Aufgaben zum Einführungskurs Mathematik I. Variablen, Bruch

I. VARIABLEN, BRUCH- UND POTENZRECHNEN
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
1
SS 06
Dr. Paul Peters / Wibke Baack
Aufgaben zum Einführungskurs Mathematik
I.
Variablen, Bruch- und Potenzrechnen
I.1. Aufgabe. Fasse Zusammen!
2z
3z
+
,
2
3xy
5ab 9ac
e)
·
,
3c 2a
a)
2ax
3bx
+
,
8ay 12by
11rs 2s
f)
:
,
7t
14t
b)
5ab
8a
−
,
3bc 6ac
7a
g) 13xy · ,
5x
c)
12uv
4w
−
,
3w
3uv
3ab
h)
: 6ax.
7x
d)
I.2. Aufgabe. Vereinfache!
a) 2a(−b)3 4(−a)2 b2 5a2 b,
4 4
2
9
e)
· −
,
3
2
a n−1 b n c n+1
i)
b
c
a
b) 4x3 y 2 2x2 y 3 4y,
2 2
2
5
f)
·
,
15
3
a5 x 5
·
,
x2 a15
(4ab)m
,
g)
(2a)m
c)
I.3. Aufgabe. Bringe auf einen Bruchstrich:
2
1 − x3
1
a−x
1
1
a)
+ 2,
b)
+ 3,
c) x −
,
x5
x
x4
x
x
xn−1
,
xn+1
4(ab)m
h)
,
(2a)m
d)
d)
1 − x2
1
+ n−1
n+1
x
x
d)
2ax + 3bx
8ay + 12by
I.4. Aufgabe. Vereinfache die folgenden Bruchterme:
a)
x3 + x5
,
x7 + x9
b)
x2 − y 2
,
x4 − y 4
c)
a + 3a2
,
2a + 6a2
I.5. Aufgabe. Das Produkt von drei Potenzen mit der Basis b ist b−3 . Dividiert
man die erste Potenz durch die zweite, so erhält man b6 . Multipliziert man die
zweite mit der dritten, so ist das Produkt b−8 . Bestimme die Exponenten.
I. VARIABLEN, BRUCH- UND POTENZRECHNEN
2
I.6. Aufgabe. Schreibe als Potenz mit negativem Exponenten:
a)
1
,
8
b)
1
,
32
c)
2
,
50
d)
1
10000
I.7. Aufgabe. Schreibe die Zahlen als Zehnerpotenz, so dass der Zahlenfaktor
eine Stelle vor dem Komma hat.
a) 0, 0094,
b) 0, 05673,
c) 0, 00092,
d) 0, 0000078
I.8. Aufgabe. Schreibe die folgenden Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen.
a) 67583
b) 3728008
I.9. Aufgabe. Schreibe im Zweiersystem.
a) 53
b) 85
c) 130
II. KOMBINATORIK
II.
3
Kombinatorik
II.10. Aufgabe. Bei einem Marathonlauf sind 20 Läufer gestartet. Unterwegs
haben 6 Läufer aufgegeben, darunter die beiden einzigen deutschen Teilnehmer.
Über die anderen 4 weiß man nichts. Wie viele Möglichkeiten des Zieleinlaufs gibt
es?
II.11. Aufgabe. 50 Studenten sollen in 3 Übungsgruppen eingeteilt werden. In
die erste Gruppe sollen 10, in die zweite 15 und in die dritte 25 Studenten. Wie
viele Möglichkeiten der Einteilung gibt es?
II.12. Aufgabe. Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben der Wörter
a) MISSISSIPPI
b) STETS
c) STATISTIK
d) ANANAS
permutieren?
II.13. Aufgabe. Früher trug in der BRD jeder Personalausweis einen Kennbuchstaben, gefolgt von einer 7–stelligen Zahl, deren 1. Ziffer von 0 verschieden war.
Wie viele verschiedene Ausweiskennzeichnungen waren möglich?
II.14. Aufgabe.
a) Wie viele verschiedene siebenziffrige Zahlen gibt es, die dreimal die 1, zweimal
die 3 und zweimal die 5 enthalten?
b) Wie viele dieser Zahlen beginnen mit 135?
II.15. Aufgabe. Ein Autokennzeichen besteht neben dem Städtesymbol aus
einem oder zwei Buchstaben sowie aus einer ein– bis dreiziffrigen Zahl. Wie viele
Kennzeichen können in einer Stadt vergeben werden?
Zusatzfrage: Wie viel Autokennzeichen pro Stadt könnten mehr ausgegeben werden, wenn auch vier-ziffrige Zahlen zugelassen wären?
II.16. Aufgabe. Von 5 Psychologen und 7 Medizinern sollen 2 Psychologen und
3 Mediziner für einen Ausschuss gewählt werden. Auf wie viele verschiedene Arten
ist dies möglich, falls
a) jeder delegiert werden kann?
b) ein bestimmter Mediziner delegiert werden muss?
c) zwei bestimmte Psychologen delegiert werden müssen?
d) zwei bestimmte Psychologen nicht delegiert werden dürfen?
