Feldtheorie und Induktion

Feldtheorie und Induktion
Zusammenfassung Abitur
Raphael Michel
20. März 2013
0.1 Grundgrößen
Ladung Q
Stromstärle I =
Spannung U =
Leistung P =
Q
t
W
Q
∆W
∆t
=U ·I
Widerstand R = ρ ·
l
A,
R=
U
I
1 Elektrisches Feld
1.1 Definition und Feldstärke
Ladungen üben aufeinander Kräfte aus (Coulombkraft, siehe Gl. 6). Zwischen zwei geladenen Metallplatten (Plattenkondensator) herrscht beispielswiese ein homogenes E-Feld, d.h. die Feldstärke ist
überall gleich groß. Man stellt fest, dass die Kraft, die auf eine Ladung im E-Feld wirkt, proportional
zur eingebrachten Ladung ist. Den Proportionalitätsfaktor nennt man elektrische Feldstärke E. Es
gilt:
E=
F
q
(1)
Man malt elektrische Feldlinien so, dass sie die Richtung der Kraft anzeigen, die auf eine positive
Probeladung wirkt. Je dichter die Feldlinien, desto stärker das Feld.
1.1.1 Messung
Neben der direkten Messung der Kraft, kann man den geladenen Probekörper auch an einem Faden
der Länge l aufgehängt ins Feld hängen. Er erfährt so eine horizontale Feldkraft FE und eine vertikale
Gewichtskraft FG , die zusammen die Zugkraft F~Res am Aufhängefaden ergeben, der sich in Richtung
von F~Res ausrichtet. Es ergibt sich für die horizontale Auslenkung s und den vertikalen Abstand zum
Aufhängepunkt h: FE /FG = s/h bzw. daraus FE = FG · s/h. Da s h gilt h ≈ l und somit:
FE ≈ FG ·
1
s
l
(2)
1.2 Flächenladungsdichte und Elektrische Feldkonstante
Die Flächenladungsdichte beschreibt die Verteilung von Ladung auf einer Fläche.
σ=
Q
A
(3)
Im Plattenkondensator ist die Ladung über die ganze Fläche gleichmäßig verteilt und es gilt:
σ = ε0 · E
Q
σ
=
E=
ε0
A · ε0
(4)
(5)
1.3 Radiales Coulomb-Feld
Zwei punktförmige Ladungen q und Q im Abstand r ziehen sich mit folgender Kraft gegenseitig an:
F =
1
Qq
· 2
4πε0 r
(6)
Auffallend ist eine formale Ähnlichkeit zum Newtonschen Gravitationsgesetz F = γ · mM/r2
1.4 Spannung und Potenzial
Verschiebt man in einem homogenen Feld unter Energiezufuhr einen Körper der Ladung q entgegengesetzt der Richtung um die Strecke d, in die die Feldkraft auf ihn wirkt, so benötigt man die Energie
W = F d = Eqd, woraus sich die Spannung berechnen lässt:
U=
W
=E·d
q
(7)
Spannung ist definiert als Differenz zweier Potentiale. Das Potential ϕ eines Punktes ist die Spannung
zwischen dem Punkt und einem Bezugsniveau.
1.5 Kondensator und Kapazität
Die Kenngröße eines Kondensators ist die Kapazität, die angibt, wie viel Ladung der Kondensator bei
einer angelegten Spannung aufnimmt. Es gilt:
C=
Mit Q ∼ A, Q ∼
1
d
Q
U
(8)
findet man:
C = ε0 ·
A
d
(9)
1.5.1 Isolatoren
Bring man einen Isolator (ein „Dielektrikum“) in einen Kondensator ein, so verändert sich die Kapazität: Lädt man die Kondensatorplatten auf und trennt sie dann von der Spannungsquelle (Q = konst.)
und führt dann das Dielektrikum ein, so misst man, dass die Spannung sinkt. Grund ist, dass durch
das Dielektrikum ein Gegenfeld entsteht, dass das Feld abschwächt.
