1. ¨Ubungsblatt zur Analysis I http://www-ifm.math.uni

Hannover, den 21. Oktober 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
1. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 28./29. Oktober 2002 vor den Stundenübungen
Mit (*) oder Knacki gekennzeichnete Aufgaben sind Zusatzaufgaben, die Extrapunkte ergeben.
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Man zeige: Für jedes a ∈ R mit a 6= 0 gilt: (−a)−1 = −a−1 .
Aufgabe 2
(5 und 10 Punkte)
√
a) Man zeige, dass 7 nicht rational ist.
√
√
√
b) Sei Q( 7) := {a + b 7 : a, b ∈ Q }. Man zeige, dass Q( 7) mit den in R definierten
Verknüpfungen +“ und ·“ ein Körper ist.
”
”
Aufgabe 3
(je 5 Punkte)
a) Man zeige: Für alle x ∈ R, x > 0, gilt:
x+
b) Man zeige: Für alle x, y ∈ R, 0 < x < y, gilt:
1
≥ 2.
x
( y − x )2 < y 2 − x2 .
Für welche x, y ∈ R gilt hier das Gleichheitszeichen?
Aufgabe 4
(5 Punkte)
(*)
Sei F2 der in der Vorlesung definierte Körper mit genau zwei Elementen. Man zeige, dass F2
kein geordneter Körper sein kann.
Tutorenprogramm:
1. Man zeige: Für alle a, b, c, d ∈ R, c, d 6= 0, gilt:
ad + bc
a b
+ =
.
c d
cd
x2 + y
2. Man bestimme alle (x, y) ∈ R mit
< 1.
x − y2
2
http://www-ifm.math.uni-hannover.de/˜koeditz/Analysis1/Ana1 02.htm
Hannover, den 28. Oktober 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
2. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 4./5. November 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 5
(10 Punkte)
|x|
|y|
|x + y|
≤
+
.
1 + |x + y|
1 + |x| 1 + |y|
y
< 1+y für −1 < x < y.
Man zeige : Für alle x, y ∈ R gilt :
Hinweis: Man zeige zunächst
x
1+x
Aufgabe 6
(je 5 Punkte)
Man zeige : Für alle n ∈ N, n ≥ 1, gilt:
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
a)
k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 =
.
6
k=1
b)
n
X
3
3
3
3
2
k = 1 + 2 + · · · + n = (1 + · · · + n) =
k=1
!2
k
.
k=1
Aufgabe 7
(2 und 8 Punkte)
Man zeige: Für alle n ∈ N>0 gilt:
n X
n
a)
= 2n
und
k
k=0
n
X
n
b)
k
= n 2n−1
und
k
n
X
n
= 0.
k
k=0
n
X
1
(−1)k n
=
.
k+1 k
n+1
k=0
Aufgabe 8
n
X
(je 5 Punkte)
(−1)k
k=0
Knacki
a) Es seien x1 , x2 , · · · , xn positive reelle Zahlen mit
n
Y
xk := x1 · x2 · · · xn = 1. Man zeige:
k=1
n
X
xk ≥ n .
k=1
b) Es seien y1 , y2 , · · · , yn beliebige positive reelle Zahlen. Man beweise die Ungleichung vom arithmetischen
und geometrischen Mittel (AGM-Ungleichung):
√
n
y 1 · · · yn ≤
y1 + · · · + yn
.
n
Tutorenprogramm:
1. Gegeben seien a, b ∈ R mit a < b. Man bestimme alle x ∈ R mit
|x − a| + |x − b| = b − a .
2. Seien x, y ∈ R gegeben. Man beweise die arithmetische Summenformel:
an :=
n
X
k=0
(x + ky) =
n+1
(2x + ny)
2
für alle
(n ∈ N) .
Hannover, den 4. November 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
3. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 11./12. November 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 9
(7 Punkte)
Man zeige: Zu je zwei Zahlen x, y ∈ R mit x < y gibt es eine rationale Zahl ξ und eine irrationale
Zahl η mit x < ξ < y und x < η < y.
