3 Grundlagen der Elektrodynamik

3 Grundlagen der Elektrodynamik
3.1 Maxwellgleichungen
Die Ausbreitung elektromagnetische Strahlung in Materie wird durch die makroskopischen Maxwellgleichungen beschrieben:
∇ · D (r, t) = ̺ (r, t) ,
(3.1.1)
∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) ,
(3.1.2)
∇ · B (r, t) = 0,
∇ × H (r, t) = j (r, t) + Ḋ (r, t) .
(3.1.3)
(3.1.4)
Weiterhin gelten die Materialgleichungen:
D (r, t) = ǫ0 E (r, t) + P (r, t) ,
(3.1.5)
B (r, t) = µ0 H (r, t) + M (r, t) .
(3.1.6)
Physikalische Größen (SI-Einheiten):
• E: elektrische Feldstärke [V m−1 ]
• D: elektrische Flußdichte [A s m−2 ]
• H: magnetische Feldstärke [A m−1 ]
• B: magnetische Flußdichte [V s m−2 ]
• P: elektrische Polarisation [A s m−2 ]
• M: Magnetisierung [V s m−2 ]
• ̺ (r, t): Freie Ladungsdichte [A s m−3 ]
• j (r, t): Freie Stromdichte [A m−2 ]
3-1
3 Grundlagen der Elektrodynamik
• ǫ0 = 8.8542 × 10−12 A s V−1 m−1 : Dielektrizitätskonstante des Vakuums
• µ0 = 4π × 10−7 V s A−1 m−1 : Magnetische Permeabilität des Vakuums
Für kleine elektrische Feldstärken gilt (oftmals) P = P (E):
P (r, t) = ǫ0
Z∞ Z∞
χ̂e (r, r ′ , t, t′ ) E (r ′ , t′ ) dt′ dr ′ .
(3.1.7)
−∞ −∞
Im Allgemeinen ist die lineare elektrische Suszeptibilität χ̂e (r, r ′ , t, t′ ) ein Tensor
2. Stufe und P (r, t) ∦ E (r, t).
Vereinfachungen (falls zulässig!):
• Isotropes Medium: P (r, t) k E (r, t) =⇒ χ̂e (r, r ′ , t, t′ ) −→ χe (r, r ′ , t, t′ ) ,
• Homogenes Medium mit lokaler Antwort: χe (r, r ′ , t, t′ ) −→ χe (t, t′ ) ,
• Keine explizite Zeitabhängigkeit: χe (t, t′ ) −→ χe (t − t′ ) ,
• Kausalität: χe (t − t′ ) ≡ 0 für t < t′ .
Damit folgt:
P (r, t) = ǫ0
Zt
−∞
χe (t − t′ ) E (r, t′ ) dt′ .
(3.1.8)
Wechsel von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne (und zurück) mittels FourierTransformation:
f (ω) = F {f (t)} =
f (t) = F
−1
Z∞
f (t)eıωt dt,
(3.1.9)
−∞
∞
1 Z
f (ω)e−ıωt dω.
{f (ω)} =
2π
(3.1.10)
−∞
F {P (r, t)} liefert (Faltungssatz!):
P (r, ω) = ǫ0 χe (ω) E (r, ω) .
(3.1.11)
Analoge Betrachtung für die Magnetisierung M (r, ω) liefert mit der magnetischen
Suszeptibilität χm (ω):
M (r, ω) = µ0 χm (ω) H (r, ω) .
(3.1.12)
3-2
3.2 Elektromagnetische Wellen
Materialgleichungen in der Frequenzdomäne:
D (r, ω) = ǫ0 E (r, ω) + P (r, ω) = ǫ0 ǫ (ω) E (r, ω)
(3.1.13)
B (r, ω) = µ0 H (r, ω) + M (r, ω) = µ0 µ (ω) H (r, ω) .
(3.1.14)
Dielektrische Funktion:
ǫ (ω) = 1 + χe (ω) .
(3.1.15)
µ (ω) = 1 + χm (ω) .
(3.1.16)
Magnetische Permeabilität:
3.2 Elektromagnetische Wellen
3.2.1 Herleitung der Wellengleichung
Anwenden von ∇× auf Gleichung (3.1.2)
∇ × ∇ × E (r, t) = −∇ ×
∂B (r, t)
∂t
(3.2.1)
Vertauschung der Reihenfolge von ∂/∂t und ∇×
∇ × ∇ × E (r, t) = −∂/∂t (∇ × B (r, t))
(3.2.2)
Verwendung von Gleichungen (3.1.6) und (3.1.4) liefert:
∂M (r, t)
∂ 2 E (r, t)
∂ 2 P (r, t)
∂
∇×∇×E (r, t) = −µ0 ǫ0
j
(r,
t)−∇×
. (3.2.3)
−µ
−µ
0
0
∂t2
∂t2
∂t
∂t
Analoge Herleitung ergibt Wellengleichung für die magnetische Feldstärke:
∇×∇×H (r, t) = −µ0 ǫ0
∂P (r, t)
∂ 2 H (r, t)
∂ 2 M (r, t)
+∇×j
(r,
t)+∇×
+ǫ
. (3.2.4)
0
∂t2
∂t
∂t2
Die beiden Wellengleichungen (3.2.3) und (3.2.4) sind allgemeingültig ohne Einschränkungen aufgrund der Materialeigenschaften.
3-3
3 Grundlagen der Elektrodynamik
3.2.2 Ebene Wellen in Vakuum
Vakuum: P = 0, M = 0, ∇ · E = 0, j = 0, ̺ = 0
Wellengleichung (mit Vektoridentität: ∇ × ∇× = −∇2 + ∇∇·):
∇2 E (r, t) − µ0 ǫ0
∂ 2 E (r, t)
=0
∂t2
(3.2.5)
Betrachte monochromatische ebene Wellen1 :
E (r, t) = E0 eı(k0 ·r−ω0 t) ,
(3.2.6)
B (r, t) = B0 eı(k0 ·r−ω0 t) .
(3.2.7)
Bezeichnungen:
• E0 und B0 : konstante (komplexwertige) Amplitudenvektoren
• k0 : Vakuumwellenvektor [m−1 ]
h
• ω0 : Kreisfrequenz rad s−1
i
Einsetzen von E (r, t) in Gleichung (3.2.5) liefert die Vakuum-Dispersionsrelation
k0 · k0 =
ω02
c20
c20 =
1
.
µ 0 ǫ0
(3.2.8)
Definitionsgemäß gilt: Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m s−1 .