III. SUMMEN– UND PRODUKTZEICHEN
4
II.17. Aufgabe. An einem Tisch befinden sich 8 freie Sitzplätze. Auf wie viele
Arten können sich 4 Personen auf diese Plätze verteilen?
II.18. Aufgabe∗. Im Sommerschlussverkauf interessieren sich Herr Becker, Herr
Till und Herr Müller für die letzten 5 Kleidungsstücke. Auf wie viele Arten können
diese unter den Kunden verteilt werden,
a) wenn es sich um 5 unterscheidbare T-Shirts handelt?
b) wenn es um 5 verschiedene Kleidungsstücke geht?
III.
Summen– und Produktzeichen
III.19. Aufgabe. Man berechne die folgenden Summen:
a)
5
X
(3k − 9),
6
X
b)
j
(1 − (−1) ),
c)
j=1
k=1
1000
X
(1 − (−1)j ).
j=1
III.20. Aufgabe. Man schreibe mit Hilfe des Summenzeichens:
a) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22,
b)
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
,
4 · 6 5 · 7 6 · 8 7 · 9 8 · 10 9 · 11 10 · 12 11 · 13
c) 21 − 42 + 63 − 84 + 105 − 126 + 147 − 168 .
III.21. Aufgabe. Man berechne folgende Produkte:
a)
6
Y
(2k + 1),
b)
n Y
r=1
k=3
1
1+
r
.
III.22. Aufgabe. Forme um und rechne aus:
a)
c)
100
X
n+1
n=2
100
X
j=1
n−1
−
100
X
k+2
k=2
100
X
1
−
j(j + 2)
i=2
k
i2
,
b) 2
7
X
m=1
1
.
−1
m+
7
X
r=1
(r2 + 1),
IV. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
IV.
5
Vollständige Induktion
IV.23. Aufgabe. Durch vollständige Induktion beweise man:
a) Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2 .
b) 3 teilt (n3 − n) für jede natürliche Zahl n.
∗
c)
n
X
ν2 =
ν=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
d)∗ 12 − 22 + 32 − 42 ± ... − (2n)2 + (2n + 1)2 = (n + 1)(2n + 1).
e)
n
X
zk =
k=0
1 − z n+1
für z 6= 1.
1−z
IV.24. Aufgabe. Man beweise die Behauptung aus Aufgabe IV.23.d) direkt mit
Hilfe von IV.23.c).
IV.25. Aufgabe. Durch vollständige Induktion beweise man
1. 2n > n2 für alle n ∈ N mit n > 4.
2. Die Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente ist n!.
3.
n
Y
k=0
(2k + 1) =
(2n + 1)!
2n · n!
IV.26. Aufgabe∗. Beweise für n, k ∈ N gilt:
n
n
n+1
+
=
.
k−1
k
k
IV.27. Aufgabe∗. Beweise den binomischen Lehrsatz
n X
n
(a + b) =
an−k bk .
k
n
k=0
V. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN
V.
6
Quadratische Gleichungen
V.28. Aufgabe. Für welche x ∈ R gilt:
a) x2 − 20x + 99 = 0,
c) 4y 2 + 4y − 80 = 0,
b) x2 − 4x + 45 = 0,
d) 9x2 − 72x = 0?
V.29. Aufgabe. Für welche x ∈ R gilt:
a) (3x + 1)2 + (4x − 1)2 = (3x + 2)2 + 2(9x − 1)?
b) (3x + 5)2 + (3x − 5)2 = 2(x2 + 57)?
V.30. Aufgabe. Für welche x ∈ R gilt:
x+1
3x − 7
=
?
2x + 5
x
Gib den Definitionsbereich an.
V.31. Aufgabe. Bestimme die Lösungen von (x−a)(x−b) = ab in Abhängigkeit
von a, b ∈ R.
VI. KOMPLEXE ZAHLEN
VI.
7
Komplexe Zahlen
VI.32. Aufgabe. Sei u = 2 + 3i, v = 5 − i, w = 1 + i. Man berechne
u + v,
u − v,
u · v,
u
,
v
u2 + 2vw.
VI.33. Aufgabe.
1. Bestimme die algebraische Form der komplexen Zahlen mit den Polarkoordinaten
(i) r = 4, ϕ = 60◦ ,
(ii) r = 12, ϕ = 315◦
2. Bestimme die trigonometrische Form der komplexen Zahlen
(i) z = 12 − 5i,
(ii) z = −6 + 7i.
VI.34. Aufgabe. Bestimme den Real– und Imaginärteil von
2
√
3 − 2i
1+i
1
, d) z = (3i − 3)4 .
, b) z =
, c) z =
a) z =
i+1
1+i
1−i
VI.35. Aufgabe. Bestimme die Polarkoordinaten folgender komplexer Zahlen.
√
√
3
(1 − i)2
1
,
c) z =
,
a) z = 3 + i,
b) z = − + i
2
2
1+i
2−i
1+i
d) z =
,
e) z = i +
.
