Mathematik für Ingenieure menucolor

Demo-Version der pdf-Version
auf der CD-Rom bestehend
aus Kapiteln 2, 5 und 9
incl. MAPLE-Ausarbeitungen
Thomas Westermann
Mathematik für Ingenieure
Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch
mit MAPLE-Worksheets
5. Auflage
ISBN 978-3-540-77730-4
Springer-Verlag Heidelberg, Berlin 2008
Homepage zum Buch:
http://www.home.hs-karlsruhe.de/~weth0002/buecher/mathe/start.htm
eMail des Autors: [email protected]
Vorwort zur 5. Auflage
In der vorliegenden 5. Auflage wurde die Umstellung von Diplom- zu Bachelor-Studiengängen berücksichtigt. Diese Umstellung bedeutet in der Regel,
dass weniger Stunden für die Mathematik zur Verfügung stehen. Daher wurde
das ursprünglich zweibändige Lehrbuch nun in einem Band zusammengefasst,
der den vollständigen Stoffumfang der Mathematikausbildung für Ingenieure
an Berufsakademien und technischen Hochschulen beinhaltet. Die grundlegenden Kapitel wurden erweitert und an den Bachelor-Standard mit einem größeren Übungsanteil angepasst.
In Erweiterung der Bachelor-Studieninhalten wurden zusätzlich für die Master-Ausbildung die folgenden Themen
Numerisches Lösen von Gleichungen
Numerisches Differenzieren und Integrieren
Numerisches Lösen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen
Diskrete Fourier-Transformation und deren Anwendungen
Signal- und Systemtheorie für lineare Systeme
Partielle Differenzialgleichungen
Vektoralgebra
sowie viele ergänzende und weiterführende Abschnitte mit aufgenommen aber
auf die CD-Rom ausgelagert. Die pdf-Version des Buches auf der CD-Rom
beinhaltet auch diese weiterführenden Themen, die im Inhaltsverzeichnis mit
der Seitenangabe cd“ gekennzeichnet sind.
”
Mit der Umstellung auf einen Band wurde ein komplett neues Layout eingeführt, das eine übersichtlichere Darstellung der Lehrinhalte ermöglicht aber
auch die Möglichkeit bietet, die pdf-Version auf der CD-Rom als elektronisches,
interaktives E-Book zu benutzen. Das neue Layout verbessert die bisherige
Darstellung, indem
! Achtung:“ auf Stellen besonders hingewiesen, die
mit dem Symbol 4
”
man anfänglich oftmals falsch bearbeitet, übersieht oder nicht beachtet,
durch Markierungen am Seitenrand Gliederungspunkte und Orientierungshilfen gegeben werden,
Definitionen und wichtige Sätze in blau unterlegten Boxen markiert werden,
die zahlreichen Zusammenfassungen farblich hervorgehoben werden,
wichtige Formel und Ergebnisse gekennzeichnet werden,
Musterbeispiele und Anwendungsbeispiele übersichtlich aus dem Text hervorgehen;
380 ausführlich durchgerechnete Beispiele,
über 360 Aufgaben mit Lösungen
und mehr als 200 Abbildungen und Skizzen zum Selbststudium und zur
Prüfungsvorbereitung dienen.
vi
Vorwort
Der Grundidee folgend, mathematische Begriffe zu visualisieren, um sie greifbarer zu machen und den interaktiven Gebrauch des Buches zu fördern, wurde
die CD-Rom völlig neu und benutzerfreundlicher gestaltet. Die Interaktivität
der CD-Rom-Version wird unterstützt, indem
① Inhaltsverzeichnis, Index und Beispiele verlinkt sind, so dass eine bequeme
Navigation innerhalb der pdf-Version möglich ist;
② Animationen, die im gif-Format vorliegen, durch Anklicken des nebenstehenden Symbols abgespielt werden können;
③ das CD-Rom-Symbol auf Maple-Beschreibungen hinweist. Durch
Anklicken des Symbols oder der rot unterlegten Textstelle startet man
das zugehörige Maple-Worksheet.
Sämtlichen Maple-Beschreibungen sowie Maple-Worksheets sind auf der CDRom enthalten. Die pdf-Version des Buches ist verlinkt, so dass die elektronischen Arbeitsblätter direkt aus pdf gestartet werden können. Voraussetzung
ist, dass Maple auf dem Rechner installiert und die Erweiterung .mws mit einer Maple-Version verknüpft ist. Die zugehörigen Links sind Rot gekennzeichnet; bei Beispielen steht zusätzlich (Mit Maple-Worksheet)“. Die Maple”
Prozeduren sind zusätzlich über den Prozedurnamen verlinkt und am Ende
jeden Kapitels ist eine verlinkte Liste der zum Kapitel gehörenden Worksheets.
Für die vorliegende 5. Auflage wurden die Maple-Beschreibungen an Maple
11 angepasst. Um auch zukünftig mit neuen Maple-Versionen Schritt halten
zu können, werden Updates der Maple-Worksheets unter
http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜weth0002/buecher/mathe/start.htm
abrufbar sein.
Auf der CD-Rom sind weitere Informationen und Ergänzungen zugänglich:
alle Worksheets, die im Text beschrieben sind, inclusive vieler zusätzlicher
Maple-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Begriffe;
die Lösungen der Aufgaben;
zusätzliche Kapitel und Ergänzungen, die in der Buchform des Gesamtumfangs wegen nicht mehr eingebunden werden konnten;
eine Einführung in die Benutzeroberfläche von Maple 11.
Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple
Inc., die mir Maple 11 zur Verfügung gestellt haben sowie Frau HestermannBeyerle vom Springer-Verlag für die gute und angenehme Zusammenarbeit.
Dieses Buch ist meinen Töchtern Veronika (zum Nachschlagen von längst Vergessenem) und Juliane (zur Vorbereitung der Matheklausuren ihres Studiums)
gewidmet.
Karlsruhe, im März 2008
Thomas Westermann
Vorwort
vii
Vorwort zur 1. Auflage
Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Übungen zur Mathematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure an der Hochschule
Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht
in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden.
...
Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt
wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralgebra-Systeme werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum
Manipulieren von Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter
Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem
Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System Maple in die Mathematikausbildung mit einbezogen.
Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand
praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit Maple-Worksheets umgesetzt,
was sich in vielen Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird
fast gänzlich verzichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vorzug gegenüber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben.
Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlösungen zu berücksichtigen, wurden zahlreiche Abschnitte zur rechnerischen
Lösung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die
numerischen Algorithmen sind als Maple-Prozeduren auf der beigelegten CDRom enthalten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede
andere höhere Sprache umgesetzt werden.
...
Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol
für die präzise und fehlerfreie Erstellung des LATEX-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler für die exzellente Erstellung
der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich
vorgestellt hat. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme
und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle.
Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken, die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und
tatkräftig unterstützt hat.
Karlsruhe, im Juni 1996
Thomas Westermann
Hinweise zum Gebrauch dieses Buches
Die einzelnen Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen.
Nicht immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vorwegzunehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität
als der mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines
Vorlesungszyklus muss sich nicht an die im Buch gewählte Reihenfolge halten,
einzelne Kapitel können auch aufgesplittet werden.
Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum
Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung
herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der
Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und
Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System Maple unverzichtbar. Nur
wenn eine Animation als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis
zum Tragen.
Darstellung: Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und
zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und
Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Am
Ende eines jeden Kapitels befinden sich Aufgaben, deren Lösungen auf der
CD-Rom angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wird eine
anwendungsorientierte Problemstellung vorangestellt und anschließend auf die
allgemeine mathematische Struktur übergegangen. Die Thematik wird dann
innerhalb der Mathematik bearbeitet und anhand von mathematischen Beispielen erläutert. Neben der Behandlung der Problemstellungen mit Maple
werden aussagekräftige Anwendungsbeispiele diskutiert.
Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind für den Zugang zu den Themengebieten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung sollten
möglichst die mathematischen Beispiele eigenständig bearbeitet werden. Wer
dieses Werk als Nachschlagewerk benutzt, kann sich an den durchgerechneten
Beispielen sowie an den eingerahmten Definitionen, Sätzen und Zusammenfassungen orientieren.
Aufgaben: Alle Übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit
den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten. Die Lösungen zu
den Aufgaben befinden sich als pdf -File auf der CD-Rom.
MAPLE: Die CD-Rom-Version dieses Buchs kann als eine themengebundene
Einführung in die Anwendung von Maple in der Mathematik gesehen werden,
da sämtliche Themengebiete des Buches mit Maple bearbeitet werden. Alle
Maple-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die Maple-Syntax erkennt
man an der Eingabeaufforderung ”>” zu Beginn einer Zeile. Diese Maple-
Hinweise
ix
Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und können direkt in Maple eingegeben werden. Die Maple-Ausgabe erscheint im Formelmodus. Am Ende
jedes Kapitels steht eine Zusammenfassung der verwendeten Befehle.
CD-Rom: Alle Maple-Ausarbeitungen sind auf der CD-Rom als elektronische Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so dass der interessierte Leser die
im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen
erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hingewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen Zusammenhänge aufzeigen: Durch eine benutzerfreundliche Menueführung soll die interaktive Benutzung der Worksheets sowohl zum Lösen
von mathematischen Problemen als auch zum experimentieren mit mathematischen Begriffen gefördert werden.
Aufbau der CD-Rom: Die Struktur der Dateien und Verzeichnisse ist:
buch.pdf
buch_CD.pdf
index.mws
\wrksheet\
\animationen\
readme.wri
enthält den Inhalt des vorliegenden, gedruckten Buches.
enthält den gesamten Inhalt des erweiterten Buches mit
allen zusätzlichen Kapiteln und Abschnitten. Zum Navigieren innerhalb des Textes verwendbar sowie zum direkten Starten der zugehörigen Maple-Worksheets.
Inhaltsverzeichnis der Maple-Worksheets.
enthält alle Worksheets im mws-Format.
enthält alle Animationen im gif -Format.
letzte Änderungen, die nicht mehr im Text aufgenommen
werden konnten.
Arbeiten mit der mws-Datei: Durch Doppelklicken der Datei index.mws
öffnet man das Maple-Inhaltsverzeichnis. Durch anschließendes Anklicken des
gewünschten Abschnitts wird das zugehörige Maple-Worksheet gestartet und
ist dann interaktiv bedienbar. Mit der Zurück-Taste der oberen Taskleiste
kommt man vom Worksheet wieder zum Inhaltsverzeichnis zurück.
Systemvoraussetzungen: Maple 11 ist auf dem Rechner installiert (empfohlen), mindestens jedoch Maple 6. mws ist je nach Version mit dem ausführbaren Programm cwmaple.exe bzw. maplew.exe im Maple-bin-Verzeichnis verknüpft. Acrobat-Reader steht zur Verfügung; er kann ansonsten von der CDRom installiert werden.
Die Worksheets auf der CD-Rom sind unter der Extension .mws abgespeichert und unter beiden Benutzeroberflächen (Classic Worksheet und Standard
Worksheet) uneingeschränkt lauffähig. Bis auf kleine Einschränkungen sind
die Worksheets unter allen Maple-Versionen ab Maple 6 lauffähig. Alleine die auf dem lokalen Rechner spezifizierte Verknüpfung entscheidet, welche
Maple-Variante gestartet wird.
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.4
1.4.1
1.4.2
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.6
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.7
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
1.8
Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . .
Mengen ..............................................................
Natürliche Zahlen ..................................................
Peanosche Axiome .................................................
Vollständige Induktion ............................................
Geometrische Summenformel ....................................
Permutationen......................................................
Der binomische Lehrsatz .........................................
Reelle Zahlen .......................................................
Zahlenmengen und Operationen ................................
Die Rechengesetze für reelle Zahlen............................
Potenzrechnen ......................................................
Logarithmen ........................................................
Anordnung der reellen Zahlen ...................................
Gleichungen und Ungleichungen ................................
Gleichungen .........................................................
Ungleichungen ......................................................
Lineare Gleichungssysteme .......................................
Einführung ..........................................................
Begriffsbildung und Notation ....................................
Das Lösen von linearen Gleichungssystemen..................
Mathematische Beweismethoden ...............................
Vollständige Induktion ............................................
Direkter Beweis ....................................................
Beweis durch Widerspruch .......................................
Beweis durch Gegenbeispiel ......................................
MAPLE: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme.......
Mengen, Summen, Zahlen mit MAPLE .........................
Gleichungen mit MAPLE ..........................................
Ungleichungen mit MAPLE .......................................
Lineare Gleichungssysteme mit MAPLE ........................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen
1
3
5
6
7
10
10
11
13
13
14
15
16
17
19
19
23
26
26
28
29
36
36
36
37
37
38
38
40
43
44
47
48
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.2
2.2.1
Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren im IR2 ....................................................
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ...............
Addition zweier Vektoren.........................................
Die Länge (der Betrag) eines Vektors .........................
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ............................
Geometrische Anwendung ........................................
Vektoren im IR3 ....................................................
Rechenregeln für Vektoren .......................................
51
54
54
55
55
56
60
62
62
xii
Inhaltsverzeichnis
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6
Projektion eines Vektors ..........................................
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren .......
Das Spatprodukt von drei Vektoren ............................
Geraden und Ebenen im IR3 .....................................
Vektorielle Darstellung von Geraden ...........................
Lage zweier Geraden zueinander ................................
Abstandsberechnung zu Geraden ...............................
Vektorielle Darstellung von Ebenen ............................
Lage zweier Ebenen zueinander .................................
Abstandsberechnung zu Ebenen ................................
Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene .
Vektorräume ........................................................
Vektorrechnung im IRn ...........................................
Vektorräume ........................................................
Linearkombination und Erzeugnis...............................
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ....................
Basis und Dimension ..............................................
MAPLE: Vektorrechnung ..........................................
Vektorrechnung mit MAPLE ......................................
Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE .....................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Vektorrechnung ...................................
65
67
71
73
73
74
76
79
82
84
85
88
88
90
93
96
99
104
104
107
114
116
3
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.3
3.3.1
3.3.2
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
3.5
Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen .............................................................
Einführung, spezielle Matrizen ..................................
Rechenoperationen für Matrizen ................................
Inverse Matrix ......................................................
Lineare Abbildungen...............................................
Anwendungsbeispiele ..............................................
Determinanten......................................................
Einführung ..........................................................
Rechenregeln für zweireihige Determinanten .................
n-reihige Determinanten..........................................
Anwendungen von Determinanten ..............................
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen ..................
Lineare Gleichungssysteme, Rang ...............................
Anwendungen.......................................................
MAPLE: Matrizen und Determinanten .........................
Matrizen mit MAPLE ..............................................
Determinanten mit MAPLE .......................................
Rangbestimmung mit MAPLE ....................................
Anwendungen mit MAPLE ........................................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ...................
121
123
123
125
129
133
134
138
138
139
142
147
148
148
153
159
159
161
162
163
164
166
Inhaltsverzeichnis
4
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.1.6
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.4
4.5
4.5.1
4.5.2
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4
4.7
4.7.1
4.7.2
4.7.3
4.7.4
4.8
4.8.1
4.8.2
4.8.3
4.8.4
4.8.5
4.8.6
4.8.7
4.9
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Funktionseigenschaften.............................
Grundbegriffe .......................................................
Nullstellen ...........................................................
Symmetrieverhalten ...............................................
Monotonie...........................................................
Periodizität..........................................................
Umkehrfunktion (inverse Funktion) ............................
Polynome ............................................................
Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare ...
Koeffizientenvergleich .............................................
Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ............................
Nullstellenproblem .................................................
Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus .....
Rationale Funktionen .............................................
Definitionslücken, Nullstellen, Pole .............................
Verhalten im Unendlichen ........................................
Anwendung: Übertragung bei Wechselstrom-Kreisen .......
Potenz- und Wurzelfunktionen ..................................
Exponential- und Logarithmusfunktion ........................
Exponentialfunktion ...............................................
Logarithmusfunktion ..............................................
Trigonometrische Funktionen ....................................
Grundbegriffe .......................................................
Sinus- und Kosinusfunktion ......................................
Tangens- und Kotangensfunktion...............................
Zusammenstellung wichtiger trigonometrischer Formeln ...
Arkusfunktionen....................................................
Arkussinusfunktion ...............................................
Arkuskosinusfunktion .............................................
Arkustangensfunktion .............................................
Arkuskotangensfunktion ..........................................
MAPLE: Elementare Funktionen .................................
Definition und Darstellung von Funktionen mit MAPLE ....
Polynome mit MAPLE .............................................
Rationale Funktionen mit MAPLE ...............................
Potenz- und Wurzelfunktionen mit MAPLE ...................
Exponentialfunktionen mit MAPLE .............................
Trigonometrische Funktionen mit MAPLE .....................
Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE
Aufgaben zu elementaren Funktionen..........................
xiii
169
171
171
176
177
178
179
180
184
185
186
187
188
191
194
195
196
198
199
202
202
204
207
207
207
212
213
214
215
216
216
217
220
220
229
234
238
238
239
240
242
xiv
Inhaltsverzeichnis
5
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
5.2.7
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.5
5.5.1
5.5.2
5.5.3
5.6
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung komplexer Zahlen ...................................
Algebraische Normalform .........................................
Trigonometrische Normalform ...................................
Exponentielle Normalform........................................
Umformungen der Normalformen ...............................
Komplexe Rechenoperationen ...................................
Addition .............................................................
Subtraktion .........................................................
Multiplikation .......................................................
Division ..............................................................
Potenz ...............................................................
Wurzeln ..............................................................
Fundamentalsatz der Algebra....................................
Anwendungen.......................................................
Beschreibung harmonischer Schwingungen im Komplexen.
Superposition gleichfrequenter Schwingungen................
Beschreibung von RCL-Gliedern bei Wechselströmen .......
Beispiele für RCL-Wechselstromschaltungen .................
Übertragungsverhalten elektrischer Schaltungen.............
Komplexe Zahlen mit MAPLE ....................................
Darstellung komplexer Zahlen mit MAPLE ....................
Komplexes Rechnen mit MAPLE ................................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen ............
Übertragungsfunktion für lineare Ketten ......................
Beispiele .............................................................
Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen..................
Aufgaben zu komplexen Zahlen .................................
245
248
248
249
250
251
254
254
254
255
257
259
260
261
263
263
264
268
270
272
275
275
277
279
280
284
288
293
300
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.5.1
6.5.2
6.5.3
6.5.4
6.6
Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlenfolgen ................................................
Funktionsgrenzwert ................................................
Stetigkeit einer Funktion .........................................
Intervallhalbierungs-Methode ....................................
MAPLE: Folgen und Grenzwerte .................................
Ermittlung von Grenzwerten mit MAPLE ......................
Graphische Darstellung von Funktionsfolgen mit MAPLE ...
Berechnung von Funktionsgrenzwerten mit MAPLE .........
Bisektionsverfahren mit MAPLE .................................
Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit ........................
303
305
311
317
319
322
322
322
323
324
326
Inhaltsverzeichnis
7
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.2.8
7.2.9
7.3
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.4
7.4.1
7.4.2
7.5
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.5.4
7.6
7.7
7.7.1
7.7.2
7.7.3
7.8
7.9
7.10
7.10.1
7.10.2
7.10.3
7.10.4
7.10.5
7.10.6
7.10.7
7.11
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung ..........................................................
Rechenregeln bei der Differenziation ...........................
Faktorregel ..........................................................
Summenregel .......................................................
Produktregel ........................................................
Quotientenregel ....................................................
Kettenregel..........................................................
Begründung der Formeln 7.2.1 - 7.2.5 .........................
Ableitung der Umkehrfunktion ..................................
Logarithmische Differenziation ..................................
Implizite Differenziation ..........................................
Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik ...............
Kinematik ...........................................................
Induktionsgesetz ...................................................
Elektrostatik ........................................................
Differenzial einer Funktion .......................................
Linearisierung von Funktionen...................................
Fehlerrechnung .....................................................
Anwendungen in der Mathematik ..............................
Geometrische Bedeutung von f 0 und f 00 . .....................
Relative Extremalwerte ...........................................
Wendepunkte und Sattelpunkte.................................
Kurvendiskussion...................................................
Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) ...............
Sätze der Differenzialrechnung ..................................
Satz über die Exponentialfunktion..............................
Mittelwertsatz ......................................................
Die Regeln von l’Hospital ........................................
Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers .............
Newton-Verfahren .................................................
Differenziation mit MAPLE .......................................
Animation des Grenzübergangs .................................
Differenzieren mit MAPLE ........................................
Logarithmische Differenziation ..................................
Implizite Differenziation ..........................................
Magnetfeld von Leiterschleifen, mit MAPLE-Worksheet ....
L’Hospitalsche Regeln mit MAPLE ..............................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Differenzialrechnung .............................
xv
327
329
335
335
335
336
337
338
340
341
344
346
348
348
349
350
351
352
354
356
356
357
358
360
363
367
368
369
370
373
375
379
379
380
381
382
382
385
385
386
xvi
Inhaltsverzeichnis
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.5
8.6
8.6.1
8.6.2
8.6.3
8.6.4
8.6.5
8.6.6
8.7
8.7.1
8.7.2
8.7.3
8.7.4
8.8
8.8.1
8.8.2
8.8.3
8.8.4
8.8.5
8.8.6
8.9
8.9.1
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Riemann-Integral .............................................
Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung...
Grundlegende Regeln der Integralrechnung ...................
Integrationsmethoden .............................................
Partielle Integration ...............................................
Integration durch Substitution ..................................
Partialbruchzerlegung .............................................
Uneigentliche Integrale............................................
Anwendungen der Integralrechnung ............................
Flächenberechnungen .............................................
Kinematik ...........................................................
Elektrodynamik.....................................................
Energieintegrale ....................................................
Lineare und quadratische Mittelwerte..........................
Schwerpunkt einer ebenen Fläche ..............................
Weitere Anwendungen der Integralrechnung .................
Mittelungseigenschaft .............................................
Bogenlänge..........................................................
Krümmung ..........................................................
Volumen und Mantelflächen von Rotationskörpern .........
MAPLE: Integralrechnung .........................................
Integration mit MAPLE ............................................
Partielle Integration ...............................................
Substitutionsmethode .............................................
Partialbruchzerlegung .............................................
Uneigentliche Integrale mit MAPLE .............................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Integralrechnung..................................
Zusätzliche Aufgaben zur Integralrechnung...................
389
391
396
405
407
407
409
415
421
423
423
424
426
427
428
430
433
433
434
437
438
444
444
445
446
448
450
450
451
453
9
9.1
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.2
9.3
9.4
9.5
9.5.1
9.5.2
9.5.3
9.5.4
Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenreihen ........................................................
Beispiele .............................................................
Majorantenkriterium...............................................
Quotientenkriterium ..............................................
Leibniz-Kriterium ..................................................
Potenzreihen ........................................................
Taylor-Reihen .......................................................
Anwendungen.......................................................
Komplexwertige Funktionen .....................................
Komplexe Potenzreihen ...........................................
Die Eulersche Formel..............................................
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion ..........
Komplexe Hyperbelfunktionen ..................................
455
459
461
465
466
468
470
476
486
492
492
494
495
497
Inhaltsverzeichnis
xvii
9.5.5
9.6
9.6.1
9.6.2
9.6.3
9.6.4
9.6.5
9.6.6
9.6.7
9.7
Differenziation und Integration ..................................
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen .................
Zahlenreihen mit MAPLE .........................................
Quotientenkriterium mit MAPLE ................................
Konvergenzbetrachtungen mit MAPLE .........................
Potenzreihen mit MAPLE .........................................
Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen............
Taylor-Reihen mit MAPLE ........................................
Anwendungsbeispiel: Scheinwerferregelung mit MAPLE .....
Aufgaben zu Funktionenreihen ..................................
498
501
501
502
503
504
506
507
510
514
10
Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen mit mehreren Variablen ............................
Einführung und Beispiele .........................................
Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen..............
Stetigkeit ............................................................
Differenzialrechnung...............................................
Partielle Ableitung .................................................
Totale Differenzierbarkeit.........................................
Gradient und Richtungsableitung ...............................
Der Taylorsche Satz ...............................................
Kettenregeln ........................................................
Anwendungen der Differenzialrechnung .......................
Das Differenzial als lineare Näherung ..........................
Fehlerrechnung .....................................................
Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen ...
Ausgleichen von Messfehlern; Regressionsgerade ............
MAPLE: Funktionen in mehreren Variablen ...................
Darstellung von Funktionen in zwei Variablen................
Differenzialrechnung...............................................
Anwendung der Differenzialrechnung ..........................
Aufgaben zur Differenzialrechnung .............................
517
519
519
522
528
530
530
538
540
546
553
558
558
563
567
576
583
583
588
594
604
Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppelintegrale (Gebietsintegrale) .............................
Definition ............................................................
Berechnung von Doppelintegralen ..............................
Reduktion von Doppelintegralen auf einfache Integrationen
Anwendungen.......................................................
Dreifachintegrale ...................................................
Definition und Berechnung von Dreifachintegralen..........
Anwendungen.......................................................
MAPLE: Doppel- und Dreifachintegrale ........................
607
609
609
612
615
617
622
622
624
630
10.1
10.1.1
10.1.2
10.2
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.3.5
10.4
10.4.1
10.4.2
10.4.3
10.4.4
10.5
10.5.1
10.5.2
10.5.3
10.6
11
11.1
11.1.1
11.1.2
11.1.3
11.1.4
11.2
11.2.1
11.2.2
11.3
xviii
Inhaltsverzeichnis
11.3.1
11.3.2
11.3.3
11.4
11.5
11.5.1
11.5.2
11.5.3
11.5.4
11.5.5
11.6
11.6.1
11.7
11.8
Doppelintegrale mit MAPLE ......................................
Dreifachintegrale mit MAPLE ....................................
Berechnung der Eigenschaften starrer Körper mit MAPLE .
Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen ..........
Linien- oder Kurvenintegrale.....................................
Vektordarstellung einer Kurve ...................................
Differenziation eines Vektors nach einem Parameter........
Vektor- oder Kraftfelder ..........................................
Linien- oder Kurvenintegrale.....................................
Anwendungsbeispiele ..............................................
Oberflächenintegrale ..............................................
Oberflächenintegral eines Vektorfeldes.........................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Integralrechnung..................................
630
632
633
636
641
641
642
645
645
657
661
665
669
670
12
12.1
12.1.1
12.1.2
12.1.3
12.1.4
12.1.5
12.1.6
12.1.7
12.1.8
Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzialgleichungen erster Ordnung........................
Einleitende Problemstellungen...................................
Lösen der homogenen Differenzialgleichung ..................
Lösen der inhomogene Differenzialgleichung .................
Lineare Differenzialgleichungen mit konstantem Koeffizient
Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ............
Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung.......................
Nichtlinearer DG 1. Ordnung (Ergänzungen).................
Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE ........................
673
676
676
680
682
690
694
697
701
706
12.2
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.4
12.2.5
12.2.6
Lineare Differenzialgleichungssysteme..........................
Einführung ..........................................................
Homogene lineare Differenzialgleichungssysteme ............
Eigenwerte und Eigenvektoren ..................................
Eigenwerte und Eigenvektoren mit MAPLE ....................
Lösen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten
Berechnung spezieller Lösungen für inhomogene LDGS ....
710
710
713
717
722
724
741
12.3
12.3.1
12.3.2
12.3.3
12.3.4
12.3.5
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung ..............
Einleitende Beispiele...............................................
Reduktion einer linearen DG n-ter Ordnung auf ein System
Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten ....
Inhomogene DG n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten .
Lösen von DG n-ter Ordnung mit MAPLE ....................
752
752
755
760
770
784
12.4
12.4.1
12.4.2
12.4.3
12.4.4
Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Streckenzugverfahren von Euler .................................
Verfahren höherer Ordnung ......................................
Vergleich der numerischen Verfahren mit MAPLE ............
Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE: dsolve
789
789
792
799
803
Inhaltsverzeichnis
xix
12.5
12.5.1
12.5.2
12.5.3
12.6
Beschreibung elektrischer Filterschaltungen ..................
Physikalische Gesetzmäßigkeiten der Bauelemente ..........
Aufstellen der DG für elektrische Schaltungen ...............
Aufstellen und Lösen der DG für Filterschaltungen .........
Aufgaben zu Differenzialgleichungen ...........................
812
812
813
814
825
13
13.1
13.2
13.3
13.3.1
13.3.2
13.4
13.5
13.6
13.6.1
13.6.2
13.6.3
13.6.4
13.6.5
13.7
13.7.1
13.7.2
13.7.3
13.7.4
13.8
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Laplace-Transformation......................................
Inverse Laplace-Transformation .................................
Zwei grundlegende Eigenschaften...............................
Linearität ............................................................
Laplace-Transformierte der Ableitung..........................
Methoden der Rücktransformation .............................
Anwendungen der Laplace-Transformation ...................
Transformationssätze..............................................
Verschiebungssatz .................................................
Dämpfungssatz .....................................................
Ähnlichkeitssatz ....................................................
Faltungssatz ........................................................
Grenzwertsätze .....................................................
Laplace-Transformation mit MAPLE ............................
Laplace-Transformation...........................................
Inverse Laplace-Transformation .................................
Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE .....
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Laplace-Transformation .........................
831
835
840
841
841
843
846
849
853
853
856
858
859
861
863
863
865
866
874
875
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.7.1
14.7.2
14.7.3
14.7.4
14.7.5
14.8
Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung ..........................................................
Bestimmung der Fourier-Koeffizienten.........................
Fourier-Reihen für 2π -periodische Funktionen ...............
Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen .................
Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen ..............
Zusammenstellung elementarer Fourier-Reihen ..............
MAPLE: Fourier-Reihen ...........................................
Berechnung der Fourier-Koeffizienten mit MAPLE ...........
Analyse T -periodischer Signale mit MAPLE ...................
MAPLE-Prozedur zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten
Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten ...........
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zu Fourier-Reihen .....................................
877
879
881
884
891
901
906
908
908
910
914
918
919
920
15
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
15.1
Fourier-Transformation und Beispiele .......................... 923
15.1.1 Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation 924
xx
Inhaltsverzeichnis
15.1.2
15.2
15.2.1
15.2.2
15.2.3
15.2.4
15.2.5
15.2.6
15.2.7
15.3
15.3.1
15.3.2
15.3.3
15.3.4
15.4
15.5
15.5.1
15.5.2
15.5.3
15.5.4
15.5.5
15.6
15.6.1
15.6.2
15.7
15.8
15.8.1
Inverse Fourier-Transformation ..................................
Eigenschaften der Fourier-Transformation ....................
Linearität ............................................................
Symmetrieeigenschaft .............................................
Skalierungseigenschaft ............................................
Verschiebungseigenschaften......................................
Modulationseigenschaft ...........................................
Fourier-Transformation der Ableitung..........................
Faltungstheorem ...................................................
Fourier-Transformation der Deltafunktion.....................
Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion ...........
Fourier-Transformation der Deltafunktion.....................
Darstellung der Fourier-Transformierten von δ(t) ...........
Korrespondenzen der Fourier-Transformation ................
MAPLE: Fourier-Transformation .................................
Beschreibung von linearen Systemen ...........................
LZK-Systeme .......................................................
Impulsantwort ......................................................
Die Systemfunktion (Übertragungsfunktion) .................
Übertragungsfunktion elektrischer Netzwerke ................
Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion .
Anwendungsbeispiele mit MAPLE ...............................
Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems mit MAPLE .....
Frequenzanalyse eines Hochpasses mit MAPLE ...............
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Fourier-Transformation..........................
Aufgaben zur Anwendung der Fourier-Transformation .....
929
933
933
933
935
935
937
939
940
947
947
949
952
956
957
965
965
967
974
979
983
987
987
990
992
993
995
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.4.1
16.4.2
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
Numerisches Lösen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervallhalbierungs-Methode ....................................
Pegasus-Verfahren .................................................
Banachsches Iterationsverfahren ................................
Anwendung des Banach-Verfahrens ............................
1-dimensionaler Fall ...............................................
2-dimensionales 2-Federn-Masse-Problem ....................
Newton-Verfahren .................................................
Regula falsi..........................................................
Bestimmung von Polynom-Nullstellen .........................
Zusammenstellung der MAPLE-Prozeduren ...................
Aufgaben zum numerischen Lösen von Gleichungen ........
999
1003
1010
1014
1022
1024
1025
1027
1032
1033
1036
1037
17
17.1
17.1.1
17.1.2
Numerisches Differenzieren und Integrieren . . . . . . . . . .
Numerische Differenziation ......................................
Differenzenformeln für die erste Ableitung ....................
Differenzenformeln für die zweite Ableitung ..................
1039
1041
1041
1047
Inhaltsverzeichnis
xxi
17.1.3
17.2
17.2.1
17.2.2
17.2.3
17.2.4
17.2.5
17.3
Differenzenformeln für die n-te Ableitung ....................
Numerische Integration ...........................................
Die Rechteckregel..................................................
Die Trapezregel ....................................................
Die Simpson-Regel.................................................
Visualisierung mit MAPLE ........................................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zum numerischen Differenzieren und Integrieren
1049
1051
1052
1053
1054
1056
1056
1058
18
18.1
18.1.1
18.1.2
18.2
18.3
18.3.1
18.3.2
18.4
18.5
Diskrete Fourier-Transformation und Anwendungen . .
Diskrete Fourier-Transformation ................................
Herleitung der Formeln der DFT ...............................
Inverse diskrete Fourier-Transformation .......................
Diskrete Fourier-Transformation mit MAPLE .................
Anwendungsbeispiele zur DFT mit MAPLE ...................
Anwendung der DFT zur Signalanalyse .......................
Anwenden der DFT zur Systemanalyse eines Tiefpasses ...
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur diskreten Fourier-Transformation..............
1061
1063
1063
1067
1074
1081
1081
1087
1092
1093
19
19.1
19.2
19.2.1
19.2.2
19.2.3
19.3
19.3.1
19.3.2
19.3.3
19.3.4
19.4
19.4.1
19.4.2
19.4.3
19.4.4
19.5
19.6
19.6.1
19.6.2
19.6.3
19.6.4
19.7
Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung ..........................................................
Die Wellengleichung ...............................................
Herleitung der Wellengleichung .................................
Unendlich ausgedehnte Saite (Anfangswertproblem)........
Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem) ..............
Die Wärmeleitungsgleichung.....................................
Herleitung der Wärmeleitungsgleichung .......................
Lösung der Wärmeleitungsgleichung bei Wärmeisolation ..
Lösung der Wärmeleitungsgleichung bei Wärmeisolation ..
Lösung des stationären Falls bei Wärmeübergang...........
Die Laplace-Gleichung ............................................
Herleitungen der Laplace-Gleichung ............................
Lösung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem) .........
Lösung der Laplace-Gleichung (Neumann-Problem) ........
Die Laplace-Gleichung in Polarkoordinaten (r, ϕ) ..........
Die zweidimensionale Wellengleichung.........................
Die Biegeschwingungsgleichung .................................
Herleitung der Biegeschwingungsgleichung ...................
Lösung der Biegeschwingungsgleichung .......................
Einspannbedingung: gelenkig/gelenkig ........................
Einspannbedingung: fest/fest, mit MAPLE ....................
Aufgaben zu partiellen Differenzialgleichungen ..............
1095
1097
1099
1099
1100
1102
1110
1110
1111
1116
1119
1122
1122
1125
1129
1132
1135
1140
1140
1141
1143
1146
1151
xxii
Inhaltsverzeichnis
20
20.1
20.1.1
20.1.2
20.2
20.2.1
20.2.2
20.3
20.4
20.5
20.6
Vektoranalysis und Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Divergenz und Satz von Gauß ...................................
Die Divergenz.......................................................
Gaußscher Integralsatz ............................................
Rotation und Satz von Stokes...................................
Die Rotation ........................................................
Stokescher Integralsatz ...........................................
Rechnen mit Differenzialoperatoren ............................
Anwendung: Die Maxwellschen Gleichungen .................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ........................
Aufgaben zur Vektoranalysis.....................................
A
A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
A.6
A.7
A.8
A.9
A.10
A.11
A.12
A.13
A.14
A.15
A.16
A.17
A.18
A.19
A.20
Lösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189
Lösungen zu Zahlen, Gleichungen und Gleichungssystemen 1191
Lösungen zur Vektorrechnung ................................... 1192
Lösungen zu Matrizen und Determinanten ................... 1194
Lösungen zu elementaren Funktionen.......................... 1195
Lösungen zu komplexen Zahlen ................................. 1197
Lösungen zu Grenzwert und Stetigkeit ........................ 1198
Lösungen zur Differenzialrechnung ............................. 1198
Lösungen zur Integralrechnung.................................. 1200
Lösungen zu Funktionenreihen .................................. 1202
Lösungen zur Differenzialrechnung bei mehreren Variablen 1204
Lösungen zur Integralrechnung bei mehreren Variablen .... 1206
Lösungen zu Differenzialgleichungen ........................... 1207
Lösungen zur Laplace-Transformation ......................... 1210
Lösungen zu Fourier-Reihen ..................................... 1211
Lösungen zur Fourier-Transformation .......................... 1212
Lösungen zum numerisches Lösen von Gleichungen......... 1215
Lösungen zum numerisches Differenzieren und Integrieren 1215
Lösungen zur diskrete Fourier-Transformation ............... 1216
Lösungen zu partielle DG......................................... 1217
Lösungen zur Vektoranalysis ..................................... 1219
1157
1160
1160
1164
1168
1168
1173
1175
1182
1185
1186
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223
Maple-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237
Kapitel 2
Vektoren und Vektorrechnung
2
2
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6
Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren im IR2 ....................................................
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ...............
Addition zweier Vektoren.........................................
Die Länge (der Betrag) eines Vektors .........................
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ............................
Geometrische Anwendung ........................................
Vektoren im IR3 ....................................................
Rechenregeln für Vektoren .......................................
Projektion eines Vektors ..........................................
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren .......
Das Spatprodukt von drei Vektoren ............................
Geraden und Ebenen im IR3 .....................................
Vektorielle Darstellung von Geraden ...........................
Lage zweier Geraden zueinander ................................
Abstandsberechnung zu Geraden ...............................
Vektorielle Darstellung von Ebenen ............................
Lage zweier Ebenen zueinander .................................
Abstandsberechnung zu Ebenen ................................
Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene .
Vektorräume ........................................................
Vektorrechnung im IRn ...........................................
Vektorräume ........................................................
Linearkombination und Erzeugnis...............................
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ....................
Basis und Dimension ..............................................
MAPLE: Vektorrechnung .........................................
Vektorrechnung mit MAPLE .....................................
Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE ....................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle .......................
Aufgaben zur Vektorrechnung ...................................
54
54
54
55
55
56
60
62
62
65
67
71
73
73
74
76
79
82
84
85
88
88
90
93
96
99
104
104
107
114
116
2 Vektoren und Vektorrechnung
Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Beschreibung physikalischer
Größen. Während die Temperatur eines Körpers, die Dichte eines homogenen Mediums, der Ohmsche Widerstand eines elektrischen Elementes durch eine reelle Zahl
(zusammen mit einer Einheit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden
physikalischen Größen nicht möglich:
Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes im Raum ist festgelegt durch die Größe
der Geschwindigkeit und deren Richtung. Die Kraft, die an einem Massenpunkt angreift, wird beschrieben durch die Länge der Kraft und der Richtung, unter welcher
die Kraft angreift. Elektrische Feldstärke, Drehmoment usw. sind andere physikalische Größen, die durch Maßzahl (Länge) und Richtung festgelegt werden.
Immer wenn in Physik und Technik Größen auftreten, die sich nicht nur durch die
Angabe einer Zahl zusammen mit einer Einheit versehen beschreiben lassen, spricht
man von Vektoren.
Stellen wir uns einen Kraftvektor vor, so definieren wir verallgemeinernd:
→
Definition: Ein Vektor −
a ist eine Klasse von gerichteten Strecken (Pfeilen), die in Richtung und Länge übereinstimmen.
−−→
Zwei gerichtete Strecken A B (Anfangspunkt A, End−−→
punkt B) und C D (Anfangspunkt C, Endpunkt D)
stellen genau dann denselben Vektor dar, wenn sie
gleich gerichtet und gleichlang sind. Man spricht daher oftmals von Richtungsvektoren. Durch Parallelverschiebung entstehende Vektoren sind also gleich.
Ein Vektor ist eindeutig durch seinen Anfangspunkt
und Endpunkt festgelegt.
Historisch gesehen ist die Vektorrechnung eine recht junge Disziplin verglichen
z.B. mit der Differenzialrechnung. Die Begründung der modernen Vektorrechnung geht auf Hermann Großmann (1809 - 1877; 1844) zurück. Der Formalismus der Vektoren und der Vektorrechnung entstand also wesentlich später als
z.B. die komplexen Zahlen.
Im Folgenden werden wir zur Beschreibung der Vektoren und der Rechenoperationen mit Vektoren von einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem ausgehen.
54
2.1
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.1 Vektoren im IR2
Der zweidimensionale Raum IR2 wird durch zwei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen (kartesisches Koordinatensystem) festgelegt. In
→
einem solchen Koordinatensystem ist ein Vektor −
a vom Punkt P1 = (x1 , y1 )
zum Punkt P2 = (x2 , y2 ) durch seine Komponenten festgelegt, den Projektionen auf die Koordinatenachsen:
−
→
a :=
x2 − x1
y2 − y1
.
Abb. 2.1. Richtungsvektoren (links)- und Ortsvektor (rechts)
→
→
Dabei kommt es nicht auf die spezielle Lage im IR2 an. −
a und −
a 1 repräsentieren den gleichen Vektor. Wir sprechen von einem Richtungsvektor, wenn der
Angriffspunkt keine Rolle spielt. Im Gegensatz zu Richtungsvektoren spricht
man von Ortsvektoren, wenn der Vektor vom Ursprung O zum Punkt P
führt:
−
→
r (P ) :=
x
.
y
2.1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
→
λ−
a =λ
ax
ay
:=
λ ax
λ ay
; λ ∈ IR.
→
Das Produkt eines Skalars λ ∈ IR mit einem Vektor −
a ist wieder ein Vektor.
Die Multiplikation geschieht komponentenweise. Geometrisch entspricht dies
→
→
der Streckung des Vektors −
a um den Faktor λ. Für λ = −1 hat −−
a die glei−
→
che Länge aber umgekehrte Richtung wie a . Manchmal ist es bequemer den
→
→
Zahlenfaktor rechts vom Vektor zu schreiben. Wir setzen daher −
a λ := λ−
a.
Vektoren im IR2
2.1
55
2.1.2 Addition zweier Vektoren
−
→
−
→
a + b =
ax
ay
+
bx
by
:=
ax + bx
ay + by
.
Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor. Die Addition erfolgt komponentenweise. Entsprechend ist die Subtraktion erklärt. Geometrisch entspricht die Addition zweier Vektoren der Kräfte-Addition über das Kräfte-Parallelogramm.
Abb. 2.2. Addition und Subtraktion über das Kräfte-Parallelogramm
2.1.3 Die Länge (der Betrag) eines Vektors
→
Die Länge (= Betrag) eines Vektors −
a ergibt
sich nach dem Satz von Pythagoras:
→
|−
a|=
q
a2x + a2y .
Für den Betrag eines Vektors schreibt man
→
auch kurz a := |−
a |.
Abb. 2.3. Betrag des Vektors
Beispiele 2.1:
→
① Gegeben sind die Vektoren −
a =
−
→
5
4
−3
→
, b =
,−
c =
. Dann
3
1
−2
ist
−
→
−
→
→
→
d = −−
a + 3 b + 2−
c =
−5
−3
+
12
3
+
−6
−4
② An einem Massenpunkt wirken die Kräfte
−
→
−
→
−
→
2N
−1N
−4N
F1 =
, F2 =
, F3 =
.
1N
5N
2N
Gesucht ist der Betrag der resultierenden Kraft FR :
−→ −
→ −
→ −
→
FR = F1 + F2 + F3
=
1
−4
.
56
2. Vektoren und Vektorrechnung
2N
−1N
−4N
−3N
=
+
+
=
1N
5N
2N
8N
−→ p
√
FR = FR = 9N 2 + 64N 2 = 73N.
③ Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor.
Spezielle Einheitsvektoren sind die KoordinatenEinheitsvektoren
1
0
−
→
→
e 1 :=
und −
e 2 :=
.
0
1
Diese Vektoren haben die Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen und die Länge 1. Mit
→
den Einheitsvektoren lässt sich jeder Vektor −
a schreiben als
Abb. 2.4. Einheitsvektoren
−
→
→
→
a = ax −
e 1 + ay −
e2
→
→
(Linearkombination von −
e 1 und −
e 2 ).
→
④ Gegeben ist ein Vektor −
a =
→
→
Richtung −
a . Wegen |−
a|=
−
→
ea=
ax
. Gesucht ist der Einheitsvektor in
qay
a2x + a2y
→
1 −
a
→
|−
a|
=√
ist
1
a2x +a2y
ax
ay
→
→
der gesuchte Einheitsvektor, denn |−
e a | = 1 und die Richtung von −
e a und
−
→
a stimmen überein.
2.1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Definition: Unter dem Skalarprodukt
ax
−
→
(Punktprodukt) zweier Vektoren a =
ay
−
→
bx
und b =
versteht man die reelle Zahl
by
Abb. 2.5. Winkel zw. ~
a und ~b
−
−
→
→
−
→
→
a · b := |−
a | · b · cos α,
(1)
wenn α der zwischen 0◦ und 360◦ gelegene
−
→
−
Winkel zwischen den Vektoren →
a und b ist. Übliche Bezeichnungen für das
−
→
−
→
→
→
Skalarprodukt sind auch < −
a , b > oder (−
a , b ).
2.1
Vektoren im IR2
57
Für das Skalarprodukt gelten aufgrund der Definition die Rechenregeln
(S1 )
(S2 )
(S3 )
−
→
−
→
a · b
−
→
→
λ · (−
a · b)
−
→ →
−
→
a · ( b +−
c)
=
=
=
−
→ −
b ·→
a
−
→
−
→
−
→
→
(λ · a ) · b = −
a · (λ · b )
−
→
→
→
→
(−
a · b ) + (−
a ·−
c)
Symmetriegesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
(S1 ) und (S2 ) sind offensichtlich, (S3 ) ist nicht ganz evident. Auf Beweise
sei jedoch verzichtet. Wir verwenden stattdessen die Regeln, um eine sehr
einfache Darstellung des Skalarprodukts zu erhalten: Aufgrund der Definition
des Skalarprodukts ist
−
→
→
→
→
→
→
e 1·−
e 1 = 1, −
e 1·−
e 2 = 0, −
e 2·−
e 2 = 1.
Daher gilt für zwei Vektoren
−
→
ax
bx
−
→
→
→
→
→
a =
= ax −
e 1 + ay −
e 2 und b =
= bx −
e 1 + by −
e2:
ay
by
−
→
−
→
→
→
→
→
a · b = (ax −
e 1 + ay −
e 2 ) · (bx −
e 1 + by −
e 2)
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
→
→
= ax bx e 1 · e 1 + ax e 1 · by e 2 + ay −
e 2 · bx −
e 1 + ay by −
e 2·−
e2
⇒
−
→
−
→
a · b = ax bx + ay by .
(2)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren lässt sich also einfach angeben ohne den
−
→
→
Winkel α zwischen den Vektoren −
a und b berechnen zu müssen, indem
die Summe der Produkte der ersten Komponenten und der zweiten
Komponenten gebildet wird.
Anwendungsbeispiel 2.2 (Arbeit bei konstanter Kraft). Physikalisch entspricht das Skalarprodukt der Arbeit, die unter Einwirkung einer konstanten Kraft geleistet wird. Sind Kraft
und Bewegungsrichtung gleichgerichtet, dann ist
die Arbeit W = F ·s. Kann sich ein Massenpunkt
Abb. 2.6. Kraft in Richtung ~
a
→
aber nur entlang einer Richtung −
e a bewegen,
die nicht mit der Richtung der Kraft übereinstimmt, dann ist die geleistete
−
→
→
Arbeit die Komponente der Kraft | F a | in Richtung −
e a multipliziert mit dem
−
→
−
→
zurückgelegten Weg | a | = |a e a |:
−
−
→ →
→
→
W = F a · |−
a | = F · cos α · |−
a|
−
→ →
W = F ·−
a.
58
2. Vektoren und Vektorrechnung
Anwendungsbeispiel 2.3 (Berechnung des von zwei Vektoren
eingeschlossenen Winkels).
Aus Gleichung (1) und (2) folgt eine wichtige Formel zur Berechnung des von
zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels:
cos α =
−
→
−
→
a · b
a b +a b
−
= q x x qy y
.
→
→
|−
a |· b a2x + a2y b2x + b2y
Wendet man anschließend die Umkehrfunktion des Kosinus an (siehe 4.7 Arkusfunktionen), erhält man den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel α
zwischen 0 und l80◦ .
−
→
→
Wichtiger Spezialfall: Stehen −
a und b
senkrecht aufeinander, so ist α = 90◦ und
cos α = 0. Daher gilt
−
→
−
→
−
→
→
a · b =0 ⇔ −
a ⊥ b.
! Achtung: Im Gegensatz zum Produkt von zwei reellen Zahlen ist das Ska4
larprodukt nicht nur dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren
der Nullvektor ist, sondern auch, wenn die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.
Beispiele 2.4:
→
➀ Man bestimme das Skalarprodukt von −
a =
−
→
−
→
a · b =
−
→
4
−1
und b =
.
2
3
4
−1
·
= 4 · (−1) + 2 · 3 = 2.
2
3
−
→
1
−2
und b =
sind orthogonal, d.h. sie stehen
2
1
senkrecht aufeinander.
→
➁ Die Vektoren −
a
2.1
Vektoren im IR2
59
Wir zeigen, dass das Skalarprodukt Null ergibt:
−
→
1
−2
−
→
·
= 1 · (−2) + 2 · 1 = 0.
a · b =
2
1
➂ Der Betrag eines Vektors kann aus dem Skalarprodukt berechnet werden:
ax
ax
ax
2
→
→
→
→
Für −
a =
gilt −
a ·−
a =
·
= a2x + a2y = |−
a|
ay
ay
ay
⇒
√→ −
→
|−
a|=a= −
a ·→
a.
2
−
→
➃ Gegeben ist der Vektor a =
. Gesucht sind die Winkel α und β,
1
−
→
die a mit den Koordinatenachsen einschließt. Die Winkel erhalten wir aus
→
→
→
dem Skalarprodukt von −
a mit −
e bzw. mit −
e :
1
2
−
→
→
ax
a ·−
e1
cos α = −
= −
=
→
→
| a | · |−
e 1|
|→
a|
√2
5
⇒ α = 26, 6◦ .
−
→
→
a ·−
e2
ay
= −
=
cos β = −
→
→
| a | · |−
e 2|
|→
a|
√1
5
⇒ β = 63, 4◦ .
→
➄ Man bestimme zum Vektor −
a =
−
→
Vektor n mit Länge 1:
ax
ay
einen senkrecht dazu stehenden
→
Einen zu −
a senkrechten Vektor erhält man, indem man die x-Komponente
→
mit der y-Komponente des Vektors −
a vertauscht und
bei
anschließend
−
→
−ay
einer Komponenten das Vorzeichen wechselt. N =
steht daher
ax
→
senkrecht auf −
a , denn
−
→
ax
−ay
−
→
a ·N =
·
= 0.
ay
ax
−
→
Dividiert man nun noch durch den Betrag von N , so ist der zugehörige
Normalen-Einheitsvektor gegeben durch
−
→
→
n := −
en=
→
1−
N N
=√
1
a2x +a2y
−ay
.
ax
60
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.1.5 Geometrische Anwendung
2
Durch den Ortsvektor
entspricht jeder Punkt P = (x, y) im IR genau einem
x
→
Vektor −
r (P ) =
. Eine Gerade g durch zwei Punkte P1 = (x1 , y1 ) und
y
P2 = (x2 , y2 ) lässt sich demnach darstellen als Menge aller Punkte P , für die
gilt
g:
−
→
→
→
→
→
→
r (P ) = −
r (P1 ) + λ (−
r (P2 ) − −
r (P1 )) = −
r (P1 ) + λ · −
a.
Abb. 2.7. Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden
Dies ist die Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden, definiert durch
→
→
→
→
den Ortsvektor −
r (P1 ) und dem Richtungsvektor −
a := −
r (P2 ) − −
r (P1 ).
Eine alternative Darstellung der Geradengleichung folgt, wenn wir die PunktRichtungs-Darstellung mit dem zu g senkrecht stehenden Normalen-Einheits→
vektor −
n (siehe Beispiel 2.4 ⑤) skalarmultiplizieren.
x
x1
x1 −
−
→
−
→
−
→
→
→
→
· n =(
+λ· a )· n =
n + λ |−
a {z
·−
n}
y
y1
y1
=0
⇒
x
n1
·
= d.
y
n2
Dies ist die Hesse-Normalform einer Geraden im IR2 und
x1
n1
d=
y1
n2
ist der kürzeste Abstand der Geraden vom Nullpunkt.
2.1
Vektoren im IR2
61
Beispiel 2.5. Gegeben sind zwei Punkte P1 = (1, 1) und P2 = (4, 2). Gesucht
ist die Punkt-Richtungs-Darstellung sowie die Hesse-Normalform der Geraden
g durch die Punkte P1 und P2 . Wie groß ist der kleinste Abstand vom Ursprung?
(i)
Punkt-Richtungs-Darstellung:
x
1
3
−
→
−
→
−
→
−
→
g: r =
= r (P1 ) + λ ( r (P2 ) − r (P1 )) =
+λ
.
y
1
1
(ii) Hesse-Normalform:
−
3
→
→
steht senkrecht zu −
a =
. Wegen N =
1
√
√
−
→
−1
→ := 1 N = √1
1 + 9 = 10 ist −
n
der Normalen-Einheitsvektor
N
10
3
zu g.
x
−1
√1
⇒d=
ist die Hesse-Normalform.
10
y
3
−
→
Der Vektor N =
−1
3
(iii) Der Minimalabstand der Geraden zum Ursprung erhält man, indem man
den Punkt P1 = (1, 1) in die Hesse-Normalform einsetzt:
1
2
1√
1
−1
√
d=
=√ =
10.
1
3
5
10
10
(iv) Berechnen wir noch das Skalarprodukt auf der linken Seite der HesseNormalform
1
2
√ (−x + 3y) = √
10
10
und lösen nach y auf, erhalten wir die übliche Darstellung der Geradengleichung in der Ebene
1
2
y = x+ .
3
3
Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich MapleProzeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im IR2
ermöglichen als auch die Visualisierung der in 2.1.1 bis 2.1.4 beschriebenen Vektoroperationen.
62
2.2
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.2 Vektoren im IR3
Analog zum Vorgehen im zweidimensionalen Raum
IR2 führt man Vektoren im IR3 ein, indem ein Vektor
−
→
a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem vom
Punkt P1 = (x1 , y1 , z1 ) zum Punkt P2 = (x2 , y2 , z2 )
festgelegt ist:


x2 − x1
−
→
a :=  y2 − y1  .
z2 − z1
Abb. 2.8. Richtungsvektor
−
→
→
a heißt dann wieder Richtungsvektor. Ein Ortsvektor −
r (P ) stellt einen Vektor vom Ursprung O zum Punkt P = (x, y, z) dar:
 
x
−
→
r (P ) =  y  .
z
2.2.1 Rechenregeln für Vektoren
→
Die Multiplikation eines Vektors −
a mit einem Skalar λ und die Addition zweier
Vektoren erfolgen komponentenweise:




ax
λ ax
→
λ·−
a = λ  ay  :=  λ ay 
az
λ az
(Skalare Multiplikation)
   


ax
bx
ax + bx
−
→
−
→
a + b =  ay  +  by  :=  ay + by 
az
bz
az + bz
(Addition)
→
Die Länge (bzw. der Betrag) eines Vektors −
a ist gegeben durch
→
a := |−
a|=
q
a2x + a2y + a2z
(Betrag)
und entspricht der Diagonalen eines Quaders mit Kantenlängen ax , ay , az . Je→
→
der Vektor −
e mit |−
e | = 1 heißt Einheitsvektor. Die Koordinaten-Einheitsvektoren lauten
 
 
 
0
0
1
−
→
−
→
−
→





e 1 = 0 , e 2 = 1 , e 3 = 0.
0
0
1
2.2
Vektoren im IR3
63
→
Jeder Vektor −
a lässt sich schreiben als Linearkombination dieser Einheitsvektoren
−
→
→
→
→
a = ax −
e 1 + ay −
e 2 + az −
e 3.
Abb. 2.9. ~
a als Linearkombination der Einheitsvektoren
Beispiele 2.6:


5
→
① Der Ortsvektor zum Punkt P = (5, 1, −3) lautet −
r (P ) =  1  . Er hat
−3
p
√
→
die Länge |−
r (P )| = 52 + 12 + (−3)2 = 35.
② Der Richtungsvektor von P1 = (3, 4, 7) nach P2 = (7, 3, 1) ist
    

7
3
4
−−−→ −
−
→
→
−
→
a = P1 P2 = r (P2 ) − r (P1 ) =  3  −  4  =  −1  .
1
7
−6
③ Gesucht sind die Koordinaten des Punktes Q,
welcher die Strecke von P1 = (3, 4, 7) zum Punkt
P2 = (7, 3, 1) im Verhältnis 1:2 schneidet.
−
→
→
→
→
r (Q) = −
r (P1 ) + 13 (−
r (P2 ) − −
r (P1 ))
 


3
4
→
→
a =  4  + 13  −1 
=−
r (P1 ) + 31 −
7
−6
 
13
= 13  11  .
15
Das Skalarprodukt ist im IR3 definiert durch
−
−
→
→
−
→
→
a · b := |−
a | · b · cos α,
−
→
→
α=∠ −
a, b ,
64
2. Vektoren und Vektorrechnung
−
→
→
wenn α der von den Vektoren −
a und b eingeschlossene Winkel ist. Für die
Darstellung des Skalarprodukts berechnet man mit den gleichen Regeln wie
im IR2 ((S1 ) − (S3 )), dass
−
→
−
→
a · b = ax bx + ay by + az bz .
Folglich gilt wieder für den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel α:
cos α =
−
→
−
→
a · b
ax bx + ay by + az bz
−
=q
q
.
→
→
|−
a |· b a2x + a2y + a2z b2x + b2y + b2z
(3)
−
→
→
Folgerung: Zwei Vektoren −
a und b stehen senkrecht aufeinander, wenn
das Skalarprodukt verschwindet:
−
→
−
→
−
→
→
a ⊥ b ⇔ −
a · b =0
Beispiele 2.7:
→
→
→
➀ Orthonormalsystem: −
e 1, −
e 2, −
e 3 bilden ein Orthonormalsystem von
3
IR , d.h. sie stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge 1:
−
→
→
→
→
→
→
e 1·−
e1=−
e 2·−
e2=−
e 3·−
e3=1
−
→
→
→
→
→
→
e 1·−
e2=−
e 2·−
e3=−
e 3·−
e 1 = 0.
 


