Zustandssummen einmal anders - Ein Ring sie zu berechnen, sie

Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zustandssummen einmal anders
Ein Ring sie zu berechnen, sie alle zu finden. . .
Sebastian Gattenlöhner
Hauptseminar, theoretisch: Kombinatorische Quantenfeldtheorie
WS 05/06 Universität Konstanz
24. Februar 2006
Zusammenfassung
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Ziel des Vortrages
Verständnis der Übersetzungstabelle“ zwischen der Theorie
”
symmetrischer Polynome und den Zustandssummen in der
statischen Mechanik.
Kennenlernen von neuen, effektiven Rechentechniken zur
Berechnung von Zustandssummen.
Erkennen von Symmetrien zwischen Fermionen und Bosonen.
WANTED! Bezüge zur Quantenfeldtheorie
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
1
Einführung
2
Zustandssummen in a nutshell – kurze Erinnerung an die
Statistische Mechanik
3
Der Zusammenhang zwischen symmetrischen Polynomen und
Zustandssummen
4
Anwendungsbeispiele
5
Zusammenfassung und Ausblick
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Problem und Ansatz der Statistische Mechanik
Problem
Makroskopische Systeme haben ≈ 1023 Freiheitsgrade.
Mikroskopische Behandlung (beinhaltet die Lösung von
≈ 1023 Bewegungsgleichungen) deshalb nicht möglich
Ansatz
Betrachte nur statistisch gemittelte Größen.
Diese Mittelung ergibt sich nach der Vorschrift
X
hAi =
Pr Ar ,
r
wobei A die zu mittelnde Größe ist und r die möglichen
Mikrozustände des System durchlabelt. Die Berechnung der
Wahrscheinlichkeit Pr ist die Grundaufgabe der Statistik.
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Das mikrokanonische Ensemble
Ausgangspunkt des mikrokanonischen Ensembles
Betrachte Sytem bei vorgegebener Energie E .
Postulat: alle Mikrozustände zur Energie E sind
gleichwahrscheinlich, Pr (E ) = const.
P
Die Konstante ergibt sich aus der Bedingung r Pr (E ) = 1.
Resultat
Es ergibt sich Pr (E ) = Ω(E )−1 , wobei Ω – die
mikrokanonische Zustandssumme – gegeben ist durch
X
Ω=
1.
E −δE ≤Er ≤E
Entropie S = kB ln Ω.
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Das kanonische Ensemble
Wir wollen die Wahrscheinlichkeiten für das Teilsystem 1
berechnen.
Teilsystem 1 kann Energie mit dem viel größeren Teilsystem 2
austauschen, die Temperatur wird allerdings festgehalten.
Das Gesamtsystem kann im Rahmen des mikrokanonischen
Ensembles betrachtet werden; dies ergibt (den Umstand
nutzend, dass Teilsystem 2 “ Teilsystem 1 ist) . . .
”
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Das kanonische Ensemble
das kanonische Ensemble
Das kanonische Ensemble beschreibt den Gleichgewichtszustand
eines Systems bei vorgegebener Temperatur T :
Pr (T ) =
1 −βEr
e
,
Z (T )
Darin ist
Z (T ) =
X
β=
1
kB T
e−βEr = tr e−βH
r
die kanonische Zustandssumme. Der Zusammenhang zur
Thermodynamik wird durch die Beziehung
F (T ) = −kB T ln Z (T )
hergestellt, wobei F = hE i − TS die freie Energie bezeichnet.
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Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Das großkanonische Ensemble
Wir wollen die Wahrscheinlichkeiten für das Teilsystem 1
berechnen.
Teilsystem 1 kann Energie und Teilchen mit dem viel größeren
Teilsystem 2 austauschen, die Temperatur und das chemische
Potential werden allerdings festgehalten.
Das Gesamtsystem kann im Rahmen des mikrokanonischen
Ensembles betrachtet werden; dies ergibt (den Umstand
nutzend, dass Teilsystem 2 “ Teilsystem 1 ist) . . .
”
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Das großkanonische Ensemble
Das großkanonische Ensemble
Das großkanonische Ensemble beschreibt den
Gleichgewichtszustand eines Systems bei vorgegebener Temperatur
T und vorgegebenem chemischem Potential µ:
Pr ,s (T , µ) =
1
e−β(Er (Ns )−µNs ) ,
Z(T , µ)
β=
1
kB T
Darin ist
Z(T ) =
X
r ,s
−β(Er (Ns )−µNs )
e
=
∞
X
z N Z (T , N )
N =1
die großkanonische Zustandssumme und z = exp (βµ) die
Fugazität. Der Zusammenhang zur Thermodynamik wird durch die
Beziehung J (T , µ) = −kB T ln Z(T , µ) hergestellt, wobei
J = hE i − TS − µ hN i das großkanonische Potential bezeichnet.