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit
ω0
ek = c 0 ek .
vPhase =
|k0 |
(3.2.9)
Abstand zweier benachbarter Ebenen mit identischer Phase definiert die Vakuumwellenlänge
2π
λ0 =
.
(3.2.10)
|k0 |
Weiterhin ergibt sich aus ∇ · E (r, t) = 0 :
k0 · E0 = 0.
1
(3.2.11)
Um die mathematische Behandlung zu vereinfachen, werden hier komplexwertige Vektorfelder
eingeführt. Physikalisch relevant ist jeweils nur der Realteil der so definierten ebenen Wellen.
3-4
3.2 Elektromagnetische Wellen
Aus ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) folgt:
k0 × E0 = ω0 B0 ,
(3.2.12)
Somit spannen k0 , E0 und B0 ein rechtshändiges Koordinatensystem auf.
Die Impedanz eines Mediums ist gegeben durch
Z=
Für Vakuum erhält man:
Z0 =
s
E0
.
H0
µ0
≈ 377Ω.
ǫ0
(3.2.13)
(3.2.14)
Die Energiestromdichte ([J m−2 s−1 ]) der ebenen Welle2 ist durch den Poyntingvektor
S (r, t) gegeben:
S (r, t) = E (r, t) × H (r, t) .
(3.2.15)
S (r, t) ist eine zeitlich schnell veränderliche Größe. Im allgemeinen ist deshalb nur
der zeitlich gemittelte Poyntingvektor von Interesse:
1
S̄ (r, t) = Re (E (r, t) × H∗ (r, t)) .
2
(3.2.16)
Für ebene Wellen erhält man:
1
S̄ =
2
s
1
ǫ0
|E0 |2 ek =
|E0 |2 ek .
µ0
2Z0
(3.2.17)
Betrag der zeitlich gemittelten Energiestromdichte (Bestrahlungsstärke oder Intensität):
I (r, t) = |S̄ (r, t) |.
(3.2.18)
3.2.3 Ebene Wellen in isotropen magnetodielektrischen Medien
Vorbemerkung: ”Licht” ist in Materie keine reine elektromagnetische Welle, sondern
ein Mischzustand aus elektromagnetischer Welle und Materialanregung (charakterisiert durch die Polarisation, die Magnetisierung und die induzierten Ströme). Dieser
Mischzustand wird als Polariton bezeichnet.
2
Achtung: In Gleichung (3.2.15) sind die (reellwertigen) physikalischen Felder E (r, t) und H (r, t)
einzusetzen.
3-5
3 Grundlagen der Elektrodynamik
Magnetodielektika: D (r, ω) = ǫ0 ǫ (ω) E (r, ω) , B (r, ω) = µ0 µ (ω) H (r, ω) , j = 0,
̺=0
Betrachte monochromatische Felder:
E (r, t) = E (r) e−ıωt ,
(3.2.19)
H (r, t) = H (r) e−ıωt .
(3.2.20)
Einsetzen in Wellengleichung liefert (∂/∂t → −ıω) die Helmholtzgleichung:
h
i
∇2 + µ0 ǫ0 ǫ (ω) µ (ω) ω 2 E (r) = 0
(3.2.21)
Isotrope Medien: Ebene Wellen sind eine Lösung der Helmholtzgleichung
E (r) = E0 eık·r .
(3.2.22)
Die Dispersionsrelation ergibt sich durch Einsetzen in die Helmholtzgleichung:
k·k=
ω2
ǫ (ω) µ (ω) .
c20
(3.2.23)
Ein Vergleich mit Gleichung (3.2.8) legt den folgenden Ansatz für den Wellenvektor
nahe:
k = n (ω) k0
(3.2.24)
mit dem Brechungsindex3
n (ω) =
q
ǫ (ω) µ (ω).
(3.2.25)
Im Allgemeinen sind n (ω) = n′ (ω) + ı n′′ (ω) und k = k′ + ı k′′ komplexe Größen.
Wellenlänge im Medium:
λ=
2π
λ0
=
.
|Re (k) |
|Re (n (ω)) |
(3.2.26)
Phasengeschwindigkeit im Medium:
|vPhase | =
3
c0
ω
=
|Re (k) |
|Re (n (ω)) |
Wir nehmen hier an, dass ℜ(ǫ) > 0, ℜ(µ) > 0.
3-6
(3.2.27)
3.3 Optische Impulse in dispersiven Medien
Impedanz des Mediums:
v
u
u µ0 µ (ω)
Z (ω) = t
(3.2.28)
ǫ0 ǫ (ω)
Zeitlich gemittelter Poyntingvektor:
S̄ (r) =
′
1
1
2 k −2k′′ ·r
|E
|
e
.
0
2 µ0 µ′ (ω)
ω
(3.2.29)
Passive Medien: S̄ (r) wird in Propagationsrichtung kleiner.
Vergleich mit dem Beerschen Absorptionsgesetz
I(z) = I(0)e−αz
(3.2.30)
4πn′′ (ω)
.
λ0
(3.2.31)
liefert
α=
3.3 Optische Impulse in dispersiven Medien
Betrachte optischen Impuls mit zeitlich langsam veränderlicher Enveloppe A (0, t) und
Trägerfrequenz ω0 :
E (0, t) = A (0, t) e−ıω0 t .
(3.3.1)
Beschreibung des Impulses als Wellenpaket:
∞
1 Z
E (0, ω) e−ıωt dω.
E (0, t) =
2π
(3.3.2)
−∞
mit
E (0, ω) =
Z∞
A (0, t) eı(ω−ω0 )t dt.
(3.3.3)
−∞
Beispiel: Gaußscher Impuls mit Pulslänge τp und Trägerfrequenz ω0 .
• Zeitdomäne
Elektrisches Feld:
−
E(0, t) = E0 e
2 ln(2)t2
2
τp
e−ıω0 t
(3.3.4)
3-7
3 Grundlagen der Elektrodynamik
Intensität:
2
−
I(0, t) ∝ |E0 | e
4 ln(2)t2
2
τp
(3.3.5)
Damit: I(0, ±τp /2) = 1/2.
• Frequenzdomäne
Elektrisches Feld:
E(0, ω) =
s
2 2
(ω−ω0 ) τp
π
τp E0 e− 8 ln(2)
2 ln(2)
Spektrum:
2 −
S(0, ω) ∝ |E0 | e
Damit S(0, ω0 ± ∆ω/2) = 1/2 mit ∆ω =
(3.3.6)
2
(ω−ω0 )2 τp
4 ln(2)
(3.3.7)
4 ln(2)
.
