Kompendium 2. Semester - AGeS - Die Skript

Theoretische Mechanik
(Kompendium)
Herausgegeben von
Jeffrey Kelling
Felix Lemke
Stefan Majewsky
Stand: 23. Oktober 2008
1
Inhaltsverzeichnis
Newton’sche Mechanik
Mechanische Größen und wichtige Sätze
Planetenbewegung
Bezugssysteme
Systeme freier Massepunkte
3
3
3
3
3
Lagrange-Mechanik
D’Alembert-Prinzip
Lagrange 1. Art
Lagrange 2. Art
Hamilton-Prinzip der extremalen Wirkung
4
4
4
4
4
Hamilton-Mechanik
Hamilton-Formalismus
Poisson-Klammern
Kanonische Transformationen
5
5
5
5
Starrer Körper
Translation
Rotation
Steinerscher Satz
Hauptachsentransformation des Trägheitstensors
Eulergleichungen und -winkel
6
6
6
6
6
6
Spezielle Relativitätstheorie
Kausalität
Allgemeine Lorentztransformation
Spezielle Lorentz-Transformation
Vierertensoren
Relativistische Bewegungsprozesse
7
7
7
7
7
7
AGeS-Kompendium
Newton’sche Mechanik
Seite 3
Mechanische Größen und wichtige Sätze
• Bahnkurve: ~r(t), Geschwindigkeit: ~v (t) =
• Impuls: p~ = m · ~v , Impulssatz:
d
~
dt p
d
r,
dt ~
Beschleunigung: ~a(t) =
d
v
dt ~
=
d2
r,
dt2 ~
Kraft: F~ = m · ~a
= F~ , Erhaltung bei verschwindender Kraft
~ = ~r × F~
• Drehmoment: M
~ = ~r × p~, Drehimpulssatz: d L
~ =M
~ , Erhaltung bei verschwindendem Drehmoment
• Drehimpuls: L
dt
~
|L| ~
d ~
= vom Fahrstrahl ~r überstrichene Fläche)
Flächensatz: dt
A = 2m (A
R
• Arbeit: W = C F~ d~r
• Leistung: P =
d
dt W
= F~ · ~v
• kinetische Energie: T =
• Potential: U (~r) mit
d
dt U
m 2 d
v , dt T
2~
=P
(~r) = −F~kons · ~v
d
• Energie: E ≡ T + U = m
r2 + U (~r), Energiesatz: dt
E = −F~diss · ~v , Erhaltung bei rein konservat. Kraft
2~
~ ; rot F~ = ∇
~ × F~ = 0; Arbeit unabhängig vom
• konservative Kraft: ∃ U (~r) mit F~ = − grad U (~r) = −∇U
Weg; Ringintegrale der Arbeit verschwinden
~ für konservative F~ und über die gesamte Zeit beschränkte Impulse und Orte
• Virialsatz: T = 21 ~r · ∇U
T = k2 U für (zusätzlich) ein homogenes Potential vom Grade k, d.h. U (α · ~r) = αk · U (~r)
Planetenbewegung
M sei im Ursprung fixiert und m (Abstand % zum Ursprung) bewege sich unter der Gravitationskraft
mM
mM
~
F~ = −γ 2 · e~% = −γ 3 · %
%
%
• Potential: U (%) = −γ mM
% , Energie: E =
• Bahnen des freien Körpers: %(ϕ) =
m 2
2 %̇
k
1+ε cos ϕ
+
L2
2m%2
mit k =
+ U (%) ≡
2
L
γm2 M
m 2
2 %̇
+ Ueff (%) – effektives Potential
(Parameter) und ε =
rmax −rmin
rmax +rmin
(Exzentrizität)
Bezugssysteme
• Spezielle Galileitransformation (IS0 bewegt sich gegen IS mit ~v = v e~x ): x0 = x − vt, y 0 = y, z 0 = z, t0 = t
• Allgemeine Galileitransformation (IS0 bewegt sich gegen IS mit ~v = vi e~i ): x0i = αij xj − vi t − x0i , t0 = t − t0
α = (αij ) muss eine Drehmatrix sein, also αT · α = 1
• Rotierendes Bezugssystem (KS rotiert mit ω
~ bzgl. IS, Ortsvektor ~r in IS bzw. ~r0 in KS)
¡d¢
¡d¢
– Allgemeine Operatorgleichung: dt IS = dt
+ω
~ × (anwenden auf ~r = ~r0 )
KS
– Zentrifugalkraft: F~z = m · ω
~ × (~
ω × ~r0 ), Corioliskraft: F~c = 2m · ω
~ × ~r˙0
– Transformation von Beschleunigungen: m~r¨0 = m~r¨− F~z − F~c − m · ω
~˙ × ~r0
Systeme freier Massepunkte
Betrachte N Massepunkte der Masse mi an den Orten r~i mit den äußeren Krafteinwirkungen F~i .