C = ε 0 · εr ·
2
A
d
(10)
1.5.2 Energie des E-Felds
Die Energie, die in einem geladenen Kondensator gespeichert ist, beträgt
1
· C · U2
2
(11)
1
· ε0 · εr · E 2 · V
2
(12)
W =
Durch Einsetzen kommt man auch auf:
W =
1.5.3 Entladung
Bei der Entladung eines Kondensators gilt für die Halbwertszeit:
TH = R · C · ln 2
(13)
1.6 Bewegung geladener Teilchen
1.6.1 Elektronenkanone
Wird ein Elektron mit einer Spannung U beschleunigt, so „durchläuft es eine Spannung von 1V“, hat
danach eine Energie von W = q · U = 1e · 1V = 1eV und mit Wkin = 1/2 · mv 2 eine Geschwindigkeit
von:
s
v=
2·q·U
m
(14)
1.6.2 Braunsche Röhre
Abbildung 1: Braunsche Röhre
Die Teilchen treten mit der Geschwindigkeit vx aus der Heizung aus (Gleichung 14). Diese bleibt
danach konstant. In y-Richtung erfahren sie durch die Ablenkplatten eine Beschleunigung und Ablenkung in y-Richtung (bzw. z-Richtung, wenn man es dreidimensional betrachtet). Bei einem Abstand
d der Kondensatorplatten und einer Ablenkspannung von UA ergibt sich aus y = 21 at2 , F = ma und
F = qE = qU/d eine Bahngleichung (im Kondensator):
y1 =
1 UA · e 2
·
·t
2 d · me 1
3
t1 ist dabei die Zeit, die das Teilchen im Kondensator zubringt. Wenn der Kondensator eine Breite
von l hat, dann kann man mit vx = l · t1 einsetzen:
1 UA · e
y1 = ·
·
2 d · me
l
vx
2
(15)
Nach dem Kondensator bewegt sich das Teilchen gleichförmig mit der Geschwindigkeit vx in x-Richtung
und vy = at1 in y-Richtung. Die weitere Ablenkung in y-Richtung beträgt also:
y2 = vy · t2 = vy ·
s
vx
(16)
s ist hierbei der Abstand des Kondensators zum Schirm. Am Schirm ist das Teilchen um y = y1 + y2
abgelenkt.
1.7 Quantisierung der Ladung
1.7.1 Millikan-Versuch
Bringt man geladene Öltröpfchen in einen Plattenkondensator mit horizontal liegenden Platten und
derart gepolt, dass das E-Feld die Öltröpfchen in ihrem Fall bremst und stellt die Spannung so ein,
dass das Tröpfchen schwebt, so kann man aus FG = FE die Ladung des Teilchens mit q = G · d/U
berechnen.
Man stellt fest, dass man nur ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e = 1.6 · 10−19 C findet.
Die Ladung freier Teilchen ist quantisiert.
2 Magnetismus / Magnetfeld
Ein Magnet hat einen Nord- und Südpol, es gibt keine magnetischen Monopole. Ungleichnamige Pole
ziehen sich gegenseitig an, gleichnamige stoßen sich ab. Wir stellen uns vor, dass Dauermagnete durch
die gleichartige magnetische Ausrichtung vieler kleinster Teilchen (Elementarmagnete) im Magneten
entstehen. Man malt die Feldlinien vom Nord- zum Südpol.
Fließender Strom hat eine magnetische Wirkung. Er erzeugt ein Magnetfeld, dessen Linien konzentrische Kreise bilden, die in Ebenen orthogonal zum Leiter liegen (Linke-Faust-Regel).
2.1 Lorentzkraft und Feldstärke
Auf einen stromdurchflossenen Leiter, der auf der wirksamen Länge s orthogonal zu den Feldlinien
in einem Magnetfeld liegt, wirkt eine Kraft: Die Lorentzkraft. Experimentell erfährt man, dass ihr
Betrag
F =B·I ·s
(17)
ist. Ihre Ausrichtung kann man mit der Linke-Hand-Regel ermitteln (Daumen für die Stromrichtung,
Zeigefinger für die Feldlinien, Mittelfinger für die Kraft). Für einzelne Elektronen, die sich orthogonal
zu den Feldlinien durch ein B-Feld bewegen, erfährt man entsprechen:
F =B·e·v
(18)
Die magnetische Flussdichte ist über die Lorentzkraft definiert, die Definitionsgleichtung lautet:
B=
F
I ·s
4
(19)
Abbildung 2: Hall-Effekt
2.2 Hall-Effekt
Eine Hall-Sonde (Abb. 2) ist ein Gerät zur Messung von Magnetfeldern. Ein stromdurchflossenes
Leiterplättchen wird senkrecht zu den Feldlinien ins Magnetfeld gesetzt. Dadurch bewegen sich die
Elektronen im Leiter an den einen „Rand“ des Leiters und im Leiter entsteht ein E-Feld, das orthogonal zur Stromrichtung und zum B-Feld ist. Das Feld baut sich auf, bis die elektrische Feldkraft, die
es wieder entladen will, gleich der Lorentzkraft ist, die es erzeugt hat (FE = FL . Die Spannung dieses
E-Felds kann man messen und kann so die Feldstärke des B-Felds bestimmen. Über das Kräftegleichgewicht erhält man:
UH = B · v · d
(20)
Durch komplizierte Einsetzungen kommt man auch auf:
UH =
Wobei man
1
ne
1 B·I
·
ne
d
(21)
als Hall-Konstante RH bezeichnet.