2
3i + (1 − i)
3+i
VI.36. Aufgabe. Berechne z ∈ C aus der Gleichung
(1 + 2i)z + (1 − i)2 = i − (2 + i)z.
VI.37. Aufgabe. Welche Punkte z der komplexen Zahlenebene genügen der
Gleichung
z − 1
2
= 2?
a) |z − 2 + i| − 4 = 0,
b) |z − i| + |z + 1| = 0,
c) z + 1
VI. KOMPLEXE ZAHLEN
8
VI.38. Aufgabe. Für welche komplexen Zahlen gilt |z + 2| ≤ |z − 1| ?
VI.39. Aufgabe. Finde alle ϕ, für die die Ungleichung sin ϕ ≤ |eiϕ | erfüllt ist.
VI.40. Aufgabe. Berechne die Quadratwurzeln folgender komplexer Zahlen:
a) z = −5 + 12i,
b) z = 8 − 6i.
VI.41. Aufgabe. Stelle die folgenden Zahlen in der Form z = x + iy dar.
√
a) (1 − i)6 ,
b) e3πi + eπi ,
c) (2 − i 3)3 ,
d) e2−6πi ,
q
q
√
√
e) (1 + i)13 ,
f) e4−3,5πi ,
g) ( 2 − 3 + i 2 + 3)3 .
VI.42. Aufgabe. Bestimme alle Lösungen der Gleichung
a) z 3 + 1 − i = 0,
b) z 2 − 2iz + 8 = 0,
1
c) z̄ = ,
z
d) z 4 = i.
VI.43. Aufgabe∗. Durch vollständige Induktion ist die Formel von De Moivre
zu beweisen:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ, n ∈ N.
VI.44. Aufgabe∗. Zeige, dass die Formel von De Moivre auch für negative ganze
Zahlen n gilt.
VI.45. Aufgabe∗. Leite die folgenden Formeln aus der Formel von De Moivre
ab:
a) cos 3ϕ = 4 cos3 ϕ − 3 cos,
b) sin 3ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin3 ϕ.
VII. MENGEN
VII.
9
Mengen
VII.46. Aufgabe∗. A,B,C seien Mengen. Man beweise die Distributivgesetze
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
VII.47. Aufgabe. A,B seien Teilmengen von M.
1. Man zeige (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
2. Man drücke A \ B mit Hilfe der Verknüpfungen ∩ und ∪ sowie des Komplementes aus.
VII.48. Aufgabe. AT ist die Menge aller amerikanischen Touristen, welche im
Jahr 1985 die alte Welt“ besucht haben (“Europe within 14 days”). Teilmengen
”
von AT sind
• P := {x ∈ AT | x war in Paris},
• R := {x ∈ AT | x besuchte Rom},
• F := {x ∈ AT | x flog nach Paris und Rom},
• T := {x ∈ AT | x benutzte Traveller-Cheques}.
Mittels obiger Mengen und ihrer Verknüpfungen finde man jeweils eine symbolische Beschreibung derjenigen amerikanischen Touristen(mengen),
a) die nicht beide Städte anflogen,
b) die Paris nicht sahen,
c) die Rom und Paris besuchten,
d) die per Flugzeug nach Paris und Rom kamen und Traveller-Cheques benutzten,
e) die zwar Rom besichtigten, aber nicht beide Städte auf dem Luftwege erreichten,
f) die sich für den Besuch von nur einer der beiden Städte entschieden,
g) die weder Rom noch Paris sehen wollten,
h) die in Paris verweilten, jedoch keine Traveller-Cheques benutzten,
i) die Rom und Paris fernblieben, dafür aber mit Traveller-Cheques bezahlten.
VIII. BETRÄGE UND UNGLEICHUNGEN
10
VII.49. Aufgabe. Eine gewisse Anzahl roter, weißer und blauer Marken werden
auf einer studentischen Party an 100 Teilnehmer verteilt. Es ist bekannt, dass 45
Leute rote Marken bekommen, 45 weiße, 60 blaue, 15 rote und weiße, 25 weiße
und blaue, 20 rote und blaue und 5 alle drei Farben. Unter Verwendung eines
Venn-Diagramms beantworte man folgende Fragen:
a) Wie viele Teilnehmer bekommen keine Marke?
b) Wie viele bekommen genau eine?
c) Wie viele bekommen genau zwei?
d) Wie viele bekommen eine weiße Marke, aber keine blaue?
VIII.
Beträge und Ungleichungen
VIII.50. Aufgabe. Seien a, b, c und d reelle Zahlen. Man zeige:
a
c
a
a+c
c
< mit b > 0 und d > 0 folgt <
< .
b
d
b
b+d
d
√
2
a+b
b) Für a > 0 und b > 0 gilt
.
