Grundwissen Stochastik

0. Wiederholung
1. Begriffe
1.1 Zufallsexperimente, Ergebnis, Ergebnisraum (menge)
Experimente unterscheidet man nach der Voraussagbarkeit ihres
Versuchsausganges als deterministische Experimente oder als
Zufallsexperimente.
Jeder Ausgang eines Zufallsexperiments ( z.B. das Werfen einer Münze) heißt
ein Ergebnis ω (z.B. ω = Z (Zahl)) dieses Zufallsexperiments.
Die Menge Ω aller Ergebnisse ω heißt Ergebnisraum (z.B. Ω = {ω1,ω2 } = {Z; W}),
wobei jedes mögliche Ergebnis genau einmal in Ω erscheint.
Die Mächtigkeit Ω des Ergebnisraumes ist die Anzahl n der Elemente von Ω .
Beispiele:
1. Werfen eines Würfels
Loses
Ergebnisse: AZ von 1 bis 6
2. Werfen einer Münze
3. Ziehen eines
Ergebnisse: Zahl oder Wappen Ergebnisse:
Treffer oder Niete
4. Ziehen aus einer Urne mit roten, grünen und weißen Kugeln
Ergebnisse: rote, grüne, weiße Kugel
Beach: Zu einem Zufallsexperiment können mehrere Ergebnisräume angegeben
werden, je nachdem welche Eigenschaft gefragt ist.
Beispiel:
Experiment: Werfen eines Würfels
Frage nach der AZ: Ω1= {1,2,3,4,5,6}
Frage, ob AZ gerade oder ungerade: Ω2 = {g,u}
Frage, ob 6 (= Treffer T) oder nicht 6 (= Niete N) fällt: Ω 3 = {T;N}
Besteht ein Zufallsexperiment aus n Einzelexperimenten, so ist das Ergebnis
ein n- Tupel. Der Ergebnisraum eines solchen zusammengesetzten
Experimentes (mehrstufiges Zufallsexperiment) kann an einem Baumdiagramm
veranschaulicht werden
Beispiel:
Aus einer Urne mit vier roten, drei grünen und einer weißen Kugel wird zweimal eine
Kugel
a) ohne Zurücklegen
b) mit Zurücklegen gezogen.
Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und bestimme den dazugehörigen
Ergebnisraum.
1.2 Ereignis und Ereignisraum
Einzelne Ergebnisse des Ergebnisraumes kann man selbst wieder zu einer Menge
zusammenfassen. Man definiert:
Jede Teilmenge von Ω / S heißt ein Ereignis.
Besitzt der Ergebnisraum Ω genau n Elemente, so gibt es 2n unterschiedliche
Teilmengen , d.h. 2nverschiedene Ereignisse.
Die Menge aller Ergebnisse heißt Ereignisraum P( Ω )
1
Beispiel: Ω = {ω1, ω 2 , ω 3 } Bestimme alle Ereignisse.
Lösung: Es gibt acht unterschiedliche Ereignisse mit folgenden Bezeichnungen:
{ }: unmögliches Ereignis
{ω1}{
, ω 2 }{
, ω3 }: Elementarereignisse
{ω1ω2 }{
, ω1ω3 }{
, ω 2 ω3 }: Ereignisse mit zwei Elementen
Ω = {ω1ω 2 ω 3 }: sicheres Ereignis
Jedes Ereignis A lässt sich als Vereinigung von Elementarereignissen, d.h. von
ein - elementigen Teilmengen darstellen.
Beispiel:
Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl wird festgestellt.
Bestimme Ω sowie folgende Ergebnisse als Teilmenge von Ω .
A1: AZ nicht 6 A2: AZ prim A3: AZ größer 7
A4: AZ kleiner 10
Ω = {1,2,3,4,5,6} = {}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
1∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6
A 1 = {1,2,3,4,5}
A 2 : {2,3,5} A 3 : { } (unmögliches Ereignis) A 4 = {1,2,3,4,5,6} = Ω
Ereignisalgebra
Sprech - und Darstellungsweisen
Mengendarstellung
Feldertafel
Ein Ereignis A ist
eingetreten, wenn sich ein
Ergebnis ω ∈ A einstellt
Ein Ereignis A ist das
Gegenereignis oder
Komplementärereignis
zum Ereignis A, d.h. A
enthält ω ∈ Ω mit ω ∉ A.
