Ubungen zur Mathematischen Logik - Mathematisches Institut der

Mathematisches Institut
der Universität Bonn
S. Geschke, B. Irrgang
SoSe 2010
23. 06. 2010
Blatt 9
Übungen zur Mathematischen Logik
Sei τ ein Vokabular. Eine Formel ohne Quantoren heißt Π00 - bzw. Σ00 -Formel.
Definiere rekursiv: Eine Formel ∃x1 . . . ∃xn ϕ heißt Σ0n+1 -Formel, wenn ϕ eine
Π0n -Formel ist. Eine Formel ∀x1 . . . ∀xn ϕ heißt Π0n+1 -Formel, wenn ϕ eine Σ0n Formel ist.
Eine Klasse K von τ -Strukturen heiße abgeschlossen unter Substrukturen,
wenn mit jedem A ∈ K auch alle Substrukturen B ≤ A Elemente von K
sind.
Eine Folge (An | n ∈ N) von τ -Strukturen mit
A0 ≤ A1 ≤ . . . ≤ An ≤
heißt Kette. Eine Klasse K von τ -Strukturen heißt abgeschlossen
unter KetS
ten, wenn für alle Ketten (An | n ∈ N) mit An ∈ K auch n∈N An ∈ K ist.
33. (a) Zeigen Sie: Ist T eine Menge von Π01 -Aussagen, so ist M od(T ) abgeschlossen unter Substrukturen.
(b) Geben Sie jeweils ein Vokabular τ und Theorien T an, so dass M od(T )
(1) unter Substrukturen und unter Ketten, (2) unter Ketten aber nicht unter
Substrukturen, (3) weder unter Substrukturen noch unter Ketten abgeschlossen ist. Verwenden Sie Beispiele aus der Algebra und Ordnungstheorie.
34. Zeigen Sie: Ist T eine Menge von Π02 -Aussagen, so ist M od(T ) abgeschlossen unter Ketten.
35. Sei A ein beliebiges Modell der Peano-Arithmetik P A. Zeigen Sie, dass
dann (N, 0,0 , +, ·, <) ≤ A ist. Folgern Sie daraus, dass für alle Σ01 -Aussagen
ϕ P A ` ϕ und (N, 0,0 , +, ·, <) |= ϕ äquivalent sind.
36. Zeigen Sie: Eine unendliche Menge R ⊆ N ist genau dann entscheidbar,
wenn es eine streng monoton wachsende, berechenbare Funktion F : N → N
gibt mit rng(F ) = R.
Jede Aufgabe wird mit 8 Punkten bewertet.
Abgabe: am 30. 06. 2010 vor der Vorlesung