≤ ab ≤
1 1
2
+
a b
a) Aus
c) Für a > 0 und b > 0 gilt
a b
+ ≥ 2.
b a
VIII.51. Aufgabe. Für welche reellen x gilt die Ungleichung
a) |x + 2| ≤ |x − 1|,
b) |2 − |x + 1|| ≤ 1,
c)
|2x − 9|
< 1?
x−3
VIII.52. Aufgabe. Veranschauliche folgende Teilmengen des R2 :
a) A = {(x, y) | x · y = 0},
b) B = {(x, y) | y = x2 },
c) C = {(x, y) |
1
4
≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 14 },
d) D = {(x, y) | (x − 3)2 + (y − 2)2 ≤ 2},
e) E = {(x, y) | x, y > 0,
1
x
+
f) F = {(x, y) | xy > 0, |y| ≤
1
y
√
≤ 1},
1 − x2 }.
IX. GEOMETRIE IN DER EBENE
IX.
11
Geometrie in der Ebene
IX.53. Aufgabe. Bestimme die Innenwinkel α, β, γ und den Flächeninhalt des
Dreiecks mit den Eckpunkten A(0/3), B(2/5), C(3/0).
IX.54. Aufgabe. Beschreibe die Geraden durch die Punkte A(−1, 3) und B(2, 1)
als Graph (über x), in Hessescher Normalform und in Parameterform.
IX.55. Aufgabe. Stelle die Seitenvektoren eines Parallelogramms als Linearkombination seiner Diagonalen dar.
IX.56. Aufgabe∗. Im Dreieck ABC teilt D die Seite AB im Verhältnis 2:1. Der
Punkt E teilt die Seite AC im Verhältnis 3:1. In welchem Verhältnis teilen sich
die Transversalen BE und CD?
IX.57. Aufgabe. Ein Jogger joggt mit einer Geschwindigkeit von 13 km/h nach
Norden. Der (konstante) scheinbare“ Wind, den er fühlt, kommt von Westen.
”
Verdoppelt der Jogger seine Geschwindigkeit, so empfindet er den Wind als aus
Nordwesten kommend. Woher weht der Wind wirklich?
IX.58. Aufgabe∗. Man zeige: Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt.
IX.59. Aufgabe∗. Man beweise den Satz des Thales: Ist AB der Durchmesser
eines Kreises und C ein beliebiger Punkt auf seinem Rand, so bilden die Seiten
AC und BC einen rechten Winkel.
IX.60. Aufgabe. Beschreibe den Kreis durch die drei Punkte A(2/4),B(4/6),
C(4/4) durch eine Gleichung. Welcher der drei Punkte D(2, 5), E(2/6), F (6/8)
liegt innerhalb des Kreises, welcher außerhalb und welcher auf dem Kreis?
IX.61. Aufgabe. Ein Vermessungsingenieur soll die unbekannte Höhe eines Bauwerks vermessen. Aus einer gewissen (ihm unbekannten) Entfernung ermittelt er
mittels des Theodoliten für die obere Spitze des Bauwerks einen Höhenwinkel
von α = 30◦ . Dann nähert er sich dem Objekt um d = 80m und misst erneut.
Diesmal erhält er einen Höhenwinkel von β = 45◦ .
Wie hoch ist das vermessene Objekt, wenn der Theodolit sich jeweils in einer
Augenhöhe von a = 1,60m über dem Erdboden befindet?
h
30◦
80m
45◦
x
X. GEOMETRIE IM RAUM
X.
12
Geometrie im Raum
X.62. Aufgabe. Eine Ameise will vom Erdboden aus die Spitze einer Pyramide
erklimmen. Die Pyramide hat dabei eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von a = 120m und eine Höhe von h = 52m. Welchen Steigungswinkel
muss sie überwinden, wenn sie sich
a) von einer der vier Grundseitenmitten aus
b) über eine der vier Seitenkanten
auf direktem Weg der Pyramidenspitze nähert?
52m
120m
X.63. Aufgabe. Bestimme k ∈ R so, dass die Vektoren ~u =
orthogonal sind.
1
k
−3
und ~v =
X.64. Aufgabe. Berechne den Winkel ϕ zwischen den Vektoren ~v =
2 w
~ = −1 .
1
3
2
2
−5
4
und
3
7
~
X.65. Aufgabe. Die Kraft k = 5 soll zerlegt werden in eine Komponente in
4
1
2
Richtung von ~a = 1 , in eine Komponente in Richtung von ~b = 1 und in
0
1
eine Komponente senkrecht zu ~a und ~b. Wie lautet die Zerlegung?
X.66. Aufgabe. Wie lang ist die Projektion des Vektors ~a =
4 des Vektors ~b = −7 ?
1
2
7
in Richtung
4
2
−1
5
und ~b =
0
3
X.67. Aufgabe. Berechne für die Vektoren ~a =
den Vek2
tor ~a × ~b, einen Einheitsvektor n~0 , der auf ~a und ~b senkrecht steht sowie den
Flächeninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms.
