Formelsammlung - WWZ

Universität Basel
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Abteilung Quantitative Methoden
Wichtige Formeln zu den Prüfungen
•
Statistik,
•
Mathematik 1 und
•
Mathematik 2
2
1
1.1
Eindimensionale Häufigkeitsverteilung
Unklassiert
Statistische Masse: {1, 2, . . . , n}
xi := Ausprägung des Merkmals X bei Element i
m (≤ n) die Anzahl der verschiedenen Merkmalsausprägungen von X
aj
:= j-te Ausprägung des Merkmals X,
hj
:=
fj :=
1.2
Anzahl der xi mit der Ausprägung aj (absolute Häufigkeit)
hj
(relative Häufigkeit).
n
Klassiert
X stetiges Merkmal mit Werten in [a, b)
a = a1 < a2 < . . . < am < am+1 = b
Kj
:= [aj , aj+1 )
hj
:=
fj :=
dj
:=
mj
:=
h∗j :=
Anzahl der Ausprägungen x mit x ∈ Kj = [aj , aj+1 )
hj
n
aj+1 − aj (Klassenbreite)
aj+1 + aj
dj
=
(Klassenmitte)
aj +
2
2
hj
(Klassendichte).
dj
3
2
Mittelwerte, Varianz, Schiefe und Wölbung
xi : Ausprägung von X beim Element i
x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) die geordneten Merkmalsausprägungen
Arithmetisches Mittel
n
1 X
xi
n
x̄ :=
i=1
Gewichtetes arithmetisches Mittel
x̄p :=
n
X
p i xi
p Wahrscheinlichkeitsvektor
i=1
Zentralwert
Geometrisches Mittel
mittlere Wert der nach
Grösse geordneten xi
v
un
uY
n
xi
G := t
alle xi positiv
i=1
(empirische) Varianz
n
1 X
(xi − x̄)2
var(X) :=
n−1
i=1
(empirische) Schiefe
n
1 X
(xi − x̄)3
n
i=1
g1 := v
!3
u
n
u 1 X
t
(xi − x̄)2
n
i=1
(empirische) Exzess
g2 :=
n
1 X
(xi − x̄)4
n
i=1
!2 − 3
n
X
1
(xi − x̄)2
n
i=1
p-Quantil für 0 ≤ p ≤ 1
x̃p :=

x(k)







 1 (x
+ x(n·p+1) )
2 (n·p)
falls n · p 6∈ Z ist k die kleinste
ganze Zahl mit k > n · p
falls n · p ∈ Z
4
3
Der Boxplot
• innerhalb der Box
untere Boxgrenze x̃0.25
obere Boxgrenze
x̃0.75
Linie in der Box
x̃0.5
• ausserhalb der Box
– Extremwerte: mehr als 3 Boxlängen vom unteren bzw. oberen Boxrand entfernt, wiedergegeben
durch ,,∗“
– Ausreisser: zwischen 1.5 und 3 Boxlängen vom oberen bzw. unteren Boxrand entfernt, wiedergegeben durch ,,◦“
– Der kleinste und der grösste Wert, der jeweils nicht als Ausreisser eingestuft wird, ist durch eine
horizontale Strecke darzustellen.
Extremwerte
Ausreisser
oberes Quantil
Zentralwert
unteres Quantil
Ausreisser
Extremwerte
5
4
Lorenzkurve und Ginikoeffizient
Merkmalsausprägungen, der Grösse nach geordnet: 0 ≤ x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) .
ui
=
i
n
für i = 0, 1, . . . , n
sowie
v0
vi
=
0
=
i
X
j=1
n
X
x(j)
für i = 1, . . . , n
x(j)
j=1
Die Lorenzkurve ist der Streckenzug, der durch die Punkte (u0 , v0 ), (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) verläuft.
Der Ginikoeffizient G ist definiert durch G = 2 · F , wobei F die Fläche zwischen der Diagonalen und der
Lorenzkurve ist Für den Ginikoeffizienten G gilt
2
G =
n
X
i=1
i · x(i) − (n + 1)
n
n
X
i=1
x(i)
n
X
i=1
x(i)
1
= 1−
n
2
n−1
X
i=1
!
vi + 1
6
5
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung
5.1
Kontingenztafel
Seien a1 , . . . , al die Ausprägungen von X und b1 , . . . , bm die Ausprägungen von Y :
Y
a1
a2
..
.
b1
h11
h21
..
.
b2
h12
h22
..
.
...
...
...
bk
h1k
h2k
..
.
...
...
...
bm
h1m
h2m
..
.
aj
..
.
hj1
..
.
...
hl1
h•1
hjk
..
.
hlk
h•k
...
al
Vert. von Y
hj2
..
.
hl2
h•2
hjm
..
.
hlm
h•m
X
...
...
• hjk = Anzahl Elemente mit (X = aj ) und (Y = bk )
• hj• = Anzahl Elemente mit (X = aj )
• h•k = Anzahl Elemente mit (Y = bk )
...
...
Vert.
von X
h1•
h2•
hj•
hl•
n
7
6
Zusammenhänge
Skalentyp
ordinalskaliert
metrisch skaliert
Korrelationskoeffizient
Rangkorrelationskoeffizient
kor
6.1
nominalskaliert
Kontingenzkoeffizient
K korr
R
Zusammenhang zw. metrischskalierten Merkmalen
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) Wertepaare
(empirische) Kovarianz:
cov(X, Y )
n
1 X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
n−1
:=
i=1
(empirischer) Korrelationkoeffizient:
6.2
kor(X, Y )
:=
p
Zusammenhang zw. ordinalskalierten Merkmalen
cov(X, Y )
p
var(X) · var(Y )
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) Wertepaare
Ri bzw. Ri′ Rangzahlen bezüglich (x1 , x2 , . . . , xn ) bzw. (y1 , y2 , . . . , yn )
Rangkorrelationskoeffizient (von Spearmann) ohne Bindung:
6
R = R(X, Y ) := 1 −
6.3
n
X
i=1
(Ri − Ri′ )2
n(n2 − 1)
.
Zusammenhang zw. nominalskalierten Merkmalen
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) Wertepaare
Chi-Quadrat-Koeffizient:
χ2 :=
m
l X
X
j=1 k=1
hjk −
hj• ·h•k
n
hj• ·h•k
n
2
.
Kontingenzkoeffizient:
K :=
s
χ2
n + χ2
normierte Kontingenzkoeffizient:
Kkorr
K
:=
Kmax
mit
Kmax :=
s
min(l, m) − 1
min(l, m)
8
7
Regressionsrechnung
7.1
Allgemein
gegeben: Modellgleichung y = f (x; a, b, c, . . .) zwischen den Merkmalen X und Y und n Messwertpaare
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )
gesucht: Welche Modellkurve approximiert die Messwertpaare am Besten?
Methode der kleinsten Quadrate: Bestimme die â, b̂, ĉ, . . ., die die Straffunktion S minimieren:
n
X
S(a, b, c, . . .) :=
i=1
7.2
( yi − f (xi ; a, b, c, . . .) )2
Lineare Regression
Regressionsgerade: y = f (x) = âx + b̂
Lösung:
•
n
X
i=1
xi yi = â
n
X
x2i + b̂
n
X
xi
n
X
und
n
X
i=1
i=1
i=1
i=1
yi = â
bzw.

