Physikalisches Anfängerpraktikum 3 Universität Konstanz, WS 2011

Physikalisches Anfängerpraktikum 3
Universität Konstanz, WS 2011/12
Heißluftmotor & Kritischer Punkt
John Schneider & Jörg Herbel
Durchgeführt am 05.12.2011 & 12.12.2011
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Versuchsziele
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Hauptsätze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gasgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Van der Waals-Gleichung . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1 Maxwell-Gerade . . . . . . . . . . . .
2.3 Kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Joule-Thomson-Effekt & Inversionstemperatur . . . .
2.4.0.2 Linde-Verfahren . . . . . . . . . . . . .
2.5 Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Carnotscher Kreisprozess . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.1 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Stirlingscher Kreisprozess . . . . . . . . . . . .
2.5.2.1 Der Stirling-Motor . . . . . . . . . . .
2.6 Mechanische und elektrische Leistung, Wärmeäquivalente
2.6.1 Elektrisches und mechanisches Wärmeäquivalent .
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4
4
5
5
5
6
7
8
8
9
9
12
12
13
15
15
3 Versuchsdurchführung „Heißluftmotor“
16
3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Auswertung „Heißluftmotor“
4.1 Stoffmenge und pV -Diagramme . . .
4.2 Betrieb als Kältemaschine . . . . . .
4.3 Betrieb als Wärmekraftmachine . . .
4.4 Mechanische und elektrische Leistung
4.5 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . .
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18
18
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27
5 Versuchsdurchführung „Kritischer Punkt“
28
5.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
6.1 pV -Diagramm des kritischen Punkts . . . . .
6.2 Van der Waals-Konstanten, Stoffmenge und
6.3 Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Inversionstemperatur
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30
30
32
34
34
7 Fragen und Aufgaben „Heißluftmotor“
35
8 Fragen und Aufgaben „Kritischer Punkt“
37
9 Anhang
39
Messprotokolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Physikalische Grundlagen
1 Versuchsziele
Im Versuch „Heißluftmotor“ werden wir eine auf thermodynamischen Prinzipien basierende, periodisch arbeitende Maschine, den Stirling-Motor, untersuchen und dessen
verschiedene Arbeitsweisen betrachten.
Im Versuch „Kritischer Punkt“ werden wir das pV-Diagramm eines Gases vermessen und
den kritischen Punkt deselben bestimmen.
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Hauptsätze der Thermodynamik
Die Hauptsätze der Thermodynamik sind empirisch gewonnene, nicht beweisbare Aussagen über grundsätzliche Eigenschaften thermodynamischer Prozesse und Systeme.
1. Hauptsatz Wird einem System von außen die Wärmemenge Q zugeführt, kann
sich zum einen die innere Energie U des Systems um U erhöhen (Temperaturanstieg),
zum anderen kann sich das Volumen V des Systems gegen den herrschenden Druck p
vergrößern. Das System verrichtet hierbei die Arbeit W . Daher gilt: Q = U
W
mit W < 0 (da das System Arbeit gegen eine äußere Kraft verrichtet). Dies ist die
mathematische Formulierung des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik. In Worte gefasst:
„Die Summe der einem System von außen zugeführten Wärme und der zugeführten
Arbeit ist gleich der Zunahme seiner inneren Energie.“ ([3], S. 317).
2. Hauptsatz Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik trifft eine Aussage über natürlichen Wärmefluss. Er lautet nach [3], S. 320: „Wärme fließt von selbst immer nur vom
wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt.“.
4
2 Physikalische Grundlagen
2.2 Gasgleichungen
2.2.1 Das ideale Gas
Das Modell des idealen Gases ist das einfachste Gasmodell. Die Gasteilchen werden
als Massenpunkte angenommen, welche sich frei bewegen können (es wirken also keine
äußeren Kräfte ein). Stöße zwischen den Gasteilchen und mit Begrenzungen werden
als vollständig elastisch modelliert. Innerhalb dieses Modells genügt das Gas folgener
Zustandsgleichung:
p·V =n·R·T
(1)
p ist hierbei der herrschende Druck, V das Gasvolumen, T die Gastemperatur, n [mol]
die Stoffmenge und R die allgemeine Gaskonstante. Bei infinitesimaler Expansion des
Volumens eines idealen Gases um dV gegen den äußeren Druck p leistet das System die
Arbeit dW = p · dV . Daher lässt sich der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für ein
ideales Gas schreiben als:
dU = dQ p · dV
(2)
2.2.2 Van der Waals-Gleichung
Die van der Waals-Gleichung erweitert die ideale Gasgleichung (1) um Korrekturterme, damit reale Gase besser modelliert werden können. Betrachet man die Gasatome als
starre Kugeln mit dem Radius r, können sich zwei Kugelmitten nie näher als der Kugeldurchmesser d = 2r kommen. Daher gibt es ein „verbotenes Volumen“ Vver = 43 ⇡d3 = 8VA
um jedes Atom mit dem Volumen VA , in das kein anderer Kugelmittelpunkt eindringen
kann. Außerdem muss jedes Atom im Volumen V = L3 , L: Wandlänge der Begrenzung,
den Mindestabstand r von den Begrenzungen einhalten. Befinden sich mehrere Atome im
Volumen, steht dem 2. deshalb noch das das Volumen V2 = (L 2r)3 8VA , dem 3. das
Volumen V3 = (L 2r)3 2·8VA und dem i-ten das Volumen Vn = (L 2r)3 (i 1)·8VA
zur Verfügung. Befinden sich n Atome im Volumen, erhält man für das mittlere freie
Volumen Vn pro Atom:
n
Vi = (L
2r)
3
1X
(i 1) ·8Va ⇡ L3
n i=1
| {z }
= 12 n(n 1) 1
5
4nVA
2 Physikalische Grundlagen
Die letzte Näherung
durch die Annahmen n
1, L
r. Man muss demnach
340 entsteht
10. Wärmelehre
in Gl. (1) von V den Term
n · b = n · 4V subtrahieren. Um einen Korrekturterm
für
allgemeine GasgleichungA
Komprimiert man z. B. bei T = 0 ◦ C 1
kontinuierlich
von kleinen Dichten
den Druck zu finden, betrachtet
Kräfte.
Im Gasin· T die auf die Atome wirkendenGas
p · VM = Rman
so folgt die gemessene Kurve p(V ) in d
neren mitteln sich diese
heraus,
Randatome
werden
von
den inneren
fürKräfte
1 mol eines
idealendie
Gases
modifizierenjedoch
in die vandurch
(10.107)
beschriebenen Kurve in Abb
der-Waals-Gleichung
eines realen
zumjedes
PunkteRandatom
A. Dann jedoch bleibt p ko
angezogen, ohne dass dies
kompensiert wird.
Die Gases
wirkende Kraft auf
zum Punkte C. Danach steigt der Druck
"
ist proportional zur Dichte !der Atome
im Gasinneren und damit zu rer
n/VKompression
. Die Kraftsehr
aufsteil an und folgt
a
(10.125)
p + 2 · (VM − b) = R · T ,
einigermaßen.
VM
eine Randvolumeneinheit, die mehrere
Atome enthält, hängt von dervan-der-Waals-Kurve
Dichte der Atome
Der
Grund
für
dieses
von (10.125) ab
2
in der Randvolumeneinheit
ist folglich
zu Ein2 /V Verhalten
. Man führt
ist die daher
im Punkte A beginnende
· Va das vierfache
wobei ab
die und
Konstante
b = 4 · NAproportional
gungWechselwirkundes CO2 -Dampfes. Entlang der Ger
dera Nhängt
im Molvolumen
VM der
A Moleküle
den Korrekturfaktor a genvolumen
· n2 /V 2 ein,
von der
Art und Stärke
steigt der Anteil der Flüssigkeit ständig
darstellt.
gen zwischen den AtomenDer
ab Verlauf
und istderdaher
eine Stoffkonstante.
Mit Punkte
diesen CKorrekturen
das ganze Gas verflüssigt ist.
Isothermen
p(V ) für T = const
A
und
C
können
also Gas und Flüssigkeit
eines
realen
Gases,
das
durch
(10.125)
beschrieben
erhält man aus Gl. (1) die van der Waals-Gleichung:
wird, hängt vom Wert der Konstanten a und b und
tig existieren (Koexistenzbereich). Der ste
0damit von der Gasart
1 ab. In Abb. 10.67 sind solche von p(V ) nach Erreichen des Punktes C lieg
Vergleich mit Gasen sehr kleinen Kompress
Isothermen⇣ für⌘CO
2 bei verschiedenen Temperaturen
n 2sieht
Bangegeben. Man
C daraus, dass sie für hohe Tem- Flüssigkeiten (siehe Kap. 6 und 7).
n·b )=n·R·T
(3)
@p + a ·
A · (V
|{z}
Um diesen Vorgang der Verflüssigung
peraturen
Gases ähnlich sehen
| denen
{zV } eines idealen
Kovolumen
−E p ), für tiefe Temperaturen (direkt über der zu beschreiben, müssen wir uns deshalb
(E kin "
Binnendruck
den verschiedenen Aggregatzuständen (Pha
Kondensationstemperatur) stark davon abweichen.
Stoffe und ihren Phasenübergängen befasse
Löst
man
(10.125)
nach
p
auf,
so
erhält
man
a und b sind die stoffspezifischen, temperaturunabhängigen van der Waals-Konstanten.
für eine konstante Temperatur T die Funktion p(V )
als Polynom dritter Ordnung, welche für genügend
10.4.2 Stoffe in verschiedenen Aggregatz
2
große Korrekturterme
undnacht
b in (10.125),
d. h.
2.2.2.1 Maxwell-Gerade
Löst man a/V
Gl. (3)
p auf, ergibt
sich die Fkt. p(V ),
für genügend tiefe Temperaturen T < Tk (a, b) so- Die verschiedenen Aggregatzustände (fe
bei der V im Nenner wohl
eingeht.