X. GEOMETRIE IM RAUM
13
X.68. Aufgabe.
a) Wie lautet die Gleichung der Geraden durch die Punkte A(1/ − 2/3) und
B(3/2/ − 1)?
b) Untersuche, ob die drei Punkte A(1/ − 1/0), B(−2/ − 1/3) und C(−3/2/1)
auf einer Geraden liegen oder nicht.
X.69. Aufgabe.
a) Stelle die Gleichung der Ebene, in der die Punkte A(2/1/0), B(3/ − 1/2),
C(−1/0/1) liegen,
(i) in Parameterform und
(ii) in Hessescher Normalform auf.
b) Gib die Parameterform der Geraden, die durch den Punkt P (2/3/ − 2) geht
und auf der Ebene aus Teil a) senkrecht steht, an?
X.70. Aufgabe. Welche Punkte der Geraden mit der Gleichung
 
 
1
2



~x = −2 + λ 2 
3
−1
haben von der Ebene mit der Gleichung 4x − 3y + 12z = 1 den Abstand d = 13?
X.71. Aufgabe. Wie groß ist die Höhe der dreiseitigen Pyramide mit der Spitze
S(4/5/3) und den Eckpunkten A(−1/2/1), B(2/0/2) und C(0/1/ − 1)? Wie groß
ist ihr Volumen?
X.72. Aufgabe. Es sei E : x − 2y + z = 3. Man untersuche, ob A(1/1/1) und
B(4/2/ − 1) bzgl. E in demselben Halbraum liegen.
X.73. Aufgabe. Gegeben seien die drei Geraden
1 −1 2 2 0 1 0
1
2
−1
−1
g1 : ~x = −2 + α
, g2 : ~x = −1 + β −4 , g3 : ~x =
+ γ −1 ,
2
3
0
α, β, γ ∈ R. Untersuche für 1 ≤ i < j ≤ 3 jeweils, ob gi und gj windschief sind,
parallel sind oder sich schneiden.
XI. MATRIZEN UND LINEARE ABBILDUNGEN
14
X.74. Aufgabe∗. Im Flugverkehr werden bestimmte Lufträume aus Sicherheitsgründen bestimmten Flugzeugen zugeordnet. Zwei Flugzeuge A und B bewegen
sich auf folgenden Bahnen
1
3
4
1
A : ~x = 2 + s 1 ,
B : ~x = 2 + t 3 ,
1
2
1
2
s, t ∈ R.
a) Untersuche die Möglichkeit eines Zusammenpralls der Flugzeuge.
b) Bestimme den Abstand des Flugzeuges B zum Ursprung (0/0/0) in Abhängigkeit von t.
c) Wo durchfliegt das Flugzeug A die yz–Ebene?
XI.
Matrizen und Lineare Abbildungen
~ = ( 0 ), B
~ = ( 2 ) und C
~ = (3)
XI.75. Aufgabe. Multipliziere die Ortsvektoren A
3
5
0
)
von
links.
Die
entsprechenden
Punkte
aus Aufgabe IX.53. mit der Matrix ( 01 −1
0
bilden wieder ein Dreieck. Was kannst Du über die Winkel und den Flächeninhalt
des Dreiecks sagen?
XI.76. Aufgabe. Berechne A + B, 3A, 2A − 3B für
1 −2 3
3 0 2
A=
,
B=
.
4 5 −6
−7 1 8
XI.77. Aufgabe. Ermittle x, y, z, w ∈ R, sodass gilt
x y
x
6
4
x+y
3
=
+
z w
−1 2w
z+w
3
T
T
XI.78. Aufgabe. Bestimme AA und A A für A =
1 2 0
.
3 −1 4
XII. DETERMINANTEN
15
XI.79. Aufgabe. Für die vier Käsesorten Gouda, Edamer, Schafskäse und Camembert sind in der Folgenden Tabelle Preis, Fett und Kalorien pro 100g gegeben.
Gouda Edamer Schafskäse Camembert
Preis (e/100g)
0,5
0,75
1
1,5
Fett (100g/100g)
0,15
0,2
0,06
0,23
Kalorien (kcal/100g)
250
325
175
400
a) Stelle den in der Tabelle dargestellten Zusammenhang als Matrix dar.
b) Es soll eine Käseplatte aus 500g Gouda, 500g Camembert, 300g Edamer und
200g Schafskäse zusammengestellt werden. Was kostet diese?
c) Es soll eine Käseplatte, die 20ekostet und die 600g Camembert und 300g
Schafskäse beinhaltet, zusammengestellt werden. Wie viel Gouda und wie viel
Edamer sind auf der Käseplatte?
d) Ist der Zusammenhang zwischen Komposition der Käseplatte und Preis, Fett
und Kalorien linear? Ist er linear, falls es bei mehr als 1kg Käse 10% und bei
mehr als 10kg 20% Rabatt gibt?
XII.
Determinanten
XII.80. Aufgabe. Berechne die Determinanten

2
−11 −8
6 7

7
A=
, B=
, C=
−7 3
0 8
−3
der folgenden Matrizen



1 5
0 0 1
3 8 , D = 1 −4 2
2 6
0 2 5
XII.81. Aufgabe. Ermittle die Determinanten der Matrizen


t + 3 −1
1
t−5
7
t−3
1 
A1 =
,
A2 =  5
−1 t + 3
6
−6 t + 4
Für welche t ∈ R ist det Ai = 0, i = 1, 2?