 n
 n
 P
i=1
xi
n
P
i=1
n
P
i=1

xi 


2
xi
â
b̂

n
P

 i=1 yi 

= 
n
 P

xi y i
i=1
• oder
â =
cov(X, Y )
var(X)
und
b̂ = ȳ −
cov(X, Y )
x̄.
var(X)
xi + b̂n
9
8
Zeitreihen
8.1
Additives Zeitreihenmodell
y(ti ) = G(ti ) + S(ti ) + R(ti ) für i = 1, 2, 3, . . .
wobei die einzelnen Summanden die folgenden Bedeutungen haben:
1. G die glatte Komponente
2. S die Saisonkomponente
3. R die reguläre Komponente
8.2
Trendbereinigte Zeitreihe
.
y ∗ (ti ) = y(ti ) − Ĝ(ti )
8.3
Zyklische Komponente
n sei die Anzahl der Beobachtungen, k die Zykluslänge und m =
n
k
Ŝ(ti ) = Ŝ(ti+k ) = Ŝ(ti+2·k ) = . . . = Ŝ(ti+(m−1)·k ) =
m−1
1 X ∗
y (ti+j·k )
m
j=0
10
9
9.1
Mengen und Kombinatorik
Mengenoperationen
Seien A, B ⊂ Ω Mengen bzw. Ereignisse.
Ac
A∩B
A∪B
B−A
A×B
P(Ω)
{ ω ∈ Ω : ω 6∈ A }
{ ω ∈ Ω : ω ∈ A und ω ∈ B }
{ ω ∈ Ω : ω ∈ A oder ω ∈ B }
{ ω ∈ Ω : ω ∈ B und ω 6∈ A }
{ (a, b) : a ∈ A und b ∈ B }
{A : A⊂Ω}
=
=
=
=
=
=
Komplement bzw. zu A komplementäres Ereignis
Durchschnitt bzw. logisches Produkt
Vereinigung bzw. logische Summe
Differenz
kartesisches Produkt
Potenzmenge
Beachte: ∅ ⊂ M .
9.2
Rechenregeln
A∪B
A∩B
A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C)
A ∩ (B ∪ C)
A ∪ (B ∩ C)
(A ∪ B)c
(A ∩ B)c
9.3
=
=
=
=
=
=
=
=
B∪A
B∩A
(A ∪ B) ∪ C
(A ∩ B) ∩ C
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Ac ∩ B c
Ac ∪ B c .
Endliche Mengen und Kombinatorik
Permutation
Binomialkoeffizient
N! N
n
= 1 · 2 · 3···N
N!
=
(N − n)! n!
Ziehung von n Kugeln aus einer
Urne mit N Kugeln {1, . . . , N }
Kardinalität des Raumes
in Reihenfolge mit Zurücklegen
|ΩI | = N n
in Reihenfolge ohne Zurücklegen
N
|ΩII | = N · (N − 1) · · · (N − n + 1) =
n!
n
ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen
N
|ΩIII | =
n
ohne Reihenfolge mit Zurücklegen
|ΩIV | =
N +n−1
(N + n − 1)!
=
(N − 1)! n!
n
11
10
10.1
Wahrscheinlichkeitsräume (Ω, P )
Grundlegende Eigenschaften
P (Ω)
P (A)
S
P( ∞
i=1 Ai )
10.2
10.3
=
≥
=
1
0P
∞
i=1 P (Ai )
für alle A ⊂ Ω
A1 , A2 , . . . paarweise unvereinbare Ereignisse
Folgerungen
P (Ac )
=
1 − P (A)
A⊂B
⇒
P (A) ≤ P (B)
P (A − B)
=
P (A) − P (A ∩ B)
P (∪ni=1 Ai )
≤
P (A ∪ B)
=
Pn
P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A)
=
Pn
i=1 P (Ai )
i=1 P (A
∩ Bi )
{Bi } vollständige Zerlegung von Ω
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
P (A ∩ B)
=
=
P (A) · P (B|A)
P (B) · P (A|B)
allgemein
P (A ∩ B)
=
P (A) · P (B)
falls A, B unabhängig sind
P (A)
=
n
P
{Bi } vollständige Zerlegung von Ω
i=1
P (Bk |A)
=
P (Bi ) · P (A|Bi )
P (Bk ) · P (A|Bk )
P (A)
{Bi } vollständige Zerlegung von Ω
12
11
Zufallsvariablen X
Rechenregeln für Verteilungsfunktionen F (x) = P (X ≤ x)
Für alle a, b ∈ R mit a < b gilt:
P (X < a) = P (X ≤ a) − P (X = a) = F (a) − P (X = a)
P (X > a) = 1 − F (a)
P (X ≥ a) = 1 − F (a) + P (X = a)
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
P (a < X < b) = F (b) − F (a) − P (X = b)
P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) − P (X = b) + P (X = a)
Diskrete Zufallsvariablen
Wertebereich
x1 , x2 , . . . , xk , . . .
Verteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x) =
Erwartungswert
µ = E(X) =
X
X
P (X = xi )
xi ≤x
xi P (X = xi )
xi
Varianz
X
σ 2 = V ar(X) =
xi
(xi − µ)2 P (X = xi )
Stetige Zufallsvariablen
Wertebereich
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
ein Intervall in (−∞, ∞)
F (x) = P (X ≤ x) =
µ = E(X) =
Z
∞
Z
x
f (t) dt
−∞
t f (t)dt
−∞
Varianz
2
σ = V ar(X) =
Z
∞
−∞
Besachte:
• f ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, d.h.
– f (t) ≥ 0 für alle t ∈ R,
– f (t) ist stetig bis auf abzählbar viele Punkte,
Z ∞
f (t) dt = 1.
–
−∞
• Flächen = Wahrscheinlichkeiten
• P (X = x0 ) = 0 für jedes Ergebnis x0
( t − E(X) )2 f (t)dt
13
12
Zufallsvariablen X und Y
Kovarianz von X und Y :
Cov(X, Y ) := E(X · Y ) − E(X) · E(Y )
Korrelationskoeffizient von X und Y :
ρXY
=
Cov(X, Y )
p
p
V ar(X) · V ar(Y )
Für alle Zufallsvariablen X, Y und alle a, b, c ∈ R gilt:
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c
V ar(aX + b) = a2 V ar(X)
V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) ± 2 Cov(X, Y )
Cov(X, Y ) = 0
falls X, Y unkorreliert
X, Y unabhängig
⇒ X, Y unkorreliert
Bemerkung:
X, Y unkorreliert
13
6⇒ X, Y unabhängig
Ungleichung von Tschebyschev
P ( |X − E(X)| ≥ c ) ≤
V ar(X)
c2
oder
P ( |X − E(X)| < c ) ≥ 1 −
V ar(X)
c2
14
14
Spezielle diskrete Verteilungen
14.1
Binomialverteilung
• Ein Experiment hat zwei mögliche Ergebnisse: E (Erfolg) und E c (Misserfolg).
• Das Experiment wird eine feste Anzahl n mal durchgeführt.
• Die Durchführungen erfolgen unabhängig voneinander.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist konstant.
Es sei X = Anzahl Erfolge in den n Versuchen.
Dann ist X binomialverteilt (kurz: X ∼ B(n; p)) und
14.2
P (X = x)
=
n
fBi (x; n, p) =
px (1 − p)n−x
x
E(X)
=
np
V ar(X)
=
np(1 − p)
für x = 0, 1, 2, . . . , n
Geometrische Verteilung
• Ein Experiment hat zwei mögliche Ergebnisse: E (Erfolg) und E c (Misserfolg).