1
−1
→
→
→
➁ Die Vektoren −
a 1 = √13  1  , −
a 2 = √12  1  , −
a3 =
1
0
den ebenfalls ein Orthonormalsystem.


−1
√1  −1  bil6
2
➂ Richtungskosinus: Durch das Skalarproduktlassen
 sich auf einfache Weiax
→
se die Winkel berechnen, die ein Vektor −
a =  ay mit den Koordinatenaz
achsen einschließt.
ax
−
→
−
→
a ·−
e→
1 = ax ; | e 1 | = 1 ⇒ cos α =
a
ay
−
→
→
→
a ·−
e 2 = ay ; |−
e 2 | = 1 ⇒ cos β =
a
2.2
Vektoren im IR3
65
az
−
→
→
→
a ·−
e 3 = az ; |−
e 3 | = 1 ⇒ cos γ =
.
a
→
Die Winkel α, β, γ heißen Richtungskosinus von −
a . Es gilt
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =
a2y
a2x
a2
a2
+ 2 + z2 = 2 = 1
2
a
a
a
a
(4)
und
→
→
→
ax = |−
a | cos α, ay = |−
a | cos β, az = |−
a | cos γ.
→
Durch Gleichung (4) sind für ein Vektor −
a die 3 Winkel zu den Koordinatenachsen nicht beliebig wählbar. Nur 2 Winkel sind frei; der dritte
bestimmt sich aus (4).
 


1
−4
−
→
→
➃ Zahlenbeispiel: Gegeben sind die Vektoren −
a =  2 und b =  3  .
3
−2
−
→
−
→
Gesucht ist der Winkel α zwischen a und b :

  

1
−4


−
→

−
→
a · b =  2  ·  3  = −4 + 6 − 6 = −4 
−4
√
⇒ cos α = √14·
3 −2
29


√
√

−
→
−
→

| a | = 14, b = 29
⇒ α = 101, 45◦ .
2.2.2 Projektion eines Vektors
Wir betrachten die folgende physikalische Problemstellung: Ein Massenpunkt ist in eine Schiene einge→
spannt und kann nur entlang der Richtung −
s bewegt
werden. Auf diesen Massenpunkt wirkt eine Kraft
−
→
−
→
→
F . Gesucht ist die Kraft F s in Richtung −
s :
−
→
Der Betrag von F s ist mit Gleichung (3) gegeben
durch
→ −
−
→
−
−
→
→ −
→ F · s
F s = F · cos α = F · −
→ →
s|
F · |−
→
und die Richtung durch −
es=
−
→
s
.
→
|−
s|
Also ist
−
→ −
−
→ −
−
−
→
F ·→
s
s
F ·→
s −
−
→
→ →
→
F s = F s · −
es= −
·
=
→
2 s .
→
|→
s|
|−
s|
|−
s|
−
→
−
→
→
Man nennt F s die Projektion von F in Richtung −
s . Man verallgemeinert
−
→
−
→
diese Konstruktion für zwei beliebige Vektoren a und b :
66
2. Vektoren und Vektorrechnung
−
→
→
Die Projektion von b in Richtung −
a ist
gegeben durch den Vektor
−
→
−
→
−
→
a · b −
→
ba= −
2 · a
|→
a|
−
→
→
! Man beachte, dass −
4
a · b das Skalarprodukt bedeutet und daher
−
→
−
→
a·b
a2
eine reelle Zahl darstellt. Das zweite Produktzeichen ist die Multiplikation des
→
Vektors −
a mit dieser reellen Zahl. Beide ”·”-Zeichen dürfen nicht vertauscht
werden!
Anwendungsbeispiel 2.8 (Kraft entlang einer vorgegebenen Richtung).


2
−
→
Gegeben ist die Kraft F =  2 , die auf eine Masse wirkt, die sich nur
−7


−1
→
entlang der Richtung −
s =  −1  bewegen kann. Gesucht sind die Beschleu−1
nigungskraft, die Stärke der Kraft sowie die verrichtete Arbeit.
−
→
Die Beschleunigungskraft ergibt sich durch die Projektion der Kraft F in
Richtung der Bewegung. Zur Bestimmung dieser Kraft berechnen wir zuerst
−
→
−
→
das Skalarprodukt
s:
 vonF mit 
2
−1
−
→ −
2
→
F ·→
s =  2  ·  −1  = 3,
|−
s | = 3.
−7
−1
Die Beschleunigungskraft
ergibtsich nun aus der Projektionsformel

 
−1
−1
−
−
→
→ √
F s = 33  −1  =  −1  und F s = 3.
−1
−1
Die verrichtete Arbeit W ergibt sich nach Beispiel 2.2 durch die Formel
−
→ →
W := F · −
s.
Es ist daher W = 3.
2.2
Vektoren im IR3
67
2.2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren
Im IR3 definiert man für zwei Vektoren das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt), dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist:
Definition: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
−
→
−
→
→
c = −
a × b
−
→
→
→
zweier Vektoren −
a und b versteht man den Vektor −
c mit den folgenden
Eigenschaften:
−
→
→
→
(1) −
c ist sowohl zu −
a als auch zu b senkrecht:
−
→
−
→
→
→
c ·−
a = 0, −
c · b = 0.
→
(2) Der Betrag von −
c ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vek−
→
−
→
toren a und b und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels α:
→
−
→
→
→
|−
c | = |−
a | · b · sin α, wenn α der Winkel, den die Vektoren −
a und
−
→
b miteinander einschließen.
−
→ →
→
(3) Die Vektoren −
a , b ,−
c bilden ein Rechtssystem.
Bemerkungen:
(1) Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Vektorprodukt ein Vektor.
h
−
→
−
→i
→
→
(2) Statt −
a × b wird auch oftmals das Symbol −
a , b verwendet.
(3)
(4)
! Achtung: Das Vektorprodukt ist nur in IR3 definiert!
4
! Achtung: Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ!
4
→
→
Geometrische Deutung: Da −
c ⊥ −
a und
−
→
−
→
c ⊥ b steht, kommt als Richtung des Vek→
tors −
c nur die in Abb. 2.10 gestrichelte Linie
−
→ →
→
in Frage. Da −
a , b ,−
c in dieser Reihenfolge
ein Rechtssystem bilden, bleibt nur der nach
oben weisende Teil. Der Flächeninhalt des von
−
→
−
→
a und b aufgespannten Parallelogramms ist
Grundseite mal Höhe, also
−
Abb. 2.10.
→
→
→
A = |−
a | · h = |−
a | · b · sin α
→
→ −
= −
a × b .
Kreuzprodukt ~a mit ~b
Der Betrag des Vektorproduktes entspricht dem Flächeninhalt des von den
−
→
→
Vektoren −
a und b aufgespannten Parallelogramms.
68
2. Vektoren und Vektorrechnung
Beispiele 2.9:
➀ Die Vektorprodukte der Einheitsvektoren lassen sich aufgrund der Definition sofort berechnen:
−
e→ × −
e→ = 0, −
e→ × −
e→ = 0, −
e→ × −
e→ = 0;
1
1
2
2
3
3
−
−
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→
e→
1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 , e3 × e1 = e2 .
➁ Kriterium für kollineare Vektoren:
−
→
→
Verschwindet das Kreuzprodukt von −
a 6= 0 und b 6= 0, so ist entweder
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
→
a ↑↑ b (−
a parallel zu b ) oder −
a ↑↓ b (−
a antiparallel zu b ).
Wir geben für das Vektorprodukt die wesentlichen Rechenregeln an:
(V1 )
(V2 )
(V3 )
−
→ →
−
→
a × ( b +−
c)
−
→
→
→
(−
a + b )×−
c
−
→
−
→
a × b
−
→
→
λ · (−
a × b)
=
=
=
=
=
−
→ → −
−
→
a × b +−
a ×→
c
−
→ −
−
→
−
→
a × c + b ×→
c
−
→ →
− b ×−
a
−
→
→
(λ−
a )× b
−
→
−
→
a × (λ b )
Distributivgesetze
AntiSymmetriegesetz
Multiplikation
mit Skalar λ
Formel für das Vektorprodukt
Mit Hilfe der Rechengesetze erhalten wir eine für die Praxis brauchbare Darstellung des Vektorproduktes über die Komponenten der Vektoren, denn es
gilt
−
→
−
→
→
→
→
→
→
→
a × b = (ax −
e 1 + ay −
e 2 + az −
e 3 ) × (bx −
e 1 + by −
e 2 + bz −
e 3)
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
= ax bx ( e 1 × e 1 ) +ax by ( e 1 × e 2 ) +ax bz ( e 1 × −
e 3) +
|
{z
}
|
{z
}
| {z }
=0
−
→
e3
→
−−
e2
ay bx
→
→
→
→
→
→
(−
e 2×−
e 1 ) +ay by (−
e 2×−
e 2 ) +ay bz (−
e 2×−
e 3) +
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
az bx
→
→
→
→
→
→
(−
e 3×−
e 1 ) +az by (−
e 3×−
e 2 ) +az bz (−
e 3×−
e 3)
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
→
−−
e3
=0
−
→
e2
→
−−
e1
−
→
e1
=0
→
→
→
= (ay bz − az by )−
e 1 + (az bx − ax bz )−
e 2 + (ax by − ay bx )−
e 3.
Somit ist
    

ay bz − az by
ax
bx
−
→
−
→
a × b =  ay  ×  by  =  az bx − ax bz  .
az
bz
ax by − ay bx
2.2
Vektoren im IR3
69
Merkregel: Formal lässt sich das Vektorprodukt in der Form einer dreireihigen Determinante (→ Kapitel 3.2) darstellen, wenn man nach der ersten
Spalte entwickelt:
−
→
e 1 ax bx ay by −
ax bx −
ax bx −
−
→
−
→
→
→
−
→
→
a × b = e 2 ay by := e 1−
e2 + e 3.
az bz az bz ay by →
−
e 3 az bz
Der Wert einer zweireihigen Determinante ist definiert durch die Differenz von
Haupt- und Nebendiagonal-Produkten.
a b c d := a · d − b · c.
−
→
→
→
→
→
⇒ −
a × b = (ay bz − by az )−
e 1 − (ax bz − az bx )−
e 2 + (ax by − ay bx )−
e 3.
−
→
Beispiel 2.10. Gesucht ist ein
c , der 
auf den
 Vektor

 beiden Vektoren
2
−1
−
→
−
→
a =  1  und b =  2 
−2
−1
→
senkrecht steht und der Normalen-Einheitsvektor −
e c , der zusätzlich die Länge
1 besitzt:
−
→
e 1 2 −1 2 −1 −
2 −1 −
−
→
1 2 −
−
→
→
→
−
→
→
e 1−
e 2+
e3
c = a × b = e 2 1 2 = −2 −1 −2 −1 1 2
→
−
e 3 −2 −1
 
3
= 4.
5
→
Der zugehörige Normalen-Einheitsvektor ist −
ec=
→
1 −
c
→
|−
c|

=
→
√1 −
c
50

 
1
2
−
→
−
→



Beispiel 2.11. Gegeben sind die Vektoren a = −4 und b = 0  .
1
2
Gesucht ist das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren sowie der Flächeninhalt
des von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
−
→
e 1 1 2 1 2−
1 2−
−
→ −
−4 0 −
−
→
→
→
→
→
e 1−
e 2+
e3
(i) a × b = e 2 −4 0 = 1 2
1 2
−4 0 →
−
e3 12


−8
→
→
→
= −8−
e 1 − 0−
e 2 + 8−
e 3 =  0.
8
70
2. Vektoren und Vektorrechnung
−
→
→
(ii) Der Flächeninhalt des von −
a und b aufgespannten Parallelogramms ist


−8 √
√
√
→
→ −
A = −
a × b =  0  = 64 + 64 = 128 = 8 2.
8 Anwendungsbeispiel 2.12 (Auftreten des Kreuzproduktes in der
Physik).
In der Physik tritt das Kreuzprodukt z.B. in den folgenden wichtigen Fällen
auf:
① Drehmoment: Ein Körper sei um einen festen
Punkt O drehbar und im Punkte P dieses Körpers
−
→
greift eine Kraft F an. Dann ist die Größe M das
−
→
Drehmoment von F bezüglich O
−
→
→
M = |−
r | · F · sin ϕ
(Kraft mal Hebelarm). Der Drehmomentvektor steht
−
→
→
senkrecht zu der durch −
r und F gebildeten Ebene und kann als Richtung
der Drehachse aufgefasst werden:
−
→
−
→
→
M = −
r ×F.
② Drehimpuls: Sei O ein fester Bezugspunkt. Eine Masse m befinde sich in
→
einem bestimmten Augenblick in P und besitze die Geschwindigkeit −
v . Dann
−
→
lautet der momentane Drehimpuls L des Massenpunktes bzgl. O
−
→
→
→
L = m−
r ×−
v,
−−→ →
→
wenn −
r = OP = −
r (P ) der Ortsvektor zum Punkt P .
③ Lorentz-Kraft: Bewegt sich ein geladenes Teilchen (Ladung q) mit der
−
→
→
→
Geschwindigkeit −
v durch ein Magnetfeld, so erfährt es eine zu B und −
v
senkrechte Lorentz-Kraft:
−
→
−
→
→
FL = q −
v ×B
2.2
Vektoren im IR3
71
2.2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren
−
→ →
→
In der Mechanik kommt das Produkt (−
a × b )·−
c vor. Der Klammerausdruck
→
ist ein Vektor, der skalarmultipliziert mit −
c wird. Das Ergebnis ist also eine
reelle Zahl.
h
−
→ →i
→
Definition: Unter dem Spatprodukt −
a , b ,−
c von drei Vektoren versteht man die reelle Zahl
h
−
→ →i
−
→ →
−
→
→
a , b ,−
c := −
a × b ·−
c.
Abb. 2.11. Spatprodukt von drei Vektoren
Für das Spatprodukt gelten die Rechenregeln
(1)
h
−
→ →i
→
λ−
a , b ,−
c
(2)
h
−
→ −
→ →
−
→
a + b , b ,−
c
(3)
→
→
→
[−
e 1, −
e 2, −
e 3]
=
i
=
=
h
−
→ →i
→
λ −
a , b ,−
c
usw.
−
→ →
−
→
a , b ,−
c
usw.
h
i
1
−
→ →
→
Bilden die Vektoren −
a , b ,−
c ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das Spatprodukt positiv (negativ).
−
→
→
Geometrische Interpretation: Das Volumen des von den Vektoren −
a, b
→
und −
c aufgespannten Spates (Parallelotops) ist gegeben durch Grundfläche
Höhe h. Die Grundfläche ist nach Definition des Kreuzproduktes G =
G mal−
→
−
→
a × b und die Höhe h = |−
c | cos ϕ.
→
→ →
→ −
→
⇒ V = |a × b| · |−
c | · cos ϕ = (−
a × b )·−
c .
72
2. Vektoren und Vektorrechnung
Das Volumen des Spates ist gleich dem Betrag des Spatproduktes. Der Wert
des Spatproduktes erhält man durch Ausrechnen
h
−
→ →i
−
→
a , b ,−
c = ax by cz + ay bz cx + az bx cy − az by cx − ay bx cz − ax bz cy .
Die Rechnung kann man auch auffassen als das Ergebnis der Entwicklung der
Determinante
h
i ax bx cx −
→
−
→
→
a , b ,−
c = ay by cy .
a b c z z z
Beispiel 2.13. Gesucht ist das Spatprodukt der drei folgenden Vektoren:
 




4
3
0
−
→ 
−
→
→
a = 2,
b = −1  , −
c =  2.
1
2
−5
Zur Bestimmung des Spatprodukts der drei Vektoren berechnen wir die dreireihigen
Determinante
durch Entwicklung nach der ersten Spalte:
4 3 0
−1 2 2 −1 2 = 4· − 2· 3 0 + 1· 3 0 2 −5 2 −5 −1 2 1 2 −5 = 4 ((−1)(−5) − 2 · 2) − 2(3 · (−5) − 2 · 0) + (3 · 2 − (−1) · 0) = 40.
−
→
→
Aus der Interpretation des Spatproduktes als das Volumen des von −
a , b und
−
→
c aufgespannten Spates ergibt sich folgende wichtige Folgerung
Folgerung: Das Spatprodukt ist Null, wenn die drei Vektoren in einer Ebene
liegen:
h
−
→ →i
−
→ →
−
→
→
a , b ,−
c =0 ⇔ −
a , b ,−
c liegen in einer Ebene.
Es gilt bei der Berechnung des Spatproduktes die folgende Regel
−
→ →
−
→ → −
−
→
→
→
→
(−
a × b )·−
c =( b ×−
c )· →
a = (−
c ×−
a )· b .
Das Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich, wenn man von der zyklischen
Reihenfolge a b c, b c a oder c a b abweicht.
Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich MapleProzeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im IR3
ermöglichen als auch die Visualisierung der Vektoroperationen.
2.3
Geraden und Ebenen im IR3
73
2.3
2.3 Geraden und Ebenen im IR3
In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen der Vektoren und der Vektorrechnung
angegeben: Die Beschreibung von Geraden und Ebenen im IR3 sowie Abstandsberechnungen
und Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zueinander.
2.3.1 Vektorielle Darstellung von Geraden
Eine Gerade g ist eindeutig durch die Angabe zweier verschiedener Punkte
−−−→
→
P1 = (x1 , y1 , z1 ) und P2 = (x2 , y2 , z2 ) festgelegt. Denn durch −
a := P1 P2 ist
der Richtungsvektor der Geraden festgelegt und jeder Punkt P = (x, y, z) der
Geraden lässt sich nach Abb. 2.12 darstellen als
→
→
→
g:−
r (P ) = −
r (P1 ) + λ−
a,
λ ∈ IR,
(Punkt-Richtungsform einer Geraden).
Abb. 2.12. Beschreibung einer Geraden
−−−→
→
→
→
Ersetzt man den Vektor −
a := P1 P2 durch −
r (P2 ) − −
r (P1 ), so erhält man:
→
→
→
→
g:−
r (P ) = −
r (P1 ) + λ(−
r (P2 ) − −
r (P1 )),
λ ∈ IR,
(Zweipunkteform einer Geraden).
Ein Punkt Q liegt auf einer Geraden g , falls die entsprechende Vektorgleichung
−
→
→
→
r (Q) = −
r (P1 ) + λ−
a
eine Lösung für λ besitzt.
74
2. Vektoren und Vektorrechnung
Beispiel 2.14. Gegeben sind die Punkte P1 = (2, 0, 4) und P2 = (2, 2, 2).
Liegt der Punkt Q = (2, −2, 6) auf der Geraden g durch die Punkte P1 und
P2 ?
Die Geradengleichung für g lautet mit dem Richtungsvektor
    

2
2
0
−
−
−
→
−
→
→
→
a = P1 P2 = −
r (P2 ) − −
r (P1 ) =  2  −  0  =  2 
2
4
−2
 


2
0
→
→
→
g:−
r (P ) = −
r (P1 ) + λ−
a = 0 + λ 2.
4
−2
Der Punkt Q liegt auf der Geraden g, wenn die Vektorgleichung
−
→
→
→
r (Q) = −
r (P1 ) + λ−
a


2
eine Lösung besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Gleichung  −2  =
6
 


2
0
→
 0  + λ  2  lösbar ist. Bringen wir den Vektor −
r (P1 ) auf die linke Seite
4
−2

 

0
0
gilt λ  2  =  −2 . Für λ = −1 ist diese Gleichung erfüllt und der Punkt
−2
2
Q liegt daher auf g.
2.3.2 Lage zweier Geraden zueinander
Zwei Geraden
−
→
→
→
→
→
→
g1 : −
x =−
r (P1 ) + λ−
a und g2 : −
x =−
r (P2 ) + µ b
können im IR3 vier verschiedene Lagen zueinander besitzen:
(1) g1 und g2 schneiden sich in genau einem Punkt S (Abb. 2.13 (a)).
−
→
→
(2) g1 und g2 fallen zusammen. Dies ist dann der Fall, wenn −
a k b und
−−→ −
→
P1 P2 k a .
(3) g1 und g2 sind parallel, fallen aber nicht zusammen (Abb. 2.13 (b)).
−
→
−−→ →
→
Dies ist dann der Fall, wenn −
a k b und P1 P2 ∦ −
a.
(4) g1 und g2 sind windschief: Sie verlaufen weder parallel noch schneiden
sie sich in einem Punkt (Abb. 2.13 (c)).
2.3
Geraden und Ebenen im IR3
75
Abb. 2.13. Lage zweier Geraden g1 und g2
Um die Lage zweier Geraden rechnerisch zu bestimmen, genügt es die Vektor→
→
gleichung −
x g1 = −
x g2 zu lösen:
−
→
→
→
→
⇒ −
r (P1 ) + λ−
a =−
r (P2 ) + µ b
−
→ →
−−→
→
→
⇒ λ−
a −µ b =−
r (P2 ) − −
r (P1 ) = P1 P2 .
Dies ist ein LGS für die Unbekannten λ und µ, denn für
 
 
 
 
ax
bx
x1
x2
−
→
−
→
→
→
a =  ay  , b =  by  , −
r (P1 ) =  y1  , −
r (P2 ) =  y2 
az
bz
z1
z2
lautet das LGS komponentenweise
λ ax − µ bx = x2 − x1
λ ay − µ by = y2 − y1
λ az − µ bz = z2 − z1
bzw. in Matrizenschreibweise

ax
 ay
az

− bx x2 − x1
− by y2 − y1  .
− b z z2 − z1
Es gilt dann
(1) Besitzt das lineare Gleichungssystem für λ und µ genau eine Lösung, dann
schneiden sich g1 und g2 genau in einem Punkt.
(2) Besitzt das lineare Gleichungssystem für λ und µ unendlich viele Lösungen,
dann fallen g1 und g2 zusammen.
(3) Besitzt das lineare Gleichungssystem für λ und µ keine Lösung, dann sind
g1 und g2 windschief oder sie sind parallel aber nicht zusammenfallend.
76
2. Vektoren und Vektorrechnung
Beispiel
 2.15.
 Gegeben ist die Gerade g1 definiert durch den Richtungsvektor
1
−
→
a =  2  und den Punkt P1 = (3, 2, 1) sowie die Gerade g2 durch die
−1
Punkte P2 = (4, 0, −1), P3 = (−2, −1, −1). Man bestimme die Lage der beiden
Geraden zueinander. Es ist
 






3
1
4
−6
→
→
g1 : −
x = 2 + λ 2
g2 : −
x =  0  + µ  −1  .
1
−1
−1
0
Da die Richtungsvektoren von g1 und g2 nicht parallel sind, können beide
Geraden sich entweder nur schneiden oder sie sind windschief. Wir setzen die
→
→
Vektorgleichung −
x g1 = −
x g2 an:
 

 



3
1
4
−6
 2  + λ  2  =  0  + µ  −1 
1
−1
−1
0


  
   

1
6
4
3
1
⇒ λ  2  + µ  1  =  0  −  2  =  −2  .
−1
0
−1
1
−2
In Matrizenschreibweise lautet dieses lineare Gleichungssystem




1 6 1
1
6 1
 2 1 −2  ,→  0 −11 −4  .
−1 0 −2
0
6 −1
Aus der letzten Zeile folgt 6µ = −1 ⇒ µ = − 16 , und aus der vorletzten
4
Zeile folgt −11µ = −4 ⇒ µ = 11
. Dies ist ein Widerspruch! Also lässt sich
die Vektorgleichung nicht lösen und es gibt keinen Schnittpunkt von g1 mit
g2 . ⇒ g1 und g2 sind windschief.
2.3.3 Abstandsberechnung zu Geraden
Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden
→
→
→
g: −
x =−
r (P1 ) + λ−
a
ist gegeben durch die Höhe d des Parallelogramms, welches durch die Vektoren
−−→
−
→
a und P1 Q aufgespannt wird (siehe Abb. 2.14).
A
Die−Parallelogrammfläche
−→
−
→
−
→
ist nach Definition des Kreuzproduktes A = a × P1 Q = | a | · d. Nach d
aufgelöst folgt:
2.3
Geraden und Ebenen im IR3
77
Abb. 2.14. Abstand des Punktes Q zur Ge-
raden g
Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden
→
→
→
g: −
x =−
r (P1 ) + λ−
a
ist gegeben durch
−−→
−
a × P1 Q
→
d=
.
→
|−
a|
Für d = 0 liegt der Punkt Q auf der Geraden! Aus aus obiger Formel ergibt
sich auch der Abstand zweier paralleler Geraden
−
→
→
→
→
→
→
g1 : −
x =−
r (P1 ) + λ−
a und g2 : −
x =−
r (P2 ) + µ b ,
indem man einen beliebigen Punkt auf der Geraden g2 wählt, z.B. den Punkt
P2 , und den Abstand dieses Punktes zur Geraden g1 bestimmt. Für d = 0 sind
die Geraden zusammenfallend!
Um den Abstand zweier windschiefer Geraden
−
→
→
→
→
→
→
g1 : −
x =−
r (P1 ) + λ−
a und g2 : −
x =−
r (P2 ) + µ b
→
−
→ → −
zu berechnen, bestimmen wir den Vektor L = −
a × b.
−
→
−
→
→
L steht senkrecht auf −
a und auf b . Für
−
→
−
→
−
→
→
L = 0 sind −
a und b parallel, für L 6= 0
gehen wir zum Einheitsvektor
−
→
1 −
→
l = −
→ L
L
über. Der Abstand von g1 und g2 ist gegeben
−
→
−−−→
durch die Projektion von P1 P2 auf l , also
−
→ −−−→
d = l · P1 P2 :
Abb. 2.15. Windschiefe Geraden
78
2. Vektoren und Vektorrechnung
−
→
−
→
a × b
−−−→
d = −
→ · P1 P2
−
→
a × b
Abstand zweier windschiefer Geraden
→
→
→
g1 : −
x =−
r (P1 ) + λ−
a und
−
→
−
→
−
→
g2 : x = r (P2 ) + µ b .
Ist der Abstand d = 0, so schneiden sich die Geraden und der Schnittwinkel
−
→
→
ergibt sich durch den Winkel, den die beiden Richtungsvektoren −
a und b
miteinander einschließen:
cos ϕ =
−
→
−
→
a · b
−
→
→
|−
a | b Schnittwinkel zweier sich
schneidender Geraden.
Beispiel 2.16. Gesucht ist der Abstand der beiden parallelen Geraden
 
 
 
 
1
1
3
2
→
→
g1 : −
x =  1  + λ  1  und g2 : −
x = 0 + µ2.
4
1
1
2
 
  
 

1
1
2
2
√
−
−
−
→
→
→
Wegen −
a =  1  ist |a| = 3 und −
a × P1 P2 =  1  ×  −1  =  5 .
1
1
−3
−3
−−−→
√
→
a ×P1 P2 |
|−
= 3, 559.
Also ist d =
= √38
→
|−
a|
3
Beispiel 2.17. Gesucht ist der Schnittpunkt S und der Schnittwinkel ϕ der
Geraden
 
 
 


1
2
2
1
→
→
g1 : −
x =  1  + λ  1  und g2 : −
x =  0  + µ  −1  .
0
1
2
2
−
→
−
→
UmdenSchnittpunkt
S zubestimmen,
  

setzen wir x g1 = x g2 :
2
1
1
2
 1  + λ  1  =  0  + µ  −1 
0
1
2
2
 

     

2
1
1
2
−1
,→ λ  1  + µ  1  =  0  −  1  =  −1  .
1
−2
2
0
2
2.3
In der Matrixschreibweise folgt weiter



2
− 1 1
2
1
1 −1  ,→  0
1
−2 2
0
Geraden und Ebenen im IR3
−1
−3
3
79

1
3.
−3
Sowohl aus der letzten als auch vorletzten Zeile folgt µ = −1, d.h. das LGS ist
lösbar. Aus der ersten Zeile berechnet man
2λ − (−1) = 1 ⇒
λ = 0.
 
   
1
2
1
→
Somit ist −
r (S) =  1  + 0 ·  1  =  1  und die Koordinaten von S sind
0
1
0
S = (1, 1, 0). Der Schnittwinkel ist


−
→
−
→
a
·
b
3
−
 = arccos √ √ = 60◦ ,
ϕ = arccos 
→
→
6 6
|−
a | b   

2
1
−
√
−
→
→
→
→
denn −
a · b =  1  ·  −1  = 2 − 1 + 2 = 3 und |−
a | = 6 = b .
1
2
2.3.4 Vektorielle Darstellung von Ebenen
Eine Ebene E ist eindeutig bestimmt durch die Angabe dreier Punkte P1 =
(x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) und P3 = (x3 , y3 , z3 ), die nicht auf einer Geraden
−−−→
→
liegen. Dann legen diese 3 Punkte zwei Richtungsvektoren −
a = P1 P2 und
−
→
−−−→
→
b = P1 P3 und einen Ortsvektor −
r (P1 ) fest. Jeder Punkt P = (x, y, z) der
−
→
→
Ebene entspricht einem Vektor x = −
r (P ) mit
Abb. 2.16. Vektorielle Darstellung ei-
ner Ebene E
−
→
→
→
→
E: −
r (P ) = −
r (P1 ) + λ−
a +µ b
(λ, µ ∈ IR)
(Punkt-Richtungsform der Ebene).
80
2. Vektoren und Vektorrechnung
−
→ −−−→
−−−→
→
Wenn man die Richtungsvektoren −
a = P1 P2 und b = P1 P3 durch die jewei→
→
→
→
ligen Ortsvektoren −
r (P2 ) − −
r (P1 ) bzw. −
r (P3 ) − −
r (P1 ) ersetzt, erhält man
die Dreipunkteform der Ebene:
→
→
→
→
→
→
E: −
r (P ) = −
r (P1 )+λ(−
r (P2 )− −
r (P1 ))+µ(−
r (P3 )− −
r (P1 )) (λ, µ ∈ IR)
(Dreipunkteform der Ebene).
Beispiel 2.18. Gegeben sind die Punkte P1 = (5, 2, 1), P2 = (4, 0, −4) und
P3 = (1, 1, 1). Dann lautet die Ebenengleichung durch die 3 Punkte
 




5
4−5
1−5
→
E:−
r (P ) =  2  + λ  0 − 2  + µ  1 − 2 
1
−4 − 1
1−1
 




5
−1
−4
=  2  + λ  −2  + µ  −1  .
1
−5
0
Hesse-Normalform
Eine alternative Darstellung der Ebenengleichung erhält man, wenn die PunktRichtungsform der Ebene mit dem zu E senkrecht stehenden Normalenvektor
−
→
−
→
−
→
→
→
skalarmultipliziert wird. N := −
a × b steht senkrecht auf −
a und auf b und
der Normalen-Einheitsvektor lautet
→
1 −
1
→
−
→ −
−
→
n := −
−
→ a × b .
→ N = −
→
N a × b
−
→ →
→
→
→
Dieser hat die Eigenschaft |−
n | = 1, −
a ·−
n = 0 und b · −
n = 0. Somit folgt
für jeden Punkt P auf der Ebene E
−
→
→
→
→
→
→
→
r (P ) · −
n =−
r (P1 ) · −
n oder (−
r (P ) − −
r (P1 )) · −
n = 0.
 
x
→
Setzt man −
r (P ) =  y  folgt:
z


x − x1
→
 y − y1  · −
n =0
z − z1
Hesse-Normalform der Ebene, wenn
→
P1 ein Punkt der Ebene und −
n der
Normalen-Einheitsvektor zur Ebene.
Geraden und Ebenen im IR3
2.3

81

n1
→
Setzt man den Richtungsvektor −
n =  n2 ein, erhält man durch Ausmultin3
plizieren des Skalarprodukts
n1 (x − x1 ) + n2 (y − y1 ) + n3 (z − z1 ) = 0.
Folglich bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung
Ax + By + C z = D
eine Ebene im IR3 .
Beispiel 2.19. Gesucht sind die Darstellungsformen der Ebene E, die durch
−
→
den
Punkt P = (2, −5, 3) geht und senkrecht zum Normalenvektor N =
 
4
 2 steht: Aus der Hesse-Normalform folgt
5
 

4
x−2
−
→ −
→
N · (→
r (P ) − −
r (P1 )) =  2   y + 5  = 4(x − 2) + 2(y + 5) + 5(z − 3) = 0
5
z−3
⇒
4x + 2y + 5z = 13.
(∗)
Der Übergang zur Punkt-Richtungsform der Ebene erhält man, indem bei diesem linearen Gleichungssystem z = µ (beliebig) und y = λ (beliebig) gewählt
werden. Aus der Gleichung (∗) folgt dann
4x + 2λ + 5µ = 13
⇒
x=
13 1
5
− λ − µ.
4
2
4
Somit ist die Lösung der Gleichung (∗) die Punkt-Richtungsform der Ebene
 1
 5
   13 
−2
−4
x
4
−
→
x = y  =  0  + λ 1 + µ 0.
z
0
0
1
5 
 
 1 
4
−2
−4
−
→
−
→
→
Der Normalenvektor N = −
a × b =  1  ×  0  = 14  2  wird
5
0
1
→
−
→
1 −
normiert durch n = −
→ N . Somit ist eine andere Hesse-Normalform gegeben
|N |
durch
  

4
x − 13
4
1 
√
y − 0  · 2 = 0 .
12 5
z−0
5
82
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.3.5 Lage zweier Ebenen zueinander
Um die Lage zweier Ebenen
−
→
−
→
→
→
→
→
→
→
E1 : −
x =−
r (P1 ) + λ−
a 1 + µ b 1 und E2 : −
x =−
r (P2 ) + τ −
a 2+σ b 2
→
→
zu bestimmen, genügt es die Vektorgleichung −
x E1 = −
x E2 zu lösen:
−
→
−
→
−
→
→
→
→
r (P1 ) + λ−
a 1+µ b 1 = −
r (P2 ) + τ −
a 2 + σ b 2.
(1) Ist das Gleichungssystem nicht lösbar, dann sind die Ebenen E1 und E2
parallel und fallen nicht zusammen (E1 k E2 , E1 6= E2 ) (siehe Abb.
2.17 (a)).
(2) Ist das Gleichungssystem mit einem Parameter lösbar, dann schneiden
sich die Ebenen E1 und E2 in einer Geraden (E1 ∦ E2 , E1 ∩ E2 = g)
(siehe Abb. 2.17 (b)).
(3) Ist das Gleichungssystem mit zwei Parameter lösbar, dann fallen sie zusammen (E1 = E2 ).
Abb. 2.17. Lage zweier Ebenen E1 und E2 zueinander
Beispiel 2.20 (Musterbeispiel).
Man bestimme die Lage der Ebenen E1 und E2 zueinander, wenn
 




1
−1
−1
→
E1 : −
x = 0 + λ 2 + µ 0;
0
0
1
 
 
 
0
1
0
−
→





E2 : x = 1 + τ 2 + σ 4  .
0
1
0
Geraden und Ebenen im IR3
2.3
83
→
→
Mit −
x E1 = −
x E2 folgt
 



  
 
 
1
−1
−1
0
1
0
0 + λ 2 + µ 0 = 1 + τ 2 + σ4
0
0
1
0
1
0







 

−1
0
−1
−1
−1
,→ λ  2  + µ  0  + τ  −2  + σ  −4  =  1  .
0
1
−1
0
0
In der Matrixdarstellung lautet das lineare Gleichungssystem für λ, µ, τ, σ




−1 −1 −1 0 −1
−1 −1 −1 0 −1
 2 0 −2 −4 1  ,→  0 −2 −4 −4 −1 
0 1 −1 0 0
0 1 −1 0 0


−1 −1 −1 0 −1
,→  0 −2 −4 −4 −1  .
0 0 −6 −4 −1
Es ist demnach σ = t (beliebig) und −6τ − 4t = −1 ⇒ τ = 16 − 23 t. Die Lösung
des LGS besitzt einen freien Parameter t; also schneiden sich die Ebenen E1
und E2 in einer Geraden g. Die Darstellung der Geradengleichung erhalten wir,
indem wir σ = t und τ = 16 − 23 t in die Definitionsgleichung für E2 einsetzen:
 
 
 
1
0
0
−
→
1
2  



g : x = 1 + ( 6 − 3 t) 2 + t 4 
0
1
0
 

   
 
0
1
1
0
=  1  + 1  2  + t − 2  2  +  4 
6
3
0
1
1
 2
−3
6
→
g: −
x =  43  + t  83  .
1
− 23
6
1
0
Um die Lage einer Ebene
−
→
→
→
→
E: −
x =−
r (P1 ) + λ−
a +µ b
und einer Geraden
→
→
→
g: −
x =−
r (P2 ) + τ −
c
→
→
zu bestimmen, lösen wir die Vektorgleichung −
xE =−
x g:
−
→ →
−
→
→
→
r (P1 ) + λ−
a +µ b =−
r (P2 ) + τ −
c.
Dies ist ein LGS für die Unbekannten λ, µ, τ . Es gilt
84
2. Vektoren und Vektorrechnung
(1) Ist das Gleichungssystem nicht lösbar, dann ist g parallel zu E aber nicht
in E enthalten (gkE, g * E) (siehe Abb. 2.18 (a)).
(2) Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, dann schneiden sich die Ebene
E und die Gerade g in einem Punkt S (g ∩ E = {S}) (siehe Abb. 2.18
(b)).
(3) Ist das Gleichungssystem mit einem Parameter lösbar, dann liegt die Gerade g in der Ebene E (g ⊂ E) (siehe Abb. 2.18 (c)).
Abb. 2.18. Lage einer Geraden g zu einer Ebene E
2.3.6 Abstandsberechnung zu Ebenen
→
→
→
Der Abstand eines Punktes Q von einer Ebene E : −
x =−
r (P1 )+λ−
a+
−
→
−−→
−
→
µ b ist gegeben durch die Projektion des Vektors P1 Q auf die Normale
N
der
−−→
−
→ −−→ −
−
→
→
→
−
|N ·P1 Q| −
·P1 Q →
·
N
.
Also
ist
der
Abstand
d
=
d
=
·
N
=
Ebene: d = N N
2
N2
−
→−−→
|N ·P1 Q|
:
N
−
→−−→
N ·P1 Q
d = −
→
N Abstand des Punktes Q von der Ebene
−
→
→
→
→
E: −
x = −
r (P1 ) + λ−
a +µ b
−
→
−
→
→
mit Normalenvektor N = −
a × b.
Ist d = 0, so liegt der Punkt Q in der Ebene E.
Abb. 2.19. Abstand Punkt zu Ebene E
Der Abstand einer zu E parallelen
→
→
→
Geraden g : −
x = −
r (P2 ) + τ −
c ergibt
sich direkt aus obiger Formel, indem man
sich einen beliebigen Punkt auf der Geraden z.B. P2 wählt und den Abstand dieses
Punktes zur Ebene bestimmt:
2.3
−
→−−−→
N ·P1 P2 −
d=
→
N Geraden und Ebenen im IR3
85
→
→
→
Abstand der Geraden g : −
x =−
r (P2 ) + τ −
c
−
→
−
→
−
→
−
→
von der Ebene E: x = r (P1 ) + λ a + µ b
−
→
−
→
→
mit Normalenvektor N = −
a × b.
Für d = 0 liegt die Gerade in der Ebene E.
−
→
→
→
→
Der Abstand einer zu E parallelen Ebene E2 : −
x =−
r (P2 ) + τ −
c +σ d
ergibt sich ebenfalls direkt aus obiger Formel, indem man einen Punkt der
Ebene E2 wählt (z.B. P2 ) und einsetzt:
−
→−−−→
N ·P1 P2 −
d=
→
N −
→
→
→
→
Abstand der Ebene E2 : −
x =−
r (P2 ) + τ −
c +σ d
−
→
→
→
→
von der Ebene E: −
x =−
r (P1 ) + λ−
a +µ b
−
→
−
→
→
mit Normalenvektor N = −
a × b.
Ist d = 0, so fallen beide Ebenen zusammen.
Beispiel 2.21. Gesucht
vonder
  istder
 Abstand
 des Punktes Q = (3, 1, 5) 
1
1
0
1
−
→
−
→
→
→
Ebene E : −
x =  2  + λ  1  + µ  2 : Wegen N := −
a × b = 1 ×
0
0
2
0
  



0
2
2
−
→ √
−−→
 2  =  −2  ist N
= 12 und P1 Q =  −1  .
5
2
2
−

 

→ −−→
2 2
N · P1 Q
1 
16
8√
−
⇒d=
= √ −2  ·  −1  = √ =
3.
→
3
12 12
N 2
5 2.3.7 Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene
Um den Schnittpunkt einer Geraden
→
→
→
g: −
x =−
r (P2 ) + λ−
a
mit einer Ebene E zu bestimmen, gehen wir davon aus, dass die Ebene E in
der Hesse-Normalform
−
→ → −
E : N · (−
x −→
r (P1 )) = 0
−
→
gegeben ist, d.h. P1 ein Punkt auf der Ebene und N ein Normalenvektor ist.
Wir gehen davon aus, dass die Gerade nicht parallel zur Ebene liegt.
86
2. Vektoren und Vektorrechnung
Abb. 2.20. Schnittpunkt und -winkel einer Geraden mit einer Ebene
→
→
Der Schnittpunkt S hat die Eigenschaft, dass −
xg = −
x E , d.h. wir setzen
−
→
x g in die Ebenengleichung ein:
−
→ →
−
→ →
−
→ →
→
→
→
N · (−
r (P2 ) + λ−
a −−
r (P1 )) = N · (−
r (P2 ) − −
r (P1 )) + λ N · −
a = 0.
−
→ →
Da die Gerade nicht parallel zur Ebene liegt, ist N · −
a 6= 0, so dass mit
−−−→ −
→
P1 P2 = →
r (P2 ) − −
r (P1 ) folgt
−
→ −−−→
N · P1 P2
λ=− −
→ → .
N ·−
a
Setzt man dieses λ in die Geradengleichung ein, folgt für den Schnittpunkt S
−
→ −−−→
N · P1 P2 −
−
→
→
→
r (S) = −
r (P2 ) − −
→ → · a
N ·−
a
Ortsvektor zum
Schnittpunkt S.
Für den Winkel ϕ zwischen der Normalen der Ebene und der Geraden gilt
−
→ →
N ·−
a
cos ϕ = −
.
→ −
→
N | a |
ϕ ist der Ergänzungswinkel zu α:
ϕ = 90◦ ± α,
je nachdem wie die Richtung des Normalenvektors ist. Daher ist
cos ϕ = cos (90◦ ± α) = ∓ sin α und
−
→ →
N ·−
a
sin α = ± −
→ −
a|
N |→
Schnittwinkel zwischen der Geraden
→
→
g:−
x = r(P2 ) + λ−
a
−
→ → −
und der Ebene E : N (−
x −→
r (P1 )) = 0.
Geraden und Ebenen im IR3
2.3
87
Beispiel 2.22. Gesucht
der Schnittwinkel
  istderSchnittpunkt Sund 
 
 α der

1
2
2
0
4
→
→
Geraden g : −
x =  2  +λ  0  mit E : −
x =  −1  +λ  1  +µ  2  .
3
2
3
0
−1
 


0
4
−
→
−
→
Aus den Richtungsvektoren der Ebene b 1 =  1  und b 2 =  2  erhält
0
−1


−1
→
−
→
−
→ −
man den Normalenvektor N = b 1 × b 2 =  0 . Damit ist
−4


   
2
1
−1
−
→ −−−→
N · P1 P2 =  0  ·  2  −  −1  = 1
3
3
−4
  
2
−1
−
→ → 
N ·−
a =
0  ·  0  = −10.
−4
2

Der Schnittpunkt S berechnet sich aus
 
  

−
→ −−−→
1
2
1, 2
N · P1 P2 −
1   
−
→
→
r (S) = −
r (P2 ) − −
·→
a = 2 +
0 =
2 .
→ −
→
10
N · a
2
3, 2
3
Der Schnittwinkel α folgt aus
−
→ →
N ·−
a
−10
sin α = −
=√ √
→ −
→
17 8
N · | a |
⇒
α = −59, 04◦ .
Bemerkung: Der Schnittwinkel zweier sich schneidenden Ebenen
−
→ →
−
→ →
→
→
E1 : N 1 (−
r (P ) − −
r (P1 )) = 0 und E2 : N 2 (−
r (P ) − −
r (P2 )) = 0
ist der gleiche Schnittwinkel wie der Schnittwinkel ihrer Normalenvektoren.
−
→ −
→
N1 · N2
Daher gilt cos ϕ = −
→ −
→ .
N 1 N 2 Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich MapleProzeduren zur Darstellung sowohl von Geraden als auch Ebenen.
Ebenfalls auf der CD befindet sich die Prozedur geomet. Sie bestimmt
die Lage zweier Objekte (Punkte, Geraden oder Ebenen) zueinander.
88
2.4
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.4 Vektorräume
Wir übertragen die Definition von Vektoren aus dem IR3 in den IRn und erweitern die elementare Rechenoperationen (Addition und S-Multiplikation) auf diese Vektoren. Aus den
allgemeinen Eigenschaften kommt man auf den Begriff des Vektorraums, der eine wichtige Bedeutung bei der Beschreibung linearer physikalischer Systeme spielt. Insbesondere
bei der formalen Behandlung z.B. von linearen Gleichungssystemen oder der linearen Differenzialgleichungen und -systemen benötigt man diesen Formalismus. Zentral sind bei der
Charakterisierung der Vektorräume die Begriffe der Linearkombination, der linearen Unabhängigkeit und der Basis als minimales Erzeugendensystem.
2.4.1 Vektorrechnung im IRn
Wir übertragen den Begriff des Vektors von IR3 in den IRn :
Definition: Die Menge
n-Tupel reeller Zahlen heißt 
IRn :
 aller

x1






 x2 

 
n
IR :=  .  : x1 ∈ IR, x2 ∈ IR, · · · , xn ∈ IR .


 .. 





xn
Analog dem Koordinatensystem in der Ebene bzw. im Raum wird das Koordinatensystem im IRn durch n aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren
 
 
 
1
0
0
0
1
 .. 
  →
 
 
−
→
→
e 1 :=  .  , −
e 2 :=  .  , . . . , −
e n :=  . 
 .. 
 .. 
0
0
0
1
→
gebildet. Jeder Vektor −
a ∈ IRn lässt sich durch die Angabe seiner Komponenten beschreiben:


a1
 a2 
 
−
→
→
→
→
a = a1 −
e 1 + a2 −
e 2 + · · · + an −
e n =  . .
 .. 
an
Es übertragen sich dann die Begriffe des Betrags, der Gleichheit von Vektoren, der Multiplikation mit einem Skalar, die Addition, das Skalarprodukt, der
Orthogonalität usw. auf den IRn .
2.4
Vektorräume
89
Addition und S-Multiplikation


 
a1
b1
→
 ..  −
 .. 
−
→
Für zwei Vektoren a =  .  , b =  .  und einem Skalar
an
bn
λ ∈ IR setzt man 



a1 + b1
λ a1
 a2 + b2 
 λ a2 
−
→




−
→
→
a + b := 
λ·−
a :=  . 

..


