pendel energieformen
Werbung
PHYSIK A2 WS 2013/14 Inhalt der Vorlesung A1 1. Einführung Methode der Physik Physikalische Größen Übersicht über die vorgesehenen Themenbereiche 2. Teilchen A. Einzelne Teilchen Beschreibung von Teilchenbewegung Kinematik: Quantitative Erfassung Dynamik: Ursachen der Bewegung Kräfte Arbeit + Leistung, Energie Erhaltungssätze: Energie- und Impulserhaltung Drehbewegung Schwingungen, harmonischer Oszillator 1 PHYSIK A2 WS 2013/14 Betrachtung in einer Dimension 2 d x m 2 F dt 2. Newton‘sches Axiom Multiplikation mit der Geschwindigkeit d 2 x dx dx m 2 F dt dt dt Zwei kleine Umformungen: Annahme: Es wirken nur Kräfte, die sich aus einem Potential ableiten lassen. (1) Fext dE pot dx dE pot dx dE pot d 2 x dx m 2 dt dt dx dt dt 2 2 d x dx m d dx d m dx d m 2 Ekin dt dt 2 dt dt dt 2 dt dt 2 (2) 2 PHYSIK A2 WS 2013/14 d d Ekin E pot dt dt Wir fassen zusammen: oder: d Ekin E pot 0 dt Ekin E pot const. Satz von der Energieerhaltung Die Summe der mechanischen Energieformen (kinetische und potentielle Energie) bleibt erhalten. E = Ekin + Epot = const. Potentielle und kinetische Energie können ineinander umgewandelt werden. 3 PHYSIK A2 WS 2013/14 Kinetische und potentielle Energie können ineinander umgewandelt werden. kinetische Energie Beispiel: Federpendel potentielle Energie Beispiel: Federpendel Wenn die Masse m in die Höhe h gehoben wird, dann hat sie potentielle Energie gewonnen. Lässt man die Masse wieder fallen, gewinnt sie offensichtlich kinetische Energie. x(t) 4 PHYSIK A2 WS 2013/14 1 Beispiel: Eine Masse befindet sich in einer Höhe h über dem Boden in Ruhe. Dann läßt man die Masse fallen. Frage: Mit welcher Geschwindigkeit trifft sie auf dem Boden auf ? 1 Epot 2 h v Ekin (1) (1) E (1) Ekin Epot mgh Die potentielle Energie in der Höhe h ist (1) Epot mgh Da die Masse in Ruhe ist, hat sie keine kinetische Energie (1) Ekin 0 2 E ( 2) E (2) kin E (2) pot 1 2 mv 2 Beim Auftreffen auf den Boden ist die potentielle Energie verschwunden, die Masse ist aber auf die Geschwindigkeit v beschleunigt worden. Dann gilt für die Energien (2) Epot 0 E (2) kin 1 m v2 2 5 PHYSIK A2 WS 2013/14 Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf den Boden ist also: v 2gh Dieses Ergebnis hatten wir auch schon auch mit den Methoden der Kinematik erhalten, die Berechnung über die Energieerhaltung ist hier aber wesentlich einfacher. 6 PHYSIK A2 WS 2013/14 Versuch: „Hemmpendel“ Hemmstab h Die Kugel des Fadenpendels schwingt auf beiden Seiten auf die gleiche Höhe h, unabhängig von der Position des Hemmstabs. In dieser Höhe ist die kinetische Energie vollständig in potentielle Energie umge wandelt worden. 7 PHYSIK A2 WS 2013/14 Versuch: Loopingbahn Im Looping will der Wagen sich zu jedem Zeitpunkt geradlinig gleichförmig weiterbewegen. Die Bahn zwingt ihn jedoch auf eine Kreisbahn, so dass auf ihn eine Zentripetalbeschleunigung wirkt. Bei hinreichend hoher Geschwindigkeit überwiegt die resultierende Anpresskraft A die Gewichtskraft - der Wagen fällt nicht aus dem Looping. Startposition des Wagens h Fz FG 8 PHYSIK A2 WS 2013/14 Wagen Bezeichnungen bei der Loopingbahn m A Fg h R 2R 9 PHYSIK A2 WS 2013/14 Aufgabe zur Loopingbahn: Ein Wagen der Masse m startet in einer Höhe h auf einer schrägen Rampe und durchläuft eine vertikale, kreisrunde Bahnschleife („Looping“). Wie groß muß h sein, damit der Wagen im höchsten Punkt des Loopings nicht herunterfällt? Im obersten Punkt der Kreisbahn wirkt die Schwerkraft Fg m g g 9.81 m s 2 und ihr entgegengesetzt ist die Anpresskraft = Masse x Zentripetalbeschleunigung: v2 2 a e R e R Dann ist die Anpresskraft A 2 v Fz m a m e R Da die Kräfte im Scheitelpunkt der Bahn entgegengesetzt gerichtet sind, genügt es, mit den Beträgen zu rechnen. Die Zentrifugalkraft ist dann: v2 Am R 10 PHYSIK A2 WS 2013/14 und es ergibt sich sofort: Fz Fg v2 m m g v 2 g R (*) R Die Differenz hat sich in kinetische Energie gewandelt, also 1 2 Epot m g h 2 R mv 2 v 2 2 g h 2 R Mit (*) folgt daraus sofort Um die Geschwindigkeit zu berechnen, betrachten wir die potentiellen Energien. Im Startpunkt gilt E Start pot mgh Im Scheitelpunkt ist Loop Epot mg (2 R ) 2h 2 R R Auflösen liefert schließlich für die gesuchte Mindesthöhe 5 h R 2 Wegen der unvermeidlichen Reibung sind leicht größere Werte erforderlich. 