Für feste
erhält
man daraus
Isothermenschaar
ein Maximum
als T
auch
ein Minimum
aufweisteinegasförmig)
eines Stoffes nennt man seine P
(Abb.
10.67).
Wie
sieht
die
Realität,
d.
h.
der
Vergleich
in diesem
Abschnitt untersuchen, unt
(Isotherme: Kurven mit konstantem T ). Ist T ausreichend klein, hat wollen
p(V ) ein
Maximum
mit dem Experiment aus?
Bedingungen ein Phasenübergang flüssig
und ein Minimum. Abb. 1 zeigt dies.
mig, fest ↔ flüssig oder fest ↔ gasförmi
kann und wann ein Stoff gleichzeitig in zwe
Phasen im Gleichgewicht existieren kann.
a) Dampfdruck und Flüssig–Gas-Gleichg
Abbildung 1:
Bringt man eine Flüssigkeit in ein abgeschlo
fäß, das sie nur teilweise ausfüllt, so stell
dass ein Teil der Flüssigkeit verdampft un
Volumen oberhalb der Flüssigkeit eine D
bildet, die einen Druck pS (T ) auf die Wän
Flüssigkeitsoberfläche ausübt, dessen Größ
MaxwellGerade
Temperatur T abhängt.
Die Abhängigkeit pS (T ) lässt sich m
Abb. 10.68 gezeigten heizbaren Druckbe
Thermometer und Manometer messen.
Bei fester Temperatur T stellt sich ein
Abb. 10.67. Van-der-Waals-Isothermen von CO2 für verIsothermenschaar
nach der van der Waals-Gl. für CO2 aus
[3], S. 340, selbst-pS (T ) ein, bei dem d
Sättigungsdampfdruck
schiedene Temperaturen
ständig verändert.
Der Kurvenverlauf zwischen den Punkten A und C entspricht allerdings nicht der
6
2 Physikalische Grundlagen
Realität, falls p(V ) hier Extrema aufweist. Die Abweichung liegt darin begründet, dass
das Gas anfängt, sich zu verflüssigen (flüssige und gasförmige Phase koexistieren hier),
p bleibt in diesem Bereich konstant. Man löst dieses Problem mit der in Abb. 1 geustände
300/301
strichelten Maxwell-Geraden. Diese wird so eingezeichnet, dass die rötlich markierten
Flächen, welche die
mitist:der
sind. Die Maxwell-Gerade
enthalten
EineKurve
äußere einschließt,
Einwirkung, diegleich
eine Zustandslichkeit hängt die Verdampfungsenergie
vonGerade
Systems
Folge hat, ruft
eine Änderung
ratur ab, einmal deswegen,
weil sich
diewahren
Mo- änderung
entspricht
dem
Verlaufdesvon
p(V zur
) zwischen
A und
C.
e mit der Temperatur ändern, zum zweiten, hervor, die den Zwang zu vermindern sucht. Bei Druckerrdampfungsenergie aus einem inneren und ei- höhung weicht das Eis dem Zwang durch Schmelzen aus,
en Anteil besteht. Der kleinere äußere Anteil weil es dadurch sein Volumen verringern kann.
verbraucht, das ursprüngliche Volumen (bei
kg) auf das Volumen des Dampfes (bei Wasser- .. Koexistenz dreier Phasen
100 ○ C:  l�kg) auszudehnen.
Beim DruckPunkt
2.3 Kritischer
105 N m−2 wird die Arbeit gegen den äußeren Im p, T-Diagramm hat die Grenzlinie flüssig-gasförmig,
V = 170 kJ�kg. Die innere Verdampfungsener- die Dampfdruckkurve, eine viel geringere Steigung als die
Für ein bestimmtes T = Tkritfest-flüssig
hat p(V(Schmelzdruckkurve).
) in Abb. 1 keine
Extrema mehr, sondern die
Beide müsindung der Molekularkräfte) ist also viel größer: Grenzlinie
○
sen sich auf
also irgendwo
treffen. Dieserder
Treffpunkt
kJ�kg. Bei 0 C hat Wasser
λ = A,
2525B,
kJ�kg,
Punkte
C von
schrumpfen
einen Sattelpunkt
Kurveheißt
zusammen. Dieser Punkt
nimmt λ von  auf  kJ�kg ab. Bei 264 ○ C Tripelpunkt. Unterhalb und links von ihm gibt es kei○
heißt
kritischer
Punkt,nenerflüssigen
wird beschrieben
durchesTgeht
Vkrit
, die
pkrit . Für Temperaturen
krit ,von
Zustand mehr, sondern
ihm
h λ = 614 kJ�kg, bei 374
C, der
kritischen TemSublimationskurve
aus,
die
den
unmittelbaren
Übergang
Wassers, wird λ = 0.< T
krit koexistieren feste und flüssige Phase, wenn man eine Flüssigkeit in einem gefest-gasförmig bezeichnet. Nach Clausius-Clapeyron hat
schlossenen
Behältnis erhitzt,
weil durchimmer
den steigenden
Druck
auch der Siedepunkt der
die Sublimationskurve
positive Steigung.
Nur am
xistenz von Festkörper
und Flüssigkeit
Tripelpunkt können alle drei Phasen im Gleichgewicht koverbleibenden
erhöht wird und deshalb nicht die ganze Flüssigkeit zum
hmelzen gelten ganznoch
ähnliche
Gesetze wie für Flüssigkeit
existieren. Für H2 O liegt er bei , mbar und , ○ C,
○
Nur bei der Schmelztemperatur
können Fest-verdampft.
für CO2 beiDa
, sich
bar und
−56ausdehnt,
C. Die Molvolumina
der sich ihre Dichte, wähgleichen Zeitpunkt
diese
verringert
Flüssigkeit (Schmelze) im Gleichgewicht ko- drei Phasen sind natürlich am Tripelpunkt völlig verschiedieDichteänderung,
des schon vorhandenen
Gases steigt.
der
kritische
erreicht, sind beide
Schmelzen bedeutetrend
i. Allg.
den; daher entsprechen
ihm in Ist
der p,
V-Ebene
(Abb.Punkt
.
hme der Dichte, denn die regelmäßig angeord- rechts) drei Zustände und die sie verbindende Linie.
Dichten gleich, flüssige und gasförmige Phase sind dann nicht mehr zu unterscheiden.
hen im Kristall nehmen weniger Platz ein als
Die drei Zweige des p, T-Diagramms trennen drei Geen in der Flüssigkeit.
Bei den meisten
Stoffen biete voneinander,
Oberhalb
der Temperatur
Tkrit gibt inesdenen
nur im
noch
eine Phase,
die Gasphase. Allerdings
Gleichgewicht
nur je eine
der Kristall in der Schmelze unter. Nur Eis und Phase existieren kann. In diesem Gebiet können p und T
die beim
Dichte
des Gases viel höher sein als man normalerweise von Gasen erwarten
dere Stoffe (Ge, Ga, kann
Bi) zeigen
Schmelinnerhalb gewisser Grenzen beliebig gewählt werden. Man
chtezunahme: Die Kristalle
in derdeshalb
würde,schwimmen
man spricht
vonhabe
einem
überkritischen
Fluid.
sagt, derauch
Zustand
hier zwei
Freiheitsgrade (in
einemAbb. 2 veranschaulicht
den
kritischen wie
Punkt.
e Schmelztemperatur
ist druckabhängig
die
ratur, nur weniger stark. Im p, T-Diagramm
die Schmelzdruckkurve die Koexistenz von
und Flüssigkeit im Gleichgewicht und trennt
vom flüssigen Bereich. Beim Schmelzen eidie spezifische Schmelzenergie λ′ verbraucht,
rren wird sie frei. Auch hier gilt die ClausiusGleichung
′
λ =T
dp
(vFl − vFest ) .
dT
schmelzen
flüssig
p
fest
flüssig
fest
T
(.)
gasförmig
gasförmig
sieden
sublimieren
mer positiv ist, muss die Schmelzdruckkurve
en, wenn vFl > vFest wie bei den meisten Stofn fallen, wenn vFl < vFest wie beim Eis. Man
T
Eis bei konstanter Temperatur durch DruckV
schmelzen. Dies ermöglicht das Wandern der
nd den Schlittschuhlauf.
⊡ Abbildung 6.63 Zustandsdiagramm der drei Phasen mit KoAbbildung 2: Phasendiagramm
eines Stoffes, dessen Dichte beim Schmelzen abnimmt (Regeliv folgt der Zusammenhang zwischen dp�dT existenzbereichen und Tripellinie. Die meisten Stoffe zeigen dieses
aus [4],
S. 301. Die Temperatur TkritSchmelzen,
, oberhalb der es nur noch die
ch aus dem Le Chatelier-Braunschen verhalten)
Prinzip Verhalten
des Schmelzbereichs (Ausdehnung beim
GasphaseSchmelzkurve
gibt, ist als
Linie eingezeichnet.