• Das Experiment wird durchgeführt, bis erstmals ein Erfolg eintritt.
• Die Durchführungen erfolgen unabhängig voneinander.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist konstant.
Es sei X = Anzahl der Versuche vor dem ersten Erfolg.
Dann ist X geometrisch verteilt und
P (X = x)
=
(1 − p)x p
E(X)
=
1−p
p
V ar(X)
=
1−p
p2
für x = 0, 1, 2, . . .
15
14.3
Hypergeometrische Verteilung
Von N Elementen seien S vom Typ E und W = N − S vom Typ E c . Eine Stichprobe vom Umfang n wird
gezogen (ohne zurücklegen).
Es sei X = Anzahl Elemente vom Typ E in dieser Stichprobe.
Dann ist X hypergeometrisch verteilt und
P (X = x)
=
E(X)
=
n
=
S
n
N
V ar(X)
14.4
S N −S x
n−x
N
n
für 0 ≤ x ≤ n
S
N
S
1−
N
N −n
N −1
Poisson-Verteilung
Ausgehend von zufälligen Ereignissen, die innerhalb eines Kontinuums mit der Intensitätsrate λ > 0
auftreten sei
X = Anzahl der Ereignisse innerhalb eines Kontinuums
Dann ist X poissonverteilt mit dem Parameter λ > 0 (kurz: X ∼ P o(λ)) und
P (X = x)
=
λx −λ
e
x!
E(X)
=
λ
V ar(X)
=
λ
für x = 0, 1, 2, . . .
16
15
15.1
Spezielle stetige Verteilungen
Gleichverteilungen
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
15.2
15.3


1
f (x) =
b−a
 0


 0x − a
F (x) =

 b−a
1
für a ≤ x ≤ b
sonst
x≤a
für a < x ≤ b
x>b
a+b
2
E(X) =
(b − a)2
12
V ar(X) =
Exponentialverteilungen
Dichtefunktion
f (x) =
Verteilungsfunktion
F (x) =
Erwartungswert
E(X) =
Varianz
V ar(X) =
αe−αx
0
1 − e−αx
0
für x ≥ 0
sonst
für x ≥ 0
x<0
1
α
1
α2
Normalverteilungen
Dichtefunktion
1 x−µ 2
1
φ(t; µ, σ 2 ) = √
· e− 2 ( σ )
2πσ
Verteilungsfunktion
1
Φ(x; µ, σ ) = √
σ 2π
2
Erwartungswert
E(X) = µ
Varianz
V ar(X) = σ 2
Zx
−∞
e−
(t−µ)2
2σ 2
dt
17
Standardnormalverteilung
Normalverteilung mit den Parametern µ = 0 und σ = 1, Abkürzungen: φ(x) = φ(x; 0, 1) und Φ(x) =
Φ(x; 0, 1)
Zusammenhang
X normalverteilt
;
Z=
X −µ
σ
standardnormalverteilt
P (a ≤ X ≤ b) = Φ(b; µ, σ) − Φ(a; µ, σ) = Φ
b−µ
σ
Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace
p
Für X ∼ B(n; p), µ = np, σ = np(1 − p) und n · p · (1 − p) > 9 gilt:
fBi (x; n, p)
≈ φ (x; µ, σ)
und
P (a ≤ X ≤ b)
≈ Φ
−Φ
b − µ + 0.5
σ
a−µ
σ
−Φ
a − µ − 0.5
σ
18
16
16.1
Punktschätzung
Stichproben
Grundgesamtheit: Zufallsvariable X, Erwartungswert µ, Varianz σ 2
Eine Stichprobe vom Umfang n ist eine Realisierung von n unabhängigen und wie X identisch verteilten
Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn
konkrete Stichprobe:
(x1 , x2 , . . . , xn )
Mittelwert der Stichprobe:
µ̂ =
1
(x1 + x2 + . . . + xn )
n
(Schätzwert für µ)
n
Varianz der Stichprobe:
1 X
(xi − µ̂)2
σ̂ =
n−1
2
(Schätzwert für σ 2 )
i=1
16.2
Die Maximum-Likelihood-Methode
X Zufallsvariable, deren Verteilung P (X = x) = P (x; θ) bis auf den Parameter θ bekannten sei.
Likelihood-Funktion zur konkreten Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ):
L(x1 , x2 , . . . , xn ; θ) :=
n
Y
i=1
P (xi ; θ) = P (x1 ; θ) · P (x2 ; θ) · · · P (xn ; θ)
Ein Parameterwert θM L = θ̂ mit
L(x1 , x2 , . . . , xn ; θM L ) ≥ L(x1 , x2 , . . . , xn ; θ)
für alle erlaubten θ heisst Maximum-Likelihood-Schätzer.
17
Konfidenzintervalle für µ einer normalverteilten Grundgesamtheit
(Konfidenzniveau 1 − α)
zweiseitig
σ 2 = σ02 bekannt
σ 2 unbekannt
h
x − z1− α2 √σ0n , x + z1− α2 √σ0n
einseitig
i
h
i
x − tn−1;1− α2 √sn , x + tn−1;1− α2 √sn
i
σ0
−∞, x + z1−α √
n
−∞, x + tn−1;1−α √sn
i
h
h
σ0
x − z1−α √
,∞
n
x − tn−1;1−α √sn , ∞
19
18
18.1
Testen
Grundlagen
Mit einer konkreten Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) soll eine Hypothese über einen unbekannten Parameter einer
Grundgesamtheit geprüft werden.
Nullhypothese H0 , Alternativhypothese H1 , Verwerfungsbereich R
Entscheidung:
Ist der aufgrund der Stichprobe ermittelte Wert ein Element von R,
so wird H0 abgelehnt (verworfen), andernfalls wird H0 beibehalten.
Fehler 1. Art:
H0 wird verworfen, obwohl H0 in Wirklichkeit richtig ist.
P (H0 verwerfen |H0 richtig ) = α
Fehler 2. Art:
H0 wird beibehalten, obwohl H0 in Wirklichkeit falsch ist.
P (H0 beibehalten |H0 falsch ) = β
18.2
Signifikanztests für p
Ein Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis E mit einer unbekannten Wahrscheinlichkeit p eintritt, wird
n-mal durchgeführt. Die Zufallsvariable X zähle die Anzahl der Durchführungen, bei denen das Ereignis E
eingetreten ist.
