Hypothesentest Aufgabe 7 - klaus

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
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08.06.2017
Hypothesentest Aufgabe 7
Eine Untersuchung ergab, dass Placebos bei vielen Patienten die gleiche Wirkung
erzielen wie gleich aussehende echte Tabletten. Die Erfahrung einer Klinik besagt,
dass höchstens 60% der Patienten, die Kopfschmerztabletten einnehmen, auf
Placebos ansprechen.
a) Ein Klinikarzt behauptet, dass die Wirkung der Placebos verstärkt werden kann,
wenn sie einen bitteren Beigeschmack haben. Er verabreicht 100 Patienten die
neuen Placebos und stellt fest, dass 75 von ihnen darauf ansprechen. Muss
daraufhin die Nullhypothese (H0: p0  0,6) verworfen werden?
Rechnen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 4%.
b) Wie groß ist der Fehler 2. Art, wenn für die bitteren Pillen p = 0,7 gilt?
Wie kann der Fehler 2. Art verringert werden?
Welche Konsequenzen hätte das für den Fehler 1. Art?
c) Reduzieren sie den Fehler 2. Art mindestens auf dien halben Wert. Wie ändern
sich dadurch der Annahme- und Ablehnungsbereich von H0. Welche
Irrtumswahrscheinlichkeit liegt dann vor?
d) Skizzieren Sie die Verteilungen aus b) und c) und kennzeichnen Sie die Fehler 1.
und 2. Art.
Benutzen Sie für die Rechnung die beigefügten Tabellen der Binomialverteilung
für n = 100 und p = 0,6, sowie für n = 100 und p = 0,7.
zu a)
Aufstellen der Nullhypothese:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Placebos wirken, sei höchstens 60%.
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Der Ablehnungsbereich liegt rechts vom Erwartungswert für p = 0,6 und hat
eine Größe von höchstens 4%.
Nullhypothese : H0 : p0  0,6 Signifikanzniveau :   4%
n  100   n  p0  100  0,6  60
Es ist   n  p  1  p   60  0, 4  24  4,899  3
1  P  X  k   0,04  
Aus der Tabelle für n  100 und p  0,6 wird für k der Wert 68 abgelesen.
1  P  X  68   1  0, 96  0,04  
Damit ist der Annahmebereich für p  0,6
A   0...60...68  und der Ablehnungsbereich A   69...100 
Die Hypothese H0 wird abgelehnt, da X = 75 im Ablehnungsbereich von H0
liegt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit dieser Entscheidung (Fehler 1. Art) liegt
bei etwa 4%.
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04.02.2007 10:37:00
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zu b)
Falls p = 0,7 tatsächlich richtig ist, kann es dennoch vorkommen, dass das
Versuchsergebnis in den Annahmebereich von H0 fällt.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der das geschieht, ist der Fehler 2. Art.
P0,7  A   P0,7  X  68  0,367 (Tabellenwert)
Falls für bittere Pillen p = 0,7 gilt, ist der Fehler 2. Art 36,7%.
In 36,7% aller Fälle wird die Richtigkeit von p = 0,7 nicht erkannt.
Soll der Fehler 2. Art verringert werden, dann ist der Annahmebereich von H 0
zu verringern. Das hat aber zur Folge, dass dadurch der Fehler 1. Art sich
vergrößert.
zu c)
P0,7  X  k   0,1835  k  65 denn P0,7  X  65   0,163
16,3%
Dadurch ändert sich der Annahme- und Ablehnungsbereich von H0 :
A   0...60...65 
A   66...100 
 
Fehler 1. Art: P0,6 A  1  P0,6  X  65   1  0,870  0,13
13%
Dadurch, dass der Fehler 2. Art etwa halbiert wird, vergrößert sich der Fehler
1. Art auf etwa das Dreifache.
Kumulierte Binomialverteilung für n  100 und p  0,6
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
42
43
44
45
46
47
0,000
0,000
0,001
0,002
0,003
0,006
48
49
50
51
52
53
0,010
0,017
0,027
0,042
0,064
0,093
54
55
56
57
58
59
0,131
0,179
0,237
0,303
0,377
0,457
60
61
62
63
64
65
0,538
0,618
0,693
0,761
0,821
0,870
66
67
68
69
70
71
0,909
0,938
0,960
0,975
0,985
0,992
72
73
74
75
76
77
0,995
0,998
0,999
0,999
1,000
1,000
Kumulierte Binomialverteilung für n  100 und p  0,7
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
50
51
52
53
54
55
0,000
0,000
0,000
0,000
0,001
0,001
56
57
58
59
60
61
0,002
0,004
0,007
0,012
0,021
0,034
62
63
64
65
66
67
0,053
0,080
0,116
0,163
0,221
0,289
68
69
70
71
72
73
0,367
0,451
0,538
0,623
0,704
0,776
74
75
76
77
78
79
0,837
0,886
0,924
0,952
0,971
0,984
80
81
82
83
84
85
0,991
0,995
0,998
0,999
1,000
1,000
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PX  k
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n  100 p  0,6   60   4,899
Annahmebereich 96%
Fehler 1. Art
4%
60
PX  k
68
k
n  100 p  0,7   70   4,583
Fehler 2. Art
36,7%
68 70
k
Verteilungen aus Aufgabenteil b)
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PX  k
Seite 4
08.06.2017
n  100 p  0,6   60   4,899
Annahmebereich 87%
Fehler 1. Art
13%
60
PX  k
k
65
n  100 p  0,7   70   4,583
Fehler 2. Art
16,3%
65
70
k
Verteilungen aus Aufgabenteil c)
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