A ist nicht eingetreten
Das Ereignis
A ∪ B (Vereinigungsmenge)
der beiden Ereignisse A
und B enthält alle
Ergebnisse ω ∈ Ω
mit ω ∈ A oder (auch)
ω ∈B :
Mindestens eines der
Ereignisse A oder B sind
eingetreten
Das Ereignis A ∩ B
(Schnittmenge) der beiden
Ereignisse A und B
enthält alle Ergebnisse
ω ∈ Ω mit ω ∈ A. und
(zugleich) ω ∈ B :
“Sowohl A als auch B
2
sind eingetreten.“
Falls A ∩B = { }gilt, heißen
die Ereignisse A und B
unvereinbar
Formuliere jeweils in Worten und gib die Mengendarstellung und die
Darstellung mit der Vierfeldertafel an.
a) A ∩ B :
Das Ereignis A ∩ B ist
eingetreten, wenn weder
A noch B eingetreten
sind.
Es gilt::
A ∩B = A ∪B
b) A ∪ B :
Das Ereignis A ∪ B ist
eingetreten, wenn
höchstens eines der
Ereignisse A oder B
eingetreten ist,
Es gilt:
A ∪B = A ∩B
(
)
c) ( A ∩ B) ∪ A ∩ B :
Das Ereignis
( A ∩ B) ∪ A ∩ B ist
eingetreten, wenn
entweder A oder B
eingetreten ist.
(
)
1.3 Mehrstufige Zufallsexperimente - Pfadregeln
1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades im Baumdiagramm
2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.
3
1.4 Eigenschaften der relativen Häufigkeiten à Notwendigkeit
der Erarbeitung eines mathematischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Beispiel: Würfeln (n = 300; Simulation APPSà Prob Sim àRoll Dice)
n = 300
{ωi }
Hn {ω i }
hn {ωi }
1
2
3
4
5
6
51
57
44
40
56
52
51
300
57
300
44
300
40
300
56
300
52
300
Eigenschaften der relativen Häufigkeiten
Ereignis A tritt bei n-Versuchen k mal auf à
h n (A ) =
0≤k ≤n
Hn (A ) k
=
n
n
0 ≤ hn (A ) ≤ 1 à hn(A) reelle Zahl [0;1]
hn ({ }) = 0
hn (Ω) = 1
57
40
52
149
Beispiel: A: AZ gerade à
+
=
h 300 ( A ) =
+
300 300
300 300
(4) hn ( A ) = ∑ h n (ω)
(1)
(2)
(3)
ω∈A
Beispiel: 2 Ereignisse A und B A: s. o. B: AZ Primzahl
149
157
h 300 (B) =
h 300 ( A ) =
300
300
149 157 57
249
h 300 ( A ∪ B) =
+
−
=
300 300 300 300
à relative Häufigkeit des „Schnittereignisses muss einmal subtrahiert werden
(5)
hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B) − hn (A ∩ B)
hn ( A ∪ B) = hn ( A) + hn (B)
falls
A ∩B = { } dann
Beispiel: Gegenereignis A
(6)
hn A = 1 − hn ( A )
()
Nach einer hinreichend großen Anzahl n von Durchführungen eines
Zufallsexperimentes stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten h(A) eines
Ereignisses A.