τp
• Zeit-Bandbreite-Produkt für Gaußsche Impulse
(3.3.8)
τp ∆ω = 4 ln(2).
Kurze Pulslängen sind mit einem breiten Spektrum verknüpft.
Betrachte jetzt Propagation in einem Medium. Für jede spektrale Komponente des
Impulses gilt nach einer Propagationsstrecke z:
E (z, ω) = E (0, ω) eık(ω)z
Damit:
mit k(ω) = n(ω)ω/c0 .
∞
1 Z
E (0, ω) h (ω, z) e−ıωt dω
E (z, t) =
2π
(3.3.9)
(3.3.10)
−∞
mit der Transferfunktion h (ω, z) = eık(ω)z .
Taylorentwicklung von k(ω) um ω0 :
dk
k(ω) = k(ω0 ) +
dω
!
1
(ω − ω0 ) +
2
ω0
d2 k
dω 2
!
′′
Abkürzungen:
′
β0 = k(ω0 ), β =
3-8
dk
dω
ω0
!
ω0
,β =
(ω − ω0 )2 + · · ·
d2 k
dω 2
!
ω0
.
(3.3.11)
(3.3.12)
3.3 Optische Impulse in dispersiven Medien
1
1
0.8
|E(f)|
E(t)
2
0.5
0
-0.5
-1
-100
0.6
0.4
0.2
-50
0
t(fs)
50
0
100
1
400
420
340
360 380
f(THz)
400
420
0.8
2
|E(f)|
E(t)
360 380
f(THz)
1
0.5
0
-0.5
-1
-100
340
0.6
0.4
0.2
-50
0
t(fs)
50
0
100
Abbildung 3.1: Erste Zeile: Gaußscher Impuls mit τp = 10 fs. Zweite Zeile: Gaußscher Impuls
mit τp = 100 fs. Die Trägerfrequenz beträgt jeweils ω0 = 2π × 375 THz. Die
zugehörigen Spektren sind in der rechten Spalte abgebildet.
Einsetzen in Transferfunktion liefert:
′
h (ω, z) = eıβ0 z eıβ (ω−ω0 )z eıβ
′′ (ω−ω )2 z
0
(3.3.13)
Betrachte separat den Einfluss der einzelnen Terme der Transferfunktion auf den
propagierenden Impuls:
• h (ω, z) = eıβ0 z → konstante Phasenänderung.
Der Brechungsindex bei der Trägerfrequenz n(ω0 ) folgt aus
n(ω0 ) =
β0 c0
.
ω0
(3.3.14)
3-9
3 Grundlagen der Elektrodynamik
′
• h (ω, z) = eıβ (ω−ω0 )z → konstante Phasenänderung und einer Verzögerung des
Impulses.
∞
1 Z
′
E (z, t) =
E (0, ω) eıβ (ω−ω0 )z e−ıωt dω
2π
(3.3.15)
∞
′
e−ıβ ω0 z Z
′
E (0, ω) e−ıω(t−β z) dω
=
2π
(3.3.16)
−∞
−∞
−ıβ ′ ω0 z
= e
E (0, t − τg ) .
(3.3.17)
Hierbei ist die Gruppenverzögerung durch τg = β ′ z definiert.
Die Enveloppe bewegt sich ohne Formänderung mit einer konstanten Gruppengeschwindigkeit vg :
!
1
d
ng (ω)
1
n(ω) + ω n(ω) =
= β′ =
.
vg
c0
dω
c0
(3.3.18)
Die letzte Gleichung definiert den Gruppenindex ng .
• h (ω, z) = eıβ
′′ (ω−ω )2 z
0
→ Formänderung der Enveloppe.
Betrachte Unterschied in der Gruppenverzögerung für zwei Frequenzen ω1 und
ω0
∆τg = (β ′ (ω1 ) − β ′ (ω0 )) z
!
dβ ′
′
′
(ω1 − ω0 ) − β (ω0 ) z
≈ β (ω0 ) +
dω
= zβ ′′ (ω1 − ω0 ) .
(3.3.19)
(3.3.20)
(3.3.21)
Für β ′′ 6= 0 werden die einzelnen spektralen Komponenten des Impulses unterschiedlich verzögert ⇒ Gruppengeschwindigkeitsdisperion (GVD: group velocity
dispersion).
Definiere Dispersionskoeffizient:
D(λ) = −
2πc0 ′′
β .
λ2
Damit:
∆τg = −zD(λ)∆λ
mit
∆λ = −
(3.3.22)
∆ωλ2
2πc0
(3.3.23)
Anschauliche Bedeutung: Ein Impuls mit einer spektralen Bandbreite ∆λ wird
nach der Propagationsstrecke z in einen Medium mit Dispersionskoeffizient D(λ)
um ∆τg gedehnt.
3-10
3.4 Gauß-Strahlen
Beispiel: Propagation Gaußscher Impulse in BK7-Glas.
• Trägerfrequenz: ω0 = 2π × 375 THz.
⇒ Zentralwellenlänge: λ0 = 800 nm.
• Propagationslänge: z = 1 mm.
• Brechungsindex: n(800 nm) = 1.51.
• Gruppenindex: ng (800 nm) = 1.527.
⇒ Gruppenverzögerung τp = 5090 fs.
• Dispersionskoeffizient: D(800 nm) = −128 ps/km × nm
• Impulslänge: τp = 10 fs.
⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 94 nm.
⇒ ∆τg ≈ 12 fs.
• Impulslänge: τp = 100 fs.
⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 9.4 nm.
⇒ ∆τg ≈ 1.2 fs.
Der 10-fs-Impuls ist nach 1 mm BK7 Glas bereits deutlich verformt! Beim 100-fsImpuls ergibt sich dagegen nur eine geringe zeitliche Verbreiterung.
3.4 Gauß-Strahlen
Betrachte monochromatische Wellen, deren räumliche Enveloppe A (r) langsam variiert (∂A/∂z ≪ kA und ∂ 2 A/∂z 2 ≪ k 2 A):
E (r) = A (r) eıkz .
