Aufgaben

36
1.6
1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme
1.6 Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und
Gleichungssystemen
1.1 Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar:
a) {x : x ist Primzahl und x < 20}
b) {x : x ist reell und x2 + 1 = 0}
1.2 Gegeben sind die Mengen A = {x ∈ IR : 0 < x < 2} und B = {x ∈ IR : 1 ≤
x ≤ 3}. Bestimmen Sie graphisch sowie rechnerisch
(i) A ∩ B,
(ii) A ∪ B,
(iii) A × B,
(iv) A\B.
1.3 Bilden Sie die Vereinigung, Durchschnitt und beide Differenzmengen aus den
folgenden Mengen
a) M1 = {2, 4, 6, . . .},
M2 = {3, 6, 9, . . .}
b) M1 = {x : x2 + x − 2 = 0},
M2 = {x : x2 − 3x + 2 = 0}
1.4 Zeigen Sie mit Hilfe von Venn-Diagrammen, dass für drei Mengen M1 , M2 und
M3 gilt
a) M1 ∩ (M2 ∪ M3 ) = (M1 ∩ M2 ) ∪ (M1 ∩ M3 )
b) M1 ∪ (M2 ∩ M3 ) = (M1 ∪ M2 ) ∩ (M1 ∪ M3 )
1.5 Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ IN gilt
n
X
n (n + 1) (2n + 1)
a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
k2 =
6
k=1
n
X
b) 20 + 21 + 22 + . . . + 2n =
2k = 2n+1 − 1
k=0
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
c)
1·2
2·3
3·4
n (n + 1)
n+1
1.6 Zeigen Sie durch vollständige Induktion
a) 2n ≤ n! für jedes n ≥ 4
b) 2 n + 1 ≤ 2n für jedes n ≥ 3
c) n2 ≤ 2n für jedes n 6= 3
1.7 Berechnen
! Sie !
n
n
a)
,
,
0
n
b) 1024
!
3
,
1
!
3
,
2
!
4
,
0
!
4
,
1
!
4
,
2
!
4
,
3
4
4
!
1.8 Rechnen Sie nach, dass
n−1
n−1
n
n
X
X
X
X
ak−1 =
ak ;
ak+1 =
ak .
k=1
1.9 Man zeige
k=0
n
k
k=0
k=1
!
1
nk
≤
1
k!
für jedes n ∈ IN. (Nachrechnen!)
1.10 Man entwickle die folgenden Binome
3
a) (x + 4)5 b) (1 − 5 y)4 c) a2 − 2 b .
1.11 Bestimmen Sie mit Maple den Summenwert von
125
X
k=71
(k2 + 1).
1.6
Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen
37
1.12 Bestimmen Sie mit Maple eine Formel für die Summenwerte von
a) 13 + 23 + 33 + . . . + n3
b) 14 + 24 + 34 + . . . + n4
n
n
n
X
X
X
1
1
c)
;
;
xi .
i(i
+
1)
i(i
+
1)(i
+
2)
i=1
i=1
i=0
1.13 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit möglich
18 xa+4 4 x7−3a
a)
:
b) (an+1 bx−1 + an bx + an−1 bx+1 ) : (an−2 bx−1 )
2 y 5a+7 9 y 8+5a
1.14 Vereinfachen Sie formal die Wurzelterme soweit möglich
p
√
(2x − k)2
x(2r2 − 4x2 )
− 8x r2 − x2 b) 2 (x − k)2 + x2 − √
a) √
2
2x2 − 2kx + k2
r2 − xr
√
3x
−
3
c) 6x2 − 6
2x + 2
1.15 Berechnen Sie
p√
p
√
4
3 6 12
3
a)
a b
b) a2 a2
p
p
√
√
6
3
9
a5 a2
a3 a7
e) p
: p
√
√
3
9
6
a7 a
a2 a4
1.16 Berechnen Sie
√
a) ld 24 , log 10, ln e3
p
√
n+1
m
an b−1
c) log
p
3 √
c)
a6 b8
r
3
d)
a3
q p
√
5
4
a2 a8 a3
q
√
√
1
b) ln( e)3 , ln √
e3(ln e2 +ln e6 )
3 2 , ln
e
1.17 Zeigen Sie, dass die beiden Mengen zusammen mit den Rechenoperationen +
und · die Körperaxiome erfüllen.
