3. Quantenmechanische Brownsche Bewegung

1.5) Quantenmechanische Brownsche Bewegung
stochastischer Prozess in der Quantenmechanik
Endzustände
ψ (1) (t )
Anfangszustand
ψ (t = 0)
ψ (2) (t )
Übergang von
einem reinen Zustand
zu einem gemischten
Zustand
Dichtematrix
Dekohärenz
Ensemble von ebener Wellen
{e
ip1x /
, eip2 x / ,
}
Gleichverteilung im Ortsraum
Kohärente Überlagerungen von ebener Wellen
Interferenz
gemischter Zustand : Verlust der Eigenschften der Wellen
Brownsche Bewegung
(siehe J.Phys.A vol 40 3067 (2007))
Wechselwirkung zwischen
Brownschen Teilchen und Umgebung
Stöβe zwischen
makroskopischen und mikroskopischen Teilchen
nach Stoβ
vor Stoβ
m
p
P' =
m
M
p'
P
M −m
2M
P+
p,
M +m
M +m
Annahme M » m,
M
p' =
P'
2m
M −m
P−
p
M +m
M +m
P'=P+2p, p'=-p
Quantenmechanische Beschreibung
(Teilchen ↔ Ebene Welle)
vor Stoβ
nach Stoβ
eiPx / eipq / → ei ( P+2 p ) x / e − ipq / = eiPx / eip (2 x−q ) /
x'=x, q'=2x-q
Dichtematrix
ρ ( x, y ) ρU (q, r ) → ρ ( x, y ) ρU (2 x − q, 2 y − r )
Änderung der Dichtematrix pro Stoβ
Δρ total = ρ ( x, y ) ρU (2 x − q, 2 y − r ) − ρ ( x, y ) ρU (q, r )
Beobachtung von Brownschen Teilchen
(Spur nach dem Freiheitsgrad der Umgebung)
Δρ = SpU ( Δρ total )
= ρ ( x, y ) ∫ dq ρU (2 x − q, 2 y − q ) − ρ ( x, y ) ∫ dq ρU (q, q )
( ∫ dq ρ (2 x − q, 2 y − q) − 1)
= ρ ( x, y ) ( ∫ dq ∫ dpdp ' e
= ρ ( x, y ) ( ∫ dp e
ρ ( p, p) − 1)
Δρ = ρ ( x, y )
U
ip (2 x − q ) / −ip '(2 y − q ) /
)
ρU ( p, p ') − 1
2 ip ( x − y ) /
U
⎛ i
⎞
p2
2
U
= ρ ( x, y ) ⎜ 2 p U ( x − y ) − 2 2 ( x − y ) ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=0
Mastergleichung
∂ t ρ ( x, y ) = −
i
[ H s , ρ ] − 2Γcol
Gleichung ohne Stöβe
(Liouville von-Neumann Gleichung)
p2
2
U
( x − y ) 2 ρ ( x, y )
Änderung wegen der Stöβe
Stossrate : Γcol ∼
N col
Δt
genauere Ableitung
m
Impulse und Koordinaten nach einem Stoβ (im Limes η =
M
P ' = P + 2 p − 2η ( P + p ),
p ' = − p + 2η ( P + p )
x ' = x + 2η (q − x),
q ' = 2 x − q + 2η (q − x)
1)
Mastergleichung
∂t ρ = −
i
[Hs , ρ ] − i
ηΓcol ( x − y ) ( ∂ x − ∂ y ) ρ − 2Γcol
p2
U
2
( x − y)2 ρ
i
( ∂ x − ∂ y )( ∂ x + ∂ y ) ρ −η Γcol ( x − y ) ( ∂ x − ∂ y ) ρ
2M
p2
2
U
x
y
−2Γcol
−
ρ
(
)
2
=
Zeitentwicklung im Phasenraum
Quantenmechanische Verteilungsfunktion im Phasenraum (q,p)
Heisenbergsche Unschärferelation ΔqΔp ≥
2
keine "well-defined" Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum
Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung :
Wignerverteilung
i
− pξ
1
1
1
Definition: W ( q, p ) =
d
ξ
e
q
+
ξ
ρ
q
−
ξ
2 π∫
2
2
Für reine Zustände q + ξ / 2 ψ
Eigenschaften:
ψ q −ξ / 2
Autokorrelation im Ortsraum
∫ W ( q, p ) dp = q ρ q Wahrscheinlichkeitsdichte im Ortsraum
∫ W ( q, p ) dq = p ρ p Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum
∫ ∫ W ( q, p ) dp dq = Sp( ρ ) = 1 Normierung
Beispiele :
Gaussverteilung
(
ψ ( x) ~ exp − x 2 / ( 2σ 2 )
(
)
ψ ( x) ~ exp − x 2 / ( 2σ 2 ) exp ( −ixp0 /
)
)
x
x
⎛ q2 σ 2 p2 ⎞
W ( q, p ) ~ exp ⎜ − 2 − 2 ⎟
⎝ σ
⎠
⎛ q 2 σ 2 ( p − p0 )2 ⎞
W ( q, p ) ~ exp ⎜ − 2 −
⎟
2
⎜ σ
⎟
⎝
⎠
Wignerverteilung der Wellenfunktionen vom Wasserstoffatom
Mastergleichung für die Dichtmatrix
i
( ∂ x − ∂ y )( ∂ x + ∂ y ) ρ −η Γcol ( x − y ) ( ∂ x − ∂ y ) ρ
2M
p2
U
−2Γcol
( x − y)2 ρ
2
∂ t ρ ( x, y ) =
Koordinatentransformation
1
1
x = q + ξ, y = q − ξ
2
2
{
⎧∂ x = 12 ∂ q + ∂ξ
x− y =ξ
and ⎨
1
x + y = 2q
⎩∂ y = 2 ∂ q − ∂ ξ
p2
ξ
ξ⎞ i
⎛
U
∂t ρ ⎜ q + , q − ⎟ =
∂ q ∂ξ ρ − 2ηΓ col ξ ∂ξ ρ − 2Γ col
ξ 2ρ
2
2
2⎠ M
⎝
Fourier Transformation
ξ
ξ⎞ i
ξ
ξ⎞
⎛
⎛
∂ξ ρ ⎜ q + , q − ⎟ → pW ( q, p ) , ξ 2 ρ ⎜ q + , q − ⎟ → − 2∂ 2pW ( q, p ) ,
2
2⎠
2
2⎠
⎝
⎝
ξ
ξ⎞
⎛
ξ∂ξ ρ ⎜ q + , q − ⎟ → −∂ p ( pW ( q, p ) )
2
2⎠
⎝
Zeitentwicklungsgleichung der Wignerverteilung
∂ tW = −
p
∂ qW + 2ηΓ col ∂ p ( pW ) + 2Γ col p 2
M
U
∂ 2pW
Diffusion im
Liouvillegleichung Dissipation
(Reibung)
Impulsraum
∂ tW = { H ,W }
Umgebung im Gleichgewicht : p 2 U = mk BT
Ersetzung: γ = 2
m
Γ col
M
∂ tW = −
Masse eines mikrosckopischen Teilchen
p
∂ qW + γ ∂ p ( pW ) + γ Mk BT ∂ 2pW
M
Fokker-Planck-Gleichung
Vergleich: klassische Fokker-Planck-Gleichung
γk T
∂ t w = −v∂ x w + ∂ v ( γ vw ) + B ∂ v 2 w
M