XII.82.
Aufgabe.
Berechne das Volumen des Spats, der durch die Vektoren
1
0
2
0 ,
1
und 3 aufgespannt wird.
2
3
0
XII.83. Aufgabe. Berechne die Determinanten von
A=
2x + 1 + x
2(x + 1)2
2
10x − 5
, B=
5(4x − 2)
cos β sin β
sin β − cos β


cos α − sin α 0
C =  sin α cos α 0
0
0
1
XIII. FUNKTIONEN
XIII.
16
Funktionen
XIII.84. Aufgabe. Skizziere den Graphen der folgenden Funktionen
a) f (x) = 3 cos x,
d) j(x) = cos(x − 1),
b) g(x) = cos(2x),
e) k(x) = 3 sin(2x − 2) + 2.
c) h(x) = sin x + 2,
XIII.85. Aufgabe. Löse die folgenden Gleichungen, d.h. finde alle x ∈ R, für
die die jeweilige Gleichung erfüllt ist.
a) cos x = 0.5,
b) 4 sin(2x − 5) = 1,
c) 3 tan(2x) − 2 = 10.
XIII.86. Aufgabe. Untersuche die folgenden Funktionen auf Stetigkeit

2
(

x − 1, x < −1
x2 ,
x≥1
f (x) =
,
g(x) = 1 − x2 , −1 ≤ x < 1 .

ex−1 , x < 1
 2
x,
1≤x
XIII.87. Aufgabe. Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass
f (x) = x2 + sin2 (x) −
1
cos4 x
2
eine Nullstelle im Intervall [0, 2] hat.
XIII.88. Aufgabe. Zeige, dass es ein p ∈ [0, π4 ] gibt, sodass
(1 + x)1+tan x = 1 + cos x
gilt.
XIII.89. Aufgabe. Prüfe die folgenden Funktionen auf ihre Umkehrbarkeit. Gib
im Falle der Umkehrbarkeit ihre Umkehrfunktion an.
√
a) f : R+
x + 2,
0 → [2, ∞[, x 7→
b) f : ]1, ∞[→]0, ∞[, x 7→
1
,
(x−1)2
c)∗ ] f : R → [−1, ∞[, x 7→ (x + 1)2 − 1,
d)∗ ] f : R → [0, 2], x 7→ sin(2x) + 1,
e) f : ] − π4 , 3π
[→ R, x 7→ − tan(x − π4 ).
4
XIV. DIFFERENTIALRECHNUNG
17
XIII.90. Aufgabe. Bestimme alle Nullstellen der folgenden Funktionen.
a) f1 (x) = x4 + 4x2 + 1, x ∈ R.
b) f2 (x) = 2x3 − 6x − 4, x ∈ R.
c) f3 (x) =
4x2 +20x
,
(x−1)3
x > 1.
d) f4 (x) = 10x − 5, x ∈ R.
e)∗ ] f5 (x) = 2ex+1 − 2, x ∈ R.
f) f6 (x) = − ln(x − 2) + 3, x > 2.
1
1
g) f7 (x) = x 2 − 5x 4 + 6, x ≥ 0.
h)∗ ] f8 (x) = x6 − 7x3 − 8, x ∈ R.
XIV.
Differentialrechnung
XIV.91. Aufgabe. Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe
des Differenzenquotienten
a) f (x) = x2 + 2x + 4,
b) f (x) =
1
.
x
XIV.92. Aufgabe. An welchen Stellen x0 hat der Graph der Funktion f die
Steigung m?
1
a) f (x) = x3 − 2, m = 3,
4
b) f (x) = 0,2x5 + 4x2 , m = 0.
XIV.93. Aufgabe. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von
f (x) = 21 x2 an der Stelle x0 = 2?
XIV.94. Aufgabe. Prüfe, ob sich die beiden Funktionen f (x) = x2 + 2 und
g(x) = −x2 + 4x schneiden oder berühren.
XIV. DIFFERENTIALRECHNUNG
18
XIV.95. Aufgabe. Berechne die Ableitung von f auf dem entsprechenden Definitionsbereich
√
1
5
1
a) f (x) =
, x∈R\
,
b)∗ f (x) = 6x − 1, x ≥ ,
4x − 5
4
6
∗
c) f (x) = 2 cos(−x), x ∈ R,
d) f (x) = 3 sin(πx) − 1, x ∈ R,
1
e) f (x) = axn + bxm , n, m ∈ N, x ∈ R, f)∗ f (x) = xn + x + − 1, x ∈ R \ {0},
x
x
p
sin(e )
g) f (x) =
, x ∈ R,
h) f (x) = arccos( 1 − sin2 x), x ∈ R,
2 + cos x
i) f (x) = x3 ex , x ∈ R.
XIV.96. Aufgabe. Untersuche das Monotonieverhalten folgender Funktionen
a) f (x) =
π
1
, x ∈]0, [,
sin x
2
1 2
b) f (x) = e− 2 x , x ∈ R,
d) f (x) = −x2 − 4x + 2, x ∈ R, e)∗ f (x) =
c)∗
√
3
x, x ∈ R+ ,
1
π
, x ∈]0, [
cos(x)
2
XIV.97. Aufgabe. Ein Astronaut bewegt sich von seinem Mutterschiff weg auf
einer parabelförmigen Kurve. Legt man den Ursprung eines Koordinatensystems
− 12 x2 beschrieben werden.
in das Mutterschiff, so kann die Kurve durch f (x) = 15
2
Der Astronaut verfügt über Antriebsdüsen, welche ihm den Parabelflug ermöglichen. In welchem Punkt der Kurve muss er die Antriebsdüsen abschalten, damit
er sein Ziel P (8|0) geradlinig ansteuern kann?
XV. EXTREMA, WENDEPUNKTE, KURVENDISKUSSION
XV.
19
Extrema, Wendepunkte, Kurvendiskussion
XV.98. Aufgabe∗. Untersuche die Funktion f (x) = x4 −4x3 auf lokale Extrema.
XV.99. Aufgabe. Untersuche die Funktion f (x) = 13 x3 + 12 x2 auf lokale und
globale Extrema im Intervall [−3, 3].
XV.100. Aufgabe. Der Querschnitt eines Baumstammes sei ein Kreis mit dem
Radius a. Aus dem Stamm werde ein Balken mit rechteckigem Querschnitt herausgeschnitten. Die Tragfähigkeit T eines solchen Balkens ist proportional zu bh2
(b sei die Breite, h die Höhe des Balkens). Wie sind b und h zu wählen, damit T
maximal wird?
XV.101. Aufgabe∗. Während einer Kaffeepause stellt sich folgendes Problem:
Aus einem gegebenen Rundfilter“ soll durch Ausschneiden eines Kreissegments
”
(Tortenstücks) mit Winkel α ein Spitzfilter“ mit maximalem Volumen hergestellt
”
werden. Wie ist der Winkel α zu wählen?
XV.102. Aufgabe∗. Um vom Nullpunkt zu einem Punkt A der x-y-Ebene zu
gelangen, kann man zunächst mit Geschwindigkeit v1 bis zu einem Punkt P =
(p, 0) mit 0 ≤ p ≤ a entlang der x-Achse fahren, und dann von dort mit der
Geschwindigkeit v2 < v1 geradlinig nach A = (a, b). Wie ist P zu wählen, um
möglichst schnell in A zu sein
1. für v1 = 5, v2 = 4, a = 5, b = 3;
2. für v1 = 5, v2 = 4, a = 5, b = 4;
3. für v1 = 5, v2 = 4, a > 0, b > 0 beliebig;
4. für v1 > v2 > 0, a > 0, b > 0 beliebig?
XV.103. Aufgabe. Sei f (x) = a2 x3 + 2ax2 . Wie muss der Parameter a gewählt
werden, damit die Funktion f einen Wendepunkt bei x = 3 besitzt?
XV.104. Aufgabe. Beweise folgende Aussagen.
a) Eine quadratische Polynomfunktion kann keine Wendestellen haben.
b) Eine Polynomfunktion 4. Grades kann maximal 2 Wendepunkte haben.
c) Eine Polynomfunktion 3. Grades hat genau eine Wendestelle.
XV. EXTREMA, WENDEPUNKTE, KURVENDISKUSSION
20
XV.105. Aufgabe. Sei f (x) = x2 − x1 , x > 0. Untersuche f auf Wendepunkte,
Extremalstellen und Nullstellen. Skizziere den Graphen.
1 3
XV.106. Aufgabe. Die Funktion f (x) = 12
x − 12 x2 hat 2 Nullstellen und einen
Wendepunkt. Berechne den Flächeninhalt des durch diese 3 Punkte bestimmten
Dreiecks.
XV.107. Aufgabe. Der Verlauf eine leichten Viruserkrankung wird durch die
Funktion
106 2
C(t) =
(6t − t3 )
8
modelliert. Dabei ist t die Zeit seit Infektionsbeginn in Tagen und C die Anzahl
der Viren in einem ml Blutflüssigkeit. Untersuche die Funktion C, skizziere C
und C 0 für 0 ≤ t ≤ 6. Interpretiere den Funktionsverlauf.
XV.108. Aufgabe∗. Gegeben sei die Kurvenschar fa (x) = x3 − 3ax2 (a ∈ R,
a > 0). Führe eine Kurvendiskussion für fa durch und skizziere f1 und f0,6
XVI. INTEGRALRECHNUNG
XVI.
