Kein Folientitel
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Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung Elektrodynamik (437.257) von Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Oszkár Bíró 1 Inhalt 1. Das elektrostatische Feld 1.1 Die elektrische Ladung, Ladungsverteilungen 1.2 Das Coulomb‘sche Gesetz 1.3 Die elektrische Feldstärke 1.3.1 Elektrische Feldstärke von Ladungen im Vakuum 1.3.2 Potentielle Energie einer Punktladung im elektrostatischen Feld 1.3.3 Die Wirbelfreiheit der elektrostatischen Feldstärke 1.3.4 Das elektrostatische Potential, die Spannung 1.3.5 Energie und Potential einer Ladungsverteilung 1.4 Die elektrische Flussdichte (elektrische Verschiebung) 1.4.1 Das Gauß´sche Gesetz der Elektrostatik 1.4.2 Elektrische Flussdichte einer Punktladung 1.4.3 Elektrische Flussdichte einer beliebigen Ladungsverteilung 1.4.4 Verhalten der elektrischen Flussdichte auf einer Fläche mit einer Flächenladungsdichte 1.5 Leiter im elektrostatischen Feld (Influenz) 1.6 Kondensatoren und Kapazität 1.6.1 Teilkapazitäten von mehreren Leitern 1.6.2 Im Kondensator gespeicherte Energie 2 1.7 Methode der fiktiven Ladungen 1.7.1 Das Spiegelungsprinzip 1.8 Energie und Kräfte im elektrischen Feld 1.8.1 Energieinhalt des elektrischen Feldes 1.8.2 Kräfte auf Leiter im elektrischen Feld 1.8.3 Prinzip der virtuellen Verschiebung 1.8.4 Der elektrische Dipol 1.8.5 Kräfte auf einen elektrischen Dipol 1.9 Elektrische Felder in Materie 1.9.1 Atomare und molekulare Dipole 1.9.2 Polarisationsdiche und die elektrische Flussdichte 1.9.3 Grenzflächenbedingungen 2. Das stationäre elektrische Strömungsfeld 2.1 Elektrischer Strom, Stromdichte 2.2 Kontinuitätsgleichung, Ladungserhaltung 2.3 Das Ohm´sche Gesetz 2.4 Grenzflächenbedingungen 2.5 Analogie zwischen dem stationären Strömungsfeld und dem elektrostatischen Feld 2.6 Die Leistung im elektrischen Strömungsfeld 2.7 Medien mit Permittivität und Leitfähigkeit 3 3. Das stationäre Magnetfeld 3.1 Magnetische Kräfte 3.2 Kraft zwischen zwei parallelen, stromdurchflossenen Leiter (unendlich lange Stromfäden) 3.3 Die magnetische Feldstärke, Flussdichte 3.3.1 Flussdichte eines unendlich langen geraden Stromfadens 3.3.2 Der magnetische Fluss, die Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte 3.4 Die magnetische Erregung 3.4.1 Der Ampere‘sche Durchflutungssatz 3.4.2 Magnetische Erregung eines unendlich langen Stromfadens 3.4.3 Zusammenhang zwischen der Flussdichte und Erregung im Vakuum 3.4.4 Beispiele zum Durchflutungssatz 3.4.5 Das Biot-Savart‘sche Gesetz 3.5 Induktivität, Gegeninduktivität 3.6 Kräfte im magnetischen Feld 3.6.1 Der Hall-Effekt 3.6.2 Der magnetische Dipol 3.6.3 Kräfte auf einen magnetischen Dipol 4 3.7 Magnetische Felder in Materie 3.7.1 Atomare magnetische Dipole 3.7.2 Magnetisierung und magnetische Erregung 3.7.3 Grenzflächenbedingungen 3.7.4 Nichtlinearität, Hysterese, die B/H Kennlinie 4. Elektromagnetische Induktion 4.1 Bewegungsinduktion 4.1.1 Bewegung eines stabförmigen Leiters in einem homogenen Magnetfeld 4.1.2 Bewegung einer rechteckigen Drahtschleife in einem homogenen Magnetfeld 4.1.3 Bewegung der Leiterschleife in einem inhomogenen Magnetfeld 4.1.4 Fluss durch die bewegte Schleife 4.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld: Das Faraday‘sche Induktionsgesetz 4.3 Die Lenz‘sche Regel 4.4 Energie im magnetischen Feld 4.4.1 Energieinhalt des magnetischen Feldes 4.4.2 Magnetische Energie bei Anwesenheit ferromagnetischer Werkstoffe 4.4.3 Virtuelle Verschiebung 5 5. Elektromagnetische Wellen 5.1 Zeitlich veränderliches elektrisches Feld: der Verschiebungsstrom 5.2 Die Maxwell‘sche Ergänzung des Durchflutungssatzes 5.3 Leitungen 5.3.1 Verteilte Netzwerkparameter 5.3.2 Die Leitungsgleichungen 5.3.3 Lösung der Leitungsgleichungen im Frequenzbereich 5.3.4 Ideale Leitung 5.3.5 Abschluss von Leitungen 6. Die Maxwell‘schen Gleichungen 6.1 Die integrale Form der Maxwell‘schen Gleichungen 6.2 Vektoranalysis 6.2.1 Gradient eines Skalarfeldes 6.2.2 Divergenz eines Vektorfeldes, der Gauß‘sche Integralsatz 6.2.3 Die Rotation eines Vektorfeldes, der Stokes‘sche Satz 6.2.4 Gradient, Divergenz und Rotation in orthogonalen Koordinatensystemen, der Nabla-Operator 6.3 Die differentielle Form der Maxwell‘schen Gleichungen 6 1. Das elektrostatische Feld 1.1 Die elektrische Ladung • Kraft zwischen Objekten, welche durch Reibung „elektrifiziert“ werden. • Ursache dafür: Ladungstrennung • Kraft kann abstoßend oder anziehend sein: zwei Arten von Ladung => positiv oder negativ: Vorzeichen von Q • Einheit der Ladung: [Q] = 1 C (Coulomb) = 1 As • Ladungserhaltung: Ladungsmenge in einem abgeschlossenen System bleibt konstant 7 Ladung ist quantisiert: es existiert eine kleinste, weiter nicht teilbare Ladungsmenge: e = 1,6021892 . 10-19 C Bohr‘sches Atommodell: Manfred Albach: Grundlagen der Elektrotechnik 1 Elektron hat eine Ladung von –e Proton hat eine Ladung von e 8 Die diskrete Verteilung der Ladungen kann in der klassischen Elektrodynamik außer Acht gelassen werden. Es wird angenommen, dass die Ladungsverteilung durch eine stetige Funktion der Ortskoordinaten beschrieben werden kann => Makroskopische „Verschmierung“ einer diskreten Ansammlung vieler Punktladungen zu einer Ladungsdichte. Volumselement dΩ = dx´dy´dz´ in kartesischen Koordinaten. Das Volumselement dΩ ist nicht infinitesimal klein im Sinne der r′ = x′e x + y′e y + z ′e z Infinitesimalrechnung, es befinden sich in dΩ noch immer „sehr viele“ Elementarladungen! O 9 N dQ = ∑ Q j j =1 N ρ ( x´, y´, z´) = ∑Q j =1 dΩ j : Raumladungsdichte dQ = ρ ( x´, y´, z´)d Ω ρ ist eine Feldgröße (eine Funktion der C [ρ ] = 1 3 Ortskoordinaten): ρ = ρ(r) m Die Raumladungsdichte ρ ist, makroskopisch gesehen, eine kontinuierliche Ladungsverteilung. Die Ladung in einem Volumen Ω: QΩ = ∫ ρ d Ω Ω dΩ Ω QΩ ist eine integrale Größe (von den Ortskoordinaten unabhängig) 10 Flächenladungsdichte C [σ ] = 1 2 m dΓ ´ Γ dQ = σ ( x´, y´, z´) d Γ ′ QΓ = ∫ σ d Γ ′ Γ Linienladungsdichte C [τ ] = 1 m ds´ C dQ = τ ( x´, y´, z´) ds′ QC = ∫ τ ds′ C Die Ladungsdichten sind Feldgrößen. 11 Punktladung Physikalisches Modell: geladener Körper, dessen Abmessungen viel kleiner als die Abstände des gerade untersuchten Problems sind Q r0 r0 D D ρ Mathematisches Modell: Ladung, welche in einem Punkt konzentriert ist r′ O Q ρ= ( r ) Qδ ( r − r′ ) Dirac-Funktion δ ( r ) in 3D: ∫ w (r )δ (r ) d Ω = w ( 0) 3 12 1.2 Das Coulomb‘sche Gesetz Medium: Vakuum r12= r2 − r1 r21 = r1 − r2 = −r12 r12= r2 − r1 r21 = r1 − r2 = r12 r2 − r1 e12 = r12 r1 − r2 e 21 = = −e12 r21 1 Q1Q2 1 Q1Q2 F2 = e12 und F1 = e 21 = −F2 2 2 4πε 0 r12 4πε 0 r21 13 Die Konstante 1 4πε 0 gilt im Einheitssystem SI: 2 2 Nm VAsm 9 Vm ≅ 8,9876.109 2 ≈ 9.109 = 9.10 C mA2 s 2 As 4πε 0 1 −9 As F 10 F −12 −12 =8,8542.10 ≈ ε 0 ≅ 8,8542.10 : Vm m 36π m Permittivität des leeren Raumes (Vakuum) Nach den neuesten Messungen (1971) gilt die Abhängigkeit vom Abstand r als 1/r2 mit einer Genauigkeit von δ < 10-15, wenn die Annahme F 1 r 2±δ getroffen wird. 14 Additivität der elektrischen Kräfte, Superpositionsprinzip Drei Messungen: 1 Q2Q3 F32 = e 23 2 4πε 0 r23 1 Q3Q1 F31 = e13 2 4πε 0 r13 Erste Messung; Q2 unendlich weit entfernt Zweite Messung; Q1 unendlich weit entfernt F3 = F31 + F32 = 1 Q3Q1 1 Q3Q2 e + e 23 13 2 2 4πε 0 r13 4πε 0 r23 Dritte Messung; alle Ladungen platziert 15 1.3 Die elektrische Feldstärke Mit Hilfe der elektrischen Feldstärke kann die Kraft auf eine Punktladung als Nahwirkung beschrieben werden. F = QE Die elektrische Feldstärke E ist im Aufpunkt vorhanden und übt auf eine sich dort befindende Ladung Q eine Kraft F = QE aus (lokale Beziehung). N VAs 1 V Einheit der elektrischen Feldstärke: [= E] 1= 1 = 1 C m As m 16 E ist eine Feldgröße: eine Vektorfunktion der Ortskoordinaten E = E(r). E(r) r O Bei der Messung der elektrischen Feldstärke mit Hilfe der Beziehung F E= Q aus der Kraft F auf eine Probeladung Q ist darauf zu achten, dass die Probeladung die Verteilung der Ladungen, welche das elektrische Feld hervorrufen, nicht ändert. Falls diese Ladungen mechanisch fixiert sind, spielt die Größe von Q keine Rolle. Wenn sie frei beweglich sind, soll Q klein sein. 17 1.3.1 Elektrische Feldstärke von Ladungen im Vakuum Anordnung von N Punktladungen. Die Probeladung QA befindet sich im Aufpunkt A rQ j ... Quellpunktsvektor r, rA ... Aufpunktsvektor rQ j = rA − rQ j A FA= F= N QAQ j eQ jA ∑ 4πε r j =1 2 0 Qj A F E A= E= A= QA N Qj ∑ 4πε r j =1 2 0 Qj A rQ j A rQ j A 18 Spezialfall N = 1: elektrische Feldstärke einer Punktladung im Vakuum rQ = r´= x´e x + y´e y + z´e z Q rQA= r − r′ rA == r xe x + ye y + ze z A eQA rQ = r′ E A = E (r ) rQA rQA r − r′ e= = = QA = r r z A rQA rQA r − r′ x O y E (r ) 1 Q 1 1 Q ( r − r′ ) Q r − r′ = eQA = 2 4πε 0 rQA 4πε 0 r − r′ 2 r − r′ 4πε 0 r − r′ 3 19 Raumladung mit Dichte ρ verteilt in einem Volumen Ω: E(r )= E= 1 4πε 0 ∫Ω ρ (r´)dx´dy´dz´ (r − r´) r − r´ 2 r − r´ = 1 4πε 0 ∫Ω ρ ( r′ )( r − r′ ) r − r′ 3 dΩ ′ 1 Q ( r − r′ ) Falls ρ ( r ) = Qδ ( r − r′ ) , d.h. Punktladung: E ( r ) = 4πε 0 r − r′ 3 20 Flächenladung mit Dichte σ verteilt auf einer Fläche Γ: E(r ) = 1 4πε 0 ∫Γ σ (r´)(r − r´) r − r´ 3 dΓ ′ Linienladung mit Dichte τ verteilt entlang einer Linie C: E(r ) = 1 4πε 0 ∫ C τ (r´)(r − r´) r − r´ 3 ds′ 21 1.3.2 Potentielle Energie einer Punktladung im elektrostatischen Feld Die Kräfte, welche in einem elektrostatischen Feld auf eine Punktladung wirken sind konservativ: wird eine Punktladung in einem elektrostatischen Feld (mit infinitesimal kleiner Geschwindigleit, ohne Beschleunigung) entlang eines geschlossenen Weges bewegt, ist die geleistete mechanische Arbeit Null: ∫ F mech ⋅ ds = 0 Fmech = −F C 22 Diese konservative Eigenschaft kann für das elektrostatische Feld einer Punktladung Q1 bewiesen werden: C Q ds1 ds2 Eine Punktladung Q wird entlang der geschlossenen Kurve C bewegt. Die Kugelschale der Dicke dr ist konzentrisch zur Ladung Q1 angeordnet. Deshalb hat die Kraft F im Bereich der Kugelschale überall den gleichen Betrag und ist radial von Q1 weg- oder hingerichtet. Die Längen der beiden Wegelemente dr dr sind ds1 = bzw. ds2 = cos α1 cos α 2 Differentielle Arbeiten im Bereich der Kugelschale: dr dr dW2 = F ⋅ ds 2 = − Fds2 cos α 2 = −F cos α 2 = − Fd r cos α1 =Fd r cos α 2 cos α1 Die beiden differenziellen Arbeiten heben einander auf. Da der gesamte Weg in solche Kugelschalen zerlegt werden kann, ist die Gesamtarbeit gleich Null. Wegen des Superpositionsprinzips gilt dies für das Feld einer beliebigen 23 Ladungsverteilung! dW1 =F ⋅ ds1 =Fds1 cos α1 =F In einem konservativen Kraftfeld kann die potentielle Energie in einem Punkt P definiert werden: sie ist die mechanische Arbeit, welche dann geleistet wird, wenn die Punktladung aus einem Bezugspunkt P0 (hier ist die potentielle Energie konventionsgemäß gleich Null) zum Punkt P gebracht wird. ∫ Fmech ⋅ ds =0 = C = P C1 ∫F ⋅ ds − ∫ Fmech ⋅ ds mech C1 C2 ⇓ C E P0 W pot ( P= ) ∫F mech C1 C2 ⋅ d= s ∫F mech ⋅ d= s C2 P = ∫F mech P0 ⋅ ds 24 1.3.3 Die Wirbelfreiheit der elektrostatischen Feldstärke Fmech =−F =−QE Es gilt daher: 0 für eine beliebige geschlossene Kurve C ∫ E ⋅ ds = C C E ds 25 Verhalten der elektrischen Feldstärke auf einer Fläche mit einer Flächenladungsdichte t: Einheitsvektor in der Tangentialebene C n12 und in der Ebene von E1, E2 (C ist ein E2 Rechteck in der gleichen Ebene mit t 2 σ Γ Seitenlängen h und ∆s). E1 Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstärke: h ∆s 0 ∫ E ⋅ ds = 1 + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + ++ ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + ++ + + ++ + + + + + + + + + C Grenzübergänge: h → 0, Δs → ds, ds = tds ⇒ E2 ⋅ t∆s − E1 ⋅ t∆s =0 E2 ⋅ t = E1 ⋅ t Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke ist stetig! 26 Im Ausdruck E.t für die Tangentialkomponente hängt t von E ab. Es ist Vorteilhaft, die Tangentialkomponente mit Hilfe des Normalvektors n auszudrücken (n hängt nur von der Fläche ab und ist von E unabhängig): E= n ( E ⋅ n ) + t ( E ⋅ t )= nEn + tEt n × ( E × n ) = E ( n ⋅ n ) − n ( E ⋅ n ) = t ( E ⋅ t ) : Tangentialkomponente E Statt n × ( E × n ) reicht der Vektor E × n für die Beschreibung der Tangentialkomponente: . E nEn . n . tE t E×n Stetigkeitsbedingung: Γ E2 × n = E1 × n 27 1.3.4 Das elektrostatische Potential, die Spannung Die potentielle Energie in einem elektrischen Feld E(r) einer Punktladung Q in einem Punkt P ist: P P P0 P0 W pot ( P ) = −Q ∫ E ⋅ ds ∫ Fmech ⋅ ds = Definition des elektrostatischen Potentials: P P0 P0 P V ( P) = − ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds W pot ( P ) = QV ( P ) Die Wahl der Kurve zwischen P0 und P ist wegen der Wirbelfreiheit der elektrostatischen Feldstärke beliebig. V ist eine Feldgröße, eine Skalarfunktion der Ortskoordinaten: V = V(r). 28 Die Einheit des elektrostatischen Potentials ist: V 1 m= 1V [V ] =⋅ [E] [ Länge] = m Die Definition der Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2 in einem elektrostatischen Feld ist: U= 12 P2 ∫ E ⋅ ds P1 U12 P2 P1 Die Wahl der Kurve ist wegen der Wirbelfreiheit der elektrostatischen Feldstärke beliebig. Die Spannung ist eine integrale Größe: sie ist von den Ortskoordinaten unabhängig. 29 Die Spannung zwischen zwei Punkten ist die Differenz der Potentialwerte: Potential im Anfangspunkt minus das Potential im Endpunkt: U12 P1 ∫ E ⋅ ds =0 = P2 C12 C1 C = C C2 P0 ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds − ∫ E ⋅ ds= C12 C1 C2 = U12 − V1 + V2 ⇓ U12= V1 − V2 = Natürlich ist die Einheit der Spannung: [U ] [V=] 1V 30 1.3.5 Energie und Potential einer Ladungsverteilung Bringt man in einem feldfreien Raum eine Punktladung Q1 vom Unendlichen (P0) zu einer bestimmten Position (P1) im Endlichen, wird keine Arbeit geleistet. Bringt man jetzt eine zweite Punktladung Q2 vom Unendlichen in eine Position im Abstand r12 zur Q1, ist die geleistete Arbeit vom Weg unabhängig. Es wird daher eine Gerade gewählt. P0 : ∞ P2 P1 = W P2 ∫F mech ⋅ ds QQ Fmech = −Fel = − 1 2 2 er 4πε 0 r ds = −e r dr P0 r wird als Integrationsvariable verwendet; dr muss positiv sein: Integration von r12 bis ∞ ∞ ∞ QQ QQ Q1Q2 W= − 1 2 = ∫r 4πε1 0 r2 2 dr = 4πε 0 r r12 4πε 0 r12 12 31 Diese Arbeit ist gleichzeitig die potentielle Energie der Ladung Q2 im Feld der Ladung Q1. Daher ist das elektrostatische Potential im Feld der Ladung Q1 in einem Abstand r12 davon ist (Bezugspunkt mit V=0 im Unendlichen): Q1 1 V ( r12 ) = 4πε 0 r12 Allgemein, hat man eine Punktladung Q an einer Stelle r´, ist daher das Potential an der Stelle r: Q 1 V (r ) = 4πε 0 r − r′ 32 Für N Punktladungen kann das Superpositionsprinzip angewendet werden. Das Potential im Aufpunkt A (der Abstand der Punktladung Qj zu A ist rQ j A ) : N Qj j =1 4πε 0 rQ j A V =∑ Verallgemeinerung auf Raumladungen, Flächen- und Linienladungen: τ (r′)ds′ ρ (r′)d Ω ′ σ (r′)d Γ ′ V (r ) = ∫ V (r ) = ∫ V (r ) = ∫ ′ ′ 4πε 0 r − r′ C Ω 4πε 0 r − r Γ 4πε 0 r − r Diese Beziehungen gelten nur, wenn alle Quellen im Endlichen sitzen und der Bezugspunkt im Unendlichen gewählt werden kann. 33 Als nächstes wird die Punktladung Q3 aus dem Unendlichen (P0) auf einem beliebigen Wege herangebracht, dessen Anfangspunkt P0 und dessen Endpunkt P3 ist: P3 W3 = − ∫ F3 ⋅ ds P0 Superposition: P3 P3 P3 QQ QQ W3 = − ∫ (F31 + F32 ) ⋅ ds = − ∫ F31 ⋅ ds − ∫ F32 ⋅ ds = 1 3 + 2 3 4πε 0 r13 4πε 0 r23 P0 P0 P0 QQ QQ Q1Q2 + 1 3 + 2 3 Wges = W= 4πε 0 r12 4πε 0 r13 4πε 0 r23 Verallgemeinerung auf N Ladungen: 1 N N Qi Q j W = ∑∑ 2=i 1 =j 1 4πε 0 rij i≠ j Die Beziehung für W ist symmetrisch, es können i und j vertauscht werden. Daher treten die einzelnen Terme doppelt auf (deshalb der Faktor). 