorentz-Kraft! Q * (𝓋⃗ x B ⃗ = Q₀ * (𝓋⃗ x B ⃗ )! F Probeteilchen Q₀ wird in ein homogenes Feld ⃗ mit einer Geschwindigkeit 𝓋⃗ eingebracht.! B -> Probeladung erfährt eine Ablenkung von der ursprünglich geraden Bahn in eine Kreisbahn! ⃗₁₂ = 1/4π𝜀 * (Q₁ * Q₂)/r₁₂² * 𝑒⃗₁₂! F ⃗=Q*E ⃗! allgemein: F Bei Vorhandensein einer elektrischen ⃗ und eines Magnetfeldes B ⃗ Feldstärke E überlagern sich die Kraftwirkungen aus den unterschiedlichen Feldern.! ! Anwendungen:! Elektromotoren, Generatoren (z.B. Fahrraddynamo), elektrodynamische Wandler (z.B. Lautsprecher, Drehspulmesswerke)! ! ! Page 4 of 8 Integralbeziehungen Θ, U, I, U_mag, R_mag, L, C! ! a) magnetische Durchflutung (= U_mag/magnetische Spannung)! ⃗ d𝑙 ⃗ [A]! Θ = ∑I = I * N = ∮ H b) elektrische Spannung! ⃗ ds ⃗! U = R * I = ∫s E c) elektrischer Strom! I = U/R = U*G! ⃗ = 𝛾 * |E ⃗| * A => |E ⃗| = I/𝛾A! I = ∫A ⃗ J dA d) magnetischer Fluss (Auskunft über die magnetische Strömung im Feld)! ⃗ dA ⃗ [Vs … Wb]! Φ = ∫A B e) magnetische Spannung! ⃗ ds ⃗ = ∑ I (eingeschlossen)! Durchflutungssatz: U_mag = ∮S H Wenn über einen geschlossenen Weg ohne stromführenden Leiter integriert wird, ergibt sich immer 0.! f) magnetischer Widerstand! Θ = 𝑙/(µA) * Φ … magnetisches Ohm’sches Gesetz! R_mag = 𝑙/(µA)! g) Induktivität L! u = L * di / dt! h) Kapazität C! u = 1 / C * di / dt! ! ! ! Induktivität! ! Beschreibung:! Induktivität beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Strom I und dem resultierenden Fluss Φ. Hier betrachten wir zunächst zwei Spulen S₁ und S₂.! Der Strom I₁ in S₁ bewirkt einen Fluss Φ₁. Ein Teil davon durchdringt auch die Spule S₂. Diesen Teil bezeichnen wir als Φ₁₂.! Der Strom I₁ ist proportional dem Fluss Φ₁₂. Der Proportionalitätsfaktor zwischen dem Strom I₁ und dem durch den Strom verursachten Fluss Φ₁₂ in S₂ wird als Gegeninduktivität bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen I₁ und Φ₁₂ ist linear.! Φ₁₂ = M₁₂ * I₁, M … Gegeninduktivität! Dasselbe gilt, wenn ein Strom I₂ durch S₂ fließt und einen Fluss Φ₂₁ durch S₁ erzeugt! (Φ₂₁ = M₂₁ * I₂).! M₁₂ und M₂₁ sind dabei gleich groß (M₁₂ = M₂₁).! ! Betrachtet man hingegen nur eine Spule, wird der Zusammenhang zwischen Φ und I als Selbstinduktivität L bezeichnet. Es gilt: Φ = L * I.! ⃗ dA ⃗ ~ I! Φ = ∫A B ! ! Page 5 of 8 Inhomogenes Magnetfeld! Beschreibung:! Unter einem inhomogenen Magnetfeld versteht man einen Kreis mit unterschiedlichen Querschnitten sehr unterschiedlicher Sättigung der Eisen.! Homogenes Feld: magnetische Feldstärke H ist überall im Feld gleich (ortsUNabhängig)! Inhomogenes Feld: magnetische Feldstärke H ist nicht überall konstant (ortsABhängig)! Hier gilt der Durchflutungssatz:! ∑ H * 𝑙 = I * N = Θ = Φ * ∑ R_mag! U_mag = H₁ * 𝑙₁ + H₂ * 𝑙₂ + H₃ * 𝑙₃ + H₄ * 𝑙₄ + HL * 𝑙L! ! ! Permanentmagnetkreis! ! Beschreibung:! Eine wesentliche Eigenschaft des Permanentmagnetes ist, dass die magnetische ⃗ PM und das magnetische Feld B ⃗ PM Erregung H in unterschiedliche Richtungen zeigen.! Der Luftspalt stellt im Vergleich zum Eisen einen sehr großen magnetischen