Übungsblatt 5 - math.uni

Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie
Tabea Beese
Prof. Dr. Benedikt Löwe
Ilya Sharankou, Dipl.-Math.
Übungsblatt 5
Abgabe am 5. Mai 2015 am Anfang der Vorlesung.
Aufgabe 1 (Substrukturen; 3 Punkte) Seien A, A1 S-Strukturen, A „ A1 und t ein Term
mit var ptq „ tv0 , . . . , vn u und b0 , . . . , bn P A1 . Wir erinnern uns, wir in der Vorlesung gezeigt
hatten, dass
b0
bn
b0
bn
1
A, β . . .
ptq A , β v . . . v ptq .
v0
vn
0
n
Eine Formel φ heißt quantorenfrei, falls in φ keine Quantoren vorkommen.
1. Ist φ pv0 , . . . , vn q eine quantorenfreie S-Formel, so gilt
A |ù φ rb0 , . . . , bn s
ðñ
2. Geben Sie ein Beispiel von Strukturen A
A ( φ aber A1 * φ.
A1
|ù φ rb0 , . . . , bn s
„ A1 und einem universellen Satz φ P LS
mit
3. Wir sagen dass eine Formel φ P LS unter Substrukturen erhalten bleibt, falls für alle
Strukturen A, A1 und alle A1 -Belegungen β gilt
falls A „ A1 so A1 , β
|ù φ ùñ pA, β q |ù φ.
Geben Sie ein Beispiel einer Formel an, die die Zeichen und @ enthält, aber nicht D, und
die unter Substrukturen erhalten bleibt.
Aufgabe 2 (Hornsätze; 4 Punkte) Wir definieren eine Teilmenge der Formeln, die Menge
der so genannten Hornformeln durch Induktion:
• Sind φ1 , . . . , φn , φ atomar, so sind pp. . . p φ1 _ φ2 q _ . . . _ φn q _ φq und
p. . . p φ1 _ φ2 q _ . . . _ φn q Hornformeln;
• Sind φ, ψ Hornformeln, so sind auch pφ ^ ψ q und @φ und Dφ Hornformeln.
Ein Satz, der eine Hornformel ist, nennt man auch einen Hornsatz.
Man zeige:
1. Ist φ ein Hornsatz und sind A, A1 ein Modelle von φ so auch A A1
von direkten Produkten aus Übungsblatt 3, Aufgabe 4.
|ù φ. Für die Definition
2. Für die Theorie der Körper gibt es kein Axiomensystem, welches nur aus Hornsätzen
besteht.
1
Aufgabe 3 (Elementare Definierbarkeit; 4 Punkte)
Man zeige:
1. In pR, , , 0q ist die Kleiner-Beziehung elementar definierbar, d.h. es gibt ein φ pv0 , v1 q P
Lt ,,0u mit freien Variablen v0 , v1 , so dass für alle a, b P R gilt pR, , , 0q |ù φ ra, bs gdw.
a b.
2. In pR, , 0q ist die Kleiner-Beziehung
nicht elementar definierbar.
p
q
(Hinweis. Finden Sie einen geeigneten Automorphismus von R, , 0 , d.h. einen geeigneten Isomorphismus von R, , 0 auf sich selbst, mit dem Sie die Behauptung beweisen können.)
p
q
Aufgabe 4 (Substitution; 4 Punkte) Seien P ein Relationssymbol und f ein Funktionssymbol
mit ar pP q ar pf q 2. Berechnen Sie schrittweise gemäß der Definition der Substitution:
1. Dv3 Dv4 pP pv3 , v0 q ^ P pv4 , v1 qq vv03 vv04 vv01
2. Dv3 Dv4 pP pv3 , v0 q ^ P pv4 , v1 qq vv01 f pvv01,v1 q
3. Dv3 Dv4 pP pv3 , v0 q ^ P pv4 , v1 qq vv30 vv30 f pvv01,v1 q
4.
r@v3 Dv4 pP pv3 , v4 q ^ P pv3 , v0 qq _ Dv0 f pv0 , v0 q v3 s vv
2
3
3
p
f v3 ,v4
v0
q