P
~ = 1 · P mi r~i , Gesamtimpuls: P~ = P p~i = M R
~˙
• Gesamtmasse: M = i mi , Schwerpunkt: R
i
i
M
• Impuls-/Schwerpunktsatz:
d ~
dt P
~¨ = P F~i , analog Drehimpuls und Energie
= MR
i
~¨ = 0
• Zweikörperproblem: keine äußeren Kräfte (nur innere Kräfte F~12 = −F~21 ): M R
³
´−1
m2
reduzierte Masse: µ = m11 + m12
= mm11+m
= m2 · 1+m12 /m1 ⇒ µ~r¨ = F~12
2
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AGeS-Kompendium
Lagrange-Mechanik
Seite 4
D’Alembert-Prinzip
Ein System von N Körpern erfahre eine virtuelle Verrückung δ r~i (i = 1, . . . , N ), d.h. die Zwangsbedingungen gelten noch, wenn man annimmt, dass sich die Zeit nicht ändert (bei dt 6= 0 wäre es eine reale
Verrückung d~
ri ). Dann gilt für die Zwangskräfte:
³
´
X
~i · δ r~i = mr~¨i − F~i · δ r~i = 0
Z
i
Lagrange 1. Art
Im folgenden sei N die Anzahl der Teilchen und R die Anzahl der Zwangsbedingungen.
1. Zwangsbedingungen in konstanten Koordinaten angeben
gα (x1 , . . . , x3N , t) = 0
(α = 1, . . . , R)
2. Lagrangegleichungen 1. Art mit konstanten Koordinaten aufschreiben
mn ẍn = Fn +
R
X
λα (t)
α=1
∂ gα
∂xn
(n = 1, . . . , 3N )
3.1. Zwangsbedingungen zweimal nach der Zeit ableiten (diese Ableitungen sind ebenfalls Null!); umformen
3N
X
∂ gα
ẍn = fα (x, ẋ, t)
∂x
n
n=1
(α = 1, . . . , R)
3.2. hierin Lagrangegleichungen 1. Art einsetzen
Ã
!
3N
R
X
X
∂ gα
1
∂ gα
·
Fn +
λα (t)
= fα (x, ẋ, t)
∂xn mn
∂xn
n=1
α=1
(α = 1, . . . , R)
3.3. entstehendes lineares Gleichungssystem vom Grade R für die λα (x, ẋ, t) lösen und in die Lagrangegleichungen 1. Art einsetzen
mn ẍn = Fn +
R
X
λα (x, ẋ, t)
α=1
∂ gα
∂xn
(n = 1, . . . , 3N )
4. Lösung der entstehenden Bewegungsgleichungen ⇒ x(t); ggf. Bestimmung der Zwangskräfte
Zn (t) =
R
X
α=1
λα (t)
∂ gα
∂xn
Lagrange 2. Art
Im Folgenden seien f die Anzahl der Freiheitsgrade und q1 , . . . , qf die verallgemeinerten Koordinaten, die
die Zwangsbedingungen automatisch erfüllen.