Aufgabe 10
(5 und 8 Punkte)
a) Seien m, n ∈ N mit 0 < m ≤ n. Man zeige:
n
X
k=m
1
1
1
=
−
.
k(k + 1)
m
n+1
b) Man bestimme - falls vorhanden - max, min, inf und sup der Menge
( n
)
X
1
M :=
: n, m ∈ N, 0 < m ≤ n .
k(k + 1)
k=m
Aufgabe 11
(10 Punkte)
√
x+y
Sei M :=
: x, y ≥ 1 ⊂ R. Man bestimme - falls vorhanden - max M, min M, inf M und
xy
sup M .
Aufgabe 12
(10 Punkte)
Knacki
Es seien a, b ∈ R mit 0 < a < b gegeben. Zwei Funktionen f, g : N → R seien gegeben durch:
f (0) := a, g(0) := b und f (n + 1) := 2
f (n)g(n)
1
, g(n + 1) := (f (n) + g(n)) für n ∈ N .
f (n) + g(n)
2
Man zeige, dass die Menge A := {f (n) : n√∈ N} nach oben, die Menge B := {g(n) : n ∈ N} nach
unten beschränkt ist und sup A = inf B = ab gilt.
Hinweis: Man beachte die Ungleichungen zwischen dem harmonischen,
dem geometrischen und dem
√
a+b
ab
2
arithmetischen Mittel (Gruppenübungen): 1 +
=
2
≤
ab
≤
,
(a, b > 0).
1
a+b
2
a
b
Tutorenprogramm:
|1 − xy|
Sei M :=
:
x,
y
∈
R
,
x
=
6
y
.
(1 + x2 )(1 + y 2 )
a) Man zeige, dass sup M = 1 gilt und M kein Maximum besitzt.
b) Man zeige, dass inf M = min M = 0 gilt.
Hannover, den 11. November 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
4. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 18./19. November 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 13
(je 5 Punkte)
Durch Anwendung der Rechenregeln für Folgen zeige man die Konvergenz der Folgen (an ), (bn )
und ermittle die Grenzwerte a, b. Sodann ermittle man zu gegebenem ε > 0 ein n0 ∈ N so, dass
|an − a| < ε für alle n ≥ n0 gilt.
a) an :=
2n2 + 1
(n + 1)(n + 2)
Aufgabe 14
b) bn :=
p
n2 + n − n.
(2, 4, 4 und 4 Punkte)
Man untersuche die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und ermittle ggf die Grenzwerte.
√
1
2
n
a) an := 2 + 2 + · · · + 2 , (n ≥ 1) ;
b) bn := n n , (n ≥ 1) ;
n
n
n
1
1 n
c) c0 := 1, c1 := 2, cn+2 := (cn + cn+1 ), (n ∈ N) ;
d) dn := 1 + 2 .
2
n
Aufgabe 15
(je 3 Punkte)
an+1
a) Es sei (an ) eine Folge positiver Zahlen, q ∈ R, und es gelte
≤ q < 1. Man zeige: lim an = 0.
n→∞
an
n
b) Zu gegebenem k ∈ N sei an := kn für n ≥ k. Man zeige, dass die Folge (an )n≥k eine Nullfolge
2
ist.
Aufgabe 16
(10 Punkte)
Knacki
an+1
Sei (an ) eine Folge positiver Zahlen. Die Folge
besitze einen positiven Grenzwert q > 0.
an
√
Man zeige, dass dann auch die Folge ( n an ) gegen q konvergiert.
Tutorenprogramm:
1. Man untersuche die Folge (an ) mit an :=
17n3 +1
2n3 +πn2 +3
auf Konvergenz.
2. Man ermittle eine konvergente Folge (an ) positiver Zahlen mit
lim an 6= 0. (Man vergleiche A15a.)
n→∞
3. Sei a > 0 fest gegeben. Man zeige: lim
n→∞
√
n
a = 1.
an+1
< 1 für alle n ∈ N und
an
Hannover, den 18. November 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
5. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 25./26. November 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 17
(5 Punkte)
Man zeige : Ist (an ) eine Folge reeller Zahlen mit |an+1 − an | <
Cauchy-Folge.