à Richard Mises (1883 – 1953): P(A) = lim hn ( A )
n→∞
Schwierigkeit: es gibt keine unendlichen Ereignisfolgen à hn(A) ≈ P(A)
à Der mathematische Wahrscheinlichkeitsbegriff
(1933 begründete KOLMOGOROW (1903 – 1987) die Wahrscheinlichkeit
axiomatisch)
Axiom: als absolut richtig anerkannter Grundsatz, gültige Wahrheit, die keines
Beweises bedarf; axiomatisch: auf Axiomen beruhend; unanzweifelbar
4
DEFINITION:
Eine Funktion P, die jedem Elementarereignis aus P( Ω ) eine Wahrscheinlichkeit
zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Ergebnisraum Ω, wenn
sie folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Für jedes Elementarereignis gilt: 0 ≤ P({ω}) ≤ 1
(Die WK eines Elementarereignisses ist eine Zahl aus dem Intervall [0,1])
(2) ∑ P({ω}) = 1
ω∈Ω
(Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist stets 1)
(3) P ({ }) = 0
(Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0)
(4) A = ∪ {ω} ⇒ P( A ) = ∑ P({ω})
ω∈A
ω∈A
(Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich als Summe der WK der
Elementarereignisse, deren Vereinigung das Ereignis A ist)
Axiome von Kolmogorow
1. Nichtnegativität: Für alle Ereignisse A gilt: P(A) ≥ 0
2. Normiertheit: P( Ω ) = 1
3. Additivität: A ∩ B = { } à P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mit diesen Axiomen legte Kolmogorow den Wahrscheinlichkeitsbegriff fest
Weitere Eigenschaften:
4. P( A ) = 1 – P(A)
5. P(A ∪ B) = P( A ) + P(B) − P( A ∩ B)
1.5 Laplace – Wahrscheinlichkeiten
Wenn für alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleiche Wahrscheinlichkeiten
angenommen werden können (Gleichverteilung), dann heißt das Zufallsexperiment
ein Laplace-Experiment.
P( A ) =
A
Ω
=
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
1.6 METHODEN zum Berechnen bzw. Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten
(Abzählverfahren)
Beispiel à Ausgangsproblem Kombinatorik
In einer Eisdiele gibt es sechs verschiedene Eissorten.
Für 2,50€ erhält man eine Waffeltüte mit drei Eiskugeln.
Wie teuer kommt es, wenn man im Laufe der Zeit alle „Möglichkeiten“ durchprobieren
will?
5
1. Produktregel
Beispiele:
(1) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, dass sich zwei Schüler auf fünf
freie Stühle, die in einer Reihe aufgestellt sind, setzen können?
(2) Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen gibt es, deren
Zehnerstelle ungerade und deren Einerstelle eine Primzahl ist?
(3) Ein Junge hat drei Paar Hosen, vier Hemden, fünf Pullover und zwei Paar
Schuhe.
Wie viele Zusammenstellungen seiner Kleidung gibt es?
(Lösungen: 5 ⋅ 4 = 20, 9 ⋅ 5 ⋅ 4 = 180, 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 2 = 100 )
Allgemein gilt:
Produktregel(Allgemeines Zählprinzip)
Gegeben sind k nichtleere Mengen A1,A2,…..Ak mit den Mächtigkeiten n1,n2,….nk.
Bildet man k - Tupel dadurch, dass man
an die i-Stelle ein Element aus der i-ten Menge setzt, so gibt es
n1* n2*…..nk verschiedene k-Tupel.
Weitere Beispiele:
(4) Auf den Gipfel eines Berges führen sechs verschiedene Aufstiege, die auch für
den Abstieg genutzt werden können.
Wie viele Möglichkeiten für eine Gipfeltour gibt es, wenn Auf- und Abstieg
a) verschieden sein müssen
b) auch gleich sein können?
(Lösung: verschieden: 6 ⋅ 5 = 30 gleich : 6 2 )
(5) Aus den zehn Ziffern 0 1 2;…9 unseres Zehnersystems wird dreimal eine Zahl
ausgewählt, sodass Tripel 000,001,….999 entstehen
a) Wie viele Tripel enthalten lauter gleiche Ziffern?
b) Wie viele Tripel enthalten mindestens eine 9?
c) Bei wie vielen Tripeln ist die erste Zahl größer als 5?
d) Bei wie vielen Tripeln ist die dritte Zahl eine 1?
(Lösung: 10, mindestens eine 9: genau eine 9: 3 ⋅ 9 ⋅ 9 =243
zweimal eine 9: ⋅ 9 = 27 dreimal eine 9 : 1 à271 Tripel
4 ⋅ 10 ⋅ 10 = 400, 10 ⋅ 10 ⋅ 1 = 100
Lösungen zum Eisproblem:
Modellierung: Urne: 6 Kugeln à 3 mal Ziehen
Möglichkeiten:
JA
Reihenfolge spielt eine Rolle
NEIN
1. Alle drei sind verschieden
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
6⋅5⋅4
= 20
1⋅ 2 ⋅ 3
2.1 Zwei müssen von gleicher
Farbe sein.
( 112 …..