Zweiseitiger Test
gegeben:
H 0 : p = p0
H1 : p 6= p0
α
Verwerfungsbereich:
R = {0, 1, . . . , xl } ∪ {xr , xr + 1, . . . , n}
{z
} |
{z
}
|
Rl
xl grösste Zahl s.d.
xl X
n
pk0 (1 − p0 )n−k
k
≤
xX
r −1
≥1−
k=0
xr kleinste Zahl s.d
Rr
k=0
n
pk0 (1 − p0 )n−k
k
α
2
α
2
20
Linksseitiger Test
gegeben:
H 0 : p ≥ p0
H 1 : p < p0
α
Verwerfungsbereich:
R = {0, 1, . . . , x}
x grösste Zahl s.d.
x X
n
pk0 (1 − p0 )n−k
k
k=0
≤α
Rechtsseitiger Test
gegeben:
H 0 : p ≤ p0
H 1 : p > p0
α
Verwerfungsbereich:
R = {x, x + 1, . . . , n}
x kleinste Zahl s.d.
x−1 X
n
pk0 (1 − p0 )n−k
k
k=0
≥1−α
21
18.3
Signifikanztests für µ und σ einer normalverteilten Grundgesamtheit
(Signifikanzniveau α)
Hypothesen
H0
H1
Voraussetzungen
Testgrösse T
σ 2 = σ02 bekannt
X − µ0 √
n
σ0
Verteilung von T
Kritischer Bereich
Gauß-Test
µ = µ0
µ ≤ µ0
µ ≥ µ0
µ 6= µ0
µ > µ0
µ < µ0
|t| > z1− α2
N (0, 1)-Verteilung
t > z1−α
t < −z1−α
Einfacher t-Test
µ = µ0
µ ≤ µ0
µ ≥ µ0
µ 6= µ0
µ > µ0
σ 2 unbekannt
µ < µ0
X − µ0 √
n
SX
|t| > tn−1;1− α2
tn−1 -Verteilung
t > tn−1;1−α
t < −tn−1;1−α
χ2 -Streuungstest
σ 2 = σ02
σ 2 ≤ σ02
σ 2 ≥ σ02
σ 2 6= σ02
σ 2 > σ02
µ unbekannt
σ 2 < σ02
(n − 1) ·
σ02
2
SX
t > χ2n−1;1− α oder t < χ2n−1; α
2
χ2n−1 -Verteilung
2
t > χ2n−1;1−α
t < χ2n−1;α
Ergänzung (nicht prüfungsrelevant)
σ 2 = σ02
2
σ ≤
σ02
σ 2 ≥ σ02
t > χ2n;1− α oder t < χ2n; α
σ 2 6= σ02
2
σ >
σ02
σ 2 < σ02
µ bekannt
∗2
n · SX
2
σ0
2
χ2n -Verteilung
t>
χ2n;1−α
t < χ2n;α
2
22
18.4
Signifikanztests zum Vergleich zweier Erwartungswerte µX und µY und Varianzen
2
σX
und σY2 von normalverteilten Grundgesamtheiten (Signifikanzniveau α)
Hypothesen
H0
H1
Voraussetzungen
Testgrösse T
Verteilung von T
Kritischer Bereich
Doppelter t-Test
µX = µY
µX 6= µY
(X1 , . . . , Xn1 ), (Y1 , . . . , Yn2 )
X −Y
S
unabhängige Stichproben
µX ≤ µY
µX ≥ µY
µX > µY
µX < µY
2
σX
= σY2
X∼
Y ∼
2
N (µX , σX
)
2
N (µY , σY )
r
n1 n2
mit
n1 + n2
S=
q
|t| > tn1 +n2 −2;1− α2
tn1 +n2 −2 -Verteilung
2 +(n −1)S 2
(n1 −1)SX
2
Y
n1 +n2 −2
t > tn1 +n2 −2;1−α
t < −tn1 +n2 −2;1−α
Welch-Test
µX = µY
µX 6= µY
(X1 , . . . , Xn1 ), (Y1 , . . . , Yn2 )
unabhängige Stichproben
µX ≤ µY
µX > µY
2
σX
6= σY2
µX ≥ µY
µX < µY
2
X ∼ N (µX , σX
)
2
Y ∼ N (µY , σY )
2
σX
6= σY2
(X1 , . . . , Xn1 ), (Y1 , . . . , Yn2 )
X −Y
q 2
2
SY
SX
n1 + n2
|t| > tm;1− α2
tm -Verteilung
m=
2
2
/n1 +SY
/n2 )
( SX
„
(S 2 /n1 )2
X
n1 −1
2
(S 2 /n2 )2
+ Y
n2 −1
«
ganzzahlig gerundet
t > tm;1−α
t < −tm;1−α
F-Test
2
σX
= σY2
2
SX
/SY2
Fn1 −1,n2 −1 -Verteilung
t > Fn1 −1,n2 −1;1− α2
oder
t < Fn1 −1,n2 −1; α2
unabhängige Stichproben
2
σX
≤ σY2
2
σX
> σY2
µX , µY unbekannt
2
SX
/SY2
Fn1 −1,n2 −1 -Verteilung
t > Fn1 −1,n2 −1;1−α
2
σX
≥ σY2
2
σX
< σY2
2
X ∼ N (µX , σX
)
2
Y ∼ N (µY , σY )
2
SY2 /SX
Fn2 −1,n1 −1 -Verteilung
t > Fn2 −1,n1 −1;1−α
Beachte: Gilt X ∼ Fm,n so ist 1/X ∼ Fn,m und für die Quantile folgt Fm,n;α =
1
Fn,m;1−α
.
23
Hypothesen
H0
H1
Voraussetzungen
Testgrösse T
µX 6= µY
(X1 , . . . , Xn ), (Y1 , . . . , Yn )
D√
n mit
SD
µX ≤ µY
µX > µY
2
D = X − Y ∼ N (0, σD
)
µX ≥ µY
µX < µY
Verteilung von T
Kritischer Bereich
paired t-Test
µX = µY
(verbundene) Stichproben
2
SD
=
n
1 X
(Di − D)2
n − 1 i=1
|t| > tn−1;1− α2
tn−1 -Verteilung
t > tn−1;1−α
t < −tn−1;1−α
24
Standardnormalverteilung: Werte von Φ(x) = Φ(x; 0, 1)
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0.00
0.500
0.540
0.579
0.618
0.655
0.691
0.726
0.758
0.788
0.816
0.841
0.864
0.885
0.903
0.919
0.933
0.945
0.955
0.964
0.971
0.977
0.982
0.986
0.989
0.992
0.994
0.995
0.997
0.997
0.998
0.01
0.504
0.544
0.583
0.622
0.659
0.695
0.729
0.761
0.791
0.819
0.844
0.866
0.887
0.905
0.921
0.934
0.946
0.956
0.965
0.972
0.978
0.983
0.986
0.990
0.992
0.994
0.995
0.997
0.998
0.998
0.02
0.508
0.548
0.587
0.626
0.663
0.698
0.732
0.764
0.794
0.821
0.846
0.869
0.889
0.907
0.922
0.936
0.947
0.957
0.966
0.973
0.978
0.983
0.987
0.990
0.992
0.994
0.996
0.997
0.998
0.998
0.03
0.512
0.552
0.591
0.629
0.666
0.702
0.736
0.767
0.797
0.824
0.848
0.871
0.891
0.908
0.924
0.937
0.948
0.958
0.966
0.973
0.979
0.983
0.987
0.990
0.992
0.994
0.996
0.997
0.998
0.998
0.04
0.516
0.556
0.595
0.633
0.670
0.705
0.739
0.770
0.800
0.826
0.851
0.873
0.893
0.910
0.925
0.938
0.949
0.959
0.967
0.974
0.979
0.984
0.987
0.990
0.993
0.994
0.996
0.997
0.998
0.998
0.05
0.520
0.560
0.599
0.637
0.674
0.709
0.742
0.773
0.802
0.829
0.853
0.875
0.894
0.911
0.926
0.939
0.951
0.960
0.968
0.974
0.980
0.984
0.988
0.991
0.993
0.995
0.996
0.997
0.998
0.998
0.06
0.524
0.564
0.603
0.641
0.677
0.712
0.745
0.776
0.805
0.831
0.855
0.877
0.896
0.913
0.928
0.941
0.952
0.961
0.969
0.975
0.980
0.985
0.988
0.991
0.993
0.995
0.996
0.997