1 n
2
für fast alle n, so ist (an ) eine
Aufgabe 18
(3,3,3 und 6 Punkte)
∞
X
Man überprüfe die folgenden Reihen
an auf Konvergenz:
n=1
n+1
a) an :=
n!
b) an := 2−n + 3−n
1
d) an := 2
n
c) an := n!3−n
Für x ∈ R ist der Binomialkoeffizient wie folgt definiert:
x
x(x − 1)(x − 2) · · · (x − n + 1)
:=
, (n ∈ N) .
n
n!
In den Fällen a) und b) bestimme man den Grenzwert.
Aufgabe 19
(6 und 4 Punkte)
Sei (an ) eine monotone Nullfolge. Man zeige:
a) Verdichtungssatz von Cauchy
∞
X
an konvergiert ⇐⇒
n=1
∞
X
3n a3n konvergiert.
n=1
Auf die Voraussetzung der Monotonie der Folge (an ) kann nicht verzichtet werden (Beispiel!).
∞
X
b) Die Reihe
n−α , α ∈ Q, konvergiert genau dann, wenn α > 1 .
n=1
Aufgabe 20
(10 Punkte)
Knacki
∞
X
√
n
Sei a > 0. Man untersuche die Reihe
a − 1 auf Konvergenz.
Hinweis: Man kann
Pn−1
k
k=0 x =
1−xn
1−x
n=1
benutzen.
Tutorenprogramm:
1. Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
∞
X
∞ X
a
k−1 k
a)
, (a 6= −1) ; c)
; b)
;
k
(a + 1)k
k=1
k=1
k=0
!
!
∞
∞
X
X
1
1
2. Man berechne das Cauchy-Produkt
·
.
2k
3k
k
(k + 1)!
∞
X
k=0
k=0
d)
∞
X
n=1
7n + 17
.
3n3 + n2 − 3
Hannover, den 25. November 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
6. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 2./3. Dezember 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 21
(je 5 Punkte)
an
> 0. Man zeige:
n→∞ bn
a) Es seien (an ), (bn ) Folgen positiver reeller Zahlen und es gelte g := lim
∞
X
an konvergiert ⇐⇒
n=0
∞
X
bn konvergiert .
n=0
Welche Aussage gilt im Falle g = 0?
∞
X
b) Man untersuche auf Konvergenz:
√
√
∞
2
2
X
( n − 2)
( n − 2)
√
√
und
.
n2 + n4 + 1
n3 + n4 + 1
n=1
n=1
Aufgabe 22
(je 3 Punkte)
Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
a)
∞ √
X
k
k−1
k
;
b)
k=2
∞ √
X
k
k−1
;
k=2
∞
X
(k!)2 · 2k
c)
;
(2k)!
∞
X
(2k)!
.
d)
(2k)k
k=1
k=1
Aufgabe 23
(8 Punkte)
n+1
Für alle n ∈ N sei sn := √
. Man zeige: lim sn = e.
n
n→∞
n!
(n+1)n
Hinweis: Man betrachte an := n! und beachte HA 16.
Aufgabe 24
(10 Punkte)
Knacki
X
n x+y
x
y
Für alle x, y ∈ R, n ∈ N gilt
=
. (Nicht beweisen! - vergl. A 18)
n
k
n−k
k=0
∞ ∞ X
X
α+1 k
−α k
Man zeige, dass für alle α, x ∈ R, |x| < 1 die Reihen
x und
x absolut
k
k
k=0
k=0
konvergieren und berechne ihr Cauchy-Produkt.
Tutorenprogramm:
1. Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
a)
∞
X
k=1
k!
;
1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)
2. Man zeige: Ist
P
b)
k
∞ 2
X
k +1
k=1
k2 + 2
2
;
ak absolut konvergent, so ist auch
c)
∞
X
k=1
P
k!
x k
k
.
a2k (absolut) konvergent.
Gilt dies auch, wenn absolut“ gestrichen wird?
”
2
3. Man skizziere die Funktionsgraphen von f1 (x) := ex , f2 (x) := e−x und f3 (x) := e−1/x .
Hannover, den 2. Dezember 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
7. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 9./10. Dezember 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 25
(4 und 5 Punkte)
Man zeige:
y−x
exp(x) .