)
2.2 Zwei dürfen von gleicher
Farbe sein
6 ⋅ 5 ⋅ 3 = 90
6 ⋅ 5 = 30
120 + 90 = 210
3.1 Alle müssen von einer
Farbe sein
3.2 Alle dürfen von einer
6
210 + 6 = 216
20 + 30 = 50
6
6 + 50 = 56
6
Farbe sein
540€
140€
2. Spezielle Abzählverfahren
2.1 Permutationen
à Am Abzählvorgang sind alle Objekte beteiligt
a) Permutationen ohne Wiederholung
Bsp.: Auf einen Tisch liegen vier Bücher. Wie viele Anordnungen gibt es?
L: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4!
allg.: Für eine Menge von n verschiedenen Elemente gibt es
n ⋅ (n − 1)⋅ (n − 2)⋅ ......2 ⋅ 1 verschiedene Anordnungen
DEF: 1) Jede Anordnung von n paarweise verschiedenen Elemente in einer
bestimmten Reihenfolge heißt eine Permutation der Elemente.
2) n! = n ⋅ (n − 1)⋅ (n − 2)⋅ .....2 ⋅ 1
1! = 1 0! = 1
Zu jeder Menge von n Elementen gibt es n! Permutationen.
b) Permutationen mit Wiederholung
Bsp.1: Wie viele verschiedene sechsstellige Telefonnummern kann man aus
4 Fünfen und 2 Einsen bilden?
Bsp.2: An der Vorkasse eines Fußballstadions stehen 20 Personen
( 12 Männer, 3 Frauen, 5 Kinder)
Wie viele Warteschlangen gibt es, wenn die anstehenden Personen nur nach
Männer, Frauen und Kinder unterschieden werden?
allg.: Zu n Elementen, von denen k1, k2, … kr gleich sind,
gibt es:
n!
verschiedene Möglichkeiten der Anordnungen
k 1!⋅k 2 !⋅... ⋅ k r !
d.h. Permutationen mit Wiederholung
2.2 Spezielle Abzählverfahren à Auswahl von k – Tupel
(Tupel: in der Anordnung ist die Reihenfolge wichtig)
a) k – Tupel ohne Wiederholung
Bsp.1: Bei einem Pferderennen mit 18 Pferden will jemand den Einlauf der ersten
drei Pferde richtig voraussagen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Vorüberlegung: Reihenfolge: ja Wiederholung: nein;
Urne: aus n Kugeln k mal Ziehen ohne Zurücklegen)
18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 4896 ( Eselsbrücke: …..)
18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ ..... ⋅ 2 ⋅ 1 18!
18!
=
=
15 ⋅ 14 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
15! (18 − 3)!
Bsp.2: Ausschuss von 6 Personen wählt seinen Vorsitzenden und dessen
Stellvertreter per Los. Wie viele Möglichkeiten der Amtbesetzung gibt es?
(30)
allg.: Aus einer Menge n (unterschiedlichen) Elementen sollen k nacheinander
ausgewählt werden, wobei keine Wiederholungen auftreten dürfen.
7
Wie viele Möglichkeiten gibt es für solche k Tupel?
n!
solcher Tupel
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ....... ⋅ (n − k + 1) =
(n − k )!
Anmerkung: à Jede solche Auswahl eines k – Tupels heißt VARIATION ohne
Wiederholung V nk
à entspricht Ziehen ohne Zurücklegen von k - Kugeln aus einer Urne
mit n-unterscheidbaren Kugeln
à GTR n nPr k
b) k – Tupel mit Wiederholung
Bsp.1: Ein Würfel wird viermal nacheinander geworfen und jeweils wird die AZ
notiert. Wie viele verschiedene 4 – Tupel gibt es?
(1296)
Bsp.2: Mit Hilfe der Ziffern 1,2,3 sollen sechsstellige Zahlen gebildet werden.
Wie viele solcher Zahlen gibt es?