 .. 
.
an + bn
λ an
(Addition)
(S-Multiplikation)
Sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation werden komponentenweise
ausgeführt. Durch die Addition und S-Multiplikation hat man zwei Operationen
−
→
−
→
−
→
→
+ : IRn × IRn → IRn
mit
a , b 7→ −
a + b
· : IR × IRn → IRn
mit
→
→
(λ, −
a ) 7→ λ · −
a
festgelegt. Formal unterscheiden sich die Vektoraddition + und die S-Multiplikation · dadurch, dass zum einen zwei Vektoren und zum anderen eine skalare
Zahl mit einem Vektor verknüpft werden. Man bezeichnet daher ”+” als innere
Verknüpfung und ”·” als äußere Verknüpfung.
Da sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation komponentenweise erklärt sind, übertragen sich die folgenden Rechengesetze von den reellen Zahlen
auf diese Vektoren.
Es gelten die Rechengesetze der Addition
−
→ → −
−
→ →
−
→
(A1 )
a + b +−
c = →
a + b +−
c
−
→
−
→ −
−
→
→
(A )
a + b = b + a
2
(A3 )
(A4 )
Der Nullvektor hat die Eigenschaft
−
→
−
→
→
a + 0 = −
a
−
→
Zu jedem Vektor a gibt es einen Vektor
−
→
→
→
→
(−−
a ) mit −
a + (−−
a )= 0
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
Nullvektor
Negativer Vektor
90
2. Vektoren und Vektorrechnung
Es gelten die Rechengesetze der S-Multiplikation:
(S1 )
(S2 )
(S3 )
(S4 )
−
→
a )= (k · l)−
·→
a
k · (l · −
→
−
→
−
→
−
→
k· a + b =k a +k b
→
→
(k + l)−
·→
a = k−
a + l−
a
−
→
−
→
1· a = a
Assoziativgesetz
Distributivgesetz 1
Distributivgesetz 2
Gesetz der Eins
2.4.2 Vektorräume
Die Gesetzmäßigkeiten bezüglich der Addition und S-Multiplikation gelten
nicht nur für n-Tupel, sondern auch für andere Objekte, die keine Veranschaulichung durch Pfeile zulassen (z.B. Funktionen). Um auch solche Objekte zu
erfassen, führt man den Begriff des Vektorraums formal für alle Objekte ein,
die zwei Verknüpfungen + und · mit den angegebenen Rechengesetzen besitzen.
Definition: Eine Menge V
V bildet einen Vektorraum über IR, wenn folgende
Axiome gelten:
(1) In V
V ist eine innere Verknüpfung ”+” erklärt,
−
→
−
→
→
→
+ :V
V×V
V→V
V mit −
a , b 7→ −
a + b
( Addition ),
so dass (V
V, +) die Gesetze der Addition (A1 ) − (A4 ) erfüllt.
(2) In V
V ist eine äußere Verknüpfung ”·” erklärt,
· : IR × V
V→V
V
→
→
mit (λ, −
a ) 7→ λ · −
a
( S-Multiplikation ),
so dass (V
V, ·) die Gesetze der S-Multiplikation (S1 ) − (S4 ) erfüllt.
Die Elemente eines Vektorraums bezeichnet man als Vektoren, auch wenn der
Vektorraum nicht dem Anschauungsraum IR3 entspricht. Hat man als Zahlenmenge nicht IR, sondern einen anderen Körper K, so spricht man von einem
Vektorraum über K.
Beispiele 2.23:
➀ IR3 ist ein Vektorraum bestehend aus allen 3-dimensionalen Pfeilen (den
3-Tupeln von reellen Zahlen).
2.4
Vektorräume
91
 



 x1

 .. 
n
➁ IR =  .  : xi ∈ R (i = 1, . . . , n) ist ein Vektorraum, dessen Ele



xn
mente die n-Tupel sind. IRn heißt auch der arithmetische Vektorraum.
➂ Die Menge der auf dem Intervall [a, b] definierten, reellwertigen Funktionen
F [a, b] := {f : [a, b] → IR}
ist ein Vektorraum, wenn man für die Addition und S-Multiplikation definiert:
+ : F [a, b] × F [a, b] → F [a, b] mit (f, g) 7→ f + g und
(f + g) (x) := f (x) + g (x) .
· : IR × F [a, b] → F [a, b] mit (λ, f ) 7→ λ · f und
(λ f ) (x) := λ · f (x) .
Die Rechengesetze übertragen sich aus dem Reellen. Die konstante Nullfunktion 0 mit 0 (x) = 0 für alle x ∈ [a, b] bildet den Nullvektor.
➃ Die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich n
P [n] := {f : IR → IR mit f (x) =
n
X
ai xi , ai ∈ IR}
i= 0
bildet einen Vektorraum, wenn ”+” und ”·” wie unter ③ erklärt sind.
Beispiel 2.24. Die Lösungsmenge eines homogenen, linearen Gleichungssystems bildet einen Vektorraum, wenn ”+” und ”·” wie unter 2.23 ② definiert
sind. Als Zahlenbeispiel betrachten wir das LGS
−3x1 − 5x2 + 2x3 = 0
4x1 − x2 + 3x3 = 0
Die Lösung erhalten wir mit dem Gauß-Algorithmus




−3 −5 2 0
−3 −5 2 0
 4 −1 3 0  ,→  0 −23 17 0 
0
0 0 0
0 0 0 0
,→ x3 = 23λ , x2 = 17λ , x1 = −13λ

 


x1
−13

→
→
x ∈ IR3 : −
x =  x2  = λ  17  ;
⇒ IL = −

x3
23
λ ∈ IR beliebig



.
92
2. Vektoren und Vektorrechnung
Wir zeigen nur die Abgeschlossenheit bezüglich ”+” und ”·”, d.h. dass die
→
Addition zweier Vektoren von IL wieder einen Vektor aus IL ergibt und r · −
x ∈
−
→
IL, wenn x ∈ IL ist. Die Gesetze der Addition (A1 ) − (A4 ) sowie die der
S-Multiplikation (S1 ) − (S4 ) übertragen sich dann von IR3 auf IL.






−13
−13
−13
−
→
→
x1+−
x 2 = λ1  17  + λ2  17  = (λ1 + λ2 )  17  ∈ IL
23
23
23
 





−13
−13
−13
→
r·−
x 1 = r · λ1  17  = (r · λ1 )  17  = λ  17  ∈ IL.
23
23
23
→
→
Wir haben damit nachgerechnet, dass mit zwei Lösungen −
x 1 und −
x 2 des
−
→
−
→
LGS auch die Summe x + x eine Lösung ist und jedes Vielfache einer
1
2
Lösung ebenfalls das Gleichungssystem erfüllt. Physikalisch bedeutet diese Eigenschaft, dass das Superpositionsgesetz gültig ist. Da die Teilmenge IL ⊂ IR3
selbst wieder einen Vektorraum darstellt, nennt man IL einen Untervektorraum
von IR3 . Diesen Begriff verwendet man immer, wenn eine Teilmenge eines Vektorraums wieder einen Vektorraum bildet:
Definition: Sei (V
V, +, ·) ein Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊂ V
V heißt
Untervektorraum, wenn U bezüglich den linearen Operationen ”+” und
”·” einen Vektorraum bildet.
Beispiele 2.25:
➀ V
V = IRn , U = {Lösungen eines homogenen, linearen Gleichungssystems}.
➁ V
V = {Menge aller reellwertigen Funktionen}
U = {Menge der auf dem Intervall [a, b] stetigen, reellwertigen Funktionen}.
➂ V
V = {Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ≤ n},
U = {Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ≤ n und f (1) = 0}.
Für eine Teilmenge U 6= ∅ eines Vektorraums V
V muss man nicht mehr die Rechengesetze nachprüfen, um zu zeigen, dass U selbst wieder einen Vektorraum
darstellt. Die Rechengesetze übertragen sich von V
V auf U , wenn U bezüglich
”+” und ”·” abgeschlossen ist:
Satz: (Untervektorraum-Kriterium). Eine nichtleere Teilmenge U ⊂
V
V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn U bezüglich den linearen
Operationen ”+” und ”·” abgeschlossen ist.
2.4
Vektorräume
93
Folglich sind für eine Teilmenge U eines Vektorraums V
V drei Eigenschaften zu
prüfen, um zu zeigen, dass U selbst wieder einen Vektorraum darstellt:
U ⊂V
V ist Vektorraum ⇔
UV 1 :
UV 2 :
UV 3 :
−
→
0 ∈ U.
−
→
−
→
−
→
→
a, b ∈U ⇒ −
a + b ∈U .
−
→
→
a ∈ U, λ ∈ IR ⇒ λ · −
a ∈U .
Beispiele 2.26:
➀ Die Menge {0} ist ein Untervektorraum jedes Vektorraums. Es ist der
kleinstmögliche Vektorraum.
➁ U = {Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR mit f (1) = 0},
V
V = {Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR}. U ⊂ V
V ist ein
Untervektorraum, denn
UV1: Die Nullabbildung 0 : IR → IR mit 0(x) = 0 hat die Eigenschaft
0(1) = 0. Also ist {0} ∈ U.
UV2: Mit f1 , f2 ∈ U ist f1 (1) = f2 (1) = 0 und damit auch
(f1 + f2 ) (1) = f1 (1) + f2 (1) = 0 ⇒ f1 + f2 ∈ U.
UV3: Mit f ∈ U ist f (1) = 0 und damit auch
(λ f ) (1) = λ · f (1) = λ · 0 = 0 ⇒ λ f ∈ U.
➂ U = {Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR mit f (1) = 1},
V
V = {Menge der reellwertigen Funktionen f : IR → IR}. U ⊂ V
V ist kein
Untervektorraum!
Denn z.B. aus f1 , f2 ∈ U , d.h. f1 (1) = f2 (1) = 1, folgt (f1 + f2 ) (1) =
f1 (1) + f2 (1) = 2 ⇒ f1 + f2 ∈
/ U. Der Nullvektor ist ebenfalls nicht in U
enthalten.
2.4.3 Linearkombination und Erzeugnis
→
Im Folgenden gehen wir davon aus, dass (V
V, +, ·) ein Vektorraum ist und −
a 1,
−
→
−
→
a 2 , . . . , a n Vektoren aus diesem Vektorraum sind.
−
→
Definition: Ein Vektor b der Form
−
→
→
→
→
b = λ1 −
a 1 + λ2 −
a 2 + · · · + λn −
an
→
→
→
heißt Linearkombination der Vektoren −
a 1, −
a 2, · · · , −
a n.
94
2. Vektoren und Vektorrechnung
Beispiele
  2.27:
 
 
 
 
9
1
0
1
9
➀  7  = 5  0  + 3  1  + 4  1 . Der Vektor  7  ist also eine Line9
1
0
1
9
     
1
0
1
arkombination der Vektoren  0 ,  1 ,  1 .
1
0
1
 
 
 
 
9
1
0
0
→
→
→
➁  7  = 9  0  + 7  1  + 9  0  = 9−
e 1 + 7−
e 2 + 9−
e 3 ; d.h. der Vektor
9
0
0
1
 
9
→
→
→
 7  ist auch eine Linearkombination der Vektoren −
e 1, −
e 2, −
e 3.
9
−
→
Wie wir aus den IR3 wissen, lässt sich jeder Vektor b ∈ IR3 als Linearkombi−
→
−
→
−
→
nation von e 1 , e 2 , e 3 darstellen. Man definiert verallgemeinernd
Definition: Die Menge M aller Linearkombinationen der Vektoren
−
→
→
→
→
→
a 1, −
a 2, . . . , −
a n heißt Erzeugnis von −
a 1, . . . , −
a n . Man schreibt hierfür
M
=
=
=
→
→
{ Menge aller Linearkombinationen von −
a 1, · · · , −
a n}
−
→
−
→
−
→
[ a 1, a 2, . . . , a n]
−
→ −
→
→
→
→
{ b : b = λ1 −
a 1 + λ2 −
a 2 + · · · + λn −
an
(λi ∈ IR)}.
 
 
 
1
0
1
−
→  
→
→
Beispiel 2.28. Ist b = 0 im Erzeugnis von −
a 1 =  1 , −
a 2 =  2 ,
1
1
3
 
1
−
→
a 3 =  4 ? Gesucht sind λ1 , λ2 , λ3 ∈ IR, so dass
5
−
→
→
→
→
b = λ1 −
a 1 + λ2 −
a 2 + λ3 −
a 3,
−
→
−
→
−
→
→
denn dann ist
a 1 ,
a 2, −
a 3.
 beine Linearkombination
 
  von 
1
0
1
1
 0  = λ1  1  + λ2  2  + λ 3  4  .
Ansatz:
1
1
3
5
In der Komponentendarstellung entspricht dies dem inhomogenen, linearen
Gleichungssystem
0 · λ 1 + 1 · λ2 + 1 · λ3 = 1
1 · λ 1 + 2 · λ 2 + 4 · λ3 = 0
1 · λ1 + 3 · λ2 + 5 · λ3 = 1.
2.4
Vektorräume
95
Zur Lösung des LGS verwenden wir den Gauß-Algorithmus in Matrizenschreibweise






0 1 1 1
1 2 4 0
1 2 4 0
 1 2 4 0  ,→  0 1 1 1  ,→  0 1 1 1 
1 3 5 1
0 1 1 1
0 0 0 0
⇒ λ3 = t ( beliebig )
,→
λ2 = 1 − t
,→
λ1 = −2 − 2t.
Setzt man z.B. t = 1, so folgt λ3 = 1, λ2 = 0, λ1 = −4 und
−
→
→
→
→
b = −4 · −
a 1+0·−
a 2+1·−
a 3.
−
→
→
→
→
Damit ist b ist im Erzeugnis von [−
a 1, −
a 2, −
a 3 ].
−
→
→
→
→
Satz: Die Vektorgleichung b = λ1 −
a 1 + λ2 −
a 2 + . . . + λn −
a n ist genau dann
−
→ −
→
−
→
−
→
lösbar, wenn b ∈ [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] .
→
→
→
Da M = [−
a 1, −
a 2, . . . , −
a n ] die Menge aller Linearkombinationen ist, stellt
M ⊂V
V selbst wieder einen Vektorraum dar, was man mit dem UntervektorraumKriterium sofort nachprüfen kann:
→
→
→
Satz: M = [−
a 1, −
a 2, . . . , −
a n ] ist ein Vektorraum.
Im Fall, dass M schon den ganzen Vektorraum V
V aufspannt, nennt man M
ein Erzeugendensystem:
→
→
→
Definition: Eine Teilmenge von Vektoren {−
a 1, −
a 2, . . . , −
a n} ⊂ V
V heißt
−
→
−
→
→
Erzeugendensystem von V
V, wenn das Erzeugnis von a 1 , a 2 , . . . , −
an
→
→
→
mit V
V zusammenfällt: [−
a 1, −
a 2, . . . , −
a n] = V
V.
Beispiele 2.29:
→
→
→
→
➀ {−
e 1, −
e 2, −
e 3 } ist ein Erzeugendensystem von IR3 , denn jeder Vektor −
x
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
lässt sich als Linearkombination von e 1 , e 2 , e 3 darstellen: x = x1 e 1 +
→
→
x2 −
e 2 + x3 −
e 3.

 
1 

−
→
−
→
→
→
➁
e 1, −
e 2, −
e 3 , d :=  1  ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von IR3 ,


1
−
→
denn jeder Vektor x lässt sich als Linearkombination dieser 4 Vektoren
darstellen:
−
→
−
→
→
→
→
x = x1 −
e 1 + x2 −
e 2 + x3 −
e 3+0· d
−
→
→
→
→
→
oder −
x = (x1 − 1) −
e 1 + (x2 − 1) −
e 2 + (x3 − 1) −
e 3+1· d .
96
2. Vektoren und Vektorrechnung
n
−
→o
→
→
→
→
→
→
Sowohl {−
e 1, −
e 2, −
e 3 } als auch −
e 1, −
e 2, −
e 3 , d bilden ein Erzeugendensystem von IR3 . Gesucht ist ein Kriterium, um ein kleinstmögliches Erzeugendensystem zu charakterisieren. Dazu benötigt man den Begriff der linearen
Unabhängigkeit.
2.4.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Beispiel 2.30. Gegeben sind die Vektoren






2
4
8
−
→
−
→
→
a = −3 , b = 3 , −
c = −3 . Dann ist
5
−2
8
−
→
−
→
→
c =2·−
a +1· b .
Abb. 2.21. Lineare Abhängig-
keit
−
→
c lässt sich also als Linearkombination der Vek−
→
→
→
toren −
a und b darstellen. Man nennt −
c daher
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
linear abhängig von a und b . Stellt man die Gleichung c = 2 · a + 1 · b
um, so ist
−
→
−
→
→
→
2·−
a +1· b −1·−
c = 0.
−
→ →
→
D.h. der Nullvektor lässt sich darstellen als Linearkombination von −
a, b,−
c
mit von Null verschiedenen Koeffizienten. Wir verallgemeinern:
→
→
→
Definition: Die Vektoren −
a 1, −
a 2, · · · , −
an ∈V
V heißen linear abhängig,
wenn in der Gleichung
−
→
→
→
→
k1 −
a 1 + k2 −
a 2 + · · · + kn −
an= 0
(∗)
mindestens ein ki 6= 0 ist.
→
Denn dann lässt sich die Gleichung (∗) nach −
a i auflösen:
1
−
→
→
→
→
→
a i = − (k1 −
a 1 + · · · + ki−1 −
a i−1 + ki+1 −
a i+1 + · · · + kn −
a n) ,
ki
→
und −
a i ist durch die restlichen Vektoren darstellbar. Lässt sich die Gleichung
→
(∗) niemals nach einem Vektor −
a (i ∈ {1, · · · , n}) auflösen, dann nennt man
i
die Vektoren linear unabhängig. Dies ist genau dann der Fall, wenn k1 = k2 =
· · · = kn = 0 die einzigen Lösungen sind.
→
→
→
Definition: Die Vektoren −
a 1, −
a 2, · · · , −
an ∈ V
V heißen linear unabhängig, wenn gilt:
−
→
→
→
→
k1 −
a 1 + k2 −
a 2 + · · · + kn −
an= 0
⇒
k1 = 0, k2 = 0, · · · , kn = 0.
2.4
Vektorräume
97
Beispiele 2.31:
→
→
→
➀ Die Vektoren −
e 1, −
e 2, −
e 3 sind linear unabhängig: Denn der Ansatz
−
→
→
→
→
k1 −
e 1 + k2 −
e 2 + k3 −
e3= 0
liefert
 
 
   
0
0
1
0
k1  0  + k2  1  + k3  0  =  0 
0
0
1
0

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

⇒
⇒
k3 = 0, k2 = 0, k1 = 0.
−
→
→
→
→
D.h. aus dem Ansatz k1 −
e 1 + k2 −
e 2 + k3 −
e 3 = 0 folgt für die Koeffizienten k1 = k2 = k3 = 0. Damit sind nach obiger Definition die Vektoren
−
→
→
→
e 1, −
e 2, −
e 3 linear unabhängig.


 
 
2
0
3
→
→
→
➁ Die Vektoren −
a 1 =  −1  , −
a 2 = 1, −
a 3 =  0  sind linear un3
0
1
−
→
−
→
−
→
−
→
abhängig: Aus k1 a 1 + k2 a 2 + k3 a 3 = 0 folgt


 
   
2
0
3
0
k1  −1  + k2  1  + k3  0  =  0  .
3
0
1
0
In Matrizenschreibweise erhalten wir






−1 1 0 0
−1 1 0 0
2 0 3 0
 −1 1 0 0  ,→  0 2 3 0  ,→  0 2 3 0  .
3 0 1 0
0 3 1 0
0 0 7 0
Durch Rückwärtsauflösen ist
7·k3 = 0 ⇒ k3 = 0 ;
2·k2 = 0 ⇒ k2 = 0 ; −1·k1 = 0 ⇒ k1 = 0 .
−
→
→
→
→
D.h. aus k1 −
a 1 + k2 −
a 2 + k3 −
a 3 = 0 folgt k1 = k2 = k3 = 0. Damit sind
→
→
→
die Vektoren −
a 1, −
a 2, −
a 3 linear unabhängig.


 
 
2
0
2
→
→
→
➂ Die Vektoren −
a 1 =  −1  , −
a 2 = 1, −
a 3 =  0  sind linear
3
0
3
−
→
→
→
→
abhängig: Denn aus k1 −
a 1 + k2 −
a 2 + k3 −
a 3 = 0 , folgt in der Matrizen-
98
2. Vektoren und Vektorrechnung
schreibweise





2 0 2 0
−1 1 0 0
−1 1 0 0
 −1 1 0 0  ,→  0 2 2 0  ,→  0 1 1 0 
3 0 3 0
0 3 3 0
0 0 0 0

⇒ k3 = λ (beliebig); k2 = −λ; k1 = −λ.
Z.B. für λ = 1 ist
*
→
→
→
→
→
(−1) −
a 1 + (−1) a 2 +1−
a3=0⇒ −
a 1 = −−
a 2+−
a 3.
Das Gleichungssystem ist also nicht nur durch k1 = k2 = k3 = 0 lösbar,
→
und damit die Vektorgleichung nach dem Vektor −
a 1 auflösbar. Die Vekto−
→
−
→
−
→
ren a 1 , a 2 , a 3 ; sind linear abhängig.
➃ Die Vektoren fi (x) = xi (i = 0, 1, 2, · · · , n) sind linear unabhängig im
Vektorraum P [n] := {Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ≤ n}.
Denn
−
→
k0 f0 + k1 f1 + · · · + kn fn = 0
bedeutet k0 f0 (x) + k1 f1 (x) + · · · + kn fn (x) = 0 (x) = 0 für alle x ∈ IR,
d.h.
k0 + k1 x + · · · + kn xn = 0
für alle x ∈ IR. Durch Einsetzen von x = 0 folgt k0 = 0. Anschließend kann
auf der linken Seite ein x ausgeklammert werden. Wieder durch Einsetzen
von x = 0 folgt k1 = 0. Insgesamt erhält man so k0 = k1 = · · · = kn = 0.
In den Beispielen ① - ④ zeigt sich, dass die Vektorgleichung
−
→
→
→
→
k1 −
a 1 + k2 −
a 2 + · · · + kn −
an= 0
entweder eindeutig lösbar ist; dann ist k1 = k2 = · · · = kn = 0 und die Vek→
→
→
toren −
a 1, −
a 2, · · · , −
a n sind linear unabhängig. Oder die Vektorgleichung ist
nicht eindeutig lösbar, dann sind die Vektoren linear abhängig. Es gilt folgende
Charakterisierung von linear unabhängigen Vektoren:
→
→
→
Satz: Für die Vektoren −
a 1, −
a 2, · · · , −
an ∈V
V sind äquivalent:
→
→
→
(1) −
a 1, −
a 2, · · · , −
a n sind linear unabhängig.
−
→
→
→
(2) Jeder Vektor b ∈ [−
a 1, · · · , −
a n ] lässt sich eindeutig aus den Vektoren
−
→
−
→
a 1 , · · · , a n linear kombinieren.
2.4
Vektorräume
99
2.4.5 Basis und Dimension
Einer der für die Beschreibung von Vektorräumen wichtigsten Begriffe ist der
der Basis.
Definition: Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den gesamten Vektorraum erzeugen, nennt man eine Basis des Vektorraums.
Also:
−
→
→
→
a 1, −
a 2, · · · , −
an ∈V
V
ist Basis von V
V
⇔
→
→
(B1 ) −
a 1, · · · , −
a n sind linear unabhängig.
→
→
(B2 ) [−
a 1, · · · , −
a n] = V
V.
Eine Basis ist die kleinste Menge von Vektoren, welche den Vektorraum erzeugt, und sie ist gleichzeitig die größte Menge von linear unabhängigen Vektoren aus V
V; denn für Basen sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:
Satz: (Charakterisierung von Basen). Für eine Teilmenge
→
→
→
B := {−
a 1, −
a 2, · · · , −
a n} ⊂ V
V ist gleichbedeutend:
(1) B ist eine Basis von V
V.
(2) B ist eine unverlängerbare, linear unabhängige Teilmenge von V
V.
(3) B ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V
V.
Beispiele 2.32:
→
→
→
→
→
→
➀ (−
e 1, −
e 2, −
e 3 ) ist eine Basis von IR3 : Denn −
e 1, −
e 2, −
e 3 sind linear un−
→
→
→
3
abhängig und jedes x ∈ IR lässt sich als Linearkombination von −
e 1, −
e 2,
−
→
e 3 darstellen:
−
→
→
→
→
x =x −
e +x −
e +x −
e .
1
1
2
2
3
3
→
→
→
➁ (−
e 1, −
e 2, · · · , −
e n ) ist eine Basis von IRn .
➂
1, x, x2 , x3 , x4 , · · · , xn ist eine Basis des Vektorraums der Polynomfunktionen vom Grad ≤ n.
100
2. Vektoren und Vektorrechnung
 
 
 
0
1
1
→
→
→
➃ −
a 1 = 1, −
a 2 = 2, −
a 3 =  1  ist eine Basis von IR3 :
1
3
0
Wir prüfen die Bedingungen (B1 ) und (B2 ) nach.
−
→
−
→
−
→
(B1 ): Aus k1 −
a→
1 + k2 a2 + k3 a 3 = 0 folgt






0 1 1 0
1 3 0 0
1 3 0 0
 1 2 1 0  ,→  0 1 −1 0  ,→  0 1 −1 0  .
1 3 0 0
0 1 1 0
0 0 −2 0
Dieses LGS hat als eindeutige Lösung k1 = k2 = k3 = 0 und damit sind
−
→
→
→
a 1, −
a 2, −
a 3 linear unabhängig.
 
b
−
→  1
(B2 ): Ist b = b2 ∈ IR3 beliebig, dann müssen λ, µ, τ gefunden werden,
b3
so dass
−
→
→
→
→
λ−
a 1 + µ−
a 2 + τ−
a3= b.
In Matrizenschreibweise ist das LGS für die Unbekannten λ, µ und τ :




0 1 1 b1
1 3 0 b3
 1 2 1 b2  ,→  0 1 −1 b3 − b2 
1 3 0 b3
0 1 1 b1


1 3 0 b3
.
,→  0 1 1 b1
0 0 −2 b3 − b2 − b1
Hieraus erhält man durch Rückwärtsauflösen die gesuchten Größen
1
3
1
1
τ = − (b3 − b2 − b1 ); µ = (b1 − b2 + b3 ); λ = (−b1 + b2 − b3 ).
2
2
2
3
−
→
Damit gibt es zu jedem Vektor b ∈ IR3 Parameter λ, µ, τ ∈ IR, so dass
−
→
→
→
→
→
→
→
λ−
a 1 + µ−
a 2 + τ−
a3= b
⇒ [−
a 1, −
a 2, −
a 3] = V
V.
→
→
→
Aus (B1 ) und (B2 ) folgt, dass (−
a 1, −
a 2, −
a 3 ) eine Basis von IR3 ist.
 
1
→
→
→
→
→
➄ Die Vektoren −
e 1, −
e 2, −
e 3, −
a 4 mit −
a 4 =  1  bilden keine Basis von
1
→
→
→
→
IR3 , da sie linear abhängig sind : −
a4=−
e 1+−
e 2+−
e 3.
2.4
Vektorräume
101
 
 
2
0
→
→
➅ Die Vektoren −
a 1 = 0, −
a 2 =  1  bilden keine Basis von IR3 .
1
2
−
→
−
→
→
a 1, −
a 2 sind zwar linear unabhängig, aber nicht jeder Vektor b ∈ IR3
−
→ −
→ darstellen. Denn aus
lässt sich als Linearkombination
von
2
 
 a 1, a
b1
2 0 b1
−
→
→
→
λ−
a 1 + µ−
a 2 = b =  b2  folgt  0 1 b2 
b
1 2 b
3
3

2 0 b1
,→  0 −4 −2b3 + b1  .
0 1 b2

Aus der letzten Zeile des Gleichungssystems folgt 1 · µ = b2 aus der zweitletzten Zeile µ = 14 (b1 − 2b3 ). Damit das LGS lösbar ist, muss für den
−
→
Vektor b gelten:
1
b2 = (b1 − 2b3 ) .
4
−
→
→
→
Dies ist aber nicht für alle Vektoren b ∈ IR3 erfüllt und damit ist (−
a 1, −
a 2)
kein Erzeugendensystem von IR3 . (B2 ) ist also nicht erfüllt.
In einem Vektorraum kann es beliebig viele Basen geben. Hat man jedoch eine
→
→
endliche Basis −
a 1, · · · , −
a n gefunden, so besteht jede andere Basis ebenfalls
aus genau n Vektoren. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist
charakteristisch für einen Vektorraum:
Definition: Sei V
V ein Vektorraum. Besteht eine Basis aus n Vektoren,
so heißt die Zahl n die Dimension des Vektorraums V
V.
Bezeichnung: dim(V
V) = n.
Man beachte, dass zwar jeder Vektorraum eine Basis besitzt; diese muss jedoch nicht notgedrungen aus endlich vielen Vektoren bestehen. In der Regel
betrachten wir hier nur endlich-dimensionale Vektorräume. Für diese endlichdimensionalen Vektorräume gilt
102
2. Vektoren und Vektorrechnung
Satz: Sei V
V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt für n Vektoren
−
→
→
a 1, · · · , −
an ∈V
V die Aussage:
−
→
→
a 1, · · · , −
an
sind linear unabhängig.
→
→
(−
a 1, · · · , −
a n ) ist eine
Basis von V
V.
⇔
Beispiele 2.33:
5
2
→
→
→
und −
a2=
bilden eine Basis von IR2 , denn −
a 1, −
a 2 sind
2
1
linear unabhängig:
−
→
→
→
k −
a +k −
a = 0
→
➀ −
a1=
1
,→
1
2
5 2 0
5 2
,→
2 1 0
0 −1
2
0
0 ⇒ k2 = k1 = 0.
 
 
 
 
1
1
1
0








0
1
0
→
→
→
→
 −
  −
  −
1
➁ −
a1 =
 1  , a 2 =  0  , a 3 =  0  , a 4 =  0  bilden eine Basis
0
0
1
1
→
→
→
→
von IR4 , denn −
a 1, −
a 2, −
a 3, −
a 4 sind linear unabhängig: Setzen wir die
Vektoren in die Vektorgleichung
−
→
→
→
→
→
k1 −
a 1 + k2 −
a 2 + k3 −
a 3 + k4 −
a4= 0
ein, erhalten wir das zugehörige LGS, welches wir mit dem Gauß-Algorithmus
lösen:








1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 0 1 0
0 1 0 1 0
0 1 0 1 0








 1 0 0 0 0  ,→  0 1 1 0 0  ,→  0 0 −1 1 0  ,→  0 0 −1 1 0 
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 2 0
⇒
k1 = k2 = k3 = k4 = 0.
➂ P [5] := {f : IR → IR : f (x) = a0 + a1 x + · · · + a5 x5 } ist ein 6-dimensionaler
Vektorraum: x0 , x1 , x2 , · · · , x5 sind linear unabhängige Funktionen und
jedes f ∈ P [5] lässt sich als Linearkombination dieser Funktionen darstellen
⇒
x0 , x1 , · · · , x5 ist eine Basis von P [5] ⇒ dim P [5] = 6.
2.4
Vektorräume
103
MAPLE-Worksheets zu Kapitel 2
Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 2 mit
Maple zur Verfügung.
Darstellung von Vektoren im IR2
Darstellung von Vektoren im IR3
Vektorrechnung mit Maple
Graphische Darstellung von Geraden und Ebenen im IR3
Punkte, Geraden und Ebenen mit Maple
Die Prozedur geomet
Zusammenstellung der Maple-Befehle
Maple-Lösungen zu den Aufgaben
104
2.5
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.5 MAPLE: Vektorrechnung
2.5.1 Vektorrechnung mit MAPLE
Die Befehle zur Vektorrechnung befinden sich im LinearAlgebra-Paket, welches durch with (LinearAlgebra) aktiviert wird. Dieses Paket zur Linearen
Algebra ist weit umfangreicher als es in diesem Abschnitt benötigt wird. Alle
Befehle aus dem Paket erhält man durch >with(LinearAlgebra); aufgelistet.
Vektoren werden in Maple durch Vector(n,[x1,...,xn]) definiert, wobei n die
Länge des Vektors angibt und x1 ,..., xn die einzelnen Komponenten. Per Definition ist also ein Vektor im Maple-System in der Komponentendarstellung
erklärt und sämtliche Vektoroperationen erfolgen in dieser Darstellung. Die
Angabe von n ist optional, d.h. es genügt nur die Komponenten zu definieren.
Abkürzend kann ein Spaltenvektor auch mit <x1,..., xn> definiert werden.
Werden nur die Komponenten x1 ,..., xn in eckigen Klammern angegeben, so
wird eine dem Vektor verwandte Struktur, nämlich eine Liste erzeugt.
> with(LinearAlgebra):
> a:=Vector(3,[a x,a y,a z]);
> b:=<b x,b y,b z]>:
> c:=Vector(3);
a := [ a x, a y , a z ]
c := [ 0, 0 , 0 ]
> v1:=Vector(3,[-2,3,4]); #Vektor
> v2:=[-2,2/3,6]:
#Liste
> whattype(v2), type(v1,Vector);
v1 := [ −2, 3, 4 ]
list, true
Die einzelnen Komponenten der Vektoren können durch Angabe des Index in
eckigen Klammern, z.B. a[j], angesprochen werden:
> a[2], c[3], v2[2];
2
a y, 0,
3
2.5
MAPLE: Vektorrechnung
105
Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors ist durch den Norm-Befehl berechenbar:
> Norm(a,2), Norm(v1,2);
q
√
2
2
2
| a x| + | a y| + | a z| , 29
Die Ausführung der Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines
Vektors mit einem Skalar erfolgt durch den evalm-Befehl:
> evalm(a+b), evalm(lambda*a);
> evalm(2*v1-3*v2);
[ a x + b x, a y + b y, a z + b z ], [ λ a x, λ a y, λ a z ]
[ 2, 4, −10 ]
Das Skalarprodukt wird durch den DotProduct-Befehl (Punktprodukt) realisiert.
> sk:=DotProduct(a,b);
sk := a x b x + a y b y + a z b z
−
→
Man beachte, dass der Querstrich bei den Komponenten des Vektors b darauf hinweist, dass das Skalarprodukt auch für komplexe Vektoren definiert ist.
−
→ −
→
Für den Fall von reellen Vektoren gilt b = b (siehe auch Kap. 5, Komplexe
Zahlen). Diese Bemerkung gilt auch für die weiteren Konstruktionen mit dem
Skalarprodukt.
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, kann die Formel
> psi:= arccos( DotProduct(a,b) / (Norm(a,2)*Norm(b,2)) );


a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z

q
ψ := arccos  q
2
2
2
2
2
2
| a x| + | a y| + | a z|
| b x| + | b y| + | b z|
verwendet werden oder man benutzt den VectorAngle-Befehl:
> VectorAngle(a,b);
arccos
a x b x+ a y b y+ a z b z
p
p
a x2 + a y 2 + a z 2
b x2 + b y 2 + b z 2
!
wobei der Winkel dann mit evalf als float-Zahl im Bogenmaß berechnet wird.
Beispiel M.6. Berechnung des Winkels zwischen den beiden Vektoren a1=(3,1,2) und a2=(1,2,4):
> a1:=<3,-1,2>: a2:=<1,2,4>:
> psi:= arccos( DotProduct(a1,a2) / (Norm(a1,2)*Norm(a2,2)) );
106
2. Vektoren und Vektorrechnung
> evalf(psi*180/Pi);
ψ := arccos
3 √ √
14 21
98
58.33911721
oder
> angle(a1,a2): %=evalf( convert(%,degrees) );
angle(a1, a2) := 58.33911721 degrees
Die Projektion des Vektors b auf den Vektor a wird bestimmt durch
> b a:= evalm( DotProduct(a,b) / Norm(a,2)ˆ2 * a );
(a xb x + a yb y + a zb z)a x
b a :=
,
2
2
2
|a x| + |a y| + |a z|
(a xb x + a yb y + a zb z)a y
,
2
2
2
|a x| + |a y| + |a z|
(a xb x + a yb y + a zb z)a z
2
2
2
|a x| + |a y| + |a z|
Für das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) steht der CrossProduct-Befehl zur
Verfügung:
> cp:=CrossProduct(a,b);
> cp[2];
cp := [ a y b z − a z b y, a z b x − a x b z, a x b y − a y b x ]
a z b x− a x b z
Beispiel M.7. Berechnung des Flächeninhaltes des von den Vektoren a1=(1,
-5, 2) und a2=(2, 0, 3) aufgespannten Parallelogramms:
> a1:=<1, -5, 2>: a2:=<2, 0, 3>:
> cp:=CrossProduct(a1,a2);
> flaeche:=evalf( Norm(cp,2) );
cp := [ −15 , 1, 10 ]
f laeche := 18.05547009
2.5
MAPLE: Vektorrechnung
107
Nachdem Skalarprodukt und Kreuzprodukt bekannt sind, lässt sich das Spatprodukt als Kombination von den elementaren Produkten darstellen und das
Volumen eines Spates berechnen:
> a:=Vector(3, [a 1,a 2,a 3]): b:=Vector(3, [b 1,b 2,b 3]): c:=Vector(3, [c 1,c 2,c 3]):
> V := abs( DotProduct(a, CrossProduct(b,c)) );
V := a1 (b2 c3 − b3 c2 ) + a2 (b3 c1 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
2.5.2 Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE
Die Befehle zur Analytischen Geometrie, wie man die Beschreibung von Punkten, Geraden, Ebenen und anderen Objekten des Raumes bezeichnet, befinden sich im geom3d-Paket, welches durch with(geom3d) aktiviert wird. Im
Folgenden gehen wir immer davon aus, dass dieses Paket geladen ist. Das
geom3d-Paket ist viel umfangreicher, als wir dies in diesem Zusammenhang
beschreiben, da auch andere Objekte wie z.B. Segmente, gerichtete Segmente,
Sphären und Dreiecke behandelt werden können. Alle Befehle des Paketes werden mit > with(geom3d); aufgelistet. Für die zweidimensionale Analytische
Geometrie steht das geom-Paket zur Verfügung, auf das wir aber nicht näher
eingehen werden.
Definition der geometrischen Objekte
Zur Definition von Punkten, Geraden und Ebenen stehen die Befehle point,
line und plane zur Verfügung. Diese Objekte werden durch den draw-Befehl
direkt gezeichnet. Mit detail erhält man genauere Angaben über die definierten Objekte.
Punkte. Ein Punkt P wird durch point(P, [x1,x2,x3]) definiert, wobei P
den Punkt bezeichnet und [x1, x2, x3] die Koordinaten des Punktes angeben.
> restart: with(geom3d):
> point( P1, [2,0,4]);
> detail(P1);
P1
name of the object: P1
form of the object: point3d
coordinates of the point: [2,0,4]
Geraden. Eine Gerade kann durch die Angabe zweier Punkte P1 und P2 mit
dem Befehl line(g1, [P1,P2]) in der Zweipunkteform spezifiziert werden; g1
bezeichnet dann die Gerade durch die beiden Punkte P1 und P2 . Alternativ
wird die Punkt-Richtungsform einer Geraden verwendet, wenn neben einem
108
2. Vektoren und Vektorrechnung
→
Punkt P1 der Geraden noch der Richtungsvektor −
v bekannt ist: line(g2,
[P1,v]). Man beachte, dass es für manche Befehle günstiger ist, nicht mit
einem Vektor, sondern mit einer Liste zu arbeiten; dies bedeutet, dass man
auf die Kennzeichnung Vector verzichtet.
> point( P2, [2,2,2]);
> line(g1, [P1,P2]);
#Zweipunkteform
> Equation(g1, lambda);
P2
g1
[2, 2λ, 4 − 2λ]
Mit Equation erhält man die Punkt-Richtungsform. Der zweite Parameter
legt den Namen des freien Parameters
in der 
Geradengleichung
fest. D.h. die
 

2
0
→
Punkt-Richtungsform lautet −
x =  0  + λ  2 .
4
−2
> point(P3, [3,2,1]): v:=Vector([1,2,-1]):
> line(g2, [P3,v]):
#Punkt-Richtungsform
> Equation(g2, lambda);
[3 + λ, 2 + 2λ, 1 − λ]
Ebenen. Eine Ebene wird durch den plane-Befehl realisiert.
plane(E1, [P1,P2,P3]) legt die Ebene E1 durch die drei Punkte P1 , P2 ,
P3 in der Dreipunkteform fest. plane(E2, [P,g1,g2]) bestimmt die Ebene
durch den Punkt P , wenn g1 und g2 zwei Geraden der Ebene sind. Schließlich
definiert plane(E3, [P,n]) die Ebene E3 durch den Punkt P mit dem Norma→
lenvektor −
n in der Hesseschen Normalform. Mit dem Equation-Befehl erhält
man die Ebenengleichung, wenn der zweite Parameter die Koordinatenachsen
bezeichnet.
> point(P1, [5,2,1]): point(P2, [4,0,-4]): point(P3, [1,1,1]):
> plane(E1, [P1,P2,P3]);
#Dreipunkteform
> Equation(E1, [x,y,z]);
> detail(E1);
E1
−8 − 5x + 20y − 7z = 0
name of the object: E1
form of the object: plane3d
equation of the plane: − 8 − 5 ∗ x + 20 ∗ y − 7 ∗ z = 0
> point(P, [1,0,0]): v1:=[-1,2,0]: v2:=[-1,0,1]:
> line(g1, [P,v1]): line(g2, [P,v2]):
> plane(E2, [P, g1,g2]);
#Punkt-Richtungsform
2.5
MAPLE: Vektorrechnung
109
> Equation(E2, [x,y,z]);
E2
−2 + 2x + y + 2z = 0
> point(P, [2,-5,3]): N:=[4,2,5]:
> plane(E3, [P, N]);
#Hessesche Normalform
> Equation(E3, [x,y,z]);
E3
−13 + 4x + 2y + 5z = 0
Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander
Zur Bestimmung der Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum stehen u.a. die Befehle AreParallel, distance, intersection, FindAngle zur
Verfügung. Sie bestimmen, ob zwei Objekte parallel sind und gegebenenfalls
den Abstand dieser Objekte bzw. andernfalls die Schnittmenge und den Schnittwinkel.
Um zu prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden oder Ebene liegt,
genügt es den Abstand des Punktes von der Geraden bzw. der Ebene zu bestimmen. Falls er Null beträgt, liegt der Punkt auf dem Objekt.
> point(Q, [2,-2,6]):
#Definition des Punktes Q
> distance(Q, g1);
#Abstand von Q zur Geraden g1
> distance(P3, E1);
#Abstand von P3 zur Ebene E1
√ √
3
5 6 5
0
Der Punkt Q liegt nicht auf der Geraden g1 , da der Abstand ungleich Null ist;
P3 liegt in der Ebene E1 .
Ebenfalls mit dem distance-Befehl kann der Abstand paralleler oder windschiefer Geraden und der Abstand zwischen parallelen Ebenen berechnet werden. Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen, überprüft man zunächst, ob
sie parallel sind; falls nicht liefert der distance-Befehl den Abstand.
> AreParallel(g1,g2);
f alse
> distance(g1,g2);
0
110
2. Vektoren und Vektorrechnung
Der draw-Befehl zeichnet geometrische Objekte dreidimensional. Die einfachste Form des draw-Befehls ist draw({menge von objekten}). Die unten
angegebenen zusätzlichen Optionen bewirken, dass die Koordinatenachsen das
Schaubild umrahmen (axes=boxed) und die Graphen eine dickere Linienstärke
erhalten (thickness=2)
> draw({g1,g2}, axes=boxed, thickness=2);
Die Geraden g1 und g2 sind nicht parallel und haben den Abstand Null, daher
schneiden sie sich, wie man auch dem Schaubild entnehmen kann. Mit intersection bestimmt man den Schnittpunkt S, dessen Koordinaten mit coordinates ausgegeben werden.
> intersection(S, g1,g2):
> coordinates(S):
> print(”Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten ”,%);
Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten ,
[2, −5, 3]
Den Schnittwinkel findet man mit FindAngel
> FindAngle(g1,g2):
> printf(”Der Schnittwinkel beträgt %5.4go \n”,evalf(%*180/Pi));
Der Schnittwinkel beträgt 71.56o
Windschiefe Geraden sind nicht parallel und haben einen von Null verschiedenen Abstand:
> point(P4, [3,2,1]): v:=[1,2,-1]: line(g4, [P4,v]):
> point(P5, [4,0,-1]): v:=[-6,-1,0]: line(g5, [P5,v]):
> AreParallel(g4,g5);
f alse
Zur Darstellung der windschiefen Geraden verwenden wir wieder den drawBefehl. scaling=unconstrained bewirkt, dass keine maßstabsgetreue Skalierung
der Achsen erfolgt und mit orientation wird der Blickwinkel eingestellt.
2.5
MAPLE: Vektorrechnung
111
> draw({g4,g5}, axes=boxed, thickness=2, scaling=unconstrained,
orientation=[-169,76]);
> distance(g4,g5):
> printf(”Der Abstand der beiden Geraden ist %5.4g\n”,evalf(%));
Der Abstand der beiden Geraden ist 2.784
Um die Lage zweier Ebenen zu bestimmen, prüft man ebenfalls die Parallelität.
Sind sie parallel, erhält man mit distance den Abstand:
> point(P5,[3,6,1]): N1:=NormalVector(E1);
> plane(E3, [P5,N1] ):
> AreParallel(E1,E3);
N 1 := [−5, 20, −7]
true
Aus dem folgenden Schaubild ist die Parallelität der Ebenen gut zu erkennen:
> draw({E1,E3}, axes=boxed, style=patchnogrid, shading=zgreyscale,
scaling=unconstrained, orientation=[-163,72]);
> distance(E1,E3);
15 √
474
79
112
2. Vektoren und Vektorrechnung
Sind die Ebenen nicht parallel, dann schneiden sie sich in einer Geraden:
> point(P1, [1,0,0]): line(g1, [P, [-1,2,0]]): line(g2, [P, [-1,0,1]]):
> plane(E1, [P1, g1,g2]):
> point(P2, [0,1,0]): line(g3, [P, [1,2,1]]): line(g4, [P, [0,4,0]]):
> plane(E2, [P2, g3,g4]):
> AreParallel(E1,E2);
f alse
> draw({E1,E2}, style=patchnogrid, axes=boxed, shading=zgreyscale,
orientation=[-66,51], scaling=unconstrained);
Die Schnittgerade erhält man mit intersection und die Geradengleichung mit
Equation
> intersection(g, E1,E2);
> Equation(g, t);
g
[4t, 2 − 16t, 4t]
 


0
4
Die Darstellung der Schnittgeraden lautet also  2  + t  −16 .
0
4
2.5
MAPLE: Vektorrechnung
113
Die Maple-Prozedur geomet
Extras im Web: Auf der CD-ROm befindet sich die Prozedur geomet. Sie bestimmt die Lage zweier Objekte zueinander, wenn als Objekte Punkte, Geraden und Ebenen aus dem geom3d-Paket erlaubt
sind. Dabei werden obige Überlegungen in einer eigenständigen Prozedur zusammengefasst. Beim erstmaligen Bearbeiten der Lektüre sollten die Details
dieser Routine übergangen werden, da sie erst in späteren Kapiteln ausführlicher erklärt werden. Für den Gebrauch der Prozedur muss man nur den Aufruf
wissen, der durch die anschließenden Beispiele verdeutlicht wird. Der Aufruf
erfolgt durch > geomet(obj1, obj2), wenn obj1 und obj2 Punkte, Geraden
oder Ebenen darstellen.
Beispiele M.8:
➀ Welche Lage besitzen die Geraden 
g1 , 
g2 zueinander, wenn g1 durch P1 =
2
→
(1, 2, 0) mit Richtungsvektor −
a =  0  und g2 durch P2 = (6, 0, 13) mit
5


1
−
→
Richtungsvektor b =  −2  festgelegt wird?
3
> with(geomet):
> point(P1, [1,2, 0]): a:= [2,0,5]: line(g1,[P1,a]):
> point(P2, [6,0,13]): b:= [1,-2,3]: line(g2,[P2,b]):
>
> geomet(g1,g2);
g1 und g2 schneiden sich im Punkt [5,2,10]
unter dem Schnittwinkel 2.47o
➁ Gesucht ist die Lage der Geraden 
g zur
 Ebene E, wenn g durch P1 =
3
→
(5, 1, 2) mit Richtungsvektor −
a =  1  und E durch P0 = (2, 1, 8) mit
2


−1
→
Normalenvektor −
n =  3  gegeben ist.
1
> point(P1, [5,1,2]): a:= [3,1,2]: line(g1,[P1,a]):
> plane(E, [ point(P0,[2,1,8]), [-1,3,1]]):
>
> geomet(g1, E);
g1 und E schneiden sich im Punkt
11
[ 37
2 , 2 , 11]
unter dem Schnittwinkel 9.274o
114
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.5.3 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle
Grundlegende Befehle zur Vektorrechnung
with(LinearAlgebra)
Linear-Algebra-Paket.
Vector (n, [x1, x2, .., xn]) Definition eines Vektors.
v[i]
i-te Komponente des Vektors v.
[x1, x2, ..., xn]
Definition einer Liste.
convert(winkel, degrees) Rechnet Winkel ins Gradmaß um.
convert(liste, Vector)
Wandelt Liste in Vektor v um.
evalm
Auswertung von Vektorausdrücken mit
den Operationen +, −, λ ∗ .
VectorAngle (v1, v2)
Berechnet Winkel zwischen den Vektoren v1
und v2 .
CrossProduct(v1, v2)
Berechnet das Kreuzprodukt (v1 × v2 )
von 3-elementigen Vektoren v1 und v2 .
DotProdukt (v1, v2)
Berechnet das Skalarprodukt der Vektoren
v1 und v2 .
Norm (v, 2)
Berechnet den Betrag des Vektors v.
Grundlegende Befehle zu Geraden und Ebenen
with(geom3d)
3D Geometrie-Paket.
point( P, [x1,x2,x3])
Definition des Punkte P über seine
Koordinaten x1 , x2 , x3 .
line(g, [P1,P2])
Definition der Geraden g über zwei Punkte
P1 und P2 .
line(g, [P1,v])
Definition der Geraden g über einen Punkt
→
P1 und Richtungsvektor −
v.
plane(E, [P1,P2,P3])
Definition der Ebene E über 3 Punkte
P1 , P2 , P3 .
plane(E, [P1, g1,g2])
Definition der Ebene E über den Punkt P1
und zwei Geraden g1 und g2 .
plane(E, [P1, n])
Definition der Ebene E über den Punkt P1
→
und Normalenvektor −
n.
draw({obj1,obj2,..})
Graphische Darstellung von geometrischen
Objekten.
detail(obj)
Spezifikation des Objektes obj.
Equation(E, [x,y,z])
Ebenengleichung.
Equation(g, t)
Geradengleichung.
AreParallel(obj1,obj2)
Prüft die Parallelität von obj1 und obj2.
intersection(S,obj1,obj2) Berechnet den Schnitt von obj1 mit obj2.
FindAngle(obj1,obj2)
Berechnet den Schnittwinkel von obj1
und obj2.
2.5
MAPLE: Vektorrechnung
115
Bemerkung: Der draw-Befehl zum Darstellen der geometrischen Objekte
hat die gleichen Optionen wie der Standard-plot3d-Befehl. Sie können unter
>?plot3d[options]
aufgelistet werden. Häufig benutzte Optionen lauten:
Optionen des draw-Befehls
grid=[n,m]
title=t
labels=[x,y,z]
tickmarks=[l,m,n]
scaling=
<constrained,unconstrained>
view=zmin..zmax
axes=boxed
thickness=<0,1,2,3>
orientation=[phi, theta]
style=patchnogrid
shading=zgreyscale
Dimension des Berechnungsgitters: n × m.
Titel des Schaubildes.
Spezifiziert die Achsenbeschriftung.
Anzahl der Markierungen auf den Achsen.
Maßstabsgetreue Skalierung der Achsen.
Der darzustellende z-Bereich des Objektes.
Schaubild mit Achsen.
Steuerung der Liniendicke.
Blickrichtung der 3d Graphik.
Das Gitter wird unterdrückt.
Die Farbunterlegung der Objekte ist grau.
116
2.6
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.6 Aufgaben zur Vektorrechnung






2
0
−5
−
→



 →

→
2.1 Gegeben sind die Vektoren −
a =  3  , b =  −2  , −
c  3.
−1
4
1
Man berechne die folgenden Vektoren und ihre Beträge −
→ →
−
→ →
−
→
→
→
→
→
a) −
s 1 = 3−
a −4 b +−
c
b) −
s 2 = −3 5 b + −
c + 5 −−
a +3 b
−
−
→
−
→ →
→ → −
→
→
→
→
→
c) −
s =3 −
a − 2 b + 5−
c
d) −
s =3 −
a · b −
c −5 b ·−
c →
a
3
4
−
→
−
→ −
→ −
→ −
→
2.2 Welche Gegenkraft F hebt die vier Einzelkräfte F 1 , F 2 , F 3 , F 4 in ihrer
Gesamtkraft
auf?

 (Krafteinheit

 1N.)


 
200
−10
40
30
→
→
→
−
→

 −

 −

 −
 
F 1 =  110 ; F 2 =  30 ; F 3 =  85 ; F 4 = −  50 .
−40
120
40
−50
2.3 Normieren
 Sie die folgenden Vektoren:
2
−
→
 
−
→
→
→
→
a = 3 ,
b = 3−
e 1 − 5−
e 2 + 2−
e 3,
1


−1


−
→
c =  0 .
−1
 
4
 
→
→
2.4 Wie lautet der Einheitsvektor −
e , der die zum Vektor −
a = −  3  entgegen0
gesetzte Richtung hat?
2.5 Bestimmen Sie die Koordinatendes Punktes
Q, der vom Punkte P = (1, −2, 3)

−2


→
in Richtung des Vektors −
a =  −1  10 Längeneinheiten entfernt ist.
−1
−−−→
2.6 Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von P1 P2 mit P1 = (2, 4, 3) und
P2 = (−1, 3, 2) .
 
 


1
2
−4
→
  −
  →


→
2.7 Bilden Sie mit den Vektoren −
a = 0 ; b = 1 ; −
c =  2  die
1
2
−2
Skalarprodukte:
−
→
−
→ →
−
→ → −
→
→
→
a) −
a · b
b) −
a − 3 b 4−
c
c) −
a + b (−
a −→
c)
−
→
→
2.8 Welchen
Winkel
die Vektoren −
a und
ein?
 schließen
 
 b


3
4
2
−10
→  
→ 
  −

 −

→
→
a) −
a = 5 , b = 1
b) −
a =  −1  , b =  −1 
1
3
2
−10
→
→
→
2.9 Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren −
e 1, −
e 2, −
e 3 ein orthonormales System bilden; d.h. die Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und besitzen die 
Länge
 1:




1
1
0
 




−
→
−
→
−
→
e 1 = √12  0  ,
e 2 = √12  0  ,
e 3 =  −1 
1
−1
0
2.6
Aufgaben zur Vektorrechnung
117
2.10 ZeigenSie: 
Die drei Vektoren




1
−2
−1
−
→


 → 


−
→
a =  4 , b =  2 , −
c =  6  bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
−2
3
1
→
2.11 Bestimmen Sie den Betrag und die Winkel, die der Vektor −
a mit den Koordinatenachsen
  einschließt:


1
5
 


→
→
b) −
a =  −2 
a) −
a = 1
1
1
2.12 Durch die drei Punkte A = (−1, 2, 4) , B = (5, 0, 0) und C = (3, 4, −2) wird
ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Winkel im
Dreieck, sowie den Flächeninhalt.
−
→
−
→
2.13 Berechnen
Sie die Komponente
des Vektors


 
 b in Richtung des Vektors a =
2
5
−2
−
→  
−
→ 



b) b =  5 
 −2  für a) b =  1 
1
3
0
→
→
2.14 Ein Vektor −
a ist durch den Betrag |−
a | = 10 und α = 30◦ , β = 60◦ , 90◦ ≤
◦
→
γ ≤ 180 festgelegt. Wie lauten die Komponenten von −
a?
2.15 Man bestimme
β, γ der Vektoren

die Richtungswinkel
 α, 
−1
4




→
→
a) −
a =  1
b) −
a =  2
4
−3
 
 


4
2
3
→   → 
  −

→
2.16 Berechnen Sie für −
a = 2, b = 3, −
c =  −2 :
1
3
0
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
a) a × b
b) a − b × (3 c )
−
−
→
→ →
−
→
−
→
→
c) (− a + 2 c ) × − b
d) (2−
a )× − b −−
c
2.17 An einem Verteilermast greifen 4 Kräfte an, die in einer Ebene liegen. Ermitteln
−
→
−
→
Sie rechnerisch den Betrag
FR= F1+
−
und die Richtung
−
der Resultierenden
−
−
→ −
→ −
→
→ → → F 2 + F 3 + F 4 , wenn F 1 = 380 N, F 2 = 400 N, F 4 = 440 N, und wenn
−
→
−
→
−
→
−
→
der Winkel zwischen F 1 und F 2 α = 80◦ , der Winkel zwischen F 2 und F 3
−
→
−
→
◦
◦
β = 120 , der Winkel zwischen F 3 und F 4 γ = 70 beträgt.