1+x−y
a) ∀ x, y ∈ R, y − x < 1 : (y − x) exp(x) ≤ exp(y) − exp(x) ≤
b) ∀ a ∈ R ∃ L > 0 : x, y ≤ a ⇒ | exp(x) − exp(y)| ≤ L |x − y| .
Aufgabe 26
(4,4 und 6 Punkte)
Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a)
∞
X
k=2
1
, (n ∈ N);
k (ln k)n
Aufgabe 27
b)
∞
X
αln k , (α > 0);
k=1
c)
∞
X
√
α
k
, (α > 0).
k=1
(1,3 und 3 Punkte)
Man ermittle Real-, Imaginärteil und Betrag folgender komplexer Zahlen:
3 + 4i
a)
;
4 − 3i
b)
Aufgabe 28
n
X
ik , (n ∈ N) ;
c) z 2 = 3 + 4 i (alle Lösungen).
k=0
(8 Punkte)
Knacki
Man zeige: Für jedes a > 0 gilt: lim n
Hinweis: Man betrachte
ax −1
x .
n→∞
√
n
a − 1 = ln a.
Tutorenprogramm:
1. Man zeige: Für jedes x0 ∈ R gilt: exp(x) ≥ exp(x0 ) + exp(x0 )(x − x0 ) und interpretiere dies
an den Graphen.
2. Man skizziere den Graphen der rationalen Funktion: f (x) :=
(x − 2)2 (x + 2)
.
x2 (x + 1)
3. C14 Methode zur Altersbestimmung. Das Kohlenstoffisotop C14 besitzt eine Halbwertszeit
von th = 5730 Jahren. Der (prozentuale) Anteil in lebenden Organismen ist der gleiche wie
in der Luft. In historische Zeiträumen“ war dieser konstant (gesichert). Der Anteil genügt
”
dem exponentiellen Gesetz C(t) = C(0) exp(−f t). Man bestimme die Konstante f .
Das Alter eines Grabtuches soll näherungsweise bestimmt werden. Der C14 Anteil beträgt
78.5% des Gehaltes in neuem Tuch. Man bestimme das Alter t1 des Tuches.
4. Man ermittle Real-, Imaginärteil und Betrag folgender komplexer Zahlen:
5 − 2i
a)
;
3+i
b)
1+i
1−i
n
, (n ∈ N);
c) z 2 = 1 + i (alle Lösungen).
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
Hannover, den 9. Dezember 2002
8. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 16./17. Dezember 2002 vor den Stundenübungen
Aufgabe 29
(je 5 Punkte)
a) Man zeige, dass der Sinus hyperbolicus sinh : R → R, sinh x := 12 (ex − e−x ) streng monoton
wachsend ist,also eine Umkehrfunktion
Areasinus hyperbolicus arsinh: R → R besitzt und
√
arsinh x = ln x + 1 + x2 gilt.
b) Man zeige: Für alle x, y ∈ R gilt:
p
√
arsinh x + arsinh y = arsinh x 1 + y 2 + y 1 + x2 .
Aufgabe 30
(je 5 Punkte)
a) Man zeige: Zu a, b ∈ R gibt es c, d ∈ R mit a sin x + b cos x = c sin(x + d) für alle x ∈ R. Zu
a = 3, b = −4 ermittle man passende c, d.
n
x Y
x
b) Man zeige: Für alle x ∈ R und alle n ∈ N∗+ gilt: sin x = 2n sin n
cos k .
2
2
k=1
Aufgabe 31
(je 5 Punkte)
k
Für x ∈ R, n ∈ N∗+ sei ζn,k := ei n x , k = 0, · · · n. Durch geradlinige Verbindung von ζn,k mit
ζn,k+1 erhält man einen Polygonzug, der 1 mit eix verbindet. Die Länge diese Polygonzuges ist
n−1
X
Ln :=
|ζn,k+1 − ζn,k |. Man zeige:
k=0 x a) Ln = 2n sin .
und
b) lim Ln = |x|.
n→∞
2n
Aufgabe 32
(10 Punkte)
Knacki
Tschebyscheff-Polynome
Man beweise mit Hilfe der Eulerschen Formel cos nx + i sin nx = einx = (cos x + i sin x)n , n ∈ N,
dass es (eindeutig bestimmte) Polynome Tn , Un mit ganzzahligen Koeffizienten gibt, derart, dass
gilt:
cos nx = Tn (cos x) und für n > 0 sin nx = Un−1 (cos x) · sin x .
