pendel energieformen

PHYSIK A2
WS 2013/14
Inhalt der Vorlesung A1
1. Einführung
Methode der Physik
Physikalische Größen
Übersicht über die vorgesehenen Themenbereiche
2. Teilchen
A. Einzelne Teilchen
Beschreibung von Teilchenbewegung
Kinematik: Quantitative Erfassung
Dynamik: Ursachen der Bewegung
Kräfte
Arbeit + Leistung, Energie
Erhaltungssätze: Energie- und Impulserhaltung
Drehbewegung
Schwingungen, harmonischer Oszillator
1
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Betrachtung in einer Dimension
2
d x
m 2 F
dt
2. Newton‘sches Axiom
Multiplikation mit der Geschwindigkeit
d 2 x dx
dx
m 2  F
dt dt
dt
Zwei kleine Umformungen:
Annahme: Es wirken nur Kräfte, die sich aus einem Potential ableiten lassen.
(1)
Fext  
dE pot
dx
dE pot dx
dE pot
d 2 x dx
 
m 2  
dt dt
dx dt
dt
2
2



d x dx m d   dx   d  m  dx   d

m 2  
 Ekin




dt dt 2 dt   dt   dt  2  dt   dt
2
(2)
2
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d
d
Ekin   E pot
dt
dt
Wir fassen zusammen:
oder:
d
Ekin  E pot   0
dt
Ekin  E pot  const.
Satz von der Energieerhaltung
Die Summe der mechanischen Energieformen
(kinetische und potentielle Energie) bleibt erhalten.
E = Ekin + Epot = const.
Potentielle und kinetische Energie können ineinander
umgewandelt werden.
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Kinetische und potentielle
Energie können ineinander umgewandelt werden.
kinetische
Energie

Beispiel: Federpendel
potentielle
Energie
Beispiel: Federpendel
Wenn die Masse m in die Höhe h gehoben wird, dann hat sie potentielle
Energie gewonnen.
Lässt man die Masse wieder fallen,
gewinnt sie offensichtlich kinetische
Energie.
x(t)
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1
Beispiel:
Eine Masse befindet sich in einer
Höhe h über dem Boden in Ruhe.
Dann läßt man die Masse fallen.
Frage: Mit welcher Geschwindigkeit
trifft sie auf dem Boden auf ?
1
Epot
2
h
v
Ekin
(1)
(1)
E (1)  Ekin
 Epot
mgh
Die potentielle Energie in der Höhe h ist
(1)
Epot
mgh
Da die Masse in Ruhe ist, hat sie keine kinetische Energie
(1)
Ekin
0
2
E
( 2)
E
(2)
kin
E
(2)
pot
1 2
 mv
2
Beim Auftreffen auf den Boden ist die potentielle Energie verschwunden, die Masse ist aber auf die Geschwindigkeit v beschleunigt worden. Dann gilt für die Energien
(2)
Epot
0
E
(2)
kin
1
 m v2
2
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Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf den Boden ist also:
v  2gh
Dieses Ergebnis hatten wir auch schon auch mit den Methoden
der Kinematik erhalten, die Berechnung über die Energieerhaltung ist hier aber wesentlich einfacher.
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Versuch: „Hemmpendel“
Hemmstab
h
Die Kugel des Fadenpendels schwingt auf
beiden Seiten auf die
gleiche Höhe h, unabhängig von der Position des Hemmstabs.
In dieser Höhe ist die
kinetische Energie
vollständig in potentielle Energie umge
wandelt worden.
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Versuch: Loopingbahn
Im Looping will der Wagen sich zu jedem Zeitpunkt geradlinig gleichförmig
weiterbewegen. Die Bahn zwingt ihn jedoch auf eine Kreisbahn, so dass auf
ihn eine Zentripetalbeschleunigung wirkt.
Bei hinreichend hoher Geschwindigkeit überwiegt die resultierende Anpresskraft A die Gewichtskraft - der Wagen fällt nicht aus dem Looping.
Startposition
des Wagens
h

Fz

FG
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Wagen
Bezeichnungen bei der Loopingbahn
m
A
Fg
h
R
2R
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Aufgabe zur Loopingbahn:
Ein Wagen der Masse m startet in
einer Höhe h auf einer schrägen
Rampe und durchläuft eine
vertikale, kreisrunde Bahnschleife
(„Looping“). Wie groß muß h sein,
damit der Wagen im höchsten
Punkt des Loopings nicht herunterfällt?
Im obersten Punkt der Kreisbahn
wirkt die Schwerkraft
Fg  m g
g  9.81 m s 
2
und ihr entgegengesetzt ist die
Anpresskraft = Masse x Zentripetalbeschleunigung:
 v2 
2
a  e  R e
R
Dann ist die Anpresskraft A
2