34 Die Ladung Qi kann nach vor gezogen werden. Der Ausdruck in der Klammer entspricht dann dem Potential Vi der restlichen N-1 Punktladungen an der Stelle der Ladung Qi: N N Q 1 1 j W = Q QV ∑ ∑ i ∑ i i πε r 2 4 2 =i 1 =j 1 0 i j =i 1 i ≠ j N Vi Übergang auf eine kontinuierliche Ladungsverteilung: ∑ → ∫ ; Qi → ρ d Ω 1 W = ∫ ρVd Ω 2Ω 35 1.4 Die elektrische Flussdichte (elektrische Verschiebung) Flussbegriff aus der Hydromechanik: Das Vektorfeld v sei ein homogenes Geschwindigkeitsfeld. a) b) c) Der Fluss in m3 pro Sekunde durch ein Rechteck wird gemessen a) ψ = v ⋅ Γ = vΓ b) ψ = 0 c) ψ = vΓ cos α 36 Fluss durch eine beliebige geschlossene Oberfläche gibt Auskunft darüber, ob eine Vektorgröße im Volumen innerhalb der Fläche Quellen besizt: Volumen: Ω, Fläche Γ = ∂Ω D Fluss des Vektorfeldes D (hier durch Feldlinien dargestellt) durch die Oberfläche Γ des Gebietes Ω n ist der Einheitsvektor der äußeren Flächennormalen 37 Dj Γ j = n jΓ j ψ=j D j ⋅ Γ j ψ ≈ ∑Dj ⋅Γj j Grenzübergänge: Γ j → d Γ; d Γ = nd Γ ∑→ ∫ ψ= Die Oberfläche wird in kleine ebene Flächenstücke Γj zerlegt Γ∫ D ⋅ d Γ = Γ∫ D ⋅ nd Γ = Γ∫ D d Γ n 38 Die elektrische Flussdichte D ist eine Feldgröße, welche in unmittelbarem Zusammenhang mit den Ladungen steht: der Fluss von D über eine geschlossene Fläche ist gleich die Ladungen im Volumen innerhalb der Fläche. 1.4.1 Das Gauß´sche Gesetz der Elektrostatik Die elektrische Flussdichte wird als die Vektorfunktion D(r) definiert, welche für ein beliebiges Volumen Ω (Randfläche ∂Ω ) das folgende Gauß‘sche Gesetz der Elektrostatik erfüllt: ∫Ω D ⋅ nd Γ = Ω∫ ρ d Ω= QΩ ∂ Q] [ Einheit von= D: [ D] = [ Fläche] C 1 2 m 39 1.4.2 Elektrische Flussdichte einer Punktladung er z r = re r x Q y Wegen der Symmetrie muss gelten: D ( r ) = D ( r ) er Γ ∫ D ⋅ d= Γ D 2 Dd = Γ D r d = Γ 4 π r D (r ) ( ) ∫ ∫ Γ Γ Gauß‘sches Gesetz: 4π r 2 D ( r ) = Q Q D(r ) = 4π r 2 Γ: Kugel, Q im Mittelpunkt, Radius r 40 Im Vakuum gilt für die elektrische Feldstärke einer Punktladung: E ( r ) = E ( r ) er E (r ) = Q 4πε 0 r 2 Beziehung zwischen D und E einer Punktladung: D ( r ) = ε 0E ( r ) 41 1.4.3 Elektrische Flussdichte einer beliebigen Ladungsverteilung Die elektrische Flussdichte D=ε0E einer Punktladung erfüllt im Vakuum das Gauß‘sche Gesetz der Elektrostatik auch für eine beliebige Hüllfläche: r r= , R R, = D(R) ,A A = a a= R2 2 r R2 1 A = a 2 b) Neigung um α: r cos α Fluss durch a: ψ= D ( r ) ⋅= a ε 0 E ( r ) ⋅= a ε0E (r ) a a Fluss durch A: ψ= D( R) ⋅ A = ε 0E ( R ) ⋅ A = ε 0 E ( R ) A cos α A D ( R ) ε 0 E ( R) r 2 Wegen = = gilt: D ( r ) ε 0 E (r ) R 2 a) Strahlensatz D(r) Q Das Flächenstück A ist größer als das Flächenstück a wegen: r 2 R2 1 = ψ A ε= a 2 cos α ψ a 0 E (r ) 2 α R r cos ε 0E( R ) A 42 N Ladungen im Inneren der Oberfläche, Superposition: ψ= = = Γ∫ D ⋅ d Γ = Γ∫ ε E ⋅ d Γ = 0 Γ∫ ε ( E 0 1 + E2 + ... + E N )= ⋅ dΓ Γ∫ ε E ⋅ d Γ + Γ∫ ε E 0 1 0 = Q1 + Q2 + ... + QN 2 ⋅ d Γ + ... + ∫ ε 0 E N ⋅ d Γ = Γ N Γ∫ ε E ⋅ d Γ=∑ Q 0 j =1 j ∫ ε 0E ⋅ d Γ = ∫ ρdΩ Γ Ω Kontinuierliche Ladungsverteilung: Q j= → dQ ρ d Ω , ∑→ ∫ ε0E erfüllt im Vakuum das Gauß‘sche Gesetz! Im Vakuum gilt allgemein: D=ε0E 43 Das Gauß‘sche Gesetz der Elektrostatik kann daher in einfachen Fällen (mit hoher Symmetrie) auch zur Bestimmung der elektrischen Feldstärke verwendet werden. Beispiel: unendlich lange Gerade mit konstanter Linienladungsdichte τ D=ε E Wegen Symmetrie: er 0 D ( r ) = D ( r ) er d Γ ∫ Dd= Γ Γ∫ D ⋅ = Γ M D(r ) Γ ∫Γ d= M = D ( r ) 2π rl = ∫ τ ds = τ l ⇒ D = C τ er 2π r E= τ er 2πε 0 r 44 Gerade unendlich lang in der z-Richtung: Feld von z unabhängig rQ= r=´ x´e x + y´e y τ rQA= r − r′ rA= A eQA rQ = r′ E A = E (r ) e= QA = r r y A O x E (r ) r= xe x + ye y rQA rQA r − r′ = = rQA rQA r − r′ 1 τ 1 τ r − r′ 1 τ ( r − r′ ) = eQA = 2πε 0 rQA 2πε 0 r − r′ r − r′ 2πε 0 r − r′ 2 45 Potential einer unendlich langen geraden Ladung mit konstanter Linienladungsdichte P0 ds = dr*er * r*: Integrationsvariable P0: Bezugspunkt, r*=r0 P: Aufpunkt, r*=r P τ 1 er 2πε 0 r * P r τ τ − ∫ E ⋅ ds = −∫ − ln r * V= dr* = 2πε 0 r * 2πε 0 P r E= 0 r r0 0 r0 τ V (r ) = ln 2πε 0 r 46 Das Potential wird im Unendlichen unendlich groß, da die meiste Ladung im Unendlichen liegt. Die Spannung zwischen zwei Punkten mit den Koordinaten r1 und r2: r0 r0 r0 r2 r2 τ τ τ τ U12 =V1 − V2 = ln − ln = ln = ln 2πε 0 r1 2πε 0 r2 2πε 0 r1r0 2πε 0 r1 Der Abstand r0 des Bezugspunktes fällt bei der Differenzbildung weg. Für r2 größer als r1 ist die Spannung positiv. 47 1.4.4 Verhalten der elektrischen Flussdichte auf einer Fläche mit einer Flächenladungsdichte D2 + + + + + ++ + + + + + + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + ++ + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + ++ + + ++ + + + + + + + + 2 h n12 n Ω 1 + σ Γ D1 ∆Γ n QΩ=σ∆Γ Ω: Zylinder mit Randfläche ∂Ω bestehend aus den Stirnflächen ∆Γ und der Mantelfläche der Höhe h Gauß‘sches Gesetz: ∫Ω D ⋅ nd Γ = QΩ ∂ Grenzübergänge: h → 0, ΔΓ → d Γ ⇒ D2 ⋅ n12 ∆Γ − D1 ⋅ n12 ∆Γ =σ∆Γ D2 ⋅ n12 − D1 ⋅ n12 = σ Die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte springt mit dem Wert der Oberflächenladungsdichte! 48 Beispiel:Unendlich ausgedehnte Flächenladung in der xyEbene mit konstanter Dichte σ Γ ∫ D ⋅ d = 2 D Γ= σΓD D Γ D ⇓ σ σ = D = ,E 2 2ε 0 D h D ist unabhängig von 2 das Feld ist homogen Dz springt bei z = 0 um σ 49 1.5 Leiter im elektrostatischen Feld (Influenz) Wird ein leitender Körper in ein elektrisches Feld gebracht, bewegen sich die Elektronen durch die elektrischen Feldkräfte und gruppieren sich solange um, bis das von ihnen erzeugte Feld das externe Feld genau kompensiert. Die umgruppierten Ladungen sitzen als Flächenladungen nahe an der Oberfläche des Körpers. Das Innere ist raumladungsfrei. Eine negative Ladungsverteilung auf Teilen der Oberfläche geht auf Kosten einer entsprechen positiven Verteilung (positive Atomrümpfe) auf den restlichen Teilen der Oberfläche. Dieser Vorgang heißt Influenz. Im Leiterinneren muss das elektrische Feld verschwinden, sonst würden sich die Ladungen nach wie vor bewegen. 50 Leiter im homogenen elektrostatischen Feld: ein leitender Körper wird in ein homogenes elektrisches Feld gebracht. 1. Das homogene Feld wird durch zwei unendlich ausgedehnte, konstante, fixierte (d.h. unbewegliche) Flächenladungsschichten erzeugt. Die Ladungen ordnen sich an der Oberfläche so an, dass das resultierende Feld Ei im Inneren Null wird. Dieser Vorgang erfolgt sehr schnell. Das Feld des Leiters wirkt nicht auf die Flächenladungen zurück, da diese als nicht beweglich angenommen sind. 51 2. Das homogene Feld wird durch einen geladenen Parallelplattenkondensator erzeugt. Unendlich ausgedehnte leitende Ebenen: Elektroden Das Feld des Leiters wirkt auf die Flächenladungsverteilung auf den Kondensatorplatten zurück. Sie ist nicht mehr konstant. 52 Bedingungen an der Grenzfläche Leiter-Isolator (Leiteroberfläche): D Di = 0 Der Sprung der Normalkomponente der elektrischen Flussdichte ist die Oberflächenladungsdichte: D ⋅ n − Di ⋅ n = σ Da Di=0 ist, gilt: D ⋅ n = Dn = σ En = σ ε0 Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke ist stetig: E × n = Ei × n = 0. Da Ei=0 ist, gilt: E×n = 0 = D ε= nσ 0E Et = 0 Das elektrische Feld steht normal auf die Leiteroberfläche! 53 Das Potential ist auf der Leiteroberfläche konstant: P P1 ist ein beliebig gewählter bestimmter Punkt auf der Leiteroberfläche: P1 P1 V ( P1 ) == V1 − ∫ E ⋅ ds Ei=0 P0 P ist ein beliebiger Punkt ebenfalls auf der Leiteroberfläche; die Kurve, welche P1 mit P verbindet verläuft auf der Leiteroberfläche. Daher ist das Potential im P: P0 P P1 V ( P) = − ∫ E ⋅ ds = − ∫ E ⋅ ds − P0 P0 =V1 P ∫ E ⋅ ds = V1 P1 =0, da E normal auf die Kurve steht 54 Der Faraday‘sche Käfig: Das Innere eines hohlen Leiters, gleich welcher Gestalt, ist feldfrei, vorausgesetzt, dass der Innenraum selbst ladungsfrei ist. Der ungeladene oder geladene Leiter befindet sich in einem externen Feld. 55 Beweis für Ei=0: Γi Gauß‘sches Gesetz der Elektrostatik: ⋅ nd Γ ∫Γ D= 0, da D= =ε 0 E 0 D.h. die eventuell auf der inneren Oberfläche sitzenden Ladungen (es gibt nur Flächenladungen!) sind in Summe Null: ∫Γ σ d Γ =0 i Mögliche Ladungsverteilung auf der Innenseite: ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ d s + ∫ i C Ci E ⋅ ds ≠ 0 CLeiter Widerspruch zur Wirbelfreiheit von E! 56 Auch andere Ladungsverteilungen mit immer die Wirbelfreiheit von E! ∫Γ σ d Γ = 0 verletzen i Die einzige mögliche Ladungsverteilung ist: = σ 0 auf Γi Es gibt weder im Hohlraum noch auf dessen Randfläche Ladungen: die elektrische Feldstärke kann nur Null sein. 57 1.6 Kondensatoren und Kapazität Kondensator: Anordnung bestehend aus zwei leitenden Körpern (Elektroden). Die Gesamtladung der beiden Elektroden ist Null: positive Elektrode hat Ladung Q, negative Elektrode hat Ladung –Q. Die Ladung Q ist der Spannung zwischen den Elektroden proportional. Q –Q U = V1 – V2 E V1 Ei=0 Ei=0 Γ1 Γ2 σ1 U V2 Q= ∫Γ σ d Γ 1 1 = − ∫ σ 2d Γ Γ2 Q = CU σ2 C>0: Kapazität hängt nur von der Geometrie ab! 58 Beispiel: σ d −σ Unendlich ausgedehnter Parallelplattenkondensator. Die Ladungen sitzen an den Innenseiten der Platten. Sonst wäre das Platteninnere nicht feldfrei. Die Ladungsdichte σ ist konstant. Das elektrische Feld ist homogen. 59 Ist die Plattenfläche ΓC endlich und die Plattenabmessungen sehr viel größer als der Plattenabstand d, können die „Randeffekte (Streufeld)“ vernachlässigt werden! y =0 d Γ CU ε 0 ε 0Γ C σ σ −∫ U= V2 − V1 =∫ E.d s = (−e y ).e y dy = d = Ed ε ε0 y d= y 0 0 = Q σΓ = = C C= ε 0Γ C d = U = UC d d C As [C=] 1= 1 = 1F ... Farad V V z.B.: C = 1F, d=1 mm, ΓC=? Γ= C 1.10−3 2 ≈ 113km ε 0 8,854.10−12 Cd Ein Farad ist eine sehr große Kapazität! Deshalb: 1µF=10-6 F, 1nF=10-9 F, 1pF=10-12 F 60 Ist der Plattenabstand im Vergleich zu den Plattenabmessungen nicht klein, muss das Streufeld in den Randbereichen mit berücksichtigt werden. Bei Berücksichtigung der Randeffekte ist die Kapazität höher. 61 1.6.1 Teilkapazitäten von mehreren Leitern Beispiel: drei Leiter a) V= 0 V1 ≠ 0 V= 2 3 V=0 Q1 = c11V1 c11>0 Q2 = c21V1 c21<0 Q3 = c31V1 c31<0 Für V1 positiv, sind Q2 und Q3 negativ, d.h. die Kapazitätskoeffizienten c21 und c31 sind negativ. 62 b) V=0 V= 0 V2 ≠ 0 V= 1 3 Q1 = c12V2 c) V=0 Q2 = c22V2 c12<0 c22>0 Q3 = c32V2 c32<0 V= 0 V3 ≠ 0 V= 1 2 Q1 = c13V3 c13<0 Q2 = c23V3 c23<0 Q3 = c33V3 c33>0 63 Die Überlagerung der Fälle a), b) und c) ist auch ein möglicher Zustand des Systems (Superposition!): Q1 = c11V1 + c12V2 + c13V3 + c23V3 Qi Q2 = c21V1 + c22V2 = Q3 = c31V1 + c32V2 + c33V3 cij: ... Kapazitätskoeffizienten cij negativ für i ≠ j c V i, j ∑= ij j 1, 2,3 j cij = c ji 64 3 Addition und Subtraktion von ∑c V k =1 k ≠i ik i zur i-ten Zeile (i=1,2,3): Q1 = (c11 + c12 + c13 )V1 − c12 (V1 − V2 ) − c13 (V1 − V3 ) Q2 = −c21 (V2 − V1 ) + (c22 + c21 + c23 )V2 − c23 (V2 − V3 ) Q3 = −c31 (V3 − V1 ) − c32 (V3 − V2 ) + (c33 + c31 + c32 )V3 −cij ; i ≠ j Teilkapazitäten: Cij = 3 Cii = ∑ cik k =1 Q1 = C11V1 + C12 (V1 − V2 ) + C13 (V1 − V3 ) Q= C12 (V2 − V1 ) + C22V2 + C23 (V2 − V3 ) 2 Q= C13 (V3 − V1 ) + C23 (V3 − V2 ) + C33V3 3 65 Teilkapazitäten und Feldlinien (für V1 > V2 > V3 > 0 ): 66 1.6.2 Im Kondensator gespeicherte Energie V2=U0 V1=0 dQ0 Die differenzielle Arbeit dW: Q0 = dW dQ = dQ0 0U 0 C Ein Kondensator wird auf die Ladung Q aufgeladen, indem von der Elektrode 1 die Ladung in kleinen Portionen dQ0 auf die Elektrode 2 gebracht wird. Zu einem bestimmten Zeitpunkt dieses Vorganges beträgt die Ladung ±Q0 und die Spannung zwischen den Elektroden ist von Null auf U0 angestiegen: Q0=CU0 67 Die zur Aufladung des Kondensators, ausgehend von Q0=0 bis Q0=Q (bzw. U0 = 0 bis U0 = U), benötigte Arbeit ist: Q W 1 1 Q2 Q0 dQ0 = ∫ 2 C C Q0 =0 Diese geleistete Arbeit ist als elektrische Energie im Kondensator gespeichert: 1 Q2 1 1 2 W = CU QU = = 2 C 2 2 68 1.7 Methode der fiktiven Ladungen Das elektrostatische Potential ist auf der Oberfläche von Metallelektroden konstant. Gelingt es eine Ladungsverteilung im Inneren der Elektrode (fiktive Ladungen) zu finden, so dass das Potential auf der Elektrodenoberfläche konstant ist, kann das elektrische Feld außerhalb der Elektrode als das Feld dieser Ladungen bestimmt werden. V=konstant V=konstant E E außerhalb ist E in Q.1 Ei=0 beiden . σ QN. Fällen gleich! Elektrode Fiktive Ladungen 69 Die Gesamtladung auf der Elektrodenoberfläche ist gleich die Summe der fiktiven Ladungen: E σ E Ei=0 Q. 1 ΓElektrode . . QN Γ Γ Gauß‘sches Gesetz der Elektrostatik: Γ∫ ε E ⋅ nd Γ 0 ∑Q Γ∫ ε E ⋅ nd Γ = = ∫ σ d Γ 0 Γ Elektrode ∫ Γ Elektrode N j =1 i N σ d Γ = ∑ Qi j =1 70 Beispiel: Kugelelektrode (Radius R) mit Bezugselektrode im Unendlichen Q Potential einer Punktladung: V = 4πε 0 r Äquipotentialflächen sind Kugelflächen: = r konstant = ⇒ V konstant Die Punktladung ist die gesuchte Ladung, die kugelförmige Äquipotentialflächen hat. Q Q V= U= = 4πε 0 R C Im Unendlichen ist V gleich Null. Kapazität einer Kugelelektrode gegen Unendlich: C = 4πε 0 R 71 Beispiel: Zwei konzentrische kugelförmige Metallelektroden Q Q ; Vi Va = = 4πε 0 Ra 4πε 0 Ri Q 1 1 Q U =Vi − Va = ( − )= 4πε 0 Ri Ra C 4πε 0 Ri Ra C= Ra − Ri 72 Beispiel: Unendlich langer Zylinderkondensator (Koaxialkabel) Kapazität je Länge: 2πε 0 C=′ = U ln Ra Ri τ Äquipotentialflächen einer unendlich langen Linienladung mit konstanter Linienladungsdichte sind Zylinderflächen r0 τ r0 τ ln Va = ln Vi = 2πε 0 Ra 2πε 0 Ri Ra τ U =Vi − Va = ln 2πε 0 Ri Zylinderkondensator (Koaxialkabel) der Länge l (l Ri , Ra ) bei Vernachlässigung der Randeffekte: 2πε 0l C= Ra ln Ri 73 1.7.1 Das Spiegelungsprinzip Punktladung über unendlich ausgedehnter leitender Ebene: Q 1 Q 1 Q 1 Q 1 VEbene = − = − =0 + − + + 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r VEbene Die Anordnung von Q + r r-=r+ und –Q im Abstand 2d σ beschreibt für die rechte Halbebene das Problem: –Q ist eine fiktive Ladung: Spiegelladung In der linken Halbebene ist beim Originalproblem die Feldstärke Null! 74 Feldstärke in einem beliebigen Aufpunkt: = E rQA = xe x + ye y + ( z ± d )e z Q Q xe x + ye y + ( z − d )e z − + E = − E = 3 4πε 0 4πε 0 2 2 2 2 x + y + ( z − d ) E+ + E− xe x + ye y + ( z + d )e z 3 2 x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 Q d e Für die xy - Ebene (z = 0) ergibt sich: E = − 3 z 2πε 0 2 (x + y2 + d 2 )2 Flächenladungsdichte auf der Ebene: σ ε= = 0E = r −Qd 3 2 2 2π (r 2 + d ) x2 + y 2 75 Influenzierte Gesamtladung auf der Ebene: ∞ ∞ Qd 2π rdr Qinf = σ 2π rdr = − = 3 ∫r 0= ∫ 2π r 0 2 (r + d 2 ) 2 1 1 )= Qd ( = − −Q ∞ d2 Die influenzierte Ladung ist gleich groß, wie die Spiegelladung: -Q. Der Betrag der influenzierten Ladung ist gleich groß wie die influenzierende Ladung Q. Punktladung über Ebene ist ein wenig realistisches Beispiel. 76 Beispiel: Kugelelektrode über Ebene Eine Kugelelektrode mit dem Radius R befindet sich im Abstand h über einer leitenden Ebene. Rechts: Ersatzproblem mit Spiegelladung im Kugelmittelpunkt (Näherung für R h ). Zwei Punktladungen Q und -Q haben nur eine kugelförmige Äquipotentialfläche, nämlich die Symmetrieebene mit V=0 (Radius dieser „Kugeloberfläche“ ist unendlich!) Alle anderen Äquipotentialflächen sind keine Kugelflächen. 