(Tn bzw. Un−1 heißen Tschebyscheff-Polynome erster bzw. zweiter Art.)
Man zeige ferner die Gültigkeit der Rekursionsformel Tn+1 (x) = 2x Tn (x) − Tn−1 (x), (n > 0), und
berechne Tj für j = 1, 2, 3, 4.
Tutorenprogramm:
1. Man zeige tan(x + y) =
tan x + tan y
. Für welche x, y gilt dieses Additionstheorem?
1 − tan x tan y
2. Man skizziere die Funktionen
f1 (x) := sin(arcsin x), f2 (x) := arcsin(sin x), f3 (x) := cos(arccos x), f4 (x) := arccos(cos x),
f5 (x) := tan(arctan x) , f6 (x) := arctan(tan x). Wo sind diese Funktionen definiert?
√
3. Man zeige: Für x ∈ [−1, 1] gilt cos(arcsin x) = sin(arccos x) = 1 − x2 .
Hannover, den 16. Dezember 2002
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
9. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 6./7. Januar 2003 vor den Stundenübungen
Aufgabe 33
(je 5 Punkte)
Man zeige:
a) Für stetige Funktionen f, g : [a, b] → R sind auch die Funktionen
Mf,g (x) := max(f (x), g(x)) und mf,g (x) := min(f (x), g(x)) stetig.
b) mit Hilfe des ε, δ-Kriteriums, dass die Funktion f : R>0 → R, f (x) :=
Aufgabe 34
1
x2
stetig ist.
(10 Punkte)
Die Funktion f : R → R sei definiert durch f (x) := x + 21 − x. Man skizziere f und weise nach,
dass f auf R stetig ist. Die Funktion g : R → R sei definiert durch g(x) := f ( x1 ) für x 6= 0, g(0) := a.
Kann man a so wählen, dass g bei 0 stetig wird?
Aufgabe 35
(je 5 Punkte)
a) Sei f : [0, 1] → R eine
stetige Funktion mit f (0) = f (1). Man zeige die Existenz eines c ∈ [0, 1]
1
mit f (c) = f c + 2 .
b) Für a < b sei f : [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion. Man zeige:
Es gibt mindestens ein x ∈ [a, b] mit f (x) = x .
Aufgabe 36
(10 Punkte)
Knacki
Sonnenaufgangslemma
Sei f : R → R eine stetige Funktion. x ∈ R heißt Schattenpunkt von f , wenn ein y > x mit
f (y) > f (x) existiert. a, b ∈ R, a < b , seien keine Schattenpunkte, alle Punkte im Intervall (a, b)
seien jedoch Schattenpunkte. Man zeige :
a) Für alle x ∈ (a, b) gilt f (x) ≤ f (b) .
b)
f (a) ≤ f (b) .
c)
f (a) = f (b) .
Hinweis : Zu a) : Man führe sup{y : x ≤ y , f (x) ≤ f (y) } < b zum Widerspruch.
Zu c) : Man beachte, dass a kein Schattenpunkt ist.
Tutorium:
1. Man zeige: Für x 6= 0, n ∈ N gilt:
n
X
k=0
eikx =
ei
2n+1
2
x
ei 2
x
− e−i 2
x
− e−i 2
x
und
n
X
sin 2n+1
1
2 x
+
cos kx =
.
2
2 sin x2
k=1
2. Man zeige mit Hilfe des ε, δ-Kriteriums, dass f (x) := x3 auf R stetig ist.
3. Man untersuche die Funktion x 7→ [x] auf Stetigkeit.
1
Alles Weihnachtsgeschenke !!!
