Mathematik - Hochschule Anhalt

HOCHSCHULE ANHALT (FH)
Studienkolleg für ausländische Studierende in Sachsen-Anhalt, Abt. Köthen
Variante A
Feststellungsprüfung im Fach Mathematik, W-Kurs,
Name, Vorname:
Seminargruppe/extern:
Anzahl der abgegebenen Blätter (ohne Aufgabenblatt):
Zulässige Hilfsmittel: Wörterbuch (einsprachig), Taschenrechner, Formelsammlung
Zeit:
180 Minuten
1
Bestimmen Sie die Mengen W = A  B; X = A  ¬B; Y = A \ C ; Z = A∆B aus
den gegebenen Mengen A = ]− 2;3]; B = [0;5]; C = ]0;3[ . Der Grundbereich sei die
Menge der reellen Zahlen R.
2
Vereinfachen Sie durch Anwendung der Potenz-, Wurzel- und Logarithmengesetze.
2
2.1
 8 x n −1 y n   32 x n −1 y 0 
=

 ÷
2
2 
 25(a − b ) 125 a − b 
2.2
ln{lg[9 + log 3 ( x − 1)]} = 0
2.3
x = 3 5 2+ log5 2 − 23
(
)
3
Der Preis einer Ware wurde um 20% reduziert. Die Anzahl der verkauften Ware gefiel
dem Verkäufer danach immer noch nicht. Deshalb senkte er den reduzierten Preis
nochmals um 30%. Nun wird die Ware zu einem Preis von 50,40 Euro angeboten.
3.1
Zu welchem Preis sollte die Ware ursprünglich verkauft werden?
3.2
Um wie viel Prozent reduzierte der Verkäufer den ursprünglichen Preis insgesamt?
4
Ermitteln Sie die Lösungsmengen.
4.1
x −1
≥2
x +1
4.2
x − 2 − 3x + 2 ≤ x − 1
4.3
x 4 − x 3 − 7 x 2 + 13 x − 6 = 0
5
Geben Sie jeweils ein a und b an, für die die Gleichung 2ax 2 − b = 4 x 2 − 6 + b
5.1
genau eine Lösung,
5.2
unendlich viele Lösungen bzw.
5.3
keine Lösung hat.
6
6.1
6.2
6.3
7
Aus vier Rohstoffen R1; R2; R3; R4 entstehen in einer ersten Produktionsstufe die drei
Zwischenprodukte Z1; Z2 und Z3. Diese werden in der zweiten Produktionsstufe zu den
drei Endprodukten E1; E2 und E3 verarbeitet. Für je 1 PE (PE: Planungseinheit) Zi
werden vom Rohstoff Ri 2 PE, vom Rohstoff Ri+1 1 PE und von den übrigen
Rohstoffen keine PE benötigt. Um je 1 PE Ei herzustellen, werden 1 PE Zi und von
den übrigen Zwischenprodukten je 2 PE verarbeitet.
Stellen Sie die Zusammenhänge mit Hilfe von Matrizen dar.
Wie viele Rohstoffe werden für je 1 PE der Endprodukte E1; E2 und E3 benötigt?
(Antwort in einer Tabelle)
Wie viele Rohstoffe R1; R2; R3 und R4 sind für das kommende Jahr zu kaufen, um die
Planzahlen erfüllen zu können? (Antwort in einer Tabelle)
Produktionsplan für das neue Jahr:
1. Halbjahr: 200 PE von E1; 300 PE von E2 und 100 PE von E3
2. Halbjahr: 200 PE von E1; 100 PE von E2 und 150 PE von E3
Lösen Sie folgendes LO-Problem graphisch. (Maßstab: 1 cm = 1 Einheit) Geben Sie
den zulässigen Bereich, den optimalen Punkt und den optimalen Zielfunktionswert an.
x
ZF : Z = 1 + x 2 → max .
3
NB : x1 + x 2 ≥ 2
≤3
x1
x1 + 2 x 2 ≤ 8
− x1 + 4 x 2 ≤ 12
NNB : x1 ; x 2 ≥ 0
8
8.1
8.3
9
9.1
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte.
 4n 2 − 2n + 1 

=
8.2
lim
lim
2n 2 − 3 
n →∞ 
n →∞
 n +1 


lim
n →∞  n − 2 
(n
)
+ n +1 − n2 − n +1 =
3 n +1
=
Bilden Sie jeweils die erste Ableitung.
y = 2x ⋅ e−x
(x ∈ R )
2
(
9.2
y = ln 2 x 2 − 4
9.3
y=
9.4
y = x ( x +1)
10
2
1 + ln ( x )
2x
)
(x > 2)
(x > 0)
(x > 0)
Bestimmen Sie von folgender Funktion den Definitionsbereich, die Schnittstellen mit
den Achsen, die Polstellen, das Verhalten in der Nähe der Polstellen, das Verhalten im
Unendlichen, eventuelle Extrem- bzw. Wendepunkte und den Wertebereich.
Untersuchen Sie das Monotonie-, das Krümmungs- und das Symmetrieverhalten.
Fertigen Sie eine graphische Darstellung der Funktion an (Maßstab 1cm = 1 Einheit).
x2
f :y= 2
x −4