Blatt11

Übungen zur Thermodynamik und Statistik
Theoretische Physik IV im SS 2007 — Dr. M. Kastner
Blatt 11
Abgabe: 3. Juli 2007
bis 14 Uhr vor Zimmer 01.504
Aufgabe 38: Unmögliches Diagramm
Stellen Sie sich vor, Sie seien Gutachter einer
wissenschaftlichen Arbeit, die nebenstehendes
p -V -Diagramm eines Kreisprozesses eines
idealen Gases enthält. Dabei sollen die Zustandsänderungen jeweils von folgender Art
sein:
1 → 2: adiabatisch,
2 → 3: isotherm,
3 → 4: adiabatisch,
4 → 1: isochor.
1 Punkt
p
1
4
2
3
V
Finden Sie alle (mehrere!) Widersprüchlichkeiten zu den Gesetzen der Thermodynamik.
Aufgabe 39: Kreisprozess
2 Punkte
Die Wärmekapazität eines idealen Gases zweiatomiger Moleküle bei konstantem Volumen
ist CV = 25 N k mit der Molekülzahl N und der Boltzmann-Konstante k. Ein solches Gas
durchlaufe quasistatisch den im p -V -Diagramm gezeichneten Kreisprozess (die Kurve ist
wirklich ein Kreis).
Bestimmen Sie
a) die vom Gas in einem Durchlauf verrichtete Arbeit,
b) die Differenz der inneren Energie des Gases zwische den Zuständen A und C,
c) die vom Gas im Prozess A → B → C
aufgenommene Wärme und
d) die Entropieänderung des Gases im Prozess C → D → A.
Aufgabe 40: Dreitakter
schriftlich 5 Punkte
N Teilchen eines idealen, einatomigen Gases seien im Zustand 0 bei einer Temperatur T0 in
ein Volumen V0 eingeschlossen (Druck p0 , innere Energie E0 , Entropie S0 ). Nun werden die
folgenden, quasistatisch durchgeführten Zustandsänderungen betrachtet:
i) Zustand 0 → Zustand 1: adiabatische Kompression von V0 auf ein Volumen V1 , so dass
eine vorgegebene Temperatur T1 > T0 erreicht wird
ii) Zustand 0 → Zustand 2: isotherme Kompression von V0 auf das Volumen V2 = V1
iii) Zustand 2 → Zustand 1: isochore Wärmezufuhr bis zum Erreichen der Temperatur T1
a) Berechnen Sie Druck, Volumen, innere Energie und Entropie des Gases in den Zuständen
1 und 2 in Abhängigkeit von den Zustandsgrößen im Zustand 0 und der Temperatur
T1 . Skizzieren Sie die Prozesse i, ii und iii in einem p -V -Diagramm.
b) Bestimmen Sie die jeweils dem Gas zugeführte Wärme ∆Qx und die jeweils vom Gas
verrichtete Arbeit −∆Wx für die drei Prozessschritte (x=i, ii, iii).
c) Berechnen Sie die Änderungen ∆Siii der Entropie und ∆Eiii der inneren Energie des
Gases längs des Schrittes iii. Stehen die entsprechenden Gesamtänderungen längs ii –
iii im Einklang mit Ihren Erwartungen an die Zustandsfunktionen S und E?
d) Konstruieren Sie aus den Teilprozessen i, ii und iii einen zyklischen Prozess, bei dem
das Gas insgesamt Arbeit leistet (Wärmekraftmaschine), skizzieren Sie diesen Prozess
(mit Umlaufsinn!) im p -V -Diagramm, und machen Sie die pro Zyklus geleistete Arbeit
graphisch kenntlich.
e) Welche der drei Takte sind reversibel? Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Dreitakters
und vergleichen Sie ihn mit dem eines Carnot-Prozesses.
Aufgabe 41: Zum Virialkoeffizienten B1
2 Punkte
Betrachten Sie ein Gas in einem dreidimensionalen Container mit Paarwechselwirkung.
a) Berechnen Sie den Virialkoeffizienten B1K für ein Kastenpotenzial der Form

 ∞ 0 < r < σ,
VK (~r) =
−ǫ σ < r < Rσ,
ǫ > 0, σ > 0, R > 0

0 Rσ < r.
b) Zeigen Sie, dass der Virialkoeffizient B1LJ für das Lennard-Jones-Potenzial
σ 12 σ 6
−
VLJ (~r) = 4ǫ
r
r
folgende Form annimmt:
B1LJ =
∞
2n+1
2n − 1
2πσ 3 X 2n
√
Γ
(βǫ) 4 .
3
4
8 n!
n=0
Hinweis: Es gilt für c ≥ 0:
Z∞
0
2
dx x
12x
−12−6n
− 6x
−6−6n
12
−c( x1 )
e
− 2n+3
4
= −c
√ 2n + 1
2n + 3
c
Γ
−Γ
2
4
4
Sie erhalten ein solches Integral, wenn Sie an geeigneter Stelle eine Exponentialfunktion
in eine unendliche Reihe entwickeln.