2


→
2.18 Gegeben sei ein Körper, der sich nur entlang der Richtung −
a =  1  be−2
 
20
−
→  
wegen kann. Auf diesen Körper wirkt eine Kraft F =  20  N.
10
−
→
a) Wie groß ist der Betrag der Kraft F ?
b) Welche Winkel schließen der Kraftvektor und der Richtungsvektor ein?
→
c) Welche Kraft wirkt auf den Körper in Richtung −
a?
118
2. Vektoren und Vektorrechnung
2.19 Ein starrer Körper in Form einer Kreisscheibe ist um seine Symmetrieachse
drehbar gelagert. Eine im Punkt
P angreifende Kraft
ein Drehmoment


 erzeugt

1
2
−
→ → −
→
−
→ 

 
→
M =−
r × F . Seien F =  −1  N und −
r (P ) =  1  m.
2
1
−
→
→
a) Welchen Winkel schließen −
r (P ) und F ein?
−
→
b) Man berechne das Drehmoment M und seinen Betrag.
−
→
→
c) Welche Kraft F r wirkt in Richtung −
r (P )?
2.20 Gegeben sind die Punkte A = (1, −1, 2), B = (2, 1, 3), C = (4, 0, 1). Unter
−
→
der Einwirkung der konstanten Kraft F = (1, 1, 1) bewegt sich ein Massenpunkt m von A nach B. Wie groß ist die dabei verrichtete Arbeit (Krafteinheit
1 N , Längeneinheit 1 m), falls
a) m sich auf kürzestem Weg von A nach B bewegt?
b) m sich von A nach B längs der Strecken AC und CB bewegt?
2.21 Überprüfen Sie die Ergebnisse von den Aufgaben 2.1 - 2.20 mit Maple.
2.22 Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P parallel zum
→
Vektor −
a ? Welche Punkte
gehören
 zu den Parameterwerten λ = 1, λ = 2, λ =
−1


→
−5? P = (4, 0, 3) ; −
a =  0.
−1
2.23 Man bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P1 = (1, 3, −2)
und P2 = (6, 5, 8) .
2.24 Liegen die drei Punkte P1 = (3, 0, 4) , P2 = (1, 1, 1) und P3 = (−1, 2, −2) auf
einer Geraden?
2.25 Man berechne den Abstand des Punktes Q = (4, 1, 1) von der Geraden g,
die bestimmt
  ist durch den Punkt P1 = (4, 2, 3) und den Richtungsvektor
2
 
−
→
a = 1.
3
2.26 Eine Gerade g verlaufe durch den Punkt P = (5, 3, 1) parallel zu dem Vektor
−
→
a mit den Richtungswinkeln α = 30◦ , β = 90◦ und γ mit cos γ < 0. Wie
lautet die Gleichung dieser Geraden?
2.27 Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g1 , g2 zueinander? Man bestimme gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
a) g1 durch P1 = (3, 4, 6) und P2 = (−1, −2, 4)
g2 durch P3 = (3, 7, −2) und 
P4 =
(5, 15,
−6) 
5
−2
 


→
→
→
b) g1 durch −
x =−
r 1 + λ−
a = 1+λ  1
0
3
 


6
1
−
→  


→
→
g2 durch −
x =−
r 2 + λ b =  1  + λ  −3 
5
−9
2.6
Aufgaben zur Vektorrechnung
119
 
2
 
→
c) g1 durch P1 = (1, 2, 0) mit Richtungsvektor −
a = 0
5


1
−
→ 

g2 durch P2 = (6, 0, 13) mit Richtungsvektor b =  −2 
3
2.28 Zeigen Sie, dass die beiden Geraden g1 und g2 windschief sind und berechnen
Sie ihren Abstand:


 
1
1


 
→
→
→
g1 : −
x =−
r 1 + λ−
a =  −2  + λ  1 
3
1
 
 
3
0
−
→  
 
→
→
g2 : −
x =−
r 2 +λ b = 3+λ 2
3
1
2.29 Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die denPunkt
 P1 = (3,5, 1)

1
2
−
→  
 
→
enthält und parallel zu den Richtungsvektoren −
a =  1  und b =  1 
1
3
→
verläuft? Man bestimme den Normalenvektor −
n der Ebene. Welcher Punkt
gehört zu dem Parameterpaar λ = 1, µ = 3?
2.30 Man bestimme die Gleichung der Ebene E durch die Punkte P1 = (3, 1, 0) ; P2 =
(−4, 1, 1) ; P3 = (5, 9, 3).
2.31 Liegen die vier Punkte P1 = (1, 1, 1) ; P2 = (3, 2, 0) ; P3 = (4, −1, 5) und
P4 = (12, −4, 12) in einer Ebene?
 
4
 
→
2.32 Eine Ebene verläuft senkrecht zum Vektor −
n =  3  und enthält den Punkt
1
A = (5, 8, 10) . Man bestimme die Vektorgleichung dieser Ebene.
2.33 Welche Lage haben die Gerade g und Ebene E zueinander? Man bestimme
gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.
 
3
 
→
a) g durch P1 = (5, 1, 2) mit Richtungsvektor −
a = 1
2


−1


→
E durch P0 = (2, 1, 8) mit Normalenvektor −
n =  3
1
   
 
2
2
5
 
   
→
→
b) g : −
xg =−
r (P1 ) + λ  5  =  3  + λ  5 
1
6
1



3
x−1



→
→
→
E:−
n (−
r (P ) − −
r (P0 )) =  −1   y − 1  = 0
−1
z−1
c) g durch P1 = (2, 0, 3) und P2 = (5, 6, 18)
E durch P3 = (1, −2, −2) , P4 = (0, −1, −1) und P5 = (−1, 0, −1)
2.34 Man zeige die Parallelität der beiden Ebenen und berechne ihren Abstand
120
2. Vektoren und Vektorrechnung


1


→
E1 durch P1 = (3, 5, 6) mit Normalenvektor −
n 1 =  3
−2


−3


→
E2 durch P2 = (1, 5, −2) mit Normalenvektor −
n 2 =  −9  .
6
2.35 Man bestimme Schnittgeradeund

 der beiden Ebenen
 Schnittwinkel
x−2
3

  
→
→
→
E1 : −
n 1 (−
xE −−
r (P1 )) =  1  ·  y − 5  = 0
z−6
2

  
2
x−1
  

→
→
→
E2 : −
n 2 (−
xE −−
r (P2 )) =  0  ·  y − 5  = 0.
3
z−1
 


 
2
1
3
  →

 →
 
→
2.36 Spannen die Vektoren −
a 1 =  1 , −
a 2 =  0 , −
a 3 =  1  den IR3 auf?
3
−2
1
4
2.37 Sind die
Vektoren
linear
 folgenden

  des IR 
 unabhängig?


2
0
3
5
 −1 
 
 



 −
1 →
0 →
 −2 
−
→
a1=
a 2 =  , −
a 3 =  , −
a4=
, →
.
 3
0
1
 2
0
2
4
3
4
2.38 Im IR
sind
 die Vektoren
 




 
2
0
1
0
0
 
 



 →  
0 −
1 −
 −1  −
 −2  −
5
−
→
→
→
→
a 1 =  , a 2 =  , a 3 = 
, a 4 = 
, b = 
1
2
 0
 1
2
3
3
0
0
6
−
→
→
→
→
→
gegeben. Man stelle b als Linearkombination von −
a 1, −
a 2, −
a 3, −
a 4 dar.
2.39 Untersuchen
Vektoren
desIR5auf lineare
  Sie die
 folgenden



 Abhängigkeit:

1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
 
 
 
 
 
  −
  −
  −
  −
 
−
→
→
→
→
→
a 1 =  0 , a 2 =  1 , a 3 =  0 , a 4 =  0  , a 5 = 1  .
 
 
 
 
 
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
−
→
−
→ −
→ −
→
2.40 Ist der Vektor
  b im Erzeugnis
  der Vektoren
  a 1 , a 2 ,a 3 ?
1
0
1
2
→  
  →
  →
  −
→
a) −
a 1 =  1 , −
a 2 =  1 , −
a 3 =  0 , b =  2 
0
1
0
1
 
 


 
1
0
1
1
→  
  →
  →

 −
→
b) −
a 1 =  1 , −
a 2 =  1 , −
a 3 =  0 , b =  0 
0
1
−1
0
→
→
→
2.41 Zeigen Sie, dass die Vektoren −
a 1, −
a 2, −
a 3 eine Basis des IR3 bilden und stellen
−
→
−
→
−
→ ,−
→
Sie d 
als Linearkombination
a 3 dar:
1 , a 2


 von a 


5
−2
1
3
→ 
  →

 →

 −

−
→
a 1 =  4 , −
a 2 =  −1 , −
a 3 =  2 , d =  −11 
0
−3
−3
3
Kapitel 3
Matrizen und Determinanten
3
3
3
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.3
3.3.1
3.3.2
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
3.5
3.5.1
Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen .............................................................
Einführung, spezielle Matrizen ..................................
Rechenoperationen für Matrizen ................................
Inverse Matrix ......................................................
Lineare Abbildungen...............................................
Anwendungsbeispiele ..............................................
Determinanten......................................................
Einführung ..........................................................
Rechenregeln für zweireihige Determinanten .................
n-reihige Determinanten..........................................
Anwendungen von Determinanten ..............................
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen ..................
Lineare Gleichungssysteme, Rang ...............................
Anwendungen.......................................................
MAPLE: Matrizen und Determinanten.........................
Matrizen mit MAPLE .............................................
Determinanten mit MAPLE ......................................
Rangbestimmung mit MAPLE ...................................
Anwendungen mit MAPLE .......................................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle .......................
Aufgaben zu Matrizen und Determinanten ...................
Zusätzliche Aufgaben zur Matrizen und Determinanten ...
123
123
123
125
129
133
134
138
138
139
142
147
148
148
153
159
159
161
162
163
164
166
168
3 Matrizen und Determinanten
Durch die Konstruktion der Koeffizientenmatrix in Kapitel 1 werden lineare Gleichungssysteme sehr kompakt beschrieben. In diesem Kapitel werden wir den Begriff
der Matrix und der den quadratischen Matrizen zugeordneten Determinanten nicht
nur als abkürzende Bezeichnungen kennen lernen, sondern mit ihnen Rechenoperationen durchführen, die wir dann beim Lösen von linearen Gleichungssystemen
einsetzen. Beim Anwendungsbeispiel der gekoppelten Pendel werden wir aufzeigen,
dass man mit der Beschreibung des physikalischen Systems durch die Systemmatrix
und der Berechnung der zugehörigen Determinate die Eigenfrequenzen des Systems
bestimmt.
3.1
3.1 Matrizen
Grundlegend für dieses Kapitel ist der Begriff der Matrix und das Rechnen mit Matrizen. Es
werden die Addition und die Multiplikation von Matrizen definiert sowie das Gauß-JordanVerfahren zur Berechnung der inversen Matrix eingeführt.
3.1.1 Einführung, spezielle Matrizen
Definition: Unter einer (m × n)-Matrix A = (aij )mn versteht man ein
rechteckiges Zahlenschema

a11 a12 · · · a1j · · · a1n
..
..
.. 
 ..
 .
.
.
. 


 ai1 ai2 · · · aij · · · ain 


 .

.
.
.
.
.
.
.
 .
.
.
. 
am1 am2 · · · amj · · · amn
↑
j-te Spalte

A=
← i-te Zeile
= (aij )mn
mit aij ∈ IR. Man nennt aij die Matrixelemente, i den Zeilenindex
und j den Spaltenindex.
Eine Matrix setzt sich zusammen aus ihren Spaltenvektoren (kurz: Spalten)
bzw. aus ihren Zeilenvektoren (kurz: Zeilen). Eine (m × n)-Matrix A hat n
Spalten und m Zeilen. Der Index i gibt die Nummer der Zeile und der Index
j die Nummer der Spalte an.
124
3. Matrizen und Determinanten
Beispiele 3.1:
①
②
!
53 1
A=
ist eine (2 × 3)-Matrix. Das Element a13 = 1.
20 1


0 1


B =  0 2  ist eine (3 × 2)-Matrix. Das Element b22 = 2.
4 2
Quadratische Matrizen:
Die Matrix A heißt quadratisch, wenn n = m. Falls n = m ist, nennt man
die Matrixelemente a11 , a22 , . . . , ann die Hauptdiagonale (kurz: Diagonale) der
Matrix


a11 · · · · · · · · · a1n
.. 
 .. . .
 .
.
. 


 ..
.. 
.
..
A=  .
. 


 .
. . .. 
 ..
. . 
an1 · · · · · · · · · ann
Diagonale
Spezielle quadratische Matrizen:
Eine Matrix D heißt Diagonalmatrix, wenn alle Nichtdiagonal-Elemente Null
sind. Die Einheitsmatrix In ist eine Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen
nur Elemente mit dem Wert 1 enthält.


a11 0 · · · 0


1
0

. 
 0 . . . . . . .. 


,
D=
In =  . . .  .
 . . .

 .. . . . . 0 
0
1
0 · · · 0 ann
Eine Matrix O heißt obere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb
der Diagonalen Null sind; eine Matrix U heißt untere Dreiecksmatrix, wenn
alle Elemente oberhalb der Diagonalen Null sind.