77 Die Kugelfläche ist aber näherungsweise äquipotentiell, falls R h : nur im Feld von Q ist sie exakt äquipotentiell. Q Im Feld von –Q ist das Potential in verschiedenen 2h+R 2h-R r- Punkten der Kugelfläche verschieden, da die Abstände r- zur Spiegelladung –Q verschieden sind. Es gilt aber: 2h − R ≤ r− ≤ 2h + R , d.h. für Q 1 V = − hat man: 4πε 0 r− -Q Q 1 Q 1 − − ≤V ≤ − 2h-R 2h 2h+R 4πε 0 2h + R V r- 4πε 0 2h − R Q 1 − 4πε 0 2h Q 1 − Gute Näherung: V = − = konstant 1 4πε 0 2h − r− − 78 U= VKugel − VEbene = VKugel = V + + V − (Superposition) Q 1 V = 4πε 0 R + V− ≈− 1 4πε 0 2h Q 4πε 0 8πε 0 Rh Q Q 1 1 U= ≈ − ⇒C ≈ 1 1 = 2h − R C 4πε 0 R 2h − R 2h 79 Beispiel: Unendlich lange Zylinderelektrode über Ebene r- -τ V + + V − (Superposition) = U= VZylinder − VEbene = VZylinder τ h V+ = ln 2πε 0 R τ h h h τ τ − ln ln ln − ≤V ≈ − ≤− 2πε 0 2h − R 2πε 0 2h 2πε 0 2h + R Kapazität je Länge: 2πε 0 τ τ h h τ 2h ′ U= ≈ ln − ln = ln ⇒ C ≈ 2h C ′ 2πε 0 R 2h 2πε 0 R ln R 80 Das Problem hat auch eine exakte Lösung: Alle Äquipotentialflächen der Anordnung τ, -τ sind exzentrische Kreiszylinder! Die Ladungen sind bzgl. des Mittelpunktes um e verschoben. U = VZylinder = V + +V − Bezugspunkt V=0 R -τ h-e τ τ h−e τ h−e τ 2h − e − R U= = ln − ln = ln C ′ 2πε 0 R − e 2πε 0 2h − e − R 2πε 0 R−e C′ = 2πε 0 2h − e − R ln R−e 81 Bestimmung von e: Äquipotentialflächen eines Liniendipols d2 r =r + − rd sin ϕ 4 d2 r =r + + rd sin ϕ 4 d2 2 + rd sin ϕ r + r0 r0 τ τ 4 = V (ln − ln= ) ln d2 r+ r− 2πε 0 4πε 0 2 − rd sin ϕ r + 4 2 + 2 Äquipotentialflächen: V= V= konstant ⇒ e 0 4πε 0V0 τ 2 − 2 = c>0 d2 d2 d2 2 2 0 r sinϕ = y c(r + − rd sin ϕ ) =r + + rd sin ϕ ⇒ r (c − 1) + (c − 1) − rd sin ϕ (c + 1) = 4 4 4 2 r= x2 + y 2 a) c =1 ⇒ V0 = 0 ⇒ 2 yd = 0 ⇒ y = 0 ... Symmetrieebene 2 c +1 d 2 b) c ≠ 1 ⇒ x + y − dy + = 0 c −1 4 2 2 d c + 1 2 d 2 c + 1 2 d 2 4c d 2c x + (y − = = = ) ( ) − 1 2 2 c −1 4 c − 1 (c − 1) 2 4 (c − 1) 2 Kreise, deren Mittelpunkte d c +1 um t = verschoben 2 c −1 sind 82 Der Radius ist: R = d c c −1 Abstand des Mittelpunktes von +τ und –τ : d d c +1 1 = ( − 1) =d 2 2 c −1 c −1 d d c +1 c 2h − e = t + = ( + 1) = d 2 2 c −1 c −1 e =t − ⇒ e.( 2h − e ) = R2 e 2 − 2he + R 2 =0 ⇒ e =h ± h 2 − R 2 e < h! Der Abstand von τ zum Mittelpunkt ist die Exzentrizität e: e =− h h2 − R 2 Abstand von -τ zum Mittelpunkt: 2h − e = h + h 2 − R 2 83 Beispiel: Spiegelung an rechtwinkeliger Ecke 90°: Punktladung in 90° Ecke 180 = α = , n 1, 2,... Es geht, falls n Punktladung in rechteckiger Box. Unendlich viele Spiegelungen: Abbruch, wenn Abstand groß genug! 84 1.8 Energie und Kräfte im elektrischen Feld 1.8.1 Energieinhalt des elektrischen Feldes E und D seien die elektrische Feldstärke und die elektrische Flussdichte in einem Punkt im Raum. In einem sehr kleinen Volumen ∆Ω um diesen Punkt kann das Feld als homogen betrachtet werden. Energie eines infinitesimalen Parallelplattenkondensators: ∆ΓC 1 1 1 ∆ W = E ∆ d σ ∆ Γ = ED ∆ d ∆ Γ = E ⋅ D∆Ω C C σ=D ∆d 2 U 2 2 −σ E Q elektrische Energiedichte (eine Feldgröße) wird postuliert als: ∆W 1 = we = E⋅D ∆Ω 2 85 Elektrische Energie in einem Volumen Ω: 1 = W ∫ we= dΩ E ⋅ Dd Ω ∫ 2Ω Ω Die Energie wird nicht in den Ladungen, sondern im elektrischen Feld gespeichert. Die Äquivalenz 1 1 ρVd Ω = E ⋅ Dd Ω ∫ ∫ 2Ω 2 3 wird im Kapitel 6 bewiesen. 86 1.8.2 Kräfte auf Leiter im elektrischen Feld Kraft auf die Elektrode eines Parallelplattenkondensators (Streufeld vernachlässigt, Fläche ist ΓC): σ 2Γ C σ −∫ σ d Γ ex = − F= ex ∫Γ dQE = ε0 ε0 Γ Falsch! Das eigene Feld der differentiellen Ladung σdΓ darf nicht berücksichtigt werden: das richtige Ergebnis ist nur die Hälfte! 87 Beweis für beliebige Elektrodenoberfläche Kleine Scheibe aus geladener Elektrodenoberfläche wird herausgeschnitten und getrennt betrachtet Die Normalkomponente von E bei der getrennt betrachteten Scheibe σ . ist wegen der Symmetrie 2ε 0 88 Die Tangentialkomponenten von E heben sich auf, sie brauchen daher nicht betrachtet werden, es interessieren nur die Normalkomponenten. Es müssen alle restlichen Ladungen auf der Oberfläche der Elektrode (und alle sonstigen, vorhandenen Ladungen außerhalb der σ Elektrode) ein Feld n am Ort des entfernten 2ε 0 Scheibchens erzeugen, so dass das Feld nach Überlagerung mit dem Scheibchenfeld innen Null wird und somit außen σ den Wert n annimmt. ε0 89 σ Die Scheibe befindet sich also im Fremdfeld mit der Stärke n und dieses Feld ist für die Kraft auf die Scheibe verantwortlich2ε 0 1 dF = 2 σ 2d Γ n ε0 bzw. 1 σ 2d Γ F = ∫n 2Γ ε0 Die Kraft auf die Kondensatorplatte, wie auch auf jede anderen beliebig geformte Elektrode ist exakt halb so groß, da das auf das Flächenelement wirkende Feld nur halb so groß, wie das Gesamtfeld ist. Richtige Kraft auf die Kondensatorplatte ist daher: σ 2Γ C = F (−e x ) 2ε 0 90 1.8.3 Prinzip der virtuellen Verschiebung Der Körper, an dem die Kräfte angreifen, wird um ein infinitesimal kleines Wegstück dr verschoben. Die dazu nötige Arbeit wird vom Feld geleistet, wenn es sich um ein abgeschlossenes physikalisches System handelt, in dem der Energieerhaltungssatz gilt. Die Summe aller in einem solchen System auftretenden Energien bleibt stets konstant. Es gilt in einem solchen abgeschlossenen System: F.d r + dW = 0 bzw. F.d r = −dW 91 Beispiel 1: Parallelplattenkondensator (Batterie abgeschlossen) Die Ladung Q wird konstant gehalten (Batterie abgeschlossen): energetisch abgeschlossenes System Die obere Platte wird um dx bzw. ∆x in positive x-Richtung verschoben: ε 0 Γ C ( x + ∆ x) 2 ε 0 Γ C x 2 ∆W = W2 − W1 = E2 − E1 2 2 E= E= E , da Q = konstant 1 2 ⇒= E Q ε 0Γ C ⇒ = ∆W ε 0 Γ C ∆xE 2 Q 2 ∆x = 2 2Γ C ε 0 92 F.d r = Fdx = − dW bzw. F.∆r= F ∆r ≈ −∆W σ 2Γ C Q2 F= − ex = − ex 2Γ C ε 0 2ε 0 Gleiches Ergebnis, wie aus der Kraft auf die Ladungen im elektrischen Feld. 93 Ist die Batterie angeschlossen, spricht man von einem gekoppelten physikalischen System. Hier muss gelten, dass die Summe der von einem System aufgenommenen Energie gleich ist der vom anderen System abgegebenen Energie. Der Zuwachs der Energie eines Systems ist gleich der vom anderen System geleisteten Arbeit: F.d r + dW = − dWBatt mit dWBatt = − dQU dQU Somit ist: F.d r + dW = Man könnte auch die Batterie in das System mit einbeziehen und hat dann wieder nur ein einziges abgeschlossenes System. In diesem Fall kann man sagen, dass die von der Batterie geleistete Arbeit zum Verschieben des Körpers und zur Erhöhung der Feldenergie verwendet wird: F.d r − dQU + dW = 0 94 Beispiel 2: Plattenkondensator (Batterie angeschlossen) Die Spannung U wird konstant gehalten (Batterie angeschlossen). Da U=konstant, ändert sich E bei der Verschiebung: 1 U U U ( ∆E = E2 − E1 = − = − 1) x + ∆x x x 1 + ∆x x U U ∆x ∆x ∆E ≈ (1 − − 1) =− 2 ⇒ ∆Q =Q2 − Q1 =ε 0 Γ C ∆E x x x ∆W = W2 − W1 = ε 0 Γ C ( x + ∆x)U 2 ε 0 Γ C xU 2 = − 2( x + ∆x) 2 x2 2 ε 0 Γ CU 2 2x ε 0 Γ C ∆xU 2 1 − 1) ≈ − ( 2 ∆x x 2 1+ x 95 Fdx − dQU + dW = 0 bzw. Fdx − dEε 0 Γ C U + dW = 0 dQ Damit ergibt sich: U 2 dxε 0 Γ C ε 0 Γ C dxU 2 U 2ε 0 Γ C Fdx = dx − + = − 2 2 2 x 2x 2x F= − ε 0 Γ CU 2 2 ex 2x Die Kraft auf die Platte ist selbstverständlich gleich wie für 2 ΓC Q 2 das Beispiel 1, es braucht nur U durch 2 mit C = ε 0 x C ersetzt werden. 96 1.8.4 Der elektrische Dipol Betrachtet wird die Doppelquelle im gegenseitigen Abstand l. rl , l l= , r1 r1 = , r2 r2 = r r= Die elektrische Feldstärke im Aufpunkt A: Q E= 4πε 0 1 r1 1 r2 Q r 2 r − r 2 r = 4 1 1 2 2 πε 0 r1 r2 r3 − r3 2 1 97 l r1 = r − , r1 = 2 2 r ⋅l l 2 r − r ⋅ l + ≈ r 1− 2 r 4 l2 r ⋅l r + r ⋅ l + ≈ r 1+ 2 4 r x x Für x 1 gilt: 1 − x ≈ 1 − , 1 + x ≈ 1 + , 2 2 1 1 ≈ 1 − x, ≈ 1 + x, (1 + x )3 ≈ 1 + 3 x, (1 − x )3 ≈ 1 − 3 x 1+ x 1− x l r2 = r + , r2 = 2 2 1 1 3 r ⋅l r ⋅l 1 1 r ⋅l r1 ≈ r 1 − 2 , ≈ 1 + 2 , 3 ≈ 3 1 + 2 2r r1 r 2r r1 r 2 r 1 1 3 r ⋅l r ⋅l 1 1 r ⋅l r2 ≈ r 1 + 2 , ≈ 1 − 2 , 3 ≈ 3 1 − 2 2r r2 r 2r r2 r 2 r 98 l l r r − + Q 3 r ⋅l 3 r ⋅ l 2 2 E≈ − 3 1 − 3 1 + 2 4πε 0 r 2 r r 2 r 2 3 r ⋅l l 3 r ⋅l l 3 r ⋅l 3 r ⋅l E≈ r+ r− − l −r + r− + l 3 2 2 2 2 4πε 0 r 2 r 2 4 r 2 r 2 4 r Q r ⋅l E≈ −l + 3 2 r 3 4πε 0 r r Q Grenzübergang: l → 0; Q → ∞ , damit Ql endlich (mathematischer Dipol): Das Dipolmoment p = Ql ist ein konstanter Vektor: r ⋅p = E −p + 3 2 r 3 4πε 0 r r 1 für r → ∞ verschwindet E mit 1 r 3 99 Ähnlich ist das Potential im Aufpunkt A: Q Q 1 1 = V ( −= ) ( 4πε 0 r1 r2 4πε 0 1 2 − 1 2 ) l l 2 r − r.l + r + r.l + 4 4 1 1 1 1 Q Q ( )≈ ( ) − − V≈ 1 . 1 . r l r l 4πε 0 r 4πε 0 r 1 − r.l r.l 1+ 1− 2 1+ 2 2 2 2 r 2 r r r 1 r.l 1 r.l Q(r.l ) Q (1 + ) − (1 − ) = V≈ 2 2 4πε 0 r 2r 2 r 4πε 0 r 3 2 Potential eines Dipols mit Dipolmoment p: p.r V= 4πε 0 r 3 für r → ∞ verschwindet V mit 1 r 2 100 1.8.5 Kräfte auf einen elektrischen Dipol Dipol im homogenen Feld: T= p × E Drehmoment: T= r × F l l l T = × QE − × (−QE) = 2 × QE = lQ × E 2 2 2 gilt für auch für ein inhomogenes Feld Ist der Dipol ausgerichtet, verschwinden Kraft und Drehmoment 101 1.9 Elektrische Felder in Materie Wird der Raum zwischen den Elektroden eines Kondensators statt Vakuum mit einem dielektrischen (nichtleitenden, isolierenden) Material gefüllt erhöht sich die Kapazität um einen Faktor εr > 1. Dieser heißt auch relative Dielektrizitätskonstante und ist eine Eigenschaft des Dielektrikums. Betrachten wir einen Parallelplattenkondensator in drei verschiedenen Situationen: 1. Batterie angeschlossen, Vakuum zwischen Platten ε 0Γ C C1 = d U1 Q E0 = = Γ Cε 0 d 102 2. Batterie getrennt, Q bleibt konstant, ungeladene Metallplatte der Dicke b wird eingeschoben E0 = Q Γ Cε 0 Die Spannung U2 zwischen den Platten wird kleiner: U= E0 (d − b) < U1 2 Daher ist die Kapazität größer: Q ε 0Γ C C = 2 = > C1 U2 d − b 103 3. Batterie getrennt, Q bleibt konstant, ein Isolator der Dicke b wird eingeschoben E0 = Q Γ Cε 0 Polarisationsladungen Die Spannung U3 zwischen den Platten wird kleiner, bleibt aber größer als U2. Damit ist die Kapazität größer, als im Fall 1 aber kleiner als im Fall 2: U 2 < U 3 < U1 ⇒ C1 < C3 < C2 U= E0 (d − b) + bEi 3 ⇒ 0 < Ei < E0 Die elektrische Feldstärke im Dielektrikum ist kleiner als im Vakuum, ist aber nicht Null. 104 1.9.1 Atomare und molekulare Dipole 1.9.1.1 Induziertes Dipolmoment (unpolare Medien) Wasserstoffatome im Grundzustand: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons ist kugelförmig (exponentielle Verteilung). Atomares Dipolmoment: p = ε 0α E α: atomare Relative Dielektrizitätszahl ε r von unpolaren Medien etwa 2 bis 7 Polarisierbarkeit, meist konstant Die für die Praxis wichtigen Isolationsstoffe sind unpolar (Öl, Glass, Holz, Substrat, …) 105 1.9.1.2 Permanentes Dipolmoment (polare Medien) Polare Medien haben bereits in Abwesenheit eines elektrischen Feldes ein Dipolmoment (permanentes Dipolmoment). Beispiel: Wassermolekül H2O ε r = 80 Weitere polare Medien: ferroelektrische Kristalle 106 1.9.2 Polarisationsdichte und die elektrische Flussdichte Makroskopische „Verschmierung“ der atomaren Dipolmomente in einem makroskopischen Volumselement dΩ: p ∑ P= dΩ a : Polarisationsdichte d p = Pd Ω P und D haben die gleiche Einheit: Ql ] [ = = [P] [Volumen] Cm C 1= 1 m3 m2 107 Plattenkondensator mit dielektrischer Platte: Es werden im externen elektrischen Feld Dipole induziert (unpolare Medien) oder bereits vorhanden permanente Dipole ausgerichtet (polare Medien). Im Inneren der Platte kompensieren sich die Ladungen, an den Deckflächen bleiben sogenannte Polarisationsladungen (das sind gebundene Ladungen im Gegensatz zu den freien Ladungen) zurück. Das elektrische Feld im Inneren der Platte kann im Gegensatz zur Influenz nicht völlig verschwinden, weil sonst die Ursache für die Polarisation wegfällt. 108 1.9.2.1 Zusammenhang zwischen Polarisationsdichte und Polarisationsladung = = Γ.d l (P.d Γ= d p P= d Ω P d ) d l dQd l dΩ dQ = dQ P= .d Γ P.n= dΓ σ PdΓ σ P = P.n Gilt auch, wenn P beliebig orientiert ist. 109 Plattenkondensator σ σP e = E E0 + E′ = E E0 − P ε0 Die Polarisationsflächenladungen erzeugen ein Feld E´, das dem ursprünglichen Feld E0 entgegenwirkt. Das Feld E0 wird durch die freien Ladungen σ erzeugt, es gilt daher σ = ε0E0.e. Nach der Definition der elektrischen Flussdichte D gilt σ = D.e. Damit hat man D = ε0E0. Daher: D P E= − ⇒ D = ε 0E + P ε0 ε0 110 Verhalten von P für verschiedene homogene und inhomogene Dielektrika bei einer ebenen und einer kugelförmigen Elektrode: Im Allgemeinen sind die Quellen von P die negativen Polarisationsladungen: +Q Γ∫ P ⋅ nd Γ = −QP = − ∫ ρPd Ω − ∫ σ Pd Γ Ω ΓP Ω 111 Sind auch freie Ladungen ρ vorhanden, bilden diese zusammen mit den Polarisationsladungen die Quellen von ε0E: Γ∫ ε E ⋅nd Γ= Ω∫ ρ d Ω + Γ∫ σ 0 P d Γ + ∫ ρPd Ω Ω P − ∫ P⋅nd Γ Γ ∫ (ε 0E + P ) ⋅ nd Γ = ∫ ρdΩ Γ Ω Die freien Ladungen sind die Quellen von D: Γ∫ D ⋅ nd Γ = ∫Ω ρ d Ω Es gilt daher im Allgemeinen: = D ε 0E + P 112 Das Medium ist linear, wenn P proportional zu E ist: P = ε0χE Der Proportionalitätsfaktor χ heißt elektrische Suszeptibilität: D= ε 0 E + ε 0 χ E =ε 0 (1 + χ )E In linearen Medien sind daher D und E auch proportional 113 Kapazität eines Parallelplattenkondensators, welcher mit einem Medium mit der Suszeptibilität χ gefüllt ist: Q σΓ c DΓ c C= = = = U Ed Ed (1 + χ ) ε 0 Γc d C0 C0: Kapazität des mit Vakuum gefüllten Kondensators. Es gilt laut Messungen: C = εrC0. Damit gilt: εr = 1+ χ = D ε= εE rε 0E ε = εrε0: Permittivität oder Dielektrizitätszahl 114 1.9.3 Grenzflächenbedingungen Verhalten von D auf der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedener Permittivität: Γ∫ D ⋅ nd Γ = −n12 ⋅ D1∆Γ + n12 ⋅ D2 ∆Γ = 0 ⇓ n12 .(D2 − D1 ) = D2 n − D1n = 0 115 Die Normalkomponente von D ist stetig, wenn auf der Grenzfläche keine freien Flächenladungen sitzen! D2 n = D1n E1n ε 2 Wegen = ε 2 E2 n ε= 1 E1n gilt E2 n ε1 Die Normalkomponenten von E verhalten sich an der Grenzfläche umgekehrt proportional zum Verhältnis der Permittivitäten! 116 Verhalten von E auf der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedener Permittivität: ∆r sehr klein, sodass E im Bereich von ∆r konstant in 1.Näherung ∫ E ⋅ dr = ∆r ⋅ E 2 − ∆r ⋅ E1 = ∆r ⋅ (E2 − E1 ) = ( E2t − E1t )∆r = 0 C 117 Die Tangentialkomponenten von E sind stetig! E2 × n = E1 × n D1t D2t D1t ε1 Wegen gilt = = ε1 ε2 D2t ε 2 Die Tangentialkomponenten von D verhalten sich an der Grenzfläche direkt proportional zum Verhältnis der Permittivitäten! Verhalten des Potentials an der Grenzfläche: h →0 2 2 V2 − V1 = ∫ E ⋅ dr = ∫ E 1 2 ⋅ dr − ∫ E1 ⋅ dr = = ( E2t − E1t )dr = 0 Das Potential ist an der Grenzfläche wegen E2t = E1t stetig! 118 2. Das stationäre elektrische Strömungsfeld 2.1 Elektrischer Strom, Stromdichte • Strömende elektrische Ladung: elektrischer Strom • Bewegung von Ladungsträgern: positive und negative Ionen (geladene Teilchen) n • Strom(stärke) I: I Ladung durch eine Γ Fläche Γ je Zeit • Einheit des Stromes: [ Ladung ] C As [= I] = 1= 1 = 1A (Ampere) [ Zeit ] s s • Stationärer Strom: I ist zeitlich konstant 119 Spezialfall: konvektiver Strom beweglicher Teilchen gleicher Größe Q mit gleicher zeitunabhängiger Geschwindigkeit v n: Teilchendichte (Anzahl der Teilchen je Volumeneinheit), [n] = 1/m3 Ladungsdichte: ρ = Qn Anzahl der Teilchen durch Fläche im Zeitintervall ∆t: nv.