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Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
symm. Polynome ↔ Zustandssummen?
Betrachte nun nichtwechselwirkendes Quantengas
(Teilchenzahl N ).
Eigenzustände sind festgelegt durch Angabe einer Folge von
Besetzungszahlen (ni )i ≡ n, die angeben wie oft das i -te
Niveau besetzt ist (evtl. Entartung werden berücksichtigt
E1 ≤ E2 ≤ · · · ≤ EL ).
Zwei Beispiele für N = 3 und L = 4 Energieniveaus :
Bsp. für Bosonen
n = (0, 1, 2, 0)
Bsp. für Fermionen
n = (1, 1, 0, 1)
Forderungen an die ni
1
2
P
i ni = N ,
Für Fermionen ni ∈ {0, 1}, für Bosonen ni ∈ {0, 1, 2, . . . }.
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symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Eigenzustände ↔ Monome
Jetzt kommt die Kernidee!
Die Folge der Besetzungszahlen n eines Eigenzustandes steht in
1-1-Beziehung zum Monom
xn ≡
L
Y
xini .
i=1
Darin sind die xi , i = 1, . . . , L symbolische, kommutierende
Variablen, die jeweils dem i -ten Energieniveau zugeordnet sind,
und deren Exponent innerhalb des Produkts angibt, wie oft dieses
Niveau besetzt ist.
Beispiele:
n = (0, 1, 2, 0) ←→ x2 x32
n = (1, 1, 0, 1) ←→ x1 x2 x4
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Zustandssummen ↔ ?
Berechnung der Zustandssumme
Über alleP
möglichen Besetzungen n mit den Energien
E (n) = i Ei ni ist zu summieren:
X
ZN (β) =
exp (−βE (n))
n
!
=
X
exp −β
X
n
=
XY
n
=
e−βEi
ni
i
XY
n
E i ni
i
i
xini xi =exp(−βEi )
Zustandssumme ZN (β) ↔ Auswertung eines gewissen Polynoms
der xi vom Grad N bei xi = exp (−βEi )
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symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Mathematische Struktur der Polynome
Betrachte N = 2 Bosonen (+) bzw. Fermionen (−), bei L = 3
Energieniveaus:
Z1+ = x1 + x2 + x3 ≡ b1
Z2+ = x12 + x22 + x32 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ≡ b2
Z1− = x1 + x2 + x3 ≡ f1
Z2− = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ≡ f2
Die bN und fN sind offenbar symmetrisch unter Vertauschung
der Energieniveaus“ xi .
”
Die Gesamtheit aller in diesem Sinne symmetrischen Polynome
bilden einen Ring – den Ring der symmetrischen Polynome Λ.
Einführung
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Mathematische Struktur der Polynome
Bei den Mathematikern heißen die bN vollständige
symmetrische Polynome und die fN elementarsymmetrische
Polynome und werden durch ihre erzeugenden Funktionen
F (z ) =
∞
X
B (z ) =
r =0
∞
Y
(1 + xl z )
=
br z r
∞
Y
!
=
(1 − xl z )−1
r =0
∞
X
!
fr z r
l=1
l=1
definiert.
F (z ) und B (z ) sind nicht unabhängig voneinander; man
erkennt leicht die Beziehung
F (z )B (−z ) = 1
Sind Fermionen und Bosonen doch nicht so verschieden?
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Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Mathematische Struktur der Polynome
Man kann allgemein zeigen: die bN und fN , N = 1, 2, . . . ,
bilden eine Basis des Rings der symmetrischen Polynome Λ
(Basis in dem Sinne, dass alle p ∈ Λ als Polynom der bN bzw.
fN geschrieben werden können).
P
Die potenzsymmetrischen Polynome sN = i xiN bilden
ebenso ein Basis von Λ.
Das bedeutet insbesondere, dass man die fN als Polynom der
bN bzw. sN ausdrücken kann und umgekehrt.
Dies wusste schon Newton! Die sog. Newton-Identität lautet
mfm =
m−1
X
(−1)k +1 fk sm−k ,
1 ≤ m ≤ n.
k =0
Diese stellt eine Rekursionsrelation für die fN als Polynom der
sN dar.
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Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Mathematische Struktur der Polynome
Es gibt entsprechende Relationen für sN ← fN und bN ↔ sN .