(3.4.1)
Durch Einsetzen von E (r) in die Helmholtzgleichung und Vernachlässigen von
∂ 2 A/∂z 2 (SVEA: Slowly varying envelope approxiamtion) ergibt sich die paraxiale
3-11
3 Grundlagen der Elektrodynamik
Dispersionskoeffizient (ps/km*nm)
1.55
Bechungsindex
Gruppenindex
1.54
n
1.53
1.52
1.51
1.5
1.49
600
800
1000
λ (nm)
1200
1400
1600
1
100
0
−100
−200
−300
−400
600
800
1000
λ (nm)
1200
1600
1
Vor der Probe
Nach 1 mm BK7
0.5
E(t)
0.5
E(t)
1400
0
−0.5
0
−0.5
−1
−30
−20
−10
0
t(fs)
10
20
30
−1
5060
5070
5080
5090
t(fs)
5100
5110
5120
Abbildung 3.2: (a) Brechungs- und Gruppenindex von BK7-Glas. (b) Dispersionskoeffizient
von BK7-Glas. (c) Gaußscher Impuls mit Impulslänge τp = 10 fs und Trägerfrequenz ω0 = 2π × 375 THz. (d) Der gleiche Impuls nach der Propagation
durch 1 mm BK7 Glas.
Helmholtzgleichung für die Enveloppe:
∇2t A (r) + ı2k
∂A (r)
= 0 mit ∇2t = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 .
∂z
(3.4.2)
Gauß-Strahlen
ρ2
z0 A0
exp ık
A (ρ, z) =
ıq(z)
2q(z)
!
mit q(z) = z − ız0
und ρ2 = x2 + y 2 (3.4.3)
sind Lösungen der paraxialen Helmholtzgleichung 4 .
Gauß-Strahlen beschreiben in guter Näherung das Strahlprofil vieler Laser.
Mit der Umformung
folgt:
4
1
1
z + ız0
2
=
= 2
+ı
2
q(z)
z + z0
R(z)
kW 2 (z)
ρ2
exp ık
2q(z)
!
!
ρ2
ρ2
→ exp − 2
exp ık
W (z)
2R(z)
(3.4.4)
!
Gaußsche Strahlen sind aber keine exakte Lösungen der Helmholtzgleichung!
3-12
(3.4.5)
3.4 Gauß-Strahlen
Weiterhin gilt5 :
1 W0
i
=−
exp (−ıη(z)).
q(z)
z0 W (z)
(3.4.6)
Hierbei werden die folgenden Größen verwendet:
W0 =
s
λz0
π
s
(3.4.7)
z 2
W (z) = W0 1 +
z0
2 !
z0
R(z) = z 1 +
z
η(z) = arctan (z/z0 )
z
1
(3.4.8)
(3.4.9)
(3.4.10)
1
0
2z
0
0.8
0.8
3z
I(r,z) / I
0
I(0,z) / I 0
0
0.6
0.4
0.2
0.6
0.4
0.2
0
−3
−2
−1
0
r/W
1
2
0
3
−3
−2
−1
0
z/z
1
2
3
0
z/z
1
2
3
0
4
3
2
0
4
R(z) / z
W(z) / W0
0
2
1
0
0
−2
−3
−2
−1
0
z/z
1
2
−4
3
−3
−2
−1
0
0
Abbildung 3.3: (a) Radiales relatives Intensitätsprofil eines Gauß-Strahls für verschiedene
Werte von z. (b) Axiales Intensitätsprofil eines Gauß-Strahls. (c) Schwarze
Kurve: Strahlradius. blaue Kurven: Phasenfronten. Die Steigung der gestrichelten Geraden ist θdiv . (d) Krümmungsradius der Wellenfronten entlang
der optischen Achse.
Mit diesen Umformungen erhält man für einen Gauß-Strahl:
!
!
W0
ρ2
ρ2
E (ρ, z) = A0
exp ık
exp (ıkz − ıη(z))
exp − 2
W (z)
W (z)
2R(z)
5
a + ib =
(3.4.11)
√
a2 + b2 exp (ı arctan(b/a))
3-13
3 Grundlagen der Elektrodynamik
Zugehörige Intensität (siehe Abbildung 3.3 (a) und (b)):
cǫ0
W0
cǫ0
|E (ρ, z) |2 =
|A0 |2
I (ρ, z) =
2
2
W (z)
!2
ρ2
exp −2 2
W (z)
!
(3.4.12)
Diskussion:
• Strahlradius W (z): Die Intensität fällt für ρ = W (z) auf den Faktor 1/e2 der
axialen Intensität ab. Innerhalb W (z) sind 87% der Gesamtleistung konzentriert.
Der Strahlradius
ändert sich innerhalb der Rayleighlänge (siehe unten) nur wenig
√
(Faktor 2). Im Fernfeld (z ≫ z0 ) nimmt der Strahlradius linear zu.
• Taillienradius W0 : Strahlradius an der Position der Strahltaillie (z = 0).
• Rayleighlänge z0 : Distanz entlang der optischen Achse, in der sich die Querschnittsfläche eines Gaußstrahls, ausgehend von z = 0, verdoppelt.
• Krümmungsradius der Wellenfronten R(z): Für z ≪ z0 gilt R(z) ≈ ∞.
Hier ähneln die Wellenfronten eines Gauß-Strahles einer ebenen Welle. Für z ≫
z0 gilt dagegen R(z) ≈ z. Im Fernfeld ähneln die Wellenfronten eines GaußStrahles einer Kugelwelle.
• Strahldivergenz θdiv : Die Strahldivergenz ist durch die Steigung von W (z) im
Fernfeld definiert. Somit gilt:
θdiv =
λ
W0
=
.
z0
πW0
(3.4.13)
• Gouy-Phase η(z): Im Vergleich zu einer ebenen Welle erfährt ein Gauss-Strahl
eine zusätzliche Phasenverzögerung (−π/2 ≤ η(z) ≤ π/2).
Laut Gleichung (3.4.3) ist ein Gauß-Strahl an jedem Ort z der Strahlachse durch den
komplexen Strahlparameter q(z) charakterisiert.
Der Einfluss von dünnen optischen Elementen (Hohlspiegel, Linse) auf einen GaußStrahl kann durch die folgende Transformation beschrieben werden:
q′ =
Aq + B
.
Cq + D
(3.4.14)
Die Koeffizienten entsprechen den Einträgen der entsprechenden ABCD-Matrizen der
Strahlenoptik.
Betrachte Wirkung einer Linse auf einen Gauß-Strahl.
3-14
3.4 Gauß-Strahlen
Strahlparameter an der Position der Strahltaille vor der Linse (z = −d1 ):
q(−z1 ) = ıq1 = ı
2
kW0,1
2
(3.4.15)
Strahlparameter an der Position der Strahltaille hinter der Linse (z = d2 ):
q ′ (z2 ) = ıq2 = ı
2
kW0,2
2
(3.4.16)
Die beiden Strahlparameter sind über die Transformation
ıq2 =
Aıq1 + B
Cıq1 + D
(3.4.17)
miteinander verknüpft, wobei
A B
C D
!
=
1 d2
0 1
!
!