vor dem Zwang, das im zweiten Hauptsatz
nachschwarze
rechts geneigt)
7
2 Physikalische Grundlagen
2.4 Joule-Thomson-Effekt & Inversionstemperatur
Expandiert ein Gas, ohne dabei gegen einen äußeren Druck arbeiten zu müssen, ist es
trotzdem möglich, dass dieses sich dabei abkühlt. Dies geschieht, weil der mittlere Molekülabstand zwischen den Gasmolekülen vergrößert wird, es muss also Arbeit gegen
die zwischenmolekularen Kräfte verrichtet werden. Dabei wird die potentielle Energie
des System erhöht, dafür verringert sich die kinetische Energie der Gasmoleküle, wodurch die Temperatur sinkt. Dieses Phänomen heißt Joule-Thomson-Effekt, es tritt
allerdings nur unterhalb einer bestimmter Temperatur auf. Um diese Temperatur zu ermitteln (siehe [3], S. 345), benötigt man die Hilfsgröße H = U + pV , Enthalpie genannt,
wobei U die innere Energie des Gases, p der herrschende Druck und V das Gasvolumen ist. U = Ekin + Epot enthält die kinetische Energie der Gasteilchen, gegeben durch
Ekin = 12 f · R · T (f ist eine unbekannte Geschwindigkeitsverteilungsfunktion) sowie
einen Anteil Epot der potentiellen Energie, bewirkt durch den Binnendruck. Es gilt:
´V
Epot = 11 a/V 2 dV = a/V1 , V1 ist hierbei das Volumen vor Beginn der Expansion
(daran kann man ablesen, dass U bei realen Gasen volumenabhängig ist). Auflösen von
Gl. (3) nach p und einsetzen in H liefert:
H = RT ·
✓
f
V
+
2 V b
◆
2a
= H(V, T )
V
Der Joule-Thomson-Effekt tritt z.B. auf, wenn Gas adiabatisch (ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung) durch ein Drosselventil expandiert. Bei adiabatischen Expansionen ist H immer konstant, deshalb folgt:
dH =
@H
@H
dV +
dT = 0
@V
@T
Umstellen nach dT liefert:
dT =
@H
dV
@V
@H
@T
=
(V
bT
2a
b)2
RV 2
f
+ VV b
2
⇡
bRT 2a
dV
+ 1 RV 2
f
2
Die letzte Näherung ergibt sich durch V
b ) V b ⇡ V . Es folgt, dass dT < 0 gilt,
2a
solange T < bR = TI ist. TI heißt Inversionstemperatur, ist sie unterschritten, kommt es
zum Joule-Thomson-Effekt.
2.4.0.2 Linde-Verfahren Für Luft liegt die Zimmertemperatur bereits unterhalb der
Inversionstemperatur, deshalb wird der Joule-Thomson-Effekt zur Abkühlung und
8
2 Physikalische Grundlagen
Verflüssigung genutzt. Dies geschieht z.B. in einer Lindeschen Gasverflüssigungsanlage. Die Luft wird zunächst getrocknet, dann in einem Kühler vorgekühlt und erreicht
schließlich ein Drosselventil, welches den Luftdurck vermindert und zu einer Expansion
des Gases führt, wobei der Joule-Thomson-Effekt auftritt und die Temperatur sinkt.
Nach Passieren des Ventils durchläuft die Luft diesen Zyklus erneut, wobei sie auf ihrem
Rückweg zum Startpunkt weitere Luft, die das Drosselventil noch nicht passiert hat, zusätzlich kühlt (Gegenstromprinzip). Durch diesen Prozess sinkt die Gesamttemperatur
im System immer weiter, bis die Luft in die flüssige Phase übergeht. Dieses Verfahren kann auch für Gase mit Inversionstemperaturen unterhalb der Zimmertemperatur
genutzt werden, diese müssen dann allerdings entsprechend vorgekühlt werden.
2.5 Kreisprozesse
Ein Kreisprozess ist ein Vorgang, bei dem ein System mehrere thermodynamische Zustände durchläuft, am Ende aber wieder in den Ausgangszustand zurückkehrt. Man
unterscheidet zwischen reversiblen und irreversiblen Prozessen. Erste können in beide
Richtungen durchlaufen werden, letztere nicht. In der Makrophysik sind alle Prozesse irreversibel, reversible Presse können jedoch als idealisierte Grenzfälle derselben betrachtet
werden.
2.5.1 Carnotscher Kreisprozess
Der Carnotsche Kreisprozess ist ein Gedankenexperiment, bei dem ein thermodynamisches System eines idealen Gases 4 Phasen durchläuft, bis es wieder in den ursprünglichen
Zustand zurückgelangt.
1. Das System startet im Zustand 1, in welchem es durch die Größen V1 , p1 , T1
beschrieben wird. Durch eine isotherme Expansion gelangt es in den Zustand 2
mit V2 > V1 , p2 , T1 . Damit T konstant bleiben kann, muss dem System dabei die
Wärmemenge Q1 aus einem äußeren Wärmereservoir zugeführt werden. Aus Gl.
(2) folgt: dQ = p · dV . Die investierte Wärmemenge resultiert also gemäß dem 1.
9
2 Physikalische Grundlagen
Hauptsatz. in Arbeit
W12 des System gegen den äußeren Druck. Es gilt:
Q1 =
W12 =
ˆV2
(1)
p dV = R · T1 · ln
V1
V2
V1
(4)
n wurde hierbei auf 1 mol normiert.
2. Das System expandiert adiabatisch (dQ = 0) in den Zustand 3 mit den Größen
V3 > V2 , p3 , T2 < T1 . Es gilt:
dU = p · dV = W23 . Die negative Ausdehnungsarbeit W23 , welche das System
verrichtet hat, wurde also auf Kosten der inneren Energie vollbracht:
W23 =
U = U (T2 )
U (T1 )
3. Das System wird isotherm in den Zustand 4 mit V4 < V3 , p4 , T2 komprimiert.
Damit T während der Kompression konstant sein kann, muss dem System die
Wärmemenge Q2 < 0 entzogen werden. Man erhält für die am System verrichtete
Arbeit analog zu Schritt 1:
Q2 =
W34 = R · T2 · ln
V3
V4
4. Das System wird adiabatisch in den Ausgangszustand 1 komprimiert. Die dabei
verrichtete Arbeit wird in die innere Energie des Systems investiert. Analog zu
Schritt 2 gilt:
W41 = U = U (T1 ) U (T2 )
Der gesamte Kreisprozess ist in Abb. (3) dargestellt.
10
2 Physikalische Grundlagen
10.3. Die H
Abb. 10.51. Carnotscher Kreisprozess
d. h., die in das System h
ge ∆Q 1 ist gleich der Arb
Expansion nach außen abg
∆Q 1 = −∆W12 =
!V2
p
V1
= R · T1 · ln(V2 /V
2. Schritt: Adiabatische Ex
Zustand 3. Hier gilt:
Abbildung 3: Ablauf des Carnotschen Kreisprozesses aus [3],S. 321. Die Isothermen sind
dQ = 0 ⇒ dU = − p d
die Kurven gleicher Temperatur, die Adiabaten sind die Kurven, bei denen das
System keine Energie mit seiner Umgebung austauscht.
Die nach außen abgegebe
dehnungsarbeit ∆W23 ist
Abb. 10.52. WärmeU(T2 ) − U(T1 ) der inneren
austausch und Netto-
Man kann eine Gesamtbilanz für die vom System gegen arbeitsleistung
die Druckkraft
∆W verrichtete
3. Schritt: Isotherme Komp
∆W12
= ∆Wzum
34 − Nettobetrag
Arbeit W aufstellen. Es gilt: W23 =
W41 , daher zählen
der
Zustand 4. Analog zum 1
in einer Carnot-Maverrichteten Arbeit nur die isothermen Schritte. Man erhält:schine
tieferen Temperatur T2 abg
W =
V1
V3
W12 + W34 = R · T1 · ln
+ R · T2 · ln
V2 beim Startpunkt
V4 1 wird
Der Zustand des Systems
durch die Zustandsgrößen (V1 , p1 , T1 ) beschrieben.
gleich der am System gele
∆W34 = R · T2 · ln(V3 /V
4. Schritt: Adiabatische K
Weiterhin gilt nach [3], S. Durch
321, dass
für die
adiabatischen
eine man
isotherme
Expansion
wird dasProzesse,
System in welche
in dendas
Ausgangszustand 1
den
neuen
Zustand
(V
,
p
,
T
)
gebracht
und
gelangt
in das System gesteckte A
2
2
1 4 in den Zustand 1 überführen,
System vom Zustand 2 in den Zustand 3 und vom Zustand
zum Punkt 2 im p-V -Diagramm. Bei dieser Expansion Zunahme seiner inneren En
schreiben kann ( ist der sog.muss
Adiabatenindex):
dem System eine Wärmemenge ∆Q aus einem
1
∆U = U(T1 ) − U(T2 ) .
Wärmereservoir zugeführt werden, damit seine Tempe 1 ratur konstant
 1

1

1
bleibt. T
Danach
T1 · V2 = T2 · V3
und
= T2eine
· V4adiabatische Gesamtbilanz. Da die beim
1 · V1 erfolgt
Expansion in den Zustand 3 = (V3 , p3 , T2 < T1 ). Vom leistete Arbeit gleich der b
Zustand 3 aus wird das System isotherm kompri- hineingesteckten Arbeit is
Dividiert man diese Gl. durcheinander,
erhält
miert und gelangt
zum man:
Zustand 4 = (V4 , p4 , T2 ), wobei nur durch die isothermen
ihm während der isothermen Kompression eine Wär- trag vom System abgegebe
V2memenge
V3 ∆Q entzogen
V3 werdenV1muss, damit seine
=
=)2 ln
= ln
wir:
V1Temperatur
V4
V2
konstant V
bleibt.
Schließlich
wird das Sys4
tem durch eine adiabatische Kompression wieder in
∆W = ∆W12 + ∆W34
Deshalb gilt:
den Ausgangszustand 1 = (V1 , p1 , T1 ) zurückgebracht.
= R · T1 · ln(V1 /V2
Eine solche gedachte, idealisierte Maschine, die einen
V1 heißt Carnot-Maschine.
V1
V1
Da für die adiabatischen
Carnot-Prozess
durchläuft,
W = R · T1 · ln Wir wollen
R · T2 ·nun
ln die= beim
R · (TCarnot-Prozess
T2 ) · ln auf- gilt: (5)
1
V2
V2
V2
genommenen oder abgegebenen Wärmemengen und
T · V κ−1 = T2 · V3κ−1 u
Energienunter
berechnen.
