Mathematik > Wahrscheinlichkeitsrechnung > kompakt

Michael Buhlmann
Mathematik > Wahrscheinlichkeitsrechnung > kompakt
Zufallsexperiment: Zufallsversuch mit nicht vorher bestimmten Ergebnis ->
Ergebnismenge S = {a1, … an} -> Ereignisse als Teilmengen der Ergebnismenge A, B, … ⊂ S ->
A∩B = Ereignis „A und B“, A∪B = Ereignis „A oder B“, A = Ereignis „nicht A“ (Gegenereignis),
S = sicheres Ereignis, {} = unmögliches Ereignis
 n  n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
n!
Fakultät: n!= 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n , Binominialkoeffizient:   =
=
1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
k!(n − k )!
k 
Kombinatorik: „Aus n Elementen werden k ausgewählt.“ ->
a) mit Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge: nk Möglichkeiten,
 n + k − 1 (n + k − 1)!
b) mit Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: 
Möglichkeiten,
 =
 k  k!(n − k )!
n
n!
c) ohne Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge:   ⋅ k!=
Möglichkeiten,
(n − k )!
k 
 n
n!
d) ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:   =
Möglichkeiten
 k  k!(n − k )!
Permutationen: „n Elemente werden angeordnet“ -> a) alle Elemente sind verschieden: n! Möglichkeiten,
b) je ni Elemente sind gleich, i = 1, 2, … r; n1 + n2 + … + nr = n:
n!
Möglichkeiten
n1!⋅... ⋅ nr !
Wahrscheinlichkeit: relative Häufigkeit als die einem Ereignis A zugeordnete Zahl -> p( A) = p =
g
n
mit: g = Anzahl der günstigen Versuchsergebnisse, n = Anzahl der möglichen Versuchsergebnisse ->
0 ≤ p ≤ 1, 1–p (Gegenwahrscheinlichkeit), p(S) = 1, p({}) = 0
Additionssatz: p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) ,
p ( A) + p ( A) = 1 , p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) (A∩B = {})
Wahrscheinlichkeitsbaum: 1-, 2-, …, n-stufig ->
Vierfeldertafel:
B
B
A
A
p( A ∩
B)
p( A ∩ B )
p(
p(A)
p( A )
A∩ B )
p( A ∩ B )
p(B)
p( B )
1
Pfadregeln für Wahrscheinlichkeitsbäume: a) Pfad A->B, p1 = p(A), p2 = p(B) -> p(A∩B) = p1p2;
b) mehrere Pfade -> Wahrscheinlichkeit als Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade
Bedingte Wahrscheinlichkeit: p A ( B ) =
p( A ∩ B)
p ( A)
Stochastische Unabhängigkeit/Abhängigkeit: p( A) ⋅ p( B) = p( A ∩ B) , p( A) ⋅ p( B) ≠ p( A ∩ B)
Zufallsvariable: X als reelle Abbildung zur Beschreibung des Zufallsexperiments -> X(a1) = x1, … mit
Ergebnissen a1, … -> Wahrscheinlichkeitsverteilung: x1: p(X=x1), x2: p(X=x2), … ->
Erwartungswert E(X) = x1p(X=x1) + x2p(X=x2) + …
Bernoulli-Experiment: p Grundwahrscheinlichkeit, n Gesamtanzahl, Zufallsvariable X als Anzahl eines
n
k 
günstigen Ergebnisses -> p( X = k ) =   p k (1 − p) n − k -> p(X>k) = 1 – p(X≤k) u.ä.