Widerstand dar.! Deshalb wird das weichmagnetische Eisen oft vernachlässigt.! Formeln:! ⃗ dA ⃗! Φ = ∫A B Θ = ∑i Hi * 𝑙i = 0! HPM * 𝑙PM + HFe * 𝑙Fe + HL * 𝑙L = 0! HPM = -(1/𝑙PM) * (HFe * 𝑙Fe + HL * 𝑙L)! ! Page 6 of 8 Beziehungen des elektrischen Strömungsfeldes! ! Formeln:! ⃗ ds ⃗| * 𝑙 => |E ⃗| = U/𝑙! ⃗ = |E U = ∫s E ⃗ = |J ⃗| * A = 𝛾 * |E ⃗| * A = 𝛾 * U/𝑙 * A =! I = ∫A ⃗ J dA 𝛾 * A/𝑙 * U! ⃗ ⃗! J=𝛾*E I = G * U, G = 𝛾A/𝑙, R = 1/G = 𝑙/𝛾A! U = I/G = I/(1/R) = R * I Ohm’sches Gesetz! Einheiten:! I [A] … elektrischer Strom! ⃗ J [A/m²] … elektrische Stromdichte! U [V] … elektrische Spannung! ⃗ [V/m] … elektrische Feldstärke! E R [V/A = Ω] … elektrischer Widerstand! 𝛾 [A/Vm] … elektrische Leitfähigkeit! G [A/V = 1/Ω = S] … elektrischer Leitwert! ! ! ! ! ! ! Influenz (ungeladener el. Leiter in einem el. Feld; Gauß - Elektrostatik)! ! ⃗ ein neutraler Wird in ein el. Feld E (ungeladener) Leiter eingebracht, so wirkt eine ⃗ = QE ⃗ auf die Elektronen im Leiter. Kraft F Durch die hohe Beweglichkeit dieser, bewegen ⃗=0 sie sich so lange, bis die Bedingung E erfüllt ist. Diese Bedingung wird erfüllt, wenn alle Ladungen verteilt sind. Dieser Vorgang wird als Influenz bezeichnet. Es herrscht Feldfreiheit im Inneren des Körpers! Dies gilt ebenso für Hohlkörper Faraday’scher Käfig! ⃗ treffen immer im rechten Die Feldlinien von E Winkel auf die Oberfläche des Leiters auf. So eine Oberfläche wird auch Äquipotentialfläche ⃗ ds ⃗ = U21 = 0 (keine genannt, da ∫P₁P² E Spannung auf der Oberfläche zwischen zwei Punkten!).! ! Gauß’sches Gesetz der Elektrostatik:! ⃗ d𝛤⃗ = Q! ∮𝛤 D Über eine beliebige Fläche 𝛤 integriert:! ⃗ d𝛤⃗ = Ψel ∫𝛤 D Page 7 of 8 Polarisation (Isolator in einem el. Feld; Gauß - Elektrostatik)! ! Isolatoren können von el. Feldern durchsetzt werden. Ein Maß für die Verschiebbarkeit der Elektronen in einem Isolator wird durch die Dielektrizitätszahl ε festgelegt. Ein geringer Anteil der Ladungsträger bewegt sich an die Ränder des Körpers. Dieser Effekt wird! in einem Isolator als Polarisation bezeichnet. Bei der Polarisation herrscht ein Potentialunterschied zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche.! ⃗ in einem Isolator gegenüber luftleerem Raum:! Abschwächung eines el. Feldes E ⃗ ⃗ -12! D = εr ε0 E … ε0 = 8,854 * 10 ! Gauß’sches Gesetz der Elektrostatik:! ⃗ d𝛤⃗ = Q! ∮𝛤 D Über eine beliebige Fläche 𝛤 integriert:! ⃗ d𝛤⃗ = Ψel! ∫𝛤 D ! ! FORMELZEICHEN UND EINHEITEN! ! Bezeichnung Formelzeichen Einheit [V, A, s, m] elektrostatisches Potential ɸ [V] Dielektrizitätszahl ε [As/Vm = F/m] el. Verschiebung ⃗ D [As/m²] el. Strom I [A] el. Spannung U [V] el. Feldstärke ⃗ E [V/m] el. Ladung Q [As] el. Stromdichte ⃗ J [A/m²] el. Widerstand R [V/A = Ω] el. Leitfähigkeit 𝛾 [A/Vm] el. Leitwert G [A/V = 1/Ω = S] el. Energie W [VAs = Ws = Nm = J] Kapazität C [As/V = Farad] Induktivität L [Vs/A = Henry] Kreisfrequenz ⍵ [1/s = Hz] magn. Fluss ɸ [Vs = Wb] magn. Flussdichte ⃗ B [Vs/m² = T] magn. Durchflutung/Spannung Θ (U_mag) [A] magn. Feldstärke ⃗ H [A/m] magn. Energie W [VAs = Ws = Nm = J] Page 8 of 8