0.998
0.998
0.07
0.528
0.567
0.606
0.644
0.681
0.716
0.749
0.779
0.808
0.834
0.858
0.879
0.898
0.915
0.929
0.942
0.953
0.962
0.969
0.976
0.981
0.985
0.988
0.991
0.993
0.995
0.996
0.997
0.998
0.999
0.08
0.532
0.571
0.610
0.648
0.684
0.719
0.752
0.782
0.811
0.836
0.860
0.881
0.900
0.916
0.931
0.943
0.954
0.962
0.970
0.976
0.981
0.985
0.989
0.991
0.993
0.995
0.996
0.997
0.998
0.999
0.09
0.536
0.575
0.614
0.652
0.688
0.722
0.755
0.785
0.813
0.839
0.862
0.883
0.901
0.918
0.932
0.944
0.954
0.963
0.971
0.977
0.982
0.986
0.989
0.992
0.994
0.995
0.996
0.997
0.998
0.999
25
t-Verteilung: Quantile tn;p
p
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
0.900
3.08
1.89
1.64
1.53
1.48
1.44
1.42
1.40
1.38
1.37
1.36
1.36
1.35
1.35
1.34
1.34
1.33
1.33
1.33
1.33
1.32
1.32
1.32
1.32
1.32
1.32
1.31
1.31
1.31
1.31
1.30
1.30
1.29
0.950
6.31
2.92
2.35
2.13
2.01
1.94
1.89
1.86
1.83
1.81
1.80
1.78
1.77
1.76
1.75
1.75
1.74
1.73
1.73
1.73
1.72
1.72
1.71
1.71
1.71
1.71
1.71
1.70
1.70
1.70
1.68
1.67
1.66
0.975
12.70
4.30
3.18
2.78
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
2.20
2.18
2.16
2.14
2.13
2.12
2.11
2.10
2.09
2.09
2.08
2.07
2.07
2.06
2.06
2.06
2.05
2.05
2.05
2.04
2.02
2.00
1.98
0.990
31.82
6.97
4.54
3.75
3.37
3.14
3.00
2.90
2.82
2.76
2.72
2.68
2.65
2.62
2.60
2.58
2.57
2.55
2.54
2.53
2.52
2.51
2.50
2.49
2.49
2.48
2.47
2.46
2.46
2.46
2.42
2.39
2.36
0.995
63.70
9.92
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
3.11
3.05
3.01
2.98
2.95
2.92
2.90
2.88
2.86
2.85
2.83
2.82
2.81
2.80
2.79
2.78
2.77
2.76
2.76
2.75
2.70
2.66
2.62
0.999
318.30
22.33
10.22
7.17
5.89
5.21
4.79
4.50
4.30
4.14
4.03
3.93
3.85
3.79
3.73
3.69
3.65
3.61
3.58
3.55
3.53
3.51
3.49
3.47
3.45
3.44
3.42
3.40
3.40
3.39
3.31
3.23
3.17
∞
1.28
1.64
1.96
2.33
2.58
3.09
26
χ2 -Verteilung: Quantile χ2n;p
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
0.005
0.00004
0.0100
0.0717
0.207
0.412
0.676
0.989
1.340
1.730
2.160
2.600
3.070
3.570
4.070
4.600
5.140
5.700
6.260
6.840
7.430
8.030
8.640
9.260
9.890
10.52
11.16
11.81
12.46
13.12
13.79
20.71
27.99
35.53
43.28
51.17
59.20
67.33
0.010
0.00016
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.240
1.650
2.090
2.560
3.050
3.570
4.110
4.660
5.230
5.810
6.410
7.010
7.630
8.260
8.900
9.540
10.20
10.86
11.52
12.20
12.88
13.56
14.26
14.95
22.16
29.71
37.48
45.44
53.54
61.75
70.06
0.025
0.00098
0.051
0.216
0.484
0.831
1.240
1.690
2.180
2.700
3.250
3.820
4.400
5.010
5.630
6.260
6.910
7.560
8.230
8.910
9.590
10.28
10.98
11.69
12.40
13.12
13.84
14.57
15.31
16.05
16.79
24.43
32.36
40.48
48.76
57.15
65.65
74.22
0.050
0.0039
0.103
0.352
0.711
1.150
1.640
2.170
2.730
3.330
3.940
4.570
5.230
5.890
6.570
7.260
7.960
8.670
9.390
10.12
10.85
11.59
12.34
13.09
13.85
14.61
15.38
16.15
16.93
17.71
18.49
26.51
34.76
43.19
51.74
60.39
69.13
77.93
p
0.100
0.0158
0.210
0.580
1.060
1.610
2.200
2.830
3.490
4.170
4.870
5.580
6.300
7.040
7.790
8.550
9.310
10.09
10.86
11.65
12.44
13.24
14.04
14.85
15.66
16.47
17.29
18.11
18.94
19.77
20.60
29.05
37.69
46.46
55.33
64.28
73.29
82.36
0.900
2.71
4.61
6.25
7.78
9.24
10.64
12.02
13.36
14.68
15.99
17.28
18.55
19.81
21.06
22.31
23.54
24.77
25.99
27.20
28.41
29.62
30.81
32.01
33.20
34.38
35.56
36.74
37.92
39.09
40.26
51.81
63.17
74.40
85.53
96.58
107.57
118.50
0.950
3.84
5.99
7.81
9.49
11.07
12.59
14.07
15.51
16.92
18.31
19.68
21.03
22.36
23.68
25.00
26.30
27.59
28.87
30.14
31.41
32.67
33.92
35.17
36.42
37.65
38.89
40.11
41.34
42.56
43.77
55.76
67.51
79.08
90.53
101.88
113.15
124.34
0.975
5.02
7.38
9.53
11.14
12.83
14.45
16.01
17.53
19.02
20.48
21.92
23.34
24.74
26.12
27.49
28.85
30.19
31.53
32.85
34.17
35.48
36.78
38.08
39.36
40.65
41.92
43.19
44.46
45.72
46.98
59.34
71.42
83.30
95.02
106.63
118.14
129.56
0.990
6.63
9.21
11.35
13.28
15.08
16.81
18.47
20.09
21.67
23.21
24.72
26.22
27.69
29.14
30.58
32.00
33.41
34.81
36.19
37.57
38.93
40.29
41.64
42.98
44.31
45.64
47.96
48.28
49.59
50.89
63.69
76.15
88.38
100.42
112.33
124.12
135.81
0.995
7.88
10.60
12.84
14.86
16.75
18.55
20.28
22.96
23.59
25.19
26.76
28.30
29.82
31.32
32.80
34.27
35.72
37.16
38.58
40.00
41.40
42.80
44.18
45.56
46.93
48.29
49.64
50.99
52.34
53.67
66.77
79.49
91.95
104.21
116.32
128.30
140.17
27
F -Verteilung: Quantile Fn1 ,n2 ;p für p = 0.95
n2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
55
60
65
70
80
100
125
150
200
400
1000
∞
1
161
19.0
10.1
7.71
6.61
5.99
5.59
5.32
5.12
4.96
4.84
4.75
4.67
4.60
4.54
4.49
4.45
4.41
4.38
4.35
4.32
4.30
4.28
4.26
4.24
4.23
4.21
4.20
4.18
4.17
4.15
4.13
4.11
4.10
4.08
4.07
4.06
4.05
4.04
4.03
4.02
4.00
3.99
3.98
3.96
3.94
3.92
3.90
3.89
3.86