Aufgabe 37
(5 Punkte)
(*)
Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, (n ∈ N∗ ). Man zeige :

!
n
n
n
n
X
X
X
X
2
2

(ak bl − al bk )
=2
ak
b2k −
k=1
l=1
k=1
k=1
n
X
!2 
ak bk
 ,
k=1
folgere hieraus die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung
!2
! n
!
n
n
X
X
X
ak bk
≤
a2k
b2k
k=1
k=1
k=1
und gebe notwendige und hinreichende Bedingungen dafür an, dass in dieser Ungleichung das
Gleichheitszeichen steht.
Aufgabe 38
(5 Punkte)
(*)
Man zeige: Genügt x ∈ R \ Z einer Gleichung xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0, (n > 0), mit
ganzen Zahlen a0 , · · · , an−1 , so ist x irrational.
Aufgabe 39
(5 Punkte)
(*)
Eine Funktion f : D ⊂ R → R heisst gleichmäßig stetig, falls
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ D, |x − y| < δ : |f (x) − f (y)| < ε .
Man zeige: Die Funktion f : R → R, f (x) := x2 ist nicht gleichmäßig stetig, wohl aber die Funktion
√
g : R≥0 → R, g(x) := x.
Aufgabe 40
Weihnachtsgeschenke ohne Abgabe
a) Man zeige: Für kein n ∈ N>1 ist n4 + 4n eine Primzahl.
b) Auf dem Rand einer Kreisscheibe K verteilen wir n paarweise verschiedene Punkte. Jeder
Punkt wird mit jedem anderen Punkt geradlinig verbunden. Keine drei dieser Verbindungsstrecken mögen sich in inneren Punkten von K schneiden. In wie viele Flächenstücke fn wird
die Kreisscheibe auf diese Weise zerlegt?
Hinweis : Kennt man f1 , · · · , fn , so kann man fn+1 durch diese Zahlen ausdrücken.
c) Wir betrachten die Menge
(
M :=
x∈R:
30
X
k=1
k
15
≥
x−k
3613
)
.
Man zeige: M ist die (disjunkte) Vereinigung von endlich vielen Intervallen, deren Längensumme
gerade (1.1.2003 =)112003 = 31 · 3613 ist.
Wir wünschen allen ein schönes Weihnachtsfest und ein
erfolgreiches neues Jahr 2003 !!!!!!!
2
Hannover, den 6. Januar 2003
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
10. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 13./14. Januar 2003 vor den Stundenübungen
Aufgabe 41
(2,2 und 4 Punkte)
Man berechne folgende Limiten (a ∈ R, m, n ∈ N>0 ):
√
√ √
√
1 − 1 − x2
a) lim
;
b) lim x ( x + 1 − x ) ;
2
x→0
x→∞
x
x n − an
.
x→a xm − am
c) lim
Aufgabe 42
(je 2 Punkte)
Für folgende Funktionen ermittle man jeweils einen natürlichen Definitionsbereich“ und die
”
Ableitung (a > 0):
x
a) f1 (x) := x(x ) ;
x
d) f4 (x) := x(a ) ;
Aufgabe 43
a
b) f2 (x) := (xx )x ;
1
e) f5 (x) := (ln x) x ;
c) f3 (x) := x(x ) ;
f ) f6 (x) := ln(ln(x2 + x + 1)) .
(je 5 Punkte)
a) Für welche m, n ∈ N ist die Funktion f (x) :=
xn
xm
für x ≥ 0
für x < 0
im Nullpunkt differenzierbar? Man berechne gegebenenfalls die Ableitung.
1
b) Man zeige: Die Funktion f auf R mit f (0) := 0 und f (x) := x 1 + 2x sin
für x 6= 0
x
ist überall differenzierbar, es gilt f 0 (0) > 0 und jede Umgebung von 0 enthält Intervalle,
in denen f 0 negativ ist. Man versuche sich an einer Skizze!