Dies ist die Gesamtarbeit, mechanischen
welche das System
Aufnahme der Wärmemenge1 Q12κ−1
T1 · V1 = T2 · V4κ−1 ,
1. Schritt: Isotherme Expansion vom Zustand 1 zum
verrichtet hat. Abb. 4 zeigt dies.
Zustand 2. Nach dem ersten Hauptsatz gilt wegen folgt durch Division beider
T = const:
V3
V2
=
⇒ ln(V3 /V4 )
dQ = p · dV ,
V1
V4
11
= R · T1 · ln(
2 Physikalische Grundlagen
2. Schritt: Adiabatisc
Zustand 3. Hier gilt:
dQ = 0 ⇒ dU =
Abb. 10.52. Wärmeaustausch und Nettoarbeitsleistung ∆W
= ∆W34 − ∆W12
in einer Carnot-Maschine
Abbildung 4: Bilanz des Carnotsches Kreisprozesses aus [3], S. 321.
Die nach außen abge
dehnungsarbeit ∆W2
U(T2 ) − U(T1 ) der in
3. Schritt: Isotherme
Zustand 4. Analog z
tieferen Temperatur T
gleich der am System
∆W34 = R · T2 · ln
Der Zustand des Systems beim Startpunkt 1 wird
2.5.1.1 Wirkungsgrad Beim
Kreisprozess
Wärmemenge 4. Q
1
) beschrieben.
durchCarnotschen
die Zustandsgrößen
(V1 , pwird
Schritt:
Adiabatisc
1 , T1 die
Durch
eine isotherme
Expansion
wird das
System
den Ausgangszust
aus einem externen Reservoir
entnommen,
welche
i.A. verloren
geht,
dafürinwirdin die
den
neuen
Zustand
(V
,
p
,
T
)
gebracht
und
gelangt
in
das System geste
2
2
1 ⌘ des Kreisprozesses definiert
Nettoarbeit W verrichtet. Daher ist der Wirkungsgrad
zum Punkt 2 im p-V -Diagramm. Bei dieser Expansion Zunahme seiner inner
durch den Betrag des Quotienten
aus System
verrichteter
Arbeit und benötigter
Wärme:
muss dem
eine Wärmemenge
∆Q 1 aus einem
∆U = U(T1 ) − U
Wärmereservoir zugeführt
werden, damit seine TempeV1
R
·
(T
T
)
·
ln
1
2
W ratur konstant
T1 T2 eine adiabatische
V2
bleibt.
Danach
⌘=
=
= erfolgt 2
[0, 1]
(6)
Gesamtbilanz.
Da die
V1
Q1Expansion
R ·inT1den
· lnZustand
3=T
(V1 3 , p3 , T2 < T1 ). Vom leistete Arbeit gleich
V2
Zustand 3 aus wird das System isotherm kompri- hineingesteckten Arb
miert
zumUmwandlung
Zustand 4 = (V
, T2 ), wobei innur
Der Wirkungsgrad ist ein Maß
fürund
diegelangt
Güte der
einer
einedurch die isother
4 , p4Energieform
ihm
während
der
isothermen
Kompression
eine
Wärandere durch den Kreisprozess. Gl. (6) zeigt, dass nur für T2 = 0 die komplette aufgetrag vom System abg
memenge ∆Q 2 entzogen werden muss, damit seine wir:
nommene Wärmeenergie in Temperatur
Arbeit umgesetzt
werden
was also
möglich ist.
konstant
bleibt.könnte,
Schließlich
wird nicht
das SysMan kann durch einen Widerspruchsbeweis
zum 2. Hauptsatz
zeigen, dass
es keine
peritem durch eine adiabatische
Kompression
wieder
in
∆W = ∆W12 + ∆
1 =Wirkungsgrad
(V1 , p1 , T1 ) zurückgebracht.
odisch arbeitende Maschine den
gibt,Ausgangszustand
die einen höheren
erzielt als eine solche, = R · T1 · ln(V
Eine
solche
gedachte,
idealisierte
Maschine,
die einen
die den Carnotschen Kreisprozess umsetzt. Dies ist eine äquivalente Formulierung
des
Da für die adiabatisc
Carnot-Prozess durchläuft, heißt Carnot-Maschine.
2. Hauptsatzes.
Wir wollen nun die beim Carnot-Prozess auf- gilt:
genommenen oder abgegebenen Wärmemengen und
T1 · V2κ−1 = T2 · V3
mechanischen Energien berechnen.
T1 · V1κ−1 = T2 · V4
2.5.2 Stirlingscher Kreisprozess
1. Schritt: Isotherme Expansion vom Zustand 1 zum
Zustand 2. Nach dem ersten Hauptsatz gilt wegen
Der Stirlingsche Kreisprozess ist Carnotschen sehr ähnlich, er arbeitet ebenfallsfolgt
mitdurch Division b
T = const:
V3
V2
einem idealen Gas und ist reversibel. Er besteht ebenso aus vier reversiblen Phasen,
=
⇒ ln(V
dQ = p · dV ,
V1
V4
jedoch werden die zwei adiabaten Phasen des Carnotschen Kreisprozesses durch zwei
isochore Phasen (Phasen mit konstantem Volumen) ersetzt. Dementsprechend ergibt
sich ein p-V -Diagramm wie in Abb. 5.
12
len den Wärmeaustausch zwischen dem System (rot)
und der Umgebung (weiß) andeuten.
2 Physikalische Grundlagen
Isotherme
Isochore
ren heißen Teil (Ab
unteren Teil. Dabei
im Kolben, die mit
sich beim Durchström
erwärmen und diese
strömen der kalten Lu
abgeben.
d) Ottomotor
Der in vielen Autos
während einer Period
trope und zwei isoc
Punkte 1 wird das Lu
Abbildung 5: pV -Diagramm des Stirlingschen Kreisprozesses aus [3], S. 336, selbstständig
verdichtet. Im Punkt
verändert.
verbrennt das Kraftst
sich das Volumen pr
Bei der isothermen Expansion von Zustand 1 nach Zustand 2 erhält das System die
Explosion frei werde
Wärmemenge Q1 , bei der isochoren Abkühlung, welche Zustand 2 in Zustand 3 überSystem zugeführt, un
Punkt 3, bis dann d
führt, gibt das System die Wärmemenge Q2 ab, dementsprechend sinkt die Temperatur
Änderung der Wärm
von T1 auf T2 . Da das System nun isotherm komprimiert wird, bleibt die Temperatur
Die Abgase werden
beim Übergang in den Zustand 4 konstant, weshalb im letzten Schritt wieder die Wärabgegeben, wodurch
Abb. 10.63a–d. Kreisprozesse beim Stirling-Motor (a), Ottomemenge Q4 = Q2 zugeführt
werden
muss,
um
den
Ausgangszustand
zu
erreichen.
rend Q 2 abgegeben
motor (b), Dieselmotor (c) und bei der Dampfmaschine (d).
Die rote Kurve gibt
den Druck p(V
) für
Wasserdampf
an Phasenerreicht
Es tragen genau wie beim Carnotschen
Kreisprozess
nur
die
isothermen
zur wird.
Nettoarbeit, welche das System verrichtet, bei. Diese laufen in beiden Prozessen gleich
ab, daher gelten auch für den Stirlingschen Kreisprozess Gl. (5) und (6). Der wichtige
Unterschied zum Carnotschen Kreisprozess liegt darin, dass bei den isochor ablaufenden Vorgängen Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Dem Stirlingschen
Kreisprozess muss zwei mal Wärme zugeführt werden, nämlich bei den Zuständsübergängen 1 ! 2 und 4 ! 1, dem Carnotschen Kreisprozess hingegen nur einmal. Gelingt
es, Q2 zwischenzuspeichern und später als Q4 wieder zuzuführen, erreicht man den Wirkungsgrad des Carnotschen Kreisprozesses.
2.5.2.1 Der Stirling-Motor Eine technische Umsetzung des Stirlingschen Kreisprozesses gelingt mit dem Stirling-Motor. Natürlich existiert kein ideales Gas, welches
vollständig dem Modell aus Abschnitt 2.2.1 genügt, daher kann keine vollständige Realisierung gelingen. Um ⌘ zu maximieren, werden als Wärmezwischenspeicher z.B. Metallspäne verwendet. Abb. 6 zeigt die Arbeitsweise eines Stirling-Motors.
13
2 Physikalische Grundlagen
10.3. Die Hauptsätze der Thermodynam
Abb. 10.64. Stellung von Arbeits- u
Verdrängerkolben bei den vier Abschn
ten des Stirlingschen Kreisprozesses. D
Energie zum Betrieb der Maschine w
durch Heizung der oberen Wand aufg
bracht
Abbildung 6: Arbeitsweise eines Stirling-Motors aus [3], S. 337, welcher hier als Wärmekraftmaschine genutzt wird, s.u. Der Motor besteht aus dem Verdränger- und
Der thermische Wirkungsgrad
Kompres- f) Dampfmaschine
dem Arbeitskolben,
welche umhängt
⇡/2 vom
phasenverschoben
eine Welle antreiben.
sionsverhältnis ab. Man erhält (siehe Aufgabe 10.12):
In einer Dampfmaschine verläuft der Kreisproze
1
über zwei isentropisc
, geheizt wird, verrichtet
(10.123) er(Clausius-Rankine-Prozess)
= 1 − die Wand
Läuft der Motor,ηindem
Arbeit (Antrieb der Wel(V1 /V2 )κ−1
und zwei isobare Teilprozesse ab (Abb. 10.63d). Vo
le) durch Wärmezufuhr, es handelt sich dann um eine Wärmekraftmaschine.
Esder
fließt
Ausgangspunkt 1 wird
Wasserdruck durch
wobei κ = C p /C V der Adiabatenindex ist.
ne
Pumpe
isentropisch
von
p1 auf p2 erhöht. Dur
hierbei Wärme von einem wärmeren in einen kälteren Bereich. Da der Kreisprozess reverWärmezufuhr bei konstantem Druck wird das Wass
ZAHLENBEISPIEL
sibel ist, kann man
auch die Wand erwärmen, indem man die Kurbelwelle
in umgekehrte
verdampft, sodass
das Volumen bis zum Punkte 3 e
V
/V
=
9,
κ
=
9/7
⇒
η
=
0,44.
pandiert.