a11 · · · a1n
a11
0



. . .. 
O=
U =  ... . . .
.
. . ,
0
ann
an1 · · · ann
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn
aij = aji
für alle i, j = 1 . . . n.
Kapitel 5
Komplexe Zahlen
5
5
5
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
5.2.7
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.5
5.5.1
5.5.2
5.5.3
5.6
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung komplexer Zahlen ...................................
Algebraische Normalform .........................................
Trigonometrische Normalform ...................................
Exponentielle Normalform........................................
Umformungen der Normalformen ...............................
Komplexe Rechenoperationen ...................................
Addition .............................................................
Subtraktion .........................................................
Multiplikation .......................................................
Division ..............................................................
Potenz ...............................................................
Wurzeln ..............................................................
Fundamentalsatz der Algebra....................................
Anwendungen.......................................................
Beschreibung harmonischer Schwingungen im Komplexen.
Superposition gleichfrequenter Schwingungen................
Beschreibung von RCL-Gliedern bei Wechselströmen .......
Beispiele für RCL-Wechselstromschaltungen .................
Übertragungsverhalten elektrischer Schaltungen.............
Komplexe Zahlen mit MAPLE ...................................
Darstellung komplexer Zahlen mit MAPLE ...................
Komplexes Rechnen mit MAPLE ................................
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle .......................
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen ............
Übertragungsfunktion für lineare Ketten ......................
Beispiele .............................................................
Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen..................
Aufgaben zu komplexen Zahlen .................................
248
248
248
249
250
251
254
254
254
255
257
259
260
261
263
263
264
268
270
272
275
275
277
279
280
284
288
293
300
5 Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen stellen bei der Beschreibung von elektrischen Wechselstromschaltungen ein unverzichtbares Hilfsmittel dar. Fast jedes Lehrbuch über die Beschreibung von elektrischen Schaltkreisen hat als einleitendes Kapitel eine Einführung
in die komplexen Zahlen. Einer der Gründe liegt darin, dass einfache Regeln von
Gleichstrom-Netzwerken sich auf Wechselstrom-Schaltungen übertragen, wenn man
komplexe Widerstände einführt.
Hinweis: Auf der CD-Rom befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über die Anwendung der komplexen Zahlen bei der Beschreibung von RCL-Filterschaltungen.
Zunächst behandeln wir die Grundlagen der komplexen Zahlen innerhalb der
Mathematik und beginnen mit einer mathematischen Problemstellung: Wie
wir im Abschnitt 4.2 über Polynome bereits festgestellt haben, besitzt jedes
Polynom vom Grade n in IR höchstens n verschiedene Nullstellen. Aber schon
beim quadratischen Polynom p (x) = x2 + 1 zeigt sich, dass dieses Polynom in
IR keine Nullstellen besitzt. Löst man die Gleichung x2 + 1 = 0 formal nach x
auf, so erhält man
√
x1/2 = ± −1 ∈
/ IR.
Es hat sich als außerordentlich erfolgreich erwiesen, den Zahlenbereich der
√
reellen Zahlen zu erweitern, indem man −1 als eine neue Einheit einführt:
i :=
√
−1
(imaginäre Einheit).
Die Bezeichnung imaginäre Einheit rührt daher, dass sich die Wurzel jeder
negativen reellen Zahl als reelles Vielfache dieser Einheit darstellen lässt:
√
√
√
√
√
−5 = −1 · 5 = −1 · 5 = 5 i.
Alle reellen Vielfachen von i nennt man die imaginären Zahlen. Die Kombination von reellen und imaginären Zahlen liefern die komplexen Zahlen:
Definition: Ausdrücke der Form
c := a + i b
mit a, b ∈ IR
I := {c = a + i b; a, b ∈ IR} die
nennt man komplexe Zahlen und C
Menge der komplexen Zahlen.
248
5. Komplexe Zahlen
Für b = 0 ist die Zahl c = a + 0 i = a ∈ IR. Die reellen Zahlen sind also in den
komplexen enthalten. Die mathematische Bedeutung der komplexen Zahlen
liegt darin, dass jedes Polynom vom Grade n genau n Nullstellen besitzt (→
5.2.7 Fundamentalsatz der Algebra).
5.1
5.1 Darstellung komplexer Zahlen
Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden:
Durch die Definition der komplexen Zahlen als ”Paare” c = a + i b hat eine
komplexe Zahl zwei ”Komponenten”: eine rein reelle Komponente a und eine
imaginäre Komponente i b. Zur Darstellung von komplexen Zahlen geht man
also in die Zahlenebene über.
5.1.1 Algebraische Normalform
Komplexe Zahlen
c := a + i b
mit a, b ∈ IR
lassen sich mit Hilfe von zwei Zahlengeraden veranschaulichen (Abb. 5.1):
Wählt man ein Koordinatensystem mit Abszisse a (Vielfaches der Einheit 1)
und Ordinate i b (Vielfaches der Einheit i), so ist jede komplexe Zahl ein Punkt
dieser Ebene, der sog. Gaußschen Zahlenebene.
Abb. 5.1. Darstellung der komplexen Zahl c = a + i b.
Man nennt
a = Re (c) den Realteil von c
b = Im (c) den Imaginärteil von c.
5.1
Darstellung komplexer Zahlen
249
! Achtung: Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil einer komplexen
4
Zahl sind reelle Zahlen. Man beachte daher: Der Imaginärteil einer komplexen
Zahl c = a + i b ist nicht i b, sondern nur die reelle Größe Im (c) = b !
Man bezeichnet die Darstellung der komplexen Zahl
c = a + ib
(Algebraische Normalform)
durch Realteil und Imaginärteil als algebraische Normalform. Als den Betrag
einer komplexen Zahl definieren wir den Abstand zum Nullpunkt
|c| :=
√
a2 + b2 =
q
Re2 (c) + Im2 (c)
(Betrag von c ).
Beispiele 5.1:
①
②
c1 = 4 +
√3 i
c2 = − 2 + 2 i
,→
,→
③
c3 = − 23 − 3 i
,→
④
c4 = 1 − 3 i
,→
|c1 | = √
5.
|c2 | = q6.
|c3 | =
|c4 | =
√
45
4 .
10.
Bemerkungen:
(1) Zwei komplexe Zahlen c1 = a1 + i b1 und c2 = a2 + i b2 sind genau dann
gleich, wenn a1 = a2 und b1 = b2 . Realteil und Imaginärteil sind also zwei
eindeutig bestimmte Kenngrößen einer komplexen Zahl.
(2) Eine komplexe Zahl ist also nichts anderes als ein Punkt in der komplexen
Zahlenebene.
(3) Es ist üblich, den vom Ursprung O zum Punkte c weisenden Zeiger (Ortsvektor) ebenfalls mit c zu bezeichnen.
5.1.2 Trigonometrische Normalform
Führt man den Winkel ϕ zwischen dem komplexen Zeiger c und der positiven
IR-Achse ein, so gilt nach Abb. 5.1
cos ϕ =
a
|c|
und
sin ϕ =
b
.
|c|
Ersetzt man in der algebraischen Normalform a = |c| cos ϕ und b = |c| sin ϕ,
250
5. Komplexe Zahlen
gilt für die komplexe Zahl
c = a + i b = |c| cos ϕ + i |c| sin ϕ
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ)
(Trigonometrische Normalform).
Man nennt diese Darstellung die trigonometrische Normalform, mit
|c| dem Betrag der komplexen Zahl c und
ϕ dem Winkelargument (Winkel, Argument, Phase) von c.
Für c = 0 ist ϕ nicht erklärt! Die Phase einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig, denn bei jeder vollen Umdrehung wird die Phase um 2π bzw. um 360◦
verändert.
Beispiele 5.2:
①
c5 = 3 (cos 45◦ + i sin 45◦ ) .
②
c6 = 4 (cos 150◦ + i sin 150◦ ) .
5.1.3 Exponentielle Normalform
Ersetzen wir in der trigonometrischen Normalform (cos ϕ + i sin ϕ) durch die
von Euler (1707-1783) eingeführten Abkürzung
eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ
(Eulersche Formel),
dann lässt sich jede komplexe Zahl schreiben als
c = |c| eiϕ
(Exponentialform).
Zunächst sehen wir die Eulersche Formel nur als Abkürzung an. Per Konvention wird das Argument ϕ bei der Exponentialform immer im Bogenmaß
angegeben.
Beispiele 5.3:
①
②
③
π
Exponentielle Normalform von c5 : ϕ = 45◦ =
ˆ π4 ,→ c5 = 3 ei 4 .
5
Exponentielle Normalform von c6 : ϕ = 150◦ =
ˆ 56 π ,→ c6 = 4 ei 6 π .
Exponentielle Normalform von speziellen komplexen Zahlen:
π
3
ei 2 = i ; eiπ = −1 ; ei 2 π = −i ; e2π i = 1.
5.1
Darstellung komplexer Zahlen
251
5.1.4 Umformungen der Normalformen
Im Folgenden geben wir die Rechenschritte zur Umformung von den einzelnen
Normalformen an. Bei den komplexen Rechenoperationen wählen wir dann
immer die geeignete Normalform aus.
Exponentialdarstellung Trigonometrische Normalform:
Ist eine komplexe Zahl c in der Exponentialform c = |c| eiϕ gegeben, so folgt
mit der Eulerschen Formel direkt die trigonometrische Normalform
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) .
Ist die komplexe Zahl c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) in der trigonometrischen Normalform gegeben, so folgt mit der Eulerschen Formel c = |c| eiϕ . Gegebenenfalls
muss ϕ vom Grad- ins Bogenmaß umgerechnet werden.
Beispiele 5.4:
①
②
3
◦
◦
c7 = √
5 ei 4 π ,→ ϕ = 34 π =135
ˆ
. ⇒ c7 = 5 (cos 135◦ + i sin
).
√ 135
iπ
◦
◦
◦ π
3
ˆ 3 . ⇒ c8 = 2 e .
c8 = 2 (cos 60 + i sin 60 ) ,→ ϕ = 60 =
Trigonometrische Normalform Algebraische Normalform:
Ist die komplexe Zahl c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) in der trigonometrischen Normalform gegeben, folgt durch Ausmultiplizieren und Auswerten der trigonometrischen Funktionen die algebraische Normalform:
c = |c| cos ϕ + i |c| sin ϕ
mit dem Realteil |c| cos ϕ und dem Imaginärteil |c| sin ϕ.
Ist die komplexe Zahl in der algebraischen Normalform c = a + i b gegeben,
folgt die trigonometrische Normalform, indem der Betrag |c| und der Winkel
ϕ bestimmt werden:
√
|c|
=
a2 + b2
tan ϕ
=
! Achtung:
4
b
⇒ ϕ.
a
Bei der Berechnung des Winkels tan ϕ = ab durch die Umkehrfunktion arctan ist zu beachten, dass der Winkel nur im Bereich [− π2 , π2 ]
angegeben wird (siehe Kap. 4.7). Der Winkel ϕ muss dann anhand einer Skizze
im Bereich [0, 2 π] spezifiziert werden.
252
5. Komplexe Zahlen
Beispiele 5.5:
①
②
√ √
√
√
c9 = 5 (cos 135◦ + i sin 135◦ ) = 5 − 21 2 + i 5 12 2 = − 52 2 + i 25 2.
√
√
c10 = 4 2 + i 4 2.
√
√
,→ |c10 | = 16
64 = 8,
√ · 2 + 16 · 2 =
& tan ϕ = 44√22 = 1 ,→ ϕ = 45◦ =
ˆ π4 .
π
c10 = 8 (cos 45◦ + i sin 45◦ ) = 8 ei 4 .
⇒
③
√
√
c11 = −4 2 − i 4 2.
√
√
,→ |c11 | = 16√· 2 + 16 · 2 = 64 = 8,
√2 = 1
,→ ϕ = 45◦ + 180◦ = 225◦ =
ˆ 54 π.
& tan ϕ = −4
−4 2
⇒
④
5
c11 = 8 (cos 225◦ + i sin 225◦ ) = 8 ei 4 π .
√
c12 = 3 − i.
√
,→ |c12 | = 3 + 1 = 2,
√
−1
& tan ϕ = √
= − 13 3
3
⇒
,→ ϕ = −30◦ = 330◦ =
ˆ 11
6 π.
11
c12 = 2 (cos 330◦ + i sin 330◦ ) = 2 ei 6 π .
Die komplex konjugierte Zahl
Um die Division von zwei komplexen Zahlen zu bestimmen, benötigen wir noch einen
neuen Begriff. Wir führen hierfür zu der komplexen Zahl c die komplex konjugierte
Zahl c∗ ( bzw. c̄) ein, die aus c durch Spiegelung an der reellen Achse hervorgeht:
Abb. 5.2. c und c*
Definition: c∗ := a − i b heißt die zu c = a + i b komplex konjugierte
Zahl.
5.1
Darstellung komplexer Zahlen
253
Aufgrund der Definition der komplex konjugierten Zahl folgt
c = a + ib
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ)
c = |c| eiϕ
⇒
⇒
⇒
c∗ = a − i b.
c∗ = |c| (cos ϕ − i sin ϕ) .
c∗ = |c| e−iϕ .
Man erhält also die zu c komplex konjugierte Zahl sehr einfach, indem man
∗
formal i durch −i ersetzt. Es gilt damit natürlich (c∗ ) = c.
Zusammenfassung:
Die imaginäre Einheit
i :=
√
−1
ist definiert durch die Ei-
genschaft i2 = −1.
Für komplexe Zahlen gibt es 3 Normalformen:
(1) c = a + i b
algebraische Normalform
mit a = Re (c) (Realteil) und b = Im (c) (Imaginärteil).
(2) c = |c| · (cos ϕ + i sin ϕ)
trigonometrische Normalform
√
b
2
2
mit |c| = a + b (Betrag) und tan ϕ =
(Winkel).
a
(3) c = |c| eiϕ
Exponentialform
ϕ wird hierbei im Bogenmaß angegeben.
Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene graphisch
darstellen.
Die zu c komplex konjugierte Zahl c∗ lautet
c∗ = a − i b = |c| (cos ϕ − i sin ϕ) = |c| e−iϕ .
254
5.2
5. Komplexe Zahlen
5.2 Komplexe Rechenoperationen
Was unter Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer Zahlen zu verstehen ist, wird nicht durch die Konstruktion der komplexen Zahlen
festgelegt. Man muss diese Verknüpfungen neu definieren; aber natürlich so,
dass für den Spezialfall Imaginärteil gleich Null die bereits festgelegten Verknüpfungen in IR herauskommen.
Seien im Folgenden c1 = a1 + i b1 und c2 = a2 + i b2 zwei beliebige komplexe
Zahlen. Dann definiert man:
5.2.1 Addition
c1 + c2 := (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 )
Die Addition zweier komplexer Zahlen bedeutet die Addition der Realteile und
die Addition der Imaginärteile. Die Addition wird in der algebraischen Normalform durchgeführt.
Beispiele 5.6:
➀ c1 = 9 − 2 i, c2 = 4 + i.
c1 + c2 = (9 + 4) + i (−2 + 1) = 13 − i.
➁ c1 = 3(cos 30◦ + i sin 30◦ ), c2 = 4 + i. Um c1 und c2 zu addieren, muss die
Zahl c1 erst in die algebraische Normalform umgeformt werden:
c1 = 3 cos 30◦ + i 3 sin 30◦ = 2, 598 + i 1, 5.
⇒ c1 + c2 = (2, 598 + i 1, 5) + (4 + i) = 6, 598 + i 2, 5.
5.2.2 Subtraktion
c1 − c2 := (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 )
Die Subtraktion zweier komplexer Zahlen bedeutet die Subtraktion der Realteile und die Subtraktion der Imaginärteile. Die Subtraktion wird in der
algebraischen Normalform durchgeführt.
Beispiele 5.7:
➀ c1 = 9 − 2 i, c2 = 4 + i.
c1 − c2 = (9 − 2 i) − (4 + i) = 9 − 4 + i (−2 − 1) = 5 − i 3.
5.2
Komplexe Rechenoperationen
255
π
➁ c1 = 2 e 4 i , c2 = 4 − 2 i. Um c1 und c2 voneinander zu subtrahieren, wird
c1 erst in die algebraische Normalform umgeformt:
π
ϕ = π4 =45
ˆ ◦ ,→ c1 = 2 e 4 i = 2 (cos 45◦ + i sin 45◦ )
=2
1√
1√
2 + i2
2 = 1, 414 + i 1, 414.
2
2
⇒ c1 − c2 = (1, 414 + i 1, 414) − (4 − 2 i) = −2, 586 + 3, 414 i.
Geometrische Interpretation. Da die Addition und Subtraktion zweier
komplexer Zahlen analog den entsprechenden Regeln der Vektorrechnung erfolgen (nämlich komponentenweise), entspricht die graphische Darstellung der
Rechenoperationen dem Kräfteparallelogramm, also der Vektoraddition bzw.
-subtraktion.
Abb. 5.3. Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
Bemerkung: Obwohl eine komplexe Zahl nur einen Punkt in der komplexen
Zahlenebene darstellt, wird wegen obiger Interpretation der ”Vektoraddition”
eine komplexe Zahl oftmals mit dem Zeiger (Ortsvektor) identifiziert.
5.2.3 Multiplikation
c1 · c2 := (a1 a2 − b1 b2 ) + i (a1 b2 + b1 a2 )
Diese Formel für die Multiplikation ergibt sich, wenn (a1 + i b1 ) · (a2 + i b2 )
nach dem Distributivgesetz für reelle Zahlen gliedweise ausmultipliziert und
die Definition von i2 = −1 ausgenutzt wird:
c1 · c2
=
=
=
=
(a1 + i b1 ) · (a2 + i b2 )
(a1 a2 + a1 i b2 + i b1 a2 + i b1 i b2 )
a1 a2 + i2 b1 b2 + i a1 b2 + i b1 a2
(a1 a2 − b1 b2 ) + i (a1 b2 + b1 a2 ) .
256
5. Komplexe Zahlen
Beispiele 5.8:
➀ c1 = 9 − 2 i, c2 = 4 + i.
c1 · c2 = (9 − 2 i) (4 + i) = (36 + 2) + i (9 − 8) = 38 + i.
➁ Für das Produkt von c = a + i b mit der komplex konjugierten Zahl c∗ =
a − i b gilt
2
c · c∗ = (a + i b) (a − ib) = a2 + b2 = |c| .
Damit erhält man folgende wichtige Formel für |c|:
|c| =
√
a2 + b2 =
√
c · c∗
Geometrische Interpretation: Zur geometrischen Interpretation führen wir
die Multiplikation nochmals aus, jetzt allerdings gehen wir von der trigonometrischen Normalform von
c1 = |c1 | (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
und c2 = |c2 | (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
aus. Gliedweises ausmultiplizieren liefert
c1 · c2 = |c1 | (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · |c2 | (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
= |c1 | |c2 | {[cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ] + i [sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 ]}.
Wenden wir nun die Additionstheoreme für cos (ϕ1 + ϕ2 ) und sin (ϕ1 + ϕ2 )
aus Kapitel 4.6.4 an:
cos (ϕ1 + ϕ2 )
sin (ϕ1 + ϕ2 )
=
=
cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2
sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 ,
so erhalten wir als Produkt
c1 · c2 = |c1 | · |c2 | · (cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )) .
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet die Multiplikation der
Beträge und die Addition der Winkel. Dadurch kann der Punkt c1 ·c2 leicht
in der Gaußschen Zahlenebene konstruiert werden.
Für die Darstellung in der Exponentialform folgt
c1 · c2 = |c1 | eiϕ1 · |c2 | eiϕ2 = |c1 | |c2 | ei(ϕ1 +ϕ2 ) .
Dies entspricht genau der Eigenschaft der reellen Exponentialfunktion:
ex1 · ex2 = ex1 +x2 .
5.2
Komplexe Rechenoperationen
257
Abb. 5.4. Multiplikation zweier komplexer Zahlen
5.2.4 Division
c1 a1 a2 + b1 b2
b1 a2 − a1 b2
:=
+i
c2 (a2 )2 + (b2 )2
(a2 )2 + (b2 )2
für c2 6=0
Diese Formel für die Division ergibt sich, wenn man formal
und Zähler bzw. Nenner ausmultipliziert:
c1
c2
mit c∗2 erweitert
c1
c1 c∗2
a1 + i b1 a2 − i b2
(a1 + i b1 ) (a2 − i b2 )
=
· ∗ =
·
=
c2
c2 c2
a2 + i b2 a2 − i b2
(a2 + i b2 ) (a2 − i b2 )
=
(a1 a2 + b1 b2 ) + i (b1 a2 − a1 b2 )
.
(a2 )2 + (b2 )2
! Auch in C
I ist die Division durch 0 = 0 + i 0 nicht erlaubt!
4
Geometrische Interpretation: Führt man die Division in der trigonometrischen Normalform durch, so erhält man unter Verwendung der trigonometrischen Formeln für cos (ϕ1 − ϕ2 ) und sin (ϕ1 − ϕ2 ) analog dem Vorgehen unter
Abschnitt 5.2.3
c1
|c1 | (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
|c1 |
=
=
(cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 ))
c2
|c2 | (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
|c2 |
sowie
c1
|c1 | eiϕ1
|c1 | i(ϕ1 −ϕ2 )
=
=
e
.
c2
|c2 | eiϕ2
|c2 |
Bei der Quotientenbildung zweier komplexer Zahlen werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert. Damit ist cc12 ebenfalls in der Gaußschen
Zahlenebene geometrisch zu konstruieren.
258
5. Komplexe Zahlen
Beispiele 5.9:
➀ c1 = 9 − 2 i, c2 = 4 + i.
Um cc12 zu berechnen, erweitern wir den Quotienten mit c∗2 und multiplizieren Zähler und Nenner aus:
9 − 2i 4 − i
(9 · 4 − 2 · 1) + i (−2 · 4 − 9 · 1)
c1
=
·
=
= 2 − i.
c2
4+i 4−i
17
4
➁ c1 = 8 ei 3 π , c2 = 4 (cos 60◦ + i sin 60◦ ) .
Um cc12 zu berechnen, stellen wir c2 in der Exponentialform dar. Da 60◦ =
ˆ π3
gilt
π
c2 = 4 (cos 60◦ + i sin 60◦ ) = 4 ei 3 .
Damit folgt
4
4
π
8 ei 3 π
c1
=
= 2 ei( 3 π− 3 ) = 2 eiπ = −2.
π
i
c2
4e 3
√
√
Beispiel 5.10. Gegeben seien c1 = 1 + i 3 und c2 = − 3 + 3 i. Man berechne
(i) c1 · c2 und (ii) cc21 . (iii) Man bestimme die exponentielle Normalform der
Zahlen und führe nochmals die (iv) Multiplikation bzw. (v) die Division durch.
√ √
√
√ √
(i) c1 · c2 = 1 + i 3 − 3 + 3 i = − 3 − 3 3 + i (3 − 3) = −4 3.
√
√
√
√
√
− 3 + 3 3 − 3i − 3i
c1
1 + i 3 − 3 − 3i
3 1
= √
· √
=
=
− i.
(ii)
c2
3
+
9
6
2
− 3 + 3i − 3 − 3i
(iii) Darstellung von c1 und c2 in exponentieller Normalform
√
√
√
π
ˆ π3 ⇒ c1 = 2 ei 3 .
|c1 | = 1 + 3 = 2; tan ϕ = 13 = 3 ⇒ ϕ = 60◦ =
√
√
2
|c2 | = 2 3; tan ϕ = − √33 ⇒ ϕ = π − π3 = 23 π ⇒ c2 = 2 3 ei 3 π .
√
√
√
π
2
(iv) c1 · c2 = 2 ei 3 · 2 3 ei 3 π = 4 3 eiπ = −4 3.
√ −i π
2
c1
i( π
2
3 − 3 π) = 1
(v)
= 2√
e
3e 3.
3
3
c2
Zusammenfassung:
Addition, Subtraktion und Multiplikation werden formal wie bei reellen
Zahlen ausgeführt, wobei i2 = −1 zu ersetzen ist.
Die Division cc12 wird durch Erweiterung mit c∗2 berechnet. Die Ergebnisse
werden in die Form a + i b (a, b ∈ IR) gebracht.
Multiplikation und Division lassen sich in der trigonometrischen bzw. exponentiellen Normalform sehr einfach ausführen: Bei der Multiplikation
werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert, während bei der
Division die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert werden.
5.2
Komplexe Rechenoperationen
259
5.2.5 Potenz
Die Potenz cn (n ∈ IN) einer komplexen Zahl gestaltet sich in der trigonometrischen bzw. exponentiellen Normalform als besonders einfach. Gehen wir von
der komplexen Zahl c in der exponentiellen Normalform aus: c = |c| eiϕ . Dann
gilt
2
c2 = c · c = |c| eiϕ |·c| eiϕ = |c| ei 2 ϕ
2
3
c3 = c2 · c = |c| ei 2 ϕ · |c| eiϕ = |c| ei 3 ϕ
usw.
Durch vollständige Induktion weist man direkt nach, dass gilt
c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ)
n
cn = |c| (cos (n ϕ) + i sin (n ϕ))
⇒
bzw.
c = |c| eiϕ
n
cn = |c| ei n ϕ .
⇒
Diese sog. Moivresche Formel besagen, dass man cn dadurch erhält, indem der
Betrag potenziert und der Winkel mit n multipliziert wird.
Beispiele 5.11:
√
√ 5
➀ Gesucht ist 2 2 + i 2 2 . √
√
Um die komplexe Zahl c = 2 2 + i 2 2 mit 5 zu potenzieren, müssen wir
sie zuerst in der exponentiellen Normalform darstellen:
)
√
√
|c| = 4 ·√2 + 4 · 2 = 16 = 4
π
⇒ c = 4 ei 4
tan ϕ = 22√22 = 1 ,→ ϕ = π4
π
5
⇒ c5 = 45 ei 4 ·5 = 1024 ei 4 π .
√
6
➁ Gesucht ist
3−i .
√
i 11
6 π.
Nach Beispiel 5.5 ④ ist
c = 3 − i = 2e
11
⇒ c6 = 2 ei 6 π
6
11
= 26 ei 6 π·6 = 64 ei 11π = −64.
260
5. Komplexe Zahlen
5.2.6 Wurzeln
Für c = |c| (cos ϕ + i sin ϕ) = |c| eiϕ ist die n-te Wurzel (n ∈ IN) gegeben
durch
p
ϕ + k · 360◦
ϕ + k · 360◦
1
c n = { n |c| cos
+ i sin
;
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1}
p
ϕ+k·2π
{ n |c| ei n ; k = 0, 1, 2, . . . , n − 1},
=
(∗)
p
wenn n |c| die reelle n-te Wurzel von |c| ≥ 0.
Begründung: Um zu zeigen, dass die komplexen Zahlen
p
ϕ+k 2π
Wk := n |c| ei n ; k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
n
n-te Wurzel von c sind, genügt es zu zeigen, dass (Wk ) = c. Denn die nte Wurzel einer komplexen Zahl hat die universelle Eigenschaft, dass sie zur
n-ten Potenz genommen genau c ergeben muss! Dies ist aber aufgrund der
Rechenregeln für das Potenzieren offensichtlich:
p n ϕ+k 2π
n
(Wk ) = n |c| ei n ·n = |c| ei(ϕ+k 2π) = |c| eiϕ ,
wenn man beachtet, dass ei(ϕ+k 2π) = eiϕ für k ∈ IN ist.
Die n-ten Wurzeln Wk sind für k = 0, . . . , n − 1 voneinander verschieden, wiederholen sich aber für k ≥ n. Man beachte also, dass die n-te Potenz einer
komplexen Zahl eindeutig, die n-ten Wurzeln aber mehrdeutig sind.
Beispiele 5.12:
π +k·2π
√
√ 1
√
π 1
4
➀
4 2 + i 4 2 3 = 8 ei 4 3 = { 3 8 ei 3
; k = 0, 1, 2}
π
9
17
= {2 ei 12 , 2 ei 12 π , 2 ei 12 π }.
√
1
1
π+k·2π
➁
(−1) 5 = 1 eiπ 5 = { 5 1 ei 5 ; k = 0, 1, 2, 3, 4}
π
3
7
9
= {ei 5 , ei 5 π , eiπ , ei 5 π , ei 5 π }.
Sonderfall: Die n-ten Wurzeln aus 1: Jede komplexe Lösung von Z n = 1
heißt n-te Einheitswurzel. Mit Formel (∗) folgt für c = 1:
1
1 n = 1 ei0
n1
2π
4π
= {1 , ei n , ei n , . . . , ei
2π (n−1)
n
}.
Der Betrag dieser Zahlen ist jeweils 1, d.h. die n-ten Einheitswurzeln liegen
auf dem Einheitskreis. Die Differenz der Winkel ist jeweils 2π
n , so dass sie nacheinander durch Drehung um 2π
aus
der
1
hervorgehen.
n
5.2
Komplexe Rechenoperationen
261
Beispiel 5.13. Gesucht sind alle 9.-ten Einheitswurzeln:
√
1
0+k 2π
1
1 ei0 9 = { 9 1 ei 9 ; k = 0, . . . , 8}
(1) 9 =
4π
16
2π
= {1 e0 , ei 9 , ei 9 , . . . , ei 9 π }.
Abb. 5.5. 9.-te Einheitswurzel von c = 1
Satz: Für n > 1 gilt:
n−1
X
ϕ + k · 2π
n
e
= 0.
i
k= 0
Begründung: Dieser Satz ist aufgrund seiner geometrischen Eigenschaft ofϕ+k·2π
fensichtlich, da ei n
die n-te Einheitswurzel der komplexen Zahl eiϕ darstellt. Summiert man alle n Einheitswurzeln auf (Vektoraddition), so ergibt die
Summe Null; formal erhält man diese Aussage über die geometrische Reihe,
denn
n
2π
n−1
n−1 2π k
1− ei n
P i ϕ+k·2π n−1
P i ϕ i k 2π
ϕ P
ϕ
i
i
i
e n =
e ne n =e n
e n
=e n
= 0,
2π
1− ei n
k= 0
k= 0
k= 0
n
2π
da 1 − ei n
= 1 − ei2π = 1 − 1 = 0.
Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befinden sich Worksheets, um komplexe Zahlen und die komplexen Rechenoperationen
graphisch darzustellen bzw. in Form von Animationen zu visualisieren.
5.2.7 Fundamentalsatz der Algebra
Wir interpretieren die Mehrdeutigkeit der n-ten Wurzel folgendermaßen: Jedes
I
Polynom n-ten Grades der Form p (z) = z n − a (n ∈ IN, a ∈ C)
hat genau
n Nullstellen, nämlich die n-ten Wurzeln von a. Diese Eigenschaft lässt sich
auf beliebige komplexe Polynome vom Grade n verallgemeinern. Dies ist der
Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra, der auf F. Gauß (1797) zurückgeht:
262
5. Komplexe Zahlen
Satz: Jedes komplexe Polynom n-ten Grades
p (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
I an 6= 0, z ∈ C)
I
(ak ∈ C,
besitzt genau n Nullstellen.
Zusatz: Sind die Koeffizienten von p (z) reell (d.h. ak ∈ IR), so sind die
Nullstellen reell oder sie treten paarweise komplex konjugiert auf.
Der Fundamentalsatz stellt zwar sicher, dass jedes Polynom n-ten Grades n
Nullstellen besitzt, er sagt aber nichts darüber aus, wie diese Nullstellen zu
finden sind. Es gibt auch im Komplexen außer in einfachen Spezialfällen keine
allgemeine Formel, wie die Nullstellen berechnet werden können. Somit bleibt
wie im Reellen: Entweder die Nullstellen zu erraten und durch Polynomdivision den Grad zu reduzieren oder sie numerisch zu bestimmen.
Beispiel 5.14. Gesucht sind die Nullstellen von p(z) = z 3 − 2 z − 4.
Der Fundamentalsatz besagt, dass es genau 3 Nullstellen gibt. Um eine Nullstelle zu erhalten, probieren wir z = 0, ±1, ±2 : ,→ z = 2 ist eine Nullstelle.
Polynomdivision:
(z 3
−2z −4) : (z − 2) = z 2 + 2z + 2.
3
2
z
−2z
2z 2 −2z
2z 2 −4z
2z −4
2z −4
0
⇒ z 3 − 2 z − 4 = (z − 2) z 2 + 2 z + 2 .
√
Die quadratische Formel liefert z2/3 = −1 ± 1 − 2 = −1 ± i.
Die Nullstellen des Polynoms sind also: 2 , −1 + i , −1 − i.
Bemerkung: Der Zusatz zum Fundamentalsatz lässt sich direkt nachrechnen:
Ist p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ein reelles Polynom und z0 eine
Nullstelle von p, dann ist z0∗ ebenfalls eine Nullstelle von p:
p(z0∗ )
=
=
=
n
an (z0∗ ) + an−1 (z0∗ )n−1 + . . . + a1 z0∗ + a0
∗
∗
∗
an (z0n ) + an−1 z0n−1 + . . . + a1 (z0 ) + a0
∗
∗
an z0n + an−1 z0n−1 + . . . + a1 z0 + a0 = (p (z0 )) = 0∗ = 0.
5.3
Anwendungen
263
5.3
5.3 Anwendungen
5.3.1 Beschreibung harmonischer Schwingungen im Komplexen
Das aus der Mechanik bekannte Federpendel hat die Eigenschaft, dass bei
einer ungedämpften Schwingung die Auslenkung aus der Ruhelage s(t) den
zeitlichen Verlauf
q s(t) = A cos(ωt + ϕ) besitzt. Das System schwingt mit der
D
Frequenz ω =
m , wenn D die Federkonstante und m die Masse ist. Diese
Funktion besitzt eine zeitlich konstante Maximalamplitude A und die Nullphase ϕ. Die Schwingungsdauer beträgt T = 2π
ω . Eine periodische Bewegung
mit einer Frequenz ω und zeitlich konstanter Maximalamplitude A nennt man
harmonische Schwingung. Das zum Federpendel elektrische Analogon ist
der Spannungsverlauf q
U (t) = U0 cos(ωt + ϕ) in einem LC-Wechselstromkreis
√
1
bzw. der Schwingungsdauer T = 2π LC.
mit der Frequenz ω = LC
Zur Beschreibung von harmonischen Schwingungen im Komplexen betrachten wir zunächst die
komplexe Zahl
c = cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ .
Da |c| = 1, ist c eine Zahl auf dem Einheitskreis.
Projiziert man den Punkt c auf die reelle Achse,
erhält man den Realteil von c: Re(c) = cos ϕ;
projiziert man den Punkt c auf die imaginäre
Achse, so erhält man den Imaginärteil von c:
Im(c) = sin ϕ.
Variiert der Winkel ϕ als Funktion der Zeit ϕ = ω · t
iϕ
Kreisfrequenz), durchläuft e
komplexen Ebene.
iωt
=e
(ω =
2π
T
konstante
für 0 ≤ t ≤ T den Einheitskreis in der
cos ωt und sin ωt sind die Projektionen des komplexen Zeigers eiωt
auf die reelle bzw. auf die imaginäre Achse.
Visualisierung mit Maple: Auf der CD-Rom befindet sich die Prozedur projektion, welche die Projektionen von eiωt auf die x- bzw.
y-Achse zeichnet. Der im Einheitskreis laufenden Zeiger eiωt wird zusammen
mit seinem Real- und Imaginärteil animiert dargestellt, indem die Variable t
von 0 bis 2π
T variiert.
264
5. Komplexe Zahlen
Mit einer Nullphase ϕ0 folgt die komplexe Darstellung in der Form
cos (ωt + ϕ0 )
sin (ωt + ϕ0 )
=
=
Re ei(ωt+ϕ0 ) Im ei(ωt+ϕ0 ) .
Allgemein lässt sich damit eine harmonische Schwingung y(t) im Komplexen
schreiben als
ŷ (t)
= A (cos (ωt + ϕ0 ) + i sin(ωt + ϕ0 ))
= A ei(ωt+ϕ0 ) = A eiϕ0 eiωt .
Also ist die komplexe Beschreibung einer harmonischen Schwingung
ŷ (t) = A eiϕ0 eiωt
gegeben durch die komplexe Amplitude A eiϕ0 und dem reinen Zeitanteil eiωt .
5.3.2 Superposition gleichfrequenter Schwingungen
Im Folgenden werden wir die Überlagerung (Superposition) zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen im Komplexen berechnen. Gegeben
5.3
Anwendungen
265
seien z.B. zwei Wechselspannungen
u1 (t) = u1 sin (ωt + ϕ1 )
u2 (t) = u2 sin (ωt + ϕ2 ) .
Gesucht ist die Überlagerung
u (t) = u1 (t) + u2 (t) = A sin (ωt + ϕ)
mit Amplitude A und Phase ϕ.
Zur Berechnung der Überlagerung interpretieren wir u1 (t) als Imaginärteil
der komplexen Schwingung û1 (t) = u1 ei(ωt+ϕ1 ) und u2 (t) als Imaginärteil
von û2 (t) = u2 ei(ωt+ϕ2 ) und führen die Überlagerung im Komplexen durch.
Anschließend nehmen wir von dem Ergebnis die imaginäre Komponente; sie
entspricht dann u1 (t) + u2 (t) .
Methode:
u1 (t) + u2 (t) = Im û1 (t) + Im û2 (t) = Im (û1 (t) + û2 (t)) = Im û (t) = u (t) .
Übergang
−−−−−−−−−−−−→
ins Komplexe
û1 (t)
û2 (t)
=
=
u1 ei(ωt+ϕ1 ) = u1 eiϕ1 eiωt ,
u2 ei(ωt+ϕ2 ) = u2 eiϕ2 eiωt .
Komplexe
−−−−−−−−−→
Addition
û(t)
=
û1 (t) + û2 (t)
=
=
=
u1 eiϕ1 eiωt + u2 eiϕ2 eiωt
u1 eiϕ1 + u2 eiϕ2 eiωt
A eiϕ eiωt = A ei(ωt+ϕ) .
Die komplexe Amplitude der Superposition A eiϕ ergibt sich als Summe der
beiden Einzelamplituden u1 eiϕ1 und u2 eiϕ2 . Die Überlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen entspricht der vektoriellen Addition der komplexen
Amplituden. Die komplexe Addition kann damit sowohl zeichnerisch als auch
rechnerisch durchgeführt werden.
Übergang
−−−−−−−−−→
ins Reelle
u (t) = u1 (t)+u2 (t) = Im A ei(ωt+ϕ) = A sin (ωt + ϕ) .
Bemerkungen:
(1) Auf dieselbe Weise erhält man die Überlagerung zweier Kosinusschwingungen u1 (t) = u1 cos (ωt + ϕ1 ) , u2 (t) = u2 cos (ωt + ϕ2 ) , indem diese
Schwingungen als Realteil der entsprechenden
komplexen Schwingungen
interpretiert werden. u (t) = Re A ei(ωt+ϕ) liefert dann den Kosinusanteil der Superposition.
266
5. Komplexe Zahlen
Abb. 5.6. Graphische Addition der komplexen Amplituden
(2) Ist eine Schwingung in Kosinusdarstellung u1 (t) = a1 cos (ωt + ϕ1 ) und
die andere in der Sinusdarstellung u2 (t) = a2 sin (ωt + ϕ2 ) gegeben, so
muss eine gemeinsame Darstellungsform gewählt werden. Entweder man
schreibt
π
u1 (t) = a1 cos (ωt + ϕ1 ) = a1 sin ωt + ϕ1 +
2
und führt die Überlagerung in der Sinusform durch oder man schreibt
π
u2 (t) = a2 sin (ωt + ϕ2 ) = a2 cos ωt + ϕ2 −
2
für die andere Schwingung und führt die Überlagerung in der Kosinusform
durch.
(3)
! Achtung: Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen un4
terschiedlicher Frequenzen führt i.A. nicht mehr zu einer periodischen
Funktion. Nur im Fall, dass das Verhältnis der Frequenzen eine gebrochenrationale Zahl ist, erhält man wieder eine periodische Funktion, aber
auch dann keine harmonische mehr. Siehe auch das zugehörige MapleWorksheet.
Zusammenfassend gilt also
Satz: Besitzen zwei harmonische Schwingungen die gleiche Frequenz ω
u1 (t) = u1 sin (ωt + ϕ1 ) , u2 (t) = u2 sin (ωt + ϕ2 ) ,
dann ist die Superposition wieder eine harmonische Schwingung mit
u (t) = u1 (t) + u2 (t) = A sin (ωt + ϕ) .
5.3
Anwendungen
267
Beispiel 5.15 (Mit Maple-Worksheet). Gesucht ist die Überlagerung der
beiden Wechselspannungen
π
u1 (t) = 4 sin(2 t) und u2 (t) = 3 cos 2 t −
.
6
Bevor man diese beiden harmonischen Funktionen überlagert, stellt man z.B.
u2 (t) als Sinusfunktion dar:
π
π π
π
u2 (t) = 3 cos 2 t −
= 3 sin 2 t − +
= 3 sin 2 t +
.
6
6
2
3
Übergang
−−−−−−−−−−→
ins Komplexe
û1 (t) = 4 ei 2 t
π
π
û2 (t) = 3 ei(2 t+ 3 ) = 3 ei 3 ei 2 t .
Komplexe
−−−−−−−−→
Addition
û (t)
=
û1 (t) + û2 (t)
=
π
π
4 ei 2 t + 3 ei 3 ei 2 t = 4 + 3 ei 3 ei 2 t .
Addition der komplexen Amplituden in der algebraischen
√ Normalform
π
π
1
1
iπ
3
c = 4 + 3 e = 4 + 3 cos 3 + i sin 3 = 4 + 3 2 + i 2 3 = 5, 5 + i 2, 6.
Darstellung
von c in Exponentialform
p
|c| = 5, 52 + 2, 62 = 6, 08 ,
2,6
c
tan ϕ = Im
,→ ϕ = 25, 28◦ =0.44
ˆ
.
Re c = 5,5
iϕ
⇒ c = A e mit A = 6, 08 ϕ = 0.44
⇒ û (t) = 6, 08 ei 0.44 ei 2 t = 6, 08 ei (2 t+0.44) .
Übergang
−−−−−−−→
ins Reelle
u (t) = Im û (t) = 6, 08 sin (2 t + 0.44) .
In Abb. 5.7 ist die Überlagerung der beiden Schwingungen graphisch dargestellt:
Abb. 5.7. Überlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen
Dieses Verfahren lässt sich leicht auf den Fall der Überlagerung von mehr als
zwei harmonischen Schwingungen mit gleichen Frequenzen übertragen.
268
5. Komplexe Zahlen
5.3.3 Beschreibung von RCL-Gliedern bei Wechselströmen
Wir betrachten elektrische Netzwerke, die sich aus Ohmschen Widerständen,
Kapazitäten und Induktivitäten zusammensetzen. In Wechselstromkreisen besitzen die Spannungen U (t) und die Ströme I(t) zeitlich einen sinus- oder
kosinusförmigen Verlauf:
U (t) = U0 cos(ωt + ϕ1 ) ,
I (t) = I0 cos (ωt + ϕ2 ) .
Wir gehen zu der komplexen Formulierung über und fassen sie als Realteile
der komplexen Funktionen
Û (t)
Iˆ (t)
=
=
U0 ei(ωt+ϕ1 )
I0 ei(ωt+ϕ2 )
=
=
U0 eiϕ1 eiωt
I0 eiϕ2 eiωt
=
=
Û0 eiωt
Iˆ0 eiωt
auf. Im Folgenden zeigen wir, dass sich das Ohmsche Gesetz auf die induktiven
und kapazitiven Schaltelemente überträgt, wenn man diese komplexe Formulierung wählt.
(1) Ohmscher Widerstand R. Für einen Ohmschen Widerstand ist der
Zusammenhang zwischen Spannung und Strom gegeben durch U (t) = R I(t).
ˆ = Iˆ0 eiωt .
Dieses Gesetz gilt auch für einen komplexen Wechselstrom I(t)
,→ Û (t) = R Iˆ0 eiωt = R Iˆ (t) .
Ein Ohmscher Widerstand wird durch den reellen Widerstand R beschrieben.
Strom und Spannung sind in Phase.
(2) Kapazität C. Bei einem Kondensator mit Kapazität C besteht folgender
Zusammenhang zwischen Ladung Q und angelegter Spannung U :
Q=C ·U
,→
I(t) =
d
Q (t) = C · U̇ (t).
dt
Speziell für Û (t) = Û0 eiωt folgt
0
ˆ = C · Û0 eiωt = C · Û0 eiωt iω = C · iω Û (t).
I(t)
Also ist der komplexe Widerstand
R̂C :=
Û (t)
1
1
=
= −i
.
iωC
ωC
Iˆ (t)
Einer Kapazität wird der komplexe Widerstand R̂C =
nung und Strom sind um −90◦ verschoben.
1
iωC
zugeordnet. Span-
5.3
Anwendungen
269
(3) Induktivität L. Bei einer Spule mit Induktivität L ist der Zusammenhang
zwischen Strom und induzierter Spannung durch das Induktionsgesetz
U (t) = L
d I (t)
dt
gegeben. Speziell für Iˆ (t) = Iˆ0 eiωt folgt
0
Û (t) = L Iˆ0 eiωt = L Iˆ0 eiωt iω = iωL Iˆ (t) .
Einer Spule mit Induktivität L wird der komplexe Widerstand
R̂L :=
Û (t)
= iωL
Iˆ (t)
zugeordnet. iωL liegt auf der positiven imaginären Achse. Die Phase zwischen
Spannung und Strom beträgt +90◦ ; die Spannung eilt dem Strom um 90◦ voraus.
0
Bemerkung: Bei diesen Überlegungen wurde die Formel eiωt = iω eiωt benutzt. Diese Gesetzmäßigkeit werden wir in Kap. 9.5.5 nachprüfen.
Zusammenfassung: Für RCL-Netzwerke gelten bei Wechselspannungen, Û (t) = Û0 eiωt , bzw. Wechselströmen, Iˆ (t) = Iˆ0 eiωt , Ohmsche
Gesetze der Form Û (t) = R̂ Iˆ (t) , wenn den einzelnen Schaltelementen
komplexe Widerstände (Impedanzen) R̂ zugeordnet werden:
Ohmscher Widerstand R
Kapazität C
Induktivität L
R̂Ω
R̂C
R̂L
=
=
=
R
1
iωC
iωL
Folgerung: Mit den Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für die Ersatzschaltung zweier komplexer Widerstände R̂1 und R̂2 durch einen komplexen
Gesamtwiderstand (= Ersatzwiderstand) R̂ :
(a)
Reihenschaltung
R̂
1
=
R̂1 + R̂2 .
1
1
R̂1 R̂2
(b) Parallelschaltung
=
+
bzw. R̂ =
.
R̂
R̂1
R̂2
R̂1 + R̂2
Re R̂ heißt der Wirkwiderstand, Im R̂ der Blindwiderstand und R̂ der
reelle Scheinwiderstand.
Im Wechselstromkreis dürfen also die bekannten Regeln für die Ersatzschaltung von Widerständen wie im Gleichstromkreis verwendet werden, wenn bei
Kapazität und Induktivität zu komplexen Widerständen übergegangen wird!
270
5. Komplexe Zahlen
5.3.4 Beispiele für RCL-Wechselstromschaltungen
Beispiel 5.16 (RCL-Reihenschaltung, mit Maple-Worksheet):
Nebenstehendes Bild zeigt eine Reihenschaltung aus
je einem Ohmschen Widerstand RΩ , einer Kapazität
C und einer Induktivität L. Es addieren sich die komplexen Einzelwiderstände zum komplexen Gesamtwiderstand
1
+ iωL
R̂ = RΩ + R̂C + R̂L = RΩ +
Abb. 5.8. RCL-Kreis
iωC
1
R̂ = RΩ + i ωL − ωC
.
Die Addition ist graphisch durch das Zeigerdiagramm gegeben.
Zeigerdiagramm
Spannungsdiagramm
Der Blindwiderstand ist
Im R̂ = ωL −
1
,
ωC
der Wirkwiderstand ist
Re R̂ = RΩ
und der reelle Scheinwiderstand
q
2 + ωL −
R = R̂ = RΩ
1 2
.
ωC
Die Phase zwischen Spannung und Strom erhält man aus
tan ϕ =
Im R̂
Re R̂
=
1
ωL − ωC
.
RΩ
5.3
Anwendungen
271
ˆ erhält man das
Diskussion: Multipliziert man die Widerstände jeweils mit I,
zugehörige Spannungsdiagramm:
(1) UΩ fällt am Ohmschen Widerstand ab und ist mit dem Strom I in Phase.
(2) UL fällt an der Induktivität ab. UL eilt dem Strom um 90◦ voraus.
(3) UC fällt an der Kapazität ab. UC hinkt dem Strom um 90◦ nach.
Für R = 1, L = 1 und C = 1 erhält man die folgende graphische Darstellung
für den Ersatzwiderstand R(ω) bzw. die Phase ϕ(ω):
Ersatzwiderstand R(ω)
Phase ϕ(ω)
Beispiel 5.17 (LC-Parallelkreis, mit Maple-Worksheet):
Für die in Abbildung 5.9 gezeichnete Schaltung berechnet man den komplexen Ersatzwiderstand, indem zuerst L und R2 ersetzt werden durch den Reihenersatzwiderstand Rr = R2 + iωL. Rr liegt parallel zu C, so dass sich die Leitwerte addieren
Zp = i ω C +
1
.
i ω L + R2
Abb. 5.9. LC-Parallelkreis
Der komplexe Gesamtwiderstand setzt sich nun zusammen aus der Summe von
R1 und Rp = Z1p :
Rges = R1 +
Rges =
1
1
= R1 +
1
Zp
i ω C + i ω L+R
2
R 1 ω 2 C L − R 1 ω C R2 i − R 1 − ω L i − R 2
.
ω 2 C L − ω C R2 i − 1
Man erkennt in dieser Darstellung, dass der Gesamtwiderstand eine komplexe
rationale Funktion in ω ist und 2 der höchste auftretende Exponent. Dies
spiegelt die Tatsache wider, dass der Schaltkreis zwei Energiespeicher, nämlich
C und L besitzt. Für die Werte C = 20·10−6 , L = 20·10−3 , R1 = 50, R2 = 500
272
5. Komplexe Zahlen
ergibt sich der Gesamtwiderstand als Funktion in ω
Rges =
0.8000 10−11 ω 4 + 0.004960 ω 2 + 550
0.1600 10−12 ω 4 + 0.00009920 ω 2 + 1
( −0.8000 10−8 ω 3 − 4.980 ω ) i
+
.
0.1600 10−12 ω 4 + 0.00009920 ω 2 + 1
Die Kurvenverläufe von Gesamtwiderstand und Phase in Abhängigkeit von ω
sind gegeben durch
Gesamtwiderstand R(ω)
Phase ϕ(ω)
5.3.5 Übertragungsverhalten elektrischer Schaltungen
Abb. 5.10. RC-Schaltung
Bei der Übertragung von Signalen ist man oftmals an dem Übertragungsverhalten von RCLGliedern interessiert. Dieses Übertragungsverhalten ist charakterisiert durch das Amplitudenverhältnis von Ausgangsspannung UA zur Eingangsspannung UE , wenn die Eingangsspannung eine
Wechselspannung darstellt.
Zur Berechnung des Amplitudenverhältnisses für das dargestellte Netzwerk gehen wir von einer komplexen Darstellung der Eingangswechselspannung ÛE (t) =
ÛE eiωt und Ausgangsspannung ÛA (t) = ÛA eiωt aus. In dieser komplexen Formulierung gilt
1 ˆ
1
ˆ
ÛA = ÛC + ÛR2 =
I + R2 I =
+ R2 Iˆ
iωC
iωC
ÛE = ÛR1 + ÛC + ÛR2
= R1 Iˆ +
1
1
ˆ
ˆ
+ R2 I = (R1 + R2 ) +
I.
iωC
iωC
Damit ist das Amplitudenverhältnis
1
ˆ
ÛA
1 + iωCR2
iωC + R2 I
=
=: H (ω) .
=
1
ˆ
1 + iωC (R1 + R2 )
ÛE
(R1 + R2 ) + iωC I
(∗)
5.3
Anwendungen
273
Man bezeichnet
H(ω) :=
ÛA
ÛE
als Übertragungsfunktion. H(ω) ist eine Funktion von ω. Je nachdem, welche Frequenz das Eingangssignal besitzt, variiert die Amplitude des Ausgangssignals.
Grenzbetrachtung für H (ω)
Für ω → 0 ist H (ω) → 1 und für ω → ∞
2
ist H (ω) → R1R+R
. Wählt man R2 << R1 ist
2
R2
<<
1.
Damit
werden mit diesem einR1 +R2
fachsten Netzwerk tiefe Frequenzen (ω klein)
gut übertragen: H (ω) ≈ 1 ⇒ ÛA ≈ ÛE ; während
hohe Frequenzen (ω groß) gedämpft und somit
schlecht übertragen werden: H (ω) << 1 ⇒
ÛA << ÛE . Ein solches Element bezeichnet
Abb. 5.11. Übertragungsfunktion
man als Tiefpass. Der Betrag der Übertragungsfunktion ist
s
p
1 + w2 C 2 R22
|H (ω)| = H (ω) · H ∗ (ω) =
2.
1 + w2 C 2 (R1 + R2 )
Auf den allgemeinen Aspekt der Übertragungsfunktion werden wir für beliebige lineare Systeme im Kapitel über die Fourier-Transformation 15 noch näher
eingehen.
Zusammenfassung: Die Übertragungsfunktion H (ω) ist definiert
als das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung, wenn die Eingangsspannung als komplexe Wechselspannung ÛE = UE eiωt angenommen wird:
ÛA
H (ω) :=
.
ÛE
Diese komplexe Übertragungsfunktion lässt sich darstellen durch Betrag
und Phase
H (ω) = |H (ω)| eiϕ
mit |H (ω)| =
p
H (ω) · H ∗ (ω) und tan ϕ =
Im H (ω)
.
Re H (ω)
274
5. Komplexe Zahlen
MAPLE-Worksheets zu Kapitel 5
Die folgenden elektronischen Arbeitsblätter stehen für Kapitel 5 mit
Maple zur Verfügung. Sie können direkt durch Anklicken aus der
pdf-Version des Buches gestartet werden.
Darstellung komplexer Zahlen mit Maple
Komplexes Rechnen mit Maple
Visualisierung der komplexen Rechenoperationen
Überlagerung von Schwingungen
RCL-Wechselstromkreise mit Maple
Übertragungsverhalten von Filterschaltungen
Maple-Lösungen zu den Aufgaben
5.4
Komplexe Zahlen mit MAPLE
275
5.4 Komplexe Zahlen mit MAPLE
5.4.1 Darstellung komplexer Zahlen mit MAPLE
√
Die imaginäre Einheit i = −1 wird in Maple mit I bezeichnet und komplexe
Zahlen in der Form a + I ∗ b in der algebraischen Normalform definiert
> c := 5 + 6 ∗ I ;
5 + 6I
! Die Großschreibung von I ist wichtig! Zur Berechnung des Betrags und des
4
Winkels stehen der abs- und der argument-Befehl zur Verfügung
> abs(c), argument(c);
√
6
61, arctan
5
Zur Bestimmung des Winkels ist auch der Befehl
> arctan(Re(c), Im(c));
6
arctan
5
möglich. Dabei werden die Befehle Re(c) und Im(c) benutzt, welche den Realund Imaginärteil einer komplexen Zahl darstellen. Die komplex konjugierte
Zahl c∗ erhält man durch conjugate
> conjugate(c);
5 − 6I
Neben der algebraischen Normalform kennt Maple noch die Darstellung in
Polarkoordinaten, welche den Betrag und den Winkel beinhaltet
> polar(5, Pi/4):
Es wird dabei nicht zwischen trigonometrischer und exponentieller Normalform
unterschieden. Die Umwandlung von der algebraischen zur polaren Darstellung
erfolgt durch convert
> convert(4 - I, polar);
√
1
polar ( 17, − arctan
)
4
und die Umkehrung von der polaren zur algebraischen Darstellung durch evalc
(evaluate complex):
> evalc(polar (5, Pi/4));
5 √
5√
2 +
I 2
2
2
5.4
276
5. Komplexe Zahlen
Die exponentielle Schreibweise lautet
> z := 5 ∗ exp ( 4 ∗ I);
z := 5 e4I
und wird mit evalc bzw. mit evalf in die algebraische Normalform umgewandelt.
> evalc(z); evalf(z);
5 cos(4) + 5I sin(4)
−3.268218104 − 3.784012476 I
Es gibt keinen direkten Befehl zur Umwandlung der algebraischen Normalform
in die exponentielle.
Sowohl convert (-, polar) als auch arctan (Im(c), Re(c)) liefern den richtigen
Winkel 0 ≤ ϕ ≤ 2π im Bogenmaß. Mit
> convert(argument(c), degrees); evalf(%);
arctan 65 degrees
180
π
50.19442889 degrees
folgt die Darstellung des Winkels in Grad und der Befehl
> convert(% , radians); evalf(%);
0.2788579383π
0.8760580505
konvertiert einen Winkel vom Grad- ins Bogenmaß.
Der Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnet man durch
> c := 5 - 3*I:
> evalc(Re(c)), evalc(Im(c));
5, −3
Man beachte: Obwohl Re(c) eine reelle Größe ist, wird dennoch evalc(Re(c))
zur Berechnung benötigt!
In Maple können komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene durch den
Befehl complexplot graphisch dargestellt werden. Dieser Befehl befindet sich
im plots-Package.
> liste := [1+2*I, 3-4*I, -5-I, -4+3*I];
> with(plots):
> complexplot(liste, style=point);
5.4
Komplexe Zahlen mit MAPLE
277
Abb. 5.12.
5.4.2 Komplexes Rechnen mit MAPLE
Für die komplexen Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division werden die gleichen Operatorsymbole wie im Reellen benutzt:
+ − ∗ / . Mit evalc (evaluate complex) wird eine komplexe Rechnung ausgeführt und das Ergebnis wieder in der algebraischen Normalform dargestellt.
> evalc ((9 - 2 ∗ I) ∗ (4 + I));
> evalc ((1 + 4 ∗ I) / (2 + 3 ∗ I));
14
13
38 + I
5
+ 13
I
> abs (%);
1√
221
13
Potenzen werden ebenfalls durch evalc berechnet:
> evalc ((1 + 3 ∗ I)ˆ5);
316 − 12 I
Dabei muss die komplexe Zahl nicht in der algebraischen Normalform vorliegen
> evalc ((4 ∗ exp(I ∗ Pi/4))ˆ3);
√
√
−32 2 + 32 I 2
Die n-ten Wurzeln (n ∈ IN) einer komplexen Zahl lassen sich mit dem solve1
Befehl berechnen, denn z.B. (1 + 3i) 4 ist die Lösung von z 4 = 1 + 3 i :
> solve (zˆ4 = 1 + 3 ∗ I , z);
1
1
1
1
(1 + 3I) 4 , I(1 + 3I) 4 , − (1 + 3I) 4 , − I(1 + 3I) 4
1
Um die Terme (1+3I) 4 auswerten zu lassen, muss explizit auf die float-Option
zurückgegriffen werden. Zur Verkürzung der Ausdrücke setzen wir zuvor
> Digits := 4:
278
5. Komplexe Zahlen
> map (evalf,{% %});
{1.269 + 0.4097I , −0.4097 + 1.269I , −1.269 − 0.4097I , 0 .4097 − 1.269I}
Geben wir statt der komplexen Zahl 1 + 3 I die Zahl 1. + 3 I ein, liefert Maple
als Ergebnis sofort die letzte Zeile in der float-Darstellung.
Wenn die Nullstellen eines Polynoms in geschlossener Form darstellbar
sind, so findet Maple sie mit dem solve-Befehl.
> p(z) := zˆ5 - 5 ∗ zˆ4 + 5 ∗ zˆ3 - 25 ∗ zˆ2 + 4 ∗ z - 20:
> factor (p(z));
(z − 5) (z 2 + 4) (z 2 + 1)
Mit der Option I faktorisiert factor in den komplexen Zahlen
> factor (p(z), I);
(z − I) (z + I) (z − 2 ∗ I) (z + 2 ∗ I) (z − 5)
> solve (p(z)=0, z);
5, I, −I, 2I, −2I
Da die Nullstellen eines Polynoms vom Grade n i.A. nicht geschlossen darstellbar sind, müssen sie numerisch berechnet werden. Durch die Option complex
berechnet der fsolve-Befehl alle n Nullstellen eines Polynoms
> solve (zˆ8 + 4 ∗ z - 1 = 0, z);
RootOf ( z
8
+4 z − 1)
> fsolve (zˆ8 + 4 ∗ z - 1 = 0, z);
−1.251 , 0.2500
> fsolve (zˆ8 + 4 ∗ z - 1 = 0, z, complex);
−1.251, −0.7931 − 0.9557I, −0.7931 + 0.9557I, 0.2353 − 1.193I,
0.2353 + 1.193I, 0.2500, 1.058 − 0.5315I, 1.058 + 0.5315I
5.4
Komplexe Zahlen mit MAPLE
279
5.4.3 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle
Maple-Befehle zu den komplexen Zahlen
a + b ∗ I oder a + I ∗ b
evalc(c)
simplify(c)
Re(c)
Im(c)
abs(c)
argument(c)
arctan(Im(c),Re(c))
conjugate(c)
polar(betrag, winkel)
evalc ( )
convert ( ,’polar’)
fsolve (p(z) = 0, z,’complex’)
Darstellung einer komplexen Zahl c
Auswertung im Komplexen
Vereinfachung
Realteil
Imaginärteil
Betrag der komplexen Zahl c
Winkel der komplexen Zahl c
”
komplex konjugierte Zahl
Polardarstellung einer komplexen Zahl c
Umwandlung von polar auf algebraisch
Umwandlung von algebraisch auf polar
fsolve findet im Komplexen alle
Nullstellen des Polynoms p(z).
Maple-Befehle zu den Anwendungen der komplexen Zahlen
A ∗ exp(I ∗ w ∗ t)
evalc(simplify(H(w)))
Re(H(w))
Im(H(w))
abs(H(w))
argument(H(w))
plot(abs(H(w)), w=0..5)
plot(argument(H(w)), w=0..5)
Definition von A eiwt
Vereinfachung von H(w)
Realteil von H(w)
Imaginärteil von H(w)
Betrag von H(w)
Winkel von H(w)
Graphische Darstellung der Amplitude
von H(w)
Graphische Darstellung der Phase
von H(w)
280
5.5
5. Komplexe Zahlen
5.5 Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
Dieses Kapitel ist ein Paradebeispiel für analytische Methoden, die an einfachen Beispielen erlernt, dann aber auf kompliziertere Sachverhalte übertragen werden. Dabei ist der Einsatz eines Rechners bei der Durchführung
der Rechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel. Ohne ein analytisches System
wäre der Rechenaufwand zur Berechnung der folgenden Filterschaltungen sehr
zeitaufwändig und extrem mühsam.
Im Folgenden wird eine Systematik vorgestellt, wie man die komplexe Übertragungsfunktion für beliebige Filter-Kettenschaltungen sukzessive berechnet,
wenn die Glieder der Kette aus R-, C- und L-Elementen aufgebaut sind. Als
Beispiele werden einige Spezialfälle für Tiefpass, Hochpass, Bandpass und
Bandsperren diskutiert. Das Ziel ist es anschließend, nicht nur zu gegebener Schaltung die Übertragungsfunktion zu bestimmen, sondern zu gegebener
Grenzfrequenz für Hoch- und Tiefpässe eine Dimensionierung der einzelnen
Elemente der Kette vorzunehmen. Dabei soll die Übertragungsfunktion ÛÛA
0
einen möglichst glatten Verlauf im Arbeitsbereich besitzen.
Qualitativ werden für die Filter die in Abb. 5.13 skizzierten Verläufe von ÛÛA 0
gefordert:
Abb. 5.13. Qualitativer Verlauf von Filterschaltungen
Zur Realisierung werden wir nur Ketten betrachten, die sich aus Π- oder T Gliedern zusammensetzen. Als T -Glied bezeichnet man eine Schaltung bei der
die Einzelelemente Z1 , Z2 und Y wie ein T aufgebaut sind (siehe Bilder aus
Abb. 5.14). Als Π-Glied bezeichnet man eine Schaltung bei der die Einzelelemente Z, Y1 und Y2 hierbei wie ein Π angeordnet sind (siehe Abb. 5.15).
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
281
Abb. 5.14. T-Schaltungen
Abb. 5.15. Π-Schaltungen
Wir charakterisieren die in Tabelle 5.1 angegebenen bzw. ähnlich strukturierten Schaltungen, die in einer Kette angeordnet sind, indem wir die komplexe
Übertragungsfunktion bestimmen. Dazu stellen wir einen Algorithmus auf, der
nur auf die Struktur einer Kette eingeht, ohne dass die Einzelelemente spezifiziert werden müssen. Eine allgemeine Kette hat die Form:
Abb. 5.16. Allgemeine lineare Kette
Dabei ist Û0 (t) die komplexe Eingangsspannung Û0 (t) = Û0 eiωt und Ûn (t)
die Ausgangsspannung Ûn eiωt . Wir bezeichnen die Elemente Zi als Längsimpedanzen und die Elemente Yi als Parallel- oder Querimpedanzen. Die
Maschen sind mit M1 bis Mn numeriert. Die Spannungen, die an den Querimpedanzen Yi abfallen, sind Ûi (t) = Ûi eiωt . Im Folgenden wird sprachlich
nicht zwischen den Spannungen Ûi (t) und den Spannungsamplituden Ûi unterschieden, da es bei der Bestimmung des Übertragungsverhaltens nur auf die
Verhältnisse ankommt:
Ûi (t)
Ûk (t)
=
Ûi eiωt
Ûk eiωt
=
Ûi
Ûk
.
282
5. Komplexe Zahlen
Tabelle 5.1: Schaltungselemente für Filterketten:
Tiefpässe aus T -Gliedern aufgebaut:
Hochpässe aus T -Gliedern aufgebaut:
Tiefpässe aus Π-Gliedern aufgebaut:
Hochpässe aus Π-Gliedern aufgebaut:
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
Bandpässe aus Π-Glieder aufgebaut:
Bandpässe aus Π-Gliedern aufgebaut:
Bandpässe aus T -Gliedern aufgebaut:
Bandsperren aus T -Gliedern aufgebaut:
283
284
5. Komplexe Zahlen
5.5.1 Übertragungsfunktion für lineare Ketten
Zur Berechnung der Übertragungsfunktion von Kettenschaltungen wendet man
die folgende Methodik an:
(1) Beginnend bei Masche Mn wird für alle Maschen Mi der komplexe Ersatzwiderstand Yp,i−1 berechnet (i = n, . . . , 2) . Somit wird in jedem Schritt
die Kette um ein Glied verkürzt.
(2) Am Ende des Reduzierungsprozesses aus Schritt (2) verbleibt nur noch
eine Masche mit der Spannungsquelle Û0 , der Längsimpedanz Z1 und der
Û1
Querimpedanz Yp,1 . Es kann nun das Spannungsverhältnis Û
berechnet
0
werden.
(3) Beginnend bei Masche M1 wird das Verhältnis von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Spannungen ÛÛi+1 gebildet (i = 1, . . . , n − 1) .
i
(4) Durch Rückwärtsauflösen aller Spannungsverhältnisse folgt
Ûn
.
Û0
Um die Formeln systematisch zu entwickeln, beginnen wir mit einer Kette bestehend aus einem Glied. Es folgt die Beschreibung einer Kette mit zwei, dann
mit drei Gliedern. Damit werden die Methodik und die allgemeinen Formeln
erkennbar und auf eine Kette mit n Gliedern übertragen.
1. Kette aus einem Glied (Spannungsteiler)
Z1
Y1
=
=
Längsimpedanz
Querimpedanz
Nach dem Maschensatz gilt für Masche M1 :
Û0 = Z1 I + Û1 = Z1 I + Y1 I.
Für das Verhältnis von Ausgangs- und Eingangsspannung gilt
Û1
Û0
=
Y1 I
Y1
=
Z1 I + Y1 I
Z1 + Y1
2. Kette aus zwei Gliedern
Z1 , Z2
Y1 , Y2
=
=
Längsimpedanzen
Querimpedanzen
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
285
Wir betrachten zunächst die zweite Masche und berechnen das Spannungs2
verhältnis Û
mit dem zugehörigen Ersatzwiderstand Yp1 . Nach dem MaschenÛ1
satz gilt für Masche M2 :
Û1 = I2 · Z2 + Û2 = Z2 I2 + Y2 I2
⇒
Û2
Û1
=
Y2 I2
Y2
=
Z2 I2 + Y2 I2
Z2 + Y2
Diese Masche (Y1 k Z2 + Y2 ) wird durch den
Ersatzwiderstand Yp1 ersetzt. Z2 und Y2 liegen in Reihe und sind parallel zu Y1 . Somit
addieren sich die Leitwerte
1
1
1
=
+
Yp1
Y1
Z2 + Y2
und für den Ersatzwiderstand folgt
Yp1 =
Y1 (Z2 + Y2 )
Y1 + Z2 + Y2
Für das auf eine Masche M1 reduzierte Problem
gilt nach (1) für das Spannungsverhältnis
Û1
Û0
=
Yp1
.
Z1 + Yp1
Der komplette Algorithmus für eine zweigliedrige Kette lautet
Z1 , Z2 : Längsimpedanzen
Y1 , Y2 : Querimpedanzen
Yp1 = Y1 (Y2 + Z2 ) / (Y1 + Y2 + Z2 )
U1 = U0 · Yp1 /(Z1 + Yp1 )
U2 = U1 · Y2 /(Z2 + Y2 )
Ersetzt man die Längs- und Querimpedanzen durch die zugehörigen komplexen
Widerstände, so ist
U2
H (ω) =
.
U0
286
5. Komplexe Zahlen
3. Kette aus 3 Gliedern:
Nach den Überlegungen aus (2) gilt für die 3. Masche M3
Û3
Û2
=
Yp2 =
Y3
Y3 + Z3
(Spannungsverhältnis)
Y2 (Y3 + Z3 )
Y2 + Y3 + Z3
(Ersatzparallelimpedanz)
Damit reduziert sich das Problem zu einer Kette bestehend aus 2 Gliedern
Nach (2) gilt für die 2. Masche M2
Û2
Û1
=
Yp1 =
Yp2
Yp2 + Z2
(Spannungsverhältnis)
Y1 (Yp2 + Z2 )
Y1 + Yp2 + Z2
(Ersatzparallelimpedanz)
Für die Masche M1 erhält man nach (1) das Spannungsverhältnis
Û1
Û0
=
Yp1
Z1 + Yp1
Durch Rückwärtsauflösen berechnet sich die Übertragungsfunktion. Der Algorithmus für eine 3-gliedrige Kette lautet damit
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
287
Z1 , Z2 , Z3 : Längsimpedanzen
Y1 , Y2 , Y3 : Querimpedanzen
Yp2 = Y2 · (Y3 + Z3 )/(Y2 + Y3 + Z3 )
Yp1 = Y1 · (Yp2 + Z2 )/(Y1 + Yp2 + Z2 )
U1 = U0 · Yp1 /(Yp1 + Z1 )
U2 = U1 · Yp2 /(Yp2 + Z2 )
U3 = U2 · Y3 /(Y3 + Z3 )
Werden Z1 , Z2 , Z3 ; Y1 , Y2 , Y3 durch die entsprechenden komplexen Widerstände
ersetzt, so ist
H (ω) =
U3
.
U0
4. Kette aus n Gliedern: Gegeben sei eine allgemeine Kette, bestehend aus
n Gliedern
Abb. 5.17.
In Verallgemeinerung der Fälle (1) - (3) lautet der Algorithmus zur Berechnung der Übertragungsfunktion:
Z1 , Z2 , . . . , Zn : Längsimpedanzen
Y1 , Y2 , . . . , Yn : Querimpedanzen
Yp,n−1 = Yn−1 · (Yn + Zn )/(Yn−1 + Yn + Zn )
Yp,i = Yi · (Yp,i+1 + Zi+1 )/(Yi + Yp,i+1 + Zi+1 )
U0
Eingangsspannung
Ui = Ui−1 · Yp,i /(Yp,i + Zi )
i = 1, . . . , n − 1
Un = Un−1 · Yn /(Yn + Zn )
i = n − 2, . . . , 1
Bei dem obigen Formalismus sind die einzelnen Elemente bzw. Kettenglieder
nicht spezifiziert. Der Algorithmus ist also gleichermaßen für Π- als auch für
T -Glieder gültig. Für die Impedanzen setzt man
RΩ
iωL
1
iωC
( Ohmscher Widerstand)
(Impedanz einer Spule mit Induktivität L)
(Impedanz eines Kondensators mit Kapazität C ).
288
5. Komplexe Zahlen
5. Maple-Prozedur: Mit der folgenden Maple-Prozedur kette wird mit
obigem Algorithmus auf einfache Weise die Übertragungsfunktion einer ngliedrigen linearen Kette berechnet.
> kette := proc(U0,Z,Y,n)
> local i,Yp,U; global H;
># Ersetzen der Maschen durch Ersatzwiderstände
> Yp[n] := Y[n];
> for i from n-1 by -1 to 1
> do Yp[i] := Y[i]* (Yp[i+1] + Z[i+1]) / (Y[i] + Yp[i+1] + Z[i+1]) od:
>
># Rückwärtsauflösen der Spannungen
> U[0] := U0:
> for i from 1 to n
> do U[i] := U[i-1] * Yp[i] / (Yp[i] + Z[i]) od:
>
> H:=simplify((U[n]/U0));
> end:
Der Aufruf erfolgt dann mit kette(U0, Z, Y, n), wenn U0 die Amplitude der Eingangsspannung, Z[i] die Längs- und Y[i] die Querimpedanzen sind. n gibt die Anzahl der Kettenglieder an. Das Ergebnis der
Prozedur ist die komplexe Übertragungsfunktion H, deren Betrag und Phase
anschließend graphisch dargestellt werden können.
5.5.2 Beispiele
Wir berechnen die komplexe Übertragungsfunktion für einen Hochpass, einen
Tiefpass, einen Bandpass und eine Bandsperre.
Anwendungsbeispiel CD.1 (Hochpass, mit Maple-Worksheet).
Abb. 5.18. Hochpass aus zwei T -Glieder
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
289
Gegeben sei ein Hochpass, der aus zwei T -Gliedern zusammengesetzt ist. Zur
Bestimmung der Übertragungsfunktion definieren wir die Längsimpedanzen
> Z[1] := R+1/(I*w*C): Z[2] := 1/(I*w*C/2): Z[3] := 1/(I*w*C):
und die Querimpedanzen
> Y[1] := I*w*L: Y[2] := I*w*L: Y[3] := R:
Als Eingangsspannung wählen wir U0 = 1. Da der Hochpass aus 3 Gliedern
besteht, ist n=3 und der Aufruf der Prozedur kette lautet
> U0 := 1:
> kette(U0,Z,Y,3);
1 5 2 3
w L C R I ( w5 L2 C 3 R I + 2 w4 L2 C 2 − 4 I w3 L C 2 R
2
− 3 w2 L C + R2 w4 C 3 L − R2 w2 C 2 + 2 I R w C + 1)
Die Übertragungsfunktion ist eine komplexe gebrochenrationale Funktion in ω
mit dem höchsten auftretenden Exponent 5: Die Kette enthält 5 unabhängige
Energiespeicher. Zur Darstellung von H betrachten wir den Betrag und die
Phase für die Parameter
> R:=1000: C:=5.28e-9: L:=3.128e-3:
> plot(abs(H),w=0..400000,thickness=2);
> plot(argument(H),w=0..400000,thickness=2);
Abb. 5.19. Übertragungsfunktion
Abb. 5.20. Phasendiagramm
Man erkennt, dass tiefe Frequenzen gesperrt werden (H ≈ 0) und hohe Frequenzen passieren können (H ≈ 12 ). Die Grenzfrequenz bei halber Maximalamplitude liegt bei ωg = 175000 1s .
290
5. Komplexe Zahlen
Anwendungsbeispiel CD.2 (Tiefpass, mit Maple-Worksheet).
Abb. 5.21. Tiefpass mit zwei Π-Glieder
Gegeben ist ein Tiefpass, der aus zwei Π-Gliedern zusammengesetzt ist. Mit
den Längs- und Querimpedanzen
> Z[1] := R: Z[2] := I*w*L: Z[3] := I*w*L:
> Y[1] := 1/(I*w*C): Y[2]:= 1/(I*w*2*C): Y[3] := 1/(I*w*C+1/R):
und der Eingangsspannung
> U0 := 1:
erhalten wir die Übertragungsfunktion
> kette(U0,Z,Y,3):
Zur Darstellung von H betrachten wir wieder den Betrag und die Phase für
die Parameter
> R:=2500: C:=1e-9: L:=10e-3:
> H;
−0.2000000000 1028 I (−0.4000000000 1028 I
+ 0.1600000000 1018 I w2 + 0.3600000000 1023 w
− 800000. I w4 − 0.4600000000 1012 w3 + w5 )
> plot(abs(H),w=0..1000000,thickness=2);
> plot(argument(H),w=0..1000000,thickness=2);
Übertragungsfunktion
Phasendiagramm
Man erkennt in diesem Fall, dass tiefe Frequenzen passieren können (H ≈ 21 )
und hohe Frequenzen gesperrt werden (H ≈ 0): Die Grenzfrequenz ωg liegt
bei 445000 1s .
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
291
Anwendungsbeispiel CD.3 (Bandpass, mit Maple-Worksheet).
Abb. 5.22. Bandpass mit zwei Π-Glieder
Gegeben ist ein Bandpass, der aus zwei Π-Gliedern zusammengesetzt ist. Bei
der Berechnung der Längs- und Querimpedanzen muss beachtet werden, dass
zum einen die Längsimpedanzen Lk und Ck in Reihe liegen und daher durch
i ω Lk +1/(i ω Ck ) zu ersetzen sind; zum anderen die Querimpedanzen L und C
parallel geschaltet sind und damit der Kehrwert aus der Summe der Leitwerte
genommen werden muss.
> Z[1] := R:
> Z[2] := I*w*Lk + 1/(I*w*Ck):
> Z[3] := I*w*Lk + 1/(I*w*Ck):
> Y[1] := 1/( I*w*C + 1/(I*w*L) ):
> Y[2] := 1/( I*w*2*C + 1/(I*w*L/2) ):
> Y[3] := 1/( I*w*C+1/(I*w*L)+1/R):
> kette(1,Z,Y,3):
Dieser Filter hat 10 unabhängige Energiespeicher. Die Übertragungsfunktion
ist damit eine rationale Funktion mit höchstem auftretenden Exponenten 10.
Wir verzichten auf eine explizite Angabe dieser Funktion, stellen sie aber für
die spezifizierten Parameter graphisch dar.
> R:=100: C:=2.32e-7: L:=3.62e-3: Ck:=C: Lk:=L:
> plot(abs(H),w=0..100000,thickness=2);
> plot(argument(H),w=0..100000,thickness=2);
Übertragungsfunktion
Phasendiagramm
Bei dem Bandpass werden Frequenzen nur innerhalb eines Frequenzbandes
übertragen; außerhalb werden sie gesperrt. In obigem Fall entnimmt man aus
dem Betrag der Übertragungsfunktion, dass die untere Grenzfrequenz ωu =
18000 1s und die obere Grenzfrequenz ωo = 66000 1s beträgt.
292
5. Komplexe Zahlen
Anwendungsbeispiel CD.4 (Bandsperre, mit Maple-Worksheet).
Abb. 5.23. Bandsperre mit zwei T -Glieder
In diesem Beispiel wird eine Bandsperre diskutiert, die aus zwei T -Gliedern zusammengesetzt ist. Bei der Berechnung der Längs- und Querimpedanzen muss
beachtet werden, dass die Querimpedanzen Lk und Ck in Reihe liegen und
daher durch i ω Lk + 1/(i ω Ck ) zu ersetzen sind; zum anderen die Längsimpedanzen L und C parallel geschaltet sind und damit der Kehrwert aus der
Summe der Leitwerte für den Ersatzwiderstand genommen werden muss.
> Z[1] := R + 1/( I*w*C + 1/(I*w*L) ):
> Z[2] := 1/( I*w*C/2 + 1/(I*w*2*L) ):
> Z[3] := 1/( I*w*C + 1/(I*w*L) ):
> Y[1] := 1/( I*w*Ck )+ I*w*Lk:
> Y[2] := 1/( I*w*Ck )+ I*w*Lk: Y[3] := R:
> kette(1, Z, Y, 3):
Dieser Filter hat ebenfalls 10 unabhängige Energiespeicher und die Übertragungsfunktion ist eine rationale Funktion mit höchstem auftretenden Exponenten 10. Wir verzichten daher wieder auf eine explizite Angabe dieser Funktion,
stellen sie aber für die spezifizierten Parameter graphisch dar.
> R:=100: C:=12.5e-9: L:=0.08e-3: Ck:=C: Lk:=L:
> plot(abs(H),w=0..3000000,thickness=2);
> plot(argument(H),w=0..3000000,thickness=2);
Abb. 5.24. Übertragungsfunktion
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
293
Abb. 5.25. Phasendiagramm
Im Gegensatz zum Bandpass schließt die Bandsperre ein Frequenzintervall aus
der Übertragung aus. In obigen Fall ist die untere Grenzfrequenz ωu = 7·105 1s
und die obere ωo = 1.4 · 106 1s .
5.5.3 Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen
Bisher berechneten wir zu gegebener Kette die Übertragungsfunktion und bestimmten die zugehörigen Grenzfrequenzen. Jetzt betrachten wir für Hochund Tiefpässe das umgekehrte Problem: Gegeben sei die Grenzfrequenz ωg ;
gesucht sind die Dimensionen der Elemente der Kette.
Man kann dieses Problem unter gewissen Voraussetzungen einfach lösen, indem man sich durch gezieltes Variieren des Ohmschen Widerstandes zunächst
einen glatten Verlauf der Übertragungsfunktion für L = C = 1 verschafft und
anschließend auf die vorgegebene Grenzfrequenz geeignet skaliert.
Voraussetzungen:
(1) Gegeben sei eine Filterschaltung für einen Hoch- oder Tiefpass, die einen
Aufbau, wie in Tabelle 5.1 angegeben, besitzt. Die Kette setzt sich aus
identischen Π- oder identischen T -Gliedern zusammen. Außerdem sei R :=
R1 = RA .
(2) Alle Y und Z Impedanzen bestehen aus reinen Blindwerten (also nur L
und C; kein R). Dies ist zwar nicht realisierbar, idealerweise gehen wir aber
zunächst von verlustlosen Spulen aus. Nachdem optimale Betriebsparameter gefunden sind, kann anschließend der Einfluss von Spulenwiderständen
berücksichtigt werden.
Vorgehensweise:
(1) Man setze L = C = 1 und variiere R so, dass die Übertragungsfunktion
ein möglichst glatten Frequenzgang besitzt.
⇒ Ropt
(optimaler Widerstand).
294
5. Komplexe Zahlen
(2) Gesucht sind dann zu gegebener Kreisfrequenz ωg und vorhandenem Widerstand R die zugehörigen Größen von L und C so, dass das Übertragungsverhalten erhalten bleibt.
(3) Dimensionierung
(1) Skalierung der Grenzfrequenz
Die Grenzfrequenz ωg bei Hoch- oder Tiefpass definieren wir als die
Frequenz, bei der |H (ω)| auf √12 des Durchlasswertes abnimmt. Wir
setzen den Zusammenhang an
√
ωg = Kf / LC
(1)
Aus der graphischen Darstellung entnimmt man für L = C = 1 den
Wert ωg und erhält damit den Skalierungsfaktor Kf := ωg .
(2) Skalierung des Widerstandes
Der Zusammenhang zwischen Widerstand R und L, C lautet
R = KR ·
q
L
C
(2)
Aus der Simulation entnimmt man für L = C = 1 den optimalen Widerstandswert Ropt , bei dem die Übertragungsfunktion einen
möglichst glatten Verlauf besitzt. Damit erhält man den Skalierungsfaktor KR := Ropt .
(3) Skalierung von L und C bei gegebenem ωg und R:
(1) · (2)
,→
(2) / (1)
,→
⇒
Kf · KR
ωg · R
C=
ωg · R
R
ωg
=
=
(I)
1
KR · Kf ·
C
KR
·L
Kf
&
⇒
L=
Kf R
·
KR ω g
(II)
Berechnet man mit den Beziehungen (I) und (II) die Werte für die Kapazitäten
und Induktivitäten, dann hat die Übertragungsfunktion den gleichen Verlauf
wie für L = C = 1, jetzt aber mit der Grenzfrequenz ωg .
Ist statt dem Ohmschen Widerstand R die Induktivität L (oder die Kapazität
C) neben ωg vorgegeben, so löst man Formel (II) (oder Formel (I)) nach R auf.
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
295
Zusammenfassung: Die Dimensionierung der L- und C-Glieder eines
Hoch- bzw. Tiefpasses erfolgt bei vorgegebener Grenzfrequenz ωg und
Widerstand R in zwei Schritten:
(1) Man setzt L = C = 1 und bestimmt Ropt so, dass die Übertragungsfunktion einen gewünschten (glatten) Verlauf annimmt. Aus dem
Graphen der Übertragungsfunktion liest man die Grenzfrequenz Kf
ab. Außerdem setzt man KR = Ropt .
(2) Die Skalierung von L und C erfolgt bei vorgegebenem R und ωg durch
die Beziehungen
C=
K f · KR
ωg · R
;
L=
Kf R
·
.
KR ω g
Anwendungsbeispiel CD.5 (Hochpass, mit Maple-Worksheet).
Gesucht ist ein Hochpass, bestehend aus einem Π-Glied, der bei einem Widerstand von R = 500Ω eine Grenzfrequenz ωg = 1000 1s besitzt:
Abb. 5.26. Hochpass mit einem Π-Glied
Mit
> Z[1] := R: Z[2] := 1/(I ∗ w ∗ C):
> Y[1] := I ∗ w ∗ L: Y[2] := 1/(1/(I ∗ w ∗ L)+1/R):
> U0 := 1: n := 2:
folgt die Übertragungsfunktion
> kette (U0, Z, Y, n);
w3 L2 RC I
2Iw3 L2 RC − 2IwLR + w2 L2 + 2w2 LR2 C − R2
296
5. Komplexe Zahlen
Um uns einen Überblick über den Parameterbereich von R zu verschaffen,
zeichnen wir die Funktion H (ω) für ω ∈ [0, 2] in ein 3-dimensionales Schaubild,
indem wir zusätzlich den Parameter R von 0 bis 2 variieren. Dazu setzen wir
L = C = 1:
> L := 1: C := 1:
> plot3d (abs(H), w = 0..2, R = 0..2, axes = boxed);
Abb. 5.27. 3D Darstellung von |H(ω)| über ω und R
Auf der linken Achse ist R, auf der rechten Achse ω aufgetragen. Für festes
R erhält man H (ω), indem man entlang der ω-Achse geht. Man erkennt an
dieser graphischen Darstellung, dass für R im Bereich zwischen 0.5 und 1.5
die Übertragung maximal 12 wird. Wir untersuchen die Funktion |H (ω)| für
einzelne R-Werte in diesem Bereich
> r := 0.5: dR := 0.25:
> for i from 1 to 4
> do
>
p[i] := plot (abs(subs (R = r, H)), w = 0..2, thickness = 2):
>
r := r + dR
> od:
> with (plots): display ( [seq(p[i], i = 1..4)] );
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
297
Für R = 0.75 hat die Übertragungsfunktion einen glatten Verlauf. Dem Graphen entnimmt man die Grenzfrequenz ωg = 0.6.
⇒
KR = 0.75
Kf = 0.6.
Diese Werte werden in Formel (I) und (II) zusammen mit den vorgegebenen
Werten für R = 500Ω und ωg = 1000 1s eingesetzt:
(I)
:
C=
0.6 · 0.75
1000 · 500
= 0.9 · 10−6 [F ]
(II)
:
L=
0.6 500
·
0.75 1000
= 0.4 [H]
Die zugehörige Übertragungsfunktion ist oben in der rechten Abbildung angegeben.
Anwendungsbeispiel CD.6 (Tiefpass, mit Maple-Worksheet).
Gesucht ist ein Tiefpass, bestehend aus 2 Π-Gliedern, der bei einem Widerstand von R = 1000Ω eine Grenzfrequenz von 20000 1s besitzt:
Wir bestimmen die Übertragungsfunktion mit der Prozedur kette
> Z[1] := R: Z[2] := I ∗ w ∗ L: Z[3] := I ∗ w ∗ L:
> Y[1] := 1/(I ∗ w ∗ C): Y[2] := 1/(I ∗ w ∗ 2 ∗ C):
> Y[3] := 1/(I ∗ w ∗ C + 1/R):
> U0 := 1: n := 3:
> kette (U0, Z, Y, n);
1
I R/(R I − 4I w2 LCR − wL + 2I w4 L2 C 2 R + w3 L2 C
2
−2wCR2 + 3w3 LC 2 R2 − w5 L2 C 3 R2 )
Zur Optimierung des Widerstandes setzen wir
> L := 1: C := 1:
> plot3d (abs(H), w = 0..2, R = 0..2, axes = boxed);
298
5. Komplexe Zahlen
Abb. 5.28. 3D Darstellung von |H(ω)| über ω und R
Aus einer Einzelbild-Darstellung entnimmt man den optimalen Widerstand
KR = 0.8 und liest aus dem zugehörigen Schaubild die Grenzfrequenz Kf = 1.4
ab. Die Bestimmung von L und C bei R = 500Ω und ωg = 20 000 1s erfolgt
über die Formeln (I) und (II): C = 5.6 · 10−8 [F ] und L = 0.0875[H]. Die
Übertragungsfunktion der Schaltung ergibt sich mit diesen Werten zu:
Animation: Auf der CD-ROM befindet sich auch die Darstellung der
Übertragungsfunktion als Ortskurve). Diese Darstellung wird oftmals
in der Regelungstechnik verwendet. Um die Dynamik in ω zu visualisieren wird
in einer Animation zusätzlich der Zeiger als Funktion von ω abgetragen
5.5
Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen
299
Aufgaben zu den MAPLE-Anwendungen
M.1 Tiefpass:
(i) Man bestimme Ropt und ωg für einen Tiefpass, bestehend aus einem T-Glied
(L = C = 1) .
(ii) Man bestimme Ropt und ωg für einen Tiefpass, bestehend aus 2 T-Gliedern
(L = C = 1) .
(iii) Man vergleiche die Graphen der Übertragungsfunktion, indem sowohl der
Betrag als auch die Phase dargestellt werden.
(iv) Wie müssen L und C dimensioniert werden, damit bei R = 500 Ω der
Tiefpass aus (ii) eine Grenzfrequenz von ωg = 1 000
1
s
besitzt?
M.2 Hochpass:
(i) Man bestimme Ropt und ωg für einen Hochpass, bestehend aus 3 LCL-ΠGliedern (L = C = 1) .
(ii) Wie müssen L und C dimensioniert werden, damit der Hochpass eine Grenzfrequenz von ωg = 10 000
1
s
bei R = 1 kΩ besitzt?
(iii) Wie müssen R und L gewählt werden, wenn der Hochpass eine Grenzfrequenz von ωg = 10 000
zur Verfügung stehen?
1
s
besitzen soll; aber nur Kondensatoren mit 100 nF
M.3 Bandpass:
(i) Man bestimme Ropt , ωu , ωo für einen Bandpass, der sich aus 2 T-LCpGliedern zusammensetzt. Dazu setze man L = C = 1 und betrachte die
Fälle (Lk = 1, Ck = 1), (Lk = 21 , Ck = 2), (Lk = 2, Ck = 12 ).
(ii) Man setze Kf = ωo und skaliere für eine obere Grenzfrequenz ωo = 10 000 1s
bei R = 100 Ω für die oben angegebenen Fälle. Man zeichne die Übertragungsfunktion.
M.4 Bandsperre:
Man diskutiere analog zu Aufgabe M.3 eine Bandsperre, bestehend aus 3 TGliedern.
M.5 Ortskurve:
Man zeichne für Aufgabe M.1 (i) und (ii) und Aufgabe M.2 (i) sowohl den
Betrag der Übertragungsfunktion als auch die Phase. Außerdem verwende man
den Maple-Befehl polarplot ([abs(u3), argument(u3), ω= 0..ωmax ]). Was wird
durch die Ortskurve dargestellt? (Man wähle dazu numpoints = 300 !!)
300
5.6
5. Komplexe Zahlen
5.6 Aufgaben zu komplexen Zahlen
5.1 Geben Sie die Exponentialform der folgenden komplexen Zahlen an
√
√
a) 3 3 + 3 i b) −2 − 2 i c) 1 − 3 i d) 5 e) −5 i f) −1
5.2 Wie lautet die trigonometrische und algebraische Normalform von
√
π
2π
4π
b) 2 ei 3
c) ei π
d) 4 ei 3
a) 3 2 ei 4
5.3 Welches sind die zugehörigen komplex konjugierten Zahlen
√
√
3
a) 3 + 2 i
b) 4 (cos 125◦ + i sin 125◦ )
c) 5 ei 2 π
d) 3 ei 0.734
5.4 Man bestimme die trigonometrische Normalform von
√
√
√
a) −1 + 3 i
b) −1 + i
c) 2 + 2i
d) −3 − 4i
5.5 Berechnen Sie
a) 2 (5 − 3 i) − 3 (−2 + i) + 5 (i − 3)
10
2 − 4 i 2
1−i
d)
e) 1+i
5 − 7i
5.6 Sei z1 = 1 − i , z2 = −2 + 4 i , z3 =
Normalform von
a) z12 + 2 z1 − 3
d) |z1 z2∗ + z2 z1∗ |
g) ((z2 + z3 ) (z1 − z3 ))∗
5.7 Berechnen Sie
√ 10
a) −1 + 3 i
5
10
+ 4+3
i
3 − 4i
(1 + i) (2 + 3 i) (4 − 2 i)
f)
(1 + 2 i)2 (1 − i)
b) (3 − 2 i)3
c)
√
3 − 2 i. Wie lautet die algebraische
b) |2 z2 − 3 z1 |2
2 +1 e) zz11+z
2−z2 +i
2
∗ 2 2
h) z1 + z2
+ z3∗ 2 − z22 b) [2 (cos 45◦ + i sin 45◦ )]3 c) 3
c) (z3− z3∗ )5 z∗
f) 12 zz∗3 + z33
3
i) Im { z1z3z2 }
√
6
3 + 3i
7
5
d) 2 ei 3 π
5.8 Geben Sie im Komplexen alle Lösungen an von
a) z 4 + 81 = 0 ,
√
b) z 6 + 1 = 3 i
5.9 Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen von
a) z 5 − 2 z 4 − z 3 + 6 z − 4 = 0
b) 4 x4 + 4 x3 − 7 x2 + x − 2 = 0
5.10 Lösen Sie Aufgaben 5.1 - 5.9 mit Maple.
5.11 Wie lauten der Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen
iπ
◦
−2 + 7 i
1+i
1−i
1 + 3i
2e 4
a)
b)
c)
−
d)
e) 2 ei 120
15 i
1−i
1 + 2i 1 − 2i
(1 + i) (2 + i)
5π
π
2 − i −i π
f) 3 ei 6
g) −5 e−i 2
h) 7 ei π
i)
·e 3
2+i
Wie groß sind jeweils Betrag und Winkel?
5.12 Wie heißen die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform? (Verwenden
Sie zur Berechnung Maple.)
a) −1 − i
b) −1 + i c) 3 + 4 i d) −3 − 4 i e) 2 i f) −2 g) 1 − 2 i
5.6
Aufgaben zu komplexen Zahlen
301
5.13 Es sei z = x + i y und z ∗ die zu z konjugiert komplexe Zahl. Bestimmen Sie
mit Maple
∗ a) a = zz∗ b) b = Re z −2
c) c = Im z ∗ 3
d) d = Im z 3
5.14 Berechnen Sie mit Maple
6
1
i 10
b) i + 1+i
a) 3+4
5
h
i
π 9
c) (1 + i) · e−i 6
5.15 Berechnen Sie mit Maple alle reellen und komplexen Lösungen der Gleichungen
√
c) 32 z 5 − 243 = 0
a) z 3 = i
b) z 2 = −1 + i 3
d) z 3 +
4
1+i
e) z 4 +
=0
π
i
1+2 e 2
−i π
2
2+e
=0
f) z 2 − 2 i z + 3 = 0
5.16 Bestimmen Sie mit Maple alle Nullstellen der Funktion z 4 −3 z 3 +2 z 2 +2 z−4.
5.17 a) Berechnen Sie den komplexen und reellen Scheinwiderstand für die in Abb.
1a skizzierte Reihenschaltung (R = 100Ω, C = 20µF , L = 0.2H, ω = 106 1s ).
b) Bestimmen Sie den komplexen und reellen Scheinwiderstand für die in Abb.
1b skizzierte Parallelschaltung (R = 100Ω, L = 0.5H, ω = 500 1s ).
Abb. 1a
Abb. 1b
5.18 a) Man berechne den komplexen Scheinwiderstand der in Abb. 2a dargestellten
Schaltung als Funktion von ω.
b) Man berechne den komplexen Scheinwiderstand der in Abb. 2b dargestellten
Schaltung bei einer Kreisfrequenz ω = 300 s−1 für die Parameter R1 = 50Ω,
L1 = 1H, R2 = 300Ω, C1 = 10µF , R3 = 20Ω, L2 = 1.5H.
Abb. 2a
Abb. 2b
5.19 Gegeben sind die beiden Wechselspannungen u1 (t) und u2 (t) . Man bestimme
die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung ω = 314 1s :
u1 (t) = 100 V · sin (ωt)
u2 (t) = 150 V · cos ωt − π4
und zeichne alle drei Graphen in ein Schaubild.
π
5.20 Die mechanischen Schwingungen y1 (t) = 20 cm · sin πt + 10
und y2 (t) =
15 cm · cos πt + π6 werden ungestört zur Überlagerung gebracht. Wie lautet
die resultierende Schwingung? (Man rechne in der Kosinusdarstellung!)
5.21 Man zeige zeichnerisch, dass
3 cos ωt + π6 + 2 cos ωt + π4 = A cos (ωt + ϕ)
mit A ≈ 5 , ϕ ≈ 36◦ .
Kapitel 9
Funktionenreihen
9
9
9
9.1
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.2
9.3
9.4
9.5
9.5.1
9.5.2
9.5.3
9.5.4
9.5.5
9.6
9.6.1
9.6.2
9.6.3
9.6.4
9.6.5
9.6.6
9.6.7
9.6.8
9.7
Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenreihen ........................................................
Beispiele .............................................................
Majorantenkriterium...............................................
Quotientenkriterium ..............................................
Leibniz-Kriterium ..................................................
Potenzreihen ........................................................
Taylor-Reihen .......................................................
Anwendungen.......................................................
Komplexwertige Funktionen .....................................
Komplexe Potenzreihen ...........................................
Die Eulersche Formel..............................................
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion ..........
Komplexe Hyperbelfunktionen ..................................
Differenziation und Integration ..................................
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen ................
Zahlenreihen mit MAPLE .........................................
Quotientenkriterium mit MAPLE ...............................
Konvergenzbetrachtungen mit MAPLE ........................
Potenzreihen mit MAPLE ........................................
Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen............
Taylor-Reihen mit MAPLE .......................................
Anwendungsbeispiel: Scheinwerferregelung mit MAPLE ....
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle .......................
Aufgaben zu Funktionenreihen ..................................
459
459
461
465
466
468
470
476
486
492
492
494
495
497
498
501
501
502
503
504
506
507
510
513
514
9 Funktionenreihen
Die wichtigsten, in den Anwendungen auftretenden Funktionen lassen sich als PoP∞
n
tenzreihen der Form
n=0 an (x − x0 ) , den sog. Taylor-Reihen darstellen. Diese
√
Entwicklung liefert eine Möglichkeit, um Funktionen wie z.B. ex , sin x, tan x, x, ln x
oder arctan x explizit zu berechnen, indem nur die Grundrechenoperationen + − ∗ /
angewendet werden. Darüber hinaus ist es für die Anwendungen wichtig, dass für
gegebene, gegebenenfalls komplizierte Funktionen Näherungsformeln zur Verfügung
stehen.
Anwendungsbeispiel 9.1 (Scheinwerferregulierung).
Bei der Einstellung von Scheinwerfern muss die Höhe des Abblendlichts laut
Gesetz über eine Entfernung von 10 m um eine vorgegebene Höhe Hopt = 0.1 m
abnehmen. Aus dieser Vorgabe ergibt sich für die Hell-Dunkel-Grenze eine
Zielneigung der Scheinwerfer durch
βab = arctan
Hopt
◦
≈ 0.009999=0.5729
b
.
10
Abb. 9.1. Grundeinstellung der Scheinwerfer
Da der aktuelle Neigungswinkel β der Scheinwerfer nicht direkt ermittelbar ist,
wird er optisch über die Messung zweier Distanzen d1 und d2 bestimmt. Bei
einer angenommenen Anbauhöhe der Scheinwerfer von H0 = 0.65 m und baubedingt vorgegebene Neigungswinkeln der beiden Messstrahlen α1 = 0.20337
◦
=
b 11.65◦ und α2 = 0.09791=5.61
b
ergeben sich die beiden durch den Sensor
gemessenen Distanzen d1 und d2 in Abhängigkeit des aktuellen Scheinwerferwinkels β durch
H0
,
sin(α1 + β)
H0
d2 =
.
sin(α2 + β)
d1 =
458
9. Funktionenreihen
Abb. 9.2. Geometrische Anordnung der beiden Messstrahlen
Um die Einstellung der Scheinwerfer eines Fahrzeugtyps unabhängig von der
speziellen Anbauhöhe H0 zu ermitteln, geht man zum Quotienten
d1
sin(α2 + β)
=
= q(β)
d2
sin(α1 + β)
über. Damit ergibt sich bei einem ruhenden Fahrzeug mit dem Ablenkwinkel
βab zwischen der Hell-Dunkel-Grenze und der Horizontalen der Wert des Quotienten zu q0 = q(βab ) = 0.5086.
Um vom Quotienten der beiden Distanzwerte auf den aktuellen Neigungswinkel β der Scheinwerfer einfach schließen zu können, wird eine Näherungsformel von q(β) gesucht, die sich anschließend nach β auflösen lässt (→ TaylorPolynom 2. Ordnung). Dieser Winkel soll im Bereich βab ± 1◦ genau bestimmt
werden.
9.1
Zahlenreihen
459
9.1
9.1 Zahlenreihen
Bevor wir allgemein auf Potenz- und Taylor-Reihen zu sprechen kommen, werden zunächst
Zahlenreihen und deren Konvergenzkriterien behandelt. Die Konvergenzkriterien benötigen
wir dann bei der Diskussion der Konvergenz der Taylor-Reihen.
Nach Kap. 6.1 bezeichnet man eine geordnete Menge reeller Zahlen
(an )n∈IN = a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
als reelle Zahlenfolge. Eine Zahlenfolge heißt konvergent, wenn eine reelle Zahl
a ∈ IR existiert, so dass es zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ IN gibt mit
|an − a| < ε
für n ≥ n0 .
Beispiele 9.2:
Folge
(an )n = 1, 2, 3, 4, . . .
allgem. Glied
an = n
1
an =
n
(an )n = 1, 12 , 13 , 14 , . . .
(an )n = q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , . . .
(an )n = 1,
Konvergenz
nein
ja: an → 0