3.85
3.84
2
200
19.0
9.55
6.94
5.79
5.14
4.74
4.46
4.26
4.10
3.98
3.89
3.81
3.74
3.68
3.63
3.59
3.55
3.52
3.49
3.47
3.44
3.42
3.40
3.39
3.37
3.35
3.34
3.33
3.32
3.29
3.28
3.26
3.24
3.23
3.22
3.21
3.20
3.19
3.18
3.16
3.15
3.14
3.13
3.11
3.09
3.07
3.06
3.04
3.02
3.00
3.00
3
216
19.2
9.28
6.59
5.41
4.76
4.35
4.07
3.86
3.71
3.59
3.49
3.41
3.34
3.29
3.24
3.20
3.16
3.13
3.10
3.07
3.05
3.03
3.01
2.99
2.98
2.96
2.95
2.93
2.92
2.90
2.88
2.87
2.85
2.84
2.83
2.82
2.81
2.80
2.79
2.78
2.76
2.75
2.74
2.72
2.70
2.68
2.66
2.65
2.62
2.61
2.60
4
225
19.2
9.12
6.39
5.19
4.53
4.12
3.84
3.63
3.48
3.36
3.26
3.18
3.11
3.06
3.01
2.96
2.93
2.90
2.87
2.84
2.82
2.80
2.78
2.76
2.74
2.73
2.71
2.70
2.69
2.67
2.65
2.63
2.62
2.61
2.59
2.58
2.57
2.57
2.56
2.54
2.53
2.51
2.50
2.49
2.46
2.44
2.43
2.42
2.39
2.38
2.37
5
230
19.3
9.01
6.26
5.05
4.39
3.97
3.69
3.48
3.33
3.20
3.11
3.03
2.96
2.90
2.85
2.81
2.77
2.74
2.71
2.68
2.66
2.64
2.62
2.60
2.59
2.57
2.56
2.55
2.53
2.51
2.49
2.48
2.46
2.45
2.44
2.43
2.42
2.41
2.40
2.38
2.37
2.36
2.35
2.33
2.31
2.29
2.27
2.26
2.23
2.22
2.21
6
234
19.3
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.37
3.22
3.09
3.00
2.92
2.85
2.79
2.74
2.70
2.66
2.63
2.60
2.57
2.55
2.53
2.51
2.49
2.47
2.46
2.45
2.43
2.42
2.40
2.38
2.36
2.35
2.34
2.32
2.31
2.30
2.30
2.29
2.27
2.25
2.24
2.23
2.21
2.19
2.17
2.16
2.14
2.12
2.11
2.10
7
237
19.4
8.89
6.09
4.88
4.21
3.79
3.50
3.29
3.14
3.01
2.91
2.83
2.76
2.71
2.66
2.61
2.58
2.54
2.51
2.49
2.46
2.44
2.42
2.40
2.39
2.37
2.36
2.35
2.33
2.31
2.29
2.28
2.26
2.25
2.24
2.23
2.22
2.21
2.20
2.18
2.17
2.15
2.14
2.13
2.10
2.08
2.07
2.06
2.03
2.02
2.01
8
239
19.4
8.85
6.04
4.82
4.15
3.73
3.44
3.23
3.07
2.95
2.85
2.77
2.70
2.64
2.59
2.55
2.51
2.48
2.45
2.42
2.40
2.37
2.36
2.34
2.32
2.31
2.29
2.28
2.27
2.24
2.23
2.21
2.19
2.18
2.17
2.16
2.15
2.14
2.13
2.11
2.10
2.08
2.07
2.06
2.03
2.01
2.00
1.98
1.96
1.95
1.94
n1
9
241
19.4
8.81
6.00
4.77
4.10
3.68
3.39
3.18
3.02
2.90
2.80
2.71
2.65
2.59
2.54
2.49
2.46
2.42
2.39
2.37
2.34
2.32
2.30
2.28
2.27
2.25
2.24
2.22
2.21
2.19
2.17
2.15
2.14
2.12
2.11
2.10
2.09
2.08
2.07
2.06
2.04
2.03
2.02
2.00
1.97
1.96
1.94
1.93
1.90
1.89
1.88
10
242
19.4
8.79
5.96
4.74
4.06
3.64
3.35
3.14
2.98
2.85
2.75
2.67
2.60
2.54
2.49
2.45
2.41
2.38
2.35
2.32
2.30
2.27
2.25
2.24
2.22
2.20
2.19
2.18
2.16
2.14
2.12
2.11
2.09
2.08
2.06
2.05
2.04
2.03
2.03
2.01
1.99
1.98
1.97
1.95
1.93
1.91
1.89
1.88
1.85
1.84
1.83
12
244
19.4
8.74
5.91
4.68
4.00
3.57
3.28
3.07
2.91
2.79
2.69
2.60
2.53
2.38
2.42
2.38
2.34
2.31
2.28
2.25
2.23
2.20
2.18
2.16
2.15
2.13
2.12
2.10
2.09
2.07
2.05
2.03
2.02
2.00
1.99
1.98
1.97
1.96
1.95
1.93
1.92
1.90
1.89
1.88
1.85
1.83
1.82
1.80
1.78
1.76
1.75
14
245
19.4
8.71
5.87
4.64
3.96
3.53
3.24
3.03
2.86
2.74
2.64
2.55
2.48
2.42
2.37
2.33
2.29
2.26
2.22
2.20
2.17
2.15
2.13
2.11
2.10
2.08
2.06
2.05
2.04
2.01
1.99
1.98
1.96
1.95
1.93
1.92
1.91
1.90
1.89
1.88
1.86
1.85
1.84
1.82
1.79
1.77
1.76
1.74
1.72
1.70
1.69
16
246
19.4
8.69
5.84
4.60
3.92
3.49
3.20
2.99
2.83
2.70
2.60
2.51
2.44
2.38
2.33
2.29
2.25
2.21
2.18
2.16
2.13
2.11
2.09
2.07
2.05
2.04
2.02
2.01
1.99
1.97
1.95
1.93
1.92
1.90
1.89
1.88
1.87
1.86
1.85
1.83
1.82
1.80
1.79
1.77
1.75
1.72
1.71
1.69
1.67
1.65
1.64
20
248
19.5
8.66
5.80
4.56
3.87
3.44
3.15
2.93
2.77
2.65
2.54
2.46
2.39
2.33
2.28
2.23
2.19
2.15
2.21
2.10
2.07
2.05
2.03
2.01
1.99
1.97
1.96
1.94
1.93
1.91
1.89
1.87
1.85
1.84
1.83
1.81
1.80
1.79
1.78
1.76
1.75
1.73
1.72
1.70
1.68
1.65
1.64
1.62
1.60
1.58
1.57
50
252
19.5
8.58
5.70
4.44
3.75
3.32
3.02
2.80
2.64
2.51
2.40
2.31
2.24
2.18
2.12
2.08
2.04
2.00
1.97
1.94
1.91
1.88
1.86
1.84
1.82
1.81
1.79
1.77
1.76
1.74
1.71
1.69
1.68
1.66
1.65
1.63
1.62
1.61
1.60
1.58
1.56
1.54
1.53
1.51
1.48
1.45
1.44
1.41
1.38
1.36
1.35
100
253
19.5
8.55
5.66
4.41
3.71
3.27
2.97
2.76
2.59
2.46
2.35
2.26
2.19
2.12
2.07
2.02
1.98
1.94
1.91
1.88
1.85
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.73
1.71
1.70
1.67
1.65
1.62
1.61
1.59
1.57
1.56
1.55
1.54
1.52
1.50
1.48
1.46
1.45
1.43
1.39
1.36
1.34
1.32
1.28
1.26
1.24
∞
254
19.5
8.53
5.63
4.36
3.67
3.23
2.93
2.71
2.54
2.40
2.30
2.21
2.13
2.07
2.01
1.96
1.92
1.88
1.84
1.81
1.78
1.76
1.73
1.71
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.59
1.57
1.55
1.53
1.51
1.49
1.48
1.46
1.45
1.44
1.41
1.39
1.37
1.35
1.32
1.28
1.25
1.22
1.19
1.13
1.08
1.00
28
19
Quadratische Gleichung
ax2 + bx + c = 0
20
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Grenzwertsätze
• {an } und {bn } Zahlenfolgen mit lim an = a und lim bn = b. Dann gilt
n→∞
n→∞
lim (an ± bn ) =
a±b
lim (an · bn ) =
a·b
n→∞
n→∞
lim
n→∞
an
bn
=
a
b
falls bn 6= 0 und b 6= 0.