Der
heiße
Dampf treibt einen Kolben bz
1
2
Richtung, also entgegen
dem Uhrzeigersinn, antreibt. In diesem Fall ist der Umlaufsinn
eine Turbine an. Er entspannt sich isentrop und erreic
der p-V -Kurve in Abb. 5 umgekehrt, dementsprechend ändertden
sich
auch4, das
Vorzeichen
Punkt
wo durch
Kühlen (Wärmeabfuhr) d
Dampf
kondensiert
und
der
Ausgangszustand erreic
in Gl. (5), der Motor
wird als Kraftwärmemaschine genutzt. Hierbei fließt Wärme von
e) Dieselmotor
wird. Die rote Kurve in Abb. 10.63d gibt einen Teil d
einem kälteren in einen wärmeren Bereich. Man spricht von einer
Wärme-/Kältepumpe
van-der-Waals-Kurve
p(V ) für Wasserdampf an. Inn
Beim Dieselprozess (Abb. 10.63c) werden zwei isen- halb dieser Kurve können Wasserdampf und flüssig
oder -maschine, trope,
wennein
man
den Motor explizit dazu nutzt, die Wand zu heizen (in diesem
isobarer und ein isochorer Prozess durch- Wasser gleichzeitig existieren (siehe Abschn. 10.
laufen. Im Punktdie
1 wird
die Luft angesaugt
und bisBereichs
Fall hält man typischerweise
Temperatur
des kälteren
konstant)
bzw.
Links von
der Kurve
gibtwenn
es nur die flüssige Pha
zum Punkt 2 isentropisch komprimiert. Jetzt wird rechts davon nur die Gasphase.
man mit diesemDieselkraftstoff
den kälteren
Bereich der
kühlt
hält man dann die Temeingespritzt,
nicht(typischerweise
explosionsartig
verbrenntBereichs
wie beimkonstant).
Otto-Motor, In
sondern
langsamer
peratur des wärmeren
beiden
Fällen soll der Motor dazu dienen,
(es gibt keine die Explosion initiierende elektrische g) Wärme-Kraftwerke
ein Temperaturgefälle
zu verstärken.sodass
Die Kältemaschine
entzieht dem kälteren Reservoir
Zündkerzenentladung!),
das Volumen bis zum
Wärme-Kraftwerken
wirdab,
Wärme erzeugt dur
Punkt
isobar
expandiert,
die Verbrennung
die Wärmemenge
Q2 3und
gibt
an den wo
wärmeren
Bereichaufeine Ingrößere
Wärmemenge
hört. Das Volumen expandiert nun isentropisch bis zum Verbrennen von Öl, Kohle oder Gas (fossile Bren
die Wärmepumpe
hingegen
führt
dem wärmeren
Wärmemenge
Q1 zu und Die Wärmeenerg
oder durch Kernspaltung.
Punkt
4, wo das
Auslassventil
öffnet undReservoir
sich damit diestoffe)
der Druck p plötzlich auf Außendruck im Punkt 1 stammt bei den fossilen Brennstoffen aus der bei d
heizt dieses dadurch.
Oxidation freiwerdenden Reaktionswärme, die im W
erniedrigt.
14
2 Physikalische Grundlagen
2.6 Mechanische und elektrische Leistung, Wärmeäquivalente
Die mechanische Leistung Pmech ist die zeitliche Ableitung der verrichteten Arbeit. Es
gilt:
dW
F · dr
Pmech =
=
=F ·v
dt
dt
Handelt sich um eine Drehbewegung um eine Achse (z. B. bei einem Motor), die mit
der Winkelgeschwindigkeit ! und dem Radius r ausgeführt wird, gilt:
Pmech = F · v = F · ! · r = M · ! = 2⇡ · M · ⌫
⌫ ist hierbei die Frequenz der Drehung, also die Drehzahl.
Die elektrische Leistung Pel ist das Produkt aus angelegter Spannung U und fließendem Strom I:
Pel = U · I
Wird I über einen definierten ohmschen Widerstand gemessen, kann man wegen
I = U/R schreiben:
U2
Pel =
R
2.6.1 Elektrisches und mechanisches Wärmeäquivalent
Bevor das SI-System als internationales Einheitensystem festgelegt wurde, verwendete
man als Maßeinheit der Wärmemenge 1 große Kalorie = 1 kcal = 1000 cal. Dies ist
die Wärmemenge, welche benötigt wird, um 1 kg Wasser der Temperatur 14,5 °C auf
15,5 °C zu erwärmen. Erhitzt man Wasser mit einem Tauchsieder, kann man aus der
Temperaturänderung die zugeführte Wärmemenge Q bestimmen (man kann z.B. 1 kg
Wasser von 14,5 °C auf 15,5 °C erwärmen, also genau die Wärmemenge 1 kcal zuführen).
Unter Kentniss der dabei aufgwendeten elektrischen Energie Wel kann man daraus das
elektrische Wärmeäquivalent WÄel errechnen (Wert entnommen aus [3], S. 291):
WÄel =
Q [cal]
cal
= 0, 23885
Wel [W · s]
W·s
Man erhält dadurch einen Umrechnungsfaktor zwischen der den Einheiten Kalorien
15
3 Versuchsdurchführung „Heißluftmotor“
und W s. Analog dazu ist das mechanische Wärmeäquivaltent WÄmech definiert:
WÄmech =
Q [cal]
cal
= 0, 23885
Wmech [N · m]
N·m
Wmech ist hierbei mechanische Arbeit, die geleistet wurde, um Wasser zu erwärmen (z.b. Reibung an einem Wasserbehältnis mit hoher Wärmeleitfähigkeit). Da im
SI-System 1 W·s = 1 N·m = 1 J ist, gilt WÄel = WÄmech .
3 Versuchsdurchführung „Heißluftmotor“
3.1 Aufbau
Das zentrale Element des Versuchsaufbaus war ein kompakter Heißluftmotor (StirlingMotor) mit pV -Sensorbox, Motor- bzw. Generator-Einheit und Drehmomentmesser.
Siehe hierzu Abbildung 7. Die Sensorbox war mit einem PC verbunden und ließ sich
mit der Cassy Lab-Software auslesen. Der Zylinder des Motors war mit zwei dünnen
Thermoelement-Messfühlern am vorderen und hinteren Teil ausgestattet, welche an ein
Digital-Thermometer gekoppelt waren. Zudem stand ein Multimeter zur Strom- und
Spannunsmessung, ein variabler Widerstand, sowie eine mechanische Stoppuhr bereit.
Mit einem einfachen Spiritusbrenner ließ sich außerdem der hintere Teil des Zylinders
erhitzen.
Abbildung 7: Beispielhafter Aufbau des Heißluftmotors. Entnommen aus [2], selbstständig verändert.
16
3 Versuchsdurchführung „Heißluftmotor“
3.2 Ablauf
Als erstes notierten wir den aktuell-herrschenden Luftdruck in den Versuchsräumlichkeiten.
Im ersten Versuchsteil verwendeten wir den Stirling-Motor als Kältemaschiene bzw.
Wärmepumpe. Hierzu verbanden wir die externe Motoreinheit über einen Riemen mit
dem Stirling-Motor und nahmen mehrere pV -Diagramme auf, sobald sich eine möglichst konstante Temperatur eingestellt hatte. Zudem notierten wir die Drehzahl ⌫, sowie
Betriebsspannung U und Stromstärke I des externen Motors.
Im zweiten Versuchsteil verwendeten wir den Motor als Wärmekraftmaschine. Dazu
montierten wir die Skala zur Messung des Drehmoments und entfernten die Motor/Generator-Einheit. Daraufhin zündeten wir den zuvor gewogenen Spiritusbrenner, gleichzeitig starteten wir auch die Stoppuhr und heizten den hinteren Teil des Zylinders, bis
sich wiederum eine konstante Temeratur eingependelt hatte. Durch die Erhitzung nahm
die Wärmekraftmaschine ihre Arbeit auf und wir speicherten mehrere pV -Diagramme
und notierten die Drehzahl. Als nächstes montierten wir den Drehmomentmesser. Hierbei
1
zogen wir die Schraube so fest, dass sich die Drehzahl auf ungefähr 500 min verringerte. Wir nahmen schließlich die beiden Temperaturwerte T1 und T2 , die Drehzahl und
das wirkende Drehmoment M sowie mehrere pV -Diagramme auf. Danach bestimmten
wir die mechanischen Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl . Hierzu belasteten
wir die Maschine mit 10 verschiedenen Drehmomenten und notierten die resultierdenen Drehzahlen. Zuletzt bestimmten wir noch die elektrische Leistung in Abhängigkeit
zur Drehzahl. Dabei ersetzten wir die Drehmomentmessvorrichtung wieder durch die
Motor-/Generator-Einheit, welche nun als Generator fungieren sollte. Den Stromkreis
belasteten wir außerdem noch mit dem variablen Widerstand. Daraufhin bestimmten
wir die Motorspannungen, sowie die Drehzahlen für 10 verschiedene Widerstände zwischen 300 ⌦-10 ⌦. Zuletzt wogen wir den Spiritusbrenner erneut.
Die Messwerte sind dem Messprotokoll zu entnehmen.
17
4 Auswertung „Heißluftmotor“
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Zur Auswertung des Versuchs werden wir zunächst die Stoffmenge des am Versuchsablauf beteiligten Gases bestimmen. Daraufhin werden wir uns den aufgenommenen pV Diagramme widmen und dann den Betrieb als Kälte- und Wärmekraftmaschine genau
beleuchten. Hierzu werden wir jeweils verschiedene Wirkunsggrade berechnen. Zum Abschluss werden wir noch das Verhalten der mechanischen und elektrischen Leistung in
Beziehung zur Drehzahl betrachten.
