V =π∫

Prüfungsfeld der Semesterprüfung
vom 15. April 2016
1.Integralrechnung
1.1 Uneigentliche Integrale
Vgl Kurs Kapitel 5 Seite 30-31 und Aufgabe 52.
Vgl. ebenfalls Prüfung vom 4.Februar.
1.2 Flächenberechnungen
Dank des Integrals können wir den Inhalt von Flächen
bestimmen, die von den Graphen zweier Funktionen f
und g eingeschlossen sind :
1. Man bestimmt die Schnittstellen a, b und c der
Funktionen f und g.
2. Für jedes Teilintervall bestimmt man welche der beiden Funktionen über der
anderen liegt :
•
Im Intervall [a;b] gilt f(x)>g(x)
•
Im Intervall [a;b] gilt g(x)>f(x)
b
c
Somit A =∫ ( f ( x ) − g ( x )) dx + ∫ ( g ( x) − f ( x )) dx .
a
b
1.3 Volumen von Rotationskörpern
b
2
Es gilt : V =π ∫ ( f ( x ) ) dx
a
Beispiel :
f (x ) = √ 2x+3
Betrachten wir das Flächenstück, das von dem
Graphen von f , der x-Achse und den Geraden x = 0
und x = 3 eingeschlossen wird.
In diesem Falle gibt die obige Formel:
3
3
3
V =π ∫ ( √ 2x + 3 ) dx =π ∫ 2x + 3 dx =π [ x 2 + 3 ]0
2
0
0
Wenn der Rotationskörper ein „Loch“ aufweist, zieht man
vom äussern Volumen das innere weg :
b
b
b
V = π ∫ ( f ( x ) ) dx − π ∫ ( g ( x) ) dx = π ∫ ( f ( x) ) − ( g ( x) ) dx
2
a
2
a
2
a
b
Achtung :
2
V ≠ π ∫ ( f ( x ) − g (x )) dx
2
Häufige Fehlerquelle !
a
Beispiel : Siehe Graphik nebenan.
f ( x ) = √ x − 2 und g ( x) = x − 8
11
11
V = π ∫ ( √ x − 2 ) dx − π ∫ ( x − 8 ) dx
2
2
2
8
2. Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Eigenschaften der natürlichen Logarithmus- und Exponentialfunktion kennen und
anwenden können. Definition der Logarithmus- und Exponentialfunktion zur Basis a
kennen und anwenden können:
a x = expa ( x) = exp(ln (a)⋅ x) = e ln (a )⋅ x
und
log a (x ) =
ln ( x)
ln ( a)
Ableitungen und Stammfunktionen dieser Funktion bestimmen können.
2.1 Stammfunktionen gebrochenrationaler Funktionen
Insbesondere lassen sich jetzt die Stammfunktionen einiger gebrochenrationaler
Funktionen bestimmen :
Fall 1 : Grad Zähler > Grad Nenner : Polynomfunktion durchführen
4x 2 −5x + 1
dx =?
Beispiel : ∫
x +3
Idee : Polynomdivision durchführen :
⇒ f ( x ) =4x −17 +
52
x +3
4x 2 − 5x + 1
52
dx = ∫ 4x − 17 +
dx = 2x 2 − 17x + 52 ln (∣x + 3∣) +k
Somit ∫
x+3
x +3
Fall 2 : Funktion der Form f ( x) =
Es gilt :
u ' ( x)
∫ u( x) dx =ln( ∣u( x )∣) + k
u' (x )
u( x)
k ∈ℝ
(Grad Zähler = Grad Nenner - 1)
mit k ∈ ℝ
Beispiele :
1.
+1
1
3x + 1
1
6x + 2
dx = ∫ 2 ⋅ 2
dx = ∫ 2
dx = ln (∣3x 2 + 2x − 5∣) + k
∫ 3x 23x+ 2x
2
2
−5
3x + 2x − 5
3x + 2x − 5
2. Obiges auch anwendbar auf eine Funktion u(x), die nicht ein Polynom ist :
sin ( x )
∫ tan ( x )dx =∫ cos ( x ) dx =−∫
−sin( x)
dx =−ln( ∣cos ( x )∣) + k
cos( x )
2.3 Kurvendiskussion
Kurvendiskussionen mit Exponential- und Logarithmusfunktionen durchführen.
Das Vorgehen ist dabei das folgende :
1. Bestimmung des Definitionsbereiches : Dieser Schritt ist wichtig, denn im
folgenden müssen dann die eventuellen Definitionslücken, ein eventueller
Definitionsrand mit Grenzwertbetrachtungen untersucht werden.
2. Eventuelle Symmetrie bestimmen können
3. Schnittpunkte mit Koordinatenachsen (Ordinatenabschnitt und Nullstellen)
4. eventuelle Definitionslücken und Definitionsrand. Entscheiden, ob an diesen
Stellen der Graph eine senkrechte Asymptote oder nur ein Loch besitzt. Die
Gleichung allfälliger Asymptoten angeben.