1. kinetische Energie und Potential analytisch fassen und Lagrange-Funktion formulieren
L(q, q̇, t) = T (q, q̇, t) − U (q, t)
2. Lagrange-Gleichungen 2. Art lösen
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂ q̇k
∂qk
(k = 1, . . . , f )
Hamilton-Prinzip der extremalen Wirkung
Der gewählte Weg q(t) ist dadurch gekennzeichnet, dass das Wirkungsintegral extremal wird.
Z
δ dtL (q, q̇, t) = 0
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Hamilton-Mechanik
Seite 5
Hamilton-Formalismus
1. Lagrangefunktion aufstellen und verallgemeinerte Impulse bilden
pk =
∂L
∂ q̇k
2. verallgemeinerte Impulse nach q̇k umstellen und mit diesen Hamiltonfunktion bilden
H (q, p, t) =
f
X
q̇k pk − L
k=1
3. kanonische Gleichungen aufstellen
∂H
q̇k =
∂pk
und
∂H
ṗk = −
∂qk
µ
dH
∂H
sowie
=
dt
∂t
¶
• Spezialfall: zyklische Koordinate
∂H
= 0 ⇒ ṗk = 0 ⇒ pk = const.
∂qk
Poisson-Klammern
{F, G} =
f ·
X
∂F
k=1
∂G
∂F ∂G
·
−
·
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
¸
• algebraische Eigenschaften:
–
–
–
–
Linearität: {c1 A + c2 B, C} = c1 {A, C} + c2 {B, C}, ebenso in zweiter Komponente
Antisymmetrie: {A, B} = − {B, A}
Produktregel: {A · B, C} = A · {B, C} + B · {A, C}, ebenso in zweiter Komponente
Jacobi-Identität: {{A, B} , C} + {{B, C} , A} + {{C, A} , B} = 0
= {F, H} +
• Zeitableitung einer Funktion F (q, p, t): dF
dt
• fundamentale Relationen verallgemeinerter Größen:
∂F
∂t
, insbesondere
dH
dt
=
∂H
∂t
(dritte kanonische Gleichung)
– untereinander: {qi , qj } = 0, {pi , pj } = 0, {qi , pj } = δij
– mit Funktionen: {qk , G} =
∂G
∂pk
∂G
, {pk , G} = − ∂q
k
– mit Hamilton-Funktion: {qk , H} = q̇k , {pk , H} = ṗk
Kanonische Transformationen
• Definition: Eine Transformation q, p → Q, P heißt kanonisch, wenn sie die kanonischen Gleichungen une
e
∂H
∂H
e
und Ṗk = − ∂Q
.
berührt lässt, d.h. es gibt eine zu H gleichwertige Funktion H(Q,
P, t) mit Q̇k = ∂P
k
k
Test: Eine Transformation q, p → Q, P ist genau dann kanonisch, wenn gilt:
{Qi , Qj } = 0 , {Pi , Pj } = 0 , {Qi , Pj } = δij
• Zu jeder kanonischen Transformation gibt es eine Erzeugende G, mit der sich die transformierte Hamile
tonfunktion nach H(Q,
P, t) = H (q(Q, P ), p(Q, P ), t) + ∂∂tG folgt. Es gibt vier Typen von Erzeugenden:
.
Form
G = G1 (q, Q, t) G = G2 (q, P, t) G = G3 (p, Q, t) G = G4 (p, P, t)
. .
G1
G2
G3
G4
Eigenschaften
p = ∂∂q
p = ∂∂q
q = − ∂∂p
q = − ∂∂p
.
.
G1
G2
G3
G4
P = − ∂∂Q
Q = ∂∂P
P = − ∂∂Q
Q = ∂∂P
.
• In der Praxis hat man H(q, p, t) sowie die Erzeugende oder die Transformation, findet das jeweils andere
e
mithilfe der obigen Eigenschaften und geht dann zu H(Q,
P, t) über. Die Ergebnisse aus der Betrachtung
des werden dann gegebenenfalls rücktransformiert.
• Satz von Liouville: Die Phasenraumdichte %(~r, t) entlang einer Trajektorie ist konstant.