v


Fz  m a  m e
R
Da die Kräfte im Scheitelpunkt der
Bahn entgegengesetzt gerichtet sind,
genügt es, mit den Beträgen zu rechnen. Die Zentrifugalkraft ist dann:
v2
Am
R
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und es ergibt sich sofort:
Fz  Fg
v2
m  m g  v 2  g R (*)
R
Die Differenz hat sich in kinetische
Energie gewandelt, also
1 2
Epot  m g h  2 R   mv
2
 v 2  2 g h  2 R 
Mit (*) folgt daraus sofort
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, betrachten wir die potentiellen
Energien. Im Startpunkt gilt
E
Start
pot
mgh
Im Scheitelpunkt ist
Loop
Epot
 mg (2 R )
2h  2 R   R
Auflösen liefert schließlich für die
gesuchte Mindesthöhe
5
h R
2
Wegen der unvermeidlichen Reibung
sind leicht größere Werte erforderlich.
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Bemerkung:
Die Erhaltung der Energie gilt natürlich generell und ist nicht nur auf die
mechanischen Energieformen beschränkt.
Treten jedoch nur sog. konservative Kräfte auf, so bleibt
die Energie im den mechanischen Energieformen erhalten.
Tritt dagegen Reibung auf, so wird Energie aus den mechanischen
Energieformen herausgezogen und in Wärme verwandelt,
bis beispielsweise ein Bewegungsvorgang völlig zum Erliegen kommt.
Beispiel: Federpendel!!
Ganz allgemein gilt für die Energieerhaltung:
Ekin  Epot  E"andere"  E
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Dabei bezeichnet E“andere“ bisher noch nicht behandelte, andere Energieformen.
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Versuch: Stoß einer Kugelreihe
1
1 23 4
5
234 5
Die Kugel 1 stößt auf die Reihe
von vier anderen, zunächst
ruhenden Kugeln. Alle Kugeln
haben dieselbe Masse.
Nach dem Stoß kommt die erste
Kugel zur Ruhe, der Stoß pflanzt
sich durch die Kugelreihe fort
und stößt zuletzt die 5. Kugel ab.
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Satz von der Erhaltung
des Impulses
In einem abgeschlossenen System mit N Körpern
bleibt die Summe der Impulse immer erhalten,
unabhängig von der Art der stattfindenden Stöße
N

 pi  const.
i 1
Abgeschlossenes System:
Es greifen keine externen Kräfte an!!
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Die Impulserhaltung ist ebenfalls eine Folge der Newton‘schen Axiome:
2. Newton-Axiom:
 dp

F
dt

N

dpi d N 
Fi  
  pi

dt i 1
i 1
i 1 dt
N
Wegen des 3. Newton‘schen-Axioms gibt es in einem abgeschlossenen
System zu jeder Kraft Fi eine Gegenkraft –Fi,
d.h. die Wechselwirkungen der N Kräfte untereinander kompensieren sich.
  d N 
  Fi  0   pi 
dt i 1
i 1
N

 pi  const.
N
i 1
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Definition einer neuen Größe:
Schwerpunkt – center-of-mass
 1



m1r1  m2 r2    mN rN 
R
M
M  m1  m2    mN
Bewegung des Schwerpunkts:










MR  m1r1  m2 r2    mN rN  Fext ,1  Fext , 2    Fext , N  Fext
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich wie ein Teilchen, in dem die
gesamte Masse der Objekte, die den Körper aufbauen, konzentriert ist und an
dem die äußere Kraft angreift. Die internen Wechselwirkungen kompensieren
sich wegen actio=reactio.
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Energie- und Impulserhaltung sing von entscheidender Bedeutung
bei der Behandlung von Stossprozessen.
Stöße
Bewegte Körper können untereinander Stöße ausführen. Dabei ändert sich
im allgemeinen deren Geschwindigkeit und Richtung.

m1 , v1

m2 , v2

m1, v1
Wechselwirkungsbereich

m2 , v2
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
v1  0
m2
m1
t=0
t<0
Beim Stoß ist der Kraftverlauf

v2  0

 Fs

Fs

Fs
m1
Daraus folgt wie bisher
(2. Newton‘sches Gesetz)


 

F  mr  mv  p
harte Kugeln
(Stahl)
m2
t>0
weiche Kugeln
(Gummi)
m2 
m1

v1  0
v2  0
0
t
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Dabei gilt für den sog. „Kraftstoß“

 F (t ) dt 
Stahl

 F (t ) dt
Gummi
Was bedeutet der Kraftstoß

 F (t ) dt
physikalisch ?
Nach dem 2. Newton‘schen Gesetz

ist

dv


F  m r  m v  m
 
m dv  F dt

v2
t2

v1
t1
dt


 

m  dv   F dt  m v 2  v1   p


 F dt  p
t2
t1
d.h. durch den Kraftstoß wird der
Impuls einer Masse verändert.
Es gibt zwei prinzipiell unterschiedliche Arten von Stößen:
1. Der elastische Stoß
dabei bleibt die mechanische
Energie erhalten.
2. Der inelastische Stoß
dabei wird ein Teil der Energie
z.B. in Wärme umgewandelt
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Beispiel: Die Ramme
Aus der Höhe h wird die Masse M
auf dem Pfahl fallengelassen. Nach
dem Aufprall wird sie in der Zeit t
gestoppt. Wie groß ist die Kraft F ?
M
h
F
t1 t2 = t1 + t
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Die Geschwindigkeit beim Aufprall ist:
1 2
v1  g t1 , h  g t1
2
2h
 t1 
v1  2 gh
g
Berechnung der Kraft:
t2
 F (t ) dt  F (t2  t1 )
t1
 F t  M (v2  v1 )
Zahlenbeispiel:
M = 1000 kg,
h = 8.5 m,
t = 0.01 s
Einsetzen liefert
1000 2  9.81  8.5 kg m
F
0.01
s2
 1.3 106 N
Mit v2 = 0 folgt:
M v1 M 2 gh
F

t
t
21