• Jede beschränkte monotone Zahlenfolge ist konvergent.
• Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt.
• Das Produkt aus einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist eine Nullfolge.
21
Summenformel der geometrischen Reihe
• endliche geometrische Reihe
sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . + aq n−2 + aq n−1 =
n−1
X
aq k
=
a
k=0
1 − qn
1−q
• unendliche geometrische Reihe:
s = a + aq + aq 2 + aq 3 + . . . =
∞
X
k=0
22
=
a
1−q
falls |q| < 1
Die Eulersche Zahl
lim
n→∞
23
aq k
1+
p n
= lim
n→∞
n
p
p2
pn
1+ +
+ ...+
1!
2!
n!
= ep
Finanzmathematik
Zinseszinsformel
Barwert
Kn = K0 (1 + p)n
K0 = Kn
(nachschüssige) Rentenformel
1
(1 + p)n
Kn = K0 (1 + p)n + E
(1 + p)n − 1
p
29
24
25
Trigonometrische Funktionen
sin(x)
∈
[−1, 1]
cos(x)
∈
[−1, 1]
sin(x + 2π)
=
sin(x)
cos(x + 2π)
=
cos(x)
sin2 (x) + cos2 (x)
=
1
sin(−x)
=
− sin(x)
cos(−x)
=
cos(x)
π
sin x +
2
=
cos(x)
π
cos x +
2
=
− sin(x)
sin(π − x)
=
sin(x)
cos(π − x)
=
− cos(x)
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Sei a > 0 und a 6= 1, r, s beliebig und u, v > 0
26
ar · as
=
ar+s
loga (u · v)
ar
as
=
ar−s
loga
(ar )s
=
(as )r = ar·s
loga (uw )
u
v
=
loga (u) + loga (v)
=
loga (u) − loga (v)
=
w · loga (u)
Stetigkeit
f heisst an der Stelle x0 stetig, falls
(1) f (x0 ) definiert ist und
(2)
lim
x→x0 −
f (x) =
lim
x→x0 +
f (x) = f (x0 )
30
27
Grenzwerte bei Funktionen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
28
lim
1
xa
=
lim
1
xk
=
1
x→+∞ ax
=
lim
1
ax
=
lim
1
loga (x)
=
x→+∞
x→−∞
lim
x→−∞
x→+∞
xa
x→+∞ ex
lim
lim
x→+∞
ln(x)
xa
=
=
lim x−a
=
0
für a > 0
lim x−k
=
0
für k ∈ N
lim a−x
=
0
für a > 1
lim a−x
=
+∞
für a > 1
=
0
für a > 1
=
0
für a > 0
=
0
für a > 0
x→+∞
x→−∞
x→+∞
x→−∞
lim
x→+∞
xa e−x
lim x−a · ln(x)
x→+∞
Differentiationsregeln
1.
y = k konstant
y′ = 0
2.
y = a · f (x) mit a ∈ R
y ′ = a · f ′ (x)
Konstantenregel
3.
y = f (x) ± g(x)
y ′ = f ′ (x) ± g ′ (x)
Summenregel
4.
y = xa mit a ∈ R
y ′ = a · xa−1
Potenzregel
5.
y = f (x) · g(x)
y ′ = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)
Produktregel
6.
y=
7.
y = f (g(x))
f (x)
mit g(x) 6= 0
g(x)
y′ =
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x)
g 2 (x)
y ′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
Quotientenregel
Kettenregel
31
29
30
31
Ableitungen spezieller Funktionen
y = k = konstant
y′ = 0
y = xn
y ′ = n · xn−1
y = sin(x)
y ′ = cos(x)
y = cos(x)
y ′ = − sin(x)
y = tan(x)
y′ =
1
cos2 (x)
y = ln(x)
y′ =
1
x
y = ex
y ′ = ex
y = ax
y ′ = ln(a) · ax
y = loga (x)
y′ =
n 6= 0, beliebige reelle Zahl
1
1
·
ln(a) x
Ökonomische Funktionen
marginale Funktion von y = f (x)
Elastizität von y = f (x)
f ′ (x)
ǫf,x =
f ′ (x) · x
f (x)
Wachstumsrate von y = f (t)
r(t) =
f ′ (t)
d
=
ln(f (t))
f (t)
dt
Das Taylorpolynom
Pn (x) =
n
X
f (k) (x0 )
(x − x0 )k
k!
k=0
= f (x0 ) +
f ′ (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 )n
1!
n!
32
32
33
Partielle Elastizitäten
ǫf,x
=
fx (x, y) · x
f (x, y)
partielle Elastizität bezüglich x
ǫf,y
=
fy (x, y) · y
f (x, y)
partielle Elastizität bezüglich y
Tangentialebene
T (x, y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 )
34
Totales Differential
df (x0 , y0 , dx, dy) = fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy = T (x0 + dx, y0 + dy) − T (x0 , y0 )
35
Verallgemeinerte Kettenregel
z(t) = f (h(t), g(t))
⇒
z ′ (t) = fx (x, y)
dx
dy
+ fy (x, y)
dt
dt
33
36
Kegelschnitte
1. Ellipse mit dem Mittelpunkt (u, v) und den Halbachsen a und b
φ(x, y)
=
(y − v)2
(x − u)2
+
−1=0
a2
b2
y
b
a
v
x
u
2. Hyperbel mit dem Zentrum (u, v) und den Achsen a und b
φ(x, y)
=
(y − v)2
(x − u)2
−
−1=0
2
a
b2
y
b
v
a
u
3. Parabel mit dem Zentrum (u, v) und dem Parameter a
φ(x, y)
= a(x − u)2 − (y − v) = 0
x
34
37
Implizite Differentiation
φ(x, y) = 0
38
Eulersche Relation
⇒
z = f (x, y) homogen vom Grad g
39
40
41
φx (x0 , y0 )
dy
= −
dx
φy (x0 , y0 )
⇒
g · f (x, y) = x · fx (x, y) + y · fy (x, y).