2.3 Spulen
Eine Spule der Länge l und Wicklungszahl n, die von einem Strom I durchflossen wird, hat im Inneren
ein annähernd homogenes Magnetfeld der Stärke
B = µ0 · I ·
n
l
(22)
Enthält sie Materie, so kommt ein weiterer, materialabhängiger Faktor hinzu:
B = µ 0 · µr · I ·
n
l
(23)
2.4 Bewegung geladener Teilchen
Schießt man einzelne geladene Teilchen mit der Geschwindigkeit vs in ein Magnetfeld, so geraten sie
in eine Kreisbewegung, bei der die Lorentzkraft, die immer genau senkrecht zur Bewegungsrichtung
steht, als Zentripetalkraft wirkt (FZ = FL ). Es gilt also mvs2 /r = Bev und somit:
m · vs
B·q
q
v
=
m
B·r
r=
5
(24)
(25)
Die Geschwindigkeit vs erhalten wir über die Elektronenkanone, die die Teilchen mit der Spannung U
beschleunigt in das Magnetfeld geschossen hat. Es gilt Wel = Wkin , also qU = 21 mv 2 . Quadrieren wir
Gleichung und setzen sie ein, erhalten wir:
q
U
=2· 2 2
m
B ·r
(26)
Derart kann man die spezifische Ladung des Elektrons herausfinden, und wenn man die Ladung kennt
(Millikan-Versuch), dadurch die Masse.
2.4.1 Massenspektrometer
Ein Massenspektrometer besteht aus zwei Teilen, einem Geschwindigkeitsfilter und dem Spektrometer
selbst.
Der Geschwindigkeitsfilter (auch Wien-Filter genannt) besteht aus einem E-Feld und einem B-Feld,
die orthogonal zueinander und zur Bahn der geladenen Teilchen stehen. Die Felder sind so eingestellt,
dass nur bei Ionen, die genau die richtige Masse haben, FL = FE ist und sie somit nicht abgelenkt
werden, alle anderen werden abgelenkt und verfehlen so die Blende hinter dem Filter.
Hinter diesem Filter findet sich ein zweites B-Feld, das die Teilchen in eine Kreisbahn bringt und
auf eine Fotoplatte lenkt. Der Radius der Kreisbahn ist (da die Geschwindigkeit bei allen gleich ist)
nur von der Masse abhängig und kann daher verwendet werden, um die Masse zu berechnen.
m=
qBr
v
(27)
3 Induktion
3.1 Der magnetische Fluss
Der magnetische Fluss Φ durch eine Fläche A ist das Produkt aus magnetischer Flussdichte B und
Flächeninhalt As , der Projektion der Fläche senkrecht zu den Feldlinien.
Φ = B · As
(28)
3.2 Induktionsgesetz
Ändert sich der magnetische Fluss in der von einer Leiterschleife eingeschlossenen Fläche, so wird in
diesem Leiter eine Spannung induziert.
Ändert man Beispielsweise das B-Feld, in dem eine Spule liegt, so entsteht in dieser Spule eine
Spannung. Führt man eine Leiterschleife senkrecht zu den Feldlinien in ein Magnetfeld ein, wird
ebenfalls eine Spannung induziert, weil die Fläche zunimmt.
Nach Lenz ist die Induktionsspannung derart gepolt, dass sie durch ihren Strom ihrer Ursache
entgegenwirken kann.
Das Induktionsgesetz lautet:
UInd = −n · Φ̇(t)
3.3 Wirbelfelder
Bei Induktionsvorgängen mit sich änderndem B entstehen elektrische Wirbelfelder.
6
(29)
3.4 Selbstinduktion
Verändert man den Strom, der durch eine Spule fließt, so verändert sich das B-Feld der Spule. Hierdurch
ändert sich der magnetische Fluss, der die ganze Splule durchsetzt und induziert in der Spule selbst
eine Spannung, die Selbstinduktionsspannung UInd .
Nach dem Lenzschen Gesetz ist sie so gepolt, dass sie der Ursache entgegen wirkt, d.h. sowohl wenn
man die Stromstärke ansteigen lässt als auch wenn man sie verringert, tritt eine Verzögerung ein. Die
induzierte Spannung beträgt:
˙
UInd (t) = −L · I(t)
(30)
A
l
(31)
L ist die Induktivität. Für Spulen gilt:
L = µ 0 · µr · n 2 ·
Man erhält diese Gleichungen durch Einsetzen von Gleichung 23 in Gleichung 29.
3.5 Energie des B-Felds
Das Magnetfeld einer Spule der Induktivität L, die vom Strom I durchflossen wird, trägt die Energie
Wmag =
1
· L · I2
2
(32)
Durch Einsetzen kommt man auch auf die Energiedichte:
ρmag =
B2
2 · µ 0 · µr
(33)
3.6 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung
Wir drehen eine Leiterschleife, die sich in einem homogenen Magnetfeld befindet. Es gilt As (t) =
A · cos ϕ(t) und somit ϕ(t) = ωt = 2πf · t. Hierdurch ergibt sich:
Φ(t) = B · A · cos(ωt)
(34)
Φ̇(t) = −n · B · A · ω · sin(ωt)
(35)
UInd (t) = n · B · A · ω · sin(ωt)
(36)
Wir schreiben:
UInd (t) = Û sin(ωt)
mit
7
Û = nBAω
(37)