5. Verhalten im Unendlichen. Eventuelle waagrechte Asymptoten angeben.
6. Monotonie und Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte). Man bestimmt die
Ableitung der Funktion. Sucht die kritischen Stellen (x mit f'(x) = 0) und erstellt
eine Vorzeichentabelle für f'. Man gibt die eventuellen Hoch- und Tiefpunkte an.
7. Graphische Darstellung der Funktion.
Erinnerung Grenzwertrechnung:
1.
±∞ , ∞ − ∞, 0 ⋅∞ und 0 sind unbestimmte Fälle. Die Unbestimmtheit muss
±∞
0
durch algebraisches Umformen aufgehoben werden. Dabei können die
bekannten Grenzwerte in der Table CRM (Seite xxx) benutzt werden.
0
2. Ausdrücke der Form ∞ oder
−∞
sind bestimmt :
+
0
0
−∞
∞ = 0 und
+ =− ∞
0
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.1 Grundbegriffe
Den Ergebnisraum eines Zufallsexperiments angeben können. Ereignisse in Worten
oder als Teilmenge des Ergebnisraumes ausdrücken können.
Schnitt, Differenz und Vereinigung zweier Ergebnisse angeben können.
B ∖ A : " Ereignis B aber nicht Ereignis A"
A ∪ B:
" Ereignis A oder Ereignis B"
A ∩ B:
" Ereignis A un Ereignis B"
Diese Ereignisse auch in einem Diagramm von Venn graphisch darstellen können.
A und B unvereinbare Ereignisse, wenn A ∩ B = ∅ . Das heisst die Ereignisse A und B
haben keine gemeinsamen Elemente.
Ein Baumdiagramm mit den dazugehörenden Wahrscheinlichkeiten eines mehrstufigen
Zufallsexperiments erstellen können. Mit den Wahrscheinlichkeiten am
Baumdiagramm rechnen können (Pfadregeln).
3.2 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion und
daraus folgende Eigenschaften
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P ist eine Funktion P: Ω → ℝ mit
(1) P (Ω ) = 1
(2) P ( A) ⩾ 0
(3) A ∩ B = ∅
⇒ P (A ∪ B) = P ( A) + P ( B)
Daraus lassen sich weitere Eigenschaften herleiten
1.
P( A) = 1 − P( A)
insbesondere
2.
P( B ∖ A) = P ( B) − P (B ∩ A)
3.
A ⊂ B ⇒ P ( A) ⩽ P ( B ) insbesondere 0 ⩽ P( A) ⩽ 1
4.
P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B)
P(∅) = 0
Diese Eigenschaften sind nützlich um die Wahrscheinlichkeiten verschiedener
Ereignisse zu berechnen.
3.3 Laplace-Experimente
Treten alle Elementarereignisse (alle Elemente eines Ergebnisraumes Ω) mit gleicher
Wahrscheinlichkeit auf, so spricht man von einem Laplace-experiment.
In diesem Falle lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A folgendermassen
berechnen : P( A) =
∣A∣
Anzahl der günstigen Fälle
.
=
Anzahl der möglichen Fälle ∣Ω∣
Haben die Mengen Ω und A sehr viele Elemente, so können sie nicht mehr aufgezählt
werden. Man benützt dann zur Bestimmung von ∣Ω∣ und ∣A∣ wenn nötig die
Abzählmethoden der Kombinatorik.
3.4 Abzählverfahren (Kombinatorik)
3.4.1 Variationen und Kombinationen
Man unterscheidet grundsätzlich vier Fälle :Werden aus n Elementen zufällig k
gezogen, und...
1. ...die Reihenfolge ist von Bedeutung,
aber keine Wiederholungen der Elemente :
Variationen ohne Wiederholung:
V nk = n ⋅(n − 1)⋅…⋅(n − k + 1) =
n!
(n − k )!
2. … die Reihenfolge ist von Bedeutung und die Elemente können sich
wiederholen :
Variationen mit Wiederholung:
V nk = n k
3. … die Reihenfolge ist nicht von Bedeutung und die Elemente können sich nicht
wiederholen :
Kombinationen ohne Wiederholung:
V nk
n!
C =
=
= n
P n ( n − k )!⋅ k !
k
n
k
()
4. … die Reihenfolge ist nicht von Bedeutung und die Elemente können sich
wiederholen.
Kombinationen mit Wiederholung NICHT IM PRÜFUNGSFELD.
3.4.1 Permutationen
Werden aus n Elementen alle n zufällig gezogen und angeordnet (Reihenfolge ist
also von Bedeutung → Variationen) so spricht man von einer Permutation. Man
unterscheidet von Permutationen ohne oder mit Wiederholungen :
n
1. Permutationen von n Elementen ohne Wiederholung : P n = V n = n!
2. Permutation mit Wiederholungen : NICHT IM PRÜFUNGSGELD
Notwendig sind sicherlich schon ein gutes Verständnis der letzten zwei Prüfungen, des
Kapitels 6 Logarithmus- und Exponentialfunktion und des Kapitels 7
Wahrscheinlichkeitstheorie.