Bernoulli-Experimente

MK 22.3.2005 Bernoulli.mcd
Bernoulli-Experimente
Def.: Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn nur
zwei Elementarereignisse möglich sind, sich der
Ergebnisraum also in der Form
Ω = { T; N }
" T = Treffer, N = Niete "
darstellen lässt.
Dabei gilt: P(T) + P(N) =1, T und N stellen also
Ereignis und Gegenereignis dar.
Bsp.:
Werfe eine Münze:
Ω = { W; Z }
Würfle:
Ω = { eine 6; keine 6 }
Würfle:
Ω = { gerade; ungerade }
Wetter:
Ω = { schön; schlecht }
Jakob Bernoulli (1655-1705)
Bernoulli-Ketten: Wenn man ein Bernoulli-Experiment mehrmals (n-mal) ausführt und damit einen neuen
Ergebnisraum mit Paaren, Tripeln, usw. erzeugt, spricht man von einem n-stufigen
Bernoulli-Experiment oder einer Bernoulli-Kette der Länge n
n
n
Ergebnisraum Ω n = Ω = { T; N }
Bsp.: Werfe eine Münze dreimal:
Ω 3 = { WWW; WWZ; WZW; WZZ; ZWW; ZWZ; ZZW; ZZZ }
Bsp.: Ein Schüler erscheint mit der Wahrscheinlichkeit
und mit der Wahrscheinlichkeit
p = P ( "pünktlich" ) = 0.9
pünktlich
q = 1 − p = P ( "verspätet" ) = 0.1
verspätet.
Wir betrachten den Unterrichtsbesuch über eine Woche hinweg:
Ω 5 = { ppppp; ppppv; pppvp; ... vvvvv}
Es gilt:
5
P ( "immer pünktlich" ) = 0.9
5
P ( "immer zu spät" ) = 0.1
4
P ( "am 1. Tag zu spät" ) = 0.1 ⋅ 0.9
P ( "genau 1 Tag zu spät" ) = 5 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9
2
4
P ( "am 1. und 2. Tag zu spät" ) = 0.1 ⋅ 0.9
3
5 
2
3
2
3
 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 = 10 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9
2 
5 
3
2
3
2
P ( "genau 3 Tage zu spät" ) =   ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 = 10 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9
3 
P ( "genau 2 Tage zu spät" ) = 
Satz: Bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer und q = 1-p für eine
Niete werden k Treffer mit der Wahrscheinlichkeit
 n  k n−k
⋅p ⋅q
k 
PBinver ( n , p , k) = 
erzielt.
Bsp.: Mit welche Wahrscheinlichkeit erscheint der Schüler mindestens zwei Tage verspätet?
P ( "k > 1 Tag zu spät" ) = PBinver ( 5 , 0.1 , 2) + PBinver ( 5 , 0.1 , 3) + PBinver ( 5 , 0.1 , 4) + PBinver ( 5 , 0.1 , 5)
5
1
∑
=
PBinver ( 5 , 0.1 , k) = 0.08146
= 1−
k = 2
∑
PBinver ( 5 , 0.1 , k) = 0.08146
k = 0
Bsp.: Etwa 0.1% - 0.2% der Bevölkerung sind an HIV erkrankt, bei Risikogruppen (Homosexuelle, Bluter,
Drogenabhängige) nimmt man 20% oder mehr an. Nehmen Sie zusätzlich an, dass die Infektiosität
(anhängig von der sexuellen Praktik) zwischen 0.001 und 0.03 liegt (Schätzung).
Eine Person habe 10 mal ungeschützten Geschlechtsverkehr mit jeweils unbekannten Personen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Person mit HIV infiziert hat?
Wie oft muss eine Person mit anderen unbekannten Personen ungeschützt verkehren, um mit einer
Wahrscheinlichkeit von 10% an HIV zu erkranken?
n = 10
pbev := 0.0015 pinf := 0.01 p := 1 − pbev ⋅ pinf → .999985
P ( "Ansteckung") = 1 − p
0.1 = 1 − p
n
=>
10
0.9 = p
n
1−p
n :=
10
= 0.00015
ln ( 0.9)
ln ( p)
"Wahrsch. keine Infektion"
0.015%
n = 7023.9817
"170-180 je Jahr in 40 Jahren"
Auf welchen Wert steigen die Wahrscheinlichkeiten, wenn sich die Person in einer Risikogruppe bewegt?
n = 10
pbev := 0.2
pinf := 0.01 p := 1 − pbev ⋅ pinf → .998
P ( "Ansteckung") = 1 − p
0.1 = 1 − p
n
=>
10
0.9 = p
n
1−p
n :=
10
"Wahrsch. keine Infektion"
= 0.01982
ln ( 0.9)
ln ( p)
n = 52.62756
Einen Person hat 10 mal ungeschützten Geschlechtsverkehr mit ihr unbekannten Personen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 HIV-Infizierte dabei waren?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn sich die Person als Drogenabhängiger im Milieu bewegt?
n = 10
pbev := 0.0015
(
(
)
(
))
1 − ( PBinver ( 10 , pbev , 0) + PBinver ( 10 , pbev , 1) ) = 0.0001
P ( "mind. 2 mit HIV" ) = 1 − PBinver 10 , pbev , 0 + PBinver 10 , pbev , 1
n = 10
pbev := 0.2
(
(
)
(
))
1 − ( PBinver ( 10 , pbev , 0) + PBinver ( 10 , pbev , 1) ) = 0.62419
P ( "mind. 2 mit HIV" ) = 1 − PBinver 10 , pbev , 0 + PBinver 10 , pbev , 1
Binomialkoeffizient:


bk ( n , k) := wenn  k < 1 , 1 ,
n
k


⋅ bk ( n − 1 , k − 1) 
k
PBinver ( n , p , k) := bk ( n , k) ⋅ p ⋅ ( 1 − p)
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli:
n− k
n: Anzahl der Versuche
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
k: Anzahl der Treffer
z
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:
SPBin_h ( n , p , z) :=
∑
PBinver ( n , p , k)
k = 0
n
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:
SPBin_m ( n , p , z) :=
∑
k = z
Vergleiche: Binomische Formel
n
( a + b) =
n
∑
k = 0
n− k
bk ( n , k) ⋅ a
⋅b
k
PBinver ( n , p , k)
(
)
(
)
SPBin_m 10 , pbev , 2 = 0.0001
SPBin_m 10 , pbev , 2 = 0.62419