Folien 42 - 43 - Fakultät Informatik/Mathematik

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten ZV
- Zufallsexperiment: ”Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln”
- Zufallsvariable: X = Erzielte Augensumme (diskrete ZV)
- Tabelle der Einzelwahrscheinlichkeiten:
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f (xi )
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Berechnung des Mittelwertes:
X
1
2
3
1
252
µ=
xi · f (xi ) = 2 ·
+3·
+4·
+ . . . + 12 ·
=
=7
36
36
36
36
36
i
⇒ Wird eine große Anzahl solcher Zufallsexperimente durchgeführt,
so ”erwartet” man eine durchschnittliche Augensumme von (annähernd) 7.
Berechnung der Varianz:
X
2
1
1
2
σ =
(xi − µ)2 · f (xi ) = (2 − 7)2 ·
+ (3 − 7)2 ·
+ . . . + (12 − 7)2 ·
36
36
36
i
=
210
= 5.83
36
Damit gilt für die Standardabweichung: σ =
√
5.83 = 2.42.
Mathematik III - Folie 42
Bernoulli-Experiment
- Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p
und das zu A komplementäre Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 − p
eintritt (d.h. es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse)
- Dies gilt auch für jede Wiederholung des Experiments.
- Beispiel: beim Wurf einer homogenen Münze gibt es nur die Ereignisse
A: ”Zahl”
und
A: ”Wappen”. Sie treten mit den Wahrscheinlichkeiten:
p = P (A) = 12 und q = P (A) = 1 − 12 = 12 auf.
Bernoulli-Experiment vom Umfang n
- mehrstufiges Experiment: n-fache Ausführung eines Bernoulli-Experiments
mit den beiden möglichen Ereignissen A und A
- Ereignis A tritt in jedem der n Teilexperimente mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit p auf
- Ergebnisse der einzelnen Stufen voneinander unabhängig
- ein derartiges Experiment wird wird bezeichnet als
Bernoulli-Experiment vom Umfang n
- Zufallsvariable X: Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A bei einem
Bernoulli-Experiment vom Umfang n auftritt
⇒ n kann jeden der Werte 0, 1, 2, . . . n annehmen
- Die Fragestellung: Mit welcher Wahrscheinl. nimmt die ZV X den Wert k an?
führt auf die Binomialverteilung
Mathematik III - Folie 43