11 PHYSIK A2 WS 2013/14 Bemerkung: Die Erhaltung der Energie gilt natürlich generell und ist nicht nur auf die mechanischen Energieformen beschränkt. Treten jedoch nur sog. konservative Kräfte auf, so bleibt die Energie im den mechanischen Energieformen erhalten. Tritt dagegen Reibung auf, so wird Energie aus den mechanischen Energieformen herausgezogen und in Wärme verwandelt, bis beispielsweise ein Bewegungsvorgang völlig zum Erliegen kommt. Beispiel: Federpendel!! Ganz allgemein gilt für die Energieerhaltung: Ekin Epot E"andere" E 12 Dabei bezeichnet E“andere“ bisher noch nicht behandelte, andere Energieformen. PHYSIK A2 WS 2013/14 Versuch: Stoß einer Kugelreihe 1 1 23 4 5 234 5 Die Kugel 1 stößt auf die Reihe von vier anderen, zunächst ruhenden Kugeln. Alle Kugeln haben dieselbe Masse. Nach dem Stoß kommt die erste Kugel zur Ruhe, der Stoß pflanzt sich durch die Kugelreihe fort und stößt zuletzt die 5. Kugel ab. 13 PHYSIK A2 WS 2013/14 Satz von der Erhaltung des Impulses In einem abgeschlossenen System mit N Körpern bleibt die Summe der Impulse immer erhalten, unabhängig von der Art der stattfindenden Stöße N pi const. i 1 Abgeschlossenes System: Es greifen keine externen Kräfte an!! 14 PHYSIK A2 WS 2013/14 Die Impulserhaltung ist ebenfalls eine Folge der Newton‘schen Axiome: 2. Newton-Axiom: dp F dt N dpi d N Fi pi dt i 1 i 1 i 1 dt N Wegen des 3. Newton‘schen-Axioms gibt es in einem abgeschlossenen System zu jeder Kraft Fi eine Gegenkraft –Fi, d.h. die Wechselwirkungen der N Kräfte untereinander kompensieren sich. d N Fi 0 pi dt i 1 i 1 N pi const. N i 1 15 PHYSIK A2 WS 2013/14 Definition einer neuen Größe: Schwerpunkt – center-of-mass 1 m1r1 m2 r2 mN rN R M M m1 m2 mN Bewegung des Schwerpunkts: MR m1r1 m2 r2 mN rN Fext ,1 Fext , 2 Fext , N Fext Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich wie ein Teilchen, in dem die gesamte Masse der Objekte, die den Körper aufbauen, konzentriert ist und an dem die äußere Kraft angreift. Die internen Wechselwirkungen kompensieren sich wegen actio=reactio. 16 PHYSIK A2 WS 2013/14 Energie- und Impulserhaltung sing von entscheidender Bedeutung bei der Behandlung von Stossprozessen. Stöße Bewegte Körper können untereinander Stöße ausführen. Dabei ändert sich im allgemeinen deren Geschwindigkeit und Richtung. m1 , v1 m2 , v2 m1, v1 Wechselwirkungsbereich m2 , v2 17 PHYSIK A2 WS 2013/14 v1 0 m2 m1 t=0 t<0 Beim Stoß ist der Kraftverlauf v2 0 Fs Fs Fs m1 Daraus folgt wie bisher (2. Newton‘sches Gesetz) F mr mv p harte Kugeln (Stahl) m2 t>0 weiche Kugeln (Gummi) m2 m1 v1 0 v2 0 0 t 18 PHYSIK A2 WS 2013/14 Dabei gilt für den sog. „Kraftstoß“ F (t ) dt Stahl F (t ) dt Gummi Was bedeutet der Kraftstoß F (t ) dt physikalisch ? Nach dem 2. Newton‘schen Gesetz ist dv F m r m v m m dv F dt v2 t2 v1 t1 dt m dv F dt m v 2 v1 p F dt p t2 t1 d.h. durch den Kraftstoß wird der Impuls einer Masse verändert. Es gibt zwei prinzipiell unterschiedliche Arten von Stößen: 1. Der elastische Stoß dabei bleibt die mechanische Energie erhalten. 2. Der inelastische Stoß dabei wird ein Teil der Energie z.B. in Wärme umgewandelt 19 PHYSIK A2 WS 2013/14 Beispiel: Die Ramme Aus der Höhe h wird die Masse M auf dem Pfahl fallengelassen. Nach dem Aufprall wird sie in der Zeit t gestoppt. Wie groß ist die Kraft F ? M h F t1 t2 = t1 + t 20 PHYSIK A2 WS 2013/14 Die Geschwindigkeit beim Aufprall ist: 1 2 v1 g t1 , h g t1 2 2h t1 v1 2 gh g Berechnung der Kraft: t2 F (t ) dt F (t2 t1 ) t1 F t M (v2 v1 ) Zahlenbeispiel: M = 1000 kg, h = 8.5 m, t = 0.01 s Einsetzen liefert 1000 2 9.81 8.5 kg m F 0.01 s2 1.3 106 N Mit v2 = 0 folgt: M v1 M 2 gh F t t 21