√
I
+, ·) mit den Rechenoperationen in IR.
a) ({a + b 2 mit a, b ∈ Q},
b) (F2 , +, ·) bzgl. den in Beispiel 1.9 ④ angegebenen Verknüpfungstabellen.
1.18 Geben Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen an:
a) 4 x2 + 8 x − 60 = 0 b) x2 − 4 x + 13 = 0 c) −1 = −9 (x − 2)2
d) 5 x2 + 20 x + 20 = 0 e) (x − 1) (x + 3) = −4
1.19 Man bestimme den Parameter c so, dass die Gleichung 2 x2 + 4 x = c genau
eine reelle Lösung besitzt.
1.20 Welche reellen Lösungen besitzen die Gleichungen?
a) −2 x3 + 8 x2 = 8 x
b) t4 − 13 t2 + 36 = 0
c) 12 3x2 − 6 x2 − 25 (x + 3) = 0
1.21 Lösen Sie mit Maple die folgenden Wurzelgleichungen:
√
√
a) −3 + 2 x = 2
b) x2 + 4 = x − 2
√
√
√
c) x − 1 = x + 1
d) 2 x2 − 1 + x = 0
1.22 Welche
reellen
Lösungen besitzen die Betragsgleichungen?
a) x2 − x = 24
b) |2 x + 4| = − x2 − x − 6
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1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme
1.23 Bestimmen Sie mit Maple die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:
a) 2 x − 8 > |x| b) x2 + x + 1 ≥ 0 c) |x| ≤ x − 2 d) |x − 4| > x2
1.24 Lösen Sie die folgenden
a) 4 x1 + 2 x2
x1 +
x2
2 x1 + 3 x2
b)
2 x1
2 x1
3 x1
+
+
x2
2 x2
c)
2 x1
2 x1
3 x1
+
+
x2
x2
Gleichungssysteme:
+ 4 x3 = 10
+
x3 =
3
+ 3 x3 =
8
+
+
+
+
+
+
x3
x3
x3
x3
x3
x3
=
=
=
=
=
=
7
10
5
7
0
5
1.25 Man bestimme die Lösungsmenge der folgenden Systeme:
a)
x1 − 3 x2 +
x3 = −3
−3 x1 +
x2 +
x3 =
5
b)
x1
x1
2 x1
+
+
+
x2
2 x2
x2
+
+
+
x3
x3
2 x3
=
=
=
6
7
11
c)
x1
x1
2 x1
+
+
+
x2
2 x2
x2
+
+
+
x3
x3
2 x3
=
=
=
7
7
11
1.26 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der linearen Gleichungssysteme:
a) 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 4
b)
x1
−3 x1
5 x1
−
+
−
x2
3 x2
5 x2
+
−
+
x3
3 x3
5 x3
=
=
=
1
−3
5
c)
x1
−3 x1
5 x1
−
+
−
x2
3 x2
5 x2
+
−
+
x3
3 x3
5 x3
=
=
=
1
−1
5
1.27 Welche Aussagen gelten für die entsprechenden homogenen Systeme?
1.28 Die Variablen x1 , x2 , . . . in den folgenden chemischen Reaktionen sollen für
möglichst kleine natürliche Zahlen stehen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x1 F e + x2 O2 −→ x3 F e2 O3
x1 F eS2 + x2 O2 −→ x3 F e3 O3 + x4 SO4
x1 C6 H12 O6 + x2 O2 −→ x3 CO2 + x4 H2 O
x1 C3 H5 N3 O9 −→ x2 CO2 + x3 H2 O + x4 N2 + x5 O2
x1 N H3 + x2 CuO2 −→ x3 N2 + x4 Cu + x5 H2 O
x1 Al + x2 H2 SO4 −→ x3 Al2 (SO4 )3 + x4 H2
x1 Ca3 (P O4 ) + x2 HCl −→ x3 Cacl2 + x4 H3 (P O4 )