Lokale Extremalstellen ohne Nebenbedingung
Maximum
Minimum
Sattelpunkt
notwendige Bedingung
fx = fy = 0
fx = fy = 0
fx = fy = 0
hinreichende Bedingung
fxx < 0, fyy < 0
2
fxx · fyy − fxy
>0
fxx > 0, fyy > 0
2
fxx · fyy − fxy
>0
2
fxx · fyy − fxy
<0
Lokale Extrema mit Nebenbedingung
Zielfunktion
z = f (x, y)
Nebenbedingung
φ(x, y) = 0
Lagrange Funktion
F (x, y, λ) = f (x, y) + λ · φ(x, y)
Optimalitätsbedingung
Fx = 0,
Fy = 0,
Fλ = 0
Integration
Partielle Integration
Z
u′ (x) v(x)dx = u(x) v(x) −
Z
u(x) v ′ (x)dx
Substitution
Z
′
f (g(x)) g (x) dx =
Z
f (g) dg
35
Spezielle Stammfunktionen
f (x)
R
f (x) dx = F (x) + C
xn
1
· xn+1 + C
n+1
1
x
ln(x) + C
sin(x)
− cos(x) + C
cos(x)
sin(x) + C
ex
ex + C
eλx
1 λx
·e +C
λ
ax
1
· ax + C
ln(a)
ln(x)
x · ln(x) − x + C
n 6= −1, beliebige reelle Zahl
36
42
Matrizenrechnung
Addition und Multiplikation
1a.
2a.
3a.
A+B =B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A+0=A
1b.
2b.
3b.
Im Allgemeinen: AB 6= BA
(AB)C = A(BC)
AI = IA = A, falls A quadratisch
Beachte
4.
5.
6⇒
6⇒
AB = 0
AB = AC
A = 0 oder B = 0
B=C
Distributivgesetze
6.
7.
8.
λ(A + B)
A(B + C)
(A + B)C
=
=
=
λA + λB
AB + AC
AC + BC
λ∈R
Inverse und Transponierte
Definition von A−1 : AA−1 = A−1 A = I
(A−1 )−1
=
(AB)−1
=
(AT )T
=
(A + B)T
=
(AB)T
=
(A−1 )T
=
a b
Für A =
mit
c d
9.
10.
11.
12.
13.
14.
A
B −1 A−1
A
AT + B T
B T AT
(AT )−1
−1
ad − bc 6= 0 gilt A
1
=
ad − bc
d −b
−c a
.
Determinanten
15.
16.
17.
18.
det(A)
det(AB)
det(A−1 )
det(AT )
=
=
=
=
a11 det(A11 ) − a12 det(A12 ) + · · · + (−1)n+1 a1n det(A1n )
det(A) · det(B)
det(A)−1
det(A)
Beachte
⇔
det(A) 6= 0
19.
A−1 existiert
20.
| det(A)| ist das Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.
37
43
Gradient und Hesse-Matrix
gradf (x) =
fx1 (x)
fx2 (x)
Hf (x) =
fx1 x1 (x)
fx2 x1 (x)
fx1 x2 (x)
fx2 x2 (x)
Eigenschaften des Gradienten: Steht senkrecht zur Tangente an die Niveaulinie und stellt die Richtung der stärksten
(lokalen) Funktionszunahme dar.
44
Quadratische Approximation von z = f (x1, x2) bei a
P (x)
45
=
f (a) + (fx1 (a), fx2 (a)) (x − a) + (x − a)T
1
2
fx1 x1 (a)
fx2 x1 (a)
fx1 x2 (a)
fx2 x2 (a)
(x − a)
Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum, Basis
• n + 1 oder mehr Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum Rn sind stets linear abhängig.
• Jede Basis des Rn besteht aus genau n Vektoren.
• n linear unabhängige Vektoren im Rn bilden eine Basis des Rn .
• Sind u1 , u2 , . . . , un eine Basis des Vektorraums V, so ist für jedes x ∈ V die Darstellung x = a1 u1 + a2 u2 +
. . . + an un eindeutig.
46
47
Reguläre Matrizen
A = An×n regulär
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
rg(A) = n
A−1 existiert
det(A) 6= 0
Spaltenvektoren bilden eine Basis des Rn
Zeilenvektoren bilden eine Basis des Rn
A = An×n singulär
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
rg(A) < n
A−1 existiert nicht
det(A) = 0
Spaltenvektoren sind linear abhängig
Zeilenvektoren sind linear abhängig
Lineare Gleichungssysteme
gegeben: A eine (m × n)-Matrix, b ein Spaltenvektor der Länge m
gesucht: Spaltenvektor x der Länge n, so dass Ax = b
Lösbarkeitskriterium
: rg(A) = rg(A; b)
Eindeutigkeitskriterium
: rg(A) = n
Lösungsverfahren:
1. Gaußscher Algorithmus
2. Falls A regulär:
(a) Cramersche Regel: xi = det(Ai )/ det(A)
(b) x = A−1 b
38
48
Eigenwerte und Eigenvektoren
gegeben: quadratische Matrix A = An×n
gesucht: λ ∈ R und x ∈ Rn , x 6= 0, so dass A x = λ x
Lösung:
1. Schritt:
pA (λ) = det(A − λ I) = 0
⇒
Eigenwerte λ1 , λ2 , . . .
2. Schritt:
(A − λ1 I) x(1) = 0
(A − λ2 I) x(2) = 0
..
.
⇒
⇒
x(1) Eigenvektor zu λ1
x(2) Eigenvektor zu λ2
..
.
49
Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung
Normalform (A, B ∈ R mit A 6= 0)
yk+1 = A · yk + B
Allgemeine Lösung
yk =
(
Ak (y0 − y ∗ ) + y ∗
y0 + Bk
Lösungsverhalten
A>0
A<0
|A| < 1
|A| > 1
:
:
:
:
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
monoton
oszillatorisch
gedämpft, limk→∞ yk = y ∗
explosiv
A 6= 1, y ∗ =
A=1
B
1−A
39
50
Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung
Normalform (a1 , a2 , r ∈ R)
yk+2 + a1 yk+1 + a2 yk = r
Charakteristische Gleichung
m2 + a1 m + a2 = 0
Allgemeine Lösung, Superpositionsprinzip
(1)
(2)
yk = c1 yk + c2 yk + yk∗
(1)
(2)
• yk , yk
•
yk∗
zwei linear unabhängige Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung
eine (spezielle) Lösung der inhomogenen Gleichung
Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
1.
a21 − 4a2 > 0 Die charakteristische Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen m1 und m2 und die
allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung ist
yk
2.
c1 mk1 + c2 mk2
a21 − 4a2 = 0 Die charakteristische Gleichung hat eine reelle Lösung m = − a21 und die allgemeine Lösung der
homogenen Differenzengleichung ist
yk
3.
=
= (c1 + c2 k) mk
a21 − 4a2 < 0 Die charakteristische Gleichung hat keine reelle Lösungen und die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung ist
yk
=
Rk (c1 sin(kφ) + c2 cos(kφ))
wobei
• R=
√
a2
a1
• cos(φ) = − √ , 0 ≤ φ < π
2 a2
Spezielle Lösung yk∗ der inhomogenen Gleichung
1 + a1 + a2 6= 0
yk∗ =
r
= konstant
1 + a1 + a2
1 + a1 + a2 = 0, a1 6= −2
yk∗ =
r
·k
2 + a1
1 + a1 + a2 = 0, a1 = −2
yk∗ =
r 2
·k
2