Aufgabe 44
(10 Punkte)
Knacki
Zu gegebenem x0 ∈ R sei f : [x0 , x0 + 1] → R eine im Punkt x0 differenzierbare Funktion
mit f (x0 ) 6= 0. Die Folge (xn ) sei definiert durch
!n
f x0 + n1
.
xn :=
f (x0 )
Man untersuche die Folge (xn ) auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Hannover, den 13. Januar 2003
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
11. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 20./21. Januar 2003 vor den Stundenübungen
Aufgabe 45
(8 Punkte)
2x
. Man zeige, dass f umkehrbar ist, bestimme den
sin x
−1 0
und berechne (f ) (π).
Es sei f : (0, π) → R definiert durch f (x) :=
Definitionsbereich von f −1
Aufgabe 46
(3, 3 und 6 Punkte)
Es sei f : [a, b] → R auf [a, b) differenzierbar. Man beweise oder widerlege:
a) Ist f im Punkte b differenzierbar, so existiert B := lim f 0 (x), und es gilt f 0 (b) = B.
x→b−
0
b) Existiert B := lim f (x), so ist f in b differenzierbar, und es gilt f 0 (b) = B.
x→b−
c) Ist f in b stetig und existiert B := lim f 0 (x), so ist f in b differenzierbar, und es gilt f 0 (b) = B.
x→b−
Aufgabe 47
(10 Punkte)
Aus einem Halbkreis und einem Rechteck werde ein Rundbogenfenster des Umfangs L > 0 geformt (siehe
Bild unten!). Wie muss man vorgehen um ein Fenster möglichst großer Fläche zu bekommen?
Bemerkung: Wir verwenden zwanglos“ die Formeln U = 2rπ und F = r 2 π für Umfang und Fläche eines
”
Kreises vom Radius r.
Aufgabe 48
(10 Punkte)
Knacki
Nach Planck wird das Emissionsvermögen eines schwarzen Strahlers der Temperatur T (T bzg. der KelvinSkala, also T > 0) beschrieben durch
E(λ) =
c2 ~
λ5 exp
1
c~
kT λ
−1
, 0<λ<∞
(λ Wellenlänge, c, ~, k positive Konstanten).
Man zeige: E(λ) hat genau eine Maximalstelle λm , und es gilt
λm · T = const. (Wiensches Verschiebungsgesetz).
2r
x
Hannover, den 20. Januar 2003
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
12. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe am 27./28. Januar 2003 vor den Stundenübungen
Aufgabe 49
(je 4 Punkte)
Man berechne folgende Grenzwerte:
x
1
a + bx x
a) lim
mit a, b > 0;
x→0
2
b) lim
x→0
1
1
−
;
sin x
x
c)
lim (1 − x)ln x ;
x→0+
Aufgabe 50
(3, 3 und 4 Punkte)
Man zeige die Gültigkeit folgender Ungleichungen für jedes n ∈ N:
2n+1
X
xk
< ex für x 6= 0 .
k!
2n+1
X
(−1)k−1 k
x > ln(1 + x) für x > −1, x 6= 0 .
k
k=0
k=1
√
c) Mit Hilfe des Satzes von Taylor bestimme man 17 mit einer Genauigkeit von 10−4 .
a)
Aufgabe 51
b)
(3 und 5 Punkte)
Für jedes n ∈ N sei fn : R → R, fn (x) :=
tanh
1
x
2n
für x 6= 0 und fn (0) := 1 ( tanh x :=
sinh x
cosh x ).
Man zeige:
a) Die Folge (fn ) konvergiert auf ganz R punktweise und ermittle die Grenzfunktion f .
b) Die Folge (fn ) konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz R, für jedes a > 0 konvergiert sie jedoch gleichmäßig
auf R \ (−a, a).
Aufgabe 52
(10 Punkte)
Knacki
Seien Sn , Cn die n-ten Taylorpolynome des Sinus bzw. des Cosinus.
Man zeige: Für alle k ∈ N gilt:
S4k+3 (x) < sin x < S4k+1 (x) für x > 0 und
C4k+2 (x) < cos x < C4k (x) für x 6= 0, und x 6= 2nπ, n ∈ Z, falls k = 0.
TalorPolynome des Cosinus
4
2
–6
–4
–2
0
2
4
x
–2
–4
6
Hannover, den 3. Februar 2003
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Köditz
13. Übungsblatt zur Analysis I
Abgabe zur ersten Stundenübungen Analysis 2
alles Extrapunkte
Aufgabe 53
(6 Punkte)
Man zeige: Für jedes α < 0, α 6= −1 konvergiert die Folge
n
X
k=1
nα+1
k −
α+1
!