für |q| < 1 :



für |q| > 1 :
 für q = 1 :


für q = −1 :
an = q n−1
1
1
1
2! , 3! , 4! , . . .
1
n!
n 1
an = (−1)
n
an =
(an )n = −1, 12 , − 13 , 14 , . . .
an → 0
divergent
an → 1
divergent
ja: an → 0
ja: an → 0
Übergang zu Reihen. Wir betrachten die Zahlenfolge
(an )n = 1, 1,
1 1 1
1
, , ,...,
,...
2! 3! 4!
(n − 1)!
1
mit dem allgemeinen Glied an = (n−1)!
. Aus den Gliedern dieser Folge bilden
wir sog. Teilsummen (= Partialsummen), indem wir jeweils die ersten Glieder
aufsummieren:
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
=1
=1+1
=1+1+
=1+1+
=1+1+
=1+1+
=1+1+
=1+1+
1
2!
1
2!
1
2!
1
2!
1
2!
1
2!
+
+
+
+
+
1
3!
1
3!
1
3!
1
3!
1
3!
+
+
+
+
1
4!
1
4!
1
4!
1
4!
+
+
+
1
5!
1
5!
1
5!
+
+
1
6!
1
6!
+
1
7!
=1
=2
= 2, 5
= 2, 66666
= 2, 70833
= 2, 71666
= 2, 71804
= 2, 71823
460
9. Funktionenreihen
Wir fassen die Partialsummen zu einer Folge (Sn )n∈IN zusammen. Diese Folge
genügt dem Bildungsgesetz
n
Sn = 1 + 1 +
X
1
1
1
1
+ + ... +
=
.
2! 3!
(n − 1)!
(k − 1)!
k=1
(Sn )n bezeichnet man als Reihe.
Definition: (Reihen). Sei (ak )k∈IN eine Zahlenfolge. Dann heißt
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =
n
X
ak
k=1
eine Partialsumme und die Folge der Partialsummen (Sn )n∈IN heißt
unendliche Reihe (kurz: Reihe):
!
n
X
(Sn )n∈IN =
ak
= (a1 + a2 + . . . + an )n∈IN .
k=1
n∈IN
Bemerkungen:
(1) Oftmals beginnt die Summation einer Reihe bei k = 0.
(2) Der Name des Summationsindex kann beliebig gewählt werden:
∞
X
ak =
k=0
∞
X
ai .
i=0
Beispiele 9.3:
allgem. Folgenglied
an = n
1
an =
n
an = q n
1
an =
n!
n 1
an = (−1)
n
Partialsumme
Pn
k=1 k = 1 + 2 + 3 + . . . + n
Pn 1
1
1
1
k=1 k = 1 + 2 + 3 + . . . + n
Pn
k
2
n
k=0 q = 1 + q + q + . . . + q
Pn 1
1
1
k=0 k! = 1 + 1 + 2! + . . . + n!
Pn
k 1
n
1
1
k=1 (−1) k = −1 + 2 − 3 ± . . . (−1)
1
n
Pn
Eine Reihe ist also die Folge der Partialsummen ( k=1 ak )n∈IN . Es stellt sich
die Frage, ob diese Folgen konvergieren, d.h. ob
lim Sn =
n→∞
einen endlichen Wert besitzt.
∞
X
k=1
ak
9.1
Zahlenreihen
461
Definition:
Pn
(1) Eine Reihe ( k=1 ak )n∈IN heißt konvergent, wenn die Folge der ParPn
tialsummen Sn := k=1 ak eine konvergente Folge ist. Liegt Konvergenz vor, so bezeichnet man den Grenzwert
lim Sn = lim
n→∞
n→∞
n
X
ak =
k=1
∞
X
ak
k=1
als Summe der unendlichen Reihe.
Pn
(2) Eine Reihe ( k=1 ak )n∈IN heißt divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt.
Pn
(3) Eine Reihe ( k=1 ak )n∈IN heißt absolut konvergent, wenn die ParPn
tialsumme der Beträge Sn := k=1 |ak | konvergiert.
Bemerkungen:
(1) Eine konvergente Reihe besitzt stets einen endlichen, eindeutig bestimmten
Summenwert.
(2) Eine absolut konvergente Reihe ist stets konvergent. Die Umkehrung gilt
allerdings nicht (→ Beispiel 9.14)!
P∞
(3) Eine Reihe heißt bestimmt divergent, wenn k=1 ak entweder +∞ oder
−∞ ist.
(4) Die Auswertung der Partialsumme als geschlossener Ausdruck ist in manchen, seltenen Fällen möglich. Dann ist der Summenwert berechenbar. I.a.
jedoch ist der Grenzwert unbekannt und man muss Konvergenzkriterien
anwenden, um die Konvergenz der Reihe zu zeigen.
Wir behandeln zunächst Reihen, bei denen sich die Partialsummen auswerten
lassen und lernen dann wichtige Konvergenzkriterien kennen.
9.1.1 Beispiele
Beispiel 9.4. Die geometrische Reihe
∞
X
qk = 1 + q + q2 + . . . + qk + . . .
k=0
konvergiert für |q| < 1 und divergiert für |q| ≥ 1.
462
9. Funktionenreihen
Denn nach Kap. 1.2.3 gilt für die endliche geometrische Reihe:
Sn =
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
1−q
für q 6= 1.
Für |q| < 1 ist lim q n+1 = 0 und die Folge der Partialsummen hat den
n→∞
Grenzwert
1
1 − q n+1
S = lim Sn = lim
=
.
n→∞
n→∞ 1 − q
1−q
Folglich ist
∞
X
k=0
qk =
1
1−q
für |q| < 1.
Pn
Für |q| > 1 divergiert q n+1 und damit Sn . Für q = 1 ist Sn =
k=0 1 =
n + 1, also divergent. Für q = −1 ist die Reihe ebenfalls divergent, wie das
nachfolgende Beispiel zeigt.
Beispiel 9.5. Die Reihe
∞
P
n
(−1)
n=0
ist divergent. Denn die Folge der Partialsummen ist
S0 = 1,
S4 = 1,
S1 = 1 − 1 = 0,
S5 = 0,
S2 = 1 − 1 + 1 = 1,
S6 = 1,
S3 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0,
S7 = 0, . . .
usw.
P∞
n
Damit besitzt die Folge (Sn ) keinen Grenzwert und die Reihe n=0 (−1) ist
divergent. Dieses Beispiel zeigt auch, dass eine divergente Reihe nicht notwendigerweise gegen +∞ oder −∞ gehen muss.
Beispiel 9.6. Die arithmetische Reihe
∞
X
k = 1 + 2 + 3 + ... + n + ...
k=1
ist divergent. Durch vollständige Induktion wurde in Beispiel 1.3 gezeigt, dass
Sn =
n
X
k=1
k = 1 + 2 + 3 + ... + n =
n (n + 1)
.
2
9.1
Zahlenreihen
463
Folglich ist der Grenzwert
S = lim Sn = lim
n→∞
n→∞
1
n (n + 1) = ∞ .
2
Die arithmetische Reihe ist damit bestimmt divergent.
Beispiel 9.7. Die Reihe
∞
X
k=1
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
+ ...
k (k + 1)
1·2 2·3 3·4
k (k + 1)
ist konvergent. Wie man leicht mit vollständiger Induktion beweist, gilt für die
Partialsumme
Sn =
n
X
k=1
1
1
1
n
1
=
+
+ ... +
=
.
k (k + 1)
1·2 2·3
n (n + 1)
n+1
Folglich ist
lim Sn = lim
n→∞
n→∞
n
=1 ⇒
n+1
∞
X
k=1
1
= 1.
k (k + 1)
! Beispiel 9.8. Die harmonische Reihe
4
∞
X
1 1 1
1
1
= 1 + + + + ... + + ...
n
2
3
4
n
n=1
ist divergent: Wir vergleichen die harmonische Reihe mit einer Vergleichsreihe, deren Folgenglieder kleiner als die der harmonischen Reihe sind; die
Vergleichsreihe aber schon divergiert.
Harmonische Reihe:

 



