¨Ubungen zur Mathematik II für Studierende Informatik und

Übungen zur Mathematik II für Studierende Informatik und Wirtschaftsinformatik (Analysis
und Lineare Algebra) im Sommersemester 2017
Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke, Mathias Schacht
A: Präsenzaufgaben am 6. April 2017
1. Sei K = Z5 (= Z/5Z). In K 3 betrachten wir die Vektoren v = (1, 2, 3) und w = (3, 3, 3).
Bestimmen Sie v + w, 2v und hv, wi.
Lösung. Es ist v + w = (4, 0, 1), 2v = (2, 4, 1) und hv, wi = 3 + 1 + 4 = 3.
2. Bestimmen Sie den Betrag des Vektors v = (3, 4, 12) ∈ R3 .
Lösung. Es gilt
|v| =
p
p
√
hv, vi = 32 + 42 + 122 = 169 = 13.
3. Seien K ein Körper, v, w ∈ K n und α, β ∈ K. Zeigen sie:
a) α(v + w) = αv + αw
b) (α + β)v = αv + βv
Lösung. Nachrechnen.
4. Berechnen Sie das Produkt AB der Matrizen



1 −2 1
1
3 −2 −4
 und B =  0
A=
2 6 −4
−1
1 3 −2

2
−1 .
2
Lösung. Es gilt
AB =
1·1+(−2)·0+1·(−1)
1·2+(−2)·(−1)+1·2
3·1+(−2)·0+(−4)·(−1) 3·2+(−2)·(−1)+(−4)·2
2·1+6·0+(−4)·(−1)
2·2+6·(−1)+(−4)·2
1·1+3·0+(−2)·(−1)
1·2+3·(−1)+(−2)·2
!
0
=
6
7 0
6 −10
3 −5
.
5. Seien K ein Körper, k, `, m, n ∈ N und A, B und C Matrizen der Formate (k × `), (` × m) und
(m × n) über dem Körper K.
Zeigen Sie, dass die Produkte (A · B) · C und A · (B · C) definiert sind und dasselbe Format haben.
Lösung. Ein Produkt zweier Matrizen über dem gleichen Körper ist definiert, wenn die erste Matrix
genauso viele Spalten wie die zweite Zeilen hat. Die Matrix A hat ` Spalten und die Matrix B hat
` Zeilen. Damit ist das Produkt AB definiert. AB hat soviele Zeilen wie A und soviele Spalten wie
B. Also hat AB das Format k × m.
Vollkommen analog sieht man, dass BC definiert ist und das Format ` × n hat. Damit sind auch
A(BC) und (AB)C definiert und haben das Format k × n.
6. Satz 1.14 im Skript besagt, dass der Matrizenring K n×n über dem Körper K tatsächlich ein Ring
ist. Was ist hier eigentlich zu zeigen?
Lösung. Dass die Matrizen mit der Addition eine abelsche Gruppe bilden, sollte klar sein. Das
ist ja vollkommen analog zu K n . Assoziativität der Matrizenmultiplikation ist nachzurechnen, das
passiert in den Hausaufgaben. Schließlich sind noch zwei Distributivgesetze zu zeigen.
B: Übungsaufgaben zum 13. April 2017
1. Es sei K ein Körper. Zeigen Sie die Linearität des Skalarprodukts auf K n . D.h., zeigen Sie, dass
für alle α ∈ K und alle v, v 0 , w ∈ K n gilt:
hαv, wi = αhv, wi
hv + v 0 , wi = hv, wi + hv 0 , wi
und
Lösung. Seien α ∈ K und v, v 0 , w ∈ K n . Wir schreiben v = (x1 , . . . , xn ), v 0 = (x01 , . . . , x0n ) und
w = (y1 , . . . , yn0 ). Dann gilt
hαv, wi = h(αx1 , . . . , αxn ), (y1 , . . . , yn )i = αx1 y1 + · · · + αxn yn = α(x1 y1 + · · · + xn yn ) = αhv, wi
sowie
hv + v 0 , wi = h(x1 + x01 , . . . , xn + x0n ), (y1 , . . . , yn )i = (x1 + x01 ) · y1 + · · · + (xn + x0n ) · yn
= x1 y1 + · · · + xn yn + x01 y1 + · · · + x0n yn = hv, wi + hv 0 , wi.
2. Sei n ∈ N und v ∈ Rn . Zeigen Sie, dass |v| = 0 genau dann gilt, wenn v = (0, . . . , 0) gilt.
√
n
2
2
Lösung.
p Es gilt |(0, . . . , 0)| = 0 + · · · + 0 = 0. Sei nun v = (x1 , . . . , xn ) ∈ R mit |v| = 0. Dann
2
2
2
2
gilt x1 + · · · + xn = 0 und damit auch x1 + · · · + xn = 0. Da für alle a ∈ R die Ungleichung a2 ≥ 0
gilt, folgt daraus x2i = 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}. Damit ist xi = 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}. Also gilt
v = (0, . . . , 0).
3. Geben Sie ein Beispiel an, dass zeigt, dass Matrizenmultiplikation auch dann nicht kommutativ ist,
wenn man nur Matrizen über dem Körper Z2 betrachtet. Um Pathologien zu vermeiden, sollte das
Beispiel aus zwei Matritzen bestehen, die quadratisch sind dasselbe Format haben. Gesucht sind
also eine natürliche Zahl n und zwei n × n-Matritzen A und B über Z2 mit AB 6= BA.
0 1
0 1
Lösung. Es sei A =
und B =
. Dann ist
1 0
0 0
AB =
0
1
0
0
und
BA =
1
0
0
.
0
4. Zeigen Sie, dass die Multiplikation von Matrizen das Assoziativgesetz erfüllt. Genauer: Seien K ein
Körper, k, `, m, n ∈ N und A, B und C Matrizen der Formate (k × `), (` × m) und (m × n) über
dem Körper K. Beweisen sie die Gleichung
(A · B) · C = A · (B · C).
Lösung. Wir schreiben A = (apq ), B = (bqr ) und C = (crs ). Dabei läuft p von 1 bis k, q von 1 bis
`, r von 1 bis m und s von 1 bis n. Es gilt
(AB)C =
`
X
!
apq bqr
·C =
q=1
m
`
X
X
r=1
=
` X
m
X
q=1 r=1
!
apq bqr
!
crs
=
q=1
!
apq bqr crs
r=1 q=1
!
apq bqr crs
m X
`
X
=
`
X
q=1
apq
m
X
r=1
!
bqr crs
=A·
m
X
r=1
!
bqr crs
= A(BC)
5. Ist die folgende Matrix A über Z5 invertierbar? Geben sie entweder die inverse Matrix an oder
begründen Sie, warum es keine inverse Matrix gibt.


0 1 3
A = 0 2 0
0 0 0
Lösung. Wäre die Matrix A invertierbar, so gäbe es eine (3 × 3)-Matrix B mit AB = E3 . Aber die
letzte Zeile eines Produkt AB ist immer die Nullzeile. Also gibt es keine Matrix B mit AB = E3 .