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Brückenkurs Mathematik
HS Bonn Rhein-Sieg
FB Informatik
Überblick
1. Mengenlehre
2. Wortmengen, Formale Sprachen
3. Funktionen
4. Folgen
Definition von Mengen
„Eine Menge ist eine Zusammenfassung
bestimmter, wohlunterschiedener Dinge
unserer Anschauung oder unseres Denkens,
welche Elemente der Menge genannt werden,
zu einem Ganzen.“
- Georg Cantor (1845 - 1918)
Mengen und ihre Elemente
• Man sagt „a ist Element von M“
In Zeichen
a∈M
Ansonsten
a∉M
• Mengen ohne Elemente heißen leer.
In Zeichen
M = ∅ oder M = { }
• Die Größe (Anzahl der Elemente) einer Menge
M heißt Kardinalität von M.
In Zeichen
|M| oder #M
Notation von Mengen
• Aufzählende Darstellung
A = {c, a, k} = {a, c, k} = {k, a, c, a, k, c}
B = {1, 2, 3, ..., 9}
Z = {10, 20, 30, 40, ...} (unendlich viele Elemente)
• Beschreibende Darstellung
B = {x | x ist natürliche Zahl zwischen 1 und 9}
• Zahlenstrahl
• Venn-Diagramm
0 1 2 3
c
4 5 6 7 8 9 10 11
a
k
Teilmengen
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B,
A⊆B
)
(in Zeichen:
gdw jedes Element von A auch Element von B ist,
wenn also gilt:
für jedes x ∈ A ist auch x ∈ B
Zwei Mengen A und B sind gleich, gdw
A ⊆ B und B ⊆ A
Potenzmenge
Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die
Menge aller Teilmengen:
P(A) = { B | B ⊆ A} = 2A
Für eine endliche Menge A mit |A| = n gilt:
|P(A)| = 2n
Deshalb schreibt man auch statt P(A) manchmal 2A
Operationen auf Mengen
Seien A und B zwei Mengen:
Die Menge A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B} heißt
Vereinigung von A und B,
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B} heißt Durchschnitt oder
Schnittmenge,
A \ B = {x | x ∈ A und x ∉ B} heißt Differenz(-Menge)
C(A) = {x ∈ G | x ∉ A} heißt das Komplement von A
(bzgl. einer gegebenen Grundmenge G).
Vordefinierte Mengen
( Natürliche Zahlen )
( Ganze Zahlen )
( Rationale Zahlen )
( Reelle Zahlen )
Beispiel
A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 5}
Schnitt, Vereinigung, Differenzmengen von A und B ?
Potenzmenge von C ?
Komplement von A und B (bzgl G = {1, 2, ..., 9}) ?
Teilmengenbeziehungen?
Kreuzprodukt
Für zwei Mengen A und B heißt
A x B = {(a, b) | a ∈ A und b ∈ B }
das Kreuzprodukt oder kartesisches Produkt oder
die Produktmenge von A und B.
(a, b) nennt man geordnetes Paar.
Falls A und B endlich sind mit |A| = n und |B| = m,
dann ist |A x B| = n*m.
Beispiel Kreuzprodukt
Für A = {2, 3, 5} und B = {1, 2, 3, 4, 5} ist
A x B = { (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5) }
Achtung: (2, 3) ist nicht gleich (3, 2) !
n-faches Kreuzprodukt
Für beliebig viele Mengen A1, A2 A3 ... An (n > 0) heißt
A1 x A2 x A3 x ... x An = {(a1, a2,..., an ) | ai ∈ Ai }
das n-fache Kreuzprodukt der Ai
Die Elemente (a1, a2,..., an ) nennt man n-Tupel oder
für n = 2: Paare
für n= 3: Tripel
für n= 4: Quadrupel
Falls die Ai alle gleich (=A) sind, schreibt man auch An
Relationen
Jede Teilmenge R eines kartesischen Produkts
R ⊆ A1 x A2 x A3 x ... x An
heißt (n-stellige) Relation auf den Ai
Für n = 2 schreibt man statt (a, b) ∈ R auch: aRb
Häufig:
R ⊆ A x A, also n = 2 und A1 = A2 = A
Beispiel Relation
Für
P = {Anna, Bert, Coco, Didi, Emil} und
H = {3, 5, 6, 8} ist R ⊆ P x H mit
R = { (Anna, 3), (Coco, 3), (Emil, 3), (Emil, 6) }
eine Relation auf einer Menge von Personen und
einer Menge von Hausnummern.
Darstellungen von Relationen
Relationen sind Mengen, lassen sich also
• aufzählen,
• beschreiben,
• zeichnen (im Koordinatensystem),
aber auch
• in Tabellen oder
• mit Zuordnungsgraphen
darstellen.
R als Aufzählung
R = { (Anna, 3), (Coco, 3), (Emil, 3), (Emil, 6) }
... Beschreibung
R = { (p, h) | Person p wohnt in Hausnr h }
R als Zeichnung
8
6
5
3
Anna
Bert
Coco
Didi
Emil
R als Tabelle
Anna Bert
3
-
Coco
Didi
Emil
3
-
3, 6
R als Zuordnungsgraph
Anna
3
Bert
5
Coco
Didi
6
8
Emil