Γ∆t. Damit ist der Strom durch die Fläche: Qnv ⋅ Γ∆t I= = Qnv ⋅= Γ ρv ⋅Γ ∆t Homogene Stromdichte J: I= J ⋅ Γ J = ρv 120 Leitungsmechanismus in Metallen: Frei bewegliche Elektronen führen stochastische (thermische) Bewegungen durch. Für die Stromleitung ist die mittlere Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit) v ausschlaggebend 1 N v = ∑ vi N i =1 J = ρv Für eine inhomogene Stromdichteverteilung (d.h. ρ und v sind Funktionen vom Ort) gilt für eine beliebige Fläche Γ: I = ∫ J ⋅ d Γ = ∫ J ⋅ nd Γ Γ Γ dΓ n J Γ A J ist eine Feldgröße. Einheit: [J ] = 1 2 m Die Wahl der Orientierung von n bestimmt die Zählrichtung des Stromes 121 Oberflächenstromdichte: K (manchmal wird auch α verwendet) K n ⇒ IC = ∫ Κ ⋅ nd s C A [K ] = 1 m C Fläche 122 2.2 Kontinuitätsgleichung, Ladungserhaltung Ein Strömungsfeld ist stationär, wenn die Stromdichte ∂J überall zeitlich konstant ist, d.h. = 0. ∂t Strom durch eine geschlossene Fläche: Es kann kein zeitlich unabhängiger Strom I aus einer geschlossenen Oberfläche beliebig lang (unendlich lang!) aus- oder eintreten. Das ist im Widerspruch zum Ladungserhaltungssatz. Es müsste im eingeschlossenen Volumen laufend Ladung aus dem Nichts erzeugt werden. Es gilt daher für das stationäre Strömungsfeld: ∫ J ⋅ d Γ = Γ ∫ J ⋅ nd Γ = 0 Γ Die Quellen des stationären Strömungsfeldes sind Null! 123 Ist im Allgemeinen die Stromdichte J zeitabhängig, muss ein aus einer geschlossenen Oberfläche austretender Strom eine Abnahme der Ladung im Inneren bewirken. In der Zeit dt fließt die Ladung dQ aus dem Volumen durch die Oberfläche, d.h. die Ladung im Inneren nimmt um ∫ J ⋅ d Γ dt ab. Dies bedeutet, dass die Änderung der Γ Ladung in der Zeit dt dQ = Q(t + dt ) − Q(t ) = − ∫ J ⋅ d Γ dt ist. Daraus folgt das Γ Kontinuitätsgesetz: dQ d ∂ρ − = − ∫ ρdΩ = −∫ dΩ Γ∫ J ⋅ d Γ = dt dt Ω Ω ∂t 124 2.3 Das Ohm‘sche Gesetz Im Gegensatz zum konvektiven Strom mechanisch bewegten Ladungen ( J = ρv), werden in einem Leiter die Ladungen durch ein elektrisches Feld bewegt: Leitungsstrom. Die häufigste Ursache für das Zustandekommen eines Stromes ist das elektrische Feld, das eine Kraft auf die Ladungen ausübt und sie in Bewegung versetzt, falls dies die Eigenschaften der Materie, in der sich die Ladungsträger befinden, gestatten (Leiter!). 125 Eine der frühesten experimentellen Entdeckungen über elektrische Ströme in Materie wird durch das Ohm´sche Gesetz beschrieben: der Strom, der z.B. in einem Stück Kupferdraht fließt, ist proportional der an seinen Enden liegenden Spannung: U = I = , bzw. U RI I R U Bei konstanter Temperatur ist der Widerstand R von der Stromstärke unabhängig, er hängt nur von der Geometrie und vom Material ab. 126 Das Ohm´sche Gesetz ist Ausdruck einer bemerkenswerten und allgemeinen Eigenschaft der Materie. Das Grundgesetz, das sich dahinter verbirgt ist folgendes: In Leitern, in denen das Ohm´sche Gesetz gilt, ist die Stromdichte J an jedem Punkt im Raum der elektrischen Feldstärke E proportional. Der Proportionalitätsfaktor hängt nur vom Leitermaterial ab und nicht von der Geometrie des Leiters: J =γE Der Proportionalitätsfaktor γ ist die spezifische Leitfähigkeit. J] [ 1 A m S Einheit: [= γ ] = 1 2 .= =1 [ E] m V Ω m m Ω : Ohm, S : Siemens 127 S 6 S Stahl : =5.10 γ Typische Werte für γ : Cu : γ =5,7.10 m m −2 S 7 S Erde : γ =10 Al : γ =3,5.10 m m Diese sonderbare Eigenschaft der Leiter bedarf einer Begründung, werden doch frei bewegliche Ladungen im elektrischen Feld beschleunigt, d.h. es ist der Zusammenhang zwischen J und E keinesfalls linear. Der Grund für die Linearität ist der, dass die Elektronen bei ihrer beschleunigten Bewegung laufend ihre Richtungsinformation durch Stöße mit den Atomen des Leiters verlieren und immer wieder „von vorne“ anfangen müssen. Der Verlust der Richtungsinformation erfolgt durch die thermische Bewegung der Elektronen. Ist die thermische Geschwindigkeit sehr viel größer als die durch das Feld hervorgerufene, wird die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen (Driftgeschwindigkeit) der Feldstärke E proportional. 7 128 Im stationären Zustand gilt die Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstärke auch in leitenden Medien: 0 für eine beliebige geschlossene Kurve C ∫ E ⋅ ds = C C E ds Die Wirbelfreiheit gilt im Allgemeinen für die elektrische Stromdichte J = γE nicht, da γ ortsabhängig sein kann 129 Beispiel: Drahtstück zwischen zwei Elektroden mit der Spannung U = J γ E;= I Γ= J Γγ E ; = U El U El l R = = = I Γγ E γΓ Auch Messungen zeigen, dass der Widerstand proportional der Länge des Drahtes und umgekehrt proportional der Querschnittsfläche des Drahtes ist. 130 2.4 Grenzflächenbedingungen Die Grenzflächenbedingungen sind analog zur Elektrostatik. Die Quellenfreiheit von J und die Wirbelfreiheit von E sind für die Bedingungen verantwortlich. h →0 2 ∆Γ → d Γ Γ∫ J ⋅ d Γ = 0 ⇒ J 2 n − J1n = 0 = Mit J1n γ= γ 2 E2 n 1 E1n und J 2 n J 2 n = J1n E1n γ 2 = folgt: E2 n γ 1 131 h →0 2 ∫ E ⋅ dr =0 ⇒ E 1t =E2t C J1t γ 1 J1n J1n = = Mit E1n = und E1n folgt: J 2t γ 2 γ1 γ1 Wegen E1t = E2t ist auch das Potential stetig. 132 2.5 Analogie zwischen dem stationären Strömungsfeld und dem elektrostatischen Feld Die Gesetzmäßigkeiten des stationären Strömungsfeldes und des elektrostatischen Feldes sind analog: Die elektrische Feldstärke ist in beiden Fällen Wirbelfrei: 0 für eine beliebige geschlossene Kurve C ∫ E ⋅ ds = C Quellen der elektrischen Stromdichte J =γ E sind Null: Γ∫ J ⋅ nd Γ = 0 für eine beliebige geschlossene Fläche Γ Γ∫ D ⋅ nd Γ = QΩ für eine beliebige geschlossene Fläche Γ Quellen der elektrischen Flussdichte D=ε E sind die Ladungen: 133 Analoge Größen: E⇔E J⇔D γ ⇔ε U ⇔U I ⇔Q 1 I = G= = R U ∫Γ J ⋅ nd Γ ∫ E ⋅ ds ⇔ Q C = = U ∫Γ D ⋅ nd Γ ∫ E ⋅ ds 134 Beispiel: Unendlich tief eingegrabener Kugelerder Die Zuleitung ist isoliert und aus dem Feldgebiet ausgeklammert angenommen. Γ∫ J ⋅ nd Γ = 0 ⇒I= ∫Γ J ⋅ nd Γ Obwohl das stationäre Strömungsfeld keine Quellen hat, tritt wegen Ausklammerung der Zuleitung I als Quelle auf! I I 2 ∫Γ J ⋅ nd Γ =I =J 4π r ⇒ J =4π r 2 er , bzw. E =4πγ r 2 er Wie die elektrische Feldstärke einer Punktladung! 135 Potential des Kugelerders gegen die unendlich entfernte Bezugselektrode: r0 I V= −∫ E ⋅ dr = 4πγ ∞ (− dr ) I = U ∫∞ r 2 4πγ r0 = r0 (wie das Potential einer Punktladung!) Erdausbreitungswiderstand RE gegen die unendlich weit entfernte Elektrode: U 1 = R= E I 4πγ r0 Wegen der Analogie zwischen stationärem Strömungsfeld und elektrostatischem Feld kann ein Verfahren analog zur Methode der fiktiven Ladungen (auch Spiegelungsprinzip) verwendet werden: fiktive Stromquellen. 136 Beispiel: Endlich tief eingegrabener Kugelerder An der Erdoberfläche muss die Normalkomponente von J Null sein. Im Ersatzmodell wird das durch eine Spiegelquelle mit gleichem Vorzeichen realisiert. Die Äquipotenialflächen der beiden Punktquellen I sind keine Kugelflächen. Näherung für h r0 . 137 Die Gegenelektrode mit Nullpotential befindet sich im Unendlichen: U = VKugel VKugel = U≈ 2h + r0 1 1 + ) ⇒ RE ≈ 4πγ r0 2h 8πγ r0 h I ( Beispiel: Unendlich tief eingegrabener Staberder mit endlicher Länge 138 Die Ersatzquelle ist eine Linienquelle der Länge l mit konstanter Quellstärke. Der zylindrische Staberder wird durch eine Rotationellipsoide, welche durch den Punkt A verläuft, angenähert, da die Äquipotentialflächen einer Linienquelle Rotationsellipsoide sind. Id ξ 2 2 rQA = ( x − ξ ) + y dV = 4πγ rQAl l l l 2 2 ( ) + + + + x x y 2 I dξ I 2 2 ln V = 4πγ l ∫ l ( x − ξ ) 2 + y 2 4πγ l l l 2 2 139 ξ =− ( ) x x y − + − + 2 2 2 Das Potential im Punkt A (x = 0, y = r0) ist die angelegte Spannung U: l l2 + + r0 2 I I l 2 4 ≈ ≈ VA = U= ln ln 2 2 4πγ l 4πγ l l l 4r0 l l 2 − + + r0 − + 1+ 2 2 4 l 2 2 I 2 I l ≈ ln U ≈ ln 2r0 2 4πγ l 4πγ l r0 −1 + (1 + 2 ) l l ln r0 RE ≈ 2πγ l 140 2.6 Die Leistung im elektrischen Strömungsfeld In der Zeit dt wird die Ladung dQ = ρ d Ω um das Wegelementd s = vdt verschoben Die an dQ geleistete Arbeit ist: dW= dQE ⋅ ds= ρ d Ω E ⋅ vdt Wegen E v ds und J = ρ v gilt: dW = EJd Ω dt 2 p EJ = γ E= Leistung je Volumen ist Leistungsdichte:= Joule‘sches Gesetz: P =∫ E ⋅ Jd Ω =∫ Ω Ω J γ 2 J2 γ dΩ 141 2.7 Medien mit Permittivität und Leitfähigkeit Reale Isolatoren haben auch eine endliche spezifische Leitfähigkeit, d.h. es ist immer ein elektrisches Strömungsfeld vorhanden. In der Elektrostatik (Gleichspannungen!) stellt sich daher die Potentialverteilung nach genügend langer Zeit immer nach dem Strömungsfeld ein. Das zeitlich konstante elektrische Feld im Materie ist immer ein Strömungsfeld! Ein elektrostatisches Gleichfeld kann nur im Vakuum (idealer Isolator) entstehen. 142 Beispiel: Parallelplattenkondensator mit geschichtetem Medium Nach genügend langer Zeit stellt sich ein stationäres J= J n= J= J Strömungsfeld ein: J n= 1 1 2 2 Für die elektrische Feldstärke folgt aus dem Verhältnis der Leitfähigkeiten: E1 γ 2 = E2 γ 1 143 Mit D1 = ε1E1 und D2 = ε 2 E2 wird im allgemeinen Dn1 ≠ Dn 2 D.h. es sammelt sich an der Grenzfläche eine freie Flächenladung σ an: n ⋅ ( D2 − D1 ) = Dn 2 − Dn1 = D2 − D1 = σ ε 2 J ε1 J ε 2 ε1 σ = D2 − D1 = − = J( − ) γ2 γ1 γ 2 γ1 Mit der Spannung: U =U1 + U 2 = σ ε 2 ε1 ( − ) d1 d 2 γ 2 γ 1 + γ1 γ 2 U J γ1 d1 + J γ2 d2 = J ( d1 γ1 + d2 γ2 ) ε 2 ε1 Wenn = wird σ Null! γ 2 γ1 Ist die Leitfähigkeit ortsabhängig, entsteht auch eine Raumladung aus freien Ladungen. 144 3. Das stationäre Magnetfeld 3.1 Magnetische Kräfte • Magnetnadel verdreht sich in der Nähe zum stromdurchflossenen Draht • Experimente durch Hans Christian Oersted (1820) Oersteds fehlgeschlagenes Experiment. Die Magnetnadel war von vornherein normal zum Draht angeordnet. Deswegen hat sich kein Ausschlag beim Einschalten des Stromes ergeben. 145 Oersteds neues Experiment auf Vorschlag eines Zuhörers, die Magnetnadel vor Einschalten des Stromes parallel zum Draht anzuordnen. Im stromlosen Zustand ist die Magnetnadel parallel zum Draht (im Bild liegt die Nadel über dem Draht) angeordnet. Nach dem Einschalten des Stromes verdreht sich die Nadel. 146 Noch im gleichen Jahr 1820 wurde durch Jean Baptiste Biot und seinem Assistenten Felix Savart durch exakte Messungen das Gesetz ermittelt, das die Auswirkung des Stromes in einem Draht im Aufpunkt angibt (BiotSavart´sches Gesetz). Auch Ampere und Faraday haben zur gleichen Zeit grundlegende Arbeiten auf diesem Gebiet geleistet, so dass nach kurzer Zeit eine im Wesentlichen vollständige und exakte Theorie der magnetischen Wirkungen von elektrischen Strömen zur Verfügung stand. 147 Gleichsinnig stromdurchflossene Leiter ziehen sich an, gegensinnig durchflossene stoßen sich ab Die Kraft ist direkt proportional dem Produkt beider Ströme und umgekehrt proportional zum Abstand. 148 Die Wirkung zwischen den beiden Leitern hat nichts mit eventuell auf den Drähten sich befindenden Ladungen zu tun: diese Kräfte hängen nur von der Ladungsbewegung (in dem Fall von den Strömen) ab. Eine zwischen den Leitern angebrachte nicht ferromagnetische Metallplatte beeinflusst die Kräfte nicht 149 Die Kompassnadel Oersteds hat wenig Ähnlichkeit mit einem Gleichstromkreis. Jedoch hat Ampere als erster vermutet, dass magnetisiertes Eisen von in Bewegung befindlichen Ladungen erfüllt ist, die kleinen (atomaren) Kreisströmen entsprechen. Eine dünne stromdurchflossene Drahtspule verhält sich unter dem Einfluss eines Stromes wie eine Magnetnadel: 150 Auch frei bewegte Ladungen werden in der Nähe eines stromführenden Leiters abgelenkt: 151 3.2 Kraft zwischen zwei parallelen, stromdurchflossenen Leitern (unendlich lange Stromfäden) Medium: Vakuum I1 F 1 r21 e21 F 2 I2 r21= r1 − r2 r21= r1 − r2 r2 r1 O e 21 = r21 r21 r12= r2 − r1 r12 e12 = r12= r2 − r1 r12 Kraft je Länge (Kraftbelag): µ0 I1 I 2 µ0 I1 I 2 F2′ = e 21 und F1′ = e12 = −F2′ 2π r21 2π r12 Kraft auf Länge l: ′ = F1 lF = lF2′ 1 ; F2 152 µ0 Die Konstante gilt im Einheitssystem SI: 2π µ0 −7 N −7 VAs −7 Vs 2.10 2.10 = 2.10 = = 2 2 2π A mA Am Vs −7 H 4π .10 µ0 4= π .10 Am m Permeabilität des leeren Raumes (Vakuum) −7 I= 1A; r21= 1m : Beispiel: I= 1 2 = F′ 4π .10 N = 2.10−7 2π m −7 Definition der Einheit Ampere 153 3.3 Die magnetische Feldstärke, Flussdichte Es lässt sich die Wechselwirkung von Strömen mit anderen bewegten Ladungen (d.h. allgemein die Wechselwirkung zwischen bewegten Ladungen!) durch Einführung eines Magnetfeldes beschreiben, genauso wie früher die Kraftwirkung auf Ladungen (Coulomb´sches Gesetz) durch Einführung des elektrischen Feldes erklärt wurde. Ein elektrischer Strom (allgemeiner: bewegte elektrische Ladungen) ruft ein Magnetfeld im umgebenden Raum hervor. Andere Ströme bzw. bewegte Ladungen erfahren in diesem Magnetfeld eine Kraft, die proportional zur Stärke des Magnetfeldes, B, und zur Geschwindigkeit, v, ist. 154 Diese Kraft ist auch stets senkrecht zu v und B gerichtet: F =QE + Q( v × B) Fm B elektrische Kraft Fe magnetische Kraft Fm v Q B ist die magnetische Feldstärke, wird aber gewöhnlich magnetische Flussdichte (manchmal magnetische Induktion) genannt. Einheit der magnetischen Flussdichte: Ns VAs 1 s Vs = = 1= 1T (Tesla) [B] 1 = 1 2 Cm m As m m 155 Kraft auf einen Stromleiter im Magnetfeld Annahme: der Leiterquerschnitt ist sehr klein. dF = dQ( v × B) mit dQ = ρdΩ d Γ ds J v dΩ = d Γ ⋅ ds Mit J = ρ v kann man schreiben: d F =ρ (d Γ ⋅ ds)( v × B) =(d Γ ⋅ ds)(J × B) =J × Bd Ω . Kraft auf einen Leiter im Volumen Ω : F= ∫ ( J × B ) d Ω = ∫ fd Ω Ω Ω Kraftdichte: f = J × B. 156 Für einen fadenförmigen Leiter gilt: ( J ⋅ d Γ ) ( ds × B ) dF = I Stromelement: Ids Kraft auf Stromelement: d= F Ids × B C dF Kraft auf fadenförmige Stromschleife mit Strom I: B I ds = F I ∫ ds × B C 157 3.3.1 Flussdichte eines unendlich langen geraden Stromfadens r F2 1 2 µ0 I1 I 2 ex Kraft auf ein Stück der Länge l des Stromfadens I2: F2 = l 2π d z +l Mit der Flussdichte: F2= I 2 ∫ dze z × B= lI 2e z × B z µ0 I1 Vergleich e x = e z × ( −e y ) = : B −e y ) ( 2π d µ0 I1 (−eϕ ) Im Abstand r vom Stromfaden I1: B= (r ) 2π r 158 Flussdichte eines unendlich langen geraden Stromfadens I (Quellpunkt r´, Aufpunkt r): rQ= r=´ x´e x + y´e y ez I rQA= r − r′ eQA rQ = r′ A rA = r y O B A = B (r ) rA= r= xe x + ye y rQA rQA r − r′ = = e= QA rQA rQA r − r′ x µ0 I 1 µ0 I 1 r − r′ = B e z ×= eQA ) (r ) ( ez × 2π rQA 2π r − r′ r − r′ 159 3.3.2 Der magnetische Fluss, die Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte Der magnetische Fluss einer Oberfläche Γ ist das Integral der magnetischen Flussdichte über Γ: Φ Γ = ∫ B ⋅ d Γ = ∫ B ⋅ nd Γ Γ Γ dΓ Γ n B Analogie mit elektrischem Strom: I = ∫ J ⋅ d Γ = ∫ J ⋅ nd Γ Γ Γ 160 Die Quellen der magnetischen Flussdichte werden durch den magnetischen Fluss von geschlossenen Oberflächen beschrieben: B ⋅ nd Γ ∫ Γ Ω 0 = ∫ Ω B ⋅ nd Γ 0 = 1 =∂ Γ 2 =∂ 1 2 Die Quellen sind Null: egal wie man das Volumen legt, es lässt sich keine Anordnung finden, die einen Nettofluss ungleich Null aufweist. 161 Man kann wieder auf mehrere gerade Stromfäden verallgemeinern, dann den Übergang auf gekrümmte Stromfäden und schließlich auf ein beliebiges Strömungsfeld J durchführen: 0 für eine beliebige geschlossene Fläche Γ Γ∫ B ⋅ d Γ = Die magnetische Flussdichte ist Quellenfrei! Analogie mit elektrischem Fluss: das magnetische Feld hat keine Ladungen (magnetische Monopole). Das ist bis jetzt noch nicht experimentell widerlegt worden, obwohl intensiv nach magnetischen Monopole gesucht wird. 162 Betrachten wir eine Fläche Γ1 mit dem Rand C, und dann „drücken“ wir die Fläche nach unten und erzeugen dadurch die Fläche Γ2. Die Flüsse der beiden Flächen sind: Φ1 = ∫ B ⋅ d Γ und Φ 2 = ∫ B ⋅ d Γ. Γ1 Γ2 Die Flächen Γ1 und Γ2 bilden die Hüllfläche Γ eines Volumens. Es gilt daher: Γ∫ B ⋅ d Γ= Γ∫ B ⋅ d Γ +Γ∫ B ⋅ (−d Γ =) 1 1 2 2 ∫Γ B ⋅ d Γ =Γ∫ B ⋅ d Γ , bzw. Φ 1 1 2 2 0, daher: 1 =Φ 2 =Φ . 