4.1 Stoffmenge und pV -Diagramme
Die am Kreisprozess beteiligte Stoffmenge das Gases ergibt sich unter Annahme eines
ideales Gases aus Gl. (1):
pV
RT
Die Werte für p und V lassen sich aus den aufgezeichneten Diagrammen ablesen. Da
wir die Diagramme in drei verschiedenen Variationen aufgenommen haben und sich aus
jedem Diagramm jeweils die Kombinationen (Tmax , pmax , Vmin ) und (Tmin , pmin , Vmax )
herauslesen lassen, erhalten wir 6 Werte für n. Diese sind zusammen mit dem Mittelwert
und der Standardabweichung in Tabelle 1 aufgeführt. Da der Volumen-und der Drucksensor jeweils nur Spannungswerte UV , Up aufgenommen hat, müssen diese noch in die
richtigen Größen umgerechnet werden. Die Formeln hierzu sind in der Versuchsanleitung
([5]) angegeben mit:
n=
1 cm3
V = 32 cm +
· UV
50 mV
1 hP a
p = pLabor +
· Up
2 mV
3
Wobei wir zur Versuchszeit pLabor = 956, 5 hPa gemessen haben.
18
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Kombination
Tmax , pmax , Vmin
Tmin , pmin , Vmax
1
2
3
1
2
3
Temperatur [K]
303,15
410,75
440,15
290,35
340,15
334,65
Druck [hPa]
1140,5
1149,0
1161,5
798,0
792,0
775,5
Volumen [cm3 ]
32,04
32,04
32,04
44,28
44,28
44,30
Mittelwert
STABW
Stoffmenge [mol]
0,0014
0,0011
0,0010
0,0015
0,0012
0,0012
0,0012
0,0002
Tabelle 1: Die bestimmten Stoffmengen aus den aufgenommenen Diagrammen für Kältema-
schine, unbelastete und belastete Wärmekraftmaschine sowie der berechnete Mittelwert samt Standardabweichung.
Mit Hilfe der berechneten Stoffmenge und der idealen Gasgleichung (1) lässt sich nun
der ideale Verlauf des Stirling-Prozesses bestimmen. Diesen Verlauf haben wir zusammen mit unseren Messwerten für alle drei Gebrauchsweisen des Motors in Abbildung 8
bis 10 dargestellt.
Abbildung 8: Die umgerechneten Messwerte und der ideale Verlauf des Kreisprozesses der
Kältemaschine. Erstellt mit QtiPlot.
19
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Abbildung 9: Die umgerechneten Messwerte und der ideale Verlauf des Kreisprozesses der
unbelasteten Wärmemaschine. Erstellt mit QtiPlot.
Abbildung 10: Die umgerechneten Messwerte und der ideale Verlauf des Kreisprozesses der
belasteten Wärmemaschine. Erstellt mit QtiPlot.
20
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Alle gemessenen Verläufe ähneln sich in ihrer abgerundeten Form. Sie unterscheiden
sich zum Teil sehr deutlich von dem idealen Verlauf. Die Abweichungen kommen unter
anderm durch störende Effekte wie Reibung und Wärmeverluste zustande. Auch müssen wir davon ausgehen, dass die Temperatur während der Messung nicht durchgehend
konstant war. Die real geleistete Arbeit (eingeschlossene Fläche) ist im Kältemaschinenbetrieb in etwa so groß wie die des idealen Kreisprozesses. Im Betrieb als Wärmemaschine
ist die geleistete Arbeit und somit die Leistung des Motor ein gutes Stück geringer als
der Theoriewert.
Die gemessenen Verläufe für die unbelastete und belastete Wärmemaschine entsprechen
in etwa unseren Erwartungen. Der Verlauf der Kältemaschine weicht jedoch vom Druck
her sehr stark vom idealen Verlauf ab. Dies hängt damit zusammen, dass wir den gemittelten Wert für die Stoffmenge verwendet haben, im Kältemaschinenbetrieb war diese
jedoch deutlich größer als der Mittelwert.
4.2 Betrieb als Kältemaschine
Um später den idealen, elektrischen und thermodynamischen Wirkungsgrad berechnen
zu können, benötigen wir zunächst einige Größen, welche wir nun bestimmen und in
Tabelle 2 zusammenfassen.
Für den elektrischen Wirkunsgrad benötigen wir die aufgewendete Arbeit Wel des externen Elektromotors. Diese erhalten wir mit folgender Formel:
UI
⌫
Die einzelnen Werte für U , I und ⌫ sowie deren Fehler sind im Messprotokoll zu finden.
Für den Gesamtfehler erhalten wir nach Fehlerfortpflanzung folgende Formel:
Wel = Pel · t =
Wel =
I
U
UI
U+
I+ 2 ⌫
⌫
⌫
⌫
Der ideale Wirkungsgrad lässt sich später aus der aufgewendeten Arbeit Wideal und der
an der kalten Seite entzogenen Wärme Qideal des idealen Stirlingsprozesses errechnen.
Die Arbeit erhalten wir nach Gl. (5) mit (da diese Gl. auf ein 1 mol normiert ist, muss
noch mit n multipliziert werden):
21
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Wideal =
nR T · ln
✓
Vmax
Vmin
◆
(7)
Prinzipiell sind alle hier vorhandenen Größen
⇣
⌘fehlerbelastet. Um die Rechnung jedoch
Vmax
zu vereinfachen, nehmen wir für R und ln Vmin keinen Fehler an, da diese im Vergleich
zu den anderen Fehler sehr gering sind. Der Fehler ergibt sich somit zu:
Wideal = R T · ln
✓
Vmax
Vmin
◆
n + nR · ln
✓
Vmax
Vmin
◆
T
(8)
Die an der oberen Isotherme entzogene Wärme lässt sich folgendermaßen berechnen:
Qideal = nRT1 · ln
✓
V2
V1
◆
(9)
Wobei T1 die Temperatur der oberen Isotherme ist. Der Fehler berechnet sich analog
zu Gleichung 8.
Als letztes bestimmen wir noch die im realen Prozess aufgewendete Arbeit W ⇤ und
entzogene Wärme Q⇤ . Diese erhalten wir durch numerische Integration über einen Zyklus
mit dem Programm StirlingCalculator 1.1.1.
Aus den Werten lassen sich nun die Wirkungsgrade bestimmen:
⌘ideal =
⌘real =
⌘el =
Qideal
Wideal
Q⇤
W⇤
Q⇤
Wel
Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 aufgeführt.
Q [J]
Ideal
1,02
Real
1,09
Elektrisch 1,09
Q [J] W [J]
0,22 -0,04
-0,04
0,33
W [J]
⌘
0,01
24,77
31,14
0,04
3,35
⌘
11,27
0,36
Tabelle 2: Die berechneten Größen und die daraus resultierenden Wirkungsgrade.
22
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Die Ergebnisse, die wir erhalten haben, können wir nur bedingt als gelungen ansehen.
Zu erwarten wäre ein deutlich kleinerer reale Wirkungsgrad, was jedoch nicht unserem
Ergebnis entspricht. Es zeigt sich, dass der ideale Wert mit einem sehr großen Fehler behaftet ist. Für den realen Wert konnten wir leider keinen Fehler explizit angeben, jedoch
ist diese Größe auch fehlerbehaftet. Die falschen Ergebnisse können also mit großen Messungenauigkeiten und Temperaturschwankungen erklärt werden. Das Ergebniss für den
elektrischen Wirkungsgrad scheint plausibel, da er im Vergleich zu den anderen beiden
wie erwartet am geringsten ist.
4.3 Betrieb als Wärmekraftmachine
Auch hier benötigen wir für die Berechnung der Wirkungsgrade die entsprechenden
Größen. Die Ergebnisse sind in Tabelle (3) niedergeschrieben.
Als erstes bestimmen wir die mittlere Heizleistung PH des verwendeten Brenners. Die
verbauchte Menge Ethanol betrug m = 23, 2 ± 0, 1 g, die Heizdauer t = 4188 ± 5 s.
Der Heizwert von Ethanol entnehmen wir aus der Versuchsanleitung: H = 27 MJ/Kg.
Die mittlere Heizleistung berechnet sich dann zu:
PH =
PH =
mH
t
✓
H
m+
t
m
t
t
◆
Hieraus lässt sich aufgewendete Wärmeenergie pro Zyklus bestimmen:
PH
⌫
PH PH
=
+ 2 ⌫
⌫
⌫
QH =
QH
Die zugeführte Wärme und die verrichtete Arbeit des idealen Kreisprozesses lassen sich
analog zu Gl. (9) und (7) berechnen. Auch die Fehler berechnen wir analog. Man muss
jedoch beachten, dass sich in den Gleichungen jeweils das Vorzeichen umdreht. Die realen
Pendants berechnen wir wieder numerisch mit der oben genannten Software.
23
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Zuletzt wird noch die geleistete mechanische Arbeit Wmech benötigt. Diese erhalten wir
mit dem Drehmoment M über folgenden Zusammenhang:
Wmech = 2⇡M
Wmech = 2⇡ M
Die Wirkungsgrade lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:
⌘ideal =
⌘real =
⌘mech =
⌘H =
⌘gesamt =
Wideal
Qideal
W⇤
Q⇤
Wmech
Q⇤
W⇤
WH
Wmech
WH
Wobei ⌘H den thermischen Wirkungsgrad bezeichnet. Die Ergebnisse sind in Tabelle
(3) zusammengefasst.