1
0
−1/f 1
1 d1
0 1
!
.
(3.4.18)
Eine kurze Rechnung liefert6 :
(3.4.19)
W0,2 = M W0,1
2
mit dem Vergrößerungsfaktor
z0,2 = M z0,1
(3.4.20)
(d2 − f ) = M 2 (d1 − f )
(3.4.21)
M=q
f
2
+ (d1 − f )2
z0,1
.
(3.4.22)
Beispiel: Fokussierung eines kollimierten (d1 = 0) Laser-Strahls:
• Parameter: f = 100 mm, λ = 632.8 nm, W0,1 = 10 mm ⇒ z0 = 496.46 m.
• Vergrößerungsfaktor:
M≈
f
fλ
= 2 × 10−4 .
=
2
z0,1
πW0,1
• Strahlradius im Fokus:
W0,2 =
6
fλ
= 2µm
πW0,1
(3.4.23)
(3.4.24)
Beachte: q1 und q2 sind reell
3-15
3 Grundlagen der Elektrodynamik
d1
d2
Abbildung 3.4: Wirkung einer Linse auf einen Gauß-Strahl.
3.5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
3.5.1 Stetigkeitsbedingungen
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei isotropen Medien (ρ = 0 , j = 0).
dA = dA e┴
dl
dx
dx
(a)
(b)
dA = dA e║
Abbildung 3.5: (a) Gaußsches Kästchen mit Volumen dV = dA dx, das von der Grenzfläche
zwischen den beiden Medien durchsetzt wird. Die Flächennormale e⊥ steht
senkrecht auf der oberen und unteren Fläche des Gaußschen Kästchens. (b)
Die Stokessche Fläche mit Flächeninhalt dA = dl dx wird durch die Grenzfläche geschnitten. Der Tangentialvektor ek steht senkrecht auf der Stokesschen
Fläche und e⊥ .
Aus ∇ · D (r, t) = 0 folgt (Gaußscher Satz und Gaußsches Kästchen):
Z
dV
∇ · D (r, t) d3 r =
Z
∂(dV )
!
D (r, t) · dA = 0.
(3.5.1)
Im Limes dx → 0 gilt:
Z
∂(dV )
dx→0
⇒ D⊥ (r0 , t) ist stetig.
Analoge Betrachtung: B⊥ (r0 , t) ist stetig.
3-16
!
D (r, t) · dA −→ dA e⊥ · (D1 (r0 , t) − D2 (r0 , t)) = 0.
(3.5.2)
3.5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Aus ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) folgt (Stokesscher Satz und Stokessche Fläche):
Z
dA
∇ × E (r, t) · ek dA =
Z
∂dA
E (r, t) · dr = −
Z
dA
Ḃ (r, t) · ek dA.
(3.5.3)
Für dx → 0 gilt:
Z
∂dA
dx→0
!
E (r, t) · dr −→ dl ek × e⊥ · (E1 (r0 , t) − E2 (r0 , t)) = 0.
|
⇒ Ek (r0 , t) ist stetig.
{z
e⊥ ′
(3.5.4)
}
Analoge Betrachtung: Hk (r0 , t) ist stetig.
Zusammenfassung:
Tangentialkomponente
E1,k (r0 , t) = E2,k (r0 , t)
D1,k (r0 , t) =
ǫ1
D2,k
ǫ2
(r0 , t)
H1,k (r0 , t) = H2,k (r0 , t)
B1,k (r0 , t) =
µ1
B
µ2 2,k
(r0 , t)
Normalkomponente
E1,⊥ (r0 , t) =
ǫ2
E
ǫ1 2,⊥
(r0 , t)
D1,⊥ (r0 , t) = D2,⊥ (r0 , t)
H1,⊥ (r0 , ) =
µ2
H2,⊥
µ1
(r0 , t)
B1,⊥ (r0 , t) = B2,⊥ (r0 , t)
3.5.2 Fresnelsche Gleichungen
Annahmen: ρ = 0, j = 0.
Trifft eine ebene Welle aus Medium 1 kommend auf die Grenzfläche, so wird die Welle
teilweise reflektiert und teilweise in das Medium 2 transmittiert.
Einfallende Welle (Medium 1):
Ei (r, t) = Ei eı(ki ·r−ω0 t) , Bi (r, t) = Bi eı(ki ·r−ω0 t) .
(3.5.5)
3-17
3 Grundlagen der Elektrodynamik
(b)
(a)
Ei
Bi
ki
Ei
Er
kr
kr
qi qr
qt
Er
Br
Bi
qi qr
ki
qt
Et
Bt
Br
Bt
kt
Et
kt
Abbildung 3.6: Definition der Richtungen der elektromagnetischen Feldkomponenten der
einfallenden, der reflektierten und der transmittierten Welle für (a) sPolarisation und (b) p-Polarisation.
Reflektierte Welle (Medium 1):
Er (r, t) = Er eı(kr ·r−ω0 t) , Br (r, t) = Br eı(kr ·r−ω0 t) .
(3.5.6)
Transmittierte Welle (Medium 2):
Et (r, t) = Et eı(kt ·r−ω0 t) , Bt (r, t) = Bt eı(kt ·r−ω0 t) .
(3.5.7)
Translationsinvarianz entlang der Grenzfläche:kj,k = ek · kj , (j = i, r, t) ist erhalten.
Damit:
|ki | sin (θi ) = |kt | sin (θt ) .
(3.5.8)
Mit kj = 2πnj /λ0 folgt das Brechungsgesetz:
ni (ω0 ) sin (θi ) = nt (ω0 ) sin (θt ) .
(3.5.9)
Die Amplitudenverhältnisse der Wellen folgen aus Stetigkeitsbedingungen. Man erhält
nach einiger Rechnung die Fresnelschen Gleichungen:
s-Polarisation:
Et
ts =
Ei
Er
rs =
Ei
3-18
=
2 (ni /µi ) cos (θi )
(ni /µi ) cos (θi ) + (nt /µt ) cos (θt )
(3.5.10)
=
(ni /µi ) cos (θi ) − (nt /µt ) cos (θt )
(ni /µi ) cos (θi ) + (nt /µt ) cos (θt )
(3.5.11)
s
s
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen Schichtfolgen
p-Polarisation:
Et
tp =
Ei
Er
rp =
Ei
=
2 (ni /µi ) cos (θi )
(ni /µi ) cos (θt ) + (nt /µt ) cos (θi )
(3.5.12)
=
(nt /µt ) cos (θi ) − (ni /µi ) cos (θt )
(ni /µi ) cos (θt ) + (nt /µt ) cos (θi )
(3.5.13)
p
p
Reflexionsgrad R
Bruchteil der eingestrahlten Leistung, die an der Grenzfläche reflektiert wird:
R=
|S̄r · e⊥ |
= |r|2 .
|S̄i · e⊥ |
(3.5.14)
Transmissionsgrad T
Bruchteil der eingestrahlten Leistung die durch die Grenzfläche transmittiert wird:
|S̄t · e⊥ |
T =
=
|S̄i · e⊥ |
s
ǫt µi cos (θt ) 2
|t| .