α
.
Man formuliere eine analoge Aussage für α = −1 .
Hinweis: Man grenze xα durch geeignete Treppenfunktionen ein.
Aufgabe 54
(5 Punkte)
Z
Für n, m ∈ N berechne man
2π
Z
sin nx sin mx dx
und
2π
cos nx cos mx dx .
0
0
Aufgabe 55
(je 3 Punkte )
ManZberechne folgende Integrale Z
e
π
ln x dx
a)
;
b)
x3 cos x dx;
2
1 x(ln x − ln x + 1)
0
Z 1
Z 1/2
x ln x
√
d)
dx;
e)
arccos x dx;
1 − x2
0
0
Z
c)
1
x3
Z 0π/2
f)
p
1 + x2 dx;
(x3 − x2 + x) sin x dx.
0
Aufgabe 56
(3,3,4 und 3 Punkte)
Knacki
Sei f : R → R eine stetige Funktion. Für jedes r > 0 sei fr : R → R definiert durch
Z x+r
1
f (t)dt .
fr (x) :=
2r x−r
Man zeige:
a) fr ist differenzierbar.
b) Für jedes x ∈ R gilt lim fr (x) = f (x).
r→0
c) Auf jedem Intervall [a, b] konvergiert die Folge (f n1 ) gleichmäßig gegen f .
d) Ist f gleichmäßig stetig, so konvergiert (f n1 ) sogar auf ganz R gleichmäßig gegen f .
Aufgabe 57
ohne Abgabe
Knacki
a) Seien f, g : [a, b] → R stetige Funktionen. Man zeige:
! 21
! 12
Z b
Z b
Z b
f (x)g(x) dx ≤
f 2 (x) dx
·
g 2 (x) dx
.
a
a
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
a
b) Sei f : [a, b] → R stetig differenzierbar und es gelte f (a) = 0. Man zeige:
Z b
Z
b−a b 0
|f (x)f 0 (x)| dx ≤
(f (x))2 dx .
Ungleichung von Opial
2
a
a
Hannover, den 8. Februar 2003
Institut für Mathematik
Universität Hannover
Prof. Dr. W. Ebeling und Mitarbeiter
Klausur zur Analysis I
Bearbeitungszeit: 8.15 – 10.15
Bitte jedes Blatt mit: Name, VName, Matr.Nr., Gruppenleiter beschriften!
Aufgabe 1
(10 Punkte)
Es sei 0 ≤ a ≤ 1. Zeigen Sie, dass dann für jedes n ∈ N folgende Ungleichung gilt:
(1 + a)n ≤ 1 + (2n − 1)a
Aufgabe 2
(10 Punkte)
Die Folge (an ) sei bei gegebenen A ∈ R, q ∈ (−1, 1), rekursiv definiert durch
a0 := A
,
(n ∈ N) .
an+1 := 1 + q an
Man zeige, dass die Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
Hinweis: Man notiere einige Folgenglieder, errate eine explizite Darstellung von an und beweise diese.
Aufgabe 3
(10 Punkte)
Man zeige durch einen ε-δ-Beweis die Stetigkeit von f (x) :=
gebe man zu ε :=
1
100
x
im Punkt x0 = 1. Konkret
1+x
ein brauchbares δ > 0 an.
Aufgabe 4
(10 Punkte)
Es sei f : (−1, ∞) → R definiert durch
(
f (x) =
x
für x 6= 0
ln(1 + x)
1
für x = 0 .
Man zeige, dass f in 0 differenzierbar ist und bestimme f 0 (0).
Aufgabe 5
(10 Punkte)
Man bestimme das Taylorpolynom dritter Ordnung von f (x) = (sin x)2 an der Stelle x0 = 0
1
und zeige, dass für das Restglied R3 (x) die Abschätzung |R3 (x)| ≤ 48
für alle x ∈ [0, 21 ] gilt.
Viel Erfolg !!!!!!!!!