µ ¶
d%
∂%
q̇
= {%, H} +
= 0 oder div
=0
ṗ
dt
∂t
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AGeS-Kompendium
Starrer Körper
Seite 6
Translation
Der Körper (Gesamtmasse M ) wird durch ein Inertialsystem (IS) und ein mitbewegtes Koordinatensystem
mit dem Ursprung r~0 (der sich mit v~0 bewegt) beschrieben.
• Geschwindigkeit eines Punktes r~i (r~0i im KS) auf dem starren Körper im IS: v~i = v~0 + ω
~ × r~0i
P
Im Folgenden sei v~0 = 0 (ortsfester Kreisel) oder i mi r~0i = 0 (r~0 ist der Schwerpunkt).
• kinetische Energie der Translation: Tkin = 21 M v~0 2
Rotation
t
¡
¢
dV ~r2 δmn − rm rn
P
• Trägheitsmoment bzgl. einer Drehachse ω
~ : Θω~ = m,n Θmn ωωm ωωn
P
• kinetische Energie der Rotation: Trot = 12 m,n Θmn ωm ωn = 21 Θω~ ω
~2
b Θmn = %
• Komponenten des Trägheitstensors Θ:
~ = Θ~
bω
• Drehimpuls: L
Steinerscher Satz
b 0 eines Körpers der Masse m an einem Ursprung ~a (vom Schwerpunkt aus gesehen)
Der Trägheitstensor Θ
b im Schwerpunktsystem durch
ergibt sich aus dem Trägheitstensor Θ
¡
¢
Θ0mn = Θmn + M ~a2 δmn − am an
Hauptachsentransformation des Trägheitstensors
• Die Hauptträgheitsmomente sind die Eigenwerte Θ1 , Θ2 , Θ3 der Matrix des Trägheitstensors.
• Die Hauptträgheitsachsen sind die zugehörigen Eigenvektorräume {ω~1 } , {ω~2 } , {ω~3 }. Es gilt:
b ω~i = Θi ω~i
Θ
Hauptachsentransformation: Im Koordinatensystem der Hauptträgheitsachsen sind


Θ1 0
0
b =  0 Θ2 0 
Θ
0
0 Θ3
Eulergleichungen und -winkel
• Eulersche Gleichungen zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeiten
Θ1 ω̇1
Θ2 ω̇2
Θ3 ω̇3
+ (Θ3 − Θ2 ) ω2 ω3
+ (Θ1 − Θ3 ) ω1 ω3
+ (Θ2 − Θ1 ) ω1 ω2
= M1
= M2
= M3
• Eulersche Winkel (Inertialsystem: x, y, z; mitbewegtes Koordinatensystem: x1 , x2 , x3 ; K = Schnittlinie
der xy- und x1 x2 -Ebene)


ϕ = ^ (x, K) 
ω1 = ϕ̇ sin ϑ sin ψ + ϑ̇ cos ψ
ψ = ^ (K, x1 )
⇒
ω = ϕ̇ sin ϑ cos ψ − ϑ̇ sin ψ

 2
ϑ = ^ (z, x3 )
ω3 =
ϕ̇ cos ϑ
+
ψ̇
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Spezielle Relativitätstheorie
Seite 7
Kausalität
• Zwei Ereignisse (x1 , y1 , z1 , t1 ) und (x2 , y2 , z2 , t2 ) heißen gleichzeitig, wenn bei jedem Ereignis am jeweiligen Ort startende
Lichtblitze gleichzeitig im Mittelpunkt der Verbindungslinie zwischen den Orten ankommen.
• (x1 , y1 , z1 , t1 ) und (x2 , y2 , z2 , t2 ) haben den (unter Lorentztransformation invarianten) Raumzeit-Abstand
h
i
s212 = [c (t2 − t1 )]2 − (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
◦ s212 > 0 – zeitartiges Intervall – Es gibt ein Inertialsystem, in dem beide Ereignisse am gleichen Ort stattfinden.
Gleichzeitig können Sie aber nicht stattfinden.
◦ s212 = 0 – lichtartiges Intervall – Die Ereignisse können weder gleichzeitig noch am gleichen Ort stattfinden, unabhängig
von der Wahl des Bezugssystems.
