¨Ubung Elektrische und magnetische Felder WiSe 2012/13
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Übung Elektrische und magnetische Felder WiSe 2012/13 Gaußsches Gesetz, Poisson-Gleichung und elektrischer Dipol Fett gedruckte Unterpunkte können zu Hause vorbereitet werden. Aufgabe 5 Gegeben ist die zylindersymmetrische Ladungsverteilung im Vakuum. 4 R ρ f 0 , 0 ≤ R ≤ R0 R0 ρ f (~r) = 4 R0 1 − 3 ρ f 0 R , R0 < R < ∞ 5.1 Im Allgemeinen kann das Potential mit Hilfe des Coulomb-Integrals berechnet werden. Stellt dieser Weg zur Berechnung des Potentials bei der gegebenen Anordnung eine sinnvolle Möglichkeit dar? Begründen Sie Ihre Antwort. 5.2 Berechnen Sie mit dem Gaußschen Gesetz E~ für 0 ≤ R < ∞. a) Geben Sie die Variablen und die Richtung des elektrischen Feldes bei vorliegender Symmetrie an. 5.3 Bestimmen Sie außerdem den Potentialverlauf φ(R) für 0 ≤ R < ∞. Überlegen Sie sich dazu eine physikalisch sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials. 5.4 Berechnen Sie alternativ das Potential mit Hilfe der Poisson-Gleichung und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit 5.3. Es soll gelten: φ(R = 0, ϕ, z) = 0 und φ(R → ∞, ϕ, z) < ∞. a) Leiten Sie aus den Gleichungen ∇ × E~ = 0 und ε0 ∇ · E~ = ρ die Poisson-Gleichung her. b) Stellen Sie die Poisson-Gleichung in einem geeigneten Koordinatensystem auf. Aufgabe 6 Beweisen Sie die folgende Relation in kartesischen Koordinaten: ~ r − ǫ ~p) ~ r + ǫ ~p) − E(~ E(~ 2 2 = (~p · ∇)E~ ǫ→0 ǫ lim Übung Elektrische und magnetische Felder WiSe 2012/13 Aufgabe 7 Gegeben sind zwei kreisförmige Linienladungen, die konzentrisch um die z-Achse angeordnet sind. Die erste Linienladung mit dem Radius R1 befindet sich auf der Höhe z = h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 1 (ϕ) = Rτ11 sin2 (ϕ) geladen. Die zweite Linienladung mit dem Radius R2 befindet sich auf der Höhe z = −h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 2 (ϕ) = Rτ22 cos2 (ϕ) geladen. Es gilt τ1 , τ2 = konst. 7.1 Berechnen Sie jeweils die Ladungen der beiden Linienladungen. a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreise mit zugehörigem Wertebereich an. b) Berechnen Sie das vektorielle Linienelement und dessen Betrag. ~ Berechnen Sie das Dipolmo7.2 Das Dipolmoment eines endlichen Dipols ist gegeben mit ~p = Qd. ment der gesamten Anordnung unter der Annahme, dass τ1 = −τ2 gilt. Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben werden. Aufgabe 8 q Gegeben ist eine mit der Flächenladungsdichte σ(R) = σ0 R−1 R21 + R22 geladene Kreisscheibe mit Innenradius R1 und Aussenradius R2 , die sich konzentrisch um die z−Achse in der x − y−Ebene befindet (σ0 = konst). 8.1 Berechnen Sie das von dem Kreisring erzeugte Potential für Aufpunkte auf der z−Achse. 8.2 Nun befindet sich im Zentrum des Kreisringes ein Punktdipol mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez , wobei p0 als konstant angenommen ist. Ermitteln Sie die Kraft die der Dipol auf den geladenen Kreisring ausübt. (Hinweis: actio = reactio)