163 Verhalten der magnetischen Flussdichte auf einer Fläche mit einer Flächenstromdichte 2 n12 Ω h 1 n Ω: Zylinder mit Randfläche ∂Ω B2K Γ B1 ∆Γ n bestehend aus den Stirnflächen ∆Γ und der Mantelfläche der Höhe h Die Flussdichte ist quellenfrei: ∫Ω B ⋅ nd Γ = 0 ∂ Grenzübergänge: h → 0, ΔΓ → d Γ ⇒ B 2 ⋅ n12 ∆Γ − B1 ⋅ n12 ∆Γ = 0 B 2 ⋅ n12 − B1 ⋅ n12 = 0 Die Normalkomponente der magnetischen Flussdichte ist stetig! 164 3.4 Die magnetische Erregung Die magnetische Erregung H ist eine Feldgröße, welche in unmittelbarem Zusammenhang mit den Strömen steht: der Wirbel von H entlang einer geschlossenen Kurve ist gleich der (stationäre) Strom durch eine beliebige Fläche, deren Rand die Kurve ist. Wegen der Quellenfreiheit der stationären Stromdichte ist der Strom durch alle Flächen mit der gleichen Randkurve gleich (Analogie mit Flussdichte und Fluss): C= ∂Γ1 = ∂Γ 2 dΓ1 J I1 = ∫ J ⋅ d Γ =I 2 = ∫ J ⋅ d Γ Γ1 Γ2 Γ1 dΓ 2 Γ2 Die Richtung der Kurve und der Fläche sind durch die Rechtshandregel verknüpft! 165 3.4.1 Der Ampere‘sche Durchflutungssatz Die magnetische Erregung wird als die Vektorfunktion H(r) definiert, welche für eine beliebige Fläche Γ (Randkurve ∂Γ ) den folgenden Ampere‘schen Durchflutungssatz erfüllt: ∫Γ H ⋅ ds = Γ∫ J ⋅ d Γ = IΓ ∂ I] [ = Einheit von H: [H] = [ Länge] A 1 m Aus dem Durchflutungssatz folgt die Quellenfreiheit der elektrischen Stromdichte: er ist daher nur für stationäre Ströme gültig! 166 3.4.2 Magnetische Erregung eines unendlich langen geraden Stromfadens ds H Wegen der Symmetrie muss gelten: H ( r ) = H ( r ) eφ ∫ H ⋅ d=s ∫ Hd=s C C H ( r ) ∫ d= s 2π rH ( r ) C Ampere‘scher Durchflutungssatz: 2π rH ( r ) = I H (r ) = I 2π r C: Kreis, I durch Mittelpunkt, Radius r 167 Im Vakuum gilt für die magnetische Flussdichte eines unendlichen langen Stromfadens: B ( r ) = B ( r ) eφ µ0 I B (r ) = 2π r Beziehung zwischen B und H eines unendlich langen Stromfadens: B ( r ) = µ0 H ( r ) 168 3.4.3 Zusammenhang zwischen der Flussdichte und Erregung im Vakuum Die magnetische Erregung H=B/µ0 eines unendlich langen geraden Stromfadens erfüllt im Vakuum den Ampere‘schen Durchflutungssatz auch für eine beliebige Kurve: Verschiedene geschlossene Wege, die den Leiter nicht umschließen: Weg in radiale Stücke und Bogenstücke zerlegt. Das Integral entlang der radialen Stücke ist Null, da B normal auf ds steht. Entlang der Bogenstücke heben sich die Beiträge zum Wegintegral auf, da die Länge der Bogenstücke mit dem Radius zunimmt und gleichzeitig aber B mit 1/r abnimmt. Ein beliebiger Weg ist in radiale und azimutale Stücke zerlegbar. Alle Wege, die den Leiter nicht umschließen, liefern daher: 1 ∫ µ C 0 B ⋅ ds = 0 169 Für einen einfachen kreisförmigen Weg C, welcher den Leiter umschließt haben wir 1 1 1 1 ⋅ d s ∫ = Bd s B= d s 2π r B C∫ µ0 B= ∫ µ0 µ0 C µ0 C ds µ0 I 1 Mit B folgt: = = B ⋅ ds I . ∫ 2π r µ0 C Wichtig für diese Überlegungen ist, dass das Feld des Stromfadens exakt mit 1/r abnimmt, ähnlich wie das Feld einer Punktladung exakt mit 1/r2 abnehmen muss. 170 Das Wegintegral über jeden beliebigen den Leiter umschließenden Weg liefert das gleiche Ergebnis. Der Weg im rechten Bild umschließt den Leiter nicht, das Integral ergibt Null. Daher muss das Wegintegral über den äußeren Weg (dieser ist identisch mit Weg auf der linken Seite) gleich groß mit negativem Vorzeichen sein, wie das Wegintegral über den inneren, kreisförmigen Weg. Dies ist aber –I, da der Umlaufsinn die Rechtshandregel nicht erfüllt. Daher gilt: 1 I ∫ B ⋅ d r = C µ0 171 System von N unendlich langen geraden Stromfäden (Superpositionsprinzip): N 1 ∑Ij ∫ B ⋅ d s = C µ0 j =1 Dies gilt auch für gekrümmte Stromfäden (Postulat der Theorie, das jedoch experimentell noch nicht widerlegt worden ist). Nun kann die Verallgemeinerung auf ein beliebiges Strömungsfeld J gemacht werden: 1 ∫ B ⋅ ds = ∫ J ⋅ d Γ µ0 Γ B/µ0 erfüllt im Vakuum den C Ampere‘schen Durchflutungssatz! Im Vakuum gilt allgemein: B=µ0H 172 3.4.4 Beispiele zum Durchflutungssatz Der Ampere‘sche Durchflutungssatz kann in einfachen Fällen (mit hoher Symmetrie) auch zur Bestimmung der magnetischen Erregung, bzw. der Flussdichte verwendet werden. Beispiel: Unendlich langer gerader Leiter mit kreisförmigem Querschnitt I J= 2 Rπ ds Für r ≤ R gilt: ∫ H ⋅ ds = H 2π r = ∫ J ⋅ d Γ = Jr 2π H C Γ µ0 Ir Jr Ir = H = eϕ eϕ ; B = 2 eϕ Daraus folgt: 2 2 2R π 2R π 173 Für r ≥ R gilt: ∫ H ⋅ ds = H 2π r = C 2 J Γ ⋅ d = JR π= I ∫ Γ µ0 I ; B ⇒= H eϕ= eϕ 2π r 2π r I Das Feld im Inneren des Leiters ändert sich linear mit r, während es außerhalb des Leiters mit 1/r abnimmt. Außerhalb des Leiters ist das Feld nicht unterscheidbar vom Feld eines Fadenstromes in der Leiterachse. 174 Verhalten der magnetischen Erregung auf einer Fläche mit einer Flächenstromdichte t: Einheitsvektor in der Tangentialebene C n H2 und in der Ebene von H1, H2 (C ist ein 12 Rechteck in der gleichen Ebene mit t 2 Γ Seitenlängen h und ∆s). H1 L Ampere‘scher Durchflutungssatz: h K ∆s 1 ∫ H ⋅ ds =I =∫ K ⋅ ( n12 × t ) ds C L Grenzübergänge: h → 0, Δs → ds, ds = tds ⇒ H 2 ⋅ t∆s − H1 ⋅ t∆s = K ⋅ ( n12 × t ) ∆s = ( K × n12 ) ⋅ t∆s K Da t in der Ebene von H1 und H2 liegt: H 2 − H1 =K × n12 ⇒ n12 × ( H 2 − H1 ) =n12 × ( K × n12 ) n12 × ( H 2 − H1 ) = K 175 Beispiel: Unendlich ausgedehnter Flächenstrom Eine unendliche ausgedehnte Flächenstromschicht erzeugt, ähnlich wie eine unendlich ausgedehnte Flächenladung ein homogenes Feld. K H K = − Ke z H Der Durchflutungssatz entlang des Weges C (l und h können endlich sein!) angewendet, ergibt: −2 Hl = − Kl ∫ H ⋅ ds = ∫Γ J ⋅ d Γ = C = H K K σ σ = ; B µ0 (vergleiche: = D = ;E ) 2 2 2 2ε 0 176 Das Feld B ist homogen und unendlich ausgedehnt und hat rechts vom Flächenstrom die negative und links die positive yRichtung. Der Flächenstrom K erzeugt einen Sprung in der Tangentialkomponente von B mit der Größe µ0K. Das gilt immer, auch wenn noch ein anderes Magnetfeld überlagert ist. Ist kein anderes Magnetfeld vorhanden, ist dieser Sprung symmetrisch ± µ0 K . 2 µ0 K / 2 µ0 K − µ0 K / 2 177 Beispiel: Flächenstromdoppelschicht µ0 K 2 K K K µ0 K 2 Analogon zum Parallelplattenkondensator: Erzeugung eines homogenen Magnetfeldes zwischen einer Flächenstromdoppelschicht. 178 Die Flächenstromschicht ist eine Idealisierung einer dünnen, einlagigen Wicklung: Strom I, N´ Leiter je Meter: K = IN ′ K Durchflutungssatz: ∫ H ⋅ ds = C Hl = ∫Γ J ⋅ d Γ = IN ′l ⇒ B = µ0 IN ′ 179 Beispiel: Unendlich ausgedehnte Zylinderspule Unendlich lange Spule mit Radius R. B ist außen Null. N´ Windungen je Meter mit dem Strom I auf K=IN´ verschmiert. Durchflutungssatz: − Hl = −Kl ∫ H ⋅ ds = ∫Γ J ⋅ d Γ = C ⇓ µ0 IN ′e z = B µ= 0 Ke z 180 Beispiel: Endlich lange Zylinderspule K K Länge l, N Windungen, Windungsstrom I: NI K= l Es sind Randeffekte vorhanden. Außen ist das Feld Ba nicht mehr Null! Für l R kann man die Randeffekte vernachlässigen, d. h. Ba ≈ 0 annehmen: ⇒ Bi ≈ µ0 K 181 3.4.5 Das Biot-Savart‘sche Gesetz Ampere‘sches Modell des Magnetismus: magnetische Effekte werden durch Ströme verursacht, die Kräfte werden durch die Wirkung der magnetischen Flussdichte B auf Ströme erzeugt. Die Hertz-Heavyside‘sche Analogie zwischen elektrischen und magnetischen Feldern postuliert magnetische Ladungen und erklärt die magnetischen Kräfte als die Wirkung von H auf eine fiktive magnetische Punktladung Qm: Fm Q= QE) m H (analog zu Fe Die magnetische Flussdichte einer magnetischen Punktladung ist: Qm Q B = e (analog zu D e ) 2 r 2 r 4π r 4π r 182 Nach dieser Hertz-Heavyside‘schen Definition der magnetischen Erregung, könnte H magnetische Feldstärke genannt werden (englischer Sprachgebrauch). Dies soll aber auf Deutsch nicht verwendet werden. Betrachten wir eine Leiterschleife C mit einem Strom I und bestimmen wir die magnetische Erregung H in einem Aufpunkt A. Dazu bringen wir eine magnetische Punktladung Qm zum Aufpunkt und definieren wir H nach der Hertz-Heavyside‘schen Analogie als die Kraft auf Qm dividiert durch Qm. Die Kraft auf die magnetische Punktladung ist gleich die Kraft auf die Leiterschleife mit negativem Vorzeichen. 183 I ∫ ds′ × B FC = −FQm = I C Qm r′ − r A B= 2 Qm ′ 4π r − r r − r′ B ds′ r − r′ C r′ r = FQm I ∫ ds′ × C FQm H (r ) = Qm I ⇒ H (r ) = 4π ∫ C ds′ × ( r − r′ ) r − r′ 3 r − r′ 2 4π r − r′ r − r′ Qm Biot-Savart‘sches Gesetz Für räumlich verteilte Ströme (Ids′ = Jd Ω ′) : 1 H (r ) = 4π ∫Ω J × ( r − r′ ) r − r′ 3 dΩ ′ 184 3.5 Induktivität, Gegeninduktivität Spule: Anordnung bestehend aus einer Stromleiterschleife. Der magnetische Fluss durch die Schleife ist dem Strom proportional. Stromrichtung und Flächenrichtung: Rechtshandregel! Φ = ∫ B ⋅ nd Γ Γ C Γ Der Fluss ist für alle n B Flächen mit der dΓ Randkurve C gleich! I Φ = LI L>0: Induktivität (Selbstinduktionskoeffizient) hängt nur von der Geometrie ab! 185 Bei der Berechnung der Induktivität einer fadenförmigen Leiterschleife tritt ein Problem auf, da der Integrand im Flussintegral singulär wird. Das Problem ist, dass in der Nähe eines Stromfadens B mit 1 r zunimmt und bei der Flussberechnung das Integral dr mit r → 0 divergiert. ∫r In diesem Fall muss der tatsächliche endliche Querschnitt des Leiters berücksichtigt werden. Die Idealisierung der Leiter in Form von „Stromfäden“, die sich für viele Anwendungen als zweckmäßige herausgestellt hat (z. B. Biot-Savart´sches Gesetz), endet jetzt mit einem unendlich großen Wert. Die Induktivität einer fadenförmigen Stromschleife ist unendlich. Einem unendlich dünnen Draht kann man keinen Strom einprägen. 186 Eine näherungsweise Lösung des Problems ist, die Abmessung des Leiterquerschnittes als endlich anzunehmen, und den Fluss beispielsweise nur durch die Innenkontur der Schleife zu berechnen: Stromfaden in Leiterachse = C1 Innenkontur = C2 Bei dieser Näherung haben wir nur den Fluss, der außerhalb der Leiterschleife mit dem gesamten Strom I verkettet ist, berücksichtigt. Diesen Fluss nennt man auch äußeren Fluss und die damit verbundene Induktivität äußere Induktivität. Der durch das Leiterinnere gehende Fluss steht nicht mehr in Beziehung zum Gesamtstrom I und die damit zusammenhängende Induktivität wird auch innere Induktivität genannt. Bei den üblichen dünnen Drähten ist dieser Anteil meist vernachlässigbar. 187 Beispiel: Induktivität pro Länge einer unendlich langen Leiterschleife von parallelen Leitern Annahme: d r0 r0 Γ r0 n=-ey µI B( x) = −B ( x)e y = − 0 ey 2π x Fluss pro Länge (Φ ′ =Φ / l =Φ1′ + Φ 2′ = 2Φ1′): Φ1′ = d − r0 d − r0 0 0 µ0 I µ0 I d − r0 µ0 I d 1 = ∫r B( x)dx 2π= ∫r x dx 2π ln r0 ≈ 2π ln r0 Φ1′ µ0 d L Φ′ L=′ = = 2 ≈ ln l I I π r0 188 Betrachten wir zwei Schleifen C1 und C2. In der Schleife 1 fließt ein Strom I1. = Der Fluss Φ21 durch die Schleife 2 ist durch Φ 21 gegeben. ∫Γ B Der Fluss Φ21 ist proportional zum Strom I1. Der Proportionalitätsfaktor M21 (oder L21) wird auch als Gegeninduktivität bezeichnet: Φ 21 M 21 = I1 1 ⋅ d Γ2 2 189 Als nächstes ist I1 Null und I2 ungleich Null. Der Fluss durch die Schleife 1 ist: Φ = 12 ∫Γ B 2 ⋅ d Γ1 1 M12 ist dann durch M 12 = Φ12 I2 Es gilt der Reziprozitätssatz: M 12 = M 21 190 3.6 Kräfte im magnetischen Feld 3.6.1 Der Hall-Effekt In Stromleitern wirkt die magnetische Kraft auf die Ladungsträger in Bewegung. Wodurch wird sie auf die Leiter übertragen, da sich doch die Elektronen (Leitungselektronen) frei im Leiter bewegen können? Die magnetische Kraft lenkt die Elektronen ab, welche sich an der Wand anhäufen und einen Druck ausüben. Es entsteht ein elektrisches Feld, quer zur Stromrichtung (und zur Richtung des Magnetfeldes), welches die magnetische Kraft aufhebt. Dieses elektrische Feld verursacht eine messbare Spannung, die Hallspannung. 191 Qv × B; Fe = QEt Fm = Fm + Fe =0 ⇒ Et =− v × B ez t Falls die Ladungsträger Elektronen sind: v = -vey Et = − v ( −e y ) × Be x = − vBe z Falls die Ladungsträger positive Ionen wären: v = vey Et = − v ( e y ) × Be x = vBe z Die Polarität der Hallspannung hängt vom Vorzeichen der Ladungsträger in Bewegung ab. Edward M. Purcell: Elektrizität und Magnetismus 192 Da die Hallspannung der Flussdichte proportional ist, kann der Hall-Effekt zur Messung des Magnetfeldes verwendet werden: Hall-Sensor. Der Faktor der Proportionalität hängt vom Material ab. 193 3.6.2 Der magnetische Dipol Äquivalenz einer infinitesimal kleinen Stromschleife mit einem magnetischem Dipol: Analog zum elektrischen Dipol: µ0 r ⋅m = −m + 3 2 r B 3 4π r r m= Magnetisches Dipolmoment: 1 µ0 Qm l m = IΓ Das Stromschleifenmodell ist das physikalisch richtige, da es in der uns bekannten Materie für das Magnetfeld zuständig ist. 194 3.6.3 Kräfte auf einen magnetischen Dipol Magnetischer Dipol im homogenen magnetischen Feld Γ= a × b a b b T =r × F1 + r × F2 = × I ( −a × B ) − × I ( a × B ) = 2 2 = − Ib × ( a × B ) = − Ia ( b ⋅ B ) + B ( a ⋅ b ) = − IB × ( a × b ) = − Ia ( b ⋅ B ) + b ( B ⋅ a ) 0 T = IΓ × B = m × B Γ Ist das Feld B inhomogen stimmt diese Beziehung noch immer, wenn die Schleife infinitesimal klein wird (Γ → d Γ ) 0 195 Im inhomogenen Feld wirkt eine Kraft auf einen in der Richtung des Feldes ausgerichteten Dipol. Beispiel: elektrischer Dipol im Feld einer Punktladung. dr dE= d r ⋅ gradEr r d= Fges Q (E2 − E1 ) ∂Er d Er d Er = dre r ∂r dFges= p ⋅ gradEr = I= Γ Qm l für die Analog zur Elektrostatik gilt wegen m Kraft auf einen magnetischen Dipol (Stromschleife) im inhomogenen magnetischen Feld: m ⋅ gradBy , dF= m ⋅ gradBx , dF= dF= m ⋅ gradBz . y x z 196 3.7 Magnetische Felder in Materie Auch in Magnetfeldern zeigt sich ein Einfluss auf Materie. In inhomogenen Magnetfeldern treten Kräfte auf sich dort befindliche Medien auf, die in drei verschiedene Arten aufgeteilt werden können: 1) Es wird eine Kraft in Richtung abnehmendes Magnetfeld ausgeübt (Diamagnetische Medien), 2) Die Kraft wirkt in Richtung zunehmendes Magnetfeld (Paramagnetische Medien), 3) Eine starke Kraft wird in Richtung zunehmendes Magnetfeld ausgeübt (Ferromagnetische Medien) 197 Da die Kraft nur im inhomogenen Feld ausgeübt wird, sind analog zum elektrischen Feld, magnetische Dipole an den Kraftwirkungen beteiligt. Nach unseren heutigen Vorstellungen sind Magnetfelder die Folge von elektrischen Strömen (Ampere´sches Modell). Schon Ampere ist davon ausgegangen, dass die magnetischen Eigenschaften der Materie (Magneteisenstein, Kompassnadeln) durch winzige Kreisströme im Inneren der Materie verursacht werden. Es hat allerdings noch 100 Jahre gedauert, bis seine Vorstellung bestätigt worden ist. 198 3.7.1 Atomare magnetische Dipole Das magnetische Verhalten der Materie lässt sich auf das Verhalten der Elektronen zurückführen. Zum einen kreisen diese in einem primitiven Atommodell um den Kern und stellen so atomare Kreisströme dar, zum anderen haben Elektronen selbst auch, wegen ihres Spins, ein magnetisches Moment. Ohne die Einbeziehung quantenmechanischer Phänomene können die magnetischen Eigenschaften nur qualitativ beschrieben werden. 199 Diamagnetismus Am einfachsten lässt sich noch das Verhalten der um den Kern kreisenden Elektronen beschreiben. Dieses klassische Modell (das andere Probleme aufwirft) reicht aus, um den Einfluss eines externen Magnetfeldes auf ein um den Atomkern kreisendes Elektron, das somit einen Kreisstrom darstellt, zu untersuchen. Annahme: B ist dem Dipolmoment entgegengerichtet und nimmt mit der Zeit zu. Es wird eine elektrisches Feld induziert (siehe Kapitel 4), das das Elektron beschleunigt, d. h. der durch das kreisende Elektron dargestellte Kreisstrom I wird größer, um der Vergrößerung von B entgegenzuwirken („Lenz’sches Gesetz“). Somit wird das magnetische Dipolmoment m des Elektronenkreisstromes größer. Das nun schneller kreisende Elektron stellt einen größeren Kreisstrom dar und schwächt das Magnetfeld zusätzlich. 