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n-stufige BERNOULLI-Experimente - Grundwissen
Was versteht man unter einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment?
Wird ein BERNOULLI-Experiment, d.h. ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen mehrmals (n-mal) hintereinander durchgeführt und ändern sich dabei die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q nicht, so bezeichnet man diese n
Durchführungen als n-stufiges BERNOULLI-Experiment.
Die „Anzahl der Erfolge“ in einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment wird als Zufallsgröße
X bezeichnet und deren Wert mit der Variable k belegt.
Die Wahrscheinlichkeit, in einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment k Erfolge zu erhalten, bezeichnet
æ nö
man mit P ( X = k ) ; sie wird berechnet nach der Formel P ( X = k ) = ç ÷ × p k × q n - k .
èkø
Beispiel 1:
Das Zufallsexperiment „Eine Münze wird n-mal geworfen“ und Zahl
wird als Erfolg bezeichnet, ist ein n-stufiges BERNOULLI-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge, also der Würfe mit Zahl
k
n-k
æ nö 1
1
oben, lässt sich berechnen als P ( X = k ) = ç ÷ × æç ö÷ × æç ö÷ .
èkø è 2ø è 2ø
Beispiel 2:
Das Zufallsexperiment „Eine Reißzwecke wird n-mal geworfen“ ist
ein n-stufiges BERNOULLI-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für
k Erfolge – ob Kopf oder Seite - lässt sich erst berechnen, nachdem
die Wahrscheinlichkeiten p und q empirisch bestimmt wurden.
Beispiel 3:
Das Zufallsexperiment „Ein Spielwürfel wird n-mal geworfen“ und
„Augenzahl 6“ wird als Erfolg bezeichnet, ist ein n-stufiges BERNOULLI-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge, also die
Anzahl Sechsen, lässt sich berechnen als
æ nö æ 1 ö
P( X = k ) = ç ÷ × ç ÷
èkø è 6ø
k
æ5ö
×ç ÷
è6ø
n-k
.
Beispiel 4:
Das Zufallsexperiment „Ein markierter LEGO-Stein wird n-mal geworfen“ und „Augenzahl 1 oder 2“ wird als Erfolg bezeichnet, ist ein
n-stufiges BERNOULLI-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für k
Erfolge, also die Anzahl Einsen und Zweien, lässt sich nach der empirischen Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p und q berechnen.
Beispiel 5:
Das Zufallsexperiment „Aus einer Urne mit 6 roten und 4 weißen Kugeln wird n-mal eine Kugel gezogen“ ist kein BERNOULLI–Experiment, da sich mit jeder gezogenen Kugel die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten ändert. Legt man allerdings nach jedem
Ziehen die Kugel wieder zurück, so liegt ein BERNOULLI-EXPERIMENT vor. Wird z.B. eine gezogene rote Kugel als Erfolg festgelegt,
k
n-k
æ nö æ 3ö æ 2 ö
berechnet man die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge mit P ( X = k ) = ç ÷ × ç ÷ × ç ÷ .
èkø è5ø è 5ø
2012 Dr. Martin Lehmann-Greif
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Beispiel 6: Das Zufallsexperiment „Zwei Spielwürfel werden n-mal hintereinander geworfen“ und
„Pasch“ wird als Erfolg bezeichnet ist ein n-stufiges BERNOULLI–Experiment Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge, also die Anzahl der Pasch-Würfe, lässt sich berechnen als
k
æ nö æ 1 ö æ 5 ö
P( X = k ) = ç ÷ × ç ÷ × ç ÷
èkø è 6ø è 6ø
n -k
.
Beispiel 7: Das Zufallsexperiment „Aus einer Urne mit 6 roten und 4 weißen Kugeln wird eine Kugel
gezogen, diese wird dann zurückgelegt und dann erneut eine Kugel gezogen“ wird n-mal
durchgeführt und „Keine rote Kugel“ wird als Erfolg bezeichnet, ist ein n-stufiges BERNOULLI–Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge, also die Anzahl gezogener weik
n -k
æ n ö æ 9 ö æ 16 ö
ßer Kugelpaare, lässt sich berechnen als P ( X = k ) = ç ÷ × ç ÷ × ç ÷ .
è k ø è 25 ø è 25 ø
2012 Dr. Martin Lehmann-Greif
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