ǫi µt cos (θi )
(3.5.15)
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen
Schichtfolgen
3.6.1 Fabry-Perot-Etalon
Betrachte einzelne dielektrische Platte mit Brechzahl ns der Dicke d.
Die resultierende transmittierte Welle ergibt sich aus der Superposition der transmittierten Partialwellen:
′
′2 iδ
′2 iδ 2
Et = E0 tt 1 + r e + r e
Hierbei ist:
′2 iδ 3
+ r e
+ · · · = E0 tt′
1
1 − r′2 eiδ
(3.6.1)
• t: Transmissionskoeffizient Luft → Dielektrikum der einzelnen Grenzfläche.
• t′ : Transmissionskoeffizient Dielektrikum → Luft der einzelnen Grenzfläche.
• r: Reflektionskoeffizient der einzelnen Grenzfläche für Einfall von der Luft-Seite.
• r′ : Reflektionskoeffizient der einzelnen Grenzfläche für Einfall von der
Dielektrikum-Seite.
3-19
3 Grundlagen der Elektrodynamik
+
7
E0tt‘r‘ e
ns
i4f
+
+
5
E0tt‘r‘ e
Er
+
i3f
4
i2f
E0tt‘r‘ e
i3f
+
E0tt‘r‘ e
E0tt‘r‘3 ei2f
2
+
E0tt‘r‘ e
+
6
E0tt‘r‘ e
if
E0tt‘
E0r
if
Et
+
+
Jt
E0
d
Abbildung 3.7: Interferenz der verschiedenen Partialwellen führt zur Ausbildung der resultierenden reflektierten und transmittierten Welle.
• δ = 2k0 ns cos(θt )d: Phasenunterschied zweier aufeinander folgender Partialwellen.
Annahme: Verlustfreies Medium.
Aus den Fresnel-Formeln folgt für verlustfreie Dielektrika:
r′ = −r
und r2 + tt′ = 1
(3.6.2)
Transmissionsgrad der Platte:
Tslab =
mit dem Finesse-Koeffizient
|Et |2
1
=
2
|E0 |
1 + F sin2 (δ/2)
(3.6.3)
2
(3.6.4)
Tslab + Rslab = 1
(3.6.5)
2r
F ≡
1 − r2
Aus
folgt:
Rslab =
3-20
F sin2 (δ/2)
1 + F sin2 (δ/2)
(3.6.6)
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen Schichtfolgen
1
1
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.9
0.8
0.7
0.6
0.6
slab
0.7
0.5
R
Tslab
0.8
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.5
1
1.5
δ (2π)
2
2.5
3
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.9
0
3.5
0
0.5
1
1.5
δ (2π)
2
2.5
3
3.5
Abbildung 3.8: Transmissionsgrad (links) und Reflexionsgrad (rechts) einer dielektrischen
Schicht für verschiedene Finesse-Koeffizienten F .
Transmissions-Maxima (alle transmittierten Partialwellen sind in Phase!) für
δ = 2k0 ns cos(θt )d = 2mπ, m ∈ N
(3.6.7)
Freier Spektralbereich (spektraler Abstand zweier aufeinanderfolgender Peaks):
∆νFSR ≡ νm+1 − νm =
c0
.
2ns cos(θt )d
(3.6.8)
Für F ≫ 1 gilt für die spektrale Halbwertsbreite eines Peaks
∆νFWHM = √
c0
.
F πns cos(θt )d
(3.6.9)
3.6.2 T-Matrix und S-Matrix
Betrachte planares Schichtsystem aus verschiedenen Lagen.
Problem: „Summation von Hand“ wird bei mehreren dielektrischen Schichten schnell
unübersichtlich!
Lösung: Fasse jeweils in einer Ebene alle vorwärts und rückwärts propagierenden
Partialwellen zusammen.
(+)
Ui
(−)
Ui
=
=
X
X
alle in der Ebene i vorwärts propagierenden Partialwellen
(3.6.10)
alle in der Ebene i rückwärts propagierenden Partialwellen
(3.6.11)
3-21
3 Grundlagen der Elektrodynamik
(a)
(b)
(-)
U2
(-)
(+)
U2
(+)
U1
U1
1
2
Abbildung 3.9: Analyse eines dielektrischen Schichtsystems durch (a) „Summation von
Hand“ und (b) Zusammenfassen der vorwärts und rückwärts propagierenden
Partialwellen.
Die Felder in den Ebenen 1 und 2 sind über eine Transfer-Matrix (T-Matrix) M
miteinander verknüpft:
(+)
U2
(−)
U2
M1
!
=
"
|
M2
A B
C D
#
{z
}
M
(+)
U1
(−)
U1
...
M3
!
(3.6.12)
MN
MN
Abbildung 3.10: Die T-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist das Produkt der einzelnen T-Matrizen.
Die T-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist das Produkt der einzelnen TMatrizen:
M = MN · · · M2 M1
(3.6.13)
Gleiches Problem aber andere Sichtweise: Die auslaufenden Felder sind über eine
Streu-Matrix (S-Matrix) S mit den einlaufenden Feldern verknüpft:
(+)
U2
(−)
U1
!
=
"
t12 r21
r12 t21
#
|
{z
}
S
(+)
U1
(−)
U2
!
Hierbei haben die Koeffizienten die folgende physikalische Bedeutung:
3-22
(3.6.14)
3.6 Elektromagnetische Felder in dielektrischen Schichtfolgen
• t12 : Amplituden-Transmissionskoeffizient für Propagation in Vorwärtsrichtung.
• t21 : Amplituden-Transmissionskoeffizient für Propagation in Rückwärtsrichtung.
• r12 : Amplituden-Reflektionskoeffizient für Lichteinfall von links (Vorwärtsrichtung).
• t21 : Amplituden-Reflektionskoeffizient für Lichteinfall von rechts (Rückwärtswärtsrichtung).
Achtung: Die S-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist nicht das Produkt der
einzelnen S-Matrizen.