1 1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ + +
+ ... +  n
+ . . . + n+1  + . . .
1+ +
2
3 4
5 6 7 8
2 +1
2
↑
↑
↑
↑
Die Klammerung erfolgt dabei so, dass jeweils die Summanden
1
1
+ . . . + n+1
2n + 1
2
zusammengefasst werden. Wir ersetzen alle Terme einer Klammer durch den
1
mit Pfeil gekennzeichneten Wert 2n+1
. Dadurch verkleinern wir den Wert der
Summe und erhalten die Vergleichsreihe
1
1 1
1 1 1 1
1
1
1+ +
+
+
+ + +
+
+ ... +
+ ...
2
4 4
8 8 8 8
16
16
464
9. Funktionenreihen
Für diese Reihe ist
n
X
1
i=1
2
=n
1
→∞
2
für n → ∞.
Da die Vergleichsreihe gegen ∞ divergiert, muss die harmonische Reihe, deren
Glieder größer als die der Vergleichsreihe sind, ebenfalls divergieren.
Bei diesen Überlegungen geht implizit das sog. Minorantenkriterium ein. Es
besagt, dass eine Reihe divergiert, wenn eine divergente Vergleichsreihe (Minorante) existiert, deren Reihenglieder kleiner sind als die der ursprünglichen
Reihe:
Minorantenkriterium: Ist 0 < ai ≤ bi ab einem m ∈ IN, dann gilt
∞
X
⇒
ai divergent
i=1
∞
X
bi divergent.
i=1
Folgerungen aus der Divergenz der harmonischen Reihe:
P∞
!
(1) 4
lim an = 0 genügt nicht, um die Konvergenz der Reihe k=1 ak
n→∞
sicherzustellen.
P∞
(2) Ist an konvergent mit lim an 6= 0, dann ist die Reihe k=1 ak divern→∞
gent.
P∞
(3) Ist k=1 ak konvergent ⇒ lim an = 0.
n→∞
! Achtung:
4
Eine numerische Berechnung einer Reihe reicht nicht aus, um
die Konvergenz zu prüfen, bzw. im Falle der Konvergenz den Summenwert zu
P∞
bestimmen!: Die harmonische Reihe n=1 n1 ist numerisch immer konvergent,
was im Widerspruch zu Beispiel 9.8 steht. Dieser Trugschluss rührt daher, dass
numerisch nur mit einer endlichen Genauigkeit gerechnet wird. Daher ist ab
einem gewissen N numerisch
N
X
1
i=1
i
N
+
X1
1
=
N +1
i
i=1
(numerisch!),
da dann N1+1 nicht mehr zum Summenwert beiträgt. Ab diesem N ändert die
Reihe numerisch ihren Wert nicht mehr.
9.1
Zahlenreihen
465
Beispiel 9.9 (Mit Maple-Worksheet). Um diesen Effekt zu verdeutlichen,
berechnen wir die harmonische Reihe mit einer Rechengenauigkeit von 5 Stellen. Wir erhalten die folgenden Ergebnisse in Abhängigkeit von N
N
summe
10
2.9290
100
5.1873
1000
7.4847
10000
9.7509
15000
10.000
20000
10.000
30000
10.000
Etwa ab N = 15000 ändert sich der Summenwert nicht mehr, obwohl die
Reihe divergiert! Ändert man die Reihenfolge der Summation, kann nahezu
jeder Wert größer 10 als Summenwert erhalten werden.
Da in den wenigsten Fällen die Partialsumme als geschlossener Ausdruck vorliegt, werden Kriterien benötigt, um zu entscheiden, ob Reihen konvergieren
oder nicht. Dies führt zu den sog. Konvergenzkriterien. Wir geben nur die drei
wichtigsten an.
9.1.2 Majorantenkriterium
Ein sehr anschauliches Kriterium ist das Majorantenkriterium, welches besagt,
dass eine Reihe konvergiert, wenn eine betragsmäßig größere Reihe schon konvergiert.
Majorantenkriterium:
Ist |ai | ≤ Ai und
∞
X
Ai konvergent
⇒
∞
X
i=1
Man bezeichnet
P∞
i=1
ai konvergent.
i=1
Ai dann als Majorante.
1
:
n=1 np
Die konvergente Majorante ist die in Beispiel 9.7 diskutierte Reihe:
Beispiel 9.10. Für p ≥ 2 konvergiert die Reihe
∞
X
k=1
X∞
1
= 1.
k (k + 1)
Denn für p ≥ 2 gilt
1
1
2
≤ 2 ≤
.
kp
k
k (k + 1)
Daher ist
N
N
∞
X
X
X
1
2
1
≤
≤2
=2
kp
k (k + 1)
k (k + 1)
k=1
und
P∞
1
k=1 kp
k=1
k=1
ist konvergent mit einem Summenwert ≤ 2.
466
9. Funktionenreihen
Es gilt allgemeiner der folgende Satz:
Satz: Die Reihe
∞
X
1
np
n=1
ist konvergent für p > 1 und divergent für p ≤ 1.
Beispiele 9.11:
X∞
X∞
1
1
√1 =
➀ Die Reihe
1 ist divergent, da p = 2 < 1.
n=1 n
n=1 n 2
X∞
X∞
1
3
√n =
➁ Die Reihe
3 ist konvergent, da p = 2 > 1.
5
n=1 n
n=1 n 2
X∞ sin(n)
X∞
sin(n)
1
√
√
➂ Die Reihe
ist
konvergent:
Wegen
≤
3 stellt
3
3
n
n
n=1
n=1
n2
eine konvergente Majorante dar.
1
3
n2
9.1.3 Quotientenkriterium
Für die Anwendung bei Potenzreihen zeigt sich das folgende Quotientenkriterium als außerordentlich erfolgreich.
Quotientenkriterium: Die Reihe
N ∈ IN und eine Zahl q < 1 gibt mit
an+1 an ≤ q < 1
P∞
n=1
an ist konvergent, falls es ein
für alle n ≥ N.
Begründung: Weil es auf endlich viele Glieder nicht ankommt, sei angenommen, dass |an+1 | ≤ q |an | für alle n. Dann folgt induktiv
|an | ≤ q |an−1 | ≤ q 2 |an−2 | ≤ q 3 |an−3 | ≤ . . . ≤ q n |a0 | .
Da q < 1 gilt unter Verwendung der geometrischen Reihe aus Beispiel 9.4
∞
∞
∞
X X
X
1
an ≤
|an | ≤ |a0 |
q n = |a0 |
.
1−q
n=0
n=0
n=0
9.1
Zahlenreihen
467
Bemerkungen:
(1) Da die geometrische Reihe für |q| > 1 divergiert, erhält man analog zu der
Argumentation des vorherigen
die Aussage:
Beweises
an+1 Gibt es ein N ∈ IN, so dass an > 1 für alle n ≥ N, dann divergiert die
P∞
Reihe n=1 an .
(2) Für die Anwendungen bei den Potenz- und Taylor-Reihen ist es oft einfacher, die Limesform
des Quotientenkriteriums zu verwenden. Hierbei be
rechnet man lim aan+1
. Es gilt dann äquivalent zum Quotientenkriterin
n→∞
um:
Limesform des Quotientenkriteriums:
∞
X
an+1 Ist lim <1 ⇒
an
n→∞
an n=1
Ist
an+1 >1
lim n→∞
an ⇒
∞
X
an
konvergent.
divergent.
n=1
an+1 = 1 ist keine Aussage über die Konvergenz möglich.
Für lim n→∞
an Beispiele 9.12:
➀ Die Reihe
∞
X
n2
2n
n=1
ist konvergent. Dies folgt aus der Limesform des Quotientenkriteriums, da
2
an+1 (n + 1)2 n2 2n (n + 1)2
1
1
n→∞ 1
=
−→
< 1.
an 2n+1 / 2n = 2n+1 n2 = 2 1 + n
2
➁ Die Reihe
∞
X
1 n
x
n!
n=0
ist für jedes x ∈ IR konvergent. Dies folgt aus der Limesform des Quotientenkriteriums, da
an+1 xn+1
n! |x| n→∞
=
an (n + 1)! · xn = n + 1 −→ 0 < 1.
468
9. Funktionenreihen
Bemerkungen zum Quotientenkriterium
a ! Achtung: Im Falle lim n+1 = 1 ist keine Aussage möglich:
(1) 4
an
n→∞
P∞
Für an = n1 erhalten wir die harmonische Reihe n=1 n1 . Hier ist
an+1 n n→∞
an = n + 1 −→ 1.
P∞
Für an = n12 erhalten wir die Reihe n=1 n12 . Auch hier gilt
an+1 n2
n→∞
=
an (n + 1)2 −→ 1.
Für beide Fälle liefert die Limesform des Quotientenkriteriums als Wert
1. Nach Beispiel 9.8 divergiert die erste und nach Beispiel 9.10 konvergiert
die zweite Reihe. Damit kann das Quotientenkriterium in solchen Fällen
nicht angewendet werden!
(2) Das Quotientenkriterium ist also nur eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.
(3) Man beachte, dass das Konvergenzkriterium nur Aufschluss darüber gibt,
ob eine Reihe konvergiert oder nicht; es liefert keinen
Anhaltspunkt über
an+1 den Summenwert. Insbesondere stimmt lim an nicht mit dem Wert
n→∞
der Reihe überein!
Die Maple-Prozedur quotkrit wendet auf eine gegebene Reihe mit
Reihengliedern a(n) das Quotientenkriterium in der Limesform an.
9.1.4 Leibniz-Kriterium
Für alternierende Reihen, Reihen deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, existiert ein von Leibniz (1646 - 1716) stammendes Kriterium. AlP∞
n+1
ternierende Reihen haben die Form n=1 (−1)
an = a1 − a2 + a3 − a4 ± . . .
n+1
mit an > 0. Das Vorzeichen (−1)
wechselt dabei ständig.
Leibniz-Kriterium: Eine alternierende Reihe
∞
X
n+1
(−1)
an = a1 − a2 + a3 − a4 ± . . .
n=1
ist konvergent, falls a1 > a2 > a3 > a4 > . . . > 0 und lim an = 0.
n→∞
Eine alternierende Reihe konvergiert also, wenn die Beträge der
Glieder eine streng monoton fallende Nullfolge bilden.
9.2
Potenzreihen
469
P∞
n+1 1
Beispiel 9.13. n=1 (−1)
n! ist konvergent. Die Glieder der Reihe sind
alternierend und die Beträge der Glieder
1
1
1
1
1
> ... > 0
>
>
> ... >
>
1!
2!
3!
n!
(n + 1)!
bilden eine streng monoton fallende Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium
konvergiert die Reihe.
Beispiel 9.14. Die alternierende harmonische Reihe
∞
X
n+1
(−1)
n=1
1
=1−
n
1
2
+
1
3
−
1
4
± ...
ist konvergent. Die Glieder der Reihe sind alternierend und deren Beträge
1>
1
1
1
1
> > ... > >
> ... > 0
2
3
n
n+1
bilden eine streng monoton fallende Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium
konvergiert die Reihe.
P∞
n+1
Beispiel 9.15. n=1 (−1)
divergiert nach Beispiel 9.5. Das Leibniz-Kriterium
ist nicht anwendbar, da |an | = 1 keine Nullfolge ist.
Bemerkungen:
(1) Absolut konvergente Reihen sind auch konvergent im gewöhnlichen Sinne.
Die Umkehrung gilt aber nicht!: Die alternierende harmonische Reihe ist
konvergent (→ Beispiel
9.14) aber
absolut konvergent, da die harmo nicht
P∞ 1
P∞ n+1 1 nische Reihe n=1 (−1)
n=1 n nach Beispiel 9.8 divergiert.
n =
(2) Bei der Anwendung des Leibniz-Kriteriums genügt es nicht, nur die Eigenschaft ”alternierend” nachzuprüfen! Selbst wenn die Reihenglieder alternierendes Vorzeichen besitzen und eine Nullfolge bilden, folgt nicht die
Konvergenz, wie die Reihe
(
)
∞
k
X
1
(−1)
k
√
(−1)
+
k+1
k+1
k=1
zeigt. Die Reihenglieder sind alternierend, bilden aber keine betragsmäßig
monoton fallende Nullfolge.
470
9.2
9. Funktionenreihen
9.2 Potenzreihen
Dieser Abschnitt stellt den Übergang von den Zahlenreihen zu den Taylor-Reihen dar. Die
Konvergenzkriterien der Zahlenreihen werden übertragen auf Potenzreihen, um den Definitionsbereich der Potenzreihen zu bestimmen.
Sind die Summanden in einer Reihe selbst Funktionen einer Variablen x, so
P∞
stellt der Ausdruck n=0 an (x) eine Funktion dar, eine sog. Funktionenreihe. Ein wichtiger Spezialfall solcher Funktionenreihen sind die Potenzreihen.
Definition: Eine Funktion der Form
∞
X
an xn = a0 + a1 x + . . . + an xn + . . .
n=0
heißt Potenzreihe. Der Definitionsbereich einer Potenzreihe besteht aus
P∞
allen reellen Zahlen x, für die n= 0 an xn konvergiert. Man nennt daher
die Menge
(
)
∞
X
n
K := x ∈ IR :
an x
konvergent
n=0
den Konvergenzbereich der Potenzreihe.
Bemerkungen:
(1) Man bezeichnet a0 , a1 , a2 , . . . , an , . . . als die Koeffizienten der Potenzreihe.
(2) Für jedes feste x ist eine Potenzreihe eine Zahlenreihe.
(3) Eine etwas allgemeinere Darstellung von Potenzreihen erhält man durch
Ausdrücke der Form
∞
X
n
n
an (x − x0 ) = a0 + a1 (x − x0 ) + . . . + an (x − x0 ) + . . . .
n=0
Man bezeichnet dann die Stelle x0 als den Entwicklungspunkt der Reihe.
Beispiel 9.16.
P∞
Beispiel 9.17.
P∞
n=0
n xn = 1 x + 2 x2 + 3 x3 + . . . + n xn + . . . .
1
n=0 n!
xn = 1 + x +
1
2!
x2 +
1
3!
x3 + . . . +
1
n!
xn + . . . .
9.2
Potenzreihen
471
Beispiel 9.18. f sei im Punkte x0 ∈ ID beliebig oft differenzierbar. Dann ist
∞
X
1 (n)
n
f (x0 ) (x − x0 )
n!
n=0
eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x0 und den Koeffizienten
an =
1 (n)
f (x0 ) .
n!
Eine solche Reihe bezeichnet man als Taylor-Reihe der Funktion f am Entwicklungspunkt x0 (→ §9.3).
Beispiel 9.19 (Geometrische Potenzreihe): Nach Beispiel 9.4 ist die Potenzreihe
∞
X
1
xn = 1 + x + x2 + . . . + xn + . . . =
1−x
n=0
für |x| < 1 konvergent und für |x| ≥ 1 divergent. Der Konvergenzbereich
ist daher K = (−1, 1) .
Beispiel 9.20. Wir berechnen den Konvergenzbereich der Potenzreihe
∞
X
1 n
x =x+
n
n=1
1
2
x2 +
1
3
x3 + . . . +
1
n
xn + . . . .
Dazu wenden wir für ein beliebiges aber festes x ∈ IR das Quotientenkriterium
mit bn = n1 xn an:
bn+1 xn+1 xn xn+1 n =
=
= n |x| n→∞
/
−→ |x| .
bn n + 1
n n + 1 xn n + 1
Damit konvergiert die Reihe für |x| < 1 und divergiert für |x| > 1. Für |x| = 1
müssen getrennte Untersuchungen durchgeführt werden, indem die jeweiligen
Werte in die Reihe eingesetzt werden:
Für x = 1 ist
∞
∞
∞
X
1 n X1 n X1
x =
1 =
n
n
n
n=1
n=1
n=1
die harmonische Reihe, also nach Beispiel 9.8 divergent.
Für x = −1 ist
∞
∞
X
1 n X1
n
x =
(−1) .
n
n
n=1
n=1
Die alternierende harmonische Reihe ist nach Beispiel 9.14 konvergent. Damit
ist der Konvergenzbereich K = [−1, 1) .
472
9. Funktionenreihen
Konvergenzverhalten von Potenzreihen
P∞
n
Man kann für beliebige Potenzreihen
n=0 an x das Konvergenzverhalten
charakterisieren. Grundlage hierfür ist der folgende Satz.
Satz über das Konvergenzverhalten von Potenzreihen: Jede Potenzreihe
∞
X
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
n=0
besitzt einen eindeutig bestimmten Konvergenzradius ρ
mit den Eigenschaften:
(0 ≤ ρ ≤ ∞)
(1) Die Reihe konvergiert für alle x mit |x| < ρ.
(2) Die Reihe divergiert für alle x mit |x| > ρ.
(3) Für |x| = ρ ist keine allgemeine Aussage möglich.
Begründung: Zur Bestimmung von ρ wenden wir das Quotientenkriterium
P∞
auf die Reihe n= 0 bn mit bn = an xn an:
bn+1 an+1 xn+1 an+1 an+1 =
=
|x| n→∞
· |x| .
−→ lim bn an xn an n→∞
an Nach der Limesform des Quotientenkriteriums
an+1 · |x| < 1 ,→ |x| <
lim
n→∞ an lim
n→∞
konvergiert die Reihe für
a 1
= lim n an+1 n→∞ an+1
an und sie divergiert für
an 1
.
lim |x| >
an+1 =n→∞
a
n+1
lim an n→∞
n Setzen wir ρ := lim aan+1
, so sind die Aussagen des Satzes nachgeprüft und
n→∞
wir haben den Konvergenzradius berechnet.
Satz: (Konvergenzradius)
P∞
Der Konvergenzradius ρ einer Potenzreihe n=0 an xn ist gegeben durch
an .
ρ = lim n→∞ an+1 9.2
Potenzreihen
473
Bemerkungen:
(1) Der Sonderfall ρ = ∞ ist möglich, denn dann ist |x| < ρ immer erfüllt und
der Konvergenzbereich ist K = IR.
(2) Es gibt Potenzreihen mit ρ = 0. Diese Reihen konvergieren für kein x ∈ IR.
(3) Für |x| = ρ, d.h. x = ± ρ, kann keine allgemeingültige Aussage getroffen
werden. An diesen Randstellen müssen getrennte Untersuchungen durchgeführt werden.
n (4) Es ist keine Aussage möglich, falls lim aan+1
nicht existiert.
n→∞
a ! Achtung: Beim Quotientenkriterium wird das Verhältnis n+1 ge(5) 4
an
bildet, während für die Berechnung des Konvergenzradius das Verhältnis
an an+1 bestimmt wird!
P∞
n
(6) Eine Potenzreihe
n=0 an x konvergiert stets innerhalb des zum Nullpunkt symmetrischen Intervalls |x| < ρ und divergiert außerhalb. Abb. 9.3
zeigt die graphische Darstellung des Konvergenzbereichs.
Abb. 9.3. Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Beispiel 9.21. Die Reihe
∞
X
1
1 n
1 n
x = 1 + x + x2 + . . . +
x + ...
n!
2!
n!
n=0
konvergiert für alle x ∈ IR. Denn der Konvergenzradius ist
1 an (n + 1)!
n!
= lim ρ = lim = lim (n + 1) = ∞.
= lim
1
n→∞ an+1 n→∞ n→∞
n→∞
n!
(n+1)!
Beispiel 9.22. Die Reihe
∞
n
X
(−1)
1
1
1
x2n+1 = x − x3 + x5 − x7 ± . . .
(2n
+
1)!
3!
5!
7!
n=0
n
(−1)
konvergiert für alle x ∈ IR. Denn mit an = (2n+1)!
folgt
an (−1)n (2n + 3)! (2n + 3)!
an+1 = (2n + 1)! (−1)n+1 = (2n + 1)! = (2n + 2) (2n + 3)
an = ∞ ⇒ K = IR.
⇒ ρ = lim n→∞ an+1 474
9. Funktionenreihen
Beispiel 9.23. Wir untersuchen die Potenzreihe
∞
n+1
X
(−1)
n
(x − 1)
n
n=1
auf ihre Konvergenzeigenschaften. Dazu wenden wir das Quotientenkriterium
n+1
n
auf die Reihe mit den Summanden bn = (−1)n
(x − 1) an:
n+2
(−1)
bn+1
=
bn
n+1
n+1
(x − 1)
·
n
n+1
(−1)
n
1
(−1) (x − 1)
n =
n+1
(x − 1)
bn+1 n
= lim
,→ lim |x − 1| = |x − 1| .
n→∞
bn n→∞ n + 1
Somit konvergiert die Reihe für |x − 1| < 1 und divergiert für |x − 1| > 1.
Für den Fall |x − 1| = 1 werden getrennte Untersuchungen durchgeführt. Aus
|x − 1| = 1 folgt entweder x − 1 = 1 ,→ x = 2 oder x − 1 = −1 ,→ x = 0.
Für x = 2 ist
∞
∞
n+1
n+1
X
X
(−1)
(−1)
n
(2 − 1) =
n
n
n=1
n=1
die alternierende harmonische Reihe und damit konvergent.
Für x = 0 ist
∞
∞
∞
n+1
n+1
n
X
X
X
(−1)
(−1)
(−1)
1
n
(0 − 1) =
=−
n
n
n
n=1
n=1
n=1
die harmonische Reihe und damit divergent.
⇒ K = (0, 2] .
P∞
n
Bemerkung: Bei Potenzreihen der Form
wird der
n=0 an (x − x0 )
Konvergenzradius ebenfalls berechnet durch die Formel
an .
ρ = lim n→∞ an+1 (1) Die Reihe konvergiert für |x − x0 | < ρ.
(2) Die Reihe divergiert für |x − x0 | > ρ.
(3) Für |x − x0 | = ρ (,→ x = ± ρ + x0 ) kann keine allgemeingültige
Aussage getroffen werden.
Der Konvergenzradius wird in Maple mit der Prozedur konv radius bestimmt. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe kann aber
auch graphisch visualisiert werden, indem man die Potenzreihe mit
wachsender Ordnung in Form einer Animation darstellt.
9.2
Potenzreihen
475
Beispiele 9.24 (Mit Maple-Worksheet):
P∞
➀ Der Konvergenzradius der Potenzreihe i=1 41i xi ist ρ = 4. Der Konvergenzbereich ist das offene Intervall (−4, 4).
P∞
➁ Von der Potenzreihe i=1 (−1)i 1i (x − 1)i ist der Konvergenzradius ρ = 1.
Der Konvergenzbereich ist das halb offene Intervall (0, 2].
Dargestellt wird in der Maple-Animation jeweils nur die Partialsumme bis
n = 25 bzw. n = 26.
Partialsumme
P25
1 i
i=1 4i x
Partialsumme
P26
i1
i=1 (−1) i (x
− 1)i
Man erkennt in der Animation, dass sich im Innern des Konvergenzbereichs die Reihen stabilisieren, außerhalb gehen sie gegen Unendlich.
Bei der ersten Reihe entnimmt man den Konvergenzbereich zwischen −4 und
4, während er bei der zweiten Reihe von 0 bis 2 geht.
Zum Abschluss dieses Abschnitts fassen wir noch einige wichtige Eigenschaften
von Potenzreihen zusammen.
Wichtige Eigenschaften von Potenzreihen:
(1) Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereichs absolut.
(2) Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereichs differenziert
und integriert werden. Die so erhaltenen Potenzreihen besitzen den
gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.
(3) Zwei Potenzreihen dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich der
Reihen gliedweise addiert und multipliziert werden.
476
9.3
9. Funktionenreihen
9.3 Taylor-Reihen
Wir kommen nun zum zentralen Thema dieses Kapitels: die Taylor-Reihen. Die
Aussage des Taylorschen Satzes ist, dass sich fast jede elementare Funktion in
der Umgebung eines Punktes x0 durch Polynome beliebig genau annähern
lässt. Es zeigt sich sogar, dass diese Funktionen sich durch eine Potenzreihe
der Form
∞
X
n
an (x − x0 )
n=0
darstellen lassen. Neben der Bestimmung der Koeffizienten an werden wir Information darüber gewinnen, welcher Fehler maximal auftritt, wenn diese Reihe nach endlich vielen Summationsgliedern abgebrochen wird. Damit erhalten
wir zum einen eine Methode, die elementaren Funktionen
√
ex , sin x, x, ln x usw.
mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen, zum anderen Näherungsformeln für
diese Funktionen.
Beispiel 9.25 (Einführung): Nach Beispiel 9.19 gilt für die geometrische
Potenzreihe
∞
X
1
1 + x + x2 + . . . + xn + . . . =
xn =
1
−
x
n=0
P∞
1
für |x| < 1. D.h. die Potenzreihe n= 0 xn stimmt mit der Funktion 1−x
für
1
alle x ∈ (−1, 1) überein. Außerhalb dieses offenen Intervalls ist zwar 1−x noch
definiert (x 6= 1) , aber nicht mehr die Potenzreihe. Wir leiten eine Formel
heuristisch her, die es uns erlaubt, für elementare Funktionen die zugehörige
Potenzreihe aufzustellen.
Herleitung der Taylor-Polynome. Gegeben sei eine Funktion f (x), siehe
Abb. 9.4. Gesucht ist eine Näherung der Funktion in der Umgebung des Punktes x0 ∈ ID. Die Funktion f sei in dieser Umgebung mehrmals differenzierbar.
Abb. 9.4. Funktion f und Näherungen in der Umgebung von x0
9.3
Taylor-Reihen
477
(0.) Die ”nullte” Näherung p0 an die Funktion erhält man, wenn die konstante
Funktion
p0 (x) = f (x0 )
gewählt wird. Die Funktion p0 hat mit f nur den Funktionswert an der
Stelle x0 gemeinsam.
(1.) Die lineare Näherung p1 an die Funktion erhält man, wenn man die Tangente in x0 wählt:
p1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) .
Die Tangente hat mit der Funktion sowohl den Funktionswert, als auch
die Ableitung an der Stelle x0 gemeinsam.
(2.) Gesucht ist eine quadratische Funktion p2 , die im Punkte x0 zusätzlich
die gleiche Krümmung wie f aufweist:
Ansatz:
2
p2 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + c (x − x0 ) .
Bedingung:
!
p002 (x0 ) = f 00 (x0 ) .
Wegen p002 (x) = 1 · 2 · c, folgt p002 (x0 ) = 1 · 2 · c = f 00 (x0 )
⇒
⇒
c=
1 00
f (x0 )
2!
p2 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) +
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 .
2!
(3.) Gesucht ist die kubische Funktion p3 , die im Punkte x0 zusätzlich die 3.
Ableitung mit f gemeinsam hat:
2
3
1 00
Ansatz: p3 (x) = f (x0 )+f 0 (x0 ) (x − x0 )+ 2!
f (x0 ) (x − x0 ) +d (x − x0 ) .
Bedingung:
!
000
p000
3 (x0 ) = f (x0 ) .
!
000
Wegen p000
3 (x0 ) = 1 · 2 · 3 · d = f (x0 )
⇒d=
1 000
f (x0 )
3!
2
⇒
1 00
f (x0 ) (x − x0 )
p3 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + 2!
3
1 000
+ 3! f (x0 ) (x − x0 ) .
478
9. Funktionenreihen
..
.
(n.) Eine bessere Approximation an die Funktion f in einer Umgebung des
Punktes x0 gewinnt man, indem jeweils Terme der Form
1 (n)
n
f (x0 ) (x − x0 )
n!
hinzugenommen werden, so dass das n-te Näherungspolynom (das TaylorPolynom vom Grade n) gegeben ist durch
pn (x)
=
f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + . . . +
=
n
X
1 (i)
i
f (x0 ) (x − x0 ) .
i!
i=0
1 (n)
n
f (x0 ) (x − x0 )
n!
Visualisierung mit Maple. Zur Veranschaulichung der Konvergenz
der Taylor-Polynome pn an die
qFunktion f wählen wir eine Animation
mit Maple für die Funktion f (x) =
2
6 − (x − 2.5) am Entwicklungspunkt
x0 = 1. Dazu bestimmen wir die ersten 10 Taylor-Polynome.
Durch die Animation erkennt man deutlich, dass mit wachsendem Grad des
Taylor-Polynoms der Bereich sich vergrößert, in dem Funktion und TaylorPolynom graphisch übereinstimmen. Für N = 10 lässt sich im Bereich 0.5 ≤
x ≤ 1.7 graphisch kein Unterschied zwischen der Funktion f und dem Näherungspolynom p10 feststellen. Es stellt sich somit die Frage, wie groß die Abweichung der Näherungsfunktion pn (x) zur Funktion f in der Umgebung von
x0 ist. Aufschluss darüber gibt der folgende Satz.
9.3
Taylor-Reihen
479
Satz von Taylor. Gegeben sei eine in x0 ∈ ID (m + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f . Dann gilt die Taylorsche Formel
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + . . . +
1 (m)
m
f
(x0 ) (x − x0 ) + Rm (x)
m!
mit dem Restglied
Rm (x) =
1
m+1
f (m+1) (ξ) (x − x0 )
(m + 1)!
(x ∈ ID)
und ξ einem nicht näher bekannten Wert, der zwischen x und x0 liegt.
Der Satz von Taylor (1685 - 1731) spezifiziert die Zwischenstelle ξ zwischen x
und x0 nicht näher. Daher kann man nicht exakt die Abweichung der Näherungsfunktion pn (x) zur Funktion f angeben. Für die konkreten Anwendungen
wird diese Tatsache aber keine Rolle spielen, da wir für das Restglied Rm (x)
m→∞
eine Obergrenze angeben. Wenn das Restglied Rm (x) −→ 0 erfüllt, so erhält
man
Satz über Taylor-Reihen. Ist f eine in x0 ∈ ID beliebig oft differenzierbare Funktion und erfüllt das Restglied Rm (x) → 0 für m → ∞, so
gilt
f (x)
=
=
1
2
f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f 00 (x0 ) (x − x0 ) + . . .
2!
1 (n)
n
... +
f (x0 ) (x − x0 ) + . . .
n!
∞
X
1 (n)
n
f (x0 ) (x − x0 ) .
n!
n=0
Diese Potenzreihe heißt die Taylor-Reihe zur Funktion f am Entwicklungspunkt x0 .
Bemerkungen:
(1) Der Konvergenzradius der Taylor-Reihe ist nicht notwendigerweise > 0.
(2) Falls die Taylor-Reihe von f konvergiert, muss sie nicht notwendigerweise
gegen f (x) konvergieren.
(3) Die Taylor-Reihe konvergiert genau dann gegen f (x), wenn das Restglied
Rm (x) für m → ∞ gegen Null geht. In diesem Fall stimmen die Funktion
480
9. Funktionenreihen
und die Taylor-Reihe für alle x aus dem Konvergenzbereich der Potenzreihe
überein.
(4) Ist der Entwicklungspunkt x0 = 0, so nennt man die Taylor-Reihe oftmals
auch MacLaurinsche Reihe.
(5) Ist f eine gerade Funktion, dann treten in der Taylor-Reihe nur Terme mit
geraden Potenzen auf. Ist f eine ungerade Funktion, dann nur Terme mit
ungeraden Potenzen.
Im Folgenden berechnen wir die Taylor-Reihen von wichtigen Funktionen; u.a.
der Exponential- und Logarithmusfunktion bzw. den trigonometrischen Funktionen.
Beispiel 9.26 (Exponentialfunktion): Die Taylor-Reihe von ex mit dem
Entwicklungspunkt x0 = 0:
Wegen
f (x) = ex
f 0 (x) = ex
f 00 (x) = ex
f 000 (x) = ex
..
.
folgt
f (n) (x) = ex
f (0) = 1
f 0 (0) = 1
f 00 (0) = 1
f 000 (0) = 1
..
.
f (n) (0) = 1
Damit ist die Taylor-Reihe von ex :
∞
1+x+
X1
1 2
1
1 n
x + x3 + . . . +
x + ... =
xi .
2!
3!
n!
i!
i=0
Da der Konvergenzradius dieser Potenzreihe ρ = ∞ (→ Beispiel 9.21), ist
K = IR. Für das Restglied gilt
Rm (x) =
1
xm+1 ξ
m+1
f (m+1) (ξ) (x − x0 )
=
e
(m + 1)!
(m + 1)!
für ξ ∈ [−x, x]
m+1
⇒
|Rm (x)| ≤
|x|
eξ → 0 für m → ∞.
(m + 1)!
Also stimmt die Taylor-Reihe mit der Funktion überein und für alle x ∈ IR
gilt
∞
X
1 n
e =
x .
n!
n=0
x
9.3
Taylor-Reihen
481
Beispiel 9.27 (Sinusfunktion): Die Taylor-Reihe von f (x) = sin x mit
dem Entwicklungspunkt x0 = 0:
Wegen
f (x) = sin x
f 0 (x) = cos x
f 00 (x) = − sin x
f 000 (x) = − cos x
f (4) (x) = sin x
f (5) (x) = cos x
f (6) (x) = − sin x
..
.
folgt
f (0) = 0
f 0 (0) = 1
f 00 (0) = 0
f 000 (0) = −1
f (4) (0) = 0
f (5) (0) = 1
f (6) (0) = 0
..
.
n
Es ist also f (2n) (0) = 0 und f (2n+1) (0) = (−1) , so dass nur die ungeraden Exponenten in der Taylor-Reihe auftreten und zwar mit alternierendem
Vorzeichen:
x−
∞
n
X
1 3
1
1
(−1)
x + x5 − x7 ± . . . =
x2n+1 .
3!
5!
7!
(2n
+
1)!
n=0
Nach Beispiel 9.23 ist der Konvergenzradius ρ = ∞ und analog zum Beispiel
9.26 gilt Rm (x) → 0 für m → ∞. Damit stimmt die Taylor-Reihe für alle
x ∈ IR mit sin x überein:
sin (x) =
∞
X
n=0
n
(−1)
x2n+1 .
(2n + 1)!
Beispiel 9.28 (Kosinusfunktion): Die Taylor-Reihe von f (x) = cos x mit
dem Entwicklungspunkt x0 = 0 ergibt sich sofort aus obigem Beispiel: Da die
Potenzreihe gliedweise innerhalb des Konvergenzbereichs differenziert werden
darf, ist für alle x ∈ IR
cos (x) = sin0 (x) =
∞
X
n=0
⇒
cos (x) =
n
(−1)
(2n + 1) x2n
(2n + 1)!
∞
n
X
(−1) 2n
x
(2n)!
n=0
482
9. Funktionenreihen
Beispiel 9.29 (Logarithmusfunktion): Die Taylor-Reihe von ln x, x > 0,
mit dem Entwicklungspunkt x0 = 1:
f (x) = ln x
f 0 (x) = x−1
f 00 (x) = (−1) x−2
f 000 (x) = (−1) (−2) x−3
f (4) (x) = (−1) (−2) (−3) x−4
f (5) (x) = (−1) (−2)(−3)(−4) x−5
f (6) (x) = (−1) (−2)(−3)(−4) (−5)x−6
..
.
n+1
f (n) (x) = (−1)
(n − 1)!
xn
f (1) = 0
f 0 (1) = 1
f 00 (1) = (−1)
f 000 (1) = (−1) (−2)
f (4) (1) = (−1) (−2) (−3)
f (5) (1) = (−1) (−2)(−3)(−4)
f (6) (1) = (−1) (−2)(−3)(−4) (−5)
..
.
n+1
f (n) (1) = (−1)
(n − 1)!
Damit ergeben sich die Taylor-Koeffizienten für n ≥ 1 zu
n+1
f (n) (1)
(−1)
=
n!
n+1
(n − 1)!
(−1)
=
n!
n
.
Da das Restglied Rm (x) → 0 für m → ∞ geht, ist die Taylor-Reihe für ln x
am Punkte x0 = 1 gegeben durch
n+1
(−1)
2
3
n
(x − 1) ± . . .
ln x = (x − 1) − 12 (x − 1) + 13 (x − 1) ± . . . ±
n
⇒
∞
n+1
X
(−1)
n
(x − 1)
n
n=1
für x ∈ (0, 2] .
ln x =
Nach Beispiel 9.23 ist der Konvergenzbereich K = (0, 2]. Speziell für x = 2
gilt
∞
n+1
X
(−1)
.
n
n=1
ln 2 =
Die Summe der alternierenden harmonischen Reihe hat den Wert ln 2 .
Beispiel 9.30 (Binomische Reihe): Die Taylor-Reihe der Binomischen
α
Reihe (1 + x) am Entwicklungspunkt x0 = 0 lautet für beliebiges α ∈ IR:
α
(1 + x) =
∞ X
α
k=0
k
xk
für x ∈ (−1, 1) ,
wenn wir die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten definieren
α (α − 1) (α − 2) · . . . · (α − k + 1)
α
α
:= 1 und
:=
.
0
k
k!
9.3
Taylor-Reihen
483
Denn aus
α
f (x) = (1 + x)
α−1
f 0 (x) = α (1 + x)
α−2
00
f (x) = α (α − 1) (1 + x)
α−3
f 000 (x) = α (α − 1) (α − 2) (1 + x)
..
.
f (0) = 1
f 0 (0) = α
f 00 (0) = α (α − 1)
f 000 (x) = α (α − 1) (α − 2)
..
.
f (n) (x) = α (α − 1) · . . .
α−n
. . . · (α − n + 1) (1 + x)
f (n) (0) = α (α − 1) · . . .
. . . · (α − n + 1)
folgt für die Taylor-Koeffizienten
α (α − 1) (α − 2) · . . . · (α − k + 1)
f (k) (x0 )
=
=
k!
k!
α
k
und für die Taylor-Reihe
α
(1 + x) =
∞ X
α
k=0
k
xk .
Der Konvergenzbereich ergibt sich mit dem Quotientenkriterium zu K =
(−1, 1) .
Spezialfälle:
➀ α = −1 (geometrische Reihe):
∞
X
1
k
= 1 − x + x2 − x3 ± . . . =
(−1) xk .
1+x
k=0
➁ α = −2 (Ableitung der geometrischen Reihe):
1
2
(1 + x)
= 1 − 2x + 3x2 ± . . . =
∞
X
k
(−1) (k + 1) xk .
k=0
1
:
2
√
1
1 2
1·3 3
1·3·5 4
1+x=1+ x−
x +
x −
x ± ...
2
2·4
2·4·6
2·4·6·8
1
➃ α=− :
2
1
1·3 2 1·3·5 3 1·3·5·7 4
1
√
=1− x+
x −
x +
x ∓ ...
2
2·4
2·4·6
2·4·6·8
1+x
➂ α=
.
.
Häufig wird die Berechnung der Taylor-Reihe einer Funktion durch Differenziation bzw. Integration auf bekannte Potenzreihen zurückgeführt, wie die folgenden beiden Beispiele zeigen.
484
9. Funktionenreihen
Beispiel 9.31 (Arkustangensfunktion): Die Taylor-Reihe von f (x) =
arctan (x) am Entwicklungspunkt x0 = 0:
Aus f (x) = arctan (x)
1
⇒ f 0 (x) =
.
1 + x2
Nach Beispiel 9.19 ist für |x| < 1
∞
∞
X
X
1
1
n
2 n
=
=
−x
=
(−1) x2n .
1 + x2
1 − (−x2 ) n=0
n=0
Da Potenzreihen gliedweise integriert werden dürfen, folgt
Z x
Z
∞
X
n
arctan (x) = f (0) +
f 0 (x̃) dx̃ = 0+
(−1)
0
=
n= 0
x
x̃2n dx̃
0
∞
n
X
(−1)
x2n+1 .
2n + 1
n=0
Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Potenzreihe auch für x = ± 1, so
dass insgesamt:
∞
n
X
(−1)
x2n+1
2n
+
1
n=0
arctan (x) =
für x ∈ [−1, 1] .
Beispiel 9.32 (Area-Funktionen): Berechnung der Taylor-Reihen der
Area-Funktionen am Entwicklungspunkt x0 = 0 durch Zurückspielen auf
die Binomische Reihe: Aus f (x) = ar tanh (x) folgt
f 0 (x) = ar tanh0 (x) =
∞
X
1
=
x2n .
1 − x2
n=0
Damit ist
f (x) = f (0) +
∞
X
1
x2n+1 .
2n
+
1
n=0
Da f (0) = ar tanh (0) = 0 ist
ar tanh (x) =
∞
X
n=0
1
x2n+1
2n + 1
für |x| < 1.
Auf analoge Weise werden die Taylor-Reihen von ar sinh(x) , ar cosh(x) und
1
ar coth(x) berechnet, da ar sinh0 (x) = √1+x
für x ∈ IR , ar cosh0 (x) =
2
1
√ 1
für |x| > 1 und ar coth0 (x) = 1−x
für |x| > 1.
2
x2 −1
9.4
Anwendungen
485
Tabelle 9.1: Taylor-Reihen:
Funktion
α
(1 + x)
1
(1 ± x) 2
− 12
(1 ± x)
Konvergenzbereich
Potenzreihenentwicklung
∞
P
α
xk
k
k=0
|x| < 1
1±
1
2
x−
1
2·4
x2 ±
1·3
2·4·6
x3 −
1·3·5
2·4·6·8
x4 ± . . .
|x| ≤ 1
1∓
1
2
x+
1·3
2·4
x2 ∓
1·3·5
2·4·6
x3 +
1·3·5·7
2·4·6·8
x4 ∓ . . .
|x| < 1
−1
1 ∓ x + x2 ∓ x3 + x4 ∓ . . .
|x| < 1
(1 ± x)
−2
1 ∓ 2 x + 3 x2 ∓ 4 x3 + 5 x4 ∓ . . .
|x| < 1
sin x
x−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+
x9
9!
− +...
|x| < ∞
cos x
1−
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
− +...
|x| < ∞
tan x
x+
1
3
ex
1+
x
1!
ln x
(x − 1) −
Funktion
Potenzreihenentwicklung
arcsin x
x+
arccos x
π
2
arctan x
x−
1
3
sinh x
x+
1
3!
x3 +
1
5!
x5 +
1
7!
x7 + . . .
|x| < ∞
cosh x
1+
1
2!
x2 +
1
4!
x4 +
1
6!
x6 + . . .
|x| < ∞
tanh x
x−
1
3
x3 +
2
15
x5 −
17
315
(1 ± x)
x3 +
2
15
x5 +
17
315
x7 +
x2
2!
+
x3
3!
x4
4!
+ ...
+
1
2·3
2
1
2
(x − 1) +
x3 +
− x+
+
1·3
2·4·5
x5 +
1
2·3
x3 +
1·3
2·4·5
1
5
x5 −
1
7
x3 +
1
3
x9 + . . .
3
x5 +
1
9
x7 + . . .
1·3·5
2·4·6·7
x7 + . . .
x9 − + . . .
x7 +
|x| <
π
2
|x| < ∞
(x − 1) − + . . .
1·3·5
2·4·6·7
x7 +
62
2835
62
2835
x9 − + . . .
0<x≤2
Konvergenzbereich
|x| < 1
|x| < 1
|x| ≤ 1
|x| <
π
2
Visualisierung der Konvergenz Mit der Prozedur taylor poly
erhält man eine Animation, bei der das Taylor-Polynom mit steigendem n zusammen mit der Funktion f (x) zu sehen ist. Man erkennt, dass mit
wachsender Ordnung der Polynome eine gleichmäßige Anpassung an die Funktion erfolgt.
486
9.4
9. Funktionenreihen
9.4 Anwendungen
Näherungspolynome einer Funktion
In vielen Anwendungen werden komplizierte Funktionen durch Taylor-Polynome
pn (x) angenähert. Zum einen, damit man die Funktionen auf einfache Weise
mit vorgegebener Genauigkeit auswerten kann, zum anderen, damit man z.B.
bei linearer Näherung einen einfacheren physikalischen Zusammenhang erhält.
Der Fehler zwischen der Funktion f (x) und dem Taylor-Polynom pn (x) ist
nach dem Satz von Taylor gegeben durch das Lagrange Restglied
Rn (x) =
1
n+1
f (n+1) (ξ) (x − x0 )
,
(n + 1)!
wenn x0 der Entwicklungspunkt und ξ ein nicht näher bekannter Zwischenwert
zwischen x und x0 . Für die meisten in der Praxis auftretenden Funktionen geht
der Fehler gegen Null für n → ∞. Bei hinreichend großem n wird also eine
beliebig hohe Genauigkeit erzielt. In technischen Anwendungen werden Funktionen nahe ihrem Entwicklungspunkt oftmals nur durch das Taylor-Polynom
p1 (x) bzw. p2 (x) ersetzt!
Beispiel 9.33 (Berechnung der Zahl e): Die Zahl e soll bis auf 6 Dezimalstellen genau berechnet werden. Dazu gehen wir von der Taylor-Entwicklung
der Exponentialfunktion bei x0 = 0 aus
ex =
∞
X
1
1 n
1 n
x = 1 + x + x2 + . . . +
x + ...
n!
2!
n!
n=0
und berechnen e1 durch das Taylor-Polynom der Ordnung n
e1 ≈ pn (1) = 1 + 1 +
1 2
1 n
1 + ... +
1 .
2!
n!
Der Fehler nach dem Lagrangen Restglied ist
Rn (1) =
1
1
3
eξ ≤
e1 <
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
(da eξ ≤ e1 < 3). Damit der Fehler kleiner als 6 Dezimalstellen wird, muss
Rn (1) <
!
3
3
< 0.9 · 10−6 ⇒ (n + 1)! >
≈ 3 333 333.
(n + 1)!
0.9 · 10−6
9.4
Anwendungen
487
Dies ist für n ≥ 9 erfüllt, denn (9 + 1)! = 3628800. Für n = 9 ist e1 bis auf 6
Dezimalstellen genau berechnet:
e1 ≈
9
X
1
= 2.7182815.
n!
n=0
n
Vergleicht man diese Methode zur Berechnung der Zahl e mit der Folge 1 + n1
aus Beispiel 6.3, so ist die Reihendarstellung sehr schnell konvergent. Es werden für eine Genauigkeit von 6 Dezimalstellen nur 9 Summenglieder benötigt
im Vergleich zu n > 105 bei der Folgendarstellung.
Anwendungsbeispiel 9.34 (Relativistische Teilchen).
Nach A. Einstein beträgt die Gesamtenergie eines Teilchens
E = m c2 .
Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit und m die von der Geschwindigkeit des
Teilchens v abhängige Masse:
m0
m= q
,
2
1 − (v/c)
m0 ist dabei die Ruhemasse des Teilchens. Bezeichnet E0 = m0 c2 die Ruheenergie, so ist die kinetische Energie
Ekin = E − E0 = m c2 − m0 c2 = m0 c2 ( √
1
1−(v/c)2
− 1 ).
Für ein nicht-relativistisches Teilchen ist v << c, d.h. 0 ≈ vc << 1. vc ist also
1
. Wir ersetzen daher
nahe dem Entwicklungspunkt x0 = 0 der Funktion √1−x
2
nach Tabelle 9.1
1
1 v 2
1
1
√
≈ 1 + x bzw. q
≈1+
.
2
2 c
2
1−x
1 − (v/c)
Für die kinetische Energie gilt damit
2
Ekin = m0 c
(√ 1 2
1−(v/c)
2
− 1 ) ≈ m0 c
1 v 2
1
1+
− 1 = m0 v 2 .
2 c
2
Der Term 12 m0 v 2 repräsentiert die kinetische Energie eines Teilchens im Grenzfall v << c (= klassischer Grenzfall).
488
9. Funktionenreihen
Anwendungsbeispiel 9.35 (Linearisierung von Querschwingungen).
Am Ende zweier entgegengesetzt eingespannter Federn mit
Federkonstanten D ist eine Masse angebracht. Die Ruheauslenkung der Federn sei l0 << L (große Federvorspannung). Die Masse m wird in x-Richtung um den Wert x
ausgelenkt. Gesucht sind die Federrückstellkraft F und für
kleine Auslenkungen x die Federkonstante D∗ .
Die Rückstellkraft in Richtung der gespannten Federn ist
FD = −D (s − l0 ) ;
somit ist die Rückstellkraft F in x-Richtung
F = 2 FD sin ϕ = −2 D (s − l0 ) sin ϕ = −2 D (s − l0 )
Wegen s =
q
x2 +
x
.
s
L 2
2
ist
l0
F = −2 D x 1 −
= −2 D x (1 − q
s
l0
)
2
x2 + (L/2)
F = −2 D x (1 −
l0
q
L/2
1
).
2
1 + (2x/L)
Für kleine Auslenkungen x <<
x0 = 0 gilt nach Tabelle 9.1
√
1
1
≈1− x
2
1+x
L
2
2x
L
ist
≈ 0. Nahe dem Entwicklungspunkt
1
bzw.
≈1−
q
2
1 + (2x/L)
1
2
2x
L
2
.
Bei einer Ersetzung der Funktion durch das quadratische Taylor-Polynom
vereinfacht sich die Rückstellkraft zu
2 l0
l0 x2
F ≈ −2 D x 1 −
+4 3
.
L
L
Nur für den Fall, dass man das konstante Taylor-Polynom wählt,
1
≈ 1,
q
2
1 + (2x/L)
erhält man
F ≈ −2 D x
2 l0
1−
L
= −2 D
2 l0
1−
L
x.
9.4
Anwendungen
489
Dies ist das Hooksche Gesetz. Die Rückstellkraft ist proportional
zur Auslenkung mit der zugehörigen Federkonstanten D∗ = 2 D 1 − 2Ll0 .
Anwendungsbeispiel 9.36 (Scheinwerferregelung, mit MapleWorksheet).
Kommen wir auf das Einführungsbeispiel der Scheinwerferregelung zurück. Um
vom Quotienten der Distanzwerte d1 und d2 auf den aktuellen Neigungswinkel
β zu schließen, müssen wir diesen Quotienten nach β auflösen. Dazu definieren
wir die Funktion q(β), die wir im Folgenden in eine Taylor-Reihe entwickeln.
q(β) :=
sin(α2 + β)
d1
=
d2
sin(α1 + β)
(*)
Gehen von den Parameterwerten βab = 0.0099996, α1 = 0.20337 und α2 =
0.097913 aus, ist der Quotienten q0 für den Winkel βab zwischen der Horizontalen und der Hell-Dunkel-Grenze beim ruhenden Fahrzeug
q0 := q(βab ) = 0.5086238522.
Um den Quotienten nach β von (*) aufzulösen, entwickeln wir nun die rechte
Seite in eine Taylor-Reihe bis zur Ordnung 2.
q2 (β) := 0.4851497843 + 2.347500693 β − 10.83456844 (β − 0.0099996)2
und lösen die Gleichung (*) für eine beliebige linke Seite
sin(α2+β)
für die rechte Seite sin(α1+β)
∼ q2 (β) nach β auf
r
β1/2 :=
0.11833343 ± 0.36918867
d1
d2
mit der Näherung
0.43052561 − 0.67716052
d1
.
d2
Von den beiden gefundenen Lösungen kommt nur diejenige in Frage, welche
für die Größe q0 = dd21 den richtigen Ablenkwinkel βab liefert. Dies ist die zweite
Lösung β2 .
Wir zeichnen die Näherungsfunktion gestrichelt und die ursprüngliche, implizit
gegebene Funktion durchgezogen.
Aus der Grafik entnimmt man, dass die Näherungsformel für q zwischen 0.4
und 0.58 gut mit der impliziten Funktion übereinstimmt. Dies liefert einen
490
9. Funktionenreihen
Abb. 9.5. Funktion und Näherung
Winkelbereich von -0.03 (-1.71◦ ) bis 0.05 (2.864◦ ), in dem die Näherung verwendet werden kann.
Um eine Näherungsformel zu erhalten, die auf die Berechnung von Wurzeln
ganz verzichtet, entwickeln wir β2 ebenfalls in eine Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt q = q0
β2 = −2.373259209 + 23.42846966 q − 96.31243152 q 2 +
200.8851230 q 3 − 210.4285911 q 4 + 89.10928185 q 5
und zeichnen diese weitere Näherung in den obigen Graphen mit ein.
Abb. 9.6. Vergleich der Näherungen
Diese Funktion stellt im Winkelbereich zwischen -1◦ und 2◦ ebenfalls eine akzeptable Lösung dar. Der Vorteil dieser Näherungsformel besteht eben darin,
dass auf die Berechnung von Wurzeln ganz verzichtet werden kann! Zur effizienten Berechnung stellen wir die Näherungsformel durch das Horner-Schema
dar:
β2 = −2.373259209 + (23.42846966 + (−96.31243152 + (200.8851230 +
(−210.4285910 + 89.10928185 q) q) q) q) q.
9.4
Anwendungen
491
Integration durch Potenzreihenentwicklung
Potenzreihen und damit Taylor-Reihen dürfen in ihrem Konvergenzradius gliedweise differenziert bzw. integriert werden. Für
f (x) =
∞
X
n
an (x − x0 )
n=0
gilt :
f 0 (x) =
∞
∞
∞
X
X
d X
d
n
n
n−1
an (x − x0 ) =
an
(x − x0 ) =
n an (x − x0 )
.
dx n=0
dx
n=0
n=1
Man beachte, dass die Differenziation des konstanten Summanden a0 Null
ergibt und damit die abgeleitete Taylor-Reihe bei n = 1 beginnt.
Z
Z X
Z
∞
∞
∞
X
X
an
f (x) dx =
an xn dx =
an
xn dx =
xn+1 + C.
n
+
1
n=0
n=0
n=0
Man beachte, dass beim bestimmten Integral die Integrationsgrenzen innerhalb des Konvergenzbereichs der Potenzreihe gelegen sein müssen.
Beispiel 9.37. Gesucht ist die Integralfunktion F (x) =
durch eine elementare Funktion darstellbar ist.
Rx
0
2
e−t dt, die nicht
Mit dem Potenzreihenansatz
ex =
∞
X
1 n
x
n!
n=0
folgt
∞
∞
X
n X
1
1
n
−t2 =
(−1) t2n .
n!
n!
n=0
n=0
Z x
Z x
∞
X
2
1
n
F (x) =
e−t dt =
(−1)
t2n dt
n!
0
0
n=0
2
e−t =
⇒
=
∞
X
1
1
n
(−1)
x2n+1
n!
2n
+
1
n=0
(x ∈ IR) .
Lösen von Differenzialgleichungen durch Potenzreihen
Eine in der Physik oftmals benutzte Methode zum Lösen von Differenzialgleichungen ist, die gesuchte Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln. Diese
Potenzreihe enthält als unbekannte Größen die Koeffizienten an . Durch Einsetzen der Potenzreihe in die Differenzialgleichung werden über einen Koeffizientenvergleich die an bestimmt.
492
9.5
9. Funktionenreihen
9.5 Komplexwertige Funktionen
Im Kapitel über komplexe Zahlen 5.1 benutzten wir die Eulersche Formel
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
ϕ ∈ [0, 2π]
als Abkürzung. Wir zeigen in diesem Kapitel, dass diese Formel die Gleichheit der Funktion
I bedeutet.
ez und der Funktion cos (z) + i sin (z) für beliebige komplexe Zahlen z ∈ C
I als komplexe Funktionen
Zunächst erklären wir ez , cos z und sin z für z ∈ C
I → C
I mit z 7−→ f (z) . Die Definition der Funktion muss dabei derart
f :C
erfolgen, dass für z ∈ IR die herkömmlichen reellen Funktionen als Spezialfall
enthalten sind.
Im Komplexen stehen uns die Grundrechenoperationen +, −, ∗, / zur Verfügung. Wir definieren daher komplexe Funktionen über diese Grundoperationen. Gerade aber die Exponential-, Sinus- und Kosinusfunktionen sind Standardbeispiele für die Darstellung einer Funktion durch ihre Taylor-Reihen. Da
man bei der Auswertung einer Funktion über die Taylor-Reihe nur die oben
genannten Grundoperationen benötigt, erklären wir die komplexen Funktionen ez , sin(z) und cos(z) über ihre Taylor-Reihe. Zuvor geben wir jedoch die
wichtigsten Ergebnisse für komplexe Potenzreihen an:
9.5.1 Komplexe Potenzreihen
Es übertragen sich alle Eigenschaften der reellen Potenzreihen sinngemäß auf
den komplexen Fall. Bezüglich der Konvergenz einer komplexen Potenzreihe
gilt:
Satz: Die komplexe Potenzreihe
∞
X
n
an (z − z0 )
n=0
I und Entwicklungspunkt z0 ∈ C
I hat als Majorante die reelle
mit an ∈ C
P∞
n
Potenzreihe n= 0 |an | |z − z0 | und besitzt den Konvergenzradius
ρ = lim
n→∞
|an |
.
|an+1 |
I : |z − z0 | < ρ} .
Der Konvergenzbereich ist K = {z ∈ C
9.5
Komplexwertige Funktionen
493
Begründung: Im Komplexen gelten die Rechenregeln |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
und |a z| = |a| |z| . Daher gilt die Abschätzung
N
N
N
X
X
X
n
n
n
an (z − z0 ) ≤
|an (z − z0 ) | =
|an | |z − z0 | .
n=0
P∞
n=0
n=0
P∞
n
Somit ist
eine Majorante von
n= 0 |an | |z − z0 |
n= 0 an (z − z0 ) . Die
komplexe Potenzreihe besitzt damit den gleichen Konvergenzradius wie die
n|
reelle Majorante, nämlich ρ = lim |a|an+1
| .
n
n→∞
Interpretation: Erst im Komplexen erhält der
Begriff Konvergenzradius seine volle Bedeutung,
I : |z − z0 | < ρ} entdenn die Menge K = {z ∈ C
spricht einem Kreis um z0 mit Radius ρ. Innerhalb
des Kreises konvergiert die Potenzreihe, außerhalb
divergiert sie.
Beispiele 9.38. Aufgrund der Darstellung der Exponentialfunktion bzw. der
trigonometrischen Funktionen über die Taylor-Reihe erhält man direkt die
Definition der zugehörigen komplexwertigen Funktionen:
➀ Komplexe Exponentialfunktion
∞
X
1 n
1
1
1
ez :=
z = 1 + z1 + z2 + z3 + . . .
n!
1!
2!
3!
n=0
I
für z ∈ C.
Wegen
N
N
∞
X 1
X
X
1
1
n
n
zn ≤
|z| ≤
|z| = e|z|
n!
n!
n!
n=0
n=0
n=0
I
ist e|z| eine konvergente Majorante und ez konvergiert für alle z ∈ C.
➁ Komplexe Sinusfunktion
∞
n
X
(−1)
1
1
1
sin(z) :=
z 2n+1 = z− z 3 + z 5 − z 7 ±. . .
(2n
+
1)!
3!
5!
7!
n=0
➂ Komplexe Kosinusfunktion
∞
n
X
(−1) 2n
1
1
1
z = 1 − z2 + z4 − z6 ± . . .
cos(z) :=
(2n)!
2!
4!
6!
n=0
I
für z ∈ C.
I
für z ∈ C.
Die absolute Konvergenz der Potenzreihen ② und ③ ist nach dem MajoranI gesichert, denn die Majoranten sind die reellen
tenkriterium für alle z ∈ C
P∞
P∞
2n+1
2n
1
1
Potenzreihen
und
.
n=0 (2n+1)! |z|
n=0 (2n)! |z|
494
9. Funktionenreihen
9.5.2 Die Eulersche Formel
I als unNach diesen Vorbemerkungen sind ez , cos(z), sin(z) für jedes z ∈ C
abhängige Funktionen definiert. Es gilt der Zusammenhang:
I gilt
Satz: Für jedes z ∈ C
ei z = cos(z) + i sin(z)
(Eulersche Formel)
Begründung: Wir stellen cos(z) und i sin(z) durch ihre Taylor-Reihen dar.
Anschließend addieren wir die beiden Reihen und identifizieren die Summe als
ei z . Mit i0 = 1 , i1 = i , i2 = −1 , i3 = −i , i4 = 1 und i5 = i , i6 = −1 , i7 =
−i , i8 = 1, usw. gilt:
cos(z)
2
i sin(z)
cos(z) + i sin(z)
4
− z2!
=1
=1
=1
2
+ i2! z
z)2
+ (i2!
3
z
1!
iz
1!
(i z)
1!
=
=
=
+ (i1!z)
z)
+ (i2!
2
z)
+ (i3!
3
− z6! ± . . .
6 6
+ i 6!z + . . .
z)6
+ (i6!
+ ...
5
−i z3!
3 3
+ i 3!z
z)3
+ (i3!
i
=1
6
+ z4!
4 4
+ i 4!z
z)4
+ (i4!
2
+i z5!
5 5
+ i 5!z
z)5
+ (i5!
z)
+ (i4!
4
z)
+ (i5!
5
±...
+...
+...
6
z)
+ (i6!
+ ...
Folglich ist
cos(z) + i sin(z)
=
∞
P
n=0
1
n!
n
(i z) = ei z
I
Mit dieser sehr einfachen Begründung ist die Eulersche Formel für alle z ∈ C
bewiesen. Speziell für z = ϕ ∈ IR gilt dann
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
ϕ ∈ IR.
Wenn wir den Winkel ϕ durch ϕ = ωt ersetzen, so gilt die folgende Identität
von Funktionen
eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt)
t ∈ IR.
Diese Gleichheit von Funktionen werden wir im folgenden Abschnitt ausnutzen, um eiωt zu differenzieren und zu integrieren.
9.5
Komplexwertige Funktionen
495
9.5.3 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion
E1
ez1 +z2 = ez1 · ez2
I
z1, z2 ∈ C.
Wie im Reellen hat auch im Komplexen das Additionstheorem für die
Exponentialfunktion seine Gültigkeit. Der Beweis dieser zentralen Formel
würde den Rahmen dieser Darstellung überschreiten. Festzuhalten ist die
folgende Folgerung:
E2
ez+2π i = ez
I
z ∈ C.
Denn setzt man in (E1) z2 = 2π i, so folgt die Formel, da ez2 = e2π i = 1.
Die komplexe Exponentialfunktion ist damit periodisch mit der komplexen
Periode 2π i.
E3
sin(−z) = − sin(z)
I
z ∈C
cos(−z) = cos(z)
I
z ∈ C.
Wie im Reellen ist der Sinus eine ungerade Funktion, denn in der Definitionsgleichung für den Sinus treten nur ungerade Potenzen auf
sin(−z) =
∞
∞
n
n
X
X
(−1)
(−1)
2n+1
(−z)
=−
z 2n+1 = − sin (z) .
(2n
+
1)!
(2n
+
1)!
n=0
n=0
Da per Definition cos(z) nur gerade Potenzen z 2n besitzt, ist cos(z) eine
gerade Funktion.
E4
cos(z) =
1
2
ei z + e−i z
sin(z) =
1
2i
ei z − e−i z
I
z ∈C
I
z ∈ C.
Anwendungen dieser beiden Identitäten werden wir im Kapitel über Differenzialgleichungen noch kennen lernen. Sie besagen, dass man die trigonometrischen Funktionen aus der komplexen Exponentialfunktion gewinnen
496
9. Funktionenreihen
kann. Beide Identitäten sind Folgerungen aus der Eulerschen Formel, denn
ei z
=
cos(z) + i sin(z)
e−i z
=
=
cos(−z) + i sin(−z)
cos(z) − i sin(z)
(2)
(1)
Addiert man Gleichung (1) und (2), ist ei z + e−i z = 2 cos(z).
Subtrahiert man Gleichung (2) von (1), ist ei z − e−i z = 2i sin(z).
Durch Division der Faktoren, erhält man jeweils die Behauptung.
cos2 (z) + sin2 (z) = 1
E5
I
z ∈ C.
Man erhält (E5) aus (E4), indem man beide Gleichungen quadriert und
dann addiert:
2
2
cos2 (z) + sin2 (z) = 14 ei z + e−i z − 14 ei z − e−i z
2
2
= 14 [ ei z + 2 ei z e−i z + e−i z
2
2
− ei z + 2 ei z e−i z − e−i z ]
= ei z e−i z = ei (z−z) = e0 = 1.
Anwendung: Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
I
Für α, β ∈ C
(bzw. α, β ∈ IR) gelten die Additionstheoreme
cos (α + β)
=
cos α cos β − sin α sin β
(A1)
sin (α + β)
=
sin α cos β + cos α sin β
(A2)
Begründung:
(A1): Aufgrund der Darstellung der Kosinus- und Sinusfunktion durch die
komplexe Exponentialfunktion (E4) und dem Additionstheorem (E1) rechnet
man:
cos α cos β − sin α sin β = 12 ei α + e−i α 12 ei β + e−i β − 1
1
iα
− e−i α 2i
ei β − e−i β
2i e
=
1
4
ei (α+β) + e−i α+i β + ei α−i β + e−i (α+β) + + 41 ei (α+β) − e−i α+i β − ei α−i β + e−i (α+β)
=
1
2
ei (α+β) + e−i (α+β) = cos (α + β) .
(A2): Analog zu (A1).
9.5
Komplexwertige Funktionen
497
Folgerung: Verwandlung eines Produktes in eine Summe bzw. Differenz
I (bzw. α, β ∈ IR) gelten die Formeln:
Für α, β ∈ C
(1) 2 sin α sin β = cos (α − β) − cos (α + β)
(2) 2 cos α cos β = cos (α − β) + cos (α + β)
(3) 2 sin α cos β = sin (α − β) + sin (α + β)
Begründung: Übungsaufgabe. Man verwende die bereits bewiesenen Additionstheoreme (A1) und (A2).
9.5.4 Komplexe Hyperbelfunktionen
I heißen die komplexen Funktionen
Definition: Für z ∈ C
cosh(z) :=
1
2
(ez + e−z )
Kosinus-Hyperbolikus
sinh (z) :=
1
2
(ez − e−z )
Sinus-Hyperbolikus
Aufgrund der Definition der Hyperbelfunktionen und Eigenschaft (E4) gelten
die folgenden Beziehungen
H1:
cos(i z) = 21 ei (i z) + e−i (i z)
= 12 (e−z + ez ) = cosh (z) ,
H2:
sin (i z) =
1
2i
ei (i z) − e−i (i z)
=
1
2i
(e−z − ez ) = i sinh(z).
Dies ist der Zusammenhang zwischen den Hyperbolikus-Funktionen und den
trigonometrischen: cosh(z) und sinh(z) sind im Komplexen nichts anderes als
die Kosinus- und Sinusfunktion mit dem Argument i z. Daher gelten auch die
bis auf das Vorzeichen ähnlichen Formeln für beide Funktionstypen.
H3:
cosh2 (z) − sinh2 (z) = 1
I
z ∈ C.
Gleichung (H3) erhält man durch Quadrieren von (H1) und (H2) und anschließender Addition, wenn Gleichung (E5) berücksichtigt wird.
498
9. Funktionenreihen
9.5.5 Differenziation und Integration
Bei der Herleitung der komplexen Widerständen zur Berechnung von Wechselstromkreisen in Kap. 5.3.3 wurde die Funktion eiωt mit der Formel
0
eiωt = iω eiωt
nach t differenziert. Die imaginäre Einheit i wird als konstanter Faktor angesehen und die Funktion eiωt mit der Kettenregel nach t differenziert. dass diese
Methode auch allgemein gilt, zeigt der folgende Satz.
Satz über die Differenziation komplexwertiger Funktionen. Seien u, v : (a, b) → IR reelle, differenzierbare Funktionen. Dann ist die
komplexwertige Funktion f := u + i v mit
I
f : (a, b) → C
,
x 7→ f (x) := u (x) + i v (x)
differenzierbar und es gilt
f 0 (x) = u0 (x) + i v 0 (x) .
Dieser Satz besagt, dass eine komplexwertige Funktion nach seiner reellen Variablen x differenziert wird, indem man die gewöhnliche Ableitung von Realteil
und Imaginärteil bildet. Beim Differenzieren komplexwertiger Funktionen dürfen alle Differenziationsregeln wie bei reellwertigen Funktionen benutzt werden. Die Formel für die Ableitung folgt sofort aus der
Definition der Ableitung, denn
f 0 (x)
=
lim 1
h→0 h
(f (x + h) − f (x))
=
lim 1
h→0 h
(u (x + h) + i v (x + h) − (u (x) + i v (x)))
=
lim
h→0
1
h
(u (x + h) − u (x)) + i h1 (v (x + h) − v (x))
=
lim 1
h→0 h
1
h→0 h
=
u0 (x) + i v 0 (x) .
(u (x + h) − u (x)) + i lim
(v (x + h) − v (x))
Beispiele 9.39.
➀ Gesucht ist die Ableitung der Funktion f (t) = eiωt . Wegen
eiωt = cos (ωt) + i sin (ωt)
9.5
Komplexwertige Funktionen
499
folgt
eiωt
0
0
=
=
=
0
cos (ωt) + i sin (ωt)
−ω sin (ωt) + i ω cos (ωt) = iω (cos (ωt) + i sin (ωt))
iω eiωt .
Die komplexwertige Funktion eiωt darf wie die reellwertige Exponentialfunktion differenziert werden, wenn i als konstanter Faktor angesehen wird.
➁ Gesucht wird die Ableitung der Funktion
duktregel folgt
f (x) = x ei x . Mit der Pro-
f 0 (x) = ei x + i x ei x = (1 + i x) ei x .
Satz über die Integration komplexwertiger Funktionen. Seien
u, v : [a, b] → IR reelle, integrierbare Funktionen. Dann ist die komplexwertige Funktion f := u + i v mit
I
f : [a, b] → C
,
x 7→ f (x) := u (x) + i v (x)
integrierbar und es gilt
Z
b
Z
b
f (x) dx =
a
Z
b
u (x) dx + i
a
v (x) dx.
a
Es gilt für die Integration einer komplexwertigen Funktion f (x) = u (x) +
i v (x) , dass der Realteil und Imaginärteil integriert werden und anschließend
das Integral von f sich aus beiden Teilen zusammensetzt. Beim Integrieren komplexwertiger Funktionen dürfen alle Integrationsregeln wie
bei reellwertigen Funktionen verwendet werden. Die Formel ergibt sich
analog zur Differenziationsformel.
Beispiele 9.40.
➀ Gesucht ist eine Stammfunktion von f (x) = ei x .
R
R
R
R
f (x) dx =
(cos x + i sin x) dx = cos x dx + i sin x dx
= sin x + i (− cos x) + C = −i (cos x + i sin x) + C
= 1i ei x + C.
R
➁ Gesucht ist das unbestimmte Integral
x ei x dx.
Mit partieller Integration (u = x , v 0 = ei x ,→ u0 = 1 , v = −i ei x ) folgt
R
R
x ei x dx = −i x ei x + i ei x dx
= −i x ei x + ei x + C.
Auch bei der Integration wird i wie eine Konstante behandelt.
500
9. Funktionenreihen
Anwendungsbeispiel 9.41 (RC-Wechselstrom-Kreis).
Abb. 9.7. RL-Kreis
Gegeben ist ein RC-Wechselstromkreis. Der Spannungsabfall am Kondensator ist
1
U (t) = Q (t) .
C
R
Da I (t) = d Q(t)
ist Q(t) = I (t) dt. Der Spannungsdt
abfall bei C lautet
Z
1
U (t) =
I (t) dt.
C
Für einen komplexen Wechselstrom der Form
Iˆ (t) = I0 eiωt
folgt für Û (0) = 0
Û (t) =
=
1
C
Z
I0 eiωt dt =
1
1 iωt
I0
e
C
iω
1 ˆ
1
I0 eiωt =
I (t) .
iω C
iω C
Dies ist das komplexe Ohmsche Gesetz für den Kondensator, wenn als Widerstand
R̂C :=
1
Û (t)
=
ˆ
iω
C
I (t)
gesetzt wird (vgl. Kap. 5.3.3).
MAPLE-Worksheets zu Kapitel 9
Zahlenreihen mit Maple
Die harmonische Reihe mit Maple
Quotientenkriterium mit Maple
Potenzreihen mit Maple
Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen
Maple-Prozedur zur Berechnung der Taylor-Polynome
Scheinwerferregelung mit Maple
Visualisierung der Eulerschen Formel
Zusammenstellung der Maple-Befehle
Maple-Lösungen zu den Aufgaben
9.6
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
501
9.6 MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
9.6.1 Zahlenreihen mit MAPLE
In Maple sind sehr umfangreiche Algorithmen implementiert, die in der Lage
sind, Partialsummen algebraisch zu berechnen.
> Sum (1 / (i ∗ (i+1)), i = 1..n) = sum (1 / (i ∗ (i+1)), i = 1..n);
> limit (rhs(%), n = infinity);
n
X
i=1
1
1
=−
+1
i (i + 1)
n+1
1
> Sum (1 / iˆ2, i = 1..n) = sum (1 / iˆ2, i = 1..n);
> limit (rhs(%), n = infinity);
n
X
π2
1
= −ψ (1, n + 1) +
2
i
6
i=1
π2
6
Hierbei kommen zumeist spezielle Funktionen vor, auf die wir nicht näher eingehen werden. Mit > ?Psi kann z.B. für obige Funktion über die Maple-Hilfe
mehr Information erhalten werden.
Man kann sich aber auch direkt den Summenwert der Reihe berechnen lassen
> Sum ((-1) ˆi / i, i = 1..infinity) = sum ((-1) ˆi / i, i = 1.. infinity);
∞
i
X
(−1)
i=1
i
= − ln (2)
bzw. wenn die Reihe bestimmt divergiert
> Sum (1 / i, i = 1..infinity) = sum (1 / i, i = 1.. infinity);
∞
X
1
i=1
i
=∞
9.6
