Schwingungen

Grundlagenvertiefung zu PS2
A. Biedermann
Updated by W. Markowitsch
15. September 2015
PS2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen
2
2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation
3
2.1
Serienresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Parallelresonanz mit kapazitiver Einkopplung
5
3 Literaturangaben
. . . . . . . . . . . . . . . .
6
- 1 -
PS2
1 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen
1 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen
Schwingungen
Es besteht eine weitgehende Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingungen, die in der ähnlichen Form der zugrundeliegenden physikalischen Gesetze begründet
ist. Deshalb kann man praktisch alle beteiligten elektrischen und mechanischen Gröÿen
U = L dI/dt
F = m dv/dt (mit der
miteinander in Beziehung setzen. So etwa entspricht dem Induktionsgesetz
(mit der trägen Induktivität
trägen Masse
m);
Tabelle 1:
L)
das zweite Newtonsche Gesetz
weitere formale Entsprechungen nden Sie in Tab. 1.
Entsprechungen zwischen mechanischen und elektrischen Gröÿen
Eigenschaft
Mechanische Gröÿe
unabhängige Variable
Zeit
abhängige Variablen
Auslenkung
t
Elektrische Gröÿe
Zeit
x
t
Ladung
Geschwindigkeit
Koe. d. Trägheit
F
Masse m
Koe. d. Verlustleistung
Reibungszahl
Koe. d. rückstellenden Kraft
Federkonstante
v
Kraft
Strom
q
I
Spannung
U
Selbstinduktion
k
L
R
1/C
Ohmscher Widerstand
D
Reziproke Kapazität
Schwerkraft mg/l
Energiespeicher 1 (J)
Energiespeicher 2 (J)
Eigenfrequenz
ω0
(1/s)
Dämpfungskonstante
Dx2
2
mv 2
Kinetische Energie
2
q p
g
D
,
m
l
k
2m
Potentielle Energie
δ
(1/s)
Direkte Relevanz erhält diese Analogie bei
q2
Elektrostatische Energie
2C
LI 2
Magnetische Energie
2
q
1
LC
R
2L
elektromechanischen
Oszillatoren wie et-
wa Schwingquarzen (z.B. in Quarzuhren). Diese sind zwar wie alle elastischen Festkörper
mechanische Oszillatoren, können aber über Elektroden unter Ausnutzung des piezoelektrischen Eekts (Kopplung
→
−
E -Feld
und Verzerrungstensor
ε)
elektrisch angeregt werden.
Deshalb werden sie auch über elektrische L-C Ersatzschaltbilder beschrieben, obwohl sie
weder Kondensator noch Spule enthalten (ausser der durchaus relevanten Elektrodenkapazität). Da Quarz ein recht hartes Mineral ist (hohe elastische Konstante) überrascht es
auch nicht, dass die Äquivalentkapazität wesentlich kleiner als 1 pF ist und damit auch
wesentlich kleiner als die physikalische Elektrodenkapazität.
- 2 -
PS2
2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation
2 Der elektrische Schwingkreis in
Wechselstromnotation
Abbildung 1:
(a) Spannungsgetriebener Schwingkreis (Serienresonanz) und (b,c) stromgetriebener Schwingkreis (Parallelresonanz).
Mit der Methode der
komplexen Impedanzen
kann Berechnung von Schwingkreisen stark
vereinfacht werden, auch bei mechanischen Schwingungen (siehe Feynman Lectures Vol.
I). Im Folgenden wird zunächst das Prinzip anhand der Serienresonanz (Abb. 1a) veranschaulicht. Danach wird die Methode verwendet um den (eher subtilen) Unterschied in
den Resonanzkurven der Serienresonanz und der im Experiment verwendeten Schaltung
Abb. 1c zu berechnen. Auÿerdem wird dabei der signikante Unterschied im Impedanzverhalten von Serien- und Parallschaltung herausgearbeitet.
2.1 Serienresonanz
Man geht von der Dierentialgleichung für die Serienschaltung aus, mit dem Strom als
abhängiger Variable:
dI
L + IR +
dt
Z
- 3 -
I/C = U,
(1)
PS2
2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation
und verwendet für alle Spannungen und Ströme den komplexen Ansatz für harmonische
1
(sinusförmige) Schwingungen,
U (t) = U eiωt U = U0 eiϕu
I(t) = Ieiωt I = I0 eiϕi
wobei komplexe Gröÿen der Deutlichkeit halber
einkunft, dass die
Realteilen
dann den
messbaren
(2)
unterstrichen
sind. Dabei gilt die Über-
zeitlich veränderlichen Ströme und Spannungen jeweils den
dieser komplexen Gröÿen entsprechen. Die Absolutbeträge
Amplituden.