(a)
(b)
U2(+)
(+)
U1
U2(+)
(+)
U1
S
M
U
(-)
1
U2
1
U
(-)
(-)
1
2
(-)
U2
1
2
Abbildung 3.11: Vergleich von T-Matrix (a) und S-Matrix (b). Die Matrizen verknüpfen
jeweils die „orangenen“ Felder mit den zugehörigen „blauen“ Feldern.
Die Koeffizienten der T-Matrix und S-Matrix sind über die folgenden Beziehungen
miteinander verknüpft:
S=
M=
"
"
t12 r21
r12 t21
A B
C D
#
#
1
=
D
1
=
t21
"
"
AD − BC B
−C
1
#
t12 t21 − r12 r21 r21
−r12
1
(3.6.15)
#
(3.6.16)
Beispiele:
1.) Propagation in einem homogenen Medium
Zusätzlicher Phasenfaktor aufgrund der Propagation:
(+)
U2
(+)
(−)
= eiϕ U1 , U1
(−)
= eϕ U2
(3.6.17)
mit
(3.6.18)
ϕ = nk0 d
Damit:
S=
"
eiϕ 0
0 eiϕ
#
,M =
"
eiϕ
0
−iϕ
0 e
#
(3.6.19)
3-23
3 Grundlagen der Elektrodynamik
2.) Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien (senkrechter Einfall)
Transmissions- und Reflexionskoeffizienten folgen aus Fresnel-Formeln:
S=
"
t12 r21
r12 t21
#
1
=
n1 + n2
1
M=
2n2
"
"
2n1
n2 − n1
n1 − n2
2n2
n2 + n1 n2 − n1
n2 − n1 n2 + n1
#
(3.6.20)
#
(3.6.21)
3.) Propagation gefolgt von Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien (senkrechter Einfall)
1
M=
2n2
"
n2 + n2 n2 − n1
n2 − n1 n2 + n1
#"
eiϕ
0
−iϕ
0 e
#
(3.6.22)
, ϕ = n1 k0 d
4.) Propagation gefolgt von dielektrischer Platte (senkrechter Einfall)
1
M=
4n1 n2
"
n1 + n2 n1 − n2
n1 − n2 n1 + n2
#"
eiϕ2
0
−iϕ2
0 e
#"
n2 + n1 n2 − n1
n2 − n1 n2 + n1
#"
#
eiϕ1
0
−iϕ1
0 e
(3.6.23)
mit
ϕ1 = n1 k0 d1 , ϕ2 = n1 k0 d2
(3.6.24)
3.7 Elemente der Festkörperoptik
Alle bekannten natürlichen Substanzen haben bei optischen Frequenzen (ω > 10 THz)
eine praktisch verschwindende magnetische Antwort. Mit anderen Worten: Es gilt in
exzellenter Näherung µ = 1; die Abweichungen liegen in der Größenordnung von 10−4 .
3.7.1 Lorentz-Oszillator Modell
Klassische Behandlung der optischen Eigenschaften von dielektrischen Materialien wie
Gläsern, Ionenkristallen oder Polymeren.
Annahmen:
3-24
3.7 Elemente der Festkörperoptik
(a)
(b) n1
d
U
(+)
1
U
n2
(+)
2
U
(+)
1
U
(+)
2
n
(-)
U1
1
(c) n1
U2(-)
2
d
U1
(-)
U1
U2(-)
n2
(+)
U
U1(-)
(d)
d1
(+)
2
U
U2(+)
U1(-)
U2(-)
1
d2
(+)
1
2
n1
1
n2
U2(-)
2 n1
Abbildung 3.12: (a) Propagation in einem homogenen Medium. (b) Grenzfläche zwischen
zwei dielektrischen Medien. (c) Propagation gefolgt von Grenzfläche. (d)
Propagation gefolgt von dielektrischer Platte.
• Vernachlässige Wechselwirkung zwischen Atomen.
• Der Atomkern ist aufgrund seiner großen Masse unbeweglich.
• Die Elektronenhülle kann durch ein äußeres Feld aus der Gleichgewichtslage
(x = 0) ausgelenkt werden ⇒ elektronische Polarisierbarkeit.
• Lineare Optik: Äußeres Feld ist sehr klein im Vergleich zum inneratomaren Feld.
⇒ Rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung x.
Bewegungsgleichung (getriebener harmonischer Oszillator):
mẍ + γmẋ + mωe2 x = qEe−ıωt ,
(3.7.1)
wobei m die Masse der Elektonenhülle und q deren Ladung ist. γ ist eine phänomenologisch eingeführte Dämpfungskonstante und ωe ist die Eigenfrequenz des Oszillators.
Ansatz (eingeschwungener Fall):
x(t) = x0 e−ıωt .
(3.7.2)
Einsetzen in Bewegungsgleichung liefert:
qE
x0 =
m
!
1
.
2
ωe − ω 2 − ıγω
(3.7.3)
3-25
3 Grundlagen der Elektrodynamik
Mit der erzwungenen Schwingung der Elektronenhülle relativ zum Atomkern ist ein
elektrisches Dipolmoment verknüpft:
p = qx0 .
(3.7.4)
Elektrische Polarisation für N Atome pro Einheitsvolumen:
P = N p.
(3.7.5)
Vergleich mit der Materialgleichung (3.1.5) liefert die dielektrische Funktion des
Lorentz-Oszillator Modells:
f
ǫLO (ω) = 1 + 2
(3.7.6)
ωe − ω 2 − ıγω
mit
f=
N q2
.
mǫ0
(3.7.7)
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
ǫLO (ω) = 1 +
f ωγ
f (ωe2 − ω 2 )
+ı 2
.
2
2
2
2
2
(ωe − ω ) + ω γ
(ωe − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
(3.7.8)
Spektraler Verlauf:
• Statischer Limes (ω → 0):
ǫLO (0) = ǫs = 1 +
f
.
ωe2
(3.7.9)
• Resonanzbereich (ω ≈ ωe ):
Definiere Verstimmung: ∆ω = ω − ωe ⇒ ωe2 − ω 2 ≈ −2∆ωωe .
Damit:
ǫLO (∆ω) = 1 −
f
2ωe ∆ω
ωe γ
f
+
ı
.
2
2
2
ωe 4 (∆ω) + γ 2
ωe 4 (∆ω)2 + γ 2
(3.7.10)
Re (ǫLO ):„Dispersiven Verlauf“ mit einem Maximum bei ∆ω = −γ/2 und einem Minimum bei ∆ω = γ/2 ⇒ Anomale Dispersion für Frequenzen nahe der
Resonanz!
Für f > 2ωe γ wird Re (ǫLO ) negativ!