502
9. Funktionenreihen
9.6.2 Quotientenkriterium mit MAPLE
Die folgende Maple-Prozedur wendet auf eine gegebene Reihe mit Reihengliedern a(n) das Quotientenkriterium in der Limesform an und prüft, ob die
Reihe konvergiert oder divergiert. Der Aufruf der Prozedur quot krit erfolgt
durch die Übergabe des Reihenglieds a, das als diskrete Funktion definiert ist.
> quot krit (a)
> local quot, val, n;
>
> quot := Limit (abs(a(n+1)/a(n)), n = infinity);
> val := limit(simplify(abs( a(n+1)/a(n) )), n=infinity);
>
> if val < 1 then
>
print (’Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da ’);
>
print (quot = val, ’ < 1’);
> elif val > 1 then
>
print (’Die Reihe divergiert nach dem Quotientenkriterium, da ’);
>
print (quot = val, ’ > 1’);
> else
>
print (’Die Konvergenz mit dem QK nicht entscheidbar, da ’);
>
print (quot = val);
> fi;
> end:
11. Beispiele:
> a := n -> 1 / 2ˆn;
> quot krit (a);
a := n →
1
2n
Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da
n 2 1
lim n+1 = , < 1
n→∞ 2
2
> b := n -> n! / 2ˆn;
> quot krit (b);
b := n →
n!
2n
Die Reihe divergiert nach dem Quotientenkriterium, da
(n + 1)! 2n = ∞, > 1
lim
n→∞ 2n+1 n! 9.6
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
503
9.6.3 Konvergenzbetrachtungen mit MAPLE
(1) Der Konvergenzradius wird in Maple mit der unten angegebenen Prozedur konv radius bestimmt. Der Aufruf erfolgt durch konv radius(a), wenn
die Koeffizienten a der Potenzreihe als diskrete Funktion vorliegen:
> konv radius := proc (a)
>
# Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe
> local radius, val, n;
> radius := Limit (abs(a(n)/a(n+1)), n = infinity);
> val := limit(simplify(abs(a(n)/a(n+1))), n=infinity);
> print (’Der Konvergenzradius der Potenzreihe’,
>
Sum (a(n) ∗ xˆn, n = 1..infinity), ’ist’);
> print (radius = val);
> end:
Der Aufruf der Prozedur erfolgt durch die Angabe des allgemeinen Koeffizienten der Reihe in Form einer Funktion in n :
> b := n -> nˆn / n!:
> konv radius (b);
∞
X
nn xn
Der Konvergenzradius der P otenzreihe,
, ist
n!
n=1
nn (n + 1)! lim = e−1
n→∞ n! (n + 1)n+1 (2) Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe kann graphisch ermittelt werden, indem man die Potenzreihe mit wachsender Ordnung in Form einer Animation darstellt. Dies soll am Beispiel der beiden Reihen
∞
X
1 i
x
i
4
i=1
und
∞
X
1
(−1)i (x − 1)i
i
i=1
demonstriert werden. Dargestellt wird in der Animation jeweils nur die Partialsumme bis n = 25 bzw. n = 26.
> p:= n-> plot(sum(1/4 ˆi * x ˆi, i=1..n), x=-6..6);
> plots[display]([seq(p(k),k=1..25)], insequence=true, view=-3..10);
!
n
X
xi
p := n → plot
, x = −6..6
4i
i=1
> p:= n-> plot(sum((-1)ˆi * (x-1)ˆi / i, i=1..n), x=-1..3.5);
504
9. Funktionenreihen
> display([seq(p(k),k=1..26)], insequence=true, view=-3..10);
p := n → plot
n
X
(−1)i (x − 1)i
i=1
Partialsumme
P25
1 i
i=1 4i x
i
!
, x = −1..3.5
Partialsumme
P26
i1
i=1 (−1) i (x
− 1)i
Man erkennt in der Animation, dass sich im Innern des Konvergenzbereichs die Reihen stabilisieren, außerhalb gehen sie gegen Unendlich.
Bei der ersten Reihe entnimmt man den Konvergenzbereich zwischen −4 und 4,
während er bei der zweiten Reihe von 0 bis 2 geht. Noch deutlicher kann man
das Konvergenzverhalten ablesen, wenn man im plot-Befehl den x-Bereich
einschränkt: mit x = −4..4 für die erste bzw. x = 0..2 für die zweite Reihe.
9.6.4 Potenzreihen mit MAPLE
In Maple existiert eigens für die Potenzreihen ein powseries-Package, mit
dem die verschiedenen Rechenoperationen durchgeführt werden können. Mit
> with (powseries);
[ compose, evalpow, inverse, . . . , powdif f, . . . , powint, . . .]
erhält man alle Befehle des Package. Die oben angegebenen Befehle sind selbstklärend. Es ist zu beachten, dass nur endlich viele Summationsglieder dargestellt werden. Wir definieren zwei Potenzreihen
f (x) :=
∞
X
1 n
x ,
n!
n=0
g (x) :=
∞
n+1
X
(−1)
xn
n
n=1
durch powcreate
> powcreate (f(n) = 1 / n!);
> powcreate (g(n) = (-1)ˆ(n+1) / n, g(0) = 0 );
Bei der Definition der Potenzreihe f werden alle Koeffizienten durch die Angabe des Bildungsgesetzes f (n) spezifiziert. Das Bildungsgesetz der Koeffizienten von g gilt erst ab n = 1, daher setzt man den Koeffizienten für n = 0
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
9.6
505
Null: g(0) = 0. Man beachte bei der Verwendung von powcreate, dass dabei
f (n) den allgemeinen Koeffizienten an darstellt und nicht den Funktionswert
an der Stelle n!
Mit dem Befehl tpsform (truncated power series form) werden die ersten
Glieder der Potenzreihe dargestellt
> f series := tpsform (f, x, 5);
> g series := tpsform (g, x, 5);
f series := 1 + x +
g series := x −
1 2 1 3
1 4
x + x +
x + O x5
2
6
24
1 2 1 3 1 4
x + x − x + O x5
2
3
4
und bei der Option 5 alle Glieder der Ordnung ≥ 5 symbolisch durch O (x5 )
dargestellt.
Für die Addition zweier Potenzreihen muss der powadd-Befehl verwendet
werden
> s := powadd (g, f): tpsform (s, x, 5);
1 + 2x +
1 3
5 4
x −
x + O x5
2
24
Die Multiplikation zweier Potenzreihen erfolgt mit
> m := multiply (f, g): tpsform (m, x, 10);
x+
1 2 1 3
3 5
7 6
23 7
29 8
629 9
x + x +
x −
x +
x −
x +
x + O x10
2
3
40
144
504
720
17280
Die inverse Potenzreihe wird mit dem Befehl inverse gebildet
> i := inverse(f): tpsform (i, x, 5);
1−x+
1 2 1 3
1 4
x − x +
x + O x5
2
6
24
Differenziation und Integration von Potenzreihen berechnet man durch
> d := powdiff(f): tpsform (d, x, 5);
1+x+
1 2 1 3
1 4
x + x +
x + O x5
2
6
24
> integr := powint(f): tpsform (integr, x, 5);
x+
1 2 1 3
1 4
x + x +
x + O x5
2
6
24
506
9. Funktionenreihen
9.6.5 Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen
Visualisierung mit Maple. Zur Veranschaulichung der Konvergenz
der Taylor-Polynome pn an die
qFunktion f wählen wir eine Animation
mit Maple für die Funktion f (x) =
2
6 − (x − 2.5) am Entwicklungspunkt
x0 = 1. Dazu bestimmen wir die ersten 10 Taylor-Polynome.
> f := x -> sqrt(6 - (x - 2.5)ˆ2) ; x0 := 1:
> plotf := plot (f(x), x = 0..2.5, y = 0..3, thickness = 2, color = black):
q
2
f := x → 6 − (x − 2.5)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
N := 10:
for n from 0 to N
do a[n] := (D@@n)(f)(x0) / n!:
p[n] := sum (a[i] ∗ (x - x0) ˆi, i = 0..n):
ttl := convert(n, string):
plotp := plot (p[n], x = 0..2.5, y = 0..3, color = red, title=ttl):
plotg[n] := display ([plotp, plotf]):
od:
with (plots):
display ([seq(plotg[i], i = 0..N)], insequence = true, view=[0..2.5,0..3]);
Man erkennt deutlich, dass mit wachsendem Grad des Taylor-Polynoms der Bereich sich vergrößert, in dem Funktion und Taylor-Polynom graphisch übereinstimmen. Das letzte Schaubild zeigt die Funktion zusammen mit dem TaylorPolynom p10 (x). Im Bereich 0.5 ≤ x ≤ 1.7 lässt sich graphisch kein Unterschied zwischen der Funktion f und dem Näherungspolynom p10 feststellen.
9.6
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
507
9.6.6 Taylor-Reihen mit MAPLE
Graphische Darstellung der Taylor-Polynome durch Maple.
Wir stellen die Näherungspolynome pn (x) der Funktion ex bis zum
Grad N = 12 graphisch dar. Dazu definieren wir
> f := x -> exp(x): x0 := 0:
und bestimmen die Taylor-Koeffizienten und -Polynome.
> N := 12:
> for n form 0 to N
> do a[n] := (D@@n)(f)(x0) / n!:
# Taylor-Koeffizient
>
g[n] := sum (a[i] ∗ (x - x0) ˆi, i = 0..n): # Taylor-Polynom
> od:
Die Einzelgraphen der Funktionen ergeben sich zu
> for n from 0 to N
> do ttl := convert(n, string):
>
p[n] := plot ([f(x), g[n]], x = -6..4, y = -2 ..10, title=ttl):
> od :
Mit
> with (plots):
> display ([seq(p[n], n = 0..N)], insequence=true, view=[-6..4,-2..10]);
erhält man eine Animation, bei der jeweils nur ein Taylor-Polynom mit steigendem n zusammen mit ex zu sehen ist. Man erkennt wieder, dass mit steigender
Ordnung der Polynome eine immer bessere Anpassung an die Exponentialfunktion erfolgt.
508
9. Funktionenreihen
Es ist klar, dass mit endlichem N niemals die Exponentialfunktion durch Polynome vollständig beschrieben werden kann, denn die Taylor-Polynome pn
besitzen für jedes N die Eigenschaft, dass |pn | → ∞ für x → −∞!
In Verallgemeinerung obiger Beispiele erhält man die Prozedur taylor poly.
Diese Prozedur stellt die Funktion f zusammen mit den Taylor-Polynomen
in steigender Ordnung als Animation graphisch dar. Der Aufruf erfolgt durch
taylor poly (y, var = x0, ordnung, xmin..xmax, ymin..ymax).
> taylor poly := proc()
> # Berechnung und Darstellung von Taylor-Polynomen.
> # Der Aufruf erfolgt wie der des taylor-Befehls mit den
> # zusätzlichen Argumenten des x- und y-Bereiches
> local func, f, x, x0, N, n, i, a, p, plotp, plotg, plotf,
>
xmin, xmax, ymin, ymax;
> func := args[1]: N := args[3]:
> x := op(1, args[2]):
x0 := op(2, args[2]):
> xmin := op(1,args[4]): xmax := op(2, args[4]):
> ymin := op(1,args[5]): ymax := op(2, args[5]):
> f := unapply (func, x):
>
> plotf := plot (f(x), x = xmin..xmax, y = ymin..ymax, thickness = 2,
>
color = black):
> for n from 0 to N
> do a[n] := (D@@n)(f)(x0):
>
p[n] := sum (’a[i] / i! ∗ (x - x0) ˆi’, i = 0..n):
>
ttl := convert(n, string):
>
plotp := plot (p[n], x = xmin..xmax, y = ymin..ymax, title=ttl):
>
plotg[n] := display ([plotp, plotf]):
> od:
> plots[display] ([seq(plotg[i], i = 0..N)], insequence = true,
>
view=[xmin..xmax,ymin..ymax]);
> end:
Für die Sinusfunktion erhalten wir als letztes Bild der Animation
> taylor poly (sin(x), x = 0, 10, -10..10, -2..2);
9.6
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
509
Berechnung der Taylor-Polynome mit Maple
Eine Möglichkeit, Taylor-Polynome direkt mit Maple zu berechnen, bietet
der taylor-Befehl:
> taylor (exp(x), x = 0, 8);
1+x+
1 2 1 3
1 4
1 5
1 6
1
x + x +
x +
x +
x +
x7 + O x8
2
6
24
120
720
5040
Es findet eine Entwicklung der Exponentialfunktion am Entwicklungspunkt x
= 0 bis zur Ordnung < 8 statt. Wird die
Ordnung nicht spezifiziert, wird standardmäßig 6 gewählt. Der Term O x8 bedeutet, dass alle Summanden in der
Taylor-Reihe mit Exponenten ≥ 8 vernachlässigt werden. Damit aus obigem
Ausdruck eine auswertbare Funktion entsteht, muss er erst in ein Polynom
konvertiert werden.
> convert ( % , polynom): p[7] := unapply ( % , x);
p7 := x → 1 + x +
1 2 1 3
1 4
1 5
1 6
1
x + x +
x +
x +
x +
x7
2
6
24
120
720
5040
Neben dem taylor-Befehl kennt Maple noch den series-Befehl
> series (x + 1/x, x = 1, 6 );
2
3
4
5
6
2 + (x − 1) − (x − 1) + (x − 1) − (x − 1) + O (x − 1)
der ebenfalls eine Reihendarstellung berechnet. Teilweise entwickelt der seriesBefehl die Funktion aber nicht in eine Potenzreihe, sondern in eine andere
Reihenentwicklung
> series (xˆx, x = 0, 4);
1 + ln(x) +
1
1
2
3
ln (x) x2 + ln (x) x3 + O x4
2
6
Eine konvergente Potenzreihenentwicklung dieser Funktion an der Stelle x0 = 0
existiert nämlich nicht!
510
9. Funktionenreihen
9.6.7 Anwendungsbeispiel: Scheinwerferregelung mit MAPLE
Kommen wir auf das Einführungsbeispiel der Scheinwerferregelung zurück. Um
vom Quotienten der Distanzwerte d1 und d2 auf den aktuellen Neigungswinkel
β zu schließen, müssen wir diesen Quotienten nach β auflösen. Dazu definieren
wir die Gleichung eq, deren rechte Seite wir im Folgenden in eine Taylor-Reihe
entwickeln.
> restart:
> eq := d1/d2 = sin(alpha2+beta)/sin(alpha1+beta);
eq :=
d1
sin(α2 + β)
=
d2
sin(α1 + β)
(*)
Wir gehen von den Parameterwerten
> beta[ab] := .0099996;
> alpha1 := .20337:
> alpha2 := .097913:
βab := 0.0099996
aus und bestimmen zunächst den Quotienten q0 für den Winkel βab zwischen
der Horizontalen und der Hell-Dunkel-Grenze beim ruhenden Fahrzeug
> q0:=evalf(subs(beta=beta[ab], rhs(eq)));
q0 := 0.5086238522
Um den Quotienten nach β aufzulösen, entwickeln wir nun die rechte Seite der
Gleichung eq in eine Taylor-Reihe bis zur Ordnung 2.
> approx := taylor(rhs(eq), beta=beta[ab], 3);
approx : = 0.5086238522 + 2.347500693 (β − 0.0099996)
−10.83456844 (β − 0.0099996)2 + O((β − 0.0099996)3 )
Wir konvertieren die Näherungsformel in ein Polynom
> approx := convert(approx, polynom);
approx := 0.4851497843 + 2.347500693 β − 10.83456844 (β − 0.0099996)2
und lösen die Gleichung (∗) für eine beliebige linke Seite q =
Näherung für die rechte Seite sin(α2+β)
sin(α1+β) ∼ approx nach β auf
> beta1:=solve(q=approx, beta);
d1
d2
mit der
β1 :=
p
0.11833343 + 0.36918867 10−12 p0.43052561 1024 − 0.67716052 1024 q,
0.11833343 − 0.36918867 10−12 0.43052561 1024 − 0.67716052 1024 q
9.6
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
511
Von den beiden gefundenen Lösungen kommt nur diejenige in Frage, welche
für die Größe q0 den richtigen Ablenkwinkel βab liefert.
> evalf(subs(q=q0, beta1[1])),
> evalf(subs(q=q0, beta1[2]));
0.2266672694,
0.0099996000
Damit ist die zweite Lösung β1[2] die gesuchte Funktion in der Variablen q.
Wir zeichnen mit dem plot-Befehl die Näherungsfunktion gestrichelt und die
ursprüngliche, implizit gegebene Funktion mit dem implicitplot-Befehl
> with(plots):
> p1 := plot(beta1[2], q=0.3..0.65, color=red, linestyle=4, thickness=3):
> p2 := implicitplot(q = sin(alpha2+beta)/sin(alpha1+beta),
q=0.3..0.65, beta=-0.06..0.12, color=black):
> display([p1,p2]);
Aus der Graphik entnimmt man, dass die Näherungsformel für q zwischen 0.4
und 0.58 gut mit der impliziten Funktion übereinstimmt. Dies liefert einen
Winkelbereich von -0.03 (-1.71◦ ) bis 0.05 (2.864◦ ), in dem die Näherung verwendet werden kann.
Um eine Näherungsformel zu erhalten, die auf die Berechnung von Wurzeln
ganz verzichtet, entwickeln wir β1 ebenfalls in eine Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt q = q0
> taylor(beta1[2], q=q0, 6):
> convert(%, polynom);
> beta2:=expand(%);
β2 : = −2.373259209 + 23.42846966 q − 96.31243152 q 2 +
200.8851230 q 3 − 210.4285911 q 4 + 89.10928185 q 5
und zeichnen diese weitere Näherung in den obigen Graphen mit ein.
> p3:=plot(beta2, q=0.3..0.65, color=blue, linestyle=1, thickness=2):
> display([p1,p2,p3]);
512
9. Funktionenreihen
Diese Funktion stellt im Winkelbereich zwischen -1◦ und 2◦ ebenfalls eine akzeptable Lösung dar. Der Vorteil dieser Näherungsformel besteht eben darin,
dass auf die Berechnung von Wurzeln ganz verzichtet werden kann! Zur effizienten Berechnung stellen wir die Näherungsformel durch das Horner-Schema
dar.
> convert(beta2, horner);
−2.373259209 + (23.42846966 + (−96.31243152 + (200.8851230 +
(−210.4285910 + 89.10928185 q) q) q) q) q
9.6
MAPLE: Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen
513
9.6.8 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle
Grundlegende Befehle zum Arbeiten mit Folgen und Reihen
a:= n-> 1/nˆ2
sum( a(i), i=1..n )
sum( a(i), i=1..infinity)
Definition einer Folge n12
Berechnung der Partialsumme
Berechnung der Reihe
taylor(y, x=x0, n)
Entwicklung von y in eine Taylor-Reihe mit
Entwicklungspunkt x0 bis zur Ordnung n
”
series(y, x=x0, n)
Spezielle Befehle für Potenzreihen
with(powseries)
Programmpaket powseries
powcreate( f(n)=1/n! )
Definition der Potenzreihe
∞
P
n=0
tpsform(f, x, 5)
powadd(f, g)
inverse(f)
multiply(f, g)
powdiff (f)
powint(f)
1 n
n! x
Darstellung der ersten 5 Glieder der Reihe
Addition von Potenzreihen f und g
Bestimmung der Inversen Potenzreihe zu f
Multiplikation von Potenzreihen f und g
Differenziation der Potenzreihe f
Integration der Potenzreihe f
514
9.7
9. Funktionenreihen
9.7 Aufgaben zu Funktionenreihen
9.1 Man untersuche die folgenden Zahlenreihen auf Konvergenz
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
2
(−1)n n
1
sin n
√
a)
b)
n e−n
c)
d)
n2
2n + 1
n
n=1
n=1
n=1
n=1
e)
i)
∞
X
2n
n!
n=1
f)
∞
X
(−1)n+1
2n + 1
n=1
j)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n
n−1
1
2
1
g)
k)
2n n
∞
X
32 n
(2 n)!
n=1
∞
X
2n
n=1
1
n
h)
l)
∞
X
(−1)n+1 n
52n−1
n=1
∞
X
n=2
1
(2n − 1)(2n + 1)
9.2 Untersuchen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen und berechnen Sie -falls
möglich- mit Maple ihren Wert.
∞
∞
∞
X
X
X
2k + 3
1
n2
b)
c)
a)
4k
k!
2n
n=1
k=0
k=0
X∞ 1·3·5·...·(2 n−1)
9.3 Man zeige die Divergenz der Reihe
(−1)n und die Kon2n
n=1
X∞
n
6
vergenz der Reihe
n=1 (3n+1 −2n+1 ) (3n −2n )
9.4 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihen
∞
∞
X
X
ln(n) n
1
a)
(−1)n+1 n xn
b)
x
5
n
n
n=1
n=1
c)
∞
X
(1 +
1 n2 n
) x
n
d)
n=1
∞
X
(n!)2 n+1
x
(2n)!
n=1
9.5 Berechnen Sie den Konvergenzradius von
∞
∞
∞
X
X
X
n xn
xn
a)
b)
c)
n xn
n
2 +1
2
n
n=1
n=1
n=1
e)
∞
X
xn
2n
n=0
f)
∞
X
n=1
n
xn+1
n+1
g)
∞
X
n+1 n
x
n!
n=1
d)
h)
9.6 Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihen
∞
∞
X
X
i3
a)
n e−n (x − 4)n
b)
(x − 1)i
2i +1
c)
∞
X
n=0
i=0
(−1)n
(2 n)!
x2 n
d)
∞
X
n=1
1
nn
(x − 2)n
(−1)n
n=1
und diskutieren Sie den Konvergenzbereich K.
n=1
∞
X
∞
X
n=1
2n ·
xn
n
1 n
x
n
9.7
Aufgaben zu Funktionenreihen
515
9.7 Zeigen Sie, dass die Taylor-Reihen von Sinus und Kosinus am Entwicklungspunkt x0 = 0 gegeben sind durch
sin x =
∞
X
n=0
(−1)n
x2 n+1
(2 n + 1)!
,
cos x =
∞
X
(−1)n 2 n
x .
(2 n)!
n=0
Man bestimme den Konvergenzbereich der Potenzreihen.
9.8 Entwickeln Sie die Funktion
f (x) =
1
2
−
x2
x
, x > 0,
am Entwicklungspunkt x0 = 1 in eine Taylor-Reihe. Geben Sie den zugehörigen
Konvergenzbereich an.
1
an der Stelle
9.9 Man berechne die Taylor-Reihe der Funktion f (x) = √
1+x
x0 = 0 und bestimme den Konvergenzbereich.
9.10 Berechnen Sie die Taylor-Reihen der Arkusfunktionen arcsin, arccos, arccot
und bestimmen Sie den Konvergenzbereich.
9.11 Man berechne die Taylor-Reihe der Areafunktionen ar sinh, ar cosh, ar coth
und bestimme den Konvergenzbereich.
9.12 Entwickeln Sie f (x) = cos x an der Stelle x0 =
bestimmen Sie den Konvergenzbereich.
π
3
in eine Taylor-Reihe und
9.13 a) Erstellen Sie mit Maple eine Prozedur zur graphischen Darstellung der
Taylor-Polynome einer Funktion, indem Sie den taylor-Befehl verwenden.
b) Bestimmen Sie damit die Taylor-Reihe von y = |x| an der Stelle x0 = 0 bis
zur Ordnung 10.
c) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von y = sin x+ 41 sin 4x an der Stelle x0 = 0.
Wie groß muss die Ordnung gewählt werden, damit graphisch kein Unterschied
zwischen Funktion und Taylor-Reihe im Bereich [−π, π] erkennbar ist?
9.14 Die Funktion f (x) = x e−x soll in der Umgebung des Nullpunktes durch ein
Polynom dritten Grades angenähert werden. Man bestimme mit der Taylorschen Reihenentwicklung diese Funktion.
√
9.15 Man berechne den Funktionswert von f (x) = 1 − x an der Stelle x =
0.05 auf sechs Dezimalstellen genau, wenn als Auswertepolynom ein TaylorReihenansatz mit Entwicklungspunkt x0 = 0 gewählt wird.
9.16 Wie groß ist der maximale Fehler im Intervall [0, 31 ], wenn man die Funktion
f (x) =
sin x
x
um den Punkt x0 = 2 bis zur Ordnung 2 entwickelt?
Z 1 x
e −1
9.17 Berechnen Sie
dx bis auf 3 Stellen genau.
x
0
Z x
1
9.18 Lösen Sie das unbestimmte Integral F (x) =
dt, indem der Inte2
0 1+t
grand zunächst in eine Taylor-Reihe am Entwicklungspunkt x0 = 0 entwickelt
und anschließend gliedweise integriert wird.
516
9. Funktionenreihen
Weitere Aufgaben auf der CD
9.19 Fällt ein Körper der Masse m in eine Flüssigkeit, so ist der zur Zeit t zurückgelegte Weg
r
m
kg
s (t) =
ln(cosh(
t)) , t ≥ 0.
k
m
Dabei ist g die Erdbeschleunigung und k der Reibungsfaktor.
a) Man bestimme die Geschwindigkeit v (t) und die Beschleunigung a (t) .
b) Man entwickle mit Maple den Ausdruck für kleine k.
9.20 Man berechne den Integralsinus und das Gaußsche Fehlerintegral näherungsweise durch Entwicklung des Integranden in eine Potenzreihe:
Z x
Z x
2
sin x̃
2
sinc (x) =
dx̃ , erf (x) = √
e−x̃ dx̃.
x̃
π 0
0
9.21 Zerlegen Sie die folgenden komplexen Funktionen in Real- und Imaginärteil,
indem Sie z durch x + i y ersetzen:
1
a) f (z) = z 3
b) f (z) = 1−z
c) f (z) = e3 z
π
9.22 Berechnen Sie ei z für z = 6 ei 3 .
I mit:
9.23 Gegeben sind die komplexwertigen Funktionen f : IR → C
i) f (x) = (x + i x)3
ii) f (x) = e3 (x+i x) .
a) Man differenziere diese Funktionen nach der reellen Variablen x.
b) Man integriere diese Funktionen.
9.24 Zeigen Sie, dass bei einem komplexen RL−Wechselstromkreis R̂L =
iωL,wenn man das Induktionsgesetz für die Spule annimmt.
ûL (t)
ˆ
I(t)
=
9.25 Beweisen Sie das Additionstheorem sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, in
dem Sie die Formeln sin x = 21i ei x − e−i x und cos x = 12 ei x + e−i x verwenden.
Sachverzeichnis
Äquipotenziallinien, 524
Äquivalenzumformungen, 29
Abbruchkriterium, 1005
Abklingzeit, 205
Ableitung, 331
der Umkehrfunktion, 341
eines Vektors, 642
elementarer Funktionen, 333
gemischte, 535
höhere, 334
numerische, 332, 1041
partielle, 531
Abstand, 18, 520
Ebene-Ebene, 85
Ebene-Gerade, 84
Gerade-Gerade, 77
Punkt-Ebene, 84
Punkt-Gerade, 77
Abtasttheorem von Shannon, 1066
Addition
komplexe, 254
Matrizen, 125
Vektoren, 2D, 55
Vektoren, 3D, 62
Additionssatz, 842
inverse LT, 842
Additionstheoreme, 213, 496
Additivität des Integrals, 406
Amperesches Gesetz, 1183
Amplitude, 209
Amplitudenspektrum, 895, 928
Analogsystem, 965
Anfangsbedingungen, 1105
Anfangswertproblem, 1100, 1102
Anordnung reeller Zahlen, 17
Anpassung
exponentielle, 581
logarithmische, 580
Potenz-, 581
Aperiodischer Grenzfall, 768
Arbeitsintegral, 427
Areafunktionen, 344
Arkusfunktionen, 214–217, 386
Assoziativgesetz, 14
Matrizen, 129
Vektoren, 2D, 57
Vektoren, n-dimensional, 89, 90
Asymptoten, 196
Ausblendeigenschaft, 949
Ausfluss aus Behälter, 807
Auslenkung einer Membran, 1124
Balkenbiegung, 365, 785
Banachscher Fixpunktsatz, 1017
Banachverfahren, 1014, 1015
2-D, 1026
Bandpass, 291, 821
Bandsperre, 292
Barometrische Höhenformel, 678
Basis, 99
Basisfunktionen, 741
Berechnung
des Anfangswertes, 861
des Endwertes, 861
Bernoullische Ungleichung, 18
Beschleunigung, 348
Betrag, 18, 62, 928
eines Vektors, 55
komplexer, 249, 250
Betragsfunktion, 173
Beweismethoden, 36
Biegemoment, 1140
Biegeschwingungen, 1140, 1141
Bijektivität, 183
Bildfunktion, 835, 836
Bildungsgesetz bei Folgen, 305
Bildvektor, 133
Binomialkoeffizient, 11
Binomischer Lehrsatz, 12
Bisektionsverfahren, 1004
Bogenlänge, 434
Bogenmaß, 207
Boyle-Mariottesches Gesetz, 404
Charakteristisches Polynom, 720,
760–762, 764
Chemische Reaktion, 709
Coulomb
-Feld, 1180
-Gesetz, 645
-Kraft, 658
Cramersche Regel, 147
1224
Sachverzeichnis
d’Alembertsche Formel, 1101
Dämpfung
starke, 769
Dämpfungssatz, 856
Definit
negativ, 575
positiv, 574
Definitionsbereich, 172, 522
Definitionslücken, 195, 317
Deltafunktion, 947, 948
Ausblendeigenschaft, 949
Determinante, 138
Entwicklungssatz, 142
n-reihige, 142
zweireihige, 139
Dezimalzahlen, 566
DFT, 1063, 1065, 1069, 1071, 1073
Differenzenformeln, 332, 1041
einseitige, 332, 1042
erste Ableitung, 332, 1041
n-te Ableitung, 1049
Ordnung, 1047
zentrale, 332, 1042
zweite Ableitung, 1047
Differenzenquotient, 331
zentraler, 1045
zentraler, 2. Ableitung, 1048
Differenzial, 351
abhängiges, 351
abhängiges, 558
als lineare Näherung, 558
einer Funktion, 351
totales, 559, 560
unabhängiges, 351
unabhängiges, 558
Differenzialgleichungen, 675
1. Ordnung, 676, 690
gewöhnliche, 675
homogene, 680, 754
inhomogene, 680, 682, 754
lineare 1. Ordnung, 680, 683
lineare DG Systeme, 710
mit Maple, 784
n-ter Ordnung, 779
nichtlineare, 694
numerisches Lösen, 789, 812
Ordnung der DG, 675
partielle, 1097
Differenzialquotient, 331
Differenzialrechnung, 330
Differenziation, 331
implizite mit Maple, 382
komplexwertiger Funktionen, 498
logarithmische mit Maple, 381
Differenziationsregeln
Faktorregel, 335
implizite, 346
Kettenregel, 338
logarithmische, 344
Potenzregel, 336
Produktregel, 336
Quotientenregel, 337
Summenregel, 335
Differenzierbarkeit, 331
Dimension, 101
Diracfunktion, 948
Dirichlet
-Problem, 1126
-Randwerte, 1125
Diskretisierung, 698, 789
Diskriminante, 20, 40
Distributivgesetz
Matrizen, 129
Vektoren, 2D, 57
divergent, 307, 460
bestimmt, 461
Divergenz, 307, 1160, 1162, 1175
Divergenzsatz, 1165
Dividierte Differenzen, 191
Division
komplexe, 257
Doppelintegral, 611
Berechnung von, 613
mit Maple, 630
Doppelpendelsystem, 987
Drehimpuls, 70
Drehmoment, 70
Dreifachintegral, 623
Durchschnitt von Mengen, 4
e, 309
Ebene Kreisbewegung, 643
Ebene Raumkurve, 554
Ebenengleichung, 79
Effektivwert, 429
Eigenfrequenzen, 733
Sachverzeichnis
Eigenlösungen, 1113
Eigenraum, 721
Eigenvektor, 717, 720
Eigenwerte, 717, 1113, 1144
Eineindeutigkeit, 183
Einheitsvektor, 62
Einlesen von Daten, 226
Einschließungsalgorithmen, 320, 1005
Einschwingvorgang, 689
Einweggleichrichter, 896, 910
Elektrische Netzwerke, 26, 834, 979
Elektrische Schaltungen, 280
Elektrischer Vierpol, 135
Elektrisches Feld, 350
Elektrostatisches Potenzial, 524, 584,
1122
Elemente einer Menge, 3
Energie
relativistische, 487
Ruhe-, 487
Energieintegral, 427
Entladekurve, 203
Entwicklungspunkt, 470
Entwicklungssatz nach Laplace, 142
Erweiterung
stetige, 319
Erzeugendensystem, 95
Erzeugnis von Vektoren, 93
Erzwungene Schwingung, 781
Euler-Verfahren, 698, 699, 789, 791
Eulersche Formel, 250, 494
Eulersche Zahl, 309
Existenz
der Eins, 14
der Null, 14
Exponentialform
komplexe, 250
Exponentialfunktion, 174, 202, 368
allgemeine, 206
Extremalwerte
relative, 357
Extremum
lokales, 567
relatives, 567
Extremwertaufgaben, 363
Fadenpendel, 156, 752
Fakultät, 8
1225
Falk-Schema, 128
Faltungsintegral, 859, 940
Faltungsprodukt, 859
Faltungssatz, 859, 968
Faltungstheorem, 940
Faradaysches Induktionsgesetz, 1182
Fast Fourier Transform, 1072
Federn-Masse-System, 1022
Federpendel, 753
Fehler
absoluter, 355, 563
Diskretisierungs-, 1044
Euler-Verfahren, 800
Prädiktor-Korrektor, 800
relativer, 355, 564
Rundungs-, 1044
Rundungsfehler, 802
Runge-Kutta-Verfahren, 800
Verfahrens-, 1044
Verfahrensfehler, 802
Fehlerfortpflanzung nach Gauß, 564
Fehlerrechnung, 354, 563
FFT, 1072
Filterschaltungen, 280, 814
Fixpunkt, 1014, 1015
Fixpunktgleichung, 1015
Fläche, 661
Flächenberechnung, 423, 617
Flächenelement, 662
Flächeninhalte, 617
Flächenmoment, 620
Fluchtgeschwindigkeit, 421
Folgen
Exponentialfolge, 309
Funktionsgrenzwerte, 311
Limesrechenregeln, 310
Folgenglieder, 305
Fourier-Analyse, 881
Fourier-Integral, 925
Fourier-Koeffizienten, 885, 1069
komplexe, 902
Fourier-Reihe, 880, 885, 905, 1105
2w-periodische, 885
komplexe, 902
p-periodische, 893
Fourier-Transformation, 923
der Ableitung, 939
der Deltafunktion, 949
1226
Sachverzeichnis
der n-te Ableitung, 939
Differenzialgleichung, 959
Diracfunktion, 947
diskrete, 1063, 1065, 1069
Eigenschaften, 933, 946
Faltungssatz, 968
Faltungstheorem, 940
Frequenzverschiebung, 936
Impulsfunktion, 947
inverse, 929
inverse diskrete, 1067–1069
lineare Systeme, 965
Linearität, 933
Modulation, 937
periodischer Funktionen, 951
schnelle, 1072
Skalierung, 935
Symmetrie, 933
Zeitverschiebung, 936
Fourier-Transformierte, 925
Freie gedämpfte Schwingung, 766
Freier Fall mit Luftwiderstand, 695
Frequenzanalyse
Doppelpendelsystem, 987
Hochpass, 990
Tiefpass mit DFT, 1087
Frequenzauflösung, 1085
Frequenzband, 291
Frequenzbereich, 925
Frequenzverschiebung, 936
Fundamentalsatz
der Algebra, 261
der Differenzial/Integralrechnung,
396
für LGS, 152
Fundamentalsystem, 724, 762, 764
komplexes, 760
reelles, 761
Funktionalmatrix, 556
Funktionaltransformation, 833
Funktionen, 172
Arkus-, 214
Betrags-, 173
diskrete, 306
echt gebrochenrationale, 194
einer Variablen, 172
Exponential-, 202
Funktionsgrenzwert, 313
gebrochenrationale, 194
harmonische, 589, 1179
in Maple, 220
Integral-, 395, 398
komplexe Exponential-, 493
komplexe Kosinus-, 493
komplexe Sinus-, 493
komplexwertige, 492
Kosinus-, 207
Kosinus-Hyperbolikus, 497
Kotangens-, 212
lineare, 562
Logarithmus-, 204
rationale, 194
reellwertige, 172
Sinus-, 207
Sinus-Hyperbolikus, 497
Stamm-, 399
stetige, 317
Tangens-, 212
trigonometrische, 207
Umkehr-, 180
unecht gebrochenrationale, 194
von n Variablen, 521
Funktionenreihe, 470
Funktionseigenschaften, 176
Funktionsgrenzwert, 313
Gamma-Funktion, 864
Ganzrationale Funktion, 184
Gauß-Jordan-Verfahren, 130
Gauß-Algorithmus, 26, 30
Gaußsche Zahlenebene, 248
Gaußscher Integralsatz, 1165
in der Ebene, 1167
Gaußsches Eliminationsverfahren, 30
Gaußsches Gesetz, 1182
Gebietsintegral, 611
dreidimensionales, 623
gebrochenrational
echt, 415
unecht, 415
Gebrochenrationale Funktionen, 194
Gedämpfte Schwingung, 767
Gekoppelte Pendel, 710
mit Reibung, 737
ohne Reibung, 729, 734
Gekoppelter Schwingkreis, 810
Sachverzeichnis
Geladenes Teilchen, 715, 744, 759
Geometrie
Abstand Ebene-Ebene, 85
Abstand Ebene-Gerade, 84
Abstand Gerade-Gerade, 77
Abstand Punkt-Ebene, 84
Abstand Punkt-Gerade, 77
Ebene, 79
Gerade, 73
Hesse-Normalform, 80
Lage von Ebenen, 82
Schnittpunkt Gerade-Ebene, 85
Schnittwinkel Gerade-Ebene, 85, 86
Schnittwinkel Geraden, 78
windschief, 74
Geometrische Summe, 10, 36
Gerade, 60
Geradengleichung, 73
Geschwindigkeit, 348
Geschwindigkeitsfeld, 665
Gestaffeltes System, 30
Gewöhnliche Differenzialgleichungen,
675
Gleichspannungsanteil, 895
Gleichungen, 19
Betrags-, 42
quadratische, 40
Ungleichungen, 23, 43
Wurzel-, 42
Gleichungssystem
homogenes, 29
inhomogenes, 29
lineares, 26, 28
Gradient, 541, 1175
mit Maple, 591
Gradientenfeld, 651, 1159, 1175
Integration eines, 653
mit Maple, 656
Gradmaß, 207
Graph, 172, 522
Gravitationsfeld, 1180
Grenzfrequenz, 294
Grenzwert, 307, 313, 315
linksseitiger, 313
rechtsseitiger, 313
Grenzwertsätze, 861
Grundschwingungen, 730
1227
Häufungspunkt, 308
Höhenlinie, 523
Halbwertszeit, 205
Harmonische Schwingungen, 263, 879
Harmonisches Pendel, 353
Hauptdiagonale, 124
Hauptsatz der Differenzial- und
Integralrechnung, 403
Helmholtz-Gleichung, 1136
Hesse-Normalform, 60, 80
Hessesche Matrix, 550, 571, 574
Hochpass, 288, 818
Homogene DG
n-ter Ordnung, 758, 762, 764
Homogene LDGS, 713
Hooksches Gesetz, 349
Horner-Schema, 187
doppeltes, 1033
Hospitalsche Regeln, 370
Hyperbelfunktionen, 343
I, 275
Ideales Gas, 520
iDFT, 1067–1069, 1073
Imaginäre Einheit, 247, 253
Imaginärteil, 248
Impedanz
Längs-, 281
Quer-, 281
Implizite Differenziation, 346
Impulsantwort, 818, 967, 969, 975, 985,
986
Impulsfunktion, 948
Induktion, vollständige, 6
Induktionsgesetz, 349
Inhomogene DG, 682, 774
n-ter Ordnung, 758, 770
Inhomogene LDGS, 743
Injektivität, 183
Input, 965
Integrabilitätsbedingungen, 652
Integral
bestimmtes, 392, 403
Riemann, 391
unbestimmtes, 395
uneigentliches, 421
Integralfunktion, 395, 398
Integralproblem, 792
1228
Sachverzeichnis
Integration
eines Gradienten, 653
Integrationskonstante, 400
komplexwertiger Funktionen, 499
partielle, 407
Integrationsregeln
Additivität, 406
Faktorregel, 405
Partialbruchzerlegung, 415
partielle Integration, 407
Rechteckregel, 1052
Simpson-Regel, 1054
Substitutionsregel, 409
Summenregel, 405
Trapezregel, 1053
Interpolationspolynom
Lagranges, 185
Newtonsches, 191
Intervalle, 19
Intervallhalbierung, 1004
Intervallschachtelung, 1008
Inverse Matrix, 129, 145
Inverses Element, 14
Iteration, 320, 1005
Iterationsverfahren, 1015
Jakobi-Determinante, 637
Kartesisches Produkt, 5
Kausales System, 966
Kern, 149
Kettenkarussell, 1001
Kettenregel, 338, 553, 555, 557
Kettenschaltungen, 282
Kinematik, 424
Kippschwingungen, 906
Kippspannung, 899, 912
Kirchhoffsche Gesetze, 26, 135
Klangfarbe, 1106, 1108
Knotensatz, 26, 135
Koeffizienten bei LGS, 28
Koeffizientenmatrix, 29
Koeffizientenvergleich, 186
Kommutativgesetz, 14
Vektoren, 2D, 57
Vektoren, n-dimensional, 89
Kommutierter Sinusstrom, 918
Komplement von Mengen, 4
Komplexe Amplitude, 264
Komplexe Fourier-Reihe, 902
Komplexe Umformungen, 251
Komplexe Zahlen, 247
Komplexes Fundamentalsystem, 760
Kondensatormikrophon, 350
Konjugiert komplexe Zahl, 252
Kontinuitätsgleichung, 1185
Kontraktion, 1017
konvergent, 307, 460
absolut, 460
Konvergenz, 307
Konvergenzbereich, 470
Konvergenzkriterien, 465
Konvergenzradius, 472, 493
Koordinaten, 661
Koordinatensystem
kartesisches, 53
Koordinatentransformation, 636
Korrespondenz, 836, 925
Kosinusfunktion, 207
Kosinushyperbolikus, 343, 386
Kosinustransformierte, 930
Kotangensfunktion, 212
Kotangenshyperbolikus, 344
Kräfteaddition, 55
Kräfteparallelogramm, 55
Krümmung, 437
Kraftfeld, 645
Arbeit eines, 657
konservatives, 651
radialsymmetrisches, 657, 1171
Kreisbewegung
ebene, 643
Kreuzprodukt, 67, 148
Kriechfall, 769
Krümmung
Links-, 356
Rechts-, 356
Kugelkoordinaten, 640
Kurve, 641, 645
Parameterdarstellung, 641
Kurvendiskussion, 360
Kurvenintegral, 646
Berechnung von, 647
Hauptsatz über, 652
Körper, 15
l’Hospitalsche Regeln, 370
Sachverzeichnis
Lösung
homogene, 742
partikuläre, 684, 690, 691, 770, 771,
778
spezielle, 684, 741, 742
Lösungen von LDGS, 717
Lösungs-Fundamentalsystem, 715, 758
Lagrange Interpolation, 185
Langzeitverhalten, 689
Laplace-Gleichung, 1097, 1122, 1127
in Polarkoordinaten, 1132, 1133
Laplace-Operator, 1122, 1179
Laplace-Transformation, 833
Ähnlichkeitssatz, 858
Additionssatz, 842
Anwendungen, 849, 866
Dämpfungssatz, 856
der Ableitung, 843
der n-ten Ableitung, 844
Eigenschaften, 841
Faltungssatz, 859
Grenzwertsätze, 861
inverse, 840
Linearität, 841
Rücktransformation, 846
Transformationssätze, 853
Verschiebungssatz, 853
Laplace-Transformierte, 836, 838
Laplacescher Entwicklungssatz, 142
Laufende Welle, 1100
LDGS, 710, 741
homogene, 713
inhomogene, 743
Lösungen, 717
zweiter Ordnung, 728
LGS, 28
Limes, 307
Limesrechenregeln, 310
Linear unabhängige Funktionen, 714
Lineare Abbildungen, 133
Lineare Abhängigkeit, 96
Lineare Differenzialgleichung, 675
Lineare Differenzialgleichung 1.
Ordnung, 680, 683
Lineare Differenzialgleichungssysteme,
710
Lineare Gleichungssysteme
Lösbarkeit, 148
1229
Lineare Ketten, 284
Lineare Systeme, 965
Lineare Unabhängigkeit, 96, 153
Linearfaktor, 187
Linearisierung, 353, 549, 551
mit Maple, 593
von Funktionen, 561, 562
Linearität, 933
Linearkombination, 93
Linie, 641
Linienintegral, 646
Logarithmische Differenziation, 344
Logarithmus, 16
zur Basis b, 16
Logarithmusfunktion, 204
Lokale Extrema, 567
hinreichende Bedingung, 570, 575
mit Maple, 596
notwendige Bedingung, 568
Lokale Quellendichte, 1160
Lokale Zirkulation, 1169
Lorentz-Kraft, 70
Magnetfeld
eines geraden Leiters, 660
Magnetfeld von Leiterschleifen, 366, 382
Magnetischer Fluss, 668
Majorante, 465
Majorantenkriterium, 465
Mantelfläche, 440
Maple
Ableitung höherer Ord., 588
Amplitudenspektrum, 909
Anfangswertprobleme, 803
Ausgleichsfunktion, 602
Ausgleichsrechnung, 601
Betragsgleichungen, 42
Biegeschwingung, 1145, 1149
Deltafunktion, 962
DG n-ter Ordnung, 784
Differenzialgleichungen 1. Ordnung,
706
Differenziation, 380
diskrete Fourier-Transf., 1074
Doppelintegrale, 630
Dreifachintegrale, 632
Eigenvektoren, 722
Eigenwerte, 722
1230
Sachverzeichnis
Euler-Verfahren, 792
Exponentialfunktion, 238
Filterschaltungen, 288
Fourier-Reihe, 908, 910, 912
Fourier-Transformation, 957
Frequenzanalyse, 987
Funktionen, 220
Funktionsgrenzwerte, 323
Gradient, 591
Gradientenfelder, 656
homogene LDGS, 737
implizite Differenziation, 382
inhomogene LDGS, 741
Integralsubstitution, 446
Integration, 444
Iterative Verfahren, 1036
Komplexe Rechnung, 277
Komplexe Zahlen, 275, 279
Laplace-Transformation, 863, 866
laufende Welle, 1102
LDGS, 810, 815
LGS, 44
Linearisierung, 593
logarithmische Differenziation, 381
Logarithmusfunktion, 238
Membranschwingungen, 1138
numerische Integration, 1052
Partialbruchzerlegung, 448
partielle Ableitung, 588
partielle Integration, 445
PDG, 1128
Polynome, 229
Potenz-Wurzelfunktion, 238
Potenzreihen, 504, 513
rationale Funktionen, 234
Reihen, 513
Richtungsableitung, 592
schwingende Saite, 1108
starre Körper, 633
Taylor-Reihen, 593
Umkehrfunktion, 227
Ungleichungen, 43
Vektorrechnung, 104
Vereinfachungsbefehle, 240
Wurzelgleichungen, 42
Wärmeleitung, 1115
Zahlengrenzwerte, 322
Zahlenreihen, 501
Maple-Prozeduren
ausgleich, 602
bise, 324, 1007
bogen, 436
DFT, 1071
DGsolve, 796
differential, 594
DiffFormeln, 1049
Drei Int, 632, 1166
extremum, 596
extremum 2d, 597
extremum nd, 598, 599
fehler, 594
FFT, 1074
fourier reihen, 914
geomet, 113
horn, 232
iDFT, 1073, 1074
kette, 288
konv radius, 503
newton, 1030
poly, 231
quot krit, 502
Regressionsgerade, 601
starr, 633, 634
stationaer, 596
taylor poly, 508
xrotate, 441
yrotate, 441
Maschensatz, 26, 135
Masse eines Körpers, 625
Massenstrom, 666
Matrix, 29
Matrixelemente, 124
Matrizen
(m × n)-Matrix, 123
Addition, 125
Assoziativgesetz, 129
Determinante, 139
Diagonale, 124
Diagonalmatrix, 124
Distributivgesetz, 129
Einheitsmatrix, 124
Falk-Schema, 128
Gauß-Jordan-Verfahren, 130
Hauptdiagonale, 124
Inverse Matrix, 130
Multiplikation, 126
Sachverzeichnis
Nullmatrix, 125
obere Dreiecksmatrix, 124
Produkt, 127
quadratische, 124
Rang, 150
reguläre, 130
Sarrussche Regel, 144
Summe, 125
symmetrische, 124
transponierte, 126
Umkehrmatrix, 130
untere Dreiecksmatrix, 124
Maximum
relatives, 357, 567, 570
Maxwellgleichungen, 1185
Maxwellscher Gesamtstrom, 1185
Membran, 1125
Mengen, 3
Mengenoperationen, 4
Messdaten, 226
Methode der kleinsten Quadrate, 577
Minimum
relatives, 357, 567, 570
Minorantenkriterium, 464
Mittelpunktsregel, 1052
Mittelungseigenschaft, 433
Mittelwert
integraler, 397
linearer, 428
quadratischer, 429
Mittelwerteigenschaft, 884, 929
Mittelwertsatz, 369, 549
Modulation, 937
Moivresche Formel, 259
Momentangeschwindigkeit, 331
Monotonie, 178
Monotoniekriterium, 308, 309
Monotonieverhalten, 356
Multiplikation
komplexe, 255
Matrizen, 126
Näherungsausdrücke, 551
Näherungspolynome, 486
Nabla-Operator, 1159, 1176
Natürliche Zahlen, 5
Neumann
-Problem, 1129
1231
-Randwerte, 1129
Newton-Rhapson, 1035
Newton-Verfahren, 191, 375, 376, 1027,
1028
Newtonsches Abkühlungsgesetz, 707
Nichtlineare Differenzialgleichungen, 694
Normalenvektor, 663
Normalform
algebraische, 249, 253
Exponentialform, 250, 253
trigonometrische, 250, 253
Umformungen, 251
Nullfolge, 308
Nullphase, 210
Nullraum, 149
Nullstellen, 176, 195
Polynome, 188
Nullstellenproblem, 1014
Numerische Differenziation, 332, 1041
Numerische Integration, 396, 1051
Nyquist, 1066
Oberflächenintegral, 666
einer Fläche, 663
eines Vektorfeldes, 665
Optimierungsprobleme, 363
Ordnung, 1043, 1097
Ordnung der Ableitung, 535
Ordnung der Differenzialgleichung, 675
Ordnung des Verfahren, 801
Ortsvektor, 54, 62
Output, 965
p/q-Lösungsformel, 20
Parameterdarstellung
einer Fläche, 661
einer Kurve, 641
Partialbruchzerlegung, 415
mit Maple, 448
Partialsumme, 459
Partiell differenzierbar, 531
Partielle Ableitung, 531
1. Ordnung, 531
höherer Ordnung, 588
mit Maple, 588
von f nach x, 534
zweiter Ordnung, 534
Partielle Differenzialgleichung, 1097
Partielle Integration, 407
1232
Sachverzeichnis
PDG, 1097, 1098
elliptisch, 1098
hyperbolisch, 1098
Ordnung einer, 1097
parabolisch, 1098
Peanosche Axiome, 6
Pegasus-Verfahren, 1010, 1011
Peitschenknallen, 1102
Pendel, harmonisches, 353
Pendelgleichung, 803
Periode, 209
Periodische Fortsetzung, 855
Periodizität, 179
Permutation, 10
Phase, 210, 928
Phasenspektrum, 895, 928
Phasenverschiebung, 211
Plancksches Strahlungsgesetz, 373
Plattenkondensator, 350
Poisson-Gleichung, 1122
Polarkoordinaten, 639, 1132
Pole, 195
Polygonzugverfahren, 699, 791
Polynomdivision, 189
Polynome, 184
Potenz, 15
komplexe, 259
Potenzanpassung, 581
Potenzfunktion, 199
allgemeine, 206
Potenzial
Newtonsches, 1180
skalares, 1175
Potenzialfeld, 651, 1175
Potenzreihe, 470
Eigenschaften, 475
geometrische, 471
komplexe, 492
Potenzreihenansatz, 704
Potenzreihenentwicklung, 491
Prädiktor-Korrektor, 794
Primzahlen, 9, 37
Prinzip der kleinsten Quadrate, 576
Produktansatz, 1103
Produktregel, 336
Produktzeichen, 8
Programme
Banachverfahren, 1015
Banachverfahren 2-D, 1026
Bisektionsverfahren, 1005
Newton-Rhapson, 1035
Newton-Verfahren, 1028
Pegasus-Verfahren, 1011
regula falsi, 1032
Wurzeln, 1031
Projektion eines Vektors, 65
Prozeduren
xrotate, 441
Quadratfunktion, 174, 907
Quadratische Gleichungen, 20
Quadrupol, 525, 586
Quellen, 1160
Quellendichte
lokale, 1160
Quellenfrei, 1177
Querschwingungen, 488, 1140
Quotientenkriterium, 466
Limesform, 467
Quotientenregel, 337
Rücksubstitution einer
Differenzialgleichung, 701
Radioaktiver Zerfall, 203, 679
Raketengleichung, 425
Randbedingungen, 1104
Rang, 150
Rationale Funktionen, 194
Raumkurve
ebene, 554
RC-Kreis, 686, 692, 809
RCL-Kreis, 753
RCL-Wechselstromkreis, 268, 363
Realteil, 248
Rechengenauigkeit, 1005
Rechengesetze
für Vektorprodukt, 68
komplexe, 254
reeller Zahlen, 14
Vektoren, 89
Vektoren, 2D, 54
Vektoren, 3D, 62
Rechenregeln
der Differenziation, 335
der Integration, 405
für Funktionsfolgen, 315
für Grenzwerte, 310
Sachverzeichnis
für Matrizen, 125
für Spatprodukt, 71
für Vektoren, 62
Rechteckimpuls
modulierter, 937
Rechteckregel, 1052
Rechtecksignale, 906
Reduktion einer DG, 755
Reelle Zahlen, 13
Reelles Fundamentalsystem, 761
Regeln
Substitutionsregel, 413
von l’Hospital, 370
Regressionsgerade, 576, 578, 579, 601
regula falsi, 1032
Reihe, 460
alternierende, 468
alternierende harmonische, 469
arithmetische, 462
geometrische, 461
harmonische, 463, 464
MacLaurinsche, 480
Taylor-Reihe, 479
unendliche, 460
rektifizierbar, 435
rekursive Folge, 310
Relative Extremwerte, 357, 567
notwendige Bedingung, 568
relativistische Teilchen, 487
Restglied, 550
Richtungsableitung, 544
mit Maple, 592
Richtungsvektor, 53, 62
Riemann-Integral, 391
RL-Kreis, 677, 681, 686
Rohstoffkette, 134
Rotation, 1169, 1170, 1175
Rotationskörper, 438
Mantelfläche, 440
Volumen, 439
Rotationssatz, 1174
Rundungsfehler, 802, 1006
Runge-Kutta-Verfahren, 795
S-Multiplikation, 89
Saite
eingespannte, 1102
schwingende, 1099
1233
unendlich ausgedehnte, 1100
Sarrus, 144
Sattelpunkt, 358, 569, 570
Satz von Fourier, 885, 893
Satz von Laplace, 836
Satz von Rolle, 369
Satz von Schwarz, 536
Satz von Steiner, 626
Satz von Taylor, 548
Schaltungen
Π-Glieder, 280
T-Glieder, 280
Scheinwerferregelung, 489, 510
Schnittkurvendiagramm, 527
Schwarz, 536
Schwebung, 730
Schwerpunkt, 430, 625
ebene Fläche, 618
Koordinaten, 431
Schwingungen, 263
harmonische, 879
Schwingungen einer Karosserie, 746
Schwingungsformen, 730, 733, 1144
Schwingungsmode, 1138
Senken, 1160
Separation der Variablen, 1103
Separationsansatz, 1103, 1112, 1125,
1135, 1141
si-Funktion, 926
Signalanalyse, 880, 1081
Simpson-Regel, 1054
Singularität, 583
Sinusfunktion, 174, 207
allgemeine, 209
Sinushyperbolikus, 343, 386
Sinusimpuls, 907
Sinustransformierte, 930
Skalares Feld, 1175
Skalares Potenzial, 1175
Skalarfeld, 1159, 1175
Skalarprodukt, 63
2D, 56
Skalierung, 935
Spaltenrang, 149
Spaltenraum, 149
Spaltenvektor, 123
Spannung, 659
Spannungsintegral, 426
1234
Sachverzeichnis
Spatprodukt, 71
Spektralbereich, 925
Spektralfunktion, 925
Spektrenbreite, 938
Spektrum
Amplitudenspektrum, 895, 928
diskretes, 895
Phasenspektrum, 895, 928
Sprungantwort, 817, 985
Sprungfunktion, 983
Störfunktion, 680, 691
Stammfunktion, 399
Starrer Körper
rotierender, 1172
stationär, 1119
Stationärer Punkt, 569
Stehende Welle, 1106
Steinerscher Satz, 626
stetig, 317
stetige Erweiterung, 319
Stetigkeit, 317, 528
Delta-Epsilon-Stetigkeit, 530
stückweise stetig, 835
Stokescher Integralsatz, 1174
Strahlender Körper, 373
Streckenzugverfahren, 698, 789
Stückweise Stetigkeit, 884
Substitution einer Differenzialgleichung,
701, 702
Substitutionsregel, 409
für Doppelintegrale, 638
für Dreifachintegrale, 638
Subtraktion
komplexe, 254
Vektoren, 2D, 55
Vektoren, 3D, 62
Summe
Links-, 1052
Rechts-, 1052
unendliche Reihe, 460
Summenzeichen, 8
Superposition, 92, 264
Surjektivität, 183
Symmetrie, 177, 933
Systemanalyse, 1087
Systeme
homogen, 712
inhomogen, 712
lineare, 965
Systemfunktion, 974–976
T-periodische Signale, 893
Tangensfunktion, 212
Tangenshyperbolikus, 343, 386
Tangentialebene, 538, 539, 551, 662
Taylor
Polynom, 478
Satz von, 478
Taylorsche Formel, 478
Taylor-Reihe, 476
der Area-Funktionen, 484
der Binomischen Reihe, 482
Satz über, 479
von arctan x, 484
von cos x, 481
von ln x, 482
von sin x, 481
von ex , 480
Taylor-Reihen
mit Maple, 593
Teilsummen, 459
Temperaturmittelwert, 1115
Tiefpass, 290, 814
Ton, 1106
Torricelli-Gesetz, 807
Totale Differenzierbarkeit, 538
Totales Differenzial, 559, 560
Trägheitsmoment, 625
Transformationsgleichungen, 636
Transformationssätze, 853
Trapezregel, 1053
Trennung der Variablen, 680, 694
Trigonometrische Funktionen, 207
Übertragungsfunktion, 273 974
Übertragungsverhältnis, 272
Übertragungssystem, 965
Überlagerung von Schwingungen, 263
Umkehrfunktion, 180
Umkehrmatrix, 129
Ungleichungen, 23, 43
Untervektorraum, 92
Variable
abhängige, 173
unabhängige, 173
Variation der Konstanten, 682, 741, 743
Sachverzeichnis
Vektoren, 53
Vektoren, 2D, 54
Addition, 55
Assoziativgesetz, 57
Betrag, 55
Distributivgesetz, 57
Einheitsvektor, 56
Geraden-Darstellung, 60
Hesse-Normalform, 60
Kommutativgesetz, 57
Komponenten, 54
Koordinatensystem, 54
Kräfteaddition, 55
Länge, 55
Linearkombination, 56
Multiplikation mit Skalar, 54
Normalen-Einheitsvektor, 59
Ortsvektor, 54
Punktprodukt, 56
Richtungsvektor, 54
Skalarprodukt, 56
Streckung, 54
Winkel, 58
Vektoren, 3D, 62
Addition, 62
antiparallel, 68
Arbeit, 66
Betrag, 62
Drehimpuls, 70
Drehmoment, 70
Einheitsvektor, 62
Kreuzprodukt, 67
Länge, 62
Linearkombination, 63
Lorentz-Kraft, 70
Multiplikation mit Skalar, 62, 68
Orthonormalsystem, 64
Ortsvektor, 62
parallel, 68
Projektion, 65, 66
Rechtssystem, 71
Richtungskosinus, 64
Richtungsvektor, 62
Skalarprodukt, 63
Spatprodukt, 71
Vektorprodukt, 67
Vektoren, n-dimensional
äußere Verknüpfung, 89
1235
Addition, 89
Assoziativgesetz, 89, 90
Basis, 99
Dimension, 101
Distributivgesetz 1, 90
Distributivgesetz 2, 90
Erzeugendensystem, 95
Erzeugnis, 94
Gesetz der Eins, 90
innere Verknüpfung, 89
Kommutativgesetz, 89
linear abhängig, 96
linear unabhängig, 96
Linearkombination, 93
negativer Vektor, 89
Nullvektor, 89
Operationen, 89
S-Multiplikation, 89
Superposition, 92
Untervektorraum, 92
Vektorraum, 88, 90
Vektorraum über K, 90
Vektorfeld, 645, 1159, 1175
Vektorprodukt, 67, 148
Vektorraum, 90
Venn-Diagramm, 4
Vereinigung von Mengen, 4
Verfahren von Heun, 794
Verfahrensfehler, 802
Verschiebungssatz, 853
Verschiebungsstrom, 1185
Vollständige Induktion, 6
Volumen, 621, 625
Rotationskörper, 439
Wachstum
höchstens exponentielles, 835
Wechselspannung, 687
Weg-Zeit-Gesetz, 171, 329, 753
Wegunabhängigkeit, 1171
Wellen
laufende, 1100, 1102
stehende, 1106
Wellengleichung, 1097, 1099, 1100, 1106
zweidimensionale, 1124, 1135
Wendepunkt, 358
Wertebereich, 172
Wheatstonesche Brückenschaltung, 355
1236
Sachverzeichnis
Widerstand
Blind-, 269
komplexer, 268
ohmscher, 268
reeller Schein-, 269
Wirk-, 269
Widerstandsanpassung, 364
Wiensche Verschiebungsgesetz, 374
Winkelargument
komplexes, 250
Winkelfunktionen, 207
Wirbeldichte, 1169
Wirbelfrei, 1177
Wronski-Determinante, 758
Wurfweite, 520
Wurzelfunktion, 174, 200
Wurzelgleichungen, 21, 42
Wurzeln, 377, 1031
Einheitswurzel, 260
komplexe, 260
Wurzelziehen
babylonisches, 310, 378, 1031
Wärmeleitungsgleichung, 1097, 1110,
1111, 1114
bei Wärmeisolation, 1116
mit Wärmeübergang, 1111
stationäre, 1119
zweidimensionale, 1123
Wärmestrahlung, 373
Zahlen
komplex konjugierte, 252, 253
komplexe, 247
natürliche, 5
reelle, 13
Zahlenebene
Gaußsche, 248, 253
Zahlenfolge
reelle, 305
Zahlengerade, 13
Zeiger
komplexer, 249
Zeilenrang, 149
Zeilenumformungen
elementare, 29
Zeilenvektor, 123
Zeitfunktion, 835
zeitinvariant, 966
Zeitverschiebung, 936
Zerfallsgesetz, 679
Zielbereich, 172
Zustandsgleichung, 520, 561
Zustandsvariable, 813
Zweiweggleichrichter, 918
Zwischensumme, 392
MAPLE-Befehle
→, 908
x >, 220, 322, 583
abs, 275, 279, 1078
add, 594, 595
alias, 874, 988, 990, 992
animate, 963, 1108, 1116, 1145
animate3d, 1139
arctan, 276
AreParallel, 109
args, 324, 594, 597, 796, 1007
argument, 275, 279
Array, 160, 164
array, 1075, 1078
assign, 45, 706, 708, 735, 961
assume, 866, 868, 958, 981
asympt, 235
BandMatrix, 160
Basis, 165
binomial, 39
bise, 324, 1007
bogen, 436
cartprod, 38
cat, 594
changevar, 446
CharacteristicMatrix, 824
CharacteristicPolynomial, 722, 824
charpoly, 747
close, 226
coeff, 230, 233
collect, 230, 233
ColumnSpace, 165
combine, 238–240
complexplot, 276
conjugate, 275
contour, 584
contourplot, 585
convert, 106, 233, 275, 448, 506, 507,
509, 874, 1078
coordinates, 110
cost, 231
CrossProduct, 106, 1172
Curl, 1172, 1175, 1185
D, 380, 588, 589, 734, 784, 822, 874
degree, 230, 233
denom, 234
densityplot, 587
DEplot, 805, 823
detail, 108
Determinant, 161, 164, 599
DEtools, 805
DFT, 1071
DiagonalMatrix, 160, 164
Diff, 588
diff, 380–382, 384, 588, 784, 803, 822,
866, 868, 874, 987, 990
DiffFormeln, 1049
Digits, 45
Dirac, 962, 992
display, 223, 232, 296, 383, 506, 590,
708, 736, 809, 963, 1078
distance, 109
Divergence, 1172, 1175, 1185
do, 324, 1007
DotProduct, 105, 592
draw, 110, 111
Drei Int, 669
dsolve, 706, 708, 784, 803, 809, 810, 822,
823, 873
eigenvals, 737
Eigenvalues, 722, 723, 824
Eigenvectors, 722, 723, 824
eigenvects, 737, 738, 748
else, 324, 1007
end, 324, 1007
Equation, 108
eval, 159, 165, 748
evalc, 275, 277, 279, 749
evalf, 41, 105, 221, 444, 669, 919
evalm, 105, 749, 1075, 1078
expand, 39, 229, 233, 235, 238–240
expanded, 958
extrema, 600
factor, 230, 233, 234, 278, 446
FFT, 1074, 1075, 1082, 1092
fi, 324, 1007
FindAngle, 110
for, 507
fourier, 957, 958, 961, 981, 987, 990,
992, 1078
frames, 1108
fsolve, 41, 230, 233, 278, 1001, 1147
gcd, 234
geomet, 113
Gradient, 591, 592, 1175, 1185
1238
Maple-Befehle
gradplot, 591
gradplot3d, 591, 592
Heaviside, 874, 957, 992
Hessian, 598, 599
horn, 232
iDFT, 1073, 1074
if, 324, 1007
iFFT, 1075, 1092
Im, 275, 279
infinity, 501
inifcns, 220
insequence, 736
Int, 444, 630–632, 669, 918, 919
int, 444, 630, 669, 749, 908, 919
interp, 232, 233
intersect, 38
intersection, 110
intparts, 445
inttrans, 957
inverse, 160, 749
invfourier, 959, 961, 981, 992
invlaplace, 865, 867, 869, 871, 874
isolate, 381, 446
kette, 288
laplace, 863, 866, 869, 870, 874
Laplacian, 1180, 1185
leftbox, 1056
leftsum, 1056
limit, 322, 323, 385, 501
linalg, 104
line, 108
LinearAlgebra, 46, 722, 824
LinearSolve, 46, 162, 165, 723
linsolve, 738
list, 232, 1078
ln, 39
local, 324, 594, 1007
log, 39
log10, 39
loglogplot, 225
logplot, 225
lprint, 324, 1007
map, 381, 748, 1078
Matrix, 46, 159, 164, 722, 824
matrix, 737, 748
MatrixInverse, 165
member, 38
middlebox, 1056
middlesum, 1056
minus, 38
mtaylor, 593
nops, 232, 594
Norm, 105
normal, 234, 918, 919, 958
numer, 234
numeric, 803, 810, 822
numpoints, 750
od, 324, 1007
odeplot, 803, 823
op, 445, 595
options, 583
orientation, 590
parfrac, 448
plane, 108
plot, 42, 222, 279, 296, 322, 383, 583,
735, 736, 867, 871, 909, 988, 1078
plot options, 224
plot3d, 296, 583, 584, 586, 1129
plots, 963
point, 107
polar, 275
poly, 231
powcreate, 504
powseries, 504
print, 110, 324, 1007, 1075, 1092
proc, 222, 324, 1007
product, 38
RandomMatrix, 160
Rank, 162, 165
Re, 275, 279
readdata, 226
readlib, 1075, 1092
rightbox, 1056
rightsum, 1056
RootOf, 41
RowSpace, 165
ScalarPotential, 656, 1178, 1185
semilogplot, 225
seq, 232, 322, 383, 595, 736, 1075, 1078
series, 509
simplify, 39, 238, 240, 279, 750, 867,
868, 919
simplify, symbolic, 228, 238, 240
simpson, 1056
solve, 40, 44, 277, 382, 708, 722, 735,
797, 867, 869, 871, 874, 961, 988, 991
Maple-Befehle
sort, 229, 233
spacecurve, 641
starr, 669
string, 506, 507
student, 445, 1056
style, 585, 590
SubMatrix, 598, 599
subs, 233, 381, 708, 723, 750, 867, 908,
919
sum, 38, 501, 909, 919
taylor, 509
textplot, 223, 708
tpsform, 505
Transpose, 160, 165
transpose, 749
trapezoid, 1056
type, 104
unapply, 221, 227, 324, 595, 1007
union, 38
value, 445, 446, 630–632, 669, 918, 919
Vector, 46, 104, 164
vector, 749
VectorAngle, 105
VectorCalculus, 591, 592, 598, 1172
VectorPotential, 1178, 1185
view, 506, 507, 583
whattype, 104
while, 324, 1007
with, 963
writedata, 226
zip, 232
Maple-Prozeduren
ausgleich, 602
bise, 324, 1007
bogen, 436
DFT, 1071
DGsolve, 796
differential, 594
DiffFormeln, 1049
Drei Int, 632, 1166
extremum, 596
extremum 2d, 597
extremum nd, 598, 599
fehler, 594
FFT, 1074
fourier reihen, 914
geomet, 113
horn, 232
iDFT, 1073, 1074
kette, 288
konv radius, 503
newton, 1030
poly, 231
quot krit, 502
Regressionsgerade, 601
starr, 633, 634
stationaer, 596
taylor poly, 508
xrotate, 441
yrotate, 441
1239

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