◦ s212 < 0 – raumartiges Intervall – Es gibt ein Inertialsystem, in dem beide Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Am
gleichen Ort können Sie aber nicht stattfinden.
• Ereignisse können nur dann kausal zusammenhängen, wenn zwischen ihnen ein zeitartiges oder ein lichtartiges Intervall liegt.
Nur dann kann man zwischen Vergangenheit und Zukunft unterscheiden.
Allgemeine Lorentztransformation
Für zwei Inertialsysteme IS und IS0 gibt es zwei Transformationstensoren Lβα und Lαβ mit
(
0
(ct0 , x0 , y 0 , z 0 )T = Lβα (ct, x, y, z)T
1
Definition:
β
T
T
0
0
0
0
B0
(ct, x, y, z)
= Lα (ct , x , y , z )
αβ
B
(
mit gαβ = g
=@
0
Lβα · Lβγ = δγα
Eigenschaften:
0
γ
Lβα = gβγ · g δα · L δ
0
−1
0
0
0
0
−1
0
1
0
0 C
C
0 A
−1
Spezielle Lorentz-Transformation
~ = V e~x .
Das Inertialsystem IS0 bewege sich bzgl. dem Inertialsystem IS mit V
t0
x0
0
vx
=
=
=
vy0
=
vz0
=
“
”
γ t − cV2 x
γ (x − V t)
α (vq
x −V)
` ´2
αvy 1 − Vc
q
` V ´2
αvz 1 − c
und
t
=
x
vx
=
=
vy
=
vz
=
“
”
γ t0 + cV2 x0
` 0
´
γ `x + V t´0
0
α vq
x +V
` ´2
0
αvy 1 + Vc
q
`
´2
αvz0 1 + Vc
mit
γ
=
³
α
=
¡
1−
1−
´−1/2
V2
c2
vx V
c2
¢−1
• Zeitdilatation: Zwei Ereignisse geschehen von IS gesehen am gleichen Ort mit der Zeitdifferenz ∆t = t2 − t1 . In IS0 beträgt
der Zeitunterschied ∆t0 = γ (t2 − t1 ) = γ∆t.
• Längenkontraktion: Ein in IS ruhendes Objekt hat die Länge L = x2 − x1 . In IS0 misst die Länge dieses Objektes L0 =
(Die Messung der Endpunkte x01 und x02 muss jeweils gleichzeitig erfolgen!)
1
L.
γ
Vierertensoren
• Viererskalare sind skalare Größen, die lorentzinvariant, also vom Bezugssystem unabhängig, sind.
– Lichtgeschwindigkeit, Ruhmasse, Eigenzeit τ eines Systems
– raumzeitlicher Abstand zwischen zwei Punkten und insbesondere eines Punktes vom Referenzereignis
xα xα = c2 t2 − x2 − y 2 − z 2
– Wegelement ds =
√
dxα dxα auf einer Weltlinie
– Eigenzeitdifferential dτ = ds/c, dt = γ · dτ
• Vierervektoren sind Vektoren mit vier Komponenten, die sich unter der Lorentztransformation verhalten wie Ereignisse.
Aus einem Vierervektor xα ergibt sich der entsprechende kovariante Vektor xα = gαβ xβ und umgekehrt xα = g αβ xβ .
– Ortsvektoren von Ereignissen xα = (ct, x, y, z)T und deren Differentiale
– Vierergeschwindigkeit uα =
dxα
dτ
= γ (c, ~v )
– Viererimpuls oder Energie-Impuls-Vektor pα = muα = γm0 (c, ~v ) =
“
E
, p~r
c
”
Relativistische Bewegungsprozesse
• relativistische Masse: m = γm0
• relativistischer Impuls: p~r = m~v = γm0~v
• relativistische Energie: E = γm0 c2
• relativistische kinetische Energie: T = E − m0 c2
• Energie-Impuls-Beziehung: E 2 = m20 c4 + c2 p~r 2
• Stoßprozesse: Summe der Viererimpulse ist invariant
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