Im (ǫLO ): Lorentzkurve mit Halbwertsbreite γ, die um ∆ω = 0 zentriert ist.
3-26
3.7 Elemente der Festkörperoptik
• Hochfrequenzlimes (ω → ∞):
(3.7.11)
ǫLO (∞) = ǫb = 1.
Dielektrische Funktion für mehrere Resonanzen:
ǫLO (ω) = 1 +
X
j
2
ωe,j
fj
− ω 2 − ıγj ω
(3.7.12)
Die Resonanzen aufgrund der elektronischen Polarisierbarkeit vieler optisch relevanter
Materialien befinden sich im UV.
ω
ω
e
10
e
5
γ=0.01 ωe
(a)
γ=0.01 ωe
(b)
γ=0.1 ωe
γ=0.1 ωe
4
γ=0.2 ω
γ=0.2 ω
ε
s
ε
Re(n)
Re(ε)
e
5
e
3
2
b
0
ns
nb
1
−5
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frequenz (ω )
1.4
0
1.6
0.4
0.6
ω
1.6
e
5
γ=0.01 ω
(c)
γ=0.01 ω
(d)
e
10
γ=0.1 ωe
e
γ=0.1 ωe
4
γ=0.2 ω
8
γ=0.2 ω
e
Im(n)
Im(ε)
1.4
ω
e
12
0.8
1
1.2
Frequenz (ω )
e
e
6
e
3
2
4
1
2
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frequenz (ωe)
1.4
1.6
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Frequenz (ωe)
1.4
1.6
Abbildung 3.13: Lorentz-Oszillator Modell. (a) Realteil der dielektrischen Funktion. (b) Realteil des zugehörigen Brechungsindex. (c) Imaginärteil der dielektrischen
Funktion. (d) Imaginärteil des Brechungsindex.
3.7.2 Drude Modell
Klassische Behandlung der optischen Eigenschaften der Edel- und Alkalimetalle.
Annahmen:
• Betrachte Leitungsbandelektronen als freies Elektronengas.
3-27
3 Grundlagen der Elektrodynamik
• Die Atomrümpfe bilden einen homogenen, positiv geladenen Hintergrund.
• Wechselwirkungseffekte werden nur implizit durch die effektive Masse m berücksichtigt.
• Die Leitungsbandelektronen können durch ein äußeres Feld beschleunigt werden.
Bewegungsgleichung für ein Leitungsbandelektron:
mẍ + γmẋ = qEe−ıωt .
(3.7.13)
Formal: Bewegungsgleichung des Lorentz-Oszillators mit ωe = 0.
Damit:
ωp2
ǫD (ω) = 1 − 2
ω + ıγω
(3.7.14)
s
(3.7.15)
mit der Plasmafrequenz
ωp =
N e2
.
mǫ0
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
ǫD (ω) = 1 −
ωp2
ıωp2 γ
+
.
ω2 + γ 2 ω3 + γ 2ω
(3.7.16)
Spektraler Verlauf:
• Niederfrequenzlimes (ω ≪ ωp , γ):
Re (ǫD (ω)) → 1 −
ωp2
<0
γ2
(3.7.17)
ωp2
γω
(3.7.18)
Im (ǫD (ω)) → ı
• Nullstelle bei ω =
q
ωp2 − γ 2 .
• Hochfrequenzlimes (ω → ∞):
ǫD (∞) = ǫb = 1.
(3.7.19)
Gold und Silber: Deutliche Abweichungen zwischen den experimentellen Daten und
dem Drude Modell für sichtbares Licht (siehe Abbildung 3.15).
3-28
3.7 Elemente der Festkörperoptik
ω
ω
p
5
γ=0.01 ωp
(b)
0
γ=0.1 ω
4
Re(n)
−5
Re(ε)
p
5
(a)
−10
γ=0.01 ω
p
γ=0.2 ωp
3
2
p
γ=0.1 ω
−15
1
p
γ=0.2 ω
p
−20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz (ω )
1.2
0
1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz (ω )
ω
Im(n)
Im(ε)
γ=0.1 ωp
4
γ=0.2 ωp
10
γ=0.01 ωp
(d)
γ=0.1 ωp
15
p
5
γ=0.01 ωp
(c)
1.4
ω
p
20
1.2
p
p
γ=0.2 ωp
3
2
5
0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz (ω )
1.2
1.4
0
0.2
p
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz (ω )
1.2
1.4
p
Abbildung 3.14: Drude Modell. (a) Realteil der dielektrischen Funktion. (b) Realteil des
zugehörigen Brechungsindex. (c) Imaginärteil der dielektrischen Funktion.
(d) Imaginärteil des Brechungsindex.
Erklärung: Elektronen können durch Photonen hinreichender Energie ~ω aus den
besetzten d-Bändern (Valenzband) in unbesetzte Zustände des sp-Leitungsbandes angeregt werden ⇒ Interbandübergang (siehe Abbildung 3.16).
Beersches Absorptionsgesetz: Intensität nimmt im Innern des Metalls exponentiell ab.
mit
I(z) = I(0)e−αz
(3.7.20)
4πn′′ (ω)
α=
.
λ0
(3.7.21)
Skintiefe δ: I(δ) = (1/e)I(0).
Für Gold findet man im sichtbaren Spektralbereich eine Skintiefe δ in der Größenordnung von 10 nm − 20 nm.
3-29
3 Grundlagen der Elektrodynamik
W ellenlänge (µm)
W ellenlänge (µm)
1,5
1
0,5
1,5
1
0,5
10
10
Ag
Au
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30
-40
Dielektrische Funktion
Dielektrische Funktion
0
-40
1
2
3
Photonen Energie (eV)
4
1
2
3
4
Photonen Energie (eV)
Abbildung 3.15: Dielektrische Funktionen von Gold (linke Seite) und Silber (rechte Seite).
Experimentelle Daten: durchgezogene Kurven. Anpassungen des DrudeModells an die experimentellen Daten: gestrichelte Kurven. Realteile: Blaue
Kurven. Imaginärteile: Rote Kurven. Anpassungsparameter für Gold: ωp =
8.6 eV, γ = 0.01 eV. Anpassungsparameter für Silber: ωp = 8.6 eV, γ =
0.01 eV.
E
hw
EF
sp-Band
EF-ED
d-Band
k
Abbildung 3.16: Schematische Darstellung eines Interbandübergangs. Ein Elektron kann
durch die Absorption eines Photons mit ausreichender Photonenenergie ~ω
aus den besetzten d-Bändern in unbesetzte Zustände des sp-Leitungsbandes
angeregt werden.
3-30