(729)
((Vorüberlegung: Reihenfolge: ja Wiederholung: ja Urne: aus n Kugeln k mal
Ziehen mit Zurücklegen)
allg.: Aus einer Menge n (unterschiedlichen) Elementen sollen k nacheinander
ausgewählt werden, wobei Wiederholungen auftreten dürfen.
es gibt: n ⋅ n ⋅ n ⋅ .... ⋅ n = nk solcher Tupel, da für jede Stelle des k-Tupels n
Elemente zur Verfügung stehen
Anm.: à Jede solche Auswahl eines k – Tupels heißt VARIATION mit Wiederholung
Vnk
à entspricht Ziehen mit Zurücklegen von k-Kugeln aus einer Urne mit
n-unterscheidbaren Kugeln
A1: Jemand besitzt 6 Münzen von verschiedenem Wert. Auf wie viele verschiedene
Arten kann er sie auf 3 Taschen verteilen?
(729)
A2: Multiple-Choice-Test à 12 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten
(Pro Frage ist eine Antwort zu geben)
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(531441)
2.3 Spezielle Abzählverfahren à Auswahl von k-Mengen
(Menge: in der Anordnung ist die Reihenfolge nicht wichtig)
a) k – Mengen ohne Wiederholung
Bsp.1:Ausschuss von 6 Personen wählt 2 Delegierte für eine Veranstaltung per
Losentscheid. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Vorüberlegung: bei Reihenfolge spielt Rolle: 30; aber hier ist es egal, wer als erster
oder zweite gezogen wird:
6⋅5
= 15 )
2
Bsp.2: Aus der Menge der Buchstaben a, b, c, d werden 3 ausgewählt, wobei die
Reihenfolge (1) eine Rolle spielt
(2) keine Rolle spielt
Schreibe alle Möglichkeiten auf!
Lösung: (1) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24
4!
(4 − 3)!
(2)
4⋅3⋅2 4⋅3⋅2
4!
=
=
6
3!
(4 − 3)!⋅3!
8
allg.: Aus einer Menge n (unterschiedlichen) Elementen sollen k ohne
Wiederholung ausgewählt werden, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt,
d.h. es werden k-Mengen ausgewählt.
Herleitung: Würde die Reihenfolge eine Rolle spielen, gebe es
n!
Möglichkeiten
(n − k )!
da aber im Sinne der Mengenlehre k! Anordnungen gleich sind, gibt es nur noch
n!
Möglichkeiten.
(n − k )!⋅k!
⎛ n ⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
à Binomialkoeffizient
⎝ k ⎠ (n − k )!⋅k!
( Koeffizienten bei der Berechnung
DEF.:
⎛ n ⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ (n − k )!⋅k!
0≤k≤n
⎛ n ⎞
und ⎜⎜ ⎟⎟ = 0
k
von (a + b)n)
k>n
⎝ ⎠
Für die Auswahl von k-Mengen ohne Wiederholung aus einer Menge von n
⎛ n ⎞
unterscheidbaren Objekten ( k ≤ n) gibt es ⎜⎜ ⎟⎟ Möglichkeiten.
⎝ k ⎠
Anmerkung: à Jede solche Auswahl einer k-Menge ohne Wiederholung heißt
Kombination von n-Elementen zur k-Klasse Ckn
- s. Herleitung Tafel
à Eselsbrücke: Zähler und Nenner enthält k Faktoren;
im Zähler k Faktoren von n abwärts; im Nenner k Faktoren von 1
⎛13 ⎞ 13 ⋅ 12 ⋅ 11
⎟⎟ =
1⋅ 2 ⋅ 3
⎝ 3 ⎠
aufwärts d.h. ⎜⎜
à GTR à 13 nCr 3 (83+: 13 Math Prob nCr 3)
à Ziehen auf einem Griff
à Hinweis: Pascalsches Dreieck
à Eigenschaften Binomalkoeffizient
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ; ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = n ; ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ;
⎝ 0 ⎠ ⎝ n ⎠
⎝ 1⎠ ⎝ n ⎠
⎝ k ⎠ ⎝ n − k ⎠
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠
ZUSATZ: (nicht Bestand des Lehrplans)
b) k-Mengen mit Wiederholung
Bsp. Zwei unterscheidbare Spatzen sollen auf 4 Bäume verteilt werden
Wie viele Möglichkeiten?
(Vorüberlegung: Reihenfolge spielt keine Rolle, Wiederholungen möglich;
Urne 4 Kugeln à B1 B2 B3 B4 n = 4 k=2
⎛ n + k − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ k ⎠
n: Anzahl der Kugeln
k: Anzahl der Züge
9