U0 , I0
entsprechen
Damit erhält man nach Einsetzen in die Dierentialgleichung und Kürzen des zeitabhäniωt
gigen Faktors e
:
iωLI + RI +
I
=U
iωC
(3)
Umgeformt ergibt das ein dem Ohmschen formal ähnliches Gesetz für die komplexe Spannung, den komplexen Strom und die komplexe Gesamtimpedanz
U = I(R + iωL −
Z:
i
) = IZ
ωC
(4)
Ein Vorteil der Methode ist, dass man zwischen kartesischer und polarer Darstellung
A exp(iϕ) = A(cos ϕ + i sin ϕ)
wechseln und Produkte und Summen recht einfach be-
rechnen und anschaulich in der komplexen Ebene darstellen kann (Zeigerdiagramm).
Bei der
Resonanzfrequenz ω0
wird
ω0 L = 1/(ω0 C),
die komplexen Widerstände von
Induktivität und Kapazität kompensieren einander und Gleichung (4) verwandelt sich in
das richtige Ohmsche Gesetz
Minimalwert,
U0 = I0 R.
die Phasenverschiebung zwischen
Die Spannung
Die
Serienimpedanz
erreicht damit ihren
der Strom ist nur mehr durch den Ohmschen Widerstand begrenzt und
U
I
und
U
verschwindet.
für beliebige Kreisfrequenz
UC = U
ω
folgt aus der Spannungsteilerformel:
ZC
U
=
Z
iωRC − ω 2 LC + 1
(5)
Der Absolutbetrag der Gleichung (kann für Zähler und Nenner getrennt berechnet werden)
ergibt mit der Güte
Q = ω0 /(2δ)
und der Dämpfung
δ = R/(2L)
die Resonanzkurve:
1 Hier wird ausnahmsweise dasselbe Formelzeichen für die zeitabhängige und zeitunabhängige Gröÿen
U(t) und U verwendet, um eine Ination von Formelzeichen zu vermeiden.
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PS2
2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation
U0
U0
.
UC0 = p
=p
2
(1 − ω 2 LC)2 + (ωRC)2
(1 − ω 2 /ω0 )2 + (ω 2 /ω02 )(1/Q2 )
Diese Resonanzkurve entspricht in der Form genau der Resonanzkurve bei
(6)
mechanischen
Schwingungen. Die Resonanzkurve für die Parallelresonanz, die nachfolgend behandelt
wird, weicht jedoch in einigen Details davon ab.
2.2 Parallelresonanz mit kapazitiver Einkopplung
Der Fall der Parallelresonanz mit kapazitiver Einkopplung liegt etwas komplizierter. Der
Kopplungskondensator erfüllt den Zweck einer Strom-Spannungswandlung (die Parallelschaltung kann nur bei Einprägen eines Stromes ungehindert schwingen, weil die Spannung
in der Parallelschaltung an beiden Kondensator und Spule gleich ist, siehe Schaltung in
0
Abb. 1c). Zunächst wird die Schwingkreisimpedanz CkRL (ohne C ) in der Näherung für
schwache Dämpfung berechnet:
Z RLkC =
ω2δ
iωL
R + iωL
1
≈
=
1
2
iωRC − ω LC + 1
iωRC − ω 2 LC + 1
iωC + R+iωL
Resonanz ω02 LC = 1 ist der Kreis wieder rein Ohmsch
|Z RLkC | erreicht ihren Maximalwert: |Z RLkC | = L/(RC).
Bei
und die
(7)
Parallelimpedanz
Den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Kondensatorspannung erhält man wieder
durch die Spannungsteilerformel:
UC = U
Die Impedanz
|Z C 0 | = 1/(ωC 0 )
Z RLkC
ZC 0 + ZRLkC
des Einkoppelkondensators muss wesentlich gröÿer als die
maximale Schwingkreisimpedanz
L/(RC)
sein, um die Strom-Spannungswandlung auch
0
bei Resonanz zu gewährleisten. Daraus kann man unmittelbar die Bedingung
Lω0 /R = ω0 /(2δ) = Q
(8)
C/C ableiten. Die Spannungsteilerformel vereinfacht sich dann zu
UC
und man erhält
UC ≈
C
Q
C0
≈ U
Z RLkC
Z C0
−U ω 2 LC 0
iωRC − ω 2 LC + 1
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(9)
(10)
PS2
3 Literaturangaben
Dieses Ergebnis unterscheidet sich von dem der Serienresonanz Glg. (5) also nur um den
2
0
Faktor ω LC und einer Änderung der Phasenverschiebung um π , wegen des Minus im
Zähler von Glg. (10). Die Form der Resonanzkurve unterscheidet sich insofern von der des
Serienschwingkreises, als die Kurve für kleine Frequenzen gegen Null strebt und für groÿe
gegen einen konstanten Wert. Bei der Serienresonanz ist es umgekehrt.
3 Literaturangaben
• Bergmann Schäfer Band 2 Elektromagnetismus,
•
Purcell,
de Gruyter, Berlin, 1999
Berkeley Physik Kurs 2, Elektrizität und Magnetismus, Vieweg, Braun-
schweig, 1983
•
(zur komplexe Methode für mechanische und elektrische Schwingungen) Feynman,
Leighton, Sands,
Feynman Lectures on Physics Vol I, Addison Wesley, Reading,
1977
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