¨Ubung Elektrische und magnetische Felder WiSe 2013/14

Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2013/14
Gaußsches Gesetz, Poisson-Gleichung und elektrischer Dipol
Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden.
Aufgabe 5
Gegeben ist die zylindersymmetrische Ladungsverteilung
im Vakuum.

 4

 R 




ρ f 0   , 0 ≤ R ≤ R0



R0

ρ f (~r) = 
 4


 R0 



1


− 3 ρ f 0  R  , R0 < R < ∞
5.1 Im Allgemeinen kann das Potential mit Hilfe des Coulomb-Integrals berechnet werden. Stellt dieser Weg zur Berechnung des Potentials bei der gegebenen Anordnung eine sinnvolle Möglichkeit
dar? Begründen Sie Ihre Antwort.
5.2 Berechnen Sie mit dem Gaußschen Gesetz E~ für 0 ≤ R < ∞.
a) Geben Sie die Variablen und die Richtung des elektrischen Feldes bei vorliegender
Symmetrie an.
5.3 Bestimmen Sie außerdem den Potentialverlauf φ(R) für 0 ≤ R < ∞. Überlegen Sie sich dazu eine
physikalisch sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials.
5.4 Berechnen Sie alternativ das Potential mit Hilfe der Poisson-Gleichung und vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit 5.3. Es soll gelten: φ(R = 0, ϕ, z) = 0 und φ(R → ∞, ϕ, z) < ∞.
a) Leiten Sie aus den Gleichungen ∇ × E~ = 0 und ε0 ∇ · E~ = ρ die Poisson-Gleichung her.
b) Stellen Sie die Poisson-Gleichung in einem geeigneten Koordinatensystem auf.
Aufgabe 6
Beweisen Sie die folgende Relation in kartesischen Koordinaten:
~ r − ǫ ~p)
~ r + ǫ ~p) − E(~
E(~
2
2
= (~p · ∇)E~
ǫ→0
ǫ
lim
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Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2013/14
Aufgabe 7
Gegeben sind zwei kreisförmige Linienladungen, die konzentrisch um die z-Achse angeordnet sind. Die
erste Linienladung mit dem Radius R1 befindet sich auf der Höhe z = h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 1 (ϕ) = Rτ11 sin2 (ϕ) geladen. Die zweite Linienladung mit dem Radius R2 befindet sich auf der
Höhe z = −h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 2 (ϕ) = Rτ22 cos2 (ϕ) geladen. Es gilt τ1 , τ2 = konst.
7.1 Berechnen Sie jeweils die Ladungen der beiden Linienladungen.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreise mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Berechnen Sie das vektorielle Linienelement und dessen Betrag.
~ Berechnen Sie das Dipolmo7.2 Das Dipolmoment eines endlichen Dipols ist gegeben mit ~p = Qd.
ment der gesamten Anordnung unter der Annahme, dass τ1 = −τ2 gilt.
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 8
q
Gegeben ist eine mit der Flächenladungsdichte σ(R) = σ0 R−1 R21 + R22 geladene Kreisscheibe mit
Innenradius R1 und Aussenradius R2 , die sich konzentrisch um die z−Achse in der x − y−Ebene befindet
(σ0 = konst).
8.1 Berechnen Sie das von dem Kreisring erzeugte Potential für Aufpunkte auf der z−Achse.
8.2 Nun befindet sich im Zentrum des Kreisringes ein Punktdipol mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez ,
wobei p0 als konstant angenommen ist. Ermitteln Sie die Kraft die der Dipol auf den geladenen
Kreisring ausübt. (Hinweis: actio = reactio)