Q [J]
Ideal
-1,378
Real
-1,177
Mechanisch -1,177
Thermisch -9,650
Gesamt
-9,650
Q [J] W [J]
0,302 0,237
0,125
0,069
0,364 0,125
0,364 0,069
W [J]
0,008
0,003
0,003
⌘
0,172
0,106
0,059
0,013
0,007
⌘
0,043
0,002
0,000
0,001
Tabelle 3: Die berechneten Größen und die daraus resultierenden Wirkungsgrade.
Es zeigt sich also eine kontinuierliche Abstufung der Wirkungsgrade. Dies war auch
zu erwarten. Somit stellt sich heraus, dass der Gesamtwirkungsgrad der Wärmekraftmaschine äußerst gering ist. Die Exaktheit der einzelnen Werte darf jedoch angezweifelt
werden, da wir auch hier mit Temeraturschwankungen zu kämpfen hatten. Allgemein
können wir diesen Versuchsteil allerdings als gelungen werten.
24
4 Auswertung „Heißluftmotor“
4.4 Mechanische und elektrische Leistung
Aus den im Messprotokoll mit 2.11 gekennzeichneten Werten lässt sich die mechanische
Leistung in Beziehung zum Drehmoment berechnen. Die Formel hierfür lautet:
Pmech = 2⇡M ⌫
Pmech = 2⇡ ( M + ⌫)
Wobei wir die Fehler wie folgt abgeschätzt haben: M = 5 Nm und ⌫ = 5 U/min.
Die Ergebnisse sind in Tabelle 4 aufgelistet und in Abbildung 11 visualisiert.
Die elektrische Leistung wird aus der zugehörigen Messreihe über folgenden Zusammenhang berechnet:
U2
R
2U
=
U
R
Pel =
Pel
Wobei wir für U = 0, 05 V angenommen haben. Die berechneten Werte sind in Tabelle
5 dargeboten und in Abbildung 12 dargestellt.
Drehzahl [U/min]
868
864
655
595
527
486
426
385
300
285
M [mNm]
5
6
7,5
9
10
11
12
13
14
15
Pmech [W]
0,454
0,543
0,514
0,561
0,552
0,560
0,535
0,524
0,440
0,448
Pmech [W]
0,0484
0,0481
0,0382
0,0359
0,0328
0,0312
0,0286
0,0270
0,0230
0,0228
Tabelle 4: Die aufgenommenen Messwerte samt der berechneten Leistung.
25
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Abbildung 11: Die erechnete Leistung aufgetragen über der Drehzahl. Erstellt mit QtiPlot.
Widerstand [⌦]
300
250
200
150
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Spannung [V]
3,3
3,27
3,1
2,7
2,3
2,4
2,2
2,05
1,98
1,84
1,66
1,34
1,08
0,67
Drehzahl [U/min]
500
500
485
445
425
425
417
407
401
393
375
357
330
290
Pel [W]
0,036
0,043
0,048
0,049
0,053
0,064
0,061
0,060
0,065
0,068
0,069
0,060
0,058
0,045
Pel [W]
0,001
0,001
0,002
0,002
0,002
0,003
0,003
0,003
0,003
0,004
0,004
0,004
0,005
0,007
Tabelle 5: Die aufgenommenen Messwerte samt der berechneten Leistung.
26
4 Auswertung „Heißluftmotor“
Abbildung 12: Die erechnete Leistung aufgetragen über der Drehzahl. Erstellt mit QtiPlot.
Die beiden Leistungs-Schaubilder zeigen deutlich, dass die Drehzahl keinen linearen
Einfluss auf die jeweilige Leistung hat. Da unsere Werte jedoch relativ stark fluktoieren, können wir kein explizites Leistungsmaximum angeben. Auch erkennt man, dass
die mechanische Leistung um mehr als eine Zehnerpotenz größer ist als die elektrische
Leistung. Prinzipiell müssen wir aber auch zugeben, dass die einzelnen Werte mit einer
großen Ungenauigkeit behaftet sind - weit größer, als angegeben. Bereits während der
Messung fiel es uns sehr schwer, genaue Messwerte aufzunehmen (sehr stark schwankende
Drehzahlanzeige).
4.5 Fehlerdiskussion
Prinzipiell können wir mit dem Versuch weitgehend zufrieden sein. Die erhaltene Stoffmenge erscheint der Größenordnung nach realistisch. Die einzelnen Werte unterscheiden sich allerdings deutlich. Die pV - Diagramme stimmen in etwa mit den Erwartungen
überein, lediglich das Diagramm der Kältemaschine weicht ein ganzes Stück vom idealen
Verlauf ab. Dies ist damit zu erklären, dass wir die gemittelte Stoffmenge für den idealen
27
5 Versuchsdurchführung „Kritischer Punkt“
Verlauf verwendet haben. Hätten wir an dieser Stelle die mit der Kältemaschine ermittelte Stoffmenge verwendet, so wäre die Diskrepanz geringer ausgefallen. Unabhängig
davon ist unser realer Wirkungsgrad größer als der ideale Wirkungsgrad. Hier muss also
ein systematischer Fehler vorliegen. Die Ergebnisse der Wärmekraftmaschine sehen wir
dafür für äußerst gelungen an. Dahingehend offenbaren die beiden Leistungs-Diagramme
deutliche Schwankungen der Messwerte. Hier muss wohl von erheblich größeren Fehler
ausgegangen werden. Allgemeine Fehlerquellen während des gesammten Versuchs waren
besonders nicht zu vermeidende Temperaturschwankungen und Reibungsverluste sowie
die stark schwankende Drehzahlanzeige.
5 Versuchsdurchführung „Kritischer Punkt“
5.1 Aufbau
Der Versuch bestand aus einem Kompaktaufbau mit einer transparenten, volumenkalibrierten Kompressionskapillare, welche mit SF6 befüllt war (siehe Abbildung 13). Daran
war ein Druckerzeugungssystem mit einer Quecksilbersäule gekoppelt. Der Druck lies
sich über ein mechanisches Zeigermanometer ablesen. Zudem war die Kompressionskapillare von einem Berstbehälter mit Wasserfüllung umgeben, wodurch wir in der Lage
waren, die Temperatur zu regeln. Mit einer Umwälzpumpe, einer einschaltbaren Kühlung und einer Heizvorrichtung lies sich die gewünschte Temperatur einstellen. Diese
wurde anhand eines digitalen Thermomenters am Berstbehälter angezeigt.
28
5 Versuchsdurchführung „Kritischer Punkt“
Abbildung 13: Foto des Versuchsaufbaus.
5.2 Ablauf
Nachdem das System auf ca. 5°C heruntergekühlt worden war, begannen wir für 14
verschiedene Temperaturen im Bereich 0°C < T 55°C nacheinander die Isotherme
aufzunehmen. Dazu komprimierten wir mittels der Quecksilbersäule das Volumen des
Schwefelhexafluorids und nahmen die Werte für Volumen und Druck auf. Dabei maßen
wir in 0,5 ml-Volumenschritten bis zum Einsetzen der Verflüssigung, danach in 0,1 mlSchritten. Die Messwerte sind im Messprotokoll aufgeführt.
29
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
Für die Auswertung des Versuchs werden wir uns zunächst mit den pV -Diagrammen beschäftigen. Daraufhin werden wir mit den ausgelesenen Werten des kritischen Punktes
die Van der Waals-Konstanten sowie Stoffmenge und Inversionstemperatur berechnen. Zum Abschluss betrachten wir noch die Dampfdruckkurve von Schwefelhexafluorid.
6.1 pV -Diagramm des kritischen Punkts
Die gemessenen Werte lassen sich in einem pV -Diagramm darstellen (Abbildung 14
und 15). Das Augenmerk liegt auf den Messwerten des kritischen Punktes, welchen
wir während des Versuchs bei einer Temeratur von TKrit = 45° C festgestellt haben. Die
Ungenauigkeit haben wir mit T = 0, 5° C betitelt. Für die übrigen charakteristischen
Werte des kritischen Punktes erhalten wir mit abgeschätzten Messfehlern:
pKrit = 39, 4 ± 1 bar
VKrit = 0, 3 ± 0, 05 ml
30
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
Abbildung 14: Die gemessenen pV -Diagramme. Erstellt mit QtiPlot.
Abbildung 15: Die gemessenen pV -Diagramme für Temperaturen um den kritischen Punkt.
Erstellt mit QtiPlot.
31
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
6.2 Van der Waals-Konstanten, Stoffmenge und
Inversionstemperatur
Um die Van der Waals-Konstanten zu berechnen, lösen wir Gl. (3) nach p auf und
erhalten mit Vm = Vn :
p(Vm , T ) =
RT
Vm
b
a
Vm2
Da es sich beim kritischen Punkt um einen Wendepunkt der obigen Funktion handelt,
muss gelten:
@p
RT
2a
=
+ 3 =0
2
@Vm
(Vm b)
Vm
2
@ p
2RT
6a
=
=0
2
3
@Vm
(Vm b)
Vm4
Aufgelöst nach T und die Gleichungen ineinander eigesetzt erhält man
2a(Vm b)2
3a(Vm b)3
=
RVm3
RVm4
) Vm = 3b
8a
)T =
27Rb
a
)p =
27b2
Daraus lassen sich nun durch Einsetzen die Formeln für a und b ableiten:
27 R2 T 2
a =
64 p
1 RT
b =
8 p
Für die Fehler gilt:
✓
◆
2 T
p
a = |a| ·
+
T
p
✓
◆
T
p
b = |b| ·
+
T
p
32
(10)
(11)
(12)
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
Wir erhalten schlussendlich, wobei wir die Temperatur und den Druck zuvor in Pascal
und Kelvin umgerechnet haben:
m3 ·Pa
mol2
m3
b = 8, 392 ± 0, 226 10 5
mol
a = 0, 749 ± 0, 021
Aus den berechneten Werten lässt sich auch die Stoffmenge n des in der Kompressionskapillaren enthaltenen SF6 bestimmen:
V
V
=
Vm
3b
V
V b
n =
+ 2
3b
3b
n =
Wir erhalten somit:
n = 1, 19 ± 0, 23 mmol
Auch lässt sich die den Van der Waals-Konstanten die Inversionstemperatur bestimmen. Nach Abschnitt 2.4 gilt:
2a
bR ✓
◆
a
b
= |T1 |
+
a
b
T1 =
T1
Wir erhalten:
T1 = 2147, 5 ± 119, 1 K
33
6 Auswertung „Kritischer Punkt“
6.3 Dampfdruckkurve
Der Dampfdurck, also der Druck, bei dem eine Flüssigkeit zu sieden beginnt, ist genau der Durckwert der Maxwell-Geraden. Diese Werte sind in unserem Messprotokoll
fett gedruckt. Aufgetragen über der Temeratur ergbit sich die Dampfdruckkurve für
SF6 (Abbildung 16). Diese Kurve stellt gleichzeitig ein Phasendiagramm dar. Der Bereich oberhalb der Kurve repräsentiert den gasförmigen Aggregatzusatand, unterhalb
der Kurve wird der flüssige Zustand dargestellt.