Diese sind aber in dem Sinn etwas komplizierter, als dass
hierfür zunächst einige zusätzliche kombinatorische Begriffe
definiert werden müssen; wir lassen sie deshalb fort.
Wie helfen uns diese Erkenntnisse über die mathematische
Struktur der symmetrischen Polynome nun aber physikalisch
weiter?
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Mathematische Struktur der Polynome
Einerseits gilt: Die Zustandssumme eines
nichtwechselwirkenden Quantengases aus N Teilchen (bei
gegebener Anzahl L von möglichen Energieniveaus) wird
beschrieben durch
ZN+ (β) = bN |xi =exp(−βEi )
(Bosonen)
ZN− (β) = fN |xi =exp(−βEi )
(Fermionen)
Andererseits können die bN als Polynom der fN geschrieben
werden (und umgekehrt).
Die bosonische Zustandssumme kann als Polynom in der
fermionischen Zustandssumme geschrieben werden (und
umgekehrt).
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Wir haben noch nicht ausgenutzt, dass die Potenzsummen sN
ebenfalls den Ring der symmetrischen Polynome aufspannen.
Deren physikalische Interpretation wird klar, wenn man sie bei
xi = exp(−βEi ) auswertet:
X
sN |xi =exp(−βEi ) =
exp(−N βEi ) = Z1 (N β)
i
Wertet man die Potenzsummen bei xi = exp(−βEi ) aus, so
erhält man die Einteilchenzustandssummen bei einer
reskalierten Temperatur.
Zusammen mit den Relationen zwischen den bN bzw. fN und
den sN kann man dadurch von der Einteilchenzustandssumme
auf die Vielteilchenzustandssummen schließen!
Dies wollen wir bei der konkreten Berechnung einer
Vielteilchenzustandssumme benutzen . . .
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Zustandssumme N nichtwechselwirkender harmonischer Oszillatoren im kanonischen Ensemble
Ziel ist es, die kanonische Zustandssumme von N
nichtwechselwirkenden harmonischen Oszillatoren(als Bosonen
betrachtet) zu berechen.
Die Berechnung erfolgt in drei Schritten:
1
Berechnung der Einteilchenzustandssumme Z1 (β).
2
Ausdrücken von bN als Polynom der sN .
3
Auswerten dieses Polynoms bei xi = exp(−βEi ) und
Verwendung von sN |xi =exp(−βEi ) = Z1 (N β) liefert das
Ergebnis.
Packen wirs an!
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Zustandssumme N nichtwechselwirkender harmonischer Oszillatoren im kanonischen Ensemble
Berechnung der Einteilchenzustandsdichte
Energien eines harmonischen Oszillators: En = ~ω n +
Für die kanonische Zustandssumme gilt somit
Z1 (β) =
=
∞
X
n=0
∞
X
e−βEn
1
e−β~ω(n+ 2 )
n=0
1
= e− 2 β~ω
∞ X
n=0
=
− 21 β~ω
e
1 − e−β~ω
e−β~ω
n
1
2
.
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Zustandssumme N nichtwechselwirkender harmonischer Oszillatoren im kanonischen Ensemble
Ausdrücken von bN als Polynom der sN
Für das Beispiel N = 5 ergibt sich:
b5 =
1
(24s5 + 30s4 s1 + 20s3 s2
120
+20s3 s12 + 15s22 s1 + 10s2 s13 + s15
am besten mit dem Computer zu berechnen, da von Hand
recht aufwändig.
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Zustandssumme N nichtwechselwirkender harmonischer Oszillatoren im kanonischen Ensemble
Einsetzen der Einteilchenzustandssumme
Für unser Beispiel N = 5 ergibt sich das (exakte) Endergebnis:
Z5 (β) =
1
(24Z1 (5β) + 30Z1 (4β)Z1 (β) + 20Z1 (3β)Z1 (2β)
120
+20Z1 (3β)Z1 (β)2 + 15Z1 (2β)2 Z1 (β)
+10Z1 (2β)Z1 (β)3 + Z1 (β)5 − 1 β~ω
Z1 (β)=
e 2
1−e−β~ω
Einführung
Zustandssummen
symm. Polynome ↔ Zustandssummen
Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung
Zusammenfassung und Ausblick
Die symmetrischen Polynome haben sich als ein effizientes
mathematisches Tool zur Berechnung von Zustandssummen
erwiesen.
Symmetrien zwischen Fermionen und Bosonen wurden
deutlich.
Auch alte“, vergessene“ Mathematik kann sich für die Physik
”
”
als sehr hilfreich erweisen!
Verbindungen zur Quantenfeldtheorie gefunden?