LS Klausur3N Loesg

Dr. Ernst Kausen
Liebigschule
Gießen
KLAUSUR 3 (Nachklausur)
mit Ergebnissen
Name:
1.
Mathematik
2007/08
11 A
Vorname:
f(x) = (x+3) (x2 - x - 2)
Bestimmen Sie Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und zeichnen Sie die Funktion.
f(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6, f'(x) = 3x2 + 4x - 5, f''(x) = 6x + 4, f'''(x) = 6 > 0.
NST
EXT
WDP
2.
f(x) = x4 - 4 ln x + 1
(a)
(b)
(c)
(d)
3.
x1 = -3; x2/3 = -1 / 2.
x4/5 = (-2±√19)/3 KfE; (-2-√19)/3 Min, (-2+√19)/3 Max
x6 = -2/3
Bestimmen Sie Definitionsbereich D, Extremwerte und Wendepunkte von f(x).
Wie verhält sich die Funktion in den Randpunkten von D?
Kann f(x) Nullstellen haben? (Tipp: Geeignete Skizze!)
Skizzieren Sie f(x).
(a)
EXT
WDP
D: x>0; f'(x) = 4x3 - 4/x, f''(x) = 12x2 + 4/x2
f'(x) = 0 → x = ±1, hier wegen D nur +1 KfE; x = 1 ist Min, da f''(1) = 16 > 0.
f''(x) = 0 → 12x4 = -4, also keine Lösung, also kein Wdp.
(b)
(c)
f(x) → + ∞ für beide Randpunkte (1 und + ∞)
f(x) = 0 gdw. x4 + 1 = 4 ln x; diese beiden Funktionen schneiden sich nicht;
also keine Nullstelle.
Wie lautet das Polynom kleinsten Grades durch die Punkte (1|2), (0|-1) und (2|3) ?
f(x) = - x2 +4x -1
4.
Bestimmen Sie das Polynom 3. Grades, das einen Extremwert in (0|2) und einen
Wendepunkt in (-1|3) hat.
f(x) = 0.5 x3 + 1.5 x2 + 2
5.
Zeigen Sie, dass es kein Polynom 2. Grades gibt, das durch (-1|-4), (1|2) und (2|5) geht.
Der Ansatz mit einem Polynom 2. Grades f(x) = ax2+bx+c ergibt a=0, also Widerspruch!
6.
Zeigen Sie, dass jedes Polynom 3. Grades maximal zwei Extremwerte haben kann.
f(x) = ax3 + bx2 + cx +d → die quadrat Gleichg f'(x) = 3ax2 + 2bx + c = 0 hat höchstens
zwei Lösungen (siehe p-q-Formel), also kann es maximal 2 Extremwerte geben.
7.
Die Summe zweier reeller Zahlen x und y ist 10. Was ist dann das Minimum des
Ausdrucks 4x2 + y2 ?
Nebenbedingung:
Extremalbedingung:
x+y=10, also y=10-x
4x2 + y2 = 4x2 + (10-x)2 = 4x2 + 100 - 20x + x2 = 5x2 - 20x + 100 min!
f(x) = 5x2 - 20x + 100, f'(x) = 10x -20 = 0 → x = 2; f''(x) = 10 > 0, also Min.;
y= 10-x = 8; minimaler WEert von 4x2 + y2 ist also 4·4 + 64 = 80.
8.
Von welchem Punkt (x|y) auf der Geraden y = x + 1 hat der Punkt (3|0) einen minimalen
Abstand? Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.
(Tipp: Rechnen Sie mit dem Quadrat des Abstands.)
Für den Abstand d eines Punktes (x|y) auf der Geraden y = x + 1 vom Punkt (3|0)
gilt nach PYTHAGORAS (siehe Skizze):
d2 = (x-3)2 + (x+1)2 = (x2 - 6x + 9) + (x2 + 2x + 1) = 2x2 - 4x + 10
Wenn d > 0 minimal sein soll, muss auch d2 = f(x) = 2x2 - 4x + 10 minimal sein.
f'(x) = 4x - 4 = 0 → x = 1; f''(x)=4>0, also hat f(x) bei x=1 ein Minimum.
Der Punkt mit minimalem Abstand von (3|0) auf der Geraden y=x+1 ist (x|y) = (1|2).
Aufgabe
Punkte
erreicht
1
7
2
8
3
3
4
4
5
3
6
3
7
4
8
5

37