Abbildung 16: Die Dampfdruckkurve von SF6 . Erstellt mit QtiPlot.
6.4 Fehlerdiskussion
Im Allgemeinen können wir mit den Ergebnissen des Versuchs zufrieden sein. Die Literaturwerte für Tkrit , Vkrit , pkrit sind nach [1]: Tkrit = 45, 55° C, Vkrit = 197, 4 ml/mol,
pkrit = 3, 76 MPa. Damit ergeben sich folgende Diskrepanzen: Tkrit = 0, 55° C, Vkrit =
0, 065 ml, pkrit = 1, 8 bar. Diese sind allesamt etwas größer als die angenommenen
Fehler, jedoch duchaus akzeptabel.
34
7 Fragen und Aufgaben „Heißluftmotor“
Auffällig ist die sehr hohe Inversionstemperatur, wodurch der Joule-ThomsonEffekt bei unseren Temperaturen greift. Man könnte also SF6 unter Verwendung des
Linde-Verfahrens verflüssigen.
Als Hauptfehlerquellen sind während des gesamten Versuchs die Ableseungenauigkeiten und Schwierigkeiten bei der Temeraturregelung zu nennen (die Temperatur des
System könnte während einer Messung nie vollständig konstant gehalten werden, wir
erhalten deshalb nur näherungsweise Isothermen). Auch hatten wir mit schwankenden
Ausschlägen des Manometers bei hohen Drücken zu kämpfen. Insgesamt sehen wir den
Versuch als gelungen an.
7 Fragen und Aufgaben „Heißluftmotor“
1. Beschreiben Sie anhand des p-V-Diagramms die Funktionsweise des „Heißluftmotors“
a) als Wärmepumpe und
b) als Kältemaschine.
Welchen Umlaufsinn hat die durchlaufene Kurve jeweils?
S. Abschnitt 2.5.2.1.
2. Was versteht man unter einem „Perpetum mobile zweiter Art? Formulieren Sie
den 2. Hauptsatz der Wärmelehre unter Verwendung der Begriffe
a) „Perpetuum mobile zweiter Art“
Ein Perpetuum mobile zweiter Art ist eine periodisch arbeitende Maschine,
welche Wärme aus einem Reservoir entnimmt und diese vollständig in mechanische Energie umwandelt (z.B. ein Schiff, das ausschließlich durch Wärmeentnahme aus dem Meer angetrieben wird, Bsp. entnommen aus [3], S.
35
7 Fragen und Aufgaben „Heißluftmotor“
323). Die Existenz eines solchen Gerätes wird durch den 2. Hauptsatzes ausgeschlossen, dieser kann daher auch wie folgt formuliert werden: „Es existiert
ken Perpetuum mobile zweiter Art.“ ([3], S. 232).
b) Entropie
Die Entropie S ist definiert durch die auf einem infinitesimalen Teilstück
eines Kreisproszesses aufgenommene/abgegebene Wärmemenge:
dS =
dQ
T
Die Änderung S der Entropie in einem System ist nicht abhängig vom Weg,
welchen das System bei der Zustandsänderung durchläuft. Bei reversiblen
Kreisprozessen ist S deshalb unabhängig von der Umlaufrichtung des p-VDiagramms. Beim Carnotschen Kreisprozess gilt:
S=
Q
V2
= ±R · ln
T
V1
Wegen Q1 /T =
Q2 /T folgt: S = 0. Diese Aussage lässt sich auf alle
reversiblen Kreisprozesse verallgemeinern, und besagt, dass die Entropie bei
solchen Konstant ist. Dies ist eine äquivalente Formulierung des 2. Hauptsatzes.
3. Wie hoch sind die typischen Wirkungsgrade gebräuchlicher Automotoren ( Otto-,
Diesel-Motor)? Vergleichen Sie diese mit dem Wirkungsgrad eines StilringMotors.
Der Wirkungsgrad eines Otto-Motors übersteigt kaum 38%, der eines DieselMotors liegt bei max. 38%. Mit einem Stirling-Motor könnte man bei sehr hohen
Temperaturen zwar höhere Wirkungsgrade erzielen, jedoch muss dann eine sehr gute Isolierung vorliegen, um Wärmeleitung nach außen zu vermeiden, u.a. deshalb
kommt der Stirling-Motor z.B. in PKWs nicht zum Einsatz.
4. Finden Sie einen Weg, das Integral in Gl. (4) auf die numerisch berechnbaren
36
8 Fragen und Aufgaben „Kritischer Punkt“
Integrale
max
U
ˆx
Uxmin
Uy · dUx ,
˛
Uy · dUx
zurückzuführen.
Folgende Umformungen sind sowohl mit auch als auch ohne Integralgrenzen gültig
und führen daher auf beide Integrale. Es gilt:
˛
p dV
˛ ✓
◆
p
=
· Uy + p0 dV
U
✓
◆
˛
p
V
=
· Uy + p0
dUx
U
U
˛
˛
p V
=
· Uy dUx + p0 ·
U U
˛
p V
=
· Uy dUx
U U
˛
p V
=
· Uy dUx
U U
V
dUx
U
5. Der Wirkungsgrad des Stirling-Motors kann mit einem technischen Trick maximiert werden. Im Idealfall nimmt er dann den Wirkungsgrad des CarnotProzesses an. Wie könnte der Trick funktionieren?
S. Abschnitt 2.5.2.1.
8 Fragen und Aufgaben „Kritischer Punkt“
1. Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen den kritischen Größen und den
van der Waals-Koeffizienten. Leiten Sie ausgehend von der van der Waals-
37
8 Fragen und Aufgaben „Kritischer Punkt“
Gl. (3) die folgenden Beziehungen her:
8
27
1
=
27
= 3b
Tkrit =
pkrit
Vkrit, m
a
R·b
a
· 2
b
·
S. Abschnitt 6.2, Gl. (10) - (12).
2. Berechnen Sie die innere Energie eines van der Waals-Gases in Abhängigkeit
von Temperatur und Volumen bei konstanter Teilchenzahl. Zeigen Sie dann, dass
insbesondere die isotherme partielle Ableitung der inneren Energie eines van der
Waals-Gases nach dem Volumen gleich dem Binnendruck dieses Gases ist.
Die innere Energie U eines Gases setzt sich zusammen aus der kinetischen und
der potentiellen Energie der Gasteilchen: U = Ekin + Epot . Nach Abschnitt 2.4 gilt:
Ekin = 12 f · R · T , Epot = a/Vm . Es folgt:
1
U = f ·R·T
2
a
Vm
=)
@U
a
= 2
@Vm
Vm
3. Leiten Sie eine Beziehung zwischen den van der Waals-Konstanten a und b und
den beiden Inversionstemperaturen des Joule-Thomson-Effekts her.
S. Abschnitt 2.4.
4. Welchem Teil der van der Waals-Kurven entsprechen keine realen Zustände?
Erläutern Sie die Bedeutung der Maxwell-Geraden.
S. Abschnitt 2.2.2.1.
38
Literatur
9 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Isothermenschaar nach der van der Waals-Gl.
Phasendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnotscher Kreisprozess . . . . . . . . . . . .
Bilanz des Carnotsches Kreisprozesses . . . .
Stirlingscher Kreisprozess . . . . . . . . . . .
Schema Stirling-Motor . . . . . . . . . . . . .
Aufbau Heißluftmotor . . . . . . . . . . . . . .
Diagramm Kältemaschine . . . . . . . . . . . .
Diagramm Wärmekraftmaschine unbelastet . . .
Diagramm Wärmekraftmaschine belastet . . . .
Ergebnisse mech. Leistung . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse el. Leistung 2 . . . . . . . . . . . . .
Aufbau Kritische Punkt . . . . . . . . . . . . .
Kritischer Punkt 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Kritischer Punkt 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
7
11
12
13
14
16
19
20
20
26
27
29
31
31
34
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19
22
24
25
26
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
Stoffmenge . . . . . . . . . . . . .
Auswertung Kältemaschine . . . .
Auswertung Wärmekraftmaschine
Ergebnisse mech. Leistung . . . .
Ergebnisse el. Leistung 1 . . . . .
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Literatur
[1] Schwefelhexaflourid.
http://de.wikipedia.org/wiki/Schwefelhexafluorid.
Entnommen am 18.12.11.
39
Literatur
[2] Stirling-Motor mit Cobra3.
Stirlingmotor-mit-Cobra3-.htm.
nommen am 18.21.11.
Literatur
http://www.phywe.de/51/pid/26393/
Diente ausschließlich als Bildquelle. Ent-
[3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 5. Auflage, 2008.
[4] Meschede, Dieter: Gerthsen Physik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 24. Auflage, 2001.
[5] Runge, Bernd-Uwe: Heißluftmotor. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 26.11.2011.
[6] Runge, Bernd-Uwe: Kritischer Punkt. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 26.11.2011.
40