Theoretische Physik II - Elektrodynamik und Spezielle

Theoretische Physik II
- Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie Übungsblatt 3 (20 + π Punkte)1
Ausgabe 05.11.07 – Abgabe 12.11.07 – Besprechung n.V.
. Aufgabe 1 (Klassischer Elektronenradius)
(3 Punkte)
Der klassische Elektronenradius re ist definiert über die Beziehung
e2
= mc2 ,
4π0 re
(1)
wobei e die Elementarladung, m die Masse des Elektrons, und c die Lichtgeschwindigkeit
bezeichnet. Die Größe mc2 ist nach Einstein die Ruheenergie des Elektrons.
(a) Welche physikalische Bedeutung hat diese Definition, und was ist der numerische
Wert von re ?
(1 Punkt)
(b) Berechnen Sie nun die elektrostatische Selbstenergie Eself einer homogen geladenen
Kugel (Radius R, Gesamladung e). Wie muß R gewählt werden damit Eself = mc2 ?
(1 Punkt)
(c) In einem anderen Modell stellt man sich vor, das Elektron sei eine homogen geladene
Kugelschale (Radius der Kugel R). Wie muss in diesem Modell R gewählt werden ,
damit Eself = mc2 ?
(1 Punkt)
. Aufgabe 2 (Multipolmomente)
(3 Punkte)
Auf den Ecken des platonischen Körpers “Tetraeder” seien zwei positive und zwei negative
Einheitsladungen plaziert. Berechnen Sie das elektrische Monopolmoment, Dipolmoment
und Quadrupolmoment.
. Aufgabe 3 (Permanentes Dipolmoment)
(4 Punkte)
Gegeben sei ein permanentes Dipolmoment in Form eines Rotators mit Trägheitsmoment
I. Der Ort des Dipolmoments sei mit ~r bezeichnet. Der Dipol befinde sich in einem elek~ x).
trostatischen Feld E(~
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für den Ort und die Orientierung des Dipolmoments auf.
(2 Punkte)
~ x) =
(b) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für den Fall eines homogenen Feldes E(~
~ = const..
E
(2 Punkte)
. Aufgabe 4 (Eindeutigkeitssatz der Vektoranalysis)
(2 Punkte)
Skizzieren Sie einen Beweis des Eindeutigkeitssatzes der Vektoranalysis:
1
Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative Nüsse. Nüsse sind bekanntlich nahrhaft . . .
c
Martin
Wilkens
1
5. November 2007
Übungen Elektrodynamik WS 2007/2008 – Blatt 3
~ x), B(~
~ x) dieselbe Divergenz und Rotation, so unHaben zwei Vektorfelder A(~
~ x) =
terscheiden sie sich nur um den Gradienten eines skalaren Feldes, B(~
~ x) + ∇φ,
~ wobei ∇
~ 2 φ = 0.
A(~
. Aufgabe 5 (Eindeutigkeitssatz Elektrostatik)
(2 Punkte)
Beweisen Sie den Eindeutigkeitssatz der Elektrostatik:
Die Lösung der Poisson’schen Differentialgleichung ∆φ = − 10 % im Gebiet V ist
für Dirichlet’sche bzw. Neumann’sche Randbedingungen bis auf eine additive
Konstante eindeutig.
. Aufgabe 6 (Earnshaw Theorem)
(2 Punkte)
Beweisen Sie das Earnshaw Theorem:
Es gibt keine stabile Gleichgewichtslage für eine Ladung im elektrostatischen
Feld. Die Extrema von φ sind Sattelpunkte.
. Aufgabe 7 (Elektrostatischen Mittelwertsätze)
(2 Punkte)
Beweisen Sie die elektrostatischen Mittelwertsätze
Im ladungsfreien Gebiet G ist der Wert des elektrostatischen Potentials an
irgendeinem Punkt P gleich seinem Mittelwert über irgendeine Kugeloberfläche
mit Zentrum bei P .
. Aufgabe 8 (Thomson’sches Prinzip)
(2 Punkte)
Beweisen Sie das Thomson’sche Prinzip der Elektrostatik
Wenn man auf den Leitern Lα , α = 1 . . . N , die Gesamtladungen Qα vorgibt,
dann stellt sich im Gleichgewicht die Ladungsverteilung auf den Leitern so ein,
dass die Feldenergie minimal wird.
. Aufgabe 9 (Kugelland)
(π Punkte)
Aus einem befreundete Nachbaruniversum erreicht Sie der Hinweis, dass die Welt definitiv
im Ganzen elektrisch neutral sei. Sie erinnern sich, dass Ihre Freunde eine zweidimensionale
Welt in Form einer Kugeloberfläche bewohnen. Können Sie die Aussage Ihrer Freunde
bestätigen?
Hinweis Die Frage ist einfach und lehrreich. Gefragt ist offensichtlich nach der Formulierung des Gauss’schen Gesetzes in einer zweidimensionalen Kugelwelt (Mathematisch:
Die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit ist die S 2 ). Aus den vertrauten “Flächen” die ein
Volumen im R3 begrenzen werden im vorliegenden Fall geschlossene Kurven auf der Kugeloberfläche. Wenn Sie das Probelm “Was ist hier eigentlich draussen, was ist drinnen”
gelöst haben, sind Sie eigentlich schon fertig . . .
c
Martin
Wilkens
2
5. November 2007