21
Integralrechnung
XVI.109. Aufgabe. Berechne die folgenden unbestimmten Integrale
Z
Z
Z
2
2
a) (x + 2 sin x)dx,
b)
dx,
c) (x5 + 7x2 + 3)dx,
5x2
Z
Z √
Z
√
3x2
1
d)
2x + 7dx,
e) ( 3x + 3 x )dx,
f)
dx,
x3 − 9
Z
1
dx.
g)
3 + 5x
XVI.110. Aufgabe. Berechne durch partielle Integration:
Z
Z
Z
2
∗
a)
2x ln x dx,
b)
arcsin x dx,
c)
x3 sin x dx.
XVI.111. Aufgabe. Berechne durch Substitution:
Z
Z
x2
a)
xe dx,
b) (2 − sin2 x) cos x dx,
∗
x2 + 1
√
dx.
x+1
Z
c)
XVI.112. Aufgabe. Zeige, dass für a > 0 gilt:
Ra
Ra
a) −a f (x)dx = 2 0 f (x)dx, falls f gerade ist.
Ra
b) −a f (x)dx = 0, falls f ungerade ist.
XVI.113. Aufgabe. Berechne die folgenden Integrale:
Z 3
Z 2√
3
2
a)
(3x − 7x + 5) dx,
b)
x2 dx,
2
Z
0
π
d)
Z
cos x dx,
Z0 a
g)
0
e)
2
c)
1
π
2
2x cos(x ) dx,
0
x2 ebx dx, a > 0, b ∈ R.
√
Z
Z
f)
0
π
2
1
√ dx,
x
cos3 x
dx,
1 − sin x
XVI. INTEGRALRECHNUNG
22
XVI.114. Aufgabe. Es sei f : [−2, 4] → R,


−2 ≤ x ≤ 1
2x + 4,
x 7→ 6,
1<x<3


−6x + 24, 3 ≤ x ≤ 4
gegeben.
a) Ist f stetig auf [−2, 4]?
R4
b) Berechne −2 f (x)dx.
XVI.115. Aufgabe. Berechne die Fläche zwischen den Graphen von sin x und
cos x zwischen − π2 und π2 .
XVI.116. Aufgabe. Berechne den Flächeninhalt von
M = { (x, y) ∈ R2 | y ≥ e−x , y ≤ ex , x ≤ 2 }
.
XVI.117. Aufgabe. Berechne den Flächeninhalt von
1
M = { (x, y) ∈ R2 | y ≤ x, y ≥ , y ≤ −x + 3 }
x
.
XVI.118. Aufgabe. Berechne die Fläche, die von der x-Achse, den Geraden
x = 0 und x = 5 sowie dem Graphen der Funktion f (x) = x3 − 7x2 + 14x − 8
begrenzt wird.
RR
XVI.119. Aufgabe∗. Berechne B ex+y dF , wobei B in der x-y-Ebene das Dreieck mit den Eckpunkten P1 (0|0), P2 (1|0) und P3 (1|1) ist.
RR
2
XVI.120. Aufgabe∗. Berechne B y(e(1−y ) cos x + x2 y) dF , wobei B in der x-yEbene das achsenparallele Quadrat mit dem Mittelpunkt M (0|0) und der Kantenlänge 2 ist.
XVI.121. Aufgabe∗. Berechne die folgende Integrale mit Hilfe der Substitution
y = tan( x2 ).
Z
Z
Z −π 6
1 − sin x
dx
5
, b)
dx, c)
− 3 cos(3x) dx.
a)
sin x
sin x(1 − cos x)
sin(2x)
− π4
XVI.122. Aufgabe∗. Berechne die Volumina der Rotationskörper, die man erhält,
2
wenn man den Graphen der Funktion f (x) = x6 zwischen 0 und 12
a) um die x–Achse rotiert.
b) um die y–Achse rotiert.
XVI. INTEGRALRECHNUNG
23
XVI.123. Aufgabe∗. Berechne die Volumina der Rotationskörper, die man erhält,
wenn man den Graphen der Funktion f (x) = 31 x zwischen 0 und 9
a) um die x–Achse rotiert.
b) um die y–Achse rotiert.
In welchem Verhältnis stehen die beiden Volumina zueinander? In welchem Verhältnis stehen die beiden Volumina zueinander, wenn f (x) = n1 x ist?
XVII. DAS GRIECHISCHE ALPHABET
XVII.
24
Das griechische Alphabet
A,
α:
alpha
N,
ν:
ny
B,
β:
beta
Ξ,
ξ:
xi
Γ,
γ:
gamma
O,
o:
omikron
∆,
δ:
delta
Π,
π bzw. $:
pi
E,
bzw. ε:
epsilon
P,
ρ bzw. %:
rho
Z,
ζ :
zeta
Σ,
σ:
sigma
H,
η;
eta
T,
τ :
tau
Θ,
θ bzw. ϑ:
theta
Y, υ:
ypsilon
I,
ι:
iota
Φ,
φ bzw. ϕ:
phi
K,
κ:
kappa
X,
χ:
chi
Λ,
λ:
lambda
Ψ,
ψ
psi
M,
µ:
my
Ω,
ω:
omega