200 Umläuft das Elektron in entgegengesetzter Richtung, wird es durch das induzierte E gebremst, der Kreisstrom wird kleiner und somit auch m, das in diesem Fall nach oben gerichtet ist. Es zeigt sich also, dass bei einer Erhöhung des externen Feldes bei betrachteten Atomen, deren Elektronenbahnen etwa normal auf B stehen und deren Elektronen gegensinnig umlaufen, das gleichgerichtete m kleiner und das entgegen gerichtete m größer wird. Somit wird der feldschwächende Effekt größer. Das beschriebene Verhalten wird auch als Diamagnetismus bezeichnet. Ohne externes Magnetfeld sind alle Momente m statistisch so verteilt, dass kein resultierendes Moment vorhanden ist. Erst bei Anlegen eines äußeren Feldes treten für die etwa normal zu B liegenden Kreisbahnen die oben beschriebenen Effekte auf. Typische diamagnetische Substanzen sind Wasser, Kupfer, Diamant, flüssiger Stickstoff, Kochsalz. 201 Paramagnetismus Neben der Bahndrehbewegung besitzt das Elektron auch einen Eigendrehimpuls der Größe 2 ( = h 2π ; h ist die Plank Konstante), Spin genannt. Es sieht so aus, als ob sich das Elektron um seine eigene Achse drehen würde. Das rotierende Elektron stellt einen Kreisstrom dar, dessen magnetisches Moment gegen den Eigendrehimpuls (Spin) gerichtet ist. Für den Diamagnetismus kann der Bahndrehimpuls des Elektrons vielfache Werte von h annehmen, der Eigendrehimpuls des Elektrons ist jedoch immer 2 und somit kann sich auch m nicht ändern. In einem äußeren Feld kann sich zwar m nicht ändern, es wirkt aber ein Drehmoment auf m: T= m × B Dieses Drehmoment wirkt so, dass m parallel zu B gestellt wird. Dieser Effekt wird als Paramagnetismus bezeichnet. 202 Der Paramagnetismus ist der Polarisation im elektrischen Feld ähnlich. Die Verstärkung des angelegten Magnetfeldes ist jedoch aus zwei Gründen sehr klein. Erstens stört die thermische Bewegung die Ausrichtung der Spinmomente und zweitens können sich nicht alle Momente ausrichten, da sie nicht frei sind. In den meisten Atomen bzw. Molekülen ordnen sich die Elektronen zu Paaren, wobei deren Spin immer antiparallel sein muss. D.h., diese Momente löschen sich aus und es bleibt nur der Diamagnetismus über. Nur wenige Moleküle enthalten eine ungerade Anzahl von Elektronen (z.B. NO mit 15 Elektronen). Bestimmte Atome enthalten jedoch auch nicht gepaarte Elektronenspins, die sich in einem äußeren Feld ausrichten können. Die thermische Bewegung versucht jedoch immer, diese Ausrichtung zu stören. Es stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein. Die Effekte des Dia- und Paramagnetismus können, ähnlich wie in der Elektrostatik, durch die Einführung einer relativen Permeabilitätszahl µr beschrieben werden. Insbesondere kann auch die magnetische Suszeptibilität χ= µr − 1 m definiert werden, wobei χ m ( bzw. µ r ) in weiten Bereichen von B unabhängig (linear) ist. Für paramagnetische Stoffe (z.B. Aluminium, flüssiger Sauerstoff) liegt µr bei ca. 1,001 und für diamagnetische Materialien typischerweise bei etwa 0,999. Üblicherweise brauchen daher Dia- und Paramagnetismus nicht berücksichtigt werden. 203 Ferromagnetismus Ferromagnetismus ist eine extrem starke Form des Paramagnetismus. Da die meisten Spins in einem Atom gepaart vorhanden sind, scheint Ferromagnetismus ein Effekt zu sein, bei dem die wenigen freien Spins sehr stark ausgerichtet sind. Ferromagnetische Materialien (z.B. Eisen, Nickel) zeichnen sich dadurch aus, dass sich die Spins bestimmter Elektronen des z.B. Eisenatoms spontan in dieselbe Richtung stellen, ohne dass ein äußeres Feld vorhanden ist. Es bilden sich in solchen Medien Bezirke mit vielen Milliarden Atomen mit nahezu perfekter Ausrichtung der Spins und somit der magnetische Momente (Weiß´sche Bezirke). 204 Diese spontane Ausrichtung wird ab einer bestimmten Temperatur zerstört (Curie-Punkt). Diese Curie Temperatur (Pierre Curie) liegt für Eisen bei 770 °C (bei Nickel 358 °C). Die Erklärung für die spontane Ausrichtung ist nur quantenmechanisch möglich und hat, obwohl auch energetisch begründet, nichts mit der magnetischen Wechselwirkung zwischen den einzelnen Dipolmomenten zu tun. Die Zerstörung der spontanen Magnetisierung über dem Curie-Punkt ist thermisch bedingt. Es geht, ähnlich wie beim Schmelzen, ein Zustand hoher Ordnung (Kristall) in einen weniger geordneten Zustand (Flüssigkeit) über. Auch am Curie Punkt erfolgt ein solcher Phasenübergang. In einem unmagnetisierten Eisenstück ist diese spontane Magnetisierung in sehr vielen Bezirken, aber überall mit unterschiedlichen Richtungen vorhanden, so dass im Mittel die Magnetisierung Null ist. Solche Bezirke treten auch in Einkristallen auf, man kann sie unter einem normalen Mikroskop sehen. Sie enthalten Milliarden magnetischer Momente. Die unterschiedliche Magnetisierung der einzelnen Bezirke ist energetisch günstiger als die einheitliche Ausrichtung (dies würde einem starken Permanentmagneten entsprechen). Wird ein äußeres Feld angelegt, werden sich die Bezirke, deren Magnetisierung mehr oder weniger dem äußeren Feld gleichgerichtet ist, auf Kosten von benachbarten Bezirken mit falscher Magnetisierungsrichtung vergrößern. Dies geschieht durch Verschieben der Bezirksgrenzen. 205 3.7.2 Magnetisierung und magnetische Erregung Wie in der Elektrostatik, führen wir eine makroskopische Mittelung der atomaren magnetischen Dipole in einem makroskopischen Volumselement dΩ durch, wobei wir fordern, dass in dΩ eine genügend große Zahl atomarer Dipole vorhanden ist: m d m = ∑ m Aj M = ∑ j Aj : Magnetisierung dΩ Die Magnetisierung M ist als magnetisches Moment je Volumen definiert: dm = M d Ω j M und H haben die gleiche Einheit: IΓ ] [ = = [M ] [Volumen] Am 2 A 1= 1 m3 m 206 Betrachten wir ein Stück homogen magnetisierte Materie, von der eine Scheibe normal zur Magnetisierung herausgeschnitten wird. Diese Scheibe unterteilen wir in weitere kleine Stücke dΩ : Zusammenhang zwischen dm und dI: dm dId = = Γ Md= Γ dz Mdzd Γ ⇓ dI = Mdz = Kdz ⇒ K = M dI K Der Strom dI fließt als Flächenstrom Kdz um den Mantel von dΩ 207 Die Ströme im Inneren der Scheibe heben sich auf, es bleibt nur der Strom auf dem Scheibenrand übrig: Stapeln wir jetzt diese einzelnen Scheiben der Dicke dz übereinander, erhalten wir unseren ursprünglichen magnetisierten Block, von dem wir ausgegangen sind. Das Magnetfeld außerhalb dieses magnetisierten Blockes unterscheidet sich nicht vom Feld eines an der Oberfläche fließenden Flächenstromes mit K = M . Man kann sogar bis an die Oberfläche gehen (nicht auf Molekülabstand!). 208 K K An der Mantelfläche des homogen magnetisierten Blockes fließt ein Flächenstrom (K = M ). Im Inneren des Blockes muss das gemittelte mikroskopische Feld dem makroskopischen Feld B gleichen (ohne Beweis). Mds = Kds = K (M × n ) 209 Bei inhomogener Magnetisierung können auch Magnetisierungsströme im Inneren des Mediums (Volumsstromdichte JM) auftreten. Diese Ströme sind im Gegensatz zu den freien Strömen in Leitern gebundene Ströme. K JM Γ dl L Im Allgemeinen sind die Wirbel von M die Magnetisierungsströme: ∫ M ⋅ ds= Γ∫ J C M ⋅ d Γ + ∫ K ⋅ dl L C 210 Homogen magnetisierte Materie kommt im Gegensatz zu homogen polarisierten Dielektrika in der Praxis häufig vor. Man nennt sie auch Permanentmagnete (in der Elektrostatik Elektrete). Im Außenraum sind die Felder E und B eines Elektreten bzw. Permanentmagneten identisch. Innen sind die Verhältnisse vollkommen unterschiedlich. E ist an den Stirnflächen wegen der Polarisationsflächenladung σP unstetig, während B an den Mantelflächen wegen K unstetig ist. 211 Sind auch freie Ströme vorhanden, bilden diese zusammen B mit den Magnetisierungsströmen die Wirbel von : B ∫ µ C 0 µ0 ⋅ ds = ∫ J ⋅ d Γ + ∫ J M ⋅ d Γ + Γ Γ ∫ K ⋅ dl LM ∫ M⋅ds C B C∫ µ0 − M ⋅ ds = Γ∫ J ⋅ dΓ Die freien Ströme sind die Wirbel von H: ∫ H ⋅ ds = Γ∫ J ⋅ dΓ C Es gilt daher im Allgemeinen: B H= − M oder B = µ0 H + µ0 M µ0 212 Die Beziehung zwischen M und dem Feld H ist häufig linear, d.h. es gilt: M = χmH Die magnetische Suszeptibilität χm ist für diamagnetische Stoffe negativ, für paramagnetische und ferromagnetische Medien positiv. B= µ0 H + µ0 χ m H = µ0 (1 + χ m ) H In linearen Medien sind daher H und B auch proportional. Die relative Permeabilität ist µr = 1 + χ m = B µ= µH r µ0 H µ = µrµ0: Permeabilität 213 3.7.3 Grenzflächenbedingungen Verhalten von B auf der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedener Permeabilität: 0 Γ∫ B ⋅ d Γ = h → 0; ∆Γ → d Γ 2 Γ∫ B ⋅ d Γ = B ⋅ d Γ 1 1 + B2 ⋅ d Γ2 = 0 Mit d Γ1 = −n12 d Γ und d Γ 2 = n12 d Γ folgt: − B1n + B2 n = 0 214 Die Normalkomponente von B ist stetig! B2 n = B1n H1n µ2 Wegen µ2 H 2 n µ= = 1 H1n gilt H 2 n µ1 Die Normalkomponenten von H verhalten sich an der Grenzfläche umgekehrt proportional zum Verhältnis der Permeabilitäten! 215 Verhalten von H auf der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedener Permeabilität Für K = 0 gilt: ∫ H ⋅ ds = H1 ⋅ ds1 + H 2 ⋅ ds 2 = 0 C ⇒ − H1t ds + H 2t ds =0 ds1 = (−n × n12 )ds ds 2 = (−n × n12 )ds H1 ⋅ ds1 = H1 ⋅ (n12 × n)ds = n ⋅ (H1 × n12 )ds = n ⋅ (−nH1t )ds = − H1t ds 216 Die Tangentialkomponenten von H sind stetig, wenn auf der Grenzfläche keine freien Flächenströme fließen! H 2 × n = H1 × n B1t B2t B1t µ1 = Wegen = gilt µ1 µ2 B2t µ2 Die Tangentialkomponenten von B verhalten sich an der Grenzfläche direkt proportional zum Verhältnis der Permeabilitäten! 217 3.7.4 Nichtlinearität, Hysterese, die B/H Kennlinie Die Beziehung B = µH ist in ferromagnetischen Medien nur eine Näherung (weichmagnetische Materialien). In Permanentmagneten (hartmagnetische Medien) gilt sie überhaupt nicht. Betrachten wie den Permanentmagneten in einem Punkt im Inneren. Es gilt dort : µ0 H= B − µ0 M Im Inneren des Permanentmagneten (M ist fest vorgegeben) haben B, H und M nicht einmal die gleiche Richtung! 218 Stecken wir ein Stück ferromagnetisches Material in eine Spule mit N Windungen und erhöhen den Strom durch diese von Null auf einen bestimmten Endwert, so wird sich ein typischer Zusammenhang zwischen B und dem Strom I (und somit mit H) ergeben. Damit B einigermaßen homogen ist, könnte man das Eisen als Torus ausführen: Durchflutungssatz: ∫ H ⋅ d=s ∫ Hds= H ∫ ds= C C = ∫ J ⋅ d Γ = NI Γ 2π rH C NI ⇒ H= 2π r H ist proportional zu I und zu 1/r. Für ri ≈ ra , wird H einigermaßen homogen. 219 B/H Kennlinie Hc: Koerzitiverregung Br: Remanenzflussdichte Erhöht man den Strom I von Null ausgehend, nimmt B nichtlinear zu. Zuerst etwas langsamer, dann schneller und dann sehr viel langsamer, bis die Steigung der Kurve dem µ0 entspricht (wäre auf der Ordinate statt B die Magnetisierung M aufgetragen, würde die Kurve bei der Sättigungsmagnetisierung Ms horizontal werden). Der erste Teil der Kurve ist vom „Bezirkswachstum“ geprägt, im flachen zweiten Teil „klappen“ die verbliebenen Bezirke mit falsch orientierter Magnetisierung in die 220 Feldrichtung. Wird der Spulenstrom wieder verringert, folgt der B/H Verlauf nicht mehr der Neukurve, sondern der gestrichelt gezeichnete Kurve, wobei bei H = 0 das Remanenzfeld Br bleibt. Diese Irreversibilität wird Hysterese genannt. Sie beruht darauf, dass u. a. die „Rückwandlung“ der Bezirksgrenzen nicht mehr vollständig erfolgt (Reibung!). Dieser Effekt ist einerseits unangenehm, da er für die sogenannten Ummagnetisierungsverluste in z.B. Transformatoren verantwortlich ist, andererseits wird er in Permanentmagneten ausgenutzt. Die skizzierte Kennlinie ist eine typische Permanentmagnetkennlinie (Alnico, Aluminium, Nickel, Kobalt Legierung mit Br ≈ 1, 2 T ). Andere typische Permanentmagnetmaterialien sind Legierungen von Kobalt mit seltenen Erden (Samarium-Kobalt, Br ≈ 1, 22 T). 221 B/T In weichmagnetischen 2.0 Materialien kann die Hysterese 1.8 oft vernachlässigt werden, und die B/H-Kennlinie ist mit guter 1.6 1.4 Näherung eine nichtlineare eins-zu-eins Beziehung. In 1.2 diesem Fall gilt für „kleine“ 1.0 Werte von B (bis ca. 1,5 T) Eisen 0.8 B = µ r µ0 H mit µr ≈ 103 − 105 . Für höhere Flussdichten ist µ eine nichtlineare Funktion von H, bzw. B. 0.6 0.4 0.2 0.0 0 Luft 20 40 60 80 -1 100 120 140 H/Am 222 4. Elektromagnetische Induktion Drei charakteristische Experimente Faradays (1831) Experiment 1: Eine Leiterschleife, abgeschlossen mit einem Widerstand R (oder auch kurzgeschlossen) wird nach rechts mit der Geschwindigkeit v aus einem Bereich mit einem normal zur Zeichenebene gerichteten von einem ruhenden Magneten erzeugten Magnetfeld B herausgezogen. Es fließt in der Schleife ein Strom I. 223 Experiment 2: Die Leiterschleife ruht und es wird der Magnet nach links mit der Geschwindigkeit v bewegt. Es fließt in der Schleife ein Strom I. 224 I B(t) R Experiment 3: Leiterschleife und Magnet sind in Ruhe, aber das Magnetfeld B ist entsprechend zeitabhängig B = B(t). Es fließt wieder ein Strom I in der Schleife. 225 Im ersten Fall bewegt sich die Leiterschleife in einem statischen Magnetfeld, d.h. ein Stromfluss kann nur zufolge der Lorentzkraft auf die in der Schleife mitgeführten Elektronen zustande kommen. In den Fällen 2 und 3 ist die Leiterschleife in Ruhe, der Strom kann nicht auf die Lorentzkraft zurückgeführt werden, es muss vielmehr ein elektrisches Feld dafür verantwortlich sein. Es war die geniale Idee Faradays, dass dieses elektrische Feld durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes induziert wird (Faraday‘sches Induktionsgesetz). 226 Dass der Strom in den Fällen 1 und 2 identisch ist, ist eine Folge der speziellen Relativitätstheorie, da es der zufolge nur auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Magnet und Leiterschleife ankommt. Spezielle Relativitätstheorie: in Koordinatensystemen, welche sich gegenüber einander mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen, laufen alle physikalischen Vorgänge in identischer Weise ab. Dies bedeutet, dass das elektrische Feld und das Magnetfeld in verschiedenen Koordinatensystemen nicht übereinstimmen können: im Experiment 1 wirkt ein Magnetfeld auf die sich bewegenden Ladungsträgern im Experiment 2 sind die Ladungsträgern in Ruhe, es kann nur ein elektrisches Feld auf sie wirken. 227 Zwei Koordinatensysteme: S :ruhendes System, Laborsystem S´: bewegt sich mit der konstanter Geschwindigkeit v bzg. S Transformation der elektrischen und magnetischen Feldern: Größen in S: E, B, Größen in S´: E´, B´. Aufteilung in Komponenten parallel ( ) und senkrecht (⊥) zu v: E= E + E⊥ , E′ = E′ + E′⊥ , B = B + B ⊥ , B′ = B′ + B′⊥ = E′ E ,= E′⊥ = B′ B , = B′⊥ 1 2 ( E⊥ + v × B ⊥ ) v 1− 2 c 1 v B − × E ⊥ 2 2 ⊥ c v 1− 2 c Für v c : E′ = E + v × B, B′ = B 228 4.1 Bewegungsinduktion 4.1.1 Bewegung eines stabförmigen Leiters in einem homogenen Magnetfeld = F Q ( v × B) 229 Durch die Bewegung des Leiters im Magnetfeld werden sich zufolge der Lorentzkraft (magnetische Kraft) Elektronen am hinteren Ende des Stabes ansammeln und positive Atomrümpfe am vorderen Ende des Stabes hinterlassen. Es baut sich ein elektrisches Feld auf, bis im stationären Zustand das elektrische Feld im Gleichgewicht mit der magnetischen Kraft steht: F =QE + Q ( v × B ) =0 ⇒ im Leiter gilt: E = −( v × B) 230 In einem mit dem Stab mitbewegten Bezugssystem S´, stellt der Beobachter ein Magnetfeld B und ein homogenes elektrisches Feld E= v × B fest (angenommen, dass v im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c klein ist). In diesem elektrischen Feld ruht der Stab, es treten keine magnetischen Kräfte auf, auf der Oberfläche des Stabes stellen sich Flächenladungen so ein, dass das Innere des Stabes feldfrei ist (Influenz). Diese Oberflächenladungen erzeugen außerhalb des Stabes ein zusätzliches elektrisches Feld, das, für v c , gleich wie das in S beobachtete elektrische Feld aussieht. 231 4.1.2 Bewegung einer rechteckigen Drahtschleife in einem homogenen Magnetfeld In S treibt die Lorentz-Kraft die Ladungsträger quer zur v. Es fließt kein Strom in der Schleife. Im Bezugssystem S´, in dem die Schleife ruht, stellt der Beobachter die Felder B′ ≈ B und E′ ≈ v × B fest. Die Kraft auf die Ladungen ist hier eine rein elektrische, da die Ladungen in S´ ruhen. Das Leiterinnere ist feldfrei (Influenz). 232 Die Kraft, welche auf die Ladungsträger wirkt ist konservativ: ∫ F ⋅ d=s Q ∫ ( v × B) ⋅ d=s C S C ∫ F′ ⋅ d s=′ Q ∫ E′ ⋅ d s=′ C′ 0 in 0 in S ′. C′ Es gibt keine induzierte Spannung. Der Fluss der Leiterschleife ist in beiden Systemen zeitunabhängig. 233 4.1.3 Bewegung der Leiterschleife in einem inhomogenen Magnetfeld Im Laborsystem S bewegt sich die Leiterschleife mit der Geschwindigkeit v in y-Richtung in einem inhomogenen Magnetfeld. Wieder treten nur magnetische Kräfte auf die Elektronen in der Schleife auf. B sei nur eine Funktion von y: B = B( y ) 234 Das Linienintegral ∫ F ⋅ d=s C Q ∫ ( v × B) ⋅ d= s Qv( B1 − B2 )b C ist die Arbeit, die von der Kraft F während eines Umlaufes an der Ladung Q verrichtet wird. Die Arbeit je Ladung ist die induzierte Spannung UEMK (EMK, elektromotorische Kraft): U EMK = 1 F ⋅ ds = ∫ QC ∫ ( v × B) ⋅ d s = vb( B1 − B2 ) C Es wird ein Strom fließen, der durch das Ohm´sche Gesetz gegeben ist: U EMK I= R 235 4.1.4 Fluss durch die bewegte Schleife Position der Schleife zur Zeit t+dt aus Schleife austretender Fluss neu in Schleife eintretender Fluss B1bvdt Austretender Fluss: − dΦ 1= Eintretender Fluss: dΦ 2 = B2bvdt Flussänderung: dΦ = −( B1 − B2 )bvdt U= vb( B1 − B2 ) EMK ⇓ U EMK dΦ = − dt 236 Diese Beziehung gilt nicht nur für diese spezielle Schleife, sondern für eine beliebige Anordnung: ds Die Schleife C1 hat sich in der Zeit dt weiterbewegt und hat nun die Form C2. Die ursprüngliche Fläche Γ1 bildet mit der neuen Fläche Γ2 (mit dem Rand C2) und der Randfläche dΓM die Hüllfläche eines Volumens, für dessen Oberfläche wegen des zeitlich unveränderlichen Magnetfeldes gilt: Γ 1+ ∫ Γ Γ 2 +d B ⋅ dΓ = 0 M 237 Der Differenzfluss ist genau der Fluss durch die Randfläche dΓM : Φ (t + dt ) = ∫Γ Γ 1+d B ⋅ d Γ = Φ (t ) + d M dΦ = Φ (t + dt ) − Φ (t ) = d ∫Γ ∫Γ B ⋅ dΓ = M B ⋅ dΓ M ∫ B ⋅ ( vdt × ds) C1 dΦ ⇒ = B ⋅ ( v × d s) = − ∫ ( v × B) ⋅ d s ∫ dt C1 C1 Die Kraft F auf eine ladung Q ist= F Q ( v × B ) . Somit: F dΦ d U EMK = d s v B d s B ⋅ dΓ ⋅ = × ⋅ = − = − ( ) C∫ Q C∫ ∫ dt dt Γ U EMK dΦ = − dt 238 4.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld: das Faraday‘sche Induktionsgesetz Ändert sich B auch zeitlich, ist die totale Ableitung des Flusses noch um das Flächenintegral über die zeitliche Änderung von B zu ergänzen: dΦ = dt ∂B ∫Γ ∂t ⋅ d Γ − C∫ ( v × B) ⋅ d s. Wegen der zeitlichen Änderung von B ist nun auch ein elektrisches Feld vorhanden, welches zusätzlich einen Beitrag zur EMK leistet: U EMK= ∫ (E + v × B) ⋅ d s. C 239 Somit ergibt sich wiederum die Flussregel: U EMK ∂B dΦ = −∫ ⋅ d Γ + ∫ ( v × B) ⋅ d s = − C∫ (E + v × B) ⋅ d s = dt Γ ∂t C Faraday‘sche Induktionsgesetz: Die zeitliche Änderung des Magnetfeldes erzeugt ein elektrisches Feld: ∂B −∫ ⋅ dΓ C∫ E ⋅ d s = Γ ∂t Dies gilt auch, wenn keine Leiterschleife vorhanden ist. 240 4.3 Die Lenz‘sche Regel Ändert sich der Fluss einer Leiterschleife mit einem endlichen Widerstand, induziert die EMK einen Strom. Dieser Strom verursacht ein Magnetfeld, welches den Fluss der Schleife ändert. Die Lenz‘sche Regel sagt, dass die Änderung des Flusses durch den induzierten Strom der induzierenden Änderung des Flusses entgegenwirkt. 241 Beispiel: Ruhende Schleife mit zeitlich veränderlichem Fluss dΦ ∂B U EMK = −∫ ⋅ nd Γ = − C∫ E ⋅ ds = dt Γ ∂t dΦ Fall A. Fluss nimmt zu: > 0 ⇒ U EMK < 0 dt B: Rechtshandregel n I B ⋅ n < 0 ⇒ Φ nimmt ab! C Fall B. Fluss nimmt ab: n dΦ < 0 ⇒ U EMK > 0 dt B: Rechtshandregel I B ⋅ n > 0 ⇒ Φ nimmt zu! C 242 Beispiel: Bewegung einer Leiterschleife im inhomogenen Magnetfeld Der Fluss nimmt wegen der Bewegung ab. Das Magnetfeld des Stromes wirkt der Flussabnahme entgegen. Die Kraft auf die Schleife ist nach links gerichtet, für die Bewegung der Schleife mit der Geschwindigkeit v nach rechts muss eine Kraft aufgewendet werden. 243 Beispiel: Fallender Kupferring im Feld einer Spule Der Ring oberhalb der Spule fällt nach unten. Der Fluss durch den Ring nimmt zu. Es wird eine Spannung induziert, die einen Strom I treibt, der selbst wieder ein Magnetfeld erzeugt, das der Zunahme des Spulenfeldes entgegenwirkt. In diesem Fall ist das Magnetfeld des Ringes dem Spulenfeld entgegen gerichtet. Der Ring unterhalb der Spule fällt nach unten. Der Fluss durch den Ring nimmt ab. Es wird eine Spannung induziert, die einen Strom I treibt, der selbst wieder ein Magnetfeld erzeugt, das der Abnahme des Spulenfeldes entgegenwirkt. In diesem Fall unterstützt das Feld des Ringes das Spulenfeld. 244 Die Beziehung zwischen der Spannung und dem Strom einer Spule i L B u n Γ i CΓ u Faraday‘sches Induktionsgesetz für die Fläche Γ: d dΦ C∫ E ⋅ ds + dt Γ∫ B ⋅ nd Γ =−u + dt =0. Γ di u=L dt 245 4.4 Energie im magnetischen Feld Energie von zwei Leiterschleifen mit den Strömen I1 und I2. I2 I1 Die Ströme werden von 0 auf die jeweiligen Endwerte I1, bzw. I2 erhöht. Die dabei geleistete Arbeit ist die Energie. Annahme: lineare Materialeigenschaften = B µ= H, bzw. Φ LI 246 Energie der Schleife 1: der Strom i1 wird in der Zeit dt um di1 erhöht (die andere Schleife bleibt stromlos). Dadurch erhöht sich der Fluss Φ1 durch die Schleife um dΦ1: dΦ 1 = L11di1 . Es wird eine Spannung dΦ 1 di 1 induziert. u 11= − = − L11 dt dt Um diese Stromerhöhung di1 zu realisieren, muss die angelegte Spannung –u11 betragen. Dabei wird in der Zeit dt eine Arbeit dW1 = −u11dQ1 = −u11i1dt = L11i1di1 geleistet. Die gesamte Arbeit, d.h. der magnetische Energieinhalt der Schleife 1 ist: I1 1 1 2 = = W1 ∫ L= L11 I1 I1Φ1 11i 1di 1 2 2 i1 =0 247 Auf ähnliche Weise wird danach in der Schleife 2 der Strom von Null auf I2 erhöht. Die dabei von der Quelle zu leistende Arbeit I2 ist: 1 1 2 W2 ∫ L= L 22 I 2 I 2Φ 2 = = 22 i 2 di 2 2 2 i2 =0 Wird der Strom in der Schleife 2 in der Zeit dt um di2 erhöht, ändert sich auch der Fluss in der Schleife 1 um den Wert dΦ 12 = L12 di2 und es wird in der Schleife 1 eine Spannung dΦ 12 di u 12 = − = − L12 2 induziert. dt dt Diese Spannung muss der Generator der Schleife 1 kompensieren (– u12), da sich der Strom I1 in der Schleife 1 nicht mehr ändern darf. Die Quelle 1 leistet daher die Arbeit dW12: I2 dW12 = −u12 dQ1 = −u12 I1dt = L12 I1di2 , bzw. W12 = L12 I1 I 2 ∫ L12 I 1di 2 = i2 =0 248 Die gesamte von den Quellen geleistete Arbeit, welche als magnetische Energie im System der beiden Schleifen steckt, ist: 1 1 2 W = L11 I1 + L 22 I 22 + L12 I1 I 2 2 2 Wird zuerst die Schleife 2 auf Strom gebracht und danach erst die Schleife 1, ist das Ergebnis: 1 1 2 W = L11 I1 + L 22 I 22 + L 21 I 2 I1 2 2 249 Allgemein gilt für N Schleifen wegen der Symmetrie und I1I2 = I2I1: 1 N N W = ∑∑ Lij I i I j magnetische Energie eines systems von N Schleifen 2=i 1 =j 1 N Der Ausdruck Ψ i = ∑ Lij I j ist der Fluss (Flussverkettung) j =1 durch die Schleife i zufolge der Ströme in allen N Schleifen: 1 N W = ∑ I iΨ i 2 i =1 250 4.4.1 Energieinhalt des magnetischen Feldes B und H seien die magnetische Flussdichte und die magnetische Erregung in einem Punkt im Raum. In einem sehr kleinen Volumen ∆Ω um diesen Punkt kann das Feld als homogen betrachtet werden. Energie einer infinitesimalen Leiterschleife: K=H ∆d B ∆Γ 1 1 1 ∆W = H ⋅ B∆Ω K ∆d B∆Γ = HB∆d ∆Γ = 2 I 2 2 Φ magnetische Energiedichte (eine Feldgröße) wird postuliert als: ∆W 1 w = = H ⋅B m ∆Ω 2 251 Magnetische Energie in einem Volumen Ω: 1 W ∫ wm= dΩ = H ⋅ Bd Ω ∫ 2Ω Ω Die Energie wird nicht in den Strömen, sondern im magnetischen Feld gespeichert. 252 4.4.2 Magnetische Energie bei Anwesenheit ferromagnetischer Werkstoffe Die Energiedichte für Materialien mit einer nichtlinearen Beziehung zwischen B und H ist: w= m wobei die Flussdichte von Null bis zum endgültigen Wert B erhöht wird. Magnetische Energie: B ∫ H ⋅ d B, 0 B = W ∫Ω ∫ H ⋅ d Bd Ω 0 253 Ist der Zusammenhang zwischen B und H linear, führt das 1 = H ⋅B Integral für wm auf die bereits bekannte Beziehung w m 2 Die magnetische Energiedichte entspricht der oberen Dreiecksfläche: B 1 ∫0 H.d B = 2 HB Die untere Dreiecksfläche ist gleich groß wie die obere und wird magnetische Koenergiedichte genannt. 254 Ist der Zusammenhang zwischen B und H nichtlinear, ergibt das Integral im Allgemeinen einen kleineren Wert als die Dreiecksfläche (Sättigung) während sich für die Koenergiedichte ein größerer Wert als die Dreiecksfläche ergibt: wm wmc Für die Koenergiedichte gilt: wmc = H ⋅ B − wm 255 Unter Berücksichtigung der Hysterese erhält man bei periodischen Vorgängen während der beispielsweise positiven Halbperiode des Stromes als Differenz der magnetischen Energiedichten die halbe Schleifenfläche. Die der Schleifenfläche entsprechende Energiedichte über das gesamte Volumen integriert, geht während einer Periode von I als Verlustenergie (Hysteresisverluste, Wärme) verloren. 256 4.4.3 Virtuelle Verschiebung Berechnung der Kraft auf stromführende Leiterschleifen aus Energieerhaltungssatz. Die Schleife wird um ein kleines Wegelement dr im Feld aller Schleifen verschoben. Für ein energetisch abgeschlossenes System gilt: 0 bzw. F ⋅ d r + dW = F ⋅ dr = − dW Dies ist der Fall, wenn durch die Verschiebung keine Spannungen in den Schleifen induziert werden. Dafür muss der Fluss Φ durch die Schleifen konstant gehalten werden. 257 Halten wir jedoch die Ströme in den Schleifen konstant, handelt es sich um ein gekoppeltes System. Die Summe der Energien, die vom einen System aufgenommen werden, ist gleich der Energie, die vom anderen System abgegeben wird. In diesem Fall werden in den Schleifen bei der Verschiebung Spannungen induziert, die von den Quellen kompensiert werden müssen. Die Quellen leisten dabei die Arbeit: N dΦ j = Ij dt ∑ I j dΦ j ∑ dt j 1= j 1 N dWQ Für dieses gekoppelte System gilt daher: dWQ= N ∑ I dΦ = j =1 j j dW + F ⋅ d r 258 1 N Im linearen Fall ist die Energie W = ∑ I jΦ j , d.h. 2 j =1 1 N dW = ∑ I j dΦ j 2 j =1 N 1 N 1 N F dr dWQ − dW = I j dΦ j − ∑ I j dΦ j = ∑ I j dΦ j = dW =⋅ ∑ 2 j 1= 2 j1 =j 1 = Für konstant gehaltene Ströme gilt daher im linearen Fall: F ⋅ dr = dW 259 Im nichtlinearen Fall (Anwesenheit von ferromagnetischer Materie) gilt: N B B WQ − W =∑ I jΦ j − ∫ ∫ H ⋅ d B d Ω =∫ H ⋅ B d Ω − ∫ ∫ H ⋅ d B d Ω =Wmc j =1 Ω 0 Ω Ω 0 Wmc ist die Koenergie und das Prinzip der virtuellen Verschiebung ergibt: F ⋅ dr = dWmc 260 5. Elektromagnetische Wellen 5.1 Zeitlich veränderliches elektrisches Feld: der Verschiebungsstrom Ändert sich das elektrische Feld zeitlich, gilt für die Quellen der elektrischen Stromdichte das Kontinuitätsgesetz: dQ d ∂ρ − = − ∫ ρdΩ = −∫ dΩ Γ∫ J ⋅ d Γ = dt dt Ω Ω ∂t dΓ1 ∂Γ1 = ∂Γ 2 C= J Aus dem Durchflutungssatz Γ1 Γ2 dΓ 2 ∫ H ⋅ ds = Γ∫ J ⋅ d Γ = Γ∫ J ⋅ d Γ folgt aber, dass ∫ J ⋅ d Γ = 0 Γ C 1 2 261 Der Widerspruch ist bei der Entladung eines Kondensators offensichtlich: ∫ H ⋅ ds = Γ∫ J ⋅ d Γ = C I 1 steht im Widerspruch zu ∫ H ⋅ ds = ∫ J ⋅ d Γ = 0 C Γ2 Auch durch Γ2 muss der Strom I auftreten. Die entsprechende Stromdichte ist die Verschiebungsstromdichte JD: ∫ H ⋅ ds= Γ∫ J C 2 D ⋅ d Γ= I 262 5.2 Die Maxwell‘sche Ergänzung des Durchflutungssatzes Der Durchflutungssatz muss daher lauten: ∫ Γ H ⋅ ds = Γ∫ ( J + J ) ⋅ d Γ für eine beliebige offene Fläche Γ D C =∂ C= ∂Γ1 = ∂Γ 2 Γ1 Γ2 dΓ1 J+JD Daraus folgt ∫Γ ( J + J ) ⋅ d Γ = Γ∫ ( J + J ) ⋅ d Γ D dΓ 2 1 D 2 D.h., dass für eine beliebige geschlossene Fläche Γ gilt: 0 (J + J ) ⋅ d Γ = ∫ Γ Ω D =∂ 263 Die Quellen der Summe der Leitungsstromdichte und der Verschiebungsstromdichte sind daher Null, d.h. die Quellen der Leitungsstromdichte sind: J⋅dΓ = − ∫ J ∫ Γ Ω Γ Ω ⋅dΓ D = ∂ = ∂ Die Quellen der Leitungsstromdichte sind aus dem Kontinuitätsgesetz: d J⋅dΓ = − ∫ ρdΩ ∫ dt Ω Γ =∂Ω Es gilt daher für die Verschiebungsstromdichte: d J D ⋅ d Γ =∫ ρ d Ω ∫ dt Ω Γ =∂Ω 264 Aus dem Gauß‘schen Gesetz hat man ρdΩ D ⋅ dΓ = ∫ ∫ Γ Ω Ω =∂ D.h.: d ∂D ⋅dΓ J D ⋅ d= Γ D ⋅ d= Γ ∫ ∫ ∫ dt Γ = ∂t Γ= ∂Ω ∂Ω Γ= ∂Ω Da dies für eine beliebige geschlossene Fläche gilt, hat man ∂D JD = ∂t Die Maxwell‘sche Ergänzung des Durchflutungssatzes ist daher: ∫ Γ C =∂ H ⋅ ds= ∂D J + ∫Γ ∂t ⋅ d Γ 265 Die Beziehung zwischen der Spannung und dem Strom eines Kondensators n u Γ i i i C Ω ∂D ∂t Integration des Kontinuitätsgesetzes über Ω: d dQ ∫Γ J ⋅ nd Γ + dt Ω∫ ρ d Ω = −i + dt = 0. du i=C dt 266 Auch die ein zeitlich verändertes elektrisches Feld verursacht ein Magnetfeld! ∂D J+ ∂t Speziell, falls ∂ =0 ∂t J H H im Vakuum: ∂B ∂D − ∂t ∂t H (t ) E(t ) aber auch im Vakuum ∂D ∂t H Das zeitveränderliche elektrische und magnetische Feld erzeugen einander gegenseitig: elektromagnetisches Feld, elektromagnetische Wellen 267 5.3 Leitungen Leitung: sehr (unendlich) lange Anordnung von zwei parallelen Leitern mit konstantem Querschnitt: z z z. B.: r0 allgemeine Leitung r0 d Doppeldraht mit kreisförmigem Querschnitt z Materialeigenschaften: µ , γ , ε in der Umgebung, γ l in den Leitern. ri ra Koaxialkabel 268 5.3.1 Verteilte Netzwerkparameter Widerstand, Induktivität, Leitwert und Kapazität pro Längeneinheit: R´, L´, G´, C´. Einheiten: Ω/m, H/m, S/m, F/m. du1 Serielle Parameter: i( z, t ) Strömungsfeld in γ l du2 Leitern du = du1 + du2 = iR′dz , R´ hängt von der Geometrie und von γl ab. i( z, t ) z z + dz i( z, t ) dψ = iL′dz , dψ L´ hängt von der Geometrie und von µ ab. µ Magnetfeld in der Umgebung i( z, t ) z z + dz 269 Parallele Parameter: di = uG′dz , u ( z, t ) G´ hängt von der Geometrie und von γ ab. di z γ Strömungsfeld in der Umgebung z + dz dQ dQ = uC ′dz , u ( z, t ) − dQ ε elektrisches Feld in der Umgebung C´ hängt von der Geometrie und von ε ab. z z + dz 270 5.3.2 Die Leitungsgleichungen i( z, t ) dψ u ( z, t ) i( z, t ) z Induktionsgesetz: CΓ u ( z, t ) + ∂u dz ∂z Γ z + dz d − ∫ B ⋅ nd Γ , C∫ E ⋅ ds = dt Γ Γ ∂u ∂ u ( z , t ) + dz − u ( z , t ) + iR′dz = − (iL′)dz , ∂z ∂t − ∂u ∂i = R′i + L′ . ∂z ∂t 271 ΓΩ i( z, t ) dQ u ( z, t ) di z Kontinuitätsgesetz: Ω z + dz ∫ J ⋅ nd Γ = − ΓΩ i( z, t ) + ∂i i ( z , t ) + dz ∂z d ρ d Ω, ∫ dt Ω ∂i ∂ dz − i ( z , t ) + uG′dz = − (uC ′)dz , ∂z ∂t ∂i ∂u − = G′u + C ′ . ∂z ∂t 272 Leitungsgleichungen: − ∂u ∂i = R′i + L′ , ∂z ∂t − ∂i ∂u = G′u + C ′ . ∂z ∂t ∂ 2u ∂i ∂ 2i ∂i ∂ ∂i , − 2 = R ′ + L′ = R ′ + L′ ∂z ∂z ∂z∂t ∂z ∂t ∂z Telegraphengleichungen: ∂ 2u ∂ 2u ∂u ′ ′ ′ ′ ′ ′ = L C 2 + ( R C + L G ) + R′G′u. 2 ∂z ∂t ∂t Ähnlich für den Strom: ∂ 2i ∂ 2i ∂i ′ ′ ′ ′ ′ ′ = L C + ( R C + L G ) + R′G′i. 2 2 ∂z ∂t ∂t 273 5.3.3 Lösung der Leitungsgleichungen im Frequenzbereich u ( z , t ) Uˆ ( z ) cos(ω t + ϕ u ( z )), = Annahme: = i ( z , t ) Iˆ( z ) cos(ω t + ϕ i ( z )). Komplexe Amplituden (komplexe Scheitelwerte): U ( z ) = Uˆ ( z )e jϕu ( z ) , I ( z ) = Iˆ( z )e jϕi ( z ) . Leitungsgleichungen im Frequenzbereich: dU ( z ) ( R′ + jω L′) I ( z ), = dz dI ( z ) − = (G′ + jωC ′)U ( z ). dz − 274 d 2U ( z ) dI ( z ) ′ ′ = − ( R + j ω L ) = ( R′ + jω L′)(G′ + jωC ′)U ( z ). 2 dz dz p2 = ( R′ + jω L′)(G′ + jωC ′), d 2U ( z ) 2 = p U ( z ). 2 dz p= ( R′ + jω L′)(G′ + jωC ′) : Ausbreitungskoeffizient. p= α + j β , α = Re( p ) ≥ 0, β = Im( p ) ≥ 0. = U ( z ) U + e − pz + U − e pz . 275 1 dU ( z ) p p I ( z) = − = U + e − pz − U − e pz , R′ + jω L′ dz R′ + jω L′ R′ + jω L′ R′ + jω L′ Z0 = = p R′ + jω L′ : Wellenimpedanz. G′ + jωC ′ U + − pz U − pz = I ( z) e − e . Z0 Z0 276 + + − pz U = ( z ) U= e U + e − (α + j β ) z beschreibt eine sich in der positiven z-Richtung ausbreitende, gedämpfte Welle: = u + ( z , t ) U + e −α z cos(ω t − β z ). Die Phase der Spannung kann im Zeitpunkt t an der Stelle z gleich sein, wie im Zeitpunkt t+∆t an der Stelle z+∆z: ω t − β= z ω (t + ∆t ) − β ( z + ∆z ) ⇒ ω∆t = β∆z. ∆z ω = v= β ∆t Wellenlänge λ: Phasengeschwindigkeit. βλ = 2π ⇒ λ = 2π β . 277 1 t t + ∆t 0.8 U + e −α z 0.6 0.4 0.2 0 z -0.2 -0.4 -0.6 ∆z = v∆t -0.8 -1 0 1 3 2 4 5 6 7 λ 278 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 279 Ähnlich beschreibt − − pz U= ( z ) U= e U − e(α + j β ) z eine sich in der negativen z-Richtung ausbreitende, gedämpfte Welle: u − ( z , t ) U − eα z cos(ω t + β z ). = Bedingung für die gleiche Phase im Zeitpunkt t an der Stelle z und im Zeitpunkt t+∆t an der Stelle z+∆z: ∆z ω = v= − . ω t + β= z ω (t + ∆t ) + β ( z + ∆z ) ⇒ ω∆t =− β∆z , ∆t β α : Dämpfungsfaktor , β : Phasenfaktor. 280 Allgemeine Lösung: = U ( z ) U + e − pz + U − e pz , U + − pz U − pz = I ( z) e − e . Z0 Z0 Die Wellenimpedanz Z0 ist das Verhältnis zwischen den komplexen Amplituden der sich in der positiven Richtung ausbreitenden Spannungs- und Stromwellen. Für die sich in der negativen Richtung ausbreitenden Wellen ist dieses Verhältnis -Z0. 281 5.3.4 Ideale Leitung = R′ 0,= G′ 0. p= ( jω L′)( jωC ′)= jω L′C ′ ⇒ α= 0, β= ω L′C ′. Keine Dämpfung! Z0 = = v jω L′ = jωC ′ ω = β L′ . C′ Die Wellenimpedanz ist reell! 1 . Im Allgemeinen gilt L′C ′ = µε . L′C ′ Im Vakuum: v = 1 m ≈ 2.9979 ⋅10 = c : Lichtgeschwindigkeit! s µ 0ε 0 8 282 Ideale Leitung bei allgemeiner Zeitabhängigkeit: ∂u ∂i ∂i ∂u ′ ′ L , − = . = C Leitungsgleichungen: − ∂z ∂t ∂z ∂t ∂ 2u ∂ 2u = L′C ′ 2 , 2 ∂z ∂t ∂ 2i ∂ 2i = L′C ′ 2 : skalare 1D Wellengleichung. 2 ∂z ∂t z Alle Funktionen der Form f ( z , t ) = f (t ) sind Lösungen v 1 ): der 1D Wellengleichung (v = L′C ′ 2 ∂2 f 1 z f z 1 z ∂ ′′ f ( t ), = ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ = L C 2 L= C f (t ) f (t ). 2 2 2 v v ∂z v v v ∂t q. e. d. 283 z f (t − ) beschreibt eine sich in der positiven z-Richtung mit einer v Geschwindigkeit v ausbreitende Welle: f (− x) z.B. x f ( z, t ) t = 0 t = ∆t z v∆t 284 5.3.5 Abschluss von Leitungen I ( z) U0 Z2 U ( z) 0 l z U (0) = U 0 , U (l ) = Z 2 I (l ). = U (l ) U + e − pl Z2 + − U U e − pl − e pl . , I (l ) + U − e pl = Z0 Z0 U − e pl 1 + + − pl U + e − pl + U − e pl U e . Z= Z 0 0 U − e pl U + e − pl − U − e pl 1 − + − pl U e 285 U − e pl U − 2 pl r2 = e : Reflexionskoeffizient. = + − pl + U e U 1 + r2 , Z2 = Z0 1 − r2 Z2 − Z0 r2 = . Z2 + Z0 U ( z ) U + e − pl (e p ( l − z ) + r2 e − p ( l − z ) ), = U + − pl p ( l − z ) I ( z) e (e − r2 e − p ( l − z ) ). Z0 einfallende Wellen reflektierte Wellen 286 Am Anfang der Leitung: U0 U = , −2 pl 1 + r2 e + + −2 pl U (0) U (1 r e ), = U= + 0 2 U − = U + r2 e −2 pl . Z2 − Z0 r2 = . Z2 + Z0 Anpassung: Wenn= Z 2 Z= 0. 0 : r2 Keine Reflexion: + U e − pz . U ( z ) = U + e − pz , I ( z ) = Z0 U ( z) = Z0 . I ( z) 287 Kurzschluss: Wenn Z 2 = 0 : r2 = −1. Mit der Bezeichnung x = l − z : + U − px e − pl (e px + e − px ). U ( x) U + e − pl (e px − e= ), I ( x) = Z0 Spezialfall: ideale Leitung = (α 0,= p jβ ) − jβ x U = ( x) U + e − j β l (e j β x − e= ) 2 jU + e − j β l sin β x, U + − jβ l jβ x − jβ x U + − jβ l = I ( x) e (e + e= ) 2 e cos β x. Z0 Z0 Stehende Wellen. 288 Spannung und Strom beim Kurzschluss. t2 > t1 1 0.8 t1 t3 > t 2 u ( x, t ) 0.6 t 4 > t3 0.4 x 0.2 0 0 t5 > t 4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6.2832 6 7 i ( x, t ) 1 x t2 > t1 t3 > t 2 0 -1 t1 t 4 > t3 0 0 t5 > t 4 6.2832 289 Leerlauf: Wenn Z 2 → ∞ : r2 =1. Für ideale Leitungen: − jβ x U ( x) U + e − j β l (e j β x + e= ) 2U + e − j β l cos β x, = U + − jβ l jβ x − jβ x U + − jβ l = I ( x) e (e − e= ) 2j e sin β x. Z0 Z0 290 Spannung und Strom beim Leerlauf: u ( x, t ) 1 t2 > t1 x t1 t3 > t 2 0 -1 0 t5 > t 4 t 4 > t3 6.2832 0 t2 > t1 1 0.8 t1 t3 > t 2 i ( x, t ) 0.6 t 4 > t3 0.4 x 0.2 0 0 t5 > t 4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 6.2832 7 291 6. Die Maxwell‘schen Gleichungen 6.1 Die integrale Form der Maxwell‘schen Gleichungen Die 1. Maxwell‘sche Gleichung ∫ Γ H ⋅ ds= C =∂ Γ C = ∂Γ ∂D J + ∫Γ ∂t ⋅ nd Γ ∂D n J + ∂t ds d Γ H für alle Flächen Γ Der Ampere‘sche Durchflutungssatz mit der Maxwell‘schen Ergänzung: die Wirbel der magnetischen Erregung sind die Leitungs- und Verschiebungsströme 292 Die 2. Maxwell‘sche Gleichung ∂B −∫ ⋅ nd Γ E ⋅ ds = ∫ C =∂Γ Γ ∂t Γ C = ∂Γ ∂B n − ∂t ds d Γ E für alle Flächen Γ Das Faraday‘sche Induktionsgesetz: der Wirbel der elektrischen Feldstärke ist die zeitliche Ableitung des magnetischen Flusses 293 Die 3. Maxwell‘sche Gleichung B ⋅ nd Γ ∫ Γ Ω = 0 für alle Volumen Ω =∂ dΓ n Γ = ∂Ω Ω B Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte 294 Die 4. Maxwell‘sche Gleichung ρ d Ω für alle Volumen Ω D ⋅ nd Γ = ∫ ∫ Γ Ω Ω =∂ dΓ n Γ = ∂Ω Ω ρ D Gauß‘scher Satz: Die Quellen der elektrischen Flussdichte sind die Ladungen 295 6.2 Vektoranalysis Die integralen Maxwell‘schen Gleichungen gelten für beliebige Flächen, bzw. Volumen. Mit Hilfe der Vektoranalysis können Sie als Beziehungen für die Feldgrößen in beliebigen Punkten als (partielle) Differentialgleichungen geschrieben werden. 296 6.2.1 Gradient eines Skalarfeldes Die Änderung einer Skalar-Vektorfunktion u(r) (Ortsvektor r als unabhängige Variable) wird durch eine Vektorfunktion, den Gradienten: gradu(r) beschrieben. In einer beliebigen Richtung (Einheitsvektor e), beschreibt der Differentialquotient u ( r ) ∆s e u ( r + ∆se ) r u ( r + ∆se ) − u ( r ) lim r + ∆se ∆s →0 ∆s O die Änderung von u. Für den Gradienten gilt: u ( r + ∆se ) − u ( r ) lim e ⋅ gradu ( r ) = ∆s →0 ∆s 297 Die Richtung des Gradienten ist die Richtung der schnellsten Änderung von u. Der Gradient ist senkrecht auf die Flächen u = konst. Das Linienintegral des Gradienten hängt nur von den Werten der Funktion u im Anfangs- und Endpunkt der Linie ab: gradu P2 P2 ds ∫ gradu ⋅ d=s u ( P2 ) − u ( P1 ) P1 P1 Daher: 0 für alle geschlossenen Linien ∫ gradu ⋅ ds = C 298 Beispiel: Die elektrostatische Feldstärke E hat die Eigenschaften: ∫ E ⋅ d=s C P2 0 und ∫ E ⋅ d= s V ( P1 ) − V ( P2 ) Es gilt daher: P1 ∂ − gradV falls = 0 E= ∂t 299 6.2.2 Divergenz eines Vektorfeldes, der Gauß‘sche Integralsatz Die Quellen einer Vektor-Vektorfunktion v(r) (Ortsvektor r als unabhängige Variable) werden durch eine Skalarfunktion, die Divergenz divv(r) beschrieben. Für die Divergenz gilt in einem Punkt r: = divv ( r ) lim Ω →0 r∈Ω 1 Ω v ⋅ nd Γ ∫ Γ Ω =∂ 300 Der Fluss von v durch die Randfläche Γ eines Volumens Ω: v ⋅ nd Γ ∫ Γ Ω =∂ Γ= Γ 1′ + Γ 2′ Γ= Γ 1′ + Γ 12 1 Γ= Γ 2′ + Γ 12 2 Zerlegt man Ω in zwei Teilgebiete Ω1 und Ω2: Γ∫ v ⋅ d Γ + Γ∫ v ⋅ d Γ = Γ∫ v ⋅ d Γ +Γ∫ v ⋅ n 12 1 2 1′ dΓ + 12 ∫Γ v ⋅ d Γ +Γ∫ v ⋅ n 2′ 21 dΓ 12 Γ∫ v ⋅ d Γ =Γ∫ v ⋅ d Γ + Γ∫ v ⋅ d Γ 1 2 301 Für eine N-fache Unterteilung des Volumens Ω gilt: N ∑ ∫ v ⋅ d Γ =∫ v ⋅ d Γ Γ Γ i =1 ∫ v ⋅ d Γ= i i N Γ∫ v ⋅ d Γ N ∑ ∫ v ⋅ d Γ= ∑ Ω i Ωi →divv →∫ d Ω i 1= i 1 = Γ Γi i N Grenzübergang N → ∞ : ∑ Ω i → ∫ d Ω und i =1 Γ∫ v ⋅ d Γ Ω i Ωi → divv Damit ergibt sich der Gauß’sche Integralsatz: divvd Ω v ⋅ dΓ = ∫ ∫ Γ Ω Ω für alle Volumen Ω =∂ 302 Beispiel: Die elektrische Flussdichte hat die Eigenschaft: ρ d Ω für alle Volumen Ω D ⋅ nd Γ = ∫ ∫ Γ Ω Ω =∂ Aus dem Gauß'schen Satz folgt: divDd Ω und daher D ⋅ nd Γ = ∫ ∫ Γ Ω Ω =∂ ∫Ω divDd Ω = Ω∫ ρ d Ω für alle Volumen Ω Es gilt daher: divD = ρ 303 6.2.3 Rotation eines Vektorfeldes, der Stokes‘sche Satz Die Wirbel einer Vektor-Vektorfunktion v(r) (Ortsvektor r als unabhängige Variable) werden durch eine Vektorfunktion, die Rotation rotv(r) beschrieben. Für die Rotation in einer Richtung (Einheitsvektor e) gilt in einem Punkt r (e ist der Normalvektor der Fläche Γ in diesem Punkt): e ⋅ rotv = ( r ) lim Γ →0 r∈Γ 1 Γ ∫ Γ v ⋅ ds C =∂ 304 Das Linienintegral von v über einen geschlossenen Weg (Randkurve C einer Fläche Γ): v ⋅ dr ∫ Γ C =∂ Zerlegt man Γ in zwei Teilflächen Γ1 und Γ2: C= C1′ + C2′ C1 = C1′ + C12 ; C2 = C2′ + C12 ∫ v ⋅ dr + ∫ v ⋅ dr = ∫ v ⋅ dr + ∫ v ⋅ dr + ∫ v ⋅ dr 1 C1 2 C2 1 C1′ 2 1 C12 C2′ + ∫ v ⋅ dr= ∫ v ⋅ dr 2 C12 − d r1 C 305 Für eine N-fache Unterteilung der Fläche Γ gilt: N ∑ ∫ v ⋅ d s =∫ v ⋅ d s i =1 Ci ∫ v ⋅ d=s i C N Γ∫ v ⋅ d s N ∑ ∫ v ⋅ d=s ∑ Γ i Γi →n⋅rotv →∫ d Γ i 1= i 1 = C Ci i N Grenzübergang N → ∞ : ∑ Γ i → ∫ d Γ und i =1 Γ ∫ v ⋅ d s Ci Γi → n ⋅ rotv Damit ergibt sich der Stokes’sche Satz: ∫ Γ v ⋅ d=s Γ∫ rotv ⋅ nd Γ für alle Flächen Γ C =∂ 306 Beispiel: Die elektrostatische Feldstärke hat die Eigenschaft: 0 für alle Flächen Γ ∫ Γ E ⋅ ds = C =∂ Aus dem Stokes'schen Satz folgt: ∫ Γ E ⋅ d=s Γ∫ rotE ⋅ nd Γ und daher C =∂ ∫Γ rotE ⋅ nd Γ 0 für alle Flächen Γ = ∂ = rotE 0= falls 0 Es gilt daher: ∂t ∂ 0 ist äquivalent: − gradV falls = Die Aussage E = ∂t rotgradu = 0 für alle Skalarfunktionen u 307 6.2.4 Gradient, Divergenz und Rotation in orthogonalen Koordinatensystemen, der Nabla-Operator Allgemeine orthogonale Koordinaten x1, x2, x3 Kartesische Koordinaten: x1 = x, x2 = y, x3 = z. (r , φ , z ) z Zylinderkoordinaten: y x1 = r , x2 = φ , x3 = z. x = r cos φ , y = r sin φ r φ x Kugelkoordinaten: x1 = r , x2 = θ , x3 = φ . x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cosθ z ( r ,θ , φ ) θ y r φ x 308 x3 x1 , x2 , x3 bilden ein Rechtssystem : x1 ⋅ ⋅ ⋅ x2 Im Allgemeinen bedeuten x1, x2 und x3 keine Längen. Der differenzielle Abstand ds1 zwischen den Punkten (x1, x2, x3) und (x1+dx1, x2, x3) ist h1dx1. x3 x3 + dx3 Allgemein: dsi = hi dxi x1 + dx1 h1dx1 h3 dx3 ( x1 , x2 , x3 ) h1, h2, h3: metrische x1 h2 dx2 x2 + dx2 Koeffizienten x2 309 Metrische Koeffizienten in verschiedenen Koordinatensystemen: Kartesisches Koordinatensystem: ds1 = dx, ds2 = dy, ds3 = dz , x1 = x, x2 = y, x3 = z Zylinderkoordinatensystem: x1 = r , x2 = φ , x3 = z Kugelkoordinatensystem: x1 = r , x2 = θ , x3 = φ h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1. ds1 = dr , ds2 = rdφ , ds3 = dz , h1 = 1, h2 = r , h3 = 1. ds1 = dr , ds2 = rdθ , ds3 = r sin θdφ , h1 = 1, h2 = r , h3 = r sin θ . 310 Gradient im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem: u ( x1 , x2 , x3 ) sei eine Skalarfunktion. u ( x1 + ∆x1 , x2 , x3 ) − u ( x1 , x2 , x3 ) 1 ∂u ( gradu )1 = ∆lim = s1 →0 h1 ∂x1 ∆s1 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u gradu ( x1 , x2 , x3 ) = e1 + e2 + e3 h1 ∂x1 h2 ∂x2 h3 ∂x3 ∂u ∂u ∂u ex + e y + ez ∂x ∂z ∂y ∂u ∂u 1 ∂u gradu (r , φ , z ) = e r + eφ + e z r ∂φ ∂r ∂z ∂u 1 ∂u 1 ∂u θ φ e e + eφ gradu (r , , ) = θ r + ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ gradu ( x, y, z ) = 311 Divergenz im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem: v ( x1 , x2 , x3 ) sei eine Vektorfunktion. divv lim Ω →0 ∫Γ v ⋅ nd Γ 1 1 Ω ∫ v ⋅ nd Γ Γ = −v1h2 h3 dx2 dx3 x3 Γ1 Γ2 Ω v1 x2 ds3 = h3 dx3 ds2 = h2 dx2 ds1 = h1dx1 ∂h2 h3 ∂v1 h2 h3 + dx1 dx2 dx3 = ∫Γ v ⋅ nd Γ = v1 + ∂x1 dx1 ∂x1 2 ∂v1 v1 + dx1 ∂x1 x1 ∂ (v1h2 h3 ) = v1h2 h3 dx2 dx3 + dx1dx2 dx3 + O(dx1dx1dx2 dx3 ) ∂x1 312 ∂ ( v1h2 h3 ) v ⋅ nd Γ =∫ v ⋅ nd Γ + ∫ v ⋅ nd Γ = dx1dx2 dx3 ∫ ∂x1 Γ 1 +Γ 2 Γ1 Γ2 ∂ ( v1h2 h3 ) ∂ ( v2 h1h3 ) ∂ ( v3 h1h2 ) + + dΓ dx1dx2 dx3 Γ∫ v ⋅ n= ∂x2 ∂x3 ∂x1 = Ω ds = h1h2 h3 dx1dx2 dx3 1ds2 ds3 1 ∂ ∂ ∂ (v1h2 h3 ) + (v2 h1h3 ) + (v3h1h2 ) divv ( x1 , x2 , x3 ) = ∂x3 h1h2 h3 ∂x1 ∂x2 ∂v x ∂v y ∂v z + divv ( x, y, z ) = + ∂x ∂y ∂z 1 ∂ (rvr ) 1 ∂vφ ∂v z divv (r , φ , z ) = + + r ∂r r ∂φ ∂z 1 ∂ (r 2 vr ) 1 ∂ (sin θvθ ) 1 ∂vφ divv (r ,θ , φ ) = 2 + + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 313 Rotation im allgemeinen, orthogonalen Koordinatensystem: v ( x1 , x2 , x3 ) sei eine Vektorfunktion. C1 = C1(1) + C1( 2 ) + C1( 3) + C1( 4 ) 1 x1 C ( 2 ) d = ⋅ v r ( rotv )1 Γlim 1 ( 3) ∫ 1 →0 Γ C 1 1 C1 x2 x 3 Γ 1 ∫(1)v ⋅ dr = v2 h2 dx2 ds2 = h2 dx2 h dx ds = C1 3 3 3 C1( 4 ) C1(1) ∂v2 ∂h2 ∫(3)v ⋅ ndΓ = − v2 + ∂x3 dx3 h2 + ∂x3 dx3 dx2 = C1 ∂ (v2 h2 ) = −v2 h2 dx2 − dx2 dx3 + O(dx2 dx3 dx3 ) ∂x3 ∂ (v2 h2 ) dx2 dx3 v ⋅ dr = − ∫ ∂x3 C (1) + C ( 3 ) 1 1 ∂ (v3 h3 ) v ⋅ dr = dx2 dx3 ∫ ∂x2 C ( 2 ) +C ( 4 ) 1 1 314 ∂ (v3 h3 ) ∂ (v h ) Γ 1 ds = h2 h3 dx2 dx3 dx2 dx3 − 2 2 dx2 dx3 = 2 ds3 ∂x3 ∂x2 C1 1 1 1 (rotv( x1 , x2 , x3 ) )1 = e1 e2 e3 h1h2 h2 h3 h3 h1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) − = h v h v 3 3 2 2 rotv = ∂x3 h2 h3 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 h1v1 h2 v2 h3v3 ∫ v ⋅ dr = z. B.: Kartesische Koordinaten: ex ∂ rotv = ∂x vx ey ∂ ∂y vy ez ∂ ∂z vz 315 Der Nabla-Operator (∇-Operator) : In kartesischen Koordinaten: ∂ ∂ ∂ = ∇ ex + e y + ez . ∂x ∂y ∂z Gradient, Divergenz und Rotation mit ∇ : ∂ ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u u e x + e y + e z = u ∇= ex + e y + = e z gradu ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ ∂ ∂ vz e z ) = ∇ ⋅ v e x + e y + e z ⋅ ( vx e x + v y e y + = ∂y ∂z ∂x ∂vx ∂v y ∂vz = + + = divv ∂x ∂y ∂z 316 ∇× v ex e y ez ∂ ∂ ∂ = rotv ∂x ∂y ∂z vx v y vz Produktregeln: grad ( uv ) = ∇ ( uv ) = ∇ ( uc v ) + ∇ ( uvc ) = u∇v + v∇u = = ugradv + vgradu div ( uv ) = ∇ ⋅ ( uv ) = ∇ ⋅ ( uc v ) + ∇ ⋅ ( uv c ) = u∇v + v ⋅∇u = = udivv + v ⋅ gradu rot ( uv ) = ∇ × ( uv ) = ∇ × ( uc v ) + ∇ × ( uv c ) = u∇ × v + ∇u × v = = urotv + gradu × v 317 Beispiel: Beweis der Äquivalenz der zwei Ausdrücke für die elektrische Energie: 1 1 E ⋅ Dd Ω = We ρVd = Ω ∫ ∫ 2 Ωρ 2 3 div(VD)= VdivD + gradV ⋅ D= V ρ − E ⋅ D ∫ ρVd Ω =Ω∫ ρVd Ω =∫ E ⋅ Dd Ω + ∫ div (VD ) d Ω 3 3 ρ Gauß'scher Satz: 3 ∫ div (VD ) d Ω = ∫ VD ⋅ nd Γ 3 ∂3 = ∫ Γ VD ⋅ nd Γ →∞ 318 Das Potential jeder im Endlichen liegenden Ladungsverteilung geht im Unendlichen mit 1/r gegen Null, während die elektrische Flussdichte mit 1/r2 gegen Null geht. Daher geht das Produkt VD.n mit 1/r3 gegen Null, die Integrationsoberfläche aber nur mit r2 gegen unendlich. Damit gilt: 0 ∫ VD ⋅ nd Γ = Γ →∞ Ω ∫ ρVd= Ω ∫ E ⋅ Dd Ω ∫ ρVd= Ω 3 ρ 3 1 1 = We ρVd = Ω E ⋅ Dd Ω ∫ ∫ 2 Ωρ 2 3 q. e. d. 319 6.3 Die differentielle Form der Maxwell‘schen Gleichungen Die 1. Maxwell‘sche Gleichung ∂D H ⋅ ds= ∫ J + ⋅ nd Γ ∫ ∂t C =∂Γ Γ Stokes‘scher Satz: für alle Flächen Γ ds ∫ rotH ⋅ nd Γ ∫ Γ H ⋅ = Γ C =∂ Daher: ∂D ∫Γ rotH ⋅ nd Γ = Γ∫ J + ∂t ⋅ nd Γ Da dies für beliebige Flächen gilt: rotH= J + ∂D ∂t 320 Die 2. Maxwell‘sche Gleichung ∂B E ⋅ ds = −∫ ⋅ nd Γ ∫ C =∂Γ Γ ∂t Stokes‘scher Satz: für alle Flächen Γ ∫ Γ E ⋅ d=s Γ∫ rotE ⋅ nd Γ C =∂ Daher: ∂B −∫ ⋅ nd Γ ∫Γ rotE ⋅ nd Γ = Γ ∂t Da dies für beliebige Flächen gilt: ∂B rotE = − ∂t 321 Die 3. Maxwell‘sche Gleichung B ⋅ nd Γ ∫ Γ Ω = 0 für alle Volumen Ω =∂ Gauß‘scher Satz: divBd Ω B ⋅ nd Γ = ∫ ∫ Γ Ω Ω =∂ Daher: ∫Ω divBd Ω = 0 Da dies für beliebige Volumen gilt: divB = 0 322 Die 4. Maxwell‘sche Gleichung ρ d Ω für alle Volumen Ω D ⋅ nd Γ = ∫ ∫ Γ Ω Ω divDd Ω Gauß‘scher Satz: ∫ D ⋅ nd Γ = ∫ Γ Ω Ω =∂ =∂ Daher: ∫Ω divDd Ω = Ω∫ ρ d Ω Da dies für beliebige Volumen gilt: divD = ρ 323 Zusammenfassung: ∂D , ∂t ∂B II . rotE = − , ∂t III . divB = 0, IV . divD = ρ , I . rotH = J + = D ε= E, B µ= H, J γ E. B D 1 1 w = we + wm = E ⋅ D + H ⋅ B = ∫ E ⋅ dD + ∫ H ⋅ dB , 2 2 0 0 2 J . p= = W ∫= wd